Matematiske metoder - Opgavesæt

Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208

Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller 2 stjerner. Antallet af stjerner fortæller dig om, hvor højt abstraktionsniveau en opgave kræver for at kunne blive løst. Antallet følger nogenlunde følgende skema: 0 stjerner: I disse opgaver skal du anvende kendte definitioner og sætninger direkte. stjerne ( ): Udover at du skal kunne anvende kendte defintioner og sætninger, kræver disse opgaver at du får en god idé - evt. en smart omskrivning af nogle udtryk eller lignende. 2 stjerner ( ): Meget lig opgaver med stjerne, kræver disse opgaver noget ekstra af dig; måske kræver opgaven adskillige og smarte tricks, eller måske kræver opgaven, at du selv finder frem til en indsigt i teorien, som ikke er blevet gennemgået på tavlen! Af ovenstående beskrivelse er det således klart, at jo flere stjerner en opgave har, desto sværere og længere tid kræver den at løse! Bemærk dog, at antallet af stjerner ikke er en direkte indikation af, hvor svær en opgave er - der kan sagtens være to opgaver med samme antal stjerner, der har forskellig sværhedsgrad, men kræver nogenlunde samme abstraktionsniveau! Inddeling i sværhedsgrader har til formål dels at fortælle dig, hvad du skal forvente, når du begynder på en opgave - både hvad angår de matematiske redskaber du skal bruge, men så sandelig også hvor lang tid, du bør forvente en opgave tager! Starter du på en opgave, der er en sværhedsgrad højere end tidligere, er det altså helt naturligt, hvis den tager væsentligt længere tid at løse - og i øvrigt kræver, at du oftere spørger om hjælp (det er derfor vi er her)! Rigtig god fornøjelse med opgaverne :-)

Logik Opgave Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn. Byt med din sidemand og forsøg at afgøre hvilke af hans/hendes udtalelser, der er udsagn. Diskuter jeres svar. Opgave 2 (øvelse fra slides) Opskriv sandhedstabeller for disjunktion, negation, implikation og biimplikation. Opgave 3 Opskriv sandhedstabeller for følgende sammensatte udtryk. a) (p p) b) p (p p) c) (p q) ( p q) Opgave 4 Vis, ved hjælp af sandhedstabeller, at følgende logiske ækvivalenser gælder. a) p p p b) (p q) p q c) p q p q d) (p q) r (p r) (q r) e) p q (p q) r r Opgave 5 Formaliser følgende sproglige sætninger med udsagnslogik. a) Hvis det regner bliver vi våde. b) Vi rejser hvis og kun hvis det er efterårsferie. c) Kurt spiser kun is når solen skinner. d) Hvis Anna ikke kommer til festen så bliver festen kedelig og Martin bliver skuffet. 2

Opgave 6 ( ) På en fjern ø er der to typer af mennesker: Sandsigere, som altid fortæller sandheden (alt hvad de siger er sandt) Løgnere, som altid lyver (alt hvad de siger er falsk) a) Engang besøgte en fremmed øen, her mødte han to af øens indbyggere, Peter og Signe. Han spurgte dem: Er nogen af jer løgnere?. Mindst en af os er løgner, svarede Peter. Bestem ved hjælp af en sandhedstabel, om Peter og Signe hver i sær er løgner eller sandsiger. Hint: Betegn udsagnet Peter er sandsiger med p og udsagnet Signe er sandsiger med s. Opstil et sammensat udsagn, der udtrykker at mindst en af dem er løgner. b) Senere mødte den fremmede to andre indbyggere, Anne og Bob. Han spurgte Anne: Er nogen af jer sandsigere?. Hvis Bob er en løgner, så er jeg også en løgner, svarede Anne. Bestem ved hjælp af en sandhedstabel, om Anne og Bob hver i sær er løgner eller sandsiger. Prædikater og kvantorer Opgave 7 Skriv i ord hvad følgende udsagn betyder. Afgør desuden om udsagnet er sandt eller falsk. a) x R : x 2 = 6 b) x R y R : y > x c) x Q : x > 0 x 2 > x d) x R : x = 0 (x + x = x) 3

Opgave 8 Oversæt følgende sætninger til udsagn (brug prædikater). a) Ikke alle reelle tal er positive. b) Der findes et rationalt tal, der er større end 0. c) For ethvert naturligt tal n findes der et reelt tal x, så x > n. d) Der findes et reelt tal x, som, når det multipliceres med et vilkårligt andet tal y, giver y. e) Ligningen x 2 2x 5 = 0 har ingen rational rod. f) Alle ligninger på formen ax + b = 0, a 0, har en reel løsning. Uanset hvad a og b er. Opgave 9 Skriv i ord hvad følgende to udsagn siger Er kvantorernes rækkefølge ligegyldig? Direkte beviser y R x R : x 2 > y x R y R : x 2 > y Lad p og q være udsagn. Vi skal i det følgende bevise udsagn på formen p q. Før du begynder på arbejdet med afsnittets opgaver bør du sætte dig grundigt ind i nedenstående definitioner. Bemærk at Sætning 3 kan benyttes uden bevis. Definition Lad n Z. Vi siger at n er lige, hvis der findes et andet heltal k Z så n = 2k. Definition 2 Lad n Z. Vi siger at n er ulige, hvis der n ikke er lige. Sætning 3 Lad n Z være et helt tal. Da gælder at n er ulige hvis og kun hvis der findes k Z så n = 2k + Definition 4 Lad n, d Z. Vi siger at d går op i n, hvis der findes et helt tal q Z så n = d q. Vi noterer dette d n. Definition 5 Lad n Z. Vi siger at n er et kvadrattal, hvis der findes k Z så n = k 2. 4

Produkter og summer af hele tal Ved begrebet paritet forståes den egenskab ved et helt tal n Z at n er lige eller ulige. Vi skal i det følgende undersøge, hvordan paritet opfører sig under de kendte regneoperationer multiplikation og addition. Opgave 0 Vis at produktet af to lige tal er lige. Opgave Vis at produktet af et lige og et ulige tal er lige. Opgave 2 Vis at produktet af to ulige tal er et ulige tal. Opgave 3 Vis at summen af to lige tal er lige. Opgave 4 Vis at summen af et lige tal og et ulige tal er ulige. Opgave 5 Vis at summen af to ulige tal er lige. Opgave 6 Vi betragter i denne opgave kvadrattals opførsel under multiplikation og addition. a) Afgør om produktet af to kvadrattal er et kvadrattal. b) Afgør om summen af to kvadrattal er et kvadrattal. Divisorer Vi skal i de følgende opgaver anvende mere matematiske formuleringer. Tilsvarende får vi brug lidt mere avanceret matematisk teori, nemlig Aritmetikkens Fundamentalsætning. Indledningsvis skal vi fastlægge en række grundlæggende resultater om divisorer. Opgave 7 Lad a, b, c Z. Vis at hvis a b og b c, så haves a c. Opgave 8 Lad a, b, c Z. Vis at hvis a b og a c, så haves a b ± c. Opgave 9 Lad a, n, m Z. Vis at hvis a n og a m, så vil a 2 nm. Gælder der også, at hvis a n og b m, så vil ab nm? Opgave 20 ( ) Lad n Z. 5

a) Vis at hvis 3 n + 2, så vil 3 n 2. b) Vis at hvis 3 n, så vil 3 n 2 (læs: 3 går ikke op i n 2 ). Opgave 2 ( ) Lad n Z. Vis at 3 n 3 n. Følgende sætning skal benyttes til opgave 22, 23 og 27. Læs derfor denne grundigt, inden du giver dig i kast med disse opgaver. Sætning 6 (Aritmetikkens Fundamentalsætning) Lad n Z +. Vi kan da skrive n som et produkt af primtal på én og kun én måde, dvs. hvor altså p i er primtal og a i Z + for alle i. n = p a p a 2 2... p a k k Vi minder om, at de første primtal er følgende 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29,... Opgave 22 ( ) Lad x Z og lad n, m Z. a) Undersøg om der gælder, at hvis x nm, så haves x n eller x m. b) Formuler en sætning, der beskriver ovenstående med eventuelle yderligere antagelser. c) Bevis din sætning. Opgave 23 ( ) Lad x, y Z og lad n Z. a) Undersøg om der gælder, at hvis x n og y n, så haves xy n. b) Formuler en sætning, der beskriver ovenstående med eventuelle yderligere antagelser. c) Bevis din sætning. Opgave 24 Lad n Z. Vis at 2 n 3 n. Afgør om 6 n 3 n. Hint: Husk opgave 2. Opgave 25 Lad n Z. 6

a) Afgør om pariteten af 2n 2 afhænger af pariteten af n. Hvis ikke, bestem pariteten af udtrykket. b) Afgør om pariteten af n 2 5n + 7 afhænger af pariteten af n. Hvis ikke, bestem pariteten af udtrykket. c) Afgør om pariteten af 3n 2 + n + 4 afhænger af pariteten af n. Hvis ikke, bestem pariteten af udtrykket. Hint: Det kan være relevant først at betragte tilfældet n lige og derefter tilfældet n ulige. Opgave 26 ( ) Lad n være et naturligt tal. Vis at 9 går op i n 3, n 3 eller n 3 +. Opgave 27 ( ) Lad n Z. Vis at n er et kvadrattal hvis og kun hvis alle primfaktorerne indgår i en lige potens. Hint: Aritmetikkens Fundamentalsætning. Opgave 28 ( ) Lad k være et helt tal. a) Vis at k 2 divideret med 4 efterlader en rest på enten 0 eller. b) Vis at hvis k 2 efterlader en rest på 0 ved division med 4, så efterlader (k + ) 2 en rest på ved division med 4. c) Vis at hvis k 2 efterlader en rest på ved division med 4, så efterlader (k + ) 2 en rest på 0 ved division med 4. d) Vis at summen af 4 på hinanden følgende kvadrattal ikke et et kvadrattal. Uligheder Opgave 29 Lad x, y R +. Vis at x y + y x 2 (x y)2 0 Opgave 30 (AM-GM uligheden - ) Lad x, y R +. Vis at x + y 2 xy Hint: Udnyt at (x y) 2 0 Opgave 3 (Trekantsuligheden - ) ] Lad x, y R. Vis at x + y x + y Hint: Bemærk x + y 2 = (x + y) 2 og udled en ulighed heraf. 7

Bevis ved kontraposition Opgave 32 Vis, at hvis n 2 er ulige, så er n ulige. Opgave 33 Lad n, m Z. a) Vis, at hvis nm er ulige, så er både n og m ulige. b) Vis, at hvis nm er lige, så er enten n eller m lige. c) Vis, at hvis n + m er ulige, så er enten n eller m ulige. d) Vis, at hvis n + m er lige, så er både n og m enten ulige eller lige. Opgave 34 Vis, at hvis 3n + 2 er ulige, så er n ulige. Opgave 35 Vis, hvis x 2 6x + 5 er lige, så er x ulige. Opgave 36 ( ) Lad n N. Vis, at hvis 4 n er et primtal, så er n ulige. Opgave 37 Vis, at hvis 3 går op i n 2, så går 3 også op i n. Hint: Ethvert tal, som 3 ikke går op i, kan skrives som 3k eller 3k +, hvor k Z. 8

Modstridsbeviser Irrationale tal Opgave 38 Lad x Q og xy R \ Q. Vis ved modstrid at y R \ Q. Opgave 39 Lad x R \ Q, y Q. Vis ved modstrid at x + y er irrational. Opgave 40 ( ) Giv et modeksempel til følgende påstand Overvej om følgende påstand gælder Opgave 4 ( ) a) Vis at 3 er irrational. b) Afgør om 6 er irrational. Summen af to irrationale tal er irrational Summen af to positive irrationale tal er irrational c) Afgør om 2 + 3 er irrational. Opgave 42 ( ) Lad p, q være primtal. a) Vis at p er irrational. b) Afgør om pq er irrational. Hvis ikke, angiv en ekstra antagelse der sikrer irrationalitet. c) Afgør om p + q er irrational. Hvis ikke, angiv en ekstra antagelse der sikrer irrationalitet. d) Lad n være et positivt helt tal. For hvilke n er n irrational? rational? Ligninger, blandede bevisteknikker Opgave 43 Vis at der ikke findes a, b Z så 30a + 2b = Opgave 44 Der findes ingen reelle talpar (x, y), der løser ligningen x 2 + = 2xy y 2 Hint: Prøv at omskrive ligningen, så du kan bruge en kvadratsætning. 9

Opgave 45 Lad n være et helt tal, der kan skrives på formen n = 2k +, hvor k Z. Vis at n er ulige. Opgave 46 Bestem alle løsninger x, y R til ligningen x y + y x = 2 Hint: Du kan med fordel bruge resultatet fra Opgave 29. Opgave 47 Vis at der ikke findes hele tal x og y, der løser ligningen Hint: Faktoriser venstresiden. Opgave 48 ( ) Vis at der ikke findes heltal k, n Z så Blandet Opgave 49 Lad x, y R +. Vis at x 2 y 2 = 2 4k + 3 = n 2 x + y 2 xy Bemærk: Dette er den samme opgave som Opgave 30. Kan du også vise resultatet med modstrid? Hvilken løsning er lettest? 0

Induktionsbeviser Summer af heltal Vi minder om at betydningen af sumtegnet er n a i = a + a 2 +... + a n i= Opgave 50 ( ) Vi undersøger summer af lige naturlige tal. a) Find en formel for summen af de n første lige naturlige tal. b) Vis formlen fra a) ved induktion. c) Bestem summen af de 50 første lige naturlige tal. (Svar: 2550) Opgave 5 ( ) Vi undersøger summer af ulige naturlige tal. a) Find en formel for summen af de n første ulige naturlige tal. b) Vis formlen fra a) ved induktion. c) Bestem summen af de 50 første ulige naturlige tal. (Svar: 2500) Opgave 52 ( ) Vi undersøger summer af brøker. a) Bestem følgende summer 2 = 2 2 + 4 = 2 + 4 + 8 = 2 + 4 + 8 + 6 = 2 + 4 + 8 + 6 + 32 = b) Bemærk at ovenstående er summer på formen n k= 2 k = 2 + 4 +... + 2 n for et n. Find en formel, der bestemmer ovenstående sum.

c) Vis formlen fra b) ved induktion. d) Bestem summen (Svar: 023 024 ). 2 + 4 + 8 +... + 2 0 Opgave 53 ( ) Vi betragter lidt mere avancerede summer af brøker. a) Betragt summen 2 + 6 + 2 + 20 +... + n(n + ) Giv et fornuftigt gæt på en formel for ovenstående. b) Vis formlen fra a) ved induktion. Opgave 54 ( ) Find fejlen i følgende bevis. Vi udfører induktion over n dumme talentelever. Lad os definere vores påstand P n ved P n : Alle talentelever er lige dumme I tilfældet n = er udsagnet P oplagt sandt, da der blot findes én talentelev. Antag nu P n er sand for et fast n. Betragt en gruppe på n + talentelever. Hvis vi fjerner én elev fra gruppen, så er der netop n tilbage, som ifølge induktionshypotesen er lige dumme. Vi bytter nu den udvalgte elev med en anden, og får igen en gruppe på n talentelever, som alle er lige dumme. Vi bemærker nu at relationen dum er transitiv, altså hvis Erik er lige så dum som Glenn og Glenn er lige så dum som Bent, så er Erik lige så dum som Bent. Men så må alle de n + talentelever være lige dumme. Dette viser, at i en vilkårlig gruppe af talentelever er alle eleverne lige dumme. Opgave 55 Vi undersøger summer af kvadrat- og kubiktal. a) Der gælder at Vis dette ved induktion. n k 2 = k= n(n + )(2n + ) 6 2

b) Der gælder at n [ n(n + ) k 3 = 2 k= Vis dette ved induktion og argumenter at dette viser ] 2 ( n 2 k) = k= n k= k 3 c) Vis ved induktion at n k= ( ) k+ k 2 = ( ) n+ ( n(n + ) 2 ) Blandet Opgave 56 ( ) Vis at for alle n N går 5 op i n 6. Opgave 57 ( ) Vis at for alle n N går 5 op i 8 n 3 n. Opgave 58 (Bernoullis ulighed - ) Antag x R med x. Da gælder for ethvert n N. Vis dette ved induktion. Opgave 59 ( ) Lad n N og undersøg udtrykket ( + x) n + nx 4n < 2 n Hvornår gælder det? Formuler en sætning og vis den. 3