Automatisk 3D bymodellering ud fra laserscannede rådata

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Automatisk 3D bymodellering ud fra laserscannede rådata"

Transkript

1 Automatisk 3D bymodellering ud fra laserscannede rådata Landinspektøruddannelsen, Measurement Science, 8. semester, gruppe 4 Aalborg Universitet 2008

2

3 Gruppe 08MS08040 Forord Aalborg Universitet Institut for samfundsudvikling og planlægning Landinspektøruddannelsens 8. semester Fibigerstræde 11, 9220 Aalborg Ø Titel: Tema: Automatisk 3D bymodellering ud fra laserscannede rådata Sensor og Data Integration Synopsis: Denne rapport beskriver processen, der fører til automatisk generering af hustage. Udgangspunktet er en laserscannet højdemodel, idet denne datatype er den mest anvendelige som baggrund for bestemmelse af hustage med henblik på generering af bygningsmodeller. Scanningsdataene kombineres med bygningspolygoner fra teknisk kort i en proces, der i første omgang omfatter afgrænsning af punkter, dernæst segmentering af punktskyen til respektive tagflader efterfulgt af en udjævning, og for det fjerde en bestemmelse af skæringspunkter mellem alle bygningens flader. Processen udtrykkes i et MatLab script, der testes på en rigtig punktsky. Mulighederne for automatiseret udvælgelse af punkter i bygningspolygoner gennemgåes, men holdes i praksis uden for det udviklede script. Den foretrukne metode til segmentering bestemmelse af tagflader er Region Growing, som bygges ind i scriptet, sammen med metoden Generel Mindste Kvadraters Princip under udjævningsdelen. Skæringspunkterne bestemmes ved løsninger af tre ligninger med tre ubekendte, idet algoritmen i MatLab sørger for at udskille fejlagtige skæringspunkter. Test af hele scriptet viser, at flade tage og saddeltage kan modelleres, mens valmede tage ikke kan bestemmes. Periode: Februar 2008 juni 2008 Gruppe: L8MS 04 Kristian Nielsen Martin Steenberg Hansen Vejledere: Jens Juhl Karsten Jensen Oplagstal: 5 Sidetal: 50 Bilag: 3 Afsluttet: 12. juni

4 0 Forord Aalborg University Department of Dovelopment and Planning 8 th semester of the chartered surveyor education Fibigerstræde 11, 9220 Aalborg Ø Title: Theme: Automated 3D city modeling from laser scanned point cloud Sensor and Data Integration Abstract: This paper describes the process of automatic generation of roofs. The project takes its starting point at a laser scanned height model as this data type is the most applicable concerning determination of roofs in the attempt of modeling buildings. The scanning data is combined with building polygons from technical maps in a process that first limits the number of points and, second, segments the point cloud into different planes followed by an adjustment. Finally, the intersection points between all the building s plans are determined. The process is expressed through a MatLab script which is tested on a real point cloud. The possibilities of automated extraction of points inside polygons are described but not included in the developed script. The preferred method for segmentation determination of roof plans is Region Growing, which is a part of the script together with the method of General Least Squares Adjustment. The intersecting points are determined by the solution of three equations in three unknowns, as the MatLab algorithm excretes erroneous intersection points. Testing of the entire script shows that flat roofs and ridged roofs can be modeled but hipped roofs cannot. Period of project: Februar 2008 juni 2008 Group: L8MS 04 Kristian Nielsen Martin Steenberg Hansen Supervisors: Jens Juhl Karsten Jensen Circulation: 5 Number of pages: 50 Number of appended documents: 3 Date of completion: June 12 th,

5 0 Forord Forord Denne rapport er udarbejdet på landinspektøruddannelsens 2. semester i M.Sc. i Measurement Science på Institut for Samfundsudvikling og Planlægning, Aalborg Universitet. Det overordnede tema for semesterprojektet er Sensor and data integration, og denne rapport omhandler specifikt dataintegration mellem laserscannede data og et teknisk korts fotogrammetriske data. Dette projekt er udarbejdet og fremstillet i perioden 4. februar 2008 til 12. juni Kildehenvisninger er angivet efter Harvardmetoden, dvs. med forfatterens efternavn, årstal for udgivelse, samt evt. sidetal, f.eks. [Jensen 2003, s. x]. Figurerne i rapporten; herunder illustrationer, billeder og kort angives på formen Figur x, hvor x er det fortløbende. Figurtekst står umiddelbart efter figurnummeret. Ved henvisning til internetsider angives blot hjemmesidens hovedside den præcise internetkilde er derfor at finde i litteraturlisten. En pdf version af rapporten er uploadet på Den elektroniske og den papirbaserede rapport er identiske. Den vedlagte CD er opdelt i følgende: MatLab scripts, Rådata samt en pdf version af rapporten. Illustrationer til udarbejdelse af forsiden er hentet fra Google Earth og det fremstillede MatLabscript. 5

6 0 Indhold Indhold 1 Indledning Projektopbygning Foranalyse Rådata COWIs højdemodel Luftfotos Teknisk Kort TOP10DK Ortofoto Opsamling Modelleringsprocessen Afgrænse punkter Segmentering Udjævning Skæringspunkter Vurdering af metoder Problemformulering Anvendte data Laserscanning Teknisk kort Opsamling Projektområde Fremgangsmåde Afgrænse punkter Segmentering Udjævning Skæringspunkter Resultater Fladt tag

7 0 Indhold 8.2 Saddeltag Afvalmet tag (helvalm) Saddeltag med carport Opsamling Konklusion Perspektivering Kildefortegnelse Publikationer Websider Bilagsliste

8 1 Indledning 1 Indledning Det klassiske papirkort har sin primære berettigelse som en todimensional virkelighedsgengivelse, men der har i adskillige århundreder før nu været eksperimenteret med at formidle højdeinformationer, enten ved hjælp af farvelægning, højdekurver eller simpelthen gennem påtrykte koter. På den måde får brugeren en fornemmelse af den tredje dimension, men uden at der i kortet etableres en akse på lige fod med planens akser. At der er informationer, der går ud over det planorienterede (2D), og at informationerne eventuelt præsenteres visuelt rumligt (3D), har medført betegnelsen 2½D. Betegnelsen fortæller, at informationerne i den tredje dimension er begrænset i sammenligning med informationerne i planen. Begrænsningen eksemplificeres enklest som på Figur 1, hvor bygninger er gengivet i henholdsvis 2½D og 3D. Den første bygning er i 2½D, mens de to næste er i 3D, med stigende detaljeringsgrad. Ved hjælp af luftbåren landmåling er det kun muligt at indsamle højdeinformationer, der kan beskrive objekter i 2½D, og det er denne tilgang, der i helt overvejende grad ses at være i spil i den professionelle kortlægningsverden. Figur 1: En bygning i 2½D og to i 3D. Så snart tagfladen er beskrevet ovenfra på den første bygning, er der ikke yderligere registreringer nedad langs den tredje akse. Bortset fra skæringen med terrænet, som dog ikke stammer fra opmålingsprocessen, men tilhører et senere trin Med de seneste årtiers kortdigitalisering og databaseintegration er betegnelsen 2½D blevet endnu mere nødvendig at forholde sig til, idet informationsmængden knyttet til plane koordinater som følge af bedre lagringsmuligheder er vokset eksplosivt, og potentielt er uendelig. Regnekraften, der har kunnet anvendes til alle tænkelige sammenkøringer af data, er vokset i samme grad, og den fuldstændige overgang til den rumlige kortverden har derfor måske kun været forsinket af forhindringer på visualiseringsområdet. Fremkomsten af de verdensomspændende, potentielt tredimensionelle, digitale kortprodukter i det nye årtusinde, herunder især Microsoft Virtual Earth og Google Earth har ikke alene overvundet de mest grundlæggende visualiseringsproblemer gennem en dynamisk, interaktiv, perspektivisk projek 8

9 2 Projektopbygning tion af 2½D eller 3D kortet på en 2D skærm, men har samtidig gjort dette nygenerations kortværk til hvermandseje. Overgangen til 2½D/3D udgør et kartografisk kvantespring, hvor kortbrugeren umiddelbart får en visuel oplevelse. Det første, denne vil bekymre sig om i den virtuelle verden, bliver ikke objekters metriske nøjagtighed, men snarere deres genkendelighed, således at kortbrugeren pludselig får mulighed for fx at anerkende en bygning som sit hus. Genkendeligheden afhænger af en korrekt gengivelse af objekternes proportioner, herunder deres interne vinkler. Udgangspunktet med bygningers langt overvejende rektangulære grundformer gør det let at automatisere oprejsningen af hele byer til samlinger af kasseformede objekter (se Figur 2), idet bygningshøjder længe har været integreret i tekniske kortværker. Men hvor mange flader, et tag består af, og hvilken hældning fladerne har, er ikke registreret, og da samtidig fænomenet bygningstage repræsenterer en meget stor diversitet og kompleksitet inden for selv mindre bydele, ligger der her en stor udfordring for automatiseret bygningsgenerering. Figur 2: Simple kasseformede objekter, som det er muligt at generere automatisk alene ud fra Teknisk Kort Dermed bliver det initierende problem i det projektarbejde, der arbejdes med i nærværende rapport Hvordan kan bygningers tagflader bestemmes automatisk ud fra laserscanningsdata? 2 Projektopbygning Dette afsnit skal klarlægge projektrapportens opbygning, for lettere at kunne holde styr på, hvilke afsnit, der leder frem til hvad, og hvilken teori der bliver anvendt i de forskellige afsnit. Dette gøres ved en model, der skal illustrere projektforløbet fra start til slut. På 8. semester skal der arbejdes problemorienteret. Dermed kan projektet opdeles i fire grundelementer: 9

10 2 Projektopbygning Problem Teori Empiri Konklusion Disse fire grundelementer og deres sammenhæng er illustreret i Figur 3 nedenfor. Figuren viser de fire grundelementer i projektforløbet, mens pilene illustrerer, at der er konstant bevægelse mellem elementerne. Figur 3 illustrerer altså, at et projekt er en iterativ proces, hvor den viden der opnås fra teori og empiri medfører, at projektets problem kan ændre form, ligesom det selvfølgelig påvirker den konklusion, der findes. På samme måde vil problemets karakter, og de konklusioner der opnås, påvirke hvilken form for viden, der skal indhentes. Alt i alt påvirker de fire grundelementer hinanden, således at der skal tages hensyn til de andre, når der arbejdes inden for et af begreberne. Problem Teori Empiri Konklusion Figur 3: Projektarbejdets fire grundelementer [Andersen, 1990] I det følgende vil projektets opbygning blive beskrevet. Dette gøres ved hjælp af Figur 4, der viser hvilke afsnit, der udarbejdes i projektet. Figuren viser desuden hvilke teoretiske og empiriske input, der er anvendt til de forskellige afsnit. Desuden vil der til hvert afsnit efterfølgende være en kort beskrivelse, der forklarer hvad afsnittet omhandler. Dette gøres for at give læseren et overblik over projektets opbygning. Teori Projekt Empiri Indledning Studievejledningen Projektopbygning Studievejledningen Videnskabeligt webmateriale Foranalyse Problemformulering Foranalysen Diverse datablade Anvendte data Foranalysen 10

11 2 Projektopbygning Projektområde Foranalysen Fremgangsmåde Foranalysen Resultater Projektrapporten Konklusion Projektrapporten Perspektivering Projektrapporten Figur 4: Projektets opbygning Indledning Studievejledningen beskriver indgående projektforløbet, semestertemaet samt kurserne, og den er dermed udgangspunktet for indledningen, der munder ud i et initierende problem, der ligger inden for semestertemaets rammer. Projektopbygning Kapitlet kortlægger og klargør, hvordan projektet og projektrapporten er opbygget, og hvorvidt det er ny teori eller gruppens empiri, som ligger til grund for arbejdet i den pågældende del af projektet. Foranalyse Hertil benyttes det righoldige forskningsmateriale fra www om emnerne laserscanning og modelgenerering. Materialet fremgår af kildefortegnelsen. Problemformulering På baggrund af foranalysen udarbejdes problemformuleringen, som er det grundlag, resten af projektet tager udgangspunkt i. Anvendte data Her beskrives de datasæt, som foranalysen har fundet det nødvendigt at inddrage. Beskrivelsens indhold er hentet fra de respektive metadata, fx hvad der har været tilgængeligt på www om teknisk kort. Projektområde Afgørelsen af, hvilket område, der bedst egner sig til det aktuelle projektarbejde, baserer sig på foranalysens undersøgelse af, hvor den rette datakombination kan findes. Fremgangsmåde Overskriften dækker også over metoder i arbejdet, og disse er udvalgt gennem foranalysen. 11

12 3 Foranalyse Resultater Her skal arbejdets udkomme ikke alene oplistes, så vidt det er muligt, men også underkastes en kvalitativ vurdering, der eventuelt kan omfatte hele projektet. Konklusion Efter vurderingen og gennemgangen af resultaterne sammenfattes de i konklusionen, som dermed udtrykkes så kortfattet som muligt. Perspektivering I forlængelse af afslutningen af projektarbejdet som sådan, vurderes arbejdets helhed i forhold til videre sammenhænge. I emnemæssig forstand vurderes det, om resultaterne fra tagfladegenerering i det simple tilfælde kan udvides til mere komplicerede tagformer. Men også i tidsmæssig forstand kan der perspektiveres: Hvor langt kan fx automatiseret tagfladegenerering nå i løbet af det næste tiår? 3 Foranalyse For at imødegå det initierende problem, iværksættes en foranalyse af de tekniske discipliner, som er baggrunden for fremkomsten af de datasæt, der indeholder forholdsvist ufortolkede og ubearbejdede oplysninger om bygninger. Først vil foranalysen bestå af en analyse af de forskellige rådata, der kunne tænkes anvendt til løsning af det initierende problem. Dernæst vil den indeholde en analyse af forskellige metoder, der kan anvendes til fremstillingen af bymodellen. Det, projektgruppen stræber efter at fremstille, er en 2½D bymodel. Det vil sige, at der skal findes en algoritme, der automatisk ud fra data, der allerede findes, fremstiller en 2½D model af en vilkårlig bygning. Der er ikke hensigten at modellen skal være nøjagtig på millimeter, og desuden er detaljeringsgraden heller ikke det vigtigste element. Det er derimod vigtigt, at kortbrugeren får oplevelsen af realistiske bygninger, og dermed lægges der stor vægt på genkendelighed. 3.1 Rådata Ovenstående indebærer en analyse af de forskellige datasæt, der kunne tænkes at indgå, for at kunne bestemme 3D koordinater til de punkter, der udspænder bygningens brudlinjer. Projektgruppen har valgt en række datasæt, der vil blive set nærmere på. De datasæt, der vil blive nærmere analyseret, er: 12

13 3 Foranalyse COWIs laserscannede højdemodel Luftfotos Teknisk Kort TOP10DK Ortofoto Datasættene vil blive analyseret i forhold til tre parametre, og hver af disse parametre vil blive analyseret i forhold til temaet automatiseret 2½D bygningsgenerering. Disse tre parametre er: Anvendelse Nøjagtighed Problemområder Der har været arbejdet med automatiseret bygningsmodellering i en årrække, idet udviklingen inden for luftbåren laserscanning (gradvist større punkttæthed) har muliggjort stadigt større integration med fotogrammetrien og kortværkerne. 2½D modelgenerering har tidligere været forsøgt uden brug af laserscanning, nemlig ved fladeudpegning i en trådmodel, konstrueret gennem en kombination af fotogrammetri til bestemmelse af tagets linjer, og teknisk kort til bygningens grundplan. [Blominfo, 2003] Metoden er dog fundamentalt anderledes end fladebestemmelse ud fra laserscanningsdata, idet bestemmelsen her sker med direkte reference til hele fladen (dog gennem udjævning) COWIs højdemodel I de efterfølgende underafsnit behandles målemateriale vedrørende COWIs luftbårne laserscanning med henblik på at vurdere datas anvendelighed ved dannelsen af 2½D bymodeller. Laserscanningsdatas oprindelse vil kort blive beskrevet, og det forsøges vurderet, om produktets svagheder forhindrer den ønskede anvendelse. Anvendelse Et lodskud inden for laserscanning leverer i sin natur en højdebestemmelse, som er en klasse bedre end højdebestemmelse i fotogrammetri, idet den planimetriske bestemmelse af den enkelte måling dog er dårligere. Der, hvor der virkelig er sket en forandring inden for laserscanning, er i en kraftig forøgelse af punkttætheden (i forbindelse med større flyvehøjde), og dette har altså muliggjort produktionen af højdemodeller i en meget høj kvalitet. COWIs landsdækkende højdemodel af 2007 er udarbejdet på baggrund af laserscanningsdata, hvor punktskyen renset for grove fejl i første omgang udgør en DSM (overflademodel), og siden hen en terrænmodel (DTM). Der leveres desuden en såkaldt DEM (Digital Elevation Model), beskrivende bevoksningers og bygningers højde over terrænet. Højdemodellens mest oplagte anvendelsesområ 13

14 3 Foranalyse der er analyse af potentielle stormflodssituationer samt større projekter med statslig infrastruktur. [DDH, 2007] I tilfælde af, at der, i overensstemmelse med dette projekts mål, haves modeller af bygningstagene, kan hele bygninger modelleres ved, at tagenes ydre afgrænsning forlænges lodret ned til skæring med DTM en. Det direkte produkt af en luftbåren laserscanning, nemlig en overflademodel, udgør desuden et meget anvendeligt grundlag for at anvende skråfotos til eksempelvis bygningsgenerering. På den måde overflødiggøres aerotriangulationen og den ydre orientering af luftfotos, det vil sige to betragtelige elementer i klassisk (luft)fotogrammetri. Intensiteten af det reflekterede lasersignal kunne tænkes anvendt i forbindelse med genkendelse af tagflader, idet intensiteten logisk kan formodes at afhænge af hældningen på den reflekterende flade. Det er således ikke så meget en skelnen af en tagflade fra fx en flisebelagt indkørsel, der sigtes til, som det er en skelnen mellem tagflader med forskellige hældninger. Nøjagtighed Højdenøjagtigheden angives ofte til at være i størrelsesordenen 10 cm, idet den dog som følge af den noget dårligere nøjagtighed i planen afhænger af landskabets hældning. Punktdensiteten for luftbåren laserscanning er inden for den allerseneste tid blevet så kraftigt forøget, at et en meter grid er realistisk fra højder større end 1000 meter. COWI garanterer mindst 0,5 punkt per kvadratmeter ved en flyvehøjde på godt 1600 meter. [DDH, 2007] Muligheden af, kun at anvende en sensorposition nedbringer indflydelsen fra systematiske fejl i forhold til fotogrammetrien, hvor succes afhænger af kvaliteten af en relativ billedorientering. Laserscanning kan bedre end fotogrammetri afdække skarpe højdeforskelle ved bygninger, fordi målemetoden er mere lodret i flyveretningen, hvorved bygningsgavle ikke skjuler jordoverfladen tæt på bygningen. Scanning kan også gennemføres trods vegetation, idet der næsten altid vil være enkelte linjer med frit sigte ned gennem trækronerne, dvs. mellem løv eller grene. Endvidere findes der såkaldte multipulse systems, der eksempelvis kan registrere første og sidste ekko fra det samme oprindelige signal der altså delvist gennemtrænger løvet og derved angive både træernes overflade samt selve jordoverfladen. [Maas, 2001] Laserstråler kan også gennemtrænge vand ved brug af kortere bølgelængde end sædvanligt, [Wikipedia] således at der erfaringsmæssigt kan måles vanddybder på ned til tre gange vandets sigtbarhed. Endelig fungerer laserscanning uafhængigt af direkte dagslys, hvorfor der i princippet kan scannes når som helst på døgnet. 14

15 3 Foranalyse Problempunkter Fortolkning af laserscanningsdata giver ikke umiddelbart mulighed for identifikation af objekter, som de visuelt orienterede luftfotos. Hvis dette ønskes, skal der arbejdes med brudlinjer, altså i første omgang en registrering af linjer, på tværs af hvilke der sker et drastisk spring i højde Luftfotos I dette afsnit ses der isoleret på fotogrammetri for at afdække metodens fordele og ulemper på det overordnede plan, men også specifikt i forhold til projektets initierende problem. Anvendelse Måling i luftfotografier har i mange årtier været den dominerende metode inden for kortlægning, og er det således også i de kortværker, som gennemgåes senere. Når der anvendes to billeder (måles i stereo) er det i princippet muligt at få den tredje dimension, dybden, med, og eventuelt bestemme en højde for enhver pixel. Det er også muligt at identificere objekter i billedet, og begge dele kan fx ske samtidigt i en stereoplotter, og til en vis grad automatisk i digitale applikationer. [Christensen, m.fl., 2003] Der kan også ud fra sammenhørende billeder automatisk dannes en overflademodel, idet der dog er store vanskeligheder forbundet med den automatiserede generering af bygninger og andre markante objekter, der er kendetegnet ved at være omgivet af brudlinjer. I praksis er disse stadig nødt til at blive minutiøst udpeget manuelt og visuelt af operatører. Nøjagtighed Der er med fotogrammetri et stort potentiale for geometrisk nøjagtighed, men i praksis gåes der på kompromis hermed for at opnå en mere komplet dækning hurtigere: Jo større flyvehøjde, jo mindre geometrisk nøjagtighed, men til gengæld dækkes der mere land. I praksis har udviklingen frembragt så små pixelstørrelser i sensorerne, at de på jorden svarer til fem ti centimeter i de endelige produkter. Nøjagtigheden i planen er her ca. to centimeter, og i højden ca. ti centimeter. Problempunkter Udover fotogrammetriens krav om to sammenhørende billeder til samtlige områder, er der også høje krav til hvert enkelt billedes atmosfæriske og lysmæssige forhold. Men selv når dette generelt er opfyldt, vil fx jorden ved gavlen af en bygning ofte kunne henligge i skygge, hvilket kan være til gene for den automatiske fastlæggelse af taghøjden, såvel som skyggeområder generelt kan være til gene for objektudpegning i et billede Teknisk Kort Dette afsnit vil komme til at omhandle det tekniske kort, og i hvilke sammenhænge det vil være muligt at anvende til automatisk at kunne modellere bygninger ud fra. Ydermere vil der være en gen 15

16 3 Foranalyse nemgang af, hvilke anvendelsesområder kortværket primært bliver brugt til, og desuden vil nøjagtigheden af kortværket blive fastslået. I dag findes der to forskellige tekniske kortværker i Danmark med to forskellige specifikationer. Der er TK99 og FOT, hvor TK99 er de gamle kortværker, mens FOT står for de nye kortværker. Det vil sige at FOT (Fælles Objekt Typer) har til hensigt at skabe en højere grad af entydighed i kommunikationen mellem offentlige myndigheder, samt i kommunikationen mellem det offentlige og virksomheder og borgerne. [FOT, 2007] Det skal dog tilføjes, at de data, der bliver brugt som grundlag for etableringen af FOT, er TK99 og TOP10DK. [FOT, 2006, s. 10] Derfor vil der i dette afsnit blive lagt vægt på TK99 standarden, mens der i det følgende afsnit vil blive lagt vægt på TOP10DK. Anvendelse Det tekniske kort var oprindeligt kommunernes kortværk, til registrering af teknik i kommunen, men med tiden er der dog kommet flere anvendelsesområder til. Disse kan f.eks. være projektering af motorvej, GIS og planlægning. Det er kommunerne, der har ansvaret for at ajourføre kortværket, men denne ajourføring bliver dog tit udført af private kortlægningsfirmaer. Datagrundlaget for udarbejdelsen og ajourføringen af de tekniske kort fremkommer hyppigst gennem fotogrammetri, men der kan dog ske yderligere ajourføring ved terrestrisk dataindsamling. Ifølge TK99 specifikationerne er der tre standarder for tekniske kort i Danmark: TK1: Teknisk Oversigtskort (åbent land). TK2: Teknisk Kort (landområder). TK3: Detaljeret Teknisk Kort (byområder). Forskellen i de tre kortstandarder ligger primært i, hvilke objekter der bliver registreret, og hvilke nøjagtighedskrav, der er til registreringerne. Dette gør, at projektgruppen vælger at arbejde videre med TK3, da dette er den mest detaljerede. Nøjagtighed Ifølge TK99 specifikationen kan der forventes en nøjagtighed på 10 cm i planen og 15 cm i højden, samt en pilhøjde i planen på 20 cm ved tekniske kort af TK3 standarden. [TK99, 2003, s. 24] Dette vurderes at være tilstrækkeligt for at kunne danne 2½D bygninger. Det er primært bygningspolygonerne, der tænkes anvendt fra det tekniske kort. Bygningspolygonerne skal sikre 2½D bygningens placering i planen. I denne sammenhæng vurderes de 10 cm som tilstrækkeligt. I TK3 er bygninger registreret ved tagudhæng, hvilket også vil være det mest hensigtsmæssige i forhold til at danne 2½D modeller. Derved fås der et mere realistisk billede af, hvordan en bygning ser ud, idet eventuelle kviste ikke kommer til at hænge frit i luften. 16

17 3 Foranalyse Figur 5: Tagmodel kombineret med 2½D sokkelregistrering Figur 6: Tagmodel forlænget lodret nedad til skæring med terrænmodel Ydermere er det nødvendigt at tage fuldstændigheden af kortværket i betragtning. Ifølge TK99 specifikationen kan det forventes at bygninger, i TK3, med adresse har en fuldstændighed på 100 %, samt at øvrige bygninger har en fuldstændighed på 97 %. Dog registreres bygninger mindre end 10 m 2 ikke. [TK99, 2003, s. 17] Problempunkter Der kan opstå problemer idet bygninger, der ligger i sammenhæng med andre bygninger, ikke vil være adskilt fra hinanden, og der vil derfor opstå et problem med at skelne fx carporten med fladt tag fra den resterende bygning med saddeltag. Figur 7: Registrering af bygninger [TK99, 2003, s. 65] I Figur 7 ses forskellen på hvordan en bygning og en carport ser ud i marken, og hvordan den ser ud i registrering i TK3. I TK99 bliver objektet bygning tag defineret således: Omrids af sammenhængende bygningsdele. Sammenhængende bygninger defineres som én BYGNING TAG uafhængig af 17

18 3 Foranalyse tagmateriale, tagkonstruktion, højdeforskelle og lignende. Dette kan samtidig give flere problemer, hvis det tekniske kort skal bruges til højdebestemmelse af bygninger. Der vil opstå problem omkring bygninger, hvor taget ikke ligger i samme kote hele vejen rundt, her kan fx nævnes kirke, hvor bygningen som regel har én højde, mens tårnet har en anden, hvilket giver nogle mærkelige former på bygningen. Desuden vil der være mange tilfælde, hvor en bygning er bygget sammen med en carport, og hvor disse to har forskellige højder. Dette er illustreret i Figur 8. Figur 8: Figuren til venstre illustrerer kirken i virkeligheden, mens figuren til højre viser kirken i registreringen Ydermere kan det nævnes, at hvis en bygning har et stort grundplan i fx to etager, og der over de to etager er bygget yderligere, dog med et mindre areal, vil det kun være koten til taget på de to første etager, der vil blive registreret, mens det ikke kan ses ud fra det tekniske kort hvor høj bygningen i virkeligheden er. Her kan som eksempel nævnes Hotel Hvide Hus i Aalborg, som oven i dette problem også har det førnævnte problem med forskellige koter i det samme punkt. Dette er illustreret i Figur 9. 18

19 3 Foranalyse Figur 9: Figuren til venstre illustrerer Hotel Hvide Hus i Aalborg som det ser ud i virkeligheden, mens figuren til højre viser, hvordan hotellet er registreret i det tekniske kort TOP10DK Dette afsnit vil indeholde en gennemgang af kortværket TOP10DK, hvor der vil blive lagt mest vægt på bygningstemaet i kortværket. Ifølge specifikationen for TOP10DK defineres en bygning som et hus, et fundament i forbindelse med opførelse af hus, eller ruin af bygningsmæssig karakter. Anvendelse Ifølge KMS loven skal KMS varetage den geodætiske opmåling og den topografiske kortlægning af Danmark, dette kortværk hedder TOP10DK (TOPografisk kortværk i målforhold 1: over DanmarK). [TOP10DK, 2001, s. 3] TOP10DK er et digitalt vektor kort, der henvender sig til brugere, der typisk arbejder i et målforhold på mellem 1: og 1: Dermed vil den primære brugergruppe være folk, der arbejder med overordnet planlægning, administration og kartografisk planlægning. Ajourføringen af TOP10DK er planlagt til at skulle foregå hvert 5. år. TOP10DK er inddelt i forskellige objektklasser, hvorunder de forskellige objekter ligger, fx ligger objektet skov under objekt klassen natur, mens objektet bygning ligger under objektklassen bygning. I specifikationen for TOP10DK, er der redegjort for hver objektklasse og for hvert objekt, hvordan og med hvilken nøjagtighed objekterne skal registreres. Det vil i resten af dette afsnit være objektet bygning, der vil blive lagt vægt på, da det er denne, der har relevans for det videre projekt. 19

20 3 Foranalyse Nøjagtighed Punkter i TOP10DK skal registreres med koordinatsæt i tre dimensioner: Easting (x) Northing (y) Kote (z) [TOP10DK, 2001, s. 11] Generelt er nøjagtigheden i TOP10DK opgivet til 1 m, men der kan i de fleste tilfælde konstateres en væsentligt bedre nøjagtighed. Dog skal der tages højde for at bygninger, der skønnes at være retvinklede i marken, skal oprettes matematisk, idet intet punkt må flyttes mere end 0,5 m. [TOP10DK, 2001, s. 62] Bygninger på under 25 m 2 i grundplan skal ikke registreres. Ligesom i TK3 skal sammenbyggede bygninger registreres som én bygning, dog skal etagebyggeri med et højdespring på mere en 5 m registreres som to selvstændige bygninger, med 2D fællesgeometri. [TOP10DK, 2001, s. 62] Problemområder Der er i TOP10DK sket en del generaliseringer, blandt andet skal en bygning registreres med så få punkter som muligt, således at forskellen mellem det faktiske forløb og det registrerede forløb dog intet sted er større end 1 m i plan og kote. Dette princip er illustreret nedenfor i Figur 10. Her ses det, at nogle mindre tilbygninger til bygningen til højre bliver generaliseret væk, da de er mindre end 1 m fra hovedforløbet af muren. Dette bevirker, at det måske ikke er muligt at detektere, at bygningen har denne tilbygning, og at den derfor ikke vil komme med i den endelige 2½ D model. Dette kan dog også ses som en fordel, idet bygningen dermed har en simplere form, og derfor er lettere at udføre beregninger på. 20

21 3 Foranalyse Figur 10: I figuren til venstre sker der ingen generalisering da springet er over 1 m, i figuren til højre sker der en generalisering da springet er under 1 m. [TOP10DK, 2001, s. 63] Ortofoto Dette afsnit vil komme til at omhandle ortofoto, og i hvilke sammenhænge det vil være muligt at anvende til automatisk at kunne modellere bygninger ud fra. Ydermere vil der være en gennemgang af, hvilke anvendelsesområder ortofotoet primært bliver brugt til, og endelig vil nøjagtigheden af ortofotoet blive fastslået. Anvendelse I dag er der flere firmaer, der producerer ortofotos over Danmark, blandt andet COWI med produktet DDO (Danmarks Digitale Ortofoto). Ortofotos fås i forskellige kvaliteter afhængigt af, hvilket område de dækker. DDOLand har en opløsning på 20 cm [DDOLand, 2008], mens DDOBy har en opløsning på 10 cm og dækker 73 størrer byområder i Danmark [DDOBy, 2007], og derudover har COWI lavet DDOSat med en opløsning på 12,5 m, og som kan levere ortofotos i både True color og Infrarød. [DDOSat, 2001] Ortofotos bliver mest brugt som baggrundskort, for at få et bedre overblik over forholdene i marken. Her kan der nævnes Google Earth og Microsoft Virtual Earth. Projektgruppen har forestillet sig, at det kunne være muligt at genkende brudlinjer ud fra ortofotos, det vil sige genfinde tagrygge, tagkanter og lignende. Nøjagtighed Nøjagtigheden i et ortofoto afhænger af den indre og ydre orientering af flyfotoene, samt af den højdemodel, der er blevet anvendt. Problempunkter Et ortofoto fremstilles af to flyfotos. Et fotografi består af en centralprojektion, som skal oprettes til en ortogonal projektion. Dermed vil alle bygninger, der ikke ligger direkte i Nadirpunktet, komme til at se ud, som om de ligger ned, og derfor vil taget være forskudt i forhold til grundplanet, og det vil 21

22 3 Foranalyse ikke være muligt at finde den korrekte placering for tagryggen. Dette ville dog have været muligt, hvis det enkelte billedes orienteringsparametre kunne genfindes. Det er også en mulighed at anvende true ortophotos, som er et ortofoto, hvor også bygninger er oprettet. Dette ville imidlertid på forhånd kræve en 2½D model af det pågældende område i stil med den, som dette projekt handler om at udarbejde Opsamling For at kunne danne en 2½D bymodel, er det nødvendigt at anvende rådata der både fastlægger beliggenheden i planet i forhold til et koordinatsystem, og i højden i forhold til et højdesystem. For at kunne fastlægge noget i højden, er det nødvendigt med pålidelige data. Til dette mener projektgruppen, at laserscanningsdata er det optimale, idet laserscanning leverer en stor mængde data. Præcisionen af de enkelte punkter er ikke god, men da punktmængten er stor, vil nøjagtigheden blive forholdsvis god. Derfor mener projektgruppen at laserscanningsdata er et godt valg. Geodatabiblioteket på Aalborg Universitet råder over rådata fra en laserscanning, som er opmålt i forbindelse med optagelsen af luftbilleder til 5. semesters projekter. Dette område dækker et bælte, der strækker sig fra Gug og nordover til den gamle eternitfabrik i Aalborg. Denne punktsky indeholder flere punkter per m 2 end det færdige produkt (DSM). Derfor vælges det at arbejde videre med denne. Laserscanningsdata er ikke godt til at fastlægge kanter, med mindre der er muligt at modellere to flader og skære dem med hinanden. Derfor vil det ikke være muligt at definere kanten på taget på baggrund af laserscanningsdata alene. Det vil derimod være muligt at finde skæringslinjer mellem de forskellige tagflader. Til afgrænsning af taget vælger projektgruppen at anvende det tekniske kort, da det er det mest nøjagtige samlede vektorkort over byområder i Danmark. Dette skal primært anvendes til at afgrænse den enkelte bygning, men det kan også anvendes til at give en ide om, hvor højt tageudhænget starter. Det kan være en starthjælp i den videre proces, alt efter hvilken modelleringsmetode projektgruppen vælger at arbejde videre med. 3.2 Modelleringsprocessen I dette afsnit vil projektgruppen beskrive fremgangsmåden for modellering af en 2½D bymodel udfra laserscannings rådata samt det tekniske korts bygningstema. Selve processen vil være den samme, lige meget hvilken metode der bliver anvendt, men de enkelte punkter i metoden kan udføres på flere forskellige måder. I det efterfølgende vil denne proces blive beskrevet, og der vil komme forskellige metoder til at løse de enkelte punkter i processen. Til sidst vil der være en opsamling og et forslag til de mest optimale metoder, som projektgruppen sidenhen vil forsøge at udføre. For at lette forståelsen er der blevet udarbejdet et diagram over arbejdsprocessen. Dette kan ses nedenfor. 22

23 3 Foranalyse Afgrænse punkter Segmentering Udjævning Skæringspunkter Der vil i det følgende være en nærmere beskrivelse af, hvad de enkelte elementer i processen indeholder. Her vil der også blive beskrevet, om der findes alternativer til, og en vurdering af, disse Afgrænse punkter Den landsdækkende punktsky indeholder væsentligt flere punkter, end der er brug for til dækning af bygningstagene alene. Det er altså nødvendigt med en udvælgelse af de forholdsvist få punkter, som repræsenterer bygningstage, og det matematisk mest logiske skridt vil være at anvende en polygon for hvert enkelt bygningstag, og undersøge, hvilke af punktskyens punkter, der er indeholdt heri. De ønskede polygoner eksisterer på forhånd i det tekniske kort, og efter import af disse, bliver opgaven at udvælge de punkter, som ligger inden for en polygon. På den måde bliver det kun de relevante punkter, der søges efter tagflader i. Punkterne må for det første udvælges i 2D, så situationen anskues fra oven. Litteraturen angiver forskellige muligheder til løsning af problemet. I en af dem undersøges det, hvor mange gange en tænkt linje gennem punktet skærer polygonen. I undersøgelsen tager en ret linje udgangspunkt i det pågældende punkt og går i en vilkårlig retning. Langs denne linje optælles nu antallet af skæringer med polygonens linjer. I praksis (det vil sige i et koordinatsystem) søges der konstrueret en vandret linje, fordi der så kan konstateres skæring ved blot at opdage, at polygonens hjørnepunkter parvist ligger henholdsvist højere end og lavere end denne linje. Det indses intuitivt, at er det et ulige antal gange, ligger punktet i polygonen; men skærer linjen gennem punktet polygonen et lige antal gange, ligger det uden for (se i øvrigt Figur 11). 23

24 3 Foranalyse Figur 11: Princippet, der ligger til grund for identificering af et punkts placering inden for eller uden for en polygon Segmentering Det næste led i 2½D bymodelgenerering er segmenteringen. Det er denne del af processen, der bestemmer, hvor tagryggen på fx et saddeltag skal ligge, og dermed også hvilke punkter, der hører til hvilken tagflade. Der vil blive beskrevet fire måder at segmentere en punktsky på. To, som gruppen i samarbejde med Jens Juhl har udviklet, mens de to andre er tidligere anvendte metoder. Med udgangspunkt i en digital punktsky, som er afgrænset i det vandrette plan til at dække en bygnings areal, bliver næste skridt at detektere tendenser i punktskyen i retning af rette planer. Følgende gennemgang, bygger i det væsentlige på en rapport af Tarsha Kurdi, samt (hvad afsnittet om TIN angår) på viden fra tidligere semestre. De seneste årtiers arbejde med og forskning i segmentering har bevæget sig i to retninger, nemlig den modelbaserede tilgang på den ene side, og den databaserede på den anden. Ved modelbaseret forstås det, at programmet har et antal primitive modeller indbygget, som kan beskrives ved et sæt parametre. Programmet gennemsøger så sin database over bygningsmodeller, og finder den, som passer bedst over punktskyen. Disse modeller vil så kunne sammensættes på flere forskellige måder, og derved vil det være muligt at fremstille mere komplekse bygningsmodeller. Der vil dog være begrænsninger i denne metode. [Tarsha Kurdi, m.fl., 2007] Begrebet databaseret dækker over metoder hvor det er muligt at udføre modelleringen på baggrund af den indscannede punktsky, uden at have nogen form for viden om, hvordan denne model vil komme til at se ud til sidst. Metoderne gennemsøger punktskyen for at finde de punkter, der med størst sansynlighed danner en flade. Af databaserede metoder vil der blive skitseret fire alternativer, Hough transformation, RANSACalgoritme, TIN modellering og Region Growing. Det er også disse fire metoder, der vil blive beskrevet i de efterfølgende afsnit. 24

25 3 Foranalyse TIN I det følgende afsnit gennemgåes en metode, der anvender TIN til at finde brudlinjer på tagfladerne, og derefter identificerer hvert plan ved hjælp af dets normalvektor. Dette er en metode, som er inspireret af Jens Juhl. Det er en itererende metode, som selvfølgelig vil blive bedre og bedre, jo flere gange den bliver kørt. Dog vil der være en begrænsning i, hvor mange gange den kan køre, da antallet af scannede punkter er en absolut værdi. Metoden tager udgangspunkt i det tekniske kort. Inputfilerne til denne metode består af koordinaterne til bygningshjørnerne, som stammer fra det tekniske kort, samt alle de laserscanningspunkter, som ligger inden for denne polygon. Disse to datasæt skal være fordelt på to inputfiler. Det er en forudsætning for at denne metode kan fungere, at koterne til bygningshjørnerne er nogenlunde korrekte. TIN metoden tager herefter udgangspunkt i en Delaunay triangulation af punkterne fra bygningspolygonen. Dette vil eventuelt give to trekanter, hvis bygningen er firkantet. Inden for hver af disse to trekanter ligger der et antal indscannede punkter, afstanden herfra og op til trekanten udregnes ved hjælp af interpolation og sorteres, således at kun det punkt med den længste afstand medtages. Dette gøres for alle trekanter i trianguleringen. Disse to punkter tilføjes filen med bygningshjørnerne. Dermed vil der til den næste triangulering være seks punkter og dermed seks trekanter. Hele operationen foretages igen. Dette gøres indtil der ikke findes flere punkter inde i den enkelte trekant, der overskrider en på forhånd fastsat grænse, som i de fleste tilfælde vil være to gange. Herefter findes normalen til alle trekanter i TIN et, dermed vil det være muligt at sammenligne normalerne, og dem, som ligger inden for en vis tolerance, kan antages at høre til den samme flade og dermed også laserscanningspunkternerne som ligger indenfor de pågældende trekanter. Der vil ved denne metode opstå problemer omkring gavle eller andre lodrette flader på et tag. Her vil det være nødvendigt at indoperere en funktion, der finder ud af om trekantens normal er vandret eller tilnærmet vandret, og dermed ser bort fra den pågældende trekant. Princippet er illustreret i Figur 12, hvor de virkelige tagflader er markeret med rød, mens de tilnærmede tagflader er markeret med grøn. Som det ses, vil tagfladerne blive bedre og bedre modelleret, jo flere gange iterationen kører, der vil dog være en begrænsning i form af antallet af scannede punkter på tagfladerne. 25

26 3 Foranalyse Figur 12: TIN model af tag Hough transformation Teorien bag denne metode stammer fra 1962, hvor den først præsenteredes med henblik på detektering af rette og krumme linjer i 2D rasterbilleder. For ethvert punkt (X 0,Y 0 ) i billedet, eller i XYrummet, afbildes en linje i parameterrummet ab. Denne linje har ligningen og der vil altså kunne afbildes lige så mange linjer i parameterrummet, som der er punkter i XYrummet. Jo mere punkterne i XY rummet ligger på en ret linje, desto mere vil parameterrummets linjer skære hinanden i et punkt (a,b), som netop er parametrene for den linje i XY rummet, som bedst repræsenterer punkterne Y b x 3 x 1 x 2 X a Figur 13: XY rummet til venstre; parameterrummet ab til højre Parametrene a,b kan derfor aflæses i det højre system, og indsættes i den traditionelle linjens ligning som udtrykker punkternes relation i det venstre system. 26

27 3 Foranalyse Denne grundlæggende teori er siden den første præsentation udviklet, sådan at den fx også tager højde for det forhold, at punkterne eventuelt ligger på en lodret linje. I det tilfælde er X konstant, hvorfor linjerne i parameterrummet alle vil være parallelle, og altså aldrig skære hinanden. Løsningen er, i stedet at beskrive en linje ved dens normal i origo, således at parameterrummet nu bliver normalens vinkel θ til X aksen (inklinationsvinklen), samt normalens længde ρ: cos sin Næste trin i udviklingen er trinet fra 2D til 3D. Dette indebærer først følgende beskrivelse af et plan i rummet Her melder samme problem sig som i 2D: Hvis Z=0, bliver der heller ingen skæring i parameterrummet. Derfor beskrives planet ved hjælp af normalen: cos cos sin sin RANSAC Princippet i RANdom SAmple Consesus algoritmen er det, at der fra en 3D punktsky udvælges tre vilkårlige punkter. Parametrene for det plan, som indeholder de tre punkter, bestemmes dernæst, hvorefter alle de punkter bestemmes, som også ligger på planet, det vil sige inden for en nærmere fastsat grænse for afstanden ind til planet. Idet processen gentages, sammenlignes det opnåede resultat (i antal punkter fra punktskyen, som indeholdes i planet) hver gang med det forrige, således at det hele tiden er det plan som indeholder flest punkter, der gemmes. Resultatet af de gentagne sammenligninger bliver en evolutionær udvikling i det matematiske udtryk for planet, der går mod en stadigt bedre beskrivelse, som iterationerne skrider frem, og de anvendte punkter sorteres ud af den aktive punktsky. Forbedringen af udtrykket for planet indstilles, når antallet af resterende punkter i punktskyen kommer under en given værdi, hvor det vurderes at være meningsløst at fortsætte, det vil sige på grund af, at restpunkterne afviger så stærkt, at de mere bliver at betragte som grove fejl. Sagt med andre ord indstilles iterationerne, når punktskyens bedste plan er fundet. Metoden fremgår af Figur 14, som viser to iterationer: I den første genereres et plan gengivet med rød farve, som inkluderer ét ekstra punkt ud over de tre definerende punkter. I den næste genereres et nyt plan ud fra tre andre vilkårlige punkter. Det nye plan er gengivet i grøn og viser sig at være et bedre bud, idet det ender med at repræsentere flere af punktskyens punkter. Dermed er progressionen i processen skitseret. 27

28 3 Foranalyse Figur 14: To iterationer. I hver iteration udvælges tre punkter tilfældigt, planet bestemmes, og til sidst opgøres det, hvor mange emner fra punktskyen, der er med i planen. Det grønne plan udgør et bedre bud end det røde. Der findes to måder at forbedre RANSAC på for at opnå bedre bestemmelse af tagflader. Enten kan datakvaliteten forbedres, hvilket indebærer dannelsen af en ny punktsky med blandt andet ensartet tæthed, eller også kan RANSAC algoritmen optimeres i forhold til præcis genkendelsen af en tagflade. Det indebærer indbyggelsen af et kriterium vedrørende det mindste antal punkter, der sandsynligt forventes at skulle til for at udgøre en tagflade. På den måde undgås opkomsten af et falskt plan, som stjæler få punkter på tværs af forskellige tagflader. Den klassiske, dvs. ikke forbedrede RANSAC leverer tagflader for 70% af virkelighedens bygninger i to eksempler med henholdsvis 12 bygninger (7 punkter per m 2 ) og 46 bygninger (1,3 punkter per m 2 ). Specielt når denne forbedres/optimeres, går succesprocenten fra de nævnte 70 til op mod 95% af de behandlede bygninger, og stadig hurtigere end Hough transformationen grundet de færre iterationer. [Tarsha Kurdi, m.fl., 2007] Region growing Metoden handler lige som under RANSAC om at definere et initierende plan, men hvor det under RANSAC var på baggrund af tre helt vilkårlige punkter, begyndes der i denne udgave af region growing med ét punkt, hvortil knyttes de fire nærmeste, hvorpå de fem punkter udjævnes samlet. Den første beskrivelse af et plan vil dermed basere sig på et meget lille område, og dette plan kan ikke forventes at repræsentere den virkelige tagflade. Herefter gåes der ud fra det lille begyndelsesplan, 28

29 3 Foranalyse således at det undersøges, ét punkt ad gangen, hvor meget af punktskyen der også tilhører dette plan (med en vis tolerance). Accepterede punkter gemmes i en matrix for sig. Derefter gentages processen, men med et nyt udgangspunkt (plan defineret af ét punkt plus de fire nærmeste). Alle punktskyens elementer undersøges med hensyn til afstand til planet, og accepterede punkter gemmes i en særskilt matrix, hvis størrelse sammenlignes med størrelsen på den foregående. Den matrix, som har flest punkter, bevares hele tiden med henblik på at anvende det til grund liggende plan som bedste beskrivelse af tagfladen. På den måde fortsætter processen, således at antallet af iterationer svarer til antallet af punkter i punktskyen Udjævning Idet kurserne på landinspektøruddanelsen lægger mest vægt på udjævning ved Mindste Kvadraters Princip (MKP), har projektgruppen valgt at anvende denne metode til udjævning af de segmenterede punkter. Der er to versioner af MKP, som vil blive gennemgået nedenfor. Der vil i beskrivelsen af metoderne blive taget udgangspunkt i estimering af en 2D linje. Mindste Kvadraters Princip (MKP) Som før nævnt vil der, i beskrivelsen af MKP, blive taget udgangspunkt i en linje. Denne skal bestemmes ud fra koordinatpunkter, og da den vil være bestemt med flere end to punkter, vil det være nødvendigt at approksimere. Figur 15: Linje skal estimeres udfra koordinatsæt [Cederholm, 2008] 29

30 3 Foranalyse Ligning for linje:, hvor a og b er ubekendte y koordinat betragtes som observation x koordinat betragtes som konstant Denne udjævningsmodel er karakteriseret ved, at det kun er y koordinaten, der betragtes som observation, mens x koordinaten betragtes som en konstant. Observationen udtrykkes eksplicit som en funktion af de ubekendte. Der indgår derfor kun én observation per observationsligning. Idet det kun er én af koordinaterne, der betragtes som observation, er denne metode ikke god at anvende i forbindelse med laserscanningspunkter, idet alle koordinater til hvert punkt skal betragtes som en observation. I Figur 16 ses, hvordan linjen ville blive bestemt, hvis det var MKP der blev anvendt. Det skal bemærkes, at residualerne kun er i y aksens retning. Figur 16: Residualer til punkter ved MKP [Cederholm, 2008] Generel Mindste Kvadraters Princip (GMKP) Som det antydes i navnet er denne metode en generel metode for udjævning, mens den forrige er en simplificering af denne generelle metode. Der tages her udgangspunkt i den samme linje som i det forrige afsnit: 30

31 3 Foranalyse Denne omskrives sidenhen til implicit form:, hvor a og b er ubekendte x og y er observationer Idet både x og y betragtes som observationer, er det muligt at bestemme linjen bedre. Modellen er ofte ulineær, hvorfor en iterativ løsning er nødvendig. De estimerede ubekendte ( ) er i disse tilfælde en sum af et sæt foreløbige ubekendte ( ) og en tilvækst ( ) til de ubekendte: Observationerne ( er behæftede med tilfældige fejl, hvorfor de ikke opfylder modellen (punkterne ligger ikke på en ret linje), og derfor tildeles observationerne via udjævningen et sæt residualer ( ). Ud fra residualerne kan de korrigerede observationer bestemmes: De korrigerede observationer opfylder nu modellen (de korrigerede x og y koordinater ligger nu alle på samme rette linje). Resultatet ved GMKP kan ses i Figur 17, hvortil det skal bemærkes, at til forskel fra MKP ligger residualerne vinkelret ind på den bestemte linje. I tilfælde af, at der er givet forskellige spredninger på x og y observationerne, vil residualerne komme til at ligge i forhold til disse spredninger. Figur 17: Residualer ved GMKP [Cederholm, 2008] 31

32 3 Foranalyse Skæringspunkter Efter udjævningen er overstået, foreligger de endelige matematiske planer, der beskriver tagfladerne. Der er imidlertid ikke beskrevet nogen begrænsning af planerne. Derfor er næste logiske skridt at skære de fremkomne planer med hinanden, og på den måde erhverve skæringspunkter. Før alle skæringspunkter kan findes, er det nødvendigt først at beskrive bygningens andre planer, nemlig de lodrette sider. Disse planer dannes ud fra to bygningshjørner (Teknisk Kort) samt et tredje punkt, der ligger lodret under et af de to andre i kote nul. Parvist er sådanne flader fx de to gavle imidlertid ikke helt parallelle (som følge af tilfældige fejl), og de vil skære hinanden langt borte. Skæres alle planer for en bygning med hinanden, vil de to facader på en bygning fx også skulle skæres med hinanden, idet de, ligesom gavlene, heller ikke er fuldkomment parallelle. Facade som begreb skal i dette projekts sammenhæng i øvrigt forstås som både forsiden og bagsiden af en bygning, og altså ikke kun forsiden, som ordet ellers lægger op til. Udover at skære hinanden i tagryggen, vil hver enkelt tagflade også skære den modstående facade. Skæringslinjen vil ligge højt over selve bygningen, og, på samme måde som de ovenstående eksempler, udgøre en fejl, der ønskes fjernet (Figur 18). Figur 18: Skæringspunkter. De fire højeste skal fjernes. Vertikal udskillelse Under indtryk af Figur 18 er det mest nærliggende at forsøge at fjerne fejlskæringerne ved hjælp af den høje kote. Punktets horisontale koordinater er sammenfaldende med den rigtige skæring med lavere kote, og det synes oplagt ved hvert sammenfald af horisontalt ensliggende punkter, at borteditere punktet med den højeste kote. 32

I dag: Digital projektering -formål. Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data.

I dag: Digital projektering -formål. Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data. I dag: Digital projektering -formål Give jer et indblik i, hvad det betyder at projektere digitalt, og hvad det kræver især med hensyn til data. Dagens emner Hvad er et digitalt kort? Digitale grunddata

Læs mere

Danmarks byer fra nye vinkler

Danmarks byer fra nye vinkler Danmarks byer fra nye vinkler DDSby Danmarks Digitale Skråfoto Danmarks byer fra nye vinkler Behovet for visuel dokumentation er stigende. Detaljeret dokumentation af både land- og byområder er efterspurgt

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

Visualisering af punktskyer og ortofoto i Descartes. Morten M. Sørensen Niras BlomInfo (mmks@niras.dk)

Visualisering af punktskyer og ortofoto i Descartes. Morten M. Sørensen Niras BlomInfo (mmks@niras.dk) Visualisering af punktskyer og ortofoto i Descartes Morten M. Sørensen Niras BlomInfo (mmks@niras.dk) bentleyuser.dk Årsmøde 2012 Personlig baggrund Morten Sørensen (1974), mmks@niras.dk Uddannelse: Civilingeniør

Læs mere

COWI når nye højder...

COWI når nye højder... COWI når nye højder... DDH Danmarks Digitale Højdemodel dokumenterer højderne i Danmark Introduktion COWI har i 2006 opmålt Danmark med den nyeste laserscanningsteknologi og skabt en samlet landsdækkende

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Undersøgelser af trekanter

Undersøgelser af trekanter En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Droner (UAS) - er det, det nye sort? Af Morten Sørensen mmks@niras.dk Projektleder Informatik, NIRAS A/S

Droner (UAS) - er det, det nye sort? Af Morten Sørensen mmks@niras.dk Projektleder Informatik, NIRAS A/S Droner (UAS) - er det, det nye sort? Af Morten Sørensen mmks@niras.dk Projektleder Informatik, NIRAS A/S Mange forskellige typer droner (Unmanned Aircraft Systems (UAS)) Flere typer (bl.a.): Kategori 1A

Læs mere

Projekt 3.7. Pythagoras sætning

Projekt 3.7. Pythagoras sætning Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...

Læs mere

Deformationsanalyse med laserscanning

Deformationsanalyse med laserscanning Deformationsanalyse med laserscanning Landinspektøruddannelsen, Measurement Science 7. semester, Gruppe 1 Aalborg Universitet 2007-2008 0 Forord Aalborg Universitet Institut for Samfundsudvikling og Planlægning

Læs mere

Danmarks Højdemodel 2007, DHM-2007/Terræn

Danmarks Højdemodel 2007, DHM-2007/Terræn P R O D U K T S P E C I F I K A T I O N Danmarks Højdemodel 2007, DHM-2007/Terræn Data version 1.0 - December 2009 Oktober 2014 Rentemestervej 8, 2400 København NV, Tlf.: 7254 5000, E-mail: kms@kms.dk

Læs mere

Danmarks Højdemodel, DHM/Punktsky

Danmarks Højdemodel, DHM/Punktsky P R O D U K T S P E C I F I K A T I O N Danmarks Højdemodel, DHM/Punktsky Data version 2.0 - Januar 2015 Januar 2015 Rentemestervej 8, 2400 København NV, Tlf.: 7254 5000, E-mail: gst@gst.dk Data version

Læs mere

Laserscanning - nøjagtighed ved sammenknytning

Laserscanning - nøjagtighed ved sammenknytning Laserscanning - nøjagtighed ved sammenknytning Landinspektøruddannelsen Afgangsprojekt 2005 Aalborg Universitet Aalborg Universitet Landinspektøruddannelsen 10. semester Titel: Laserscanning nøjagtighed

Læs mere

Geometriske eksperimenter

Geometriske eksperimenter I kapitlet arbejder eleverne med nogle af de egenskaber, der er knyttet til centrale geometriske figurer og begreber (se listen her under). Set fra en emneorienteret synsvinkel handler kapitlet derfor

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matlab script - placering af kran

Matlab script - placering af kran Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Kombinere Trekantmodel og Kvadratnetsmodel med grænselinjer

Kombinere Trekantmodel og Kvadratnetsmodel med grænselinjer Kombinere Trekantmodel og Kvadratnetsmodel med grænselinjer Dette er en beskrivelse af opbygningen af en overflademodel til visualisering, hvor Trekantmodel og Kvadratnetsmodel kombineres. Den projekterede

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x i [,] drejes 36 om x-aksen. Vis,

Læs mere

Priser pr. kort - orthofoto 2012, kurver 62,5 cm, FOT lineært og DEM i form af xyz data

Priser pr. kort - orthofoto 2012, kurver 62,5 cm, FOT lineært og DEM i form af xyz data Bestilling og info om DET DIGITALE GRUNDKORT Januar 2013 Bestilling af det digitale grundkort Bestilling sker via klubbens kortansvarlige på mail direkte til kortsupervisor Flemming Nørgaard, flemming@compukort.dk

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 12. april 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Vallensbæk Kommune Vallensbæk Stationstorv 100, 2665 Vallensbæk Strand

Vallensbæk Kommune Vallensbæk Stationstorv 100, 2665 Vallensbæk Strand Vallensbæk Kommune Vallensbæk Stationstorv 100, 2665 Vallensbæk Strand EU-Støjkortlægning 2012 - Vallensbæk Kommune Støjkortlægning af Vallensbæk Kommune 4781rap001, Rev. A, 17.1.2012 Vallensbæk Kommune

Læs mere

3D-LASERSCANNING - FREMTIDENS OPMÅLING

3D-LASERSCANNING - FREMTIDENS OPMÅLING 3D-LASERSCANNING - FREMTIDENS OPMÅLING Velegnet til: Komplet målfast 3D model til brug for projektering As-built dokumentation Opmåling til facade- og bygningsrenovering Opmåling af broer m.m. i trafikerede

Læs mere

Geometri i plan og rum

Geometri i plan og rum INTRO I kapitlet arbejder eleverne med plane og rumlige figurers egenskaber og med deres anvendelse som geometriske modeller. I den forbindelse kommer de bl.a. til at beskæftige sig med beregninger af

Læs mere

Danmarks Højdemodel, DHM/Overflade

Danmarks Højdemodel, DHM/Overflade P R O D U K T S P E C I F I K A T I O N Danmarks Højdemodel, DHM/Overflade Data version 2.0 - Januar 2015 Januar 2015 Rentemestervej 8, 2400 København NV, Tlf.: 7254 5000, E-mail: gst@gst.dk Data version

Læs mere

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne:

Vektorer i 3D. 1. Grundbegreber. 1. Koordinater. Enhedsvektorerne. Vektor OP. De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: Hvis punkt p har koordinaterne: Vektorer i 3D. Grundegreer. Koordinater z k P OP i 0 j x y Enhedsvektorerne De ortogonale enhedsvektorer kaldes for: i, j og k Vektor OP Hvis punkt p har koordinaterne: P ( a a a3 ) Så har vektor OP koordinaterne:

Læs mere

Billeder og tegninger i Writer Indhold

Billeder og tegninger i Writer Indhold Billeder og tegninger i Writer Indhold Indhold...1 Introduktion...2 Indsætte billeder...2 Formater billedet...3 Layout...3 Beskære billedet...4 Størrelse...5 Streger/ramme...6 Skygge...7 Justering af billedet...8

Læs mere

Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber

Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i Begreber 1 Columbus tog fejl! - jorden er flad når vi tegner i MicroStation!!! Geodætiske begreber definition af jorden Jordens overflade Jordens

Læs mere

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.

DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt. Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU

Læs mere

Binært LAS-format Denne indstilling import Laser scan datafiler, i LAS format.

Binært LAS-format Denne indstilling import Laser scan datafiler, i LAS format. Kvadratnetsmodel - Import af Laser Scan Datafiler Funktionen til at oprette kvadratnetsmodeller er nu blevet udvidet og omfatter nu også en funktion til at importere laser scanning datafiler. Metoden bag

Læs mere

Vejledning til Geokoderen.dk 16. JANUAR 2017

Vejledning til Geokoderen.dk 16. JANUAR 2017 Vejledning til Geokoderen.dk 16. JANUAR 2017 Indhold Fremsøgning af ejendom... 2 Hvad betyder farven på bygningspolygonen og på BBR-punktet... 2 Forklaring af lister og BBR-ikoner... 5 Sådan gemmer du

Læs mere

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!

Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt

Læs mere

AAU Landinspektøruddannelsen

AAU Landinspektøruddannelsen AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen

Læs mere

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011

Analytisk Geometri. Frank Nasser. 11. juli 2011 Analytisk Geometri Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Skrevet af stud. geom. Martin Hedegaard, Aalborg Universitet, virksomhedspraktikant

Skrevet af stud. geom. Martin Hedegaard, Aalborg Universitet, virksomhedspraktikant Laserscanning af Boy Skrevet af stud. geom. Martin Hedegaard, Aalborg Universitet, virksomhedspraktikant hos AAKJAER Landinspektører. Kunstværket Boy blev skabt af den australske kunstner Ron Muecks i

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Graph brugermanual til matematik C

Graph brugermanual til matematik C Graph brugermanual til matematik C Forord Efterfølgende er en guide til programmet GRAPH. Programmet kan downloades gratis fra nettet og gemmes på computeren/et usb-stik. Det betyder, det også kan anvendes

Læs mere

STRUER KOMMUNE AUGUST 2007 VEJLEDNING OM PLACERING AF BYGGERI I KUPERET TERRÆN TILKNYTTET LOKALPLAN NR. 283 FOR ET BOLIGOMRÅDE SYD FOR DRØWTEN

STRUER KOMMUNE AUGUST 2007 VEJLEDNING OM PLACERING AF BYGGERI I KUPERET TERRÆN TILKNYTTET LOKALPLAN NR. 283 FOR ET BOLIGOMRÅDE SYD FOR DRØWTEN STRUER KOMMUNE AUGUST 2007 VEJLEDNING OM PLACERING AF BYGGERI I KUPERET TERRÆN TILKNYTTET LOKALPLAN NR. 283 FOR ET BOLIGOMRÅDE SYD FOR DRØWTEN INDHOLD INDHOLD 1 INDLEDNING 5 2 LOKALPLANENS BESTEMMELSER

Læs mere

Lad os prøve GeoGebra.

Lad os prøve GeoGebra. Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

De frie data! alt det du ikke vidste. Af Morten Sørensen, NIRAS BentleyUsers årsmøde 2013

De frie data! alt det du ikke vidste. Af Morten Sørensen, NIRAS BentleyUsers årsmøde 2013 De frie data! alt det du ikke vidste Af Morten Sørensen, NIRAS BentleyUsers årsmøde 2013 Formålet I slutningen af 2012 fik vi en kæmpe gave af regeringen og KL de frigav stort set alle deres grunddata.

Læs mere

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger

Eleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft

Læs mere

KØBENHAVNS UNIVERSITET

KØBENHAVNS UNIVERSITET KØBENHAVNS UNIVERSITET BILAG F IKT-TEKNISK SPECIFIKATION FOR OPMÅLING OG MODELLERING AF EKSISTERENDE BYGNINGER PROJEKT ID: KU_xx_xx_xx_xxxx (se bilag G, pkt. 0.0) PROJEKTNAVN: xxx DATO: xx.xx.xxxx VERSION:

Læs mere

Vejledning til. KORT fra COWI. Version 30-10-2009

Vejledning til. KORT fra COWI. Version 30-10-2009 Vejledning til KORT fra COWI Version 30-10-2009 Indhold 1. Indledning... 3 2. Hvad er KORT fra COWI?... 3 3. Hvordan installeres KORT fra COWI?... 3 4. HJÆLP, jeg kan ikke få KORT fra COWI til at virke

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen

Matematik A. Studentereksamen Matematik A Studentereksamen 2stx101-MAT/A-01062010 Tirsdag den 1. juni 2010 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

3. klasse 6. klasse 9. klasse

3. klasse 6. klasse 9. klasse Børne- og Undervisningsudvalget 2012-13 BUU Alm.del Bilag 326 Offentligt Elevplan 3. klasse 6. klasse 9. klasse Matematiske kompetencer Status tal og algebra sikker i, er usikker i de naturlige tals opbygning

Læs mere

Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger

Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger Om opbygningen af en geometrisk model for mandatfordelinger I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde

Læs mere

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul

Vektorer i planen. Et oplæg Karsten Juul Vektorer i planen Et oplæg 3 4 4 2 2007 Karsten Juul Dette hæfte er tænkt brugt som et oplæg der skal gennemgås før man begynder på en lærebogs fremstilling af emnet vektorer. Formålet med øvelserne er

Læs mere

Danmarks Højdemodel, DHM/Terræn

Danmarks Højdemodel, DHM/Terræn P R O D U K T S P E C I F I K A T I O N Danmarks Højdemodel, DHM/Terræn Data version 2.0 - Januar 2015 Januar 2015 Rentemestervej 8, 2400 København NV, Tlf.: 7254 5000, E-mail: gst@gst.dk Data version

Læs mere

Evaluering af matematik undervisning

Evaluering af matematik undervisning Evaluering af matematik undervisning Udarbejdet af Khaled Zaher, matematiklærer 6-9 klasse og Boushra Chami, matematiklærer 2-5 klasse Matematiske kompetencer. Fællesmål efter 3.klasse indgå i dialog om

Læs mere

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L

RENTES REGNING SIMULATION LANDMÅLING MÅLSCORE I HÅNDBO . K R I S T I A N S E N KUGLE G Y L D E N D A L SIMULATION 4 2 RENTES REGNING F I NMED N H REGNEARK. K R I S T I A N S E N KUGLE 5 LANDMÅLING 3 MÅLSCORE I HÅNDBO G Y L D E N D A L Faglige mål: Anvende simple geometriske modeller og løse simple geometriske

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot

På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Jørgen Erichsen På opdagelse i Mandelbrot-fraktalen En introduktion til programmet Mandelbrot Hvad er en fraktal? Noget forenklet kan man sige, at en fraktal er en geometrisk figur, der udmærker sig ved

Læs mere

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari

Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2. Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Matematik A-niveau 22. maj 2015 Delprøve 2 Løst af Anders Jørgensen og Saeid Jafari Opgave 7 - Analytisk Plangeometri Delopgave a) Vi starter ud med at undersøge afstanden fra punktet P(5,4) til linjen

Læs mere

Afrapportering af FOT-bygningsforsøg. Forsøg med generalisering af TK bygninger til TOP10DK bygninger en intern evaluering i Kort & Matrikelstyrelsen

Afrapportering af FOT-bygningsforsøg. Forsøg med generalisering af TK bygninger til TOP10DK bygninger en intern evaluering i Kort & Matrikelstyrelsen Afrapportering af FOT-bygningsforsøg Forsøg med generalisering af TK bygninger til TOP10DK bygninger en intern evaluering i Kort & Matrikelstyrelsen Produktudviklingskontoret, Kort & Matrikelstyrelsen,

Læs mere

Værktøjskasse til analytisk Geometri

Værktøjskasse til analytisk Geometri Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Perspektiv nr. 3, 2003 3D bymodeller Produktionsmetoder og anvendelsesmuligheder

Perspektiv nr. 3, 2003 3D bymodeller Produktionsmetoder og anvendelsesmuligheder 3D bymodeller Produktionsmetoder og anvendelsesmuligheder Jesper Rye Rasmussen, BlomInfo A/S 3D bymodeller benyttes i stigende omfang indenfor bl.a. byplanlægning, miljøanalyser, telesektoren, bilnavigation,

Læs mere

EA3 eller EA Cube rammeværktøjet fremstilles visuelt som en 3-dimensionel terning:

EA3 eller EA Cube rammeværktøjet fremstilles visuelt som en 3-dimensionel terning: Introduktion til EA3 Mit navn er Marc de Oliveira. Jeg er systemanalytiker og datalog fra Københavns Universitet og denne artikel hører til min artikelserie, Forsimpling (som også er et podcast), hvor

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Droner et fotogrammetrisk alternativ til landmåling

Droner et fotogrammetrisk alternativ til landmåling Droner et fotogrammetrisk alternativ til landmåling Jesper Falk, COWI A/S Sektionsleder for Landmåling 1 Def. af droner / UAV UAV / UAS (unmanned aerial vehicle / Unmanned aircraft systems) Fjernbetjent

Læs mere

Sådan gør du i GeoGebra.

Sådan gør du i GeoGebra. Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)

Læs mere

Mandatfordelinger ved valg

Mandatfordelinger ved valg Mandatfordelinger ved valg I denne note vil vi prøve at beskrive et nyttigt diagram når man skal analysere problemstillinger vedrørende mandatfordelinger. For at holde diagrammet enkelt ser man på den

Læs mere

Gratisprogrammet 27. september 2011

Gratisprogrammet 27. september 2011 Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne

Læs mere

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning Gratis anvendelse - læs betingelser!

Matematik A STX december 2016 vejl. løsning  Gratis anvendelse - læs betingelser! Matematik A STX december 2016 vejl. løsning www.matematikhfsvar.page.tl Gratis anvendelse - læs betingelser! Opgave 1 Lineær funktion. Oplysningerne findes i opgaven. Delprøve 1: Forskrift Opgave 2 Da

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode

GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode GPS stiller meget præcise krav til valg af målemetode 1 Måleteknisk er vi på flere måder i en ny og ændret situation. Det er forhold, som påvirker betydningen af valget af målemetoder. - Der er en stadig

Læs mere

Progression frem mod skriftlig eksamen

Progression frem mod skriftlig eksamen Progression frem mod skriftlig eksamen Ikke alle skal have 12 Eksamensopgavernes funktion i det daglige og til eksamen Progression i sættet progression i den enkelte opgave Hvornår inddrages eksamensopgaver

Læs mere

Bacheloruddannelsen 1. år E15

Bacheloruddannelsen 1. år E15 Bacheloruddannelsen 1. år E15 2 v/jan Fugl 3 Projektionstegning Projek tion -en, -er (lat.pro jectio, til pro jicere-, kaste frem, af pro frem + jacere kaste; jf. Projekt, projektil, projektion) afbildning

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

Introduktion til cosinus, sinus og tangens

Introduktion til cosinus, sinus og tangens Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,

Læs mere

Måling af graffiti i Frederiksberg Kommune

Måling af graffiti i Frederiksberg Kommune Måling af graffiti i Frederiksberg Kommune Delrapport nummer 8 Uge 17-216 Rostra Kommunikation & Research A/S Indhold Baggrund og formål...3 Konklusioner...4 Fordelingen på individuelle ruter...5 Rute

Læs mere

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse.

Matematik A. Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til bedømmelse. HTX Matematik A Fredag den 18. maj 2012 Kl. 09.00-14.00 GL121 - MAA - HTX 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladt. Ved valgopgaver må kun det anførte antal afleveres til

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

Selam Friskole Fagplan for Matematik

Selam Friskole Fagplan for Matematik Selam Friskole Fagplan for Matematik Formål Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt

Læs mere

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion

Matematikken bag Parallel- og centralprojektion Matematikken bag parallel- og centralojektion 1 Matematikken bag Parallel- og centralojektion Dette er et redigeret uddrag af lærebogen: Programmering med Delphi fra 2003 (570 sider). Delphi ophørte med

Læs mere

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk

2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber

Læs mere

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter

GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at

Læs mere

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport)

TREKANTER. Indledning. Typer af trekanter. Side 1 af 7. (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) Side 1 af 7 (Der har været tre kursister om at skrive denne projektrapport) TREKANTER Indledning Vi har valgt at bruge denne projektrapport til at udarbejde en oversigt over det mest grundlæggende materiale

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform a 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål

Læs mere

ANALOG vs DIGITAL. figur 1: fotografi af en blyantsstreg. figur 2: en linje beskrevet som formel er omsat til pixels

ANALOG vs DIGITAL. figur 1: fotografi af en blyantsstreg. figur 2: en linje beskrevet som formel er omsat til pixels ANALOG vs DIGITAL Ordet digitalt bliver brugt ofte indenfor skitsering. Definitionen af digitalt er en elektronisk teknologi der genererer, gemmer, og processerer data ved at benytte to tilstande: positiv

Læs mere

AUTOMATISERET GENERERING AF 3D-BYMODELLER

AUTOMATISERET GENERERING AF 3D-BYMODELLER AUTOMATISERET GENERERING AF 3D-BYMODELLER - OPDELT PÅ ENHEDSNIVEAU Martin Thorhauge Torben Wolf-Jürgensen Rasmus Lindeneg Johansen Afgangsprojekt 2003 Landinspektøruddannelsen Aalborg Universitet Titel

Læs mere

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning

Opgave 1 - Lineær Funktioner. Opgave 2 - Funktioner. Opgave 3 - Tredjegradsligning Sh*maa03 1508 Matematik B->A, STX Anders Jørgensen, delprøve 1 - Uden hjælpemidler Følgende opgaver er regnet i hånden, hvorefter de er skrevet ind på PC. Opgave 1 - Lineær Funktioner Vi ved, at år 2001

Læs mere

TOP10DK Det solide grundlag

TOP10DK Det solide grundlag TOP10DK Det solide grundlag TOP10DK er betegnelsen for Kort & Matrikelstyrelsens landsdækkende topografiske grundkortdatabase. TOP10DK er et fælles reference grundlag og kan anvendes af alle, der har behov

Læs mere

HF: Større Skriftlige Opgave

HF: Større Skriftlige Opgave HF: Større Skriftlige Opgave 1 Indholdsfortegnelse Hvad er Den større skriftlige opgave? Hvilke fag kan der skrives opgave i? Forløb Valg af område Tilmelding Opgavetitel Opgaveugen Aflevering Opgavens

Læs mere

BONUSINFORMATIONER i forbindelse med emnet Billeder og grafik

BONUSINFORMATIONER i forbindelse med emnet Billeder og grafik BONUSINFORMATIONER i forbindelse med emnet Billeder og grafik Dette dokument indeholder yderligere informationer, tips og råd angående: Tabelfunktionen SmartArtfunktionen Billedfunktionen Samt en ekstra

Læs mere

MATEMATIK. Formål for faget

MATEMATIK. Formål for faget MATEMATIK Formål for faget Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Måling af graffiti i Frederiksberg Kommune

Måling af graffiti i Frederiksberg Kommune Måling af graffiti i Frederiksberg Kommune Delrapport nummer 2 Uge 18-2013 Rostra Kommunikation & Research A/S Indhold Baggrund og formål... 4 Konklusioner... 5 Fordelingen på individuelle ruter... 6 Rute

Læs mere

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde

Trigonometri. Store konstruktioner. Måling af højde Trigonometri Ordet trigonometri er sammensat af de to ord trigon og metri, hvor trigon betyder trekant og metri kommer af det græske ord metros, som kan oversættes til måling. Så ordet trigonometri er

Læs mere

3D matriklen i et fremtidsperspektiv

3D matriklen i et fremtidsperspektiv 3D matriklen i et fremtidsperspektiv Lars Bodum Center for 3D GeoInformation Aalborg Universitet Esben Munk Sørensen Land Management Aalborg Universitet Hvad er problemet? Vi diskuterer mange gange løsninger

Læs mere

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De

Læs mere

Scenariet kan benyttes ud fra flere forskellige fokusområder. I udarbejdelsen af scenariet har forfatterne særligt haft følgende mål i tankerne:

Scenariet kan benyttes ud fra flere forskellige fokusområder. I udarbejdelsen af scenariet har forfatterne særligt haft følgende mål i tankerne: Lærervejledningen giver supplerende oplysninger og forslag til scenariet. En generel lærervejledning fortæller om de gennemgående træk ved alle scenarier samt om intentionerne i Matematikkens Univers.

Læs mere

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale

SMARTBOARD. Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale SMARTBOARD Hvordan fungerer det? Et kursusmateriale Materialet må ikke kopieres eller på anden måde videredistribueres Opgave 1 Det grundlæggende a) Skriv med håndskrift på tavlen følgende brug pen eller

Læs mere