Atomare egentilstande

Transkript

1 Kvantemekank 4 Sde af 7 Atomae egentlstande Unde antagelsen om, at en atomkene e hvle fohold tl atomets massemdtpunkt, e Hamltonopeatoen fo et helumatom gvet ved ˆ e e e H = + + +, = + +, (4.) me me x y z det ogo således e lagt oven kenen, og e stedvektoen fo den te elekton. * Fo et vlkålgt atom med atomnumme fås således ˆ e e H = + m + = e = j= + = 0 0 * j. (4.) Pga. koblngen * mellem de foskellge elektone e det mdletd kke mulgt at fnde en eksakt løsnng tl Hˆ φ,, = Eφ,,. (4.3) ( ) ( ) E E Centalfelt-tlnæmelsen En mulg tlnæmelse tl poblemet e den såkaldte centalfelt-tlnæmelse, henhold tl hvlken elektonene kun mæke hnandens tlstedevæelse gennem et mdlet potental. Demed bevæge elektonene sg uafhænggt af hnanden det tltækkende potental fa kenen og det fastødende potental fa de øvge elektone unde ét, og denne dekoblng af elektonenes bevægelse gø det mulgt at fnde en tlnæmet løsnng tl udtyk (4.3). Thomas B. Lynge, Insttut fo Fysk og Nanoteknolog, AAU 07/0/009

2 Kvantemekank 4 Sde af 7 Centalfelt-tlnæmelsen svae således tl at estatte udtyk (4.) med en sum af enkeltelekton-hamltonopeatoe baseet på effektve enkeltelekton-potentale : Hˆ Hˆ =, ˆ H = + VCF ( ). m e (4.4) Spøgsmålet e så, hvodan centalfelt-potentalet V CF skal udfomes. Pga. atomets symmet e V CF et sfæsk symmetsk centalpotental. Hvs elektonen befnde sg tæt på kenen (små ), vl fastødnngen fa de øvge elektone blve mdlet ud, svaende tl at den te elekton kun mæke tltæknngen tl kenen: e VCF ( ) fo små. (4.5) Hvs elektonen befnde sg langt væk fa kenen (stoe 0 ), vl de øvge elektone befnde sg tættee på kenen og demed skæme tltæknngen, svaende tl at den te elekton samlet set kun mæke tltæknngen fa én postv elementaladnng: e VCF ( ) fo stoe. (4.6) 0 Thomas B. Lynge, Insttut fo Fysk og Nanoteknolog, AAU 07/0/009

3 Kvantemekank 4 Sde 3 af 7 Flg. smple udtyk oveholde såvel udtyk (4.5) som (4.6): V CF ( ) ( ) e = 0 ( ) ( ), = e a +, (4.7) det tlpasnngs- elle ftte-paameteen a > 0 gve en fhedsgad, de kan justees fo at opnå bedst mulg oveensstemmelse tl vkelgheden nden fo de amme, som centalfelt-tlnæmelsen og udtyk (4.7) udstkke. Ved ndsættelse udtyk (4.3) af den sepaable Hamltonopeato udtyk (4.4) fås følge opg. tl KM egenfunktone fom af et podukt af de enkelte uafhængge elektones bølgefunktone : φ E (,, ) = φ( ) med tlhøende eneg, de e summen af de enkelte elektones eneg: det = = (4.8) E = E, (4.9) ˆ H φ = E, =,,. (4.0) ( ) φ ( ) Inden fo centalfelt-tlnæmelsen e poblemet med at fnde atomae egentlstande således jf. udtyk (4.0) educeet tl dentske enkeltelektoncentalpotentalpobleme, hvs løsnng blev beskevet KM. Løsnngene e mdletd kke de samme som fo bnt, det centalpotentalet e andeledes, men løsnngene vl kunne beskves vha. de samme kvantetal nlm,, l, m. s Ved obtal fostås netop sådan en enkeltelekton-bølgefunkton. Thomas B. Lynge, Insttut fo Fysk og Nanoteknolog, AAU 07/0/009

4 Kvantemekank 4 Sde 4 af 7 Selv-konsstens Potentalet udtyk (4.7) e fo smpelt tl at gve andet end en gov tlnæmelse tl vkelgheden, og én måde at opnå en væsentlgt bede tlnæmelse på e vha. en selvkonsstent, numesk beegnng, de nvolvee flg.:. Et smpelt, ndlednngsvst potental vælges, f.eks. fom af udtyk (4.7) elle smpelthen bntpotentalet fa udtyk (0.6).. Egenvædpoblemet udtyk (4.0) løses fo et sæt af obtale φ j. 3. Ud fa dsse obtales tlhøende opholdssandsynlghedstæthed beegnes den ladnngstæthed, som den te elekton opleve, nå atomet e sn gundtlstand: ρ ( ) = e φ ( ) j j. (4.) 4. Ud fa denne ladnngstæthed beegnes det mdlede potental, som den te elekton opleve: 3 V ( ) e e ρ = + 4 πε V ' 0 0 ( ' ) 3 d '. (4.) 5. Dette potental ndsættes udtyk (4.0), hvoved et bede tlnæmet sæt af obtale opnås. Ved teatv gentagelse af tn -5 opnås således en bede og bede tlnæmelse 4, og pocessen gentages defo, ndtl en tlfedsstllende tlnæmelse e opnået. Poblemet sges således at væe løst selvkonsstent, nå det potental, som femkomme på baggund af et sæt obtale, ndsat udtyk (4.0) gve anlednng tl det selv samme sæt obtale. Det e således kke mulgt at opskve et eksakt, analytsk udtyk fo atomae egentlstande, men de kan fndes numesk med vlkålg sto nøjagtghed. Som øvgt svae tl a = 0. 3 Den potentelle eneg af en elektons vekselvknng med en ladnngstæthed ρ femkomme ved kombnaton af EM udtyk (.8) og (.). Thomas B. Lynge, Insttut fo Fysk og Nanoteknolog, AAU 07/0/009

5 Kvantemekank 4 Sde 5 af 7 Elektonkonfguaton Det peodske system Et atoms elektonkonfguaton e en angvelse af antallet af elektone de foskellge undeskalle, de kan ndeholde ( l ) + = 4l+ elektone, det de henhold tl Pauls udelukkelsespncp kan væe elektone med hvet st spn hve af de l + umlge tlstande. Et kulstofatom ha flg. elektonkonfguaton sn gundtlstand: og sn. anslåede tlstand: svaende tl en exctatonseneg ( ) ( ) ( ) 6 C: s s p, (4.3) ( ) ( ) ( ).ex 6 C : s s ( ) ( ) 3 p, (4.4) Δ E = E + E + E E + E + E = E E. (4.5) s s 3 p s s p p s 4 Foudsat at poblemet konvegee. Thomas B. Lynge, Insttut fo Fysk og Nanoteknolog, AAU 07/0/009

6 Kvantemekank 4 Sde 6 af 7 Bemæk flg.: Atomenegnveauene e geneelt kke degeneeede l. 5 De anføte E nl vaee fa atom tl atom. Fo 9 kan ækkefølgen af enegnveauene kke umddelbat foudsges ud fa udtyk (.). F.eks. e E 3d nogle atome støe end E 4s, osv. De e kke bestemte elektone bestemte obtale. Elektonene e uskelnelge og e defo en supeposton af at væe de foskellge besatte obtale. Hvs man undesøge de kemske egenskabe af gundstoffene, vl man opdage, at de (goft sagt) gentage sg peodsk. F.eks. ha He, 0 Ne, 8 A, den fælles kemske egenskab, at de paktsk taget kke ndgå kemske bndnge. Og 3 L, Na, 9 K, ha det tlfælles, at de meget beedvllgt ndgå kemske bndnge med vsse ande atome. 5 Notatonen antyde, at de e degeneaton m og l m, hvlket e tlfældet, så længe de som he e tale om et soleet s atom, og så længe de ses bot fa såvel spn-bane-koblng som spn-spn-koblng. Enegnveauene et atom anbagt et elektsk elle et magnetsk felt spltte således op (degeneatonen bydes) henhold tl det, de kaldes hhv. Stak-effekten og eeman-effekten. Set fa elektonens synspunkt skabe den elektsk ladede kenes bevægelse et B-felt, som elektonens spn-magnetske dpolmoment vekselvke med. Dette e et eksempel på ovennævnte spn-bane-koblng og gve anlednng tl en opspltnng af enegnveauene en fnstuktu. Den tlsvaende opspltnng som følge af vekselvknngen mellem kenens spn og B-feltet skabt af elektonens bevægelse føe tl en hypefnstuktu. Som navnet antyde, e hypefnstuktuen endnu fnee end fnstuktuen. Dette skyldes, at det magnetske dpolmoment følge udtyk (9.5) e omvendt popotonalt med massen, det spn-bevægelsesmængdemomentet e af samme støelsesoden fo elektonen som fo kenen (kenepatklene e spn -patkle, og dees spn udlgne således hnanden pavst. Demed foekomme hypefnstuktu kun sotope med et ulge antal kenepatkle). Thomas B. Lynge, Insttut fo Fysk og Nanoteknolog, AAU 07/0/009

7 Kvantemekank 4 Sde 7 af 7 Foklangen på denne peodctet skal fndes elektonkonfguatonene: 0 8 ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) He: s : Fyldt K-skal, Ne: s s p : Fyldt L-skal, A : s s p 3s 3p 4 s :"Fyldt" M -skal. (4.6) De fyldte skalle gve således en sælgt lav eneg (sto stabltet), det dsse ædelgasse kke kan vnde (sænke dees) eneg ved at ndgå kemske bndnge med ande atome. Dette e modsætnng tl f.eks. to bntatome, de kan vnde eneg ved at danne et H -molekyle (med fyldt K-skal). Alkalmetallene 3 L, Na, 9 K, ha fyldte skalle plus én elekton ( valens +), de demed e løst bundet (lav onsengseneg ). Så hvs eks. Na komme kontakt med 7 Cl, de ha en fyldt skal på næ én elekton (valens ) og demed kan opnå en væsentlgt lavee eneg ved at modtage en elekton (sto elektonaffntet ), vl det totalt set væe enegetsk favoabelt at ndgå en kemsk bndng og danne NaCl (bodsalt): det B E, ( Na ) E E + E = E E E + E + E E E NaCl Cl NaCl Na+ Cl Na+ Cl Na Cl = ( ENa+ + ECl ENaCl ) + ( E E Na+ Na ) ( ECl ECl ) I E og B I EA = ENaCl + ENa ECl = 5,6eV + 5,eV 3,7eV = 4, ev, (4.7) EA E e hhv. bndngseneg, onsengseneg og elektonaffntet. Bemæk sluttelgt, at uden Pauls udelukkelsespncp vlle alle atome gundtlstanden have alle dees elektone s-tlstanden og demed have samme elektonkonfguaton som de naktve ædelgasse Thomas B. Lynge, Insttut fo Fysk og Nanoteknolog, AAU 07/0/009