Automatisk 3D bymodellering ud fra laserscannede rådata

Transkript

1 Automatisk 3D bymodellering ud fra laserscannede rådata Landinspektøruddannelsen, Measurement Science, 8. semester, gruppe 4 Aalborg Universitet 2008

2

3 Gruppe 08MS08040 Forord Aalborg Universitet Institut for samfundsudvikling og planlægning Landinspektøruddannelsens 8. semester Fibigerstræde 11, 9220 Aalborg Ø Titel: Tema: Automatisk 3D bymodellering ud fra laserscannede rådata Sensor og Data Integration Synopsis: Denne rapport beskriver processen, der fører til automatisk generering af hustage. Udgangspunktet er en laserscannet højdemodel, idet denne datatype er den mest anvendelige som baggrund for bestemmelse af hustage med henblik på generering af bygningsmodeller. Scanningsdataene kombineres med bygningspolygoner fra teknisk kort i en proces, der i første omgang omfatter afgrænsning af punkter, dernæst segmentering af punktskyen til respektive tagflader efterfulgt af en udjævning, og for det fjerde en bestemmelse af skæringspunkter mellem alle bygningens flader. Processen udtrykkes i et MatLab script, der testes på en rigtig punktsky. Mulighederne for automatiseret udvælgelse af punkter i bygningspolygoner gennemgåes, men holdes i praksis uden for det udviklede script. Den foretrukne metode til segmentering bestemmelse af tagflader er Region Growing, som bygges ind i scriptet, sammen med metoden Generel Mindste Kvadraters Princip under udjævningsdelen. Skæringspunkterne bestemmes ved løsninger af tre ligninger med tre ubekendte, idet algoritmen i MatLab sørger for at udskille fejlagtige skæringspunkter. Test af hele scriptet viser, at flade tage og saddeltage kan modelleres, mens valmede tage ikke kan bestemmes. Periode: Februar 2008 juni 2008 Gruppe: L8MS 04 Kristian Nielsen Martin Steenberg Hansen Vejledere: Jens Juhl Karsten Jensen Oplagstal: 5 Sidetal: 50 Bilag: 3 Afsluttet: 12. juni

4 0 Forord Aalborg University Department of Dovelopment and Planning 8 th semester of the chartered surveyor education Fibigerstræde 11, 9220 Aalborg Ø Title: Theme: Automated 3D city modeling from laser scanned point cloud Sensor and Data Integration Abstract: This paper describes the process of automatic generation of roofs. The project takes its starting point at a laser scanned height model as this data type is the most applicable concerning determination of roofs in the attempt of modeling buildings. The scanning data is combined with building polygons from technical maps in a process that first limits the number of points and, second, segments the point cloud into different planes followed by an adjustment. Finally, the intersection points between all the building s plans are determined. The process is expressed through a MatLab script which is tested on a real point cloud. The possibilities of automated extraction of points inside polygons are described but not included in the developed script. The preferred method for segmentation determination of roof plans is Region Growing, which is a part of the script together with the method of General Least Squares Adjustment. The intersecting points are determined by the solution of three equations in three unknowns, as the MatLab algorithm excretes erroneous intersection points. Testing of the entire script shows that flat roofs and ridged roofs can be modeled but hipped roofs cannot. Period of project: Februar 2008 juni 2008 Group: L8MS 04 Kristian Nielsen Martin Steenberg Hansen Supervisors: Jens Juhl Karsten Jensen Circulation: 5 Number of pages: 50 Number of appended documents: 3 Date of completion: June 12 th,

5 0 Forord Forord Denne rapport er udarbejdet på landinspektøruddannelsens 2. semester i M.Sc. i Measurement Science på Institut for Samfundsudvikling og Planlægning, Aalborg Universitet. Det overordnede tema for semesterprojektet er Sensor and data integration, og denne rapport omhandler specifikt dataintegration mellem laserscannede data og et teknisk korts fotogrammetriske data. Dette projekt er udarbejdet og fremstillet i perioden 4. februar 2008 til 12. juni Kildehenvisninger er angivet efter Harvardmetoden, dvs. med forfatterens efternavn, årstal for udgivelse, samt evt. sidetal, f.eks. [Jensen 2003, s. x]. Figurerne i rapporten; herunder illustrationer, billeder og kort angives på formen Figur x, hvor x er det fortløbende. Figurtekst står umiddelbart efter figurnummeret. Ved henvisning til internetsider angives blot hjemmesidens hovedside den præcise internetkilde er derfor at finde i litteraturlisten. En pdf version af rapporten er uploadet på Den elektroniske og den papirbaserede rapport er identiske. Den vedlagte CD er opdelt i følgende: MatLab scripts, Rådata samt en pdf version af rapporten. Illustrationer til udarbejdelse af forsiden er hentet fra Google Earth og det fremstillede MatLabscript. 5

6 0 Indhold Indhold 1 Indledning Projektopbygning Foranalyse Rådata COWIs højdemodel Luftfotos Teknisk Kort TOP10DK Ortofoto Opsamling Modelleringsprocessen Afgrænse punkter Segmentering Udjævning Skæringspunkter Vurdering af metoder Problemformulering Anvendte data Laserscanning Teknisk kort Opsamling Projektområde Fremgangsmåde Afgrænse punkter Segmentering Udjævning Skæringspunkter Resultater Fladt tag

7 0 Indhold 8.2 Saddeltag Afvalmet tag (helvalm) Saddeltag med carport Opsamling Konklusion Perspektivering Kildefortegnelse Publikationer Websider Bilagsliste

8 1 Indledning 1 Indledning Det klassiske papirkort har sin primære berettigelse som en todimensional virkelighedsgengivelse, men der har i adskillige århundreder før nu været eksperimenteret med at formidle højdeinformationer, enten ved hjælp af farvelægning, højdekurver eller simpelthen gennem påtrykte koter. På den måde får brugeren en fornemmelse af den tredje dimension, men uden at der i kortet etableres en akse på lige fod med planens akser. At der er informationer, der går ud over det planorienterede (2D), og at informationerne eventuelt præsenteres visuelt rumligt (3D), har medført betegnelsen 2½D. Betegnelsen fortæller, at informationerne i den tredje dimension er begrænset i sammenligning med informationerne i planen. Begrænsningen eksemplificeres enklest som på Figur 1, hvor bygninger er gengivet i henholdsvis 2½D og 3D. Den første bygning er i 2½D, mens de to næste er i 3D, med stigende detaljeringsgrad. Ved hjælp af luftbåren landmåling er det kun muligt at indsamle højdeinformationer, der kan beskrive objekter i 2½D, og det er denne tilgang, der i helt overvejende grad ses at være i spil i den professionelle kortlægningsverden. Figur 1: En bygning i 2½D og to i 3D. Så snart tagfladen er beskrevet ovenfra på den første bygning, er der ikke yderligere registreringer nedad langs den tredje akse. Bortset fra skæringen med terrænet, som dog ikke stammer fra opmålingsprocessen, men tilhører et senere trin Med de seneste årtiers kortdigitalisering og databaseintegration er betegnelsen 2½D blevet endnu mere nødvendig at forholde sig til, idet informationsmængden knyttet til plane koordinater som følge af bedre lagringsmuligheder er vokset eksplosivt, og potentielt er uendelig. Regnekraften, der har kunnet anvendes til alle tænkelige sammenkøringer af data, er vokset i samme grad, og den fuldstændige overgang til den rumlige kortverden har derfor måske kun været forsinket af forhindringer på visualiseringsområdet. Fremkomsten af de verdensomspændende, potentielt tredimensionelle, digitale kortprodukter i det nye årtusinde, herunder især Microsoft Virtual Earth og Google Earth har ikke alene overvundet de mest grundlæggende visualiseringsproblemer gennem en dynamisk, interaktiv, perspektivisk projek 8

9 2 Projektopbygning tion af 2½D eller 3D kortet på en 2D skærm, men har samtidig gjort dette nygenerations kortværk til hvermandseje. Overgangen til 2½D/3D udgør et kartografisk kvantespring, hvor kortbrugeren umiddelbart får en visuel oplevelse. Det første, denne vil bekymre sig om i den virtuelle verden, bliver ikke objekters metriske nøjagtighed, men snarere deres genkendelighed, således at kortbrugeren pludselig får mulighed for fx at anerkende en bygning som sit hus. Genkendeligheden afhænger af en korrekt gengivelse af objekternes proportioner, herunder deres interne vinkler. Udgangspunktet med bygningers langt overvejende rektangulære grundformer gør det let at automatisere oprejsningen af hele byer til samlinger af kasseformede objekter (se Figur 2), idet bygningshøjder længe har været integreret i tekniske kortværker. Men hvor mange flader, et tag består af, og hvilken hældning fladerne har, er ikke registreret, og da samtidig fænomenet bygningstage repræsenterer en meget stor diversitet og kompleksitet inden for selv mindre bydele, ligger der her en stor udfordring for automatiseret bygningsgenerering. Figur 2: Simple kasseformede objekter, som det er muligt at generere automatisk alene ud fra Teknisk Kort Dermed bliver det initierende problem i det projektarbejde, der arbejdes med i nærværende rapport Hvordan kan bygningers tagflader bestemmes automatisk ud fra laserscanningsdata? 2 Projektopbygning Dette afsnit skal klarlægge projektrapportens opbygning, for lettere at kunne holde styr på, hvilke afsnit, der leder frem til hvad, og hvilken teori der bliver anvendt i de forskellige afsnit. Dette gøres ved en model, der skal illustrere projektforløbet fra start til slut. På 8. semester skal der arbejdes problemorienteret. Dermed kan projektet opdeles i fire grundelementer: 9

10 2 Projektopbygning Problem Teori Empiri Konklusion Disse fire grundelementer og deres sammenhæng er illustreret i Figur 3 nedenfor. Figuren viser de fire grundelementer i projektforløbet, mens pilene illustrerer, at der er konstant bevægelse mellem elementerne. Figur 3 illustrerer altså, at et projekt er en iterativ proces, hvor den viden der opnås fra teori og empiri medfører, at projektets problem kan ændre form, ligesom det selvfølgelig påvirker den konklusion, der findes. På samme måde vil problemets karakter, og de konklusioner der opnås, påvirke hvilken form for viden, der skal indhentes. Alt i alt påvirker de fire grundelementer hinanden, således at der skal tages hensyn til de andre, når der arbejdes inden for et af begreberne. Problem Teori Empiri Konklusion Figur 3: Projektarbejdets fire grundelementer [Andersen, 1990] I det følgende vil projektets opbygning blive beskrevet. Dette gøres ved hjælp af Figur 4, der viser hvilke afsnit, der udarbejdes i projektet. Figuren viser desuden hvilke teoretiske og empiriske input, der er anvendt til de forskellige afsnit. Desuden vil der til hvert afsnit efterfølgende være en kort beskrivelse, der forklarer hvad afsnittet omhandler. Dette gøres for at give læseren et overblik over projektets opbygning. Teori Projekt Empiri Indledning Studievejledningen Projektopbygning Studievejledningen Videnskabeligt webmateriale Foranalyse Problemformulering Foranalysen Diverse datablade Anvendte data Foranalysen 10

11 2 Projektopbygning Projektområde Foranalysen Fremgangsmåde Foranalysen Resultater Projektrapporten Konklusion Projektrapporten Perspektivering Projektrapporten Figur 4: Projektets opbygning Indledning Studievejledningen beskriver indgående projektforløbet, semestertemaet samt kurserne, og den er dermed udgangspunktet for indledningen, der munder ud i et initierende problem, der ligger inden for semestertemaets rammer. Projektopbygning Kapitlet kortlægger og klargør, hvordan projektet og projektrapporten er opbygget, og hvorvidt det er ny teori eller gruppens empiri, som ligger til grund for arbejdet i den pågældende del af projektet. Foranalyse Hertil benyttes det righoldige forskningsmateriale fra www om emnerne laserscanning og modelgenerering. Materialet fremgår af kildefortegnelsen. Problemformulering På baggrund af foranalysen udarbejdes problemformuleringen, som er det grundlag, resten af projektet tager udgangspunkt i. Anvendte data Her beskrives de datasæt, som foranalysen har fundet det nødvendigt at inddrage. Beskrivelsens indhold er hentet fra de respektive metadata, fx hvad der har været tilgængeligt på www om teknisk kort. Projektområde Afgørelsen af, hvilket område, der bedst egner sig til det aktuelle projektarbejde, baserer sig på foranalysens undersøgelse af, hvor den rette datakombination kan findes. Fremgangsmåde Overskriften dækker også over metoder i arbejdet, og disse er udvalgt gennem foranalysen. 11

12 3 Foranalyse Resultater Her skal arbejdets udkomme ikke alene oplistes, så vidt det er muligt, men også underkastes en kvalitativ vurdering, der eventuelt kan omfatte hele projektet. Konklusion Efter vurderingen og gennemgangen af resultaterne sammenfattes de i konklusionen, som dermed udtrykkes så kortfattet som muligt. Perspektivering I forlængelse af afslutningen af projektarbejdet som sådan, vurderes arbejdets helhed i forhold til videre sammenhænge. I emnemæssig forstand vurderes det, om resultaterne fra tagfladegenerering i det simple tilfælde kan udvides til mere komplicerede tagformer. Men også i tidsmæssig forstand kan der perspektiveres: Hvor langt kan fx automatiseret tagfladegenerering nå i løbet af det næste tiår? 3 Foranalyse For at imødegå det initierende problem, iværksættes en foranalyse af de tekniske discipliner, som er baggrunden for fremkomsten af de datasæt, der indeholder forholdsvist ufortolkede og ubearbejdede oplysninger om bygninger. Først vil foranalysen bestå af en analyse af de forskellige rådata, der kunne tænkes anvendt til løsning af det initierende problem. Dernæst vil den indeholde en analyse af forskellige metoder, der kan anvendes til fremstillingen af bymodellen. Det, projektgruppen stræber efter at fremstille, er en 2½D bymodel. Det vil sige, at der skal findes en algoritme, der automatisk ud fra data, der allerede findes, fremstiller en 2½D model af en vilkårlig bygning. Der er ikke hensigten at modellen skal være nøjagtig på millimeter, og desuden er detaljeringsgraden heller ikke det vigtigste element. Det er derimod vigtigt, at kortbrugeren får oplevelsen af realistiske bygninger, og dermed lægges der stor vægt på genkendelighed. 3.1 Rådata Ovenstående indebærer en analyse af de forskellige datasæt, der kunne tænkes at indgå, for at kunne bestemme 3D koordinater til de punkter, der udspænder bygningens brudlinjer. Projektgruppen har valgt en række datasæt, der vil blive set nærmere på. De datasæt, der vil blive nærmere analyseret, er: 12

13 3 Foranalyse COWIs laserscannede højdemodel Luftfotos Teknisk Kort TOP10DK Ortofoto Datasættene vil blive analyseret i forhold til tre parametre, og hver af disse parametre vil blive analyseret i forhold til temaet automatiseret 2½D bygningsgenerering. Disse tre parametre er: Anvendelse Nøjagtighed Problemområder Der har været arbejdet med automatiseret bygningsmodellering i en årrække, idet udviklingen inden for luftbåren laserscanning (gradvist større punkttæthed) har muliggjort stadigt større integration med fotogrammetrien og kortværkerne. 2½D modelgenerering har tidligere været forsøgt uden brug af laserscanning, nemlig ved fladeudpegning i en trådmodel, konstrueret gennem en kombination af fotogrammetri til bestemmelse af tagets linjer, og teknisk kort til bygningens grundplan. [Blominfo, 2003] Metoden er dog fundamentalt anderledes end fladebestemmelse ud fra laserscanningsdata, idet bestemmelsen her sker med direkte reference til hele fladen (dog gennem udjævning) COWIs højdemodel I de efterfølgende underafsnit behandles målemateriale vedrørende COWIs luftbårne laserscanning med henblik på at vurdere datas anvendelighed ved dannelsen af 2½D bymodeller. Laserscanningsdatas oprindelse vil kort blive beskrevet, og det forsøges vurderet, om produktets svagheder forhindrer den ønskede anvendelse. Anvendelse Et lodskud inden for laserscanning leverer i sin natur en højdebestemmelse, som er en klasse bedre end højdebestemmelse i fotogrammetri, idet den planimetriske bestemmelse af den enkelte måling dog er dårligere. Der, hvor der virkelig er sket en forandring inden for laserscanning, er i en kraftig forøgelse af punkttætheden (i forbindelse med større flyvehøjde), og dette har altså muliggjort produktionen af højdemodeller i en meget høj kvalitet. COWIs landsdækkende højdemodel af 2007 er udarbejdet på baggrund af laserscanningsdata, hvor punktskyen renset for grove fejl i første omgang udgør en DSM (overflademodel), og siden hen en terrænmodel (DTM). Der leveres desuden en såkaldt DEM (Digital Elevation Model), beskrivende bevoksningers og bygningers højde over terrænet. Højdemodellens mest oplagte anvendelsesområ 13

14 3 Foranalyse der er analyse af potentielle stormflodssituationer samt større projekter med statslig infrastruktur. [DDH, 2007] I tilfælde af, at der, i overensstemmelse med dette projekts mål, haves modeller af bygningstagene, kan hele bygninger modelleres ved, at tagenes ydre afgrænsning forlænges lodret ned til skæring med DTM en. Det direkte produkt af en luftbåren laserscanning, nemlig en overflademodel, udgør desuden et meget anvendeligt grundlag for at anvende skråfotos til eksempelvis bygningsgenerering. På den måde overflødiggøres aerotriangulationen og den ydre orientering af luftfotos, det vil sige to betragtelige elementer i klassisk (luft)fotogrammetri. Intensiteten af det reflekterede lasersignal kunne tænkes anvendt i forbindelse med genkendelse af tagflader, idet intensiteten logisk kan formodes at afhænge af hældningen på den reflekterende flade. Det er således ikke så meget en skelnen af en tagflade fra fx en flisebelagt indkørsel, der sigtes til, som det er en skelnen mellem tagflader med forskellige hældninger. Nøjagtighed Højdenøjagtigheden angives ofte til at være i størrelsesordenen 10 cm, idet den dog som følge af den noget dårligere nøjagtighed i planen afhænger af landskabets hældning. Punktdensiteten for luftbåren laserscanning er inden for den allerseneste tid blevet så kraftigt forøget, at et en meter grid er realistisk fra højder større end 1000 meter. COWI garanterer mindst 0,5 punkt per kvadratmeter ved en flyvehøjde på godt 1600 meter. [DDH, 2007] Muligheden af, kun at anvende en sensorposition nedbringer indflydelsen fra systematiske fejl i forhold til fotogrammetrien, hvor succes afhænger af kvaliteten af en relativ billedorientering. Laserscanning kan bedre end fotogrammetri afdække skarpe højdeforskelle ved bygninger, fordi målemetoden er mere lodret i flyveretningen, hvorved bygningsgavle ikke skjuler jordoverfladen tæt på bygningen. Scanning kan også gennemføres trods vegetation, idet der næsten altid vil være enkelte linjer med frit sigte ned gennem trækronerne, dvs. mellem løv eller grene. Endvidere findes der såkaldte multipulse systems, der eksempelvis kan registrere første og sidste ekko fra det samme oprindelige signal der altså delvist gennemtrænger løvet og derved angive både træernes overflade samt selve jordoverfladen. [Maas, 2001] Laserstråler kan også gennemtrænge vand ved brug af kortere bølgelængde end sædvanligt, [Wikipedia] således at der erfaringsmæssigt kan måles vanddybder på ned til tre gange vandets sigtbarhed. Endelig fungerer laserscanning uafhængigt af direkte dagslys, hvorfor der i princippet kan scannes når som helst på døgnet. 14

15 3 Foranalyse Problempunkter Fortolkning af laserscanningsdata giver ikke umiddelbart mulighed for identifikation af objekter, som de visuelt orienterede luftfotos. Hvis dette ønskes, skal der arbejdes med brudlinjer, altså i første omgang en registrering af linjer, på tværs af hvilke der sker et drastisk spring i højde Luftfotos I dette afsnit ses der isoleret på fotogrammetri for at afdække metodens fordele og ulemper på det overordnede plan, men også specifikt i forhold til projektets initierende problem. Anvendelse Måling i luftfotografier har i mange årtier været den dominerende metode inden for kortlægning, og er det således også i de kortværker, som gennemgåes senere. Når der anvendes to billeder (måles i stereo) er det i princippet muligt at få den tredje dimension, dybden, med, og eventuelt bestemme en højde for enhver pixel. Det er også muligt at identificere objekter i billedet, og begge dele kan fx ske samtidigt i en stereoplotter, og til en vis grad automatisk i digitale applikationer. [Christensen, m.fl., 2003] Der kan også ud fra sammenhørende billeder automatisk dannes en overflademodel, idet der dog er store vanskeligheder forbundet med den automatiserede generering af bygninger og andre markante objekter, der er kendetegnet ved at være omgivet af brudlinjer. I praksis er disse stadig nødt til at blive minutiøst udpeget manuelt og visuelt af operatører. Nøjagtighed Der er med fotogrammetri et stort potentiale for geometrisk nøjagtighed, men i praksis gåes der på kompromis hermed for at opnå en mere komplet dækning hurtigere: Jo større flyvehøjde, jo mindre geometrisk nøjagtighed, men til gengæld dækkes der mere land. I praksis har udviklingen frembragt så små pixelstørrelser i sensorerne, at de på jorden svarer til fem ti centimeter i de endelige produkter. Nøjagtigheden i planen er her ca. to centimeter, og i højden ca. ti centimeter. Problempunkter Udover fotogrammetriens krav om to sammenhørende billeder til samtlige områder, er der også høje krav til hvert enkelt billedes atmosfæriske og lysmæssige forhold. Men selv når dette generelt er opfyldt, vil fx jorden ved gavlen af en bygning ofte kunne henligge i skygge, hvilket kan være til gene for den automatiske fastlæggelse af taghøjden, såvel som skyggeområder generelt kan være til gene for objektudpegning i et billede Teknisk Kort Dette afsnit vil komme til at omhandle det tekniske kort, og i hvilke sammenhænge det vil være muligt at anvende til automatisk at kunne modellere bygninger ud fra. Ydermere vil der være en gen 15

16 3 Foranalyse nemgang af, hvilke anvendelsesområder kortværket primært bliver brugt til, og desuden vil nøjagtigheden af kortværket blive fastslået. I dag findes der to forskellige tekniske kortværker i Danmark med to forskellige specifikationer. Der er TK99 og FOT, hvor TK99 er de gamle kortværker, mens FOT står for de nye kortværker. Det vil sige at FOT (Fælles Objekt Typer) har til hensigt at skabe en højere grad af entydighed i kommunikationen mellem offentlige myndigheder, samt i kommunikationen mellem det offentlige og virksomheder og borgerne. [FOT, 2007] Det skal dog tilføjes, at de data, der bliver brugt som grundlag for etableringen af FOT, er TK99 og TOP10DK. [FOT, 2006, s. 10] Derfor vil der i dette afsnit blive lagt vægt på TK99 standarden, mens der i det følgende afsnit vil blive lagt vægt på TOP10DK. Anvendelse Det tekniske kort var oprindeligt kommunernes kortværk, til registrering af teknik i kommunen, men med tiden er der dog kommet flere anvendelsesområder til. Disse kan f.eks. være projektering af motorvej, GIS og planlægning. Det er kommunerne, der har ansvaret for at ajourføre kortværket, men denne ajourføring bliver dog tit udført af private kortlægningsfirmaer. Datagrundlaget for udarbejdelsen og ajourføringen af de tekniske kort fremkommer hyppigst gennem fotogrammetri, men der kan dog ske yderligere ajourføring ved terrestrisk dataindsamling. Ifølge TK99 specifikationerne er der tre standarder for tekniske kort i Danmark: TK1: Teknisk Oversigtskort (åbent land). TK2: Teknisk Kort (landområder). TK3: Detaljeret Teknisk Kort (byområder). Forskellen i de tre kortstandarder ligger primært i, hvilke objekter der bliver registreret, og hvilke nøjagtighedskrav, der er til registreringerne. Dette gør, at projektgruppen vælger at arbejde videre med TK3, da dette er den mest detaljerede. Nøjagtighed Ifølge TK99 specifikationen kan der forventes en nøjagtighed på 10 cm i planen og 15 cm i højden, samt en pilhøjde i planen på 20 cm ved tekniske kort af TK3 standarden. [TK99, 2003, s. 24] Dette vurderes at være tilstrækkeligt for at kunne danne 2½D bygninger. Det er primært bygningspolygonerne, der tænkes anvendt fra det tekniske kort. Bygningspolygonerne skal sikre 2½D bygningens placering i planen. I denne sammenhæng vurderes de 10 cm som tilstrækkeligt. I TK3 er bygninger registreret ved tagudhæng, hvilket også vil være det mest hensigtsmæssige i forhold til at danne 2½D modeller. Derved fås der et mere realistisk billede af, hvordan en bygning ser ud, idet eventuelle kviste ikke kommer til at hænge frit i luften. 16

17 3 Foranalyse Figur 5: Tagmodel kombineret med 2½D sokkelregistrering Figur 6: Tagmodel forlænget lodret nedad til skæring med terrænmodel Ydermere er det nødvendigt at tage fuldstændigheden af kortværket i betragtning. Ifølge TK99 specifikationen kan det forventes at bygninger, i TK3, med adresse har en fuldstændighed på 100 %, samt at øvrige bygninger har en fuldstændighed på 97 %. Dog registreres bygninger mindre end 10 m 2 ikke. [TK99, 2003, s. 17] Problempunkter Der kan opstå problemer idet bygninger, der ligger i sammenhæng med andre bygninger, ikke vil være adskilt fra hinanden, og der vil derfor opstå et problem med at skelne fx carporten med fladt tag fra den resterende bygning med saddeltag. Figur 7: Registrering af bygninger [TK99, 2003, s. 65] I Figur 7 ses forskellen på hvordan en bygning og en carport ser ud i marken, og hvordan den ser ud i registrering i TK3. I TK99 bliver objektet bygning tag defineret således: Omrids af sammenhængende bygningsdele. Sammenhængende bygninger defineres som én BYGNING TAG uafhængig af 17

18 3 Foranalyse tagmateriale, tagkonstruktion, højdeforskelle og lignende. Dette kan samtidig give flere problemer, hvis det tekniske kort skal bruges til højdebestemmelse af bygninger. Der vil opstå problem omkring bygninger, hvor taget ikke ligger i samme kote hele vejen rundt, her kan fx nævnes kirke, hvor bygningen som regel har én højde, mens tårnet har en anden, hvilket giver nogle mærkelige former på bygningen. Desuden vil der være mange tilfælde, hvor en bygning er bygget sammen med en carport, og hvor disse to har forskellige højder. Dette er illustreret i Figur 8. Figur 8: Figuren til venstre illustrerer kirken i virkeligheden, mens figuren til højre viser kirken i registreringen Ydermere kan det nævnes, at hvis en bygning har et stort grundplan i fx to etager, og der over de to etager er bygget yderligere, dog med et mindre areal, vil det kun være koten til taget på de to første etager, der vil blive registreret, mens det ikke kan ses ud fra det tekniske kort hvor høj bygningen i virkeligheden er. Her kan som eksempel nævnes Hotel Hvide Hus i Aalborg, som oven i dette problem også har det førnævnte problem med forskellige koter i det samme punkt. Dette er illustreret i Figur 9. 18

19 3 Foranalyse Figur 9: Figuren til venstre illustrerer Hotel Hvide Hus i Aalborg som det ser ud i virkeligheden, mens figuren til højre viser, hvordan hotellet er registreret i det tekniske kort TOP10DK Dette afsnit vil indeholde en gennemgang af kortværket TOP10DK, hvor der vil blive lagt mest vægt på bygningstemaet i kortværket. Ifølge specifikationen for TOP10DK defineres en bygning som et hus, et fundament i forbindelse med opførelse af hus, eller ruin af bygningsmæssig karakter. Anvendelse Ifølge KMS loven skal KMS varetage den geodætiske opmåling og den topografiske kortlægning af Danmark, dette kortværk hedder TOP10DK (TOPografisk kortværk i målforhold 1: over DanmarK). [TOP10DK, 2001, s. 3] TOP10DK er et digitalt vektor kort, der henvender sig til brugere, der typisk arbejder i et målforhold på mellem 1: og 1: Dermed vil den primære brugergruppe være folk, der arbejder med overordnet planlægning, administration og kartografisk planlægning. Ajourføringen af TOP10DK er planlagt til at skulle foregå hvert 5. år. TOP10DK er inddelt i forskellige objektklasser, hvorunder de forskellige objekter ligger, fx ligger objektet skov under objekt klassen natur, mens objektet bygning ligger under objektklassen bygning. I specifikationen for TOP10DK, er der redegjort for hver objektklasse og for hvert objekt, hvordan og med hvilken nøjagtighed objekterne skal registreres. Det vil i resten af dette afsnit være objektet bygning, der vil blive lagt vægt på, da det er denne, der har relevans for det videre projekt. 19

20 3 Foranalyse Nøjagtighed Punkter i TOP10DK skal registreres med koordinatsæt i tre dimensioner: Easting (x) Northing (y) Kote (z) [TOP10DK, 2001, s. 11] Generelt er nøjagtigheden i TOP10DK opgivet til 1 m, men der kan i de fleste tilfælde konstateres en væsentligt bedre nøjagtighed. Dog skal der tages højde for at bygninger, der skønnes at være retvinklede i marken, skal oprettes matematisk, idet intet punkt må flyttes mere end 0,5 m. [TOP10DK, 2001, s. 62] Bygninger på under 25 m 2 i grundplan skal ikke registreres. Ligesom i TK3 skal sammenbyggede bygninger registreres som én bygning, dog skal etagebyggeri med et højdespring på mere en 5 m registreres som to selvstændige bygninger, med 2D fællesgeometri. [TOP10DK, 2001, s. 62] Problemområder Der er i TOP10DK sket en del generaliseringer, blandt andet skal en bygning registreres med så få punkter som muligt, således at forskellen mellem det faktiske forløb og det registrerede forløb dog intet sted er større end 1 m i plan og kote. Dette princip er illustreret nedenfor i Figur 10. Her ses det, at nogle mindre tilbygninger til bygningen til højre bliver generaliseret væk, da de er mindre end 1 m fra hovedforløbet af muren. Dette bevirker, at det måske ikke er muligt at detektere, at bygningen har denne tilbygning, og at den derfor ikke vil komme med i den endelige 2½ D model. Dette kan dog også ses som en fordel, idet bygningen dermed har en simplere form, og derfor er lettere at udføre beregninger på. 20

21 3 Foranalyse Figur 10: I figuren til venstre sker der ingen generalisering da springet er over 1 m, i figuren til højre sker der en generalisering da springet er under 1 m. [TOP10DK, 2001, s. 63] Ortofoto Dette afsnit vil komme til at omhandle ortofoto, og i hvilke sammenhænge det vil være muligt at anvende til automatisk at kunne modellere bygninger ud fra. Ydermere vil der være en gennemgang af, hvilke anvendelsesområder ortofotoet primært bliver brugt til, og endelig vil nøjagtigheden af ortofotoet blive fastslået. Anvendelse I dag er der flere firmaer, der producerer ortofotos over Danmark, blandt andet COWI med produktet DDO (Danmarks Digitale Ortofoto). Ortofotos fås i forskellige kvaliteter afhængigt af, hvilket område de dækker. DDOLand har en opløsning på 20 cm [DDOLand, 2008], mens DDOBy har en opløsning på 10 cm og dækker 73 størrer byområder i Danmark [DDOBy, 2007], og derudover har COWI lavet DDOSat med en opløsning på 12,5 m, og som kan levere ortofotos i både True color og Infrarød. [DDOSat, 2001] Ortofotos bliver mest brugt som baggrundskort, for at få et bedre overblik over forholdene i marken. Her kan der nævnes Google Earth og Microsoft Virtual Earth. Projektgruppen har forestillet sig, at det kunne være muligt at genkende brudlinjer ud fra ortofotos, det vil sige genfinde tagrygge, tagkanter og lignende. Nøjagtighed Nøjagtigheden i et ortofoto afhænger af den indre og ydre orientering af flyfotoene, samt af den højdemodel, der er blevet anvendt. Problempunkter Et ortofoto fremstilles af to flyfotos. Et fotografi består af en centralprojektion, som skal oprettes til en ortogonal projektion. Dermed vil alle bygninger, der ikke ligger direkte i Nadirpunktet, komme til at se ud, som om de ligger ned, og derfor vil taget være forskudt i forhold til grundplanet, og det vil 21

22 3 Foranalyse ikke være muligt at finde den korrekte placering for tagryggen. Dette ville dog have været muligt, hvis det enkelte billedes orienteringsparametre kunne genfindes. Det er også en mulighed at anvende true ortophotos, som er et ortofoto, hvor også bygninger er oprettet. Dette ville imidlertid på forhånd kræve en 2½D model af det pågældende område i stil med den, som dette projekt handler om at udarbejde Opsamling For at kunne danne en 2½D bymodel, er det nødvendigt at anvende rådata der både fastlægger beliggenheden i planet i forhold til et koordinatsystem, og i højden i forhold til et højdesystem. For at kunne fastlægge noget i højden, er det nødvendigt med pålidelige data. Til dette mener projektgruppen, at laserscanningsdata er det optimale, idet laserscanning leverer en stor mængde data. Præcisionen af de enkelte punkter er ikke god, men da punktmængten er stor, vil nøjagtigheden blive forholdsvis god. Derfor mener projektgruppen at laserscanningsdata er et godt valg. Geodatabiblioteket på Aalborg Universitet råder over rådata fra en laserscanning, som er opmålt i forbindelse med optagelsen af luftbilleder til 5. semesters projekter. Dette område dækker et bælte, der strækker sig fra Gug og nordover til den gamle eternitfabrik i Aalborg. Denne punktsky indeholder flere punkter per m 2 end det færdige produkt (DSM). Derfor vælges det at arbejde videre med denne. Laserscanningsdata er ikke godt til at fastlægge kanter, med mindre der er muligt at modellere to flader og skære dem med hinanden. Derfor vil det ikke være muligt at definere kanten på taget på baggrund af laserscanningsdata alene. Det vil derimod være muligt at finde skæringslinjer mellem de forskellige tagflader. Til afgrænsning af taget vælger projektgruppen at anvende det tekniske kort, da det er det mest nøjagtige samlede vektorkort over byområder i Danmark. Dette skal primært anvendes til at afgrænse den enkelte bygning, men det kan også anvendes til at give en ide om, hvor højt tageudhænget starter. Det kan være en starthjælp i den videre proces, alt efter hvilken modelleringsmetode projektgruppen vælger at arbejde videre med. 3.2 Modelleringsprocessen I dette afsnit vil projektgruppen beskrive fremgangsmåden for modellering af en 2½D bymodel udfra laserscannings rådata samt det tekniske korts bygningstema. Selve processen vil være den samme, lige meget hvilken metode der bliver anvendt, men de enkelte punkter i metoden kan udføres på flere forskellige måder. I det efterfølgende vil denne proces blive beskrevet, og der vil komme forskellige metoder til at løse de enkelte punkter i processen. Til sidst vil der være en opsamling og et forslag til de mest optimale metoder, som projektgruppen sidenhen vil forsøge at udføre. For at lette forståelsen er der blevet udarbejdet et diagram over arbejdsprocessen. Dette kan ses nedenfor. 22

23 3 Foranalyse Afgrænse punkter Segmentering Udjævning Skæringspunkter Der vil i det følgende være en nærmere beskrivelse af, hvad de enkelte elementer i processen indeholder. Her vil der også blive beskrevet, om der findes alternativer til, og en vurdering af, disse Afgrænse punkter Den landsdækkende punktsky indeholder væsentligt flere punkter, end der er brug for til dækning af bygningstagene alene. Det er altså nødvendigt med en udvælgelse af de forholdsvist få punkter, som repræsenterer bygningstage, og det matematisk mest logiske skridt vil være at anvende en polygon for hvert enkelt bygningstag, og undersøge, hvilke af punktskyens punkter, der er indeholdt heri. De ønskede polygoner eksisterer på forhånd i det tekniske kort, og efter import af disse, bliver opgaven at udvælge de punkter, som ligger inden for en polygon. På den måde bliver det kun de relevante punkter, der søges efter tagflader i. Punkterne må for det første udvælges i 2D, så situationen anskues fra oven. Litteraturen angiver forskellige muligheder til løsning af problemet. I en af dem undersøges det, hvor mange gange en tænkt linje gennem punktet skærer polygonen. I undersøgelsen tager en ret linje udgangspunkt i det pågældende punkt og går i en vilkårlig retning. Langs denne linje optælles nu antallet af skæringer med polygonens linjer. I praksis (det vil sige i et koordinatsystem) søges der konstrueret en vandret linje, fordi der så kan konstateres skæring ved blot at opdage, at polygonens hjørnepunkter parvist ligger henholdsvist højere end og lavere end denne linje. Det indses intuitivt, at er det et ulige antal gange, ligger punktet i polygonen; men skærer linjen gennem punktet polygonen et lige antal gange, ligger det uden for (se i øvrigt Figur 11). 23

24 3 Foranalyse Figur 11: Princippet, der ligger til grund for identificering af et punkts placering inden for eller uden for en polygon Segmentering Det næste led i 2½D bymodelgenerering er segmenteringen. Det er denne del af processen, der bestemmer, hvor tagryggen på fx et saddeltag skal ligge, og dermed også hvilke punkter, der hører til hvilken tagflade. Der vil blive beskrevet fire måder at segmentere en punktsky på. To, som gruppen i samarbejde med Jens Juhl har udviklet, mens de to andre er tidligere anvendte metoder. Med udgangspunkt i en digital punktsky, som er afgrænset i det vandrette plan til at dække en bygnings areal, bliver næste skridt at detektere tendenser i punktskyen i retning af rette planer. Følgende gennemgang, bygger i det væsentlige på en rapport af Tarsha Kurdi, samt (hvad afsnittet om TIN angår) på viden fra tidligere semestre. De seneste årtiers arbejde med og forskning i segmentering har bevæget sig i to retninger, nemlig den modelbaserede tilgang på den ene side, og den databaserede på den anden. Ved modelbaseret forstås det, at programmet har et antal primitive modeller indbygget, som kan beskrives ved et sæt parametre. Programmet gennemsøger så sin database over bygningsmodeller, og finder den, som passer bedst over punktskyen. Disse modeller vil så kunne sammensættes på flere forskellige måder, og derved vil det være muligt at fremstille mere komplekse bygningsmodeller. Der vil dog være begrænsninger i denne metode. [Tarsha Kurdi, m.fl., 2007] Begrebet databaseret dækker over metoder hvor det er muligt at udføre modelleringen på baggrund af den indscannede punktsky, uden at have nogen form for viden om, hvordan denne model vil komme til at se ud til sidst. Metoderne gennemsøger punktskyen for at finde de punkter, der med størst sansynlighed danner en flade. Af databaserede metoder vil der blive skitseret fire alternativer, Hough transformation, RANSACalgoritme, TIN modellering og Region Growing. Det er også disse fire metoder, der vil blive beskrevet i de efterfølgende afsnit. 24

25 3 Foranalyse TIN I det følgende afsnit gennemgåes en metode, der anvender TIN til at finde brudlinjer på tagfladerne, og derefter identificerer hvert plan ved hjælp af dets normalvektor. Dette er en metode, som er inspireret af Jens Juhl. Det er en itererende metode, som selvfølgelig vil blive bedre og bedre, jo flere gange den bliver kørt. Dog vil der være en begrænsning i, hvor mange gange den kan køre, da antallet af scannede punkter er en absolut værdi. Metoden tager udgangspunkt i det tekniske kort. Inputfilerne til denne metode består af koordinaterne til bygningshjørnerne, som stammer fra det tekniske kort, samt alle de laserscanningspunkter, som ligger inden for denne polygon. Disse to datasæt skal være fordelt på to inputfiler. Det er en forudsætning for at denne metode kan fungere, at koterne til bygningshjørnerne er nogenlunde korrekte. TIN metoden tager herefter udgangspunkt i en Delaunay triangulation af punkterne fra bygningspolygonen. Dette vil eventuelt give to trekanter, hvis bygningen er firkantet. Inden for hver af disse to trekanter ligger der et antal indscannede punkter, afstanden herfra og op til trekanten udregnes ved hjælp af interpolation og sorteres, således at kun det punkt med den længste afstand medtages. Dette gøres for alle trekanter i trianguleringen. Disse to punkter tilføjes filen med bygningshjørnerne. Dermed vil der til den næste triangulering være seks punkter og dermed seks trekanter. Hele operationen foretages igen. Dette gøres indtil der ikke findes flere punkter inde i den enkelte trekant, der overskrider en på forhånd fastsat grænse, som i de fleste tilfælde vil være to gange. Herefter findes normalen til alle trekanter i TIN et, dermed vil det være muligt at sammenligne normalerne, og dem, som ligger inden for en vis tolerance, kan antages at høre til den samme flade og dermed også laserscanningspunkternerne som ligger indenfor de pågældende trekanter. Der vil ved denne metode opstå problemer omkring gavle eller andre lodrette flader på et tag. Her vil det være nødvendigt at indoperere en funktion, der finder ud af om trekantens normal er vandret eller tilnærmet vandret, og dermed ser bort fra den pågældende trekant. Princippet er illustreret i Figur 12, hvor de virkelige tagflader er markeret med rød, mens de tilnærmede tagflader er markeret med grøn. Som det ses, vil tagfladerne blive bedre og bedre modelleret, jo flere gange iterationen kører, der vil dog være en begrænsning i form af antallet af scannede punkter på tagfladerne. 25

26 3 Foranalyse Figur 12: TIN model af tag Hough transformation Teorien bag denne metode stammer fra 1962, hvor den først præsenteredes med henblik på detektering af rette og krumme linjer i 2D rasterbilleder. For ethvert punkt (X 0,Y 0 ) i billedet, eller i XYrummet, afbildes en linje i parameterrummet ab. Denne linje har ligningen og der vil altså kunne afbildes lige så mange linjer i parameterrummet, som der er punkter i XYrummet. Jo mere punkterne i XY rummet ligger på en ret linje, desto mere vil parameterrummets linjer skære hinanden i et punkt (a,b), som netop er parametrene for den linje i XY rummet, som bedst repræsenterer punkterne Y b x 3 x 1 x 2 X a Figur 13: XY rummet til venstre; parameterrummet ab til højre Parametrene a,b kan derfor aflæses i det højre system, og indsættes i den traditionelle linjens ligning som udtrykker punkternes relation i det venstre system. 26

27 3 Foranalyse Denne grundlæggende teori er siden den første præsentation udviklet, sådan at den fx også tager højde for det forhold, at punkterne eventuelt ligger på en lodret linje. I det tilfælde er X konstant, hvorfor linjerne i parameterrummet alle vil være parallelle, og altså aldrig skære hinanden. Løsningen er, i stedet at beskrive en linje ved dens normal i origo, således at parameterrummet nu bliver normalens vinkel θ til X aksen (inklinationsvinklen), samt normalens længde ρ: cos sin Næste trin i udviklingen er trinet fra 2D til 3D. Dette indebærer først følgende beskrivelse af et plan i rummet Her melder samme problem sig som i 2D: Hvis Z=0, bliver der heller ingen skæring i parameterrummet. Derfor beskrives planet ved hjælp af normalen: cos cos sin sin RANSAC Princippet i RANdom SAmple Consesus algoritmen er det, at der fra en 3D punktsky udvælges tre vilkårlige punkter. Parametrene for det plan, som indeholder de tre punkter, bestemmes dernæst, hvorefter alle de punkter bestemmes, som også ligger på planet, det vil sige inden for en nærmere fastsat grænse for afstanden ind til planet. Idet processen gentages, sammenlignes det opnåede resultat (i antal punkter fra punktskyen, som indeholdes i planet) hver gang med det forrige, således at det hele tiden er det plan som indeholder flest punkter, der gemmes. Resultatet af de gentagne sammenligninger bliver en evolutionær udvikling i det matematiske udtryk for planet, der går mod en stadigt bedre beskrivelse, som iterationerne skrider frem, og de anvendte punkter sorteres ud af den aktive punktsky. Forbedringen af udtrykket for planet indstilles, når antallet af resterende punkter i punktskyen kommer under en given værdi, hvor det vurderes at være meningsløst at fortsætte, det vil sige på grund af, at restpunkterne afviger så stærkt, at de mere bliver at betragte som grove fejl. Sagt med andre ord indstilles iterationerne, når punktskyens bedste plan er fundet. Metoden fremgår af Figur 14, som viser to iterationer: I den første genereres et plan gengivet med rød farve, som inkluderer ét ekstra punkt ud over de tre definerende punkter. I den næste genereres et nyt plan ud fra tre andre vilkårlige punkter. Det nye plan er gengivet i grøn og viser sig at være et bedre bud, idet det ender med at repræsentere flere af punktskyens punkter. Dermed er progressionen i processen skitseret. 27

28 3 Foranalyse Figur 14: To iterationer. I hver iteration udvælges tre punkter tilfældigt, planet bestemmes, og til sidst opgøres det, hvor mange emner fra punktskyen, der er med i planen. Det grønne plan udgør et bedre bud end det røde. Der findes to måder at forbedre RANSAC på for at opnå bedre bestemmelse af tagflader. Enten kan datakvaliteten forbedres, hvilket indebærer dannelsen af en ny punktsky med blandt andet ensartet tæthed, eller også kan RANSAC algoritmen optimeres i forhold til præcis genkendelsen af en tagflade. Det indebærer indbyggelsen af et kriterium vedrørende det mindste antal punkter, der sandsynligt forventes at skulle til for at udgøre en tagflade. På den måde undgås opkomsten af et falskt plan, som stjæler få punkter på tværs af forskellige tagflader. Den klassiske, dvs. ikke forbedrede RANSAC leverer tagflader for 70% af virkelighedens bygninger i to eksempler med henholdsvis 12 bygninger (7 punkter per m 2 ) og 46 bygninger (1,3 punkter per m 2 ). Specielt når denne forbedres/optimeres, går succesprocenten fra de nævnte 70 til op mod 95% af de behandlede bygninger, og stadig hurtigere end Hough transformationen grundet de færre iterationer. [Tarsha Kurdi, m.fl., 2007] Region growing Metoden handler lige som under RANSAC om at definere et initierende plan, men hvor det under RANSAC var på baggrund af tre helt vilkårlige punkter, begyndes der i denne udgave af region growing med ét punkt, hvortil knyttes de fire nærmeste, hvorpå de fem punkter udjævnes samlet. Den første beskrivelse af et plan vil dermed basere sig på et meget lille område, og dette plan kan ikke forventes at repræsentere den virkelige tagflade. Herefter gåes der ud fra det lille begyndelsesplan, 28

29 3 Foranalyse således at det undersøges, ét punkt ad gangen, hvor meget af punktskyen der også tilhører dette plan (med en vis tolerance). Accepterede punkter gemmes i en matrix for sig. Derefter gentages processen, men med et nyt udgangspunkt (plan defineret af ét punkt plus de fire nærmeste). Alle punktskyens elementer undersøges med hensyn til afstand til planet, og accepterede punkter gemmes i en særskilt matrix, hvis størrelse sammenlignes med størrelsen på den foregående. Den matrix, som har flest punkter, bevares hele tiden med henblik på at anvende det til grund liggende plan som bedste beskrivelse af tagfladen. På den måde fortsætter processen, således at antallet af iterationer svarer til antallet af punkter i punktskyen Udjævning Idet kurserne på landinspektøruddanelsen lægger mest vægt på udjævning ved Mindste Kvadraters Princip (MKP), har projektgruppen valgt at anvende denne metode til udjævning af de segmenterede punkter. Der er to versioner af MKP, som vil blive gennemgået nedenfor. Der vil i beskrivelsen af metoderne blive taget udgangspunkt i estimering af en 2D linje. Mindste Kvadraters Princip (MKP) Som før nævnt vil der, i beskrivelsen af MKP, blive taget udgangspunkt i en linje. Denne skal bestemmes ud fra koordinatpunkter, og da den vil være bestemt med flere end to punkter, vil det være nødvendigt at approksimere. Figur 15: Linje skal estimeres udfra koordinatsæt [Cederholm, 2008] 29

30 3 Foranalyse Ligning for linje:, hvor a og b er ubekendte y koordinat betragtes som observation x koordinat betragtes som konstant Denne udjævningsmodel er karakteriseret ved, at det kun er y koordinaten, der betragtes som observation, mens x koordinaten betragtes som en konstant. Observationen udtrykkes eksplicit som en funktion af de ubekendte. Der indgår derfor kun én observation per observationsligning. Idet det kun er én af koordinaterne, der betragtes som observation, er denne metode ikke god at anvende i forbindelse med laserscanningspunkter, idet alle koordinater til hvert punkt skal betragtes som en observation. I Figur 16 ses, hvordan linjen ville blive bestemt, hvis det var MKP der blev anvendt. Det skal bemærkes, at residualerne kun er i y aksens retning. Figur 16: Residualer til punkter ved MKP [Cederholm, 2008] Generel Mindste Kvadraters Princip (GMKP) Som det antydes i navnet er denne metode en generel metode for udjævning, mens den forrige er en simplificering af denne generelle metode. Der tages her udgangspunkt i den samme linje som i det forrige afsnit: 30

31 3 Foranalyse Denne omskrives sidenhen til implicit form:, hvor a og b er ubekendte x og y er observationer Idet både x og y betragtes som observationer, er det muligt at bestemme linjen bedre. Modellen er ofte ulineær, hvorfor en iterativ løsning er nødvendig. De estimerede ubekendte ( ) er i disse tilfælde en sum af et sæt foreløbige ubekendte ( ) og en tilvækst ( ) til de ubekendte: Observationerne ( er behæftede med tilfældige fejl, hvorfor de ikke opfylder modellen (punkterne ligger ikke på en ret linje), og derfor tildeles observationerne via udjævningen et sæt residualer ( ). Ud fra residualerne kan de korrigerede observationer bestemmes: De korrigerede observationer opfylder nu modellen (de korrigerede x og y koordinater ligger nu alle på samme rette linje). Resultatet ved GMKP kan ses i Figur 17, hvortil det skal bemærkes, at til forskel fra MKP ligger residualerne vinkelret ind på den bestemte linje. I tilfælde af, at der er givet forskellige spredninger på x og y observationerne, vil residualerne komme til at ligge i forhold til disse spredninger. Figur 17: Residualer ved GMKP [Cederholm, 2008] 31

32 3 Foranalyse Skæringspunkter Efter udjævningen er overstået, foreligger de endelige matematiske planer, der beskriver tagfladerne. Der er imidlertid ikke beskrevet nogen begrænsning af planerne. Derfor er næste logiske skridt at skære de fremkomne planer med hinanden, og på den måde erhverve skæringspunkter. Før alle skæringspunkter kan findes, er det nødvendigt først at beskrive bygningens andre planer, nemlig de lodrette sider. Disse planer dannes ud fra to bygningshjørner (Teknisk Kort) samt et tredje punkt, der ligger lodret under et af de to andre i kote nul. Parvist er sådanne flader fx de to gavle imidlertid ikke helt parallelle (som følge af tilfældige fejl), og de vil skære hinanden langt borte. Skæres alle planer for en bygning med hinanden, vil de to facader på en bygning fx også skulle skæres med hinanden, idet de, ligesom gavlene, heller ikke er fuldkomment parallelle. Facade som begreb skal i dette projekts sammenhæng i øvrigt forstås som både forsiden og bagsiden af en bygning, og altså ikke kun forsiden, som ordet ellers lægger op til. Udover at skære hinanden i tagryggen, vil hver enkelt tagflade også skære den modstående facade. Skæringslinjen vil ligge højt over selve bygningen, og, på samme måde som de ovenstående eksempler, udgøre en fejl, der ønskes fjernet (Figur 18). Figur 18: Skæringspunkter. De fire højeste skal fjernes. Vertikal udskillelse Under indtryk af Figur 18 er det mest nærliggende at forsøge at fjerne fejlskæringerne ved hjælp af den høje kote. Punktets horisontale koordinater er sammenfaldende med den rigtige skæring med lavere kote, og det synes oplagt ved hvert sammenfald af horisontalt ensliggende punkter, at borteditere punktet med den højeste kote. 32