OM DET UENDELIGT SMAA OG DET UENDELIGT STORE I MATHEMATIKKEN (FRIT EFTER GEORG BRANDES 1869)
|
|
- Frederik Stefan Mortensen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 OM DET UENDELIGT SMAA OG DET UENDELIGT STORE I MATHEMATIKKEN (FRIT EFTER GEORG BRANDES 869) Mogens Esrom Larsen 29. august 20 Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet Allerede Euklid er betænkelig ved at tage ordet uendelig forfængeligt. Han skriver, at der er flere primtal end ethvert (endeligt) tal. Argumentet herfor er enkelt: En primfaktor i produktet af et antal primtal plus vil være et nyt primtal. Allerede Pythagoras må sande, at selv de uendeligt mange rationale tal ikke slår til. Den retvinklede ligebenede trekant med katheter af længden har et kvadrat på hypotenusen med arealet 2. Og intet rationalt tal har kvadratet 2. Da fjernsynet kom til Danmark, optrådte Svend Bundgaard på skærmen med denne oplysning. Han skrev et rationalt tal som en uforkortelig brøk, p/q, og sluttede, at hvis p 2 = 2q 2, så må p være lige og derfor q ulige, altså p = 2r, hvor r også et helt tal. Men så kan vi forkorte til 2r 2 = q 2, hvorfor q må være lige. En modstrid. Det fortælles, at dette ikke gav den ventede PR for faget. Grækerne valgte at focusere på geometriske størrelser frem for tal, men løb straks ind i problemer: En terning med rumfanget 2 forlanger jo konstruktionen af 3 2, en suspekt konstruktion. Og cirklens kvadratur, dvs konstruktionen af et kvadrat med arealet π, kommer man ikke i nærheden af. Et uendeligt fænomen inden for de rationale tal er det såkaldte Zenons paradoks. I en bevægelse mod et mål tilbagelægges først halvvejen, så halvvejen af resten osv. Strækningen deles op i uendeligt mange bidder, så man aldrig når frem! Men en fysiker vil måske sige, at med jævn hastighed bliver tiden også delt op efter samme recept, så klokken bliver aldrig hel. Altså, vi har blot bemærket formlen 2 n = = n= I det 9. århundrede tog man sig sammen til at udvide de rationale tal til de reelle tal på en måde, så disse fyldte alle hullerne mellem hine på tallinien. Enten ved at definere uendelige decimalbrøker eller ved Dedekinds snit, der definerer et reelt tal ved mængden af rationale tal, der er større. Altså en nedad begrænset ikke tom delmængde, A, af de rationale tal: Ø A Q med egenskaben, at a A : [a, [ A
2 altså, for hvert a A er halvlinien [a, [ A eller a A r Q : r > a r A altså, hvis a A og r er et rationalt tal, der er større end a, så er r A. Fx defineres 2 som 2 = {x Q x > 0 x 2 > 2} Georg Cantor gør nu den interessante iagttagelse, at med enhver af disse definitioner der er ækvivalente er der flere reelle tal end rationale! Uendelige størrelser er ikke nødvendigvis lige store. Vi definerer ligestorhed på samme måde, som vi indser, at der er lige mange fingre på vore to hænder, nemlig ved at der eksisterer en korrespondance mellem dem. Altså, A og B er lige store, hvis vi kan finde en bijektiv funktion f : A B dvs og x y A f(x) f(y) b B a A : f(a) = b Hvis vi nu har en funktion fra de naturlige tal ind i de reelle tal, altså en følge af reelle tal, og disse, r, r 2,..., r n,... skrives som decimalbrøker, Men værre endnu! Cantor indså, at det er et generelt fænomen i mængdelæren, at der er flere delmængder af en mængde, end der er elementer i den. Det gælder i det små: Den tomme mængde har én delmængde, nemlig sig selv, men ingen elementer! Og en mængde med n elementer har 2 n delmængder, og n < 2 n for alle n N. Det generelle argument er egentlig enkelt: Det er klart, at umiddelbart er der flere delmængder end elementer, husk blot på delmængderne af formen {x}. Hvis der er lige mange delmængder og elementer, må der findes en korrespondance mellem dem, altså en funktion fra mængden, A til mængden D(A) af dens delmængder, f : A D(A), så enhver delmængde bliver billede af et element i A. Men definerer vi delmængden B = {x A x / f(x)} så er spørgsmålet, om vi kan finde b A, så B = f(b). Men er b B? Hvis b B, så siger definitionen, at b / f(b) = B. Og hvis b / B = f(b), så siger definitionen jo, at b B. Dette argument blev berømt som Russel s paradoks, at mængden af alle mængder ikke giver mening. Der er heller ikke nogen største mængde. Et spøjst eksempel på et forvirrende fænomen er det uendelige kræmmerhus dannet af funktionen på intervallet [, [ ved drejning om x x-aksen. r n = r h n, r n r n2...r nm... med rn h Z og r nj {0,,..., 9}, så vil et tal s = 0, s s 2 s 3.. med egenskaben r jj s j {0,,..., 9} ikke være med i følgen. Dette kaldes Cantors diagonalargument. Vi slutter heraf, at allerede Dedekinds delmængder af Q er flere end Q selv, idet det er let at se, at Q kan udtømmes af en passende følge. (Brøkerne p q med p + q n er endeligt mange.) 2 For hvert x dannes en cirkel med radius. Kræmmerhusets rumfang bliver derfor x π x dx = π 2
3 Men overfladen bliver jo 2π x dx = Som en fysiker vil sige: Vi kan fylde det med maling, men vi kan ikke male det! Nu stødte Dedekinds definition John Conway i 970 erne ved at være i to trin, først Q, så R. Samtidig var JC optaget af at generalisere spils additive struktur fra upartiske spil til partisanspil især inspireret af formanden for The British Go Association, John Diamond. Deres iagttagelse af go spillet var, at dette spil på naturlig måde splittes op i en sum af spil ligesom de upartiske spil. Et spil kaldes upartisk, hvis de to spillere har de samme træk til rådighed. Det afgørende er altså, hvis tur det er. Et spil, der ikke er upartisk, kaldes et partisanspil. Det typiske upartiske spil er NIM, opfundet og navngivet af C. L. Bouton i 902. Det er en sum af uhyre enkle spil, nemlig bunker af tændstikker med spillereglen, at den spiller, der har tur, fjerner et antal på mindst én tændstik. Er der kun bunke, vinder han let ved at fjerne hele bunken. Men allerede ved 2 bunker, er situationen anderledes. Er de lige store, har anden spiller den vinderstrategi at kopiere første spillers træk i den urørte bunke. Er de ikke lige store, vinder første spiller ved at gøre dem lige store. Er der 3 eller flere bunker, kompliceres situationen betydeligt. Det viser sig, at alle upartiske spil er ækvivalente med NIM. Partisanspil er spil med fuld information, hvor spillerne har hver sine muligheder. Typiske eksempler er skak, dam og go, hvori spillerne opererer med hver sine brikker. Netop spillet go, der har som mål at afgrænse det største areal på spillebrættet, reduceres i slutspillet til spredte grænsefægtninger rundt om 3 på brættet. Derved opstår den naturlige sum af spil: Spilleren vælger, i hvilken konflikt han vil sætte ind og så hvordan. JC ønsker at starte fra bunden og definere spil, naturlige tal, rationale tal og reelle tal med samme opskrift. Mens Dedekind har én opskrift på de rationale tal og derefter en helt anden på de reelle tal, definerer JC spil rekursivt som følger. Der er to spillere, V (venstre) og H (højre). De har hver sine muligheder, der alle er allerede definerede spil. Svarende til en stilling på go brættet, hvor den ene spiller kan besætte et tomt felt med en sort sten, den anden et tomt felt med en hvid sten. Vi har fra starten kun et spil, som vi kan skrive {Ø Ø}, altså spillet, hvor ingen af spillerne har noget træk til rådighed. Vi betegner dette spil som 0, og forstår det som det spil, hvor den spiller, der er i trækket, har tabt. Nu kan vi definere tre nye spil: {0 Ø}, {Ø 0}, {0 0}, idet vi skriver 0 for {0}. Her er de to første partisanspil, mens det sidste er upartisk. Spillet {0 Ø} er altid vundet for V. Er det hans tur, vælger han spillet 0, der ikke giver H noget træk, så H har tabt. Er det H s tur, har han intet træk og har derfor tabt. Vi betegner dem som hhv {0 Ø} = og {Ø 0} =. Disse spil er tillige eksempler på tal. Tallene er spil, hvor alle mulighederne for begge spillerne tillige er tal, og hvor intet tal, der er til højre, er noget tal til venstre. Spillet {0 0} er derfor ikke noget tal, men et meget simpelt upartisk spil, der betegnes med * og er vundet for den spiller, der er i trækket. Bemærk, at bunken med tændstik i NIM er et eksempel på spillet *. Med denne start opbygger JC spil og blandt dem tal, der snart viser sig at omfatte alle kendte tal og en mangfoldighed af hidtil ukendte størrelser. Også i almindelighed betyder summen af flere spil, at spilleren i tur vælger et
4 af spillene at trække i og så efterlader summen af det heri valgte spil og de urørte. Som man i go vælger et hjørne af brættet at trække i. Betragt nu spillet S = {0 } + {0 } + {Ø 0} Nu kan V trække til som H trækker til som V trækker til 0 + {0 } + {Ø 0} {0 Ø} + {Ø 0} 0 + {Ø 0} som H trækker til 0, og V har tabt. Og H trækker til {0 Ø} + {0 } + {Ø 0} som V trækker til som H trækker til {0 Ø} {Ø 0} {0 Ø} som V trækker til 0 og H har tabt. Med andre ord, S = 0 og derfor er {0 } = 2 Ethvert spil, som tabes af den, der har tur, regnes for 0. Spillene har en partiel ordning defineret ved, at spil, der altid kan vindes af V, er positive. Rekursivt defineres Fx {x y} = { y x} {0 Ø} = {Ø 0} Ordningen defineres derfor som sædvanlig x > y x y > 0 Hvis hverken x y > 0 eller y x > 0, så er der to muligheder: x y = 0 og x y =. Med andre ord, at x y tabes af første spiller hhv vindes af første spiller. Vi skriver hhv x = y og x y. Fx 0. Alle NIM-bunker undtagen den tomme er 0, mens jo Ø = 0. Tallene er simpelthen de ordnede spil, og vi har set starten på de rationale med nævner en potens af 2. Fx sætter vi ω = {0,, 2,... } og finder fx ω + = {0,, 2,... 0}. JC definerer også produkt og kvotient, hvorved hans udvidede talmængde bliver et legeme. Dette indeholder explicitte infinitesimaler, fx ω = {, 2, 4,...}. Spillet = {0 } opfylder 0 < < 2 n } for alle n, den simpleste positive infinitesimal. Man regner med dem fx er {0 } = + + og { } = {0 } Et endnu mindre positivt spil er + n = {0 {0 n}} for n > 0 JC s spil omfatter tallene som den ordnede delmængde, der omfatter de sædvanlige reelle tal, men udgør et langt mere omfattende legeme, kaldet de surreelle tal, med uanede mængder af uendeligt små og uendeligt store størrelser. 4
5 Litteratur. Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski, David Wolfe, Lessons in Play, A K Peters, Natick, 2007, 288 s. 2. Elwyn R. Berlekamp, John H. Conway, Richard K. Guy, Winning Ways for your mathematical plays (2 Vol.), Academic Press, London, 985, 850 s. 3. Jörg Bewersdorff, Luck, Logic, and White Lies, A K Peters, Natick, 2005, 486 s. 4. Charles L. Bouton, Nim a game with a complete mathematical theory, Ann. of Math. (2)3 (90 02) John H. Conway, On Numbers and Games, Academic Press, New York, 976, 238 s. 6. John H. Conway, Richard K. Guy, The Book of Numbers, Copernicus, New York, 996, 30 s. 7. John H. Conway, On Numbers And Games, A K Peters, Natick, 200, 242 s. 8. H. D. Ebbinghaus, H. Hermes, F. Hirzebruch, M. Koecher, K. Mainzer, J. Neukirch, A. Prestel, R. Remmert, Numbers, Springer, New York, 995, 39 s. 9. Richard K. Guy, fair game, Comap Mathematical Exploration Series, Arlington, Mass, 989, 3 s. 0. Donald E Knuth, Surreal Numbers, Addison Wesley, Reading, Mass, 974,?. 5
Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereSpilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1. Spilstrategier
Spilstrategier, Kirsten Rosenkilde, september 2007 1 1 Spilstrategier Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs mereMatematik, der afgør spil
Artikeltype 47 Matematik, der afgør spil Sandsynlighedsregning vinder ofte. Kombinatorisk spilteori sejrer hver gang Mads Thrane Hvis du er træt af at tabe opvasketjansen i Sten Saks Papir eller Terning,
Læs mere~ mat NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING
~ mat M A T I L D E NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING N R 4 3 A U G U S T 2 0 1 1 Formandens klumme Vagn Lundsgaard Hansen DTU Matematik V.L.Hansen@mat.dtu.dk Lad de unge talenter blomstre i forskning,
Læs mereKombinatoriske Spil. Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft
Kombinatoriske Spil Noter til QGM Math Club af Tobias Kildetoft 1 Forord Disse noter er i stor grad baseret på bogen Lessons in Play af Michael H. Albert, Richard J. Nowakowski og David Wolfe (fra nu af
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2007 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereNoter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1. Diskret matematik
Noter om opgaver i diskret matematik, Kirsten Rosenkilde, Maj 2006 1 Diskret matematik Disse noter er en introduktion til skuffeprincippet, grafteori, spilstrategier samt opgaver der kan løses ved farvelægning.
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereTalteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007
Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2
Læs mereProjekt 3.1 Pyramidestub og cirkelareal
Projekt. Pyramidestub og cirkelareal - i tilknytning til afsnit., især for A Indhold Rumfanget af en pyramidestub... Moderne metode... Ægyptisk metode... Kommentarer til den ægyptiske beregning... Arealet
Læs mereInvarianter. 1 Paritet. Indhold
Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé
Læs mereKommentarer til den ægyptiske beregning Kommentarer til den ægyptiske beregning... 5
Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Projekter: Kapitel - Projektet er delt i to små projekter, der kan laves uafhængigt af hinanden. Der afsættes fx - timer til vejledning med efterfølgende
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereProjekt 3.7. Pythagoras sætning
Projekt 3.7. Pythagoras sætning Flere beviser for Pythagoras sætning... Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... Opgave 1: Et kinesisk og et indisk bevis for Pythagoras sætning...
Læs mereProjekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer
Projekt 6.7. Beviser for Pythagoras sætning - og konstruktion af animationer Flere beviser for Pythagoras sætning 1 Bevis for Pythagoras sætning ved anvendelse af ensvinklede trekanter... 1 Opgave 1 Et
Læs mereMODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN
MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereGo, go, go Søren Wengel Mogensen
4 Blokkens spil Go, go, go Søren Wengel Mogensen Du har set Russell Crowe gøre det i A Beautiful Mind. Nu skal du gøre det i Famøs. Der er selvfølgelig tale om at spille go. Go er meget kort navn for et
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereProjekt Beholderkonstruktion. Matematik - A
Projekt Beholderkonstruktion Matematik - A [Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en kort beskrivelse af dokumentets indhold. Skriv et resume af dokumentet her. Resumeet er normalt en
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereFacitliste til MAT X Grundbog
Facitliste til MAT X Grundbog Foreløbig udgave Det er tanken der tæller A Formlen bliver l + b, når l og b er i uforkortet stand. B Ingen løsningsforslag. C Ved addition fås det samme facit. Ved multiplikation
Læs mereAppendix 1. Nogle egenskaber ved reelle tal.
- 0 - Appendi. Nogle egenskaber ved reelle tal. Som bekendt består de reelle tal R (dvs. alle tal på tallinien) af de rationale tal Q og de irrationale tal I, dvs. R = Q I. De rationale tal Q er mængden
Læs mereSide 1 af 8. Vejledning
Side 1 af 8 Vejledning Art. nr. 2079006 Pedalo - Stort spillebræt - spilsamling Læs og opbevar venligst vejledningen De efterfølgende sider indeholder spilanvisning til disse spil: Generel Information:
Læs mereMatematik Delmål og slutmål
Matematik Delmål og slutmål Ferritslev friskole 2006 SLUTMÅL efter 9. Klasse: Regning med de rationale tal, såvel som de reelle tal skal beherskes. Der skal kunne benyttes og beherskes formler i forbindelse
Læs mereProjekt 7.10 Uendelighed Hilberts hotel
Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel (Materialet i dette projekt er hentet fra Hvad er matematik? A, indledningen til
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereForslag til løsning af Opgaver om areal (side296)
Forslag til løsning af Opgaver om areal (side96) Opgave 1 6 0 8 Vi kan beregne arealet af 6 8 0 s 4. ved hjælp af Heron s formel: ( ) 4 4 6 4 8 4 0 6. Parallelogrammets areal er det dobbelte af trekantens
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8. 2011 L&R Uddannelse A/S Vognmagergade 11 DK-1148 København K Tlf: 43503030 Email: info@lru.
1.1 Introduktion: Euklids algoritme er berømt af mange årsager: Det er en af de første effektive algoritmer man kender i matematikhistorien og den er uløseligt forbundet med problemerne omkring de inkommensurable
Læs mereSansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed
Sansernes og forstandens tvivlsomme brugbarhed I de syditalienske byer Kroton og Elea opstod omkring 500 f.v.t. to filosofiske retninger, som fik stor betydning for senere tænkning og forskning. Den ene
Læs mereDer er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.
SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereViètes formel Jens Siegstad
6 Viètes formel Jens Siegstad Vi skal i denne artikel vise Viètes formel. Theorem 1 (Viètes formel) π = = a k + + hvor a n = + a n 1 for n > 1 og a 1 =. +... Ovenstående formel blev vist i 1593 af Francois
Læs mereTal og algebra. I kapitlet arbejdes med følgende centrale matematiske begreber: algebra variable. Huskeliste: Tændstikker (til side 146) FRA FAGHÆFTET
I kapitlet skal eleverne arbejde med fire forskellige vinkler på algebra de præsenteres på kapitlets første mundtlige opslag. De fire vinkler er algebra som et redskab til at løse matematiske problemer.
Læs mereVinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1. Diskret matematik.
Vinderseminar 2007. Diskret matematik. Kirsten Rosenkilde. 1 1 Paritet Diskret matematik. I mange matematikopgaver er det en god ide at se på paritet dvs. hvornår en bestemt størrelse er henholdsvis lige
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereUdvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Læs meretal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne
Læs mereSkak-regler. Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne. Flyttning af hver enkel brik
1 / 5 29.7.2008 10:54 Skak regler Inhold Förmål med spillet Forberedelset Flytning av brikkerne Flyttning af hver enkel brik - Kongen - Dronningen - Tårnet - Løberen - Springeren - Bonden Spillet Skakmat
Læs mereÅrsplan i matematik klasse
32-36 Brøker og Én brøk - forskellige betydninger en helhed ved hjælp af brøker. en helhed ved hjælp af brøker. Eleven kan bruge brøker til at beskrive forholdet mellem to størrelser. Eleven kan argumentere
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereKædebrøker. b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1. f.eks. 3 + 1 b 1 7. a 1. b 1 + a f.eks. 3 + 1 7 + 1. f.eks. 3 + b 1 + a 2 7 + Notation: a 2 b 2 + an.
Kædebrøker Naturvidenskabsfestivalen 2006 foredrag på Herning htx, 26. september Flemming Topsøe Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet b 0 f.eks. 3 b 0 + a 1 f.eks. 3
Læs mereParadokser og Opgaver
Paradokser og Opgaver Mogens Esrom Larsen (MEL) Vi modtager meget gerne læserbesvarelser af opgaverne, samt forslag til nye opgaver enten per mail (gamma@nbi.dk) eller per almindelig post (se adresse på
Læs mereFærdigheds- og vidensområder
Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil
Læs mereHer følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:
BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som
Læs mereExcel regneark. I dette kapitel skal I arbejde med noget af det, Excel regneark kan bruges til. INTRO EXCEL REGNEARK
Excel regneark Et regneark er et computerprogram, der bl.a. kan regne, tegne grafer og lave diagrammer. Regnearket kan bruges i mange forskellige sammenhænge, når I arbejder med matematik. Det kan gøre
Læs mereer et helt tal. n 2 AB CD AC BD (b) Vis, at tangenterne fra C til de omskrevne cirkler for trekanterne ACD og BCD står vinkelret på hinanden.
Opgave Heltalligt Bestem alle hele tal, n >, for hvilke n + n er et helt tal. Opgave Trekantet I en spidsvinklet trekant ABC skærer vinkelhalveringslinien fra A siden BC i punktet L og den omskrevne cirkel
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereParameterkurver. Et eksempel på en rapport
x Parameterkurver Et eksempel på en rapport Parameterkurver 0x MA side af 7 Hypocykloiden A B Idet vi anvender startværdierne for A og B som angivet, er en generel parameterfremstilling for hypocykloiden
Læs merePOWER GRID SPILLEREGLER
POWER GRID SPILLEREGLER FORMÅL Hver spiller repræsenterer et energiselskab som leverer elektricitet til et antal byer. I løbet af spillet køber hver spiller et antal kraftværker i konkurrence med andre
Læs mere83 - Karakterisation af intervaller
83 - Karakterisation af intervaller I denne opgave skal du bevise, at hvis A er en delmængde af R med følgende egenskab: x, y, z R : x, y A og x < z < y z A (1) så er A enten et interval eller en mængde
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereElementær Matematik. Tal og Algebra
Elementær Matematik Tal og Algebra Ole Witt-Hansen 0 Indhold Indhold.... De naturlige tal.... Regneregler for naturlige tal.... Kvadratsætningerne..... Regningsarternes hierarki...4. Primtal...4 4. Nul
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereTalteori. Teori og problemløsning. Indhold. Talteori - Teori og problemløsning, marts 2014, Kirsten Rosenkilde.
Indhold 1 Delelighed, primtal og primfaktoropløsning Omskrivning vha. kvadratsætninger 4 3 Antal divisorer 6 4 Største fælles divisor og Euklids algoritme 7 5 Restklasser 9 6 Restklasseregning og kvadratiske
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereUsædvanlige opgaver Lærervejledning
Mette Hjelmborg Usædvanlige opgaver Lærervejledning Gyldendal Usædvanlige opgaver, lærervejledning af Mette Hjelmborg 008 Gyldendalske boghandel, Nordisk Forlag A/S, København Forlagsredaktion: Stine Kock,
Læs mereTallet π er irrationalt Jens Siegstad
32 Tallet π er irrationalt Jens Siegstad At tallet π er irrationalt har været kendt i pænt lang tid Aristoteles postulerede det da han påstod at diameteren og radius i en cirkel er inkommensurable størrelser
Læs mereFunktioner generelt. for matematik pä B- og A-niveau i stx og hf. 2014 Karsten Juul
Funktioner generelt for matematik pä B- og A-niveau i st og hf f f ( ),8 014 Karsten Juul 1 Funktion og dens graf, forskrift og definitionsmängde 11 Koordinatsystem I koordinatsystemer (se Figur 1): -akse
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Tilfældighed Hvor tilfældige kan vi være? I skemaet ved siden af skal du sætte 0 er og 1-taller, ét tal i hvert felt. Der er 50 felter. Du skal prøve at
Læs mereKonstruktion af de reelle tal
Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereMatematik for malere. praktikopgaver. Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger.
Matematik for malere praktikopgaver 3 Tilhører: Tegneopgave Ligninger Areal Materialeberegning Procent Rumfang og massefylde Trekantberegninger 2 Indhold: Tegneopgave... side 4 Ligninger... side 8 Areal...
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereAssyrien. Planeterne. Astronomi
Assyrien I begyndelsen var iagttagelsen. De ældste overleverede matematiske tekster er assyriske fra et par tusind år før vor tidsregning. I de samtidige kulturer i Ægypten og Kina benyttede man brændbare
Læs mereEksamensspørgsmål: Trekantberegning
Eksamensspørgsmål: Trekantberegning Indhold Definition af Sinus og Cosinus... 1 Bevis for Sinus- og Cosinusformlerne... 3 Tangens... 4 Pythagoras s sætning... 4 Arealet af en trekant... 7 Vinkler... 8
Læs mereBernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side 1 af 10
Bernoullis differentialligning v/ Bjørn Grøn Side af 0 Bernoullis differentialligning Den logistise differentialligning er et esempel på en ie-lineær differentialligning Den logistise differentialligning
Læs mereFra tilfældighed over fraktaler til uendelighed
Fra tilfældighed over fraktaler til uendelighed Dette undervisningsforløb har jeg lavet til et forløb på UCC Nordsjælland for særligt interesserede elever i 8. klasse. Alt, der står med rødt, er henvendt
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereÅrsplan 9. klasse matematik 2013-2014 Uge Emne Faglige mål Trinmål Materialer/ systemer 33 Årsprøven i matematik
Årsplan 9. klasse matematik 2013-2014 33 Årsprøven i matematik Årsprøve og rettevejledledning 34-35 36 og løbe nde Talmængder og regnemetoder Mundtlig matematik 37 Fordybelses uge 38-39 Procent - Gennemgå
Læs mereUndervisningsoplæg med henblik på udvikling af ræsonnementskompetence i folkeskolens matematikundervisning
Undervisningsoplæg med henblik på udvikling af ræsonnementskompetence i folkeskolens matematikundervisning Fredericia 27-10-2010 Flemming Ejdrup Lars Lindhart Anette Skipper-Jørgensen Kompetence At besidde
Læs mereMatematik for lærerstuderende klasse Geometri
Matematik for lærerstuderende 4.-10. klasse Geometri Klassisk geometri (kapitel 6) Deduktiv tankegang Ræsonnementskompetence Mål med kapitlet: Erkender Thales sætning som fundament for afstandsberegning.
Læs mereInvarianter og kombinatoriske beviser
Invarianter og kombinatoriske beviser Anders Nedergaard Jensen Institut for Matematik, Aarhus Universitet Matematiklærerdag, Aarhus, 24. Marts 2017 En invariant er en værdi/udsagn der forbliver konstant
Læs mereRettevejledning, FP10, endelig version
Rettevejledning, FP10, endelig version I forbindelse med FP9, Matematik, Prøven med hjælpemidler, maj 2016, afholdes forsøg med en udvidet rettevejledning. I forbindelse med FP10 fremstiller opgavekommissionen
Læs mere