Matematik og spil. Rolf Poulsen Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014
|
|
- Karen Toft
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Enhedens navn Matematik og spil Rolf Poulsen Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU (måske sidste chance), november 2014
2
3 På disse slides skal spil læses som væddemål. Hvorfor denne besættelse af spil; er alle statistikere/sandsynlighedsteoretikere ludomaner? Nej, nok snarere tværtimod. (Af samme grund som næppe mange kræftlæger ryger.)
4 Det betyder ikke, at der er noget galt med at spille, man skal bare opfatte det som underholdning, ikke som opsparing. Der betales i dopamin, ikke i kroner. I det hele taget skal videnskabsfolk holde moraliseren til et minimum. (Åbenlyst nemmere sagt end gjort.)
5 Uanset om man vil det eller ej, så kommer man til at træffe beslutninger om usikre ting. Usikkerhed forsvinder ikke, bare fordi man ignorerer den. Det er fornuftigt (og muligt) at bryde tingene ned i så simple bestanddele som muligt; i atomer. Menneskelig intuition angående usikkerhed er notorisk dårlig. (Tennisbold vs. fødselsdagsproblemet.) Man skal/må stole på sine beregninger i stedet.
6 Planen Sædvanligvis: You can t beat the odds. Og lidt om spildesign. Arbitrage: Et meget fordelagtigt spil. Poisson-fordelingen og modellering af fodboldresultater. Og test af myter. Hvis tid, så næppe: Kelly-kriteriet. What s in it for me -spg.: Kan man lave SRP om det her? Ja snak eller skriv til mig.
7 Det første, man skal vide Hvis man spiller et ufordelagtigt spil, så taber man i det lange løb. You can t beat the odds. Det er ikke bare et moralsk opbyggeligt princip, det er en matematisk sætning kaldet optional sampling. (Eller rettere to matematiske sætninger; det lange løb refererer til store tals lov.)
8 Og nej, snedige stoppestrategier laver ikke om på det. Heller ikke rød/sortdoblingsstrategien. Og hvis casinoet giver dig en velkomstbonus, så er det klogt at læse det med småt.
9 Et spil kaldes fair, hvis dets forventede gevinst er 0. (Og analogt (u)fordelagtigt.) Et odds x er et tal, der angiver, hvor mange gange, jeg får min indsats tilbage, hvis jeg vinder. Hvis jeg vædder 1 kr. til odds x på noget, der har sandsynlighed p, så er min forventede gevinst px-1, og fra det får vi fair odds-formlen x fair = 1 p.
10 Hos Danske Spil, på casinoer og hos bookmakere er spil ikke fair, men odds/gevinster er sat som x bookie = t% p, hvor t% er den teoretiske tilbagebetalings%. (Muligvis med en favourite/longshot bias-justering.) Tilbagebetalings% varierer fra spiltype til spiltype.
11 Spiltype Tilbagebet'-% Max' odds Hold pengene i lommen 100% 1 Fodboldkamp 97% 4 Roulette 97% 36 1-armet tyveknægt 95% 100 Skrabespil 58% 2000 Tips 52% Lotto 45% Den aftagende sammenhæng mellem tilbagebetalings% og maksimalt odds er alt andet end tilfældig. (Ej heller hvor hurtigt en 1- armet tyveknægt kører.)
12 For lotto og roulette er det forholdsvis enkelt at regne forskellige sandsynligheder ud og derefter at sætte odds. For eksempelvis fodboldkampe er det mindre oplagt, hvad sandsynlighederne er. Forskellige bookmakere kan se forskelligt på sandsynligheder. Og det kan vi som spillere udnytte.
13 Den sidste uge kunne man (med hjælp fra læse (Asiatisk handicap, Watford -0.5 betyder at Watford skal vinde.)
14 Vi gør nu flg.: Spil 100/4,32 = 23,15 kr. på Birmingham hos BetIn Spil 100/ 3,59 = 27,90 kr. på uafgjort hos Pinnacle Spil 100/2,26 = 44,25 kr. på Watford hos 188Bet Vores samlede indsats er 95,30 kr. Uanset hvad der sker, er vores gevinst 100 kr. En sikker fortjeneste på 4,70 kr. eller lige knap 5% af vores investering.
15 Det, vi har fundet, kaldes en arbitrage. Og man kan ellers roligt regne med, at there is no such thing as a free lunch. (Det er iøvrigt et forbløffende nyttigt princip indenfor finansiel modellering.) Det kræver ingen viden om hverken fodbold eller sandsynligheder. Hvis man kan finde sådan et spil hver anden dag (ikke ganske urealistisk), så ville 100 kr. i løbet af et år vokse til ca kr.
16 Men helt så enkelt er det ikke i praksis: Bookmakere kan ændre odds (indtil spillet er afgivet), og de indsamlede odds, man får gratis, kommer med forsinkelse. Pr. konstruktion vil spil af denne type involvere mange bookmakere. Der er omkostninger forbundet med at flytte penge rundt mellem konti (via dit kreditkort).
17 Der er grænser for, hvor store indsatser, bookmakerne vil acceptere, så den eksponentielle vækst er svær at opnå. Men måske allervigtigst: Det er kedeligt! It feels like work.
18 Så hvis vi gerne vil sige noget om sandsynlighederne for forskellige resultater i fodboldkampe, hvad gør vi så? Vi bygger en (statistisk) model. Og vi tager udgangspunkt i Poisson-fordelingen.
19 En stokastisk variabel X er Poisson-fordelt hvis der (for k = 0, 1, 2, ) gælder at Poisson-fordelingen er (ca.) binomial-fordelingen med lille sandsynlighedsparameter og stor antalsparameter. dukker op, hvis man tæller hukommelsesløse ankomster. (Begge bullets er matematiske sætninger.)
20 Antallet af mål i fodboldkampe er nogenlunde Poissonfordelt. Tv. ses Premier League Billedet er karakteristisk.
21 Med udgangspunkt i Poisson-fordelingen bygger vi en model, der inkluderer: Hjemmebanefordel. At nogle hold er stærkere and andre. Uafhængig modellering af forsvars- og angrebsstyrke. Vi antager yderligere, at ude- og hjemmescoringer i enhver kamp er stokastisk uafhængige. (Ikke helt fint i kanten, men en start.)
22
23 Med sådan en model estimeret kan vi lede efter fordelagtige væddemål. Men det ender ret hurtigt i teknisk fnidder-fnadder. Så lad os i stedet undersøge kommentator- eller fanmyter.
24 Der skal et mål til at åbne kampen Ja. Men man skal have set mange fodboldkampe før effekten er statistisk signifikant. Man U/Bayern München/[hva hold, du nu ikke ka li ] scorer altid i sidste minut Til dels ja: Der bliver scoret mange flere mål til sidst; dels er intensiteten højere, dels er minutterne længere. Nogle hold er bedre end andre til at stramme balderne. (Jacobsens fodboldmodel er dog ikke blevet bredt empirisk testet.)
25 Det koster for danske hold at spille Europa-cup Rungende nej. Min hypotese: Det er en post hoc ergo procter hoceffekt.
26 Fyr manageren. Måske eller nej.
27 That s all she wrote eller Like a poorly managed French restaurant I have run out of thyme
Enhedens navn. Ska vi vædde? Rolf Poulsen Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU, november 2018
Enhedens navn Ska vi vædde? Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU, november 2018 Fodbold Et simpelt, snedigt væddemål (eller tre) Ikke-så-simple væddemål nogle
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereValuta for pengene(?)
Enhedens navn Valuta for pengene(?) Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag, Kbh. Uni. Mød MATH på KU, november 2015 Valutamarkeder er store. Total verdenshandel er ca. USD 25 * 10 12
Læs mereNote til styrkefunktionen
Teoretisk Statistik. årsprøve Note til styrkefunktionen Først er det vigtigt at gøre sig klart, at når man laver statistiske test, så kan man begå to forskellige typer af fejl: Type fejl: At forkaste H
Læs mereHow to beat the bookies! Tricksene der sikrer dig langvarige gevinster på betting markedet!
How to beat the bookies! Tricksene der sikrer dig langvarige gevinster på betting markedet! HVEM ER VI? Hos Bettingfamily anser vi betting som en alternativ form for investering. Størstedelen af alle bettere
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereSupplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 136
Supplement til kapitel 7: Approksimationen til normalfordelingen, s. 36 Det er besværligt at regne med binomialfordelingen, og man vælger derfor ofte at bruge en approksimation med normalfordeling. Man
Læs mereTeoretisk Statistik, 2. december 2003. Sammenligning af poissonfordelinger
Uge 49 I Teoretisk Statistik, 2. december 2003 Sammenligning af poissonfordelinger o Generel teori o Sammenligning af to poissonfordelinger o Eksempel Opsummering om multinomialfordelinger Fishers eksakte
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereBinomialfordelingen. Binomialfordelingen. Binomialfordelingen
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 MS kapitel 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Definition 3.2.1 Lad X 1, X 2,..., X n være uafhængige
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereHvad bør en option koste?
Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 9. oktober 2012 Dias 1/19 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk
Læs mereLøsninger til kapitel 5
1 Løsninger til kapitel 5 Opgave 51 Det nemmeste er her at omskrive alle sandsynlighederne til differenser mellem kumulerede sandsynligheder, dvs af sandsynligheder af formen, og derefter beregne disse
Læs mereFÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL
FÅ OVERSKUD PÅ DIT SPIL Odds-Betting.dk Den sikre måde, hvorpå du kan få overskud. Jeg vil i denne E-bog komme ind på hvorpå du kan styrke dine chancer for netop at få et pænt overskud på diverse spil.
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereStatistik viden eller tilfældighed
MATEMATIK i perspektiv Side 1 af 9 DNA-analyser 1 Sandsynligheden for at en uskyldig anklages Følgende histogram viser, hvordan fragmentlængden for et DNA-område varierer inden for befolkningen. Der indgår
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM58) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 7 Januar 010, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger,
Læs mereOversigt over nyttige fordelinger
Oversigt over nyttige fordelinger Helene Regitze Lund Wandsøe November 14, 2011 1 Bernoulli-fordelingen 1 Når et eksperiment har to mulige udfald: succes eller fiasko. X er en stokastisk variabel med følgende
Læs mereMikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed
Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Peter Norman Sørensen, Økonomisk Institut Forår 2003 1. Formalia [10 minutter] Denne obligatoriske projektopgave er en guide til selvstudium af kapitel
Læs mereUge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
Læs mereSandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. Et Bayesiansk argument
Sandsynlighedsteori Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (, E, ν). Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål,
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mereKønsproportion og familiemønstre.
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereC) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.
C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereKapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9.
Kapitlet indledes med en beskrivelse af - og opgaver med - de tre former for sandsynlighed, som er omtalt i læseplanen for 7.- 9. klassetrin: statistisk sandsynlighed, kombinatorisk sandsynlighed og personlig
Læs mereBinomialfordeling og konfidensinterval for en andel
Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 119 Institution Uddannelse Erhvervsgymnasiet Grindsted HHX Fag og niveau Matematik B Lærer Ina Maslakova (IM) Hold 2.IA18, 2.AI18, 2.AV18 soversigt (6) 1 Lineær programmering
Læs mereEt eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. alle mulige resultater af eksperimentet
Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (X, E, ν). Udfaldsrummet X indeholder alle mulige resultater af eksperimentet men ofte også yderligere elementer
Læs mereManual til regneark anvendt i bogen. René Vitting 2014
Manual til regneark anvendt i bogen René Vitting 2014 Introduktion. Dette er en manual til de regneark, som du har downloadet sammen med bogen Ind i Gambling. Manualen beskriver, hvordan hvert regneark
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Uafhængighedstestet
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Uafhængighedstestet Eksempel: Bissau data Data kommer fra Guinea-Bissau i Vestafrika: 5273 børn blev undersøgt da de var yngre end 7 mdr og blev
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereInvesterings- og finansieringsteori
Sidste gang: Beviste hovedsætningerne & et nyttigt korollar 1. En finansiel model er arbitragefri hvis og kun den har et (ækvivalent) martingalmål, dvs. der findes et sandsynlighedsmål Q så S i t = E Q
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Juni 119 Institution Tønder Handelsgymnasium & Handelsskole Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Matematik B Jesper Uhre (JUH) 2018hh2a 2a Forløbsoversigt (4) Forløb 1 Forløb
Læs mereFinansiering 1: Pænt goddag & praktisk info
Vi ses til Finansiering 1: Pænt goddag & praktisk info Forelæsninger (Rolf): Mandag 10.15-12, onsdag 11.15-14. Øvelser (Line og Cathrine; går igang i denne uge): Mandag 9.15-10: Eksamenssimulation. Onsdag
Læs mereMatematiske emner SPIL. Sandsynligheder og Strategier
Matematiske emner SPIL Sandsynligheder og Strategier Ole Witt-Hansen Køge Gymnasium 2006 INDHOLD Kap. Sandsynligheder ved spil.... Lotto... øvelser...2 2. Poker...3 3. Ruinsandsynligheder ved Roulette
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs meresparbank free du er kun ung én gang
sparbank free du er kun ung én gang DU ER KUN UNG ÉN GANG Som ung står du over for en verden af muligheder. Du kan vælge at få en uddannelse, arbejde eller rejse jorden rundt. Du kan gå til fodbold, på
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logisitks Regression: Repetition Y {0,} binær afhængig variabel X skala forklarende variabel π P( Y X x) Odds(Y X x) π /(-π
Læs mereAt lytte med kroppen! Eksperternes kropsbevidsthed. Miniseminar: talentudvikling indenfor eliteidræt Susanne Ravn sravn@health.sdu.
At lytte med kroppen! Eksperternes kropsbevidsthed Miniseminar: talentudvikling indenfor eliteidræt Susanne Ravn sravn@health.sdu.dk Formål: at udvikle gængs forståelse forbundet med ekspertise Konstruktivt
Læs mereOrientering om det engelske abstract i studieretningsprojektet og den større skriftlige opgave
Fra: http://www.emu.dk/gym/fag/en/uvm/sideomsrp.html (18/11 2009) November 2007, opdateret oktober 2009, lettere bearbejdet af JBR i november 2009 samt tilpasset til SSG s hjemmeside af MMI 2010 Orientering
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Læs mereQuestion Question Type % of Respondents Submitting. Details 1 Multiple Select 100% Details 2 Multiple Select 100% Details 3 Multiple Select 100%
Survey Results Survey: Grammatikkursus 2002 Switch to: View by respondent 73 respondents took this survey Question Summary Question Question Type % of Submitting Details 1 Multiple Select 100% Details
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution VUC Skive-Viborg, Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf-e Matematik B Lars H Kristensen
Læs mereBilag 3: Elevinterview 2 Informant: Elev 2 (E2) Interviewer: Louise (LO) Interviewer 2: Line (LI) Tid: 10:45
Bilag 3: Elevinterview 2 Informant: Elev 2 (E2) Interviewer: Louise (LO) Interviewer 2: Line (LI) Tid: 10:45 LO: Det er egentlig bare en udbygning af de spørgsmål, der var på spørgeskemaet. Det er bare
Læs mereStyrke i TR-rollen. Kursus for tillidsrepræsentanter i Aalborg Kommune v/perspektivgruppen
Styrke i TR-rollen Kursus for tillidsrepræsentanter i Aalborg Kommune v/perspektivgruppen Formål/mål Formålet opfølgningsdagen er at arbejde med indersiden af gennemslagskraft og styrke i TRrollen Mål:
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mere1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ Teststatistik P-værdi Signifikansniveau...
Indhold 1 Statistisk inferens: Hypotese og test 2 1.1 Nulhypotese - alternativ.................................. 2 1.2 Teststatistik........................................ 3 1.3 P-værdi..........................................
Læs mereLIVE STREAMING Brøndby Hajduk Split Live Stream Direkte på nettet Online Champions League 27 juli 2017 Free Watch Online Now
LIVE STREAMING Brøndby Hajduk Split Live Stream Direkte på nettet Online Champions League 27 juli 2017 Free Watch Online Now Sådan ser du Brøndby Hajduk Split 27.07.2017 direkte på live stream! www.sefodbold.dk/online-tv/se-brøndby-if-vs-hajduk-split-live-stream-
Læs mereLæringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer
Uge 33-48 Målsætningen med undervisningen er at eleverne individuelt udvikler deres matematiske kunnen,opnår en viden indsigt i matematik kens verden således at de kan gennemføre folkeskolens afsluttende
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereSpil & Sandsynlighed. Preben Blæsild
Spil & Sandsynlighed Preben Blæsild (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)
Læs mere02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI)
02402 Løsning til testquiz02402f (Test VI) Spørgsmål 4. En ejendomsmægler ønsker at undersøge om hans kunder får mindre end hvad de har forlangt, når de sælger deres bolig. Han har regisreret følgende:
Læs mereInvesterings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3
18. februar 2005 Rolf Poulsen AMS Investerings- og finansieringsteori, F05, ugeseddel 3 Seneste forelæsninger Tirsdag 15/2: Afsnit 3.2 og 3.3 indtil eksempel 5. Fredag 18/2: Resten af afsnit 3.3, afsnit
Læs mereSandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder
Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereAT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5
AT-1. Oktober 09 + December 10 + November 11. CL+JW. Stenhus. side 1/5 1. 2. 3. 4. AT-1. Metodemæssig baggrund. Oktober 09. (NB: Til inspiration da disse papirer har været anvendt i gamle AT-forløb med
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Mantel-Haenszel analyser
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Mantel-Haenszel analyser Mantel-Haenszel analyser Sidst lærte vi om stratificerede analyser. I dag kigger vi på et specialtilfælde: både exposure
Læs mereHvad skal vi lave? Nulhypotese - alternativ. Teststatistik. Signifikansniveau
Hvad skal vi lave? 1 Statistisk inferens: Hypotese og test Nulhypotese - alternativ. Teststatistik P-værdi Signifikansniveau 2 t-test for middelværdi Tosidet t-test for middelværdi Ensidet t-test for middelværdi
Læs mereLidt historisk om chancelære i grundskolen
Lidt historisk om chancelære i grundskolen 1976 1.-2.klassetrin Vejledende forslag til læseplan:.det tilstræbes endvidere at eleverne i et passende talmaterialer kan bestemme for eksempel det største tal,
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mereHvad bør en option koste?
Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk
Læs mereDagens program. Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler
Dagens program Afsnit 1.1-1.3 Eksperimenter med usikkerhed Sandsynlighedsmodel - Udfaldsrum - Hændelser - Sandsynligheder Eksempler 1 Sandsynlighedsmodel Kvantitative Metoder 1 - Efterår 2006 Eksperiment
Læs merePersonlig stemmeafgivning
Ib Michelsen X 2 -test 1 Personlig stemmeafgivning Efter valget i 2005 1 har man udspurgt en mindre del af de deltagende, om de har stemt personligt. Man har svar fra 1131 mænd (hvoraf 54 % har stemt personligt
Læs mereFrederikke, Sezer og Jasmin 29. april 2010. Knuser dit hjerte SIGNE. Jeg har tænkt på at spørge Magnus, om han kan være sammen efter skole.
Frederikke, Sezer og Jasmin 29. april 2010 Knuser dit hjerte SC 1. SKOLEGANG DAG Signe og Michelle er på vej til time. Jeg har tænkt på at spørge Magnus, om han kan være sammen efter skole. MICHELLE Ej,
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser;
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Sandsynlighedsregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Inst f. Matematiske Fag Omfang: 8 Kursusgang I fremtiden
Læs mereLedelsesudvikling; situationsbestemt ledelse
Ledelsesudvikling; situationsbestemt ledelse Comentor Lounge April 2015 1 Comentor A/S Fakta Stiftet i 2002 og dermed Nordjyllands ældste og mest toneangivende konsulenthus 17 medarbejdere i hjertet af
Læs mereHvordan gør de professionelle?
Hvordan gør de professionelle? ( Oversat af Ivan Larsen, Samsø Dart Club, Marts 2010 fra How the Pros do it af: Ken Berman 1999 ) Der er to aspekter i det at blive en god dartspiller, det er præcision
Læs mereSimulering af stokastiske fænomener med Excel
Simulering af stokastiske fænomener med Excel John Andersen, Læreruddannelsen i Aarhus, VIA Det kan være en ret krævende læreproces at udvikle fornemmelse for mange begreber fra sandsynlighedsregningen
Læs mereForebyggelse af ludomani blandt 6-10. klassetrin.
Forebyggelse af ludomani blandt 6-10. klassetrin. Overskrift: Præsentation af undervisningsmateriale. Til læreren. Vi ved, at en betydelig del af eleverne, som går i 7-10 kl. på et eller andet tidspunkt
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereMobning på facebook. Anna Kloster, november 2013
Mobning på facebook Anna Kloster, november 2013 At være barn i dagens Danmark betyder, at man er opvokset med mange medier omkring sig. Særligt har de unge taget det sociale medie Facebook til sig. Efter
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår 2006. Dagens program
Dagens program Afsnit 2.4-2.5 Bayes sætning Uafhængige stokastiske variable - Simultane fordelinger - Marginale fordelinger - Betingede fordelinger Uafhængige hændelser - Indikatorvariable Afledte stokastiske
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereMattip om. Statistik 2. Tilhørende kopier: Statistik 3, 4 og 5. Du skal lære om: Faglig læsning. Chance og risiko. Sandsynlighed
Mattip om Statistik Du skal lære om: Faglig læsning Kan ikke Kan næsten Kan Chance og risiko Sandsynlighed Observationer, hyppighed og frekvens Gennemsnit Tilhørende kopier: Statistik, og mattip.dk Statistik
Læs mereTidsværdi for gods i Sverige
Tidsværdi for gods i Sverige Mogens Fosgerau 1 og Mikkel Birkeland, COWI 1 Indledning COWI har sammen med INREGIA i Stockholm gennemført en undersøgelse af tidsværdien for gods for SIKA, Statens Institut
Læs mereØkonomiske forecasts og fremskrivninger
Økonomiske forecasts og fremskrivninger Hvad kan økonomer egentlig? Henrik Jensen Økonomisk Institut Københavns Universitet DPØ, 1. december, 2009 Dagens situation Finansernes fald Ikke alle økonomer så
Læs mere8. klasse, Søborg Privatskole. FIANL gennemskrivning, januar 2008.
8. klasse, Søborg Privatskole. FIANL gennemskrivning, januar 2008. 1. EXT. SKOLEGÅRDEN. DAG/FRIKVARTER Maria(14), Anna(14) går hånd i hånd hen ad skolegården, og snakker om lækre drenge. De ser den super
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 2018/19 Institution VID Gymnasier Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hhx Matematik B Hasse Rasmussen
Læs mereSom mentalt og moralsk problem
Rasmus Vincentz 'Klimaproblemerne - hvad rager det mig?' Rasmus Vincentz - November 2010 - Som mentalt og moralsk problem Som problem for vores videnskablige verdensbillede Som problem med økonomisk system
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereHypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0
Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt
Læs mereEn rigtig røver. Simone. Hej.
En rigtig røver går rundt og retter på butikkens få varer, da dørhåndtaget langsomt bliver trykket ned. kommer ind i butikken med en nylonstrømpe over hovedet og en finger under blusen, der skal se ud
Læs mere