Differentialligninger

en blid start på Differentialligninger Frank Nasser 26. marts 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Indhold 1 Introduktion 1 2 Hvad er en differentialligning? 2 2.1 Funktionsligninger................... 2 2.2 Differentialligninger................... 8 2.3 Stamfunktionsproblemet på en ny måde....... 12 2.4 Partikulære og fuldstændige løsninger......... 13 2.5 Frie parametre og begyndelsesbetingelser....... 16 3 Nogle vigtige tillægsord 19 3.1 Ordenen af en differentialligning............ 19 3.2 Simple differentialligninger............... 20 3.3 Lineære differentialligninger.............. 20 4 Førsteordensligninger 22 4.1 Retningsdiagrammer og flowkurver.......... 22 4.2 Nummerisk løsning................... 24 4.3 Newtons afkølingslov: Et eksempel........... 26 5 Andenordensligninger 28 5.1 Newtons anden lov: Et eksempel............ 28 6 (Meget) avancerede udvidelser 32 6.1 Koblede differentialligninger.............. 32 6.2 Partielle differentialligninger.............. 33 6.3 Velkommen til forskningsfronten!........... 33

Resumé I dette dokument indfører vi begrebet differentialligninger. Vi vil gemme næsten alle sætninger om forskellige løsningsmetoder til andre dokumenter og i stedet forsøge at gøre det klart hvad en differentialligning er, hvad det vil sige at løse den og hvorfor de er så vanvittigt interessante. 1 Introduktion Differentialligninger er nok det emne i gymnasiematematik som kommer tættest på virkeligheden. Teorien har i allerhøjeste grad anvendelse i nærmest enhver videnskab der arbejder med målbare størrelser. Samtidigt er det nok også det sværeste emne, både fordi det kræver et højt abstraktionsniveau 1, og fordi der ligger enorme udvidelsesmuligheder lige rundt om hjørnet, mens selveste grænsen for menneskehedens samlede viden ligger bare en anelse længere fremme 2. Forudsætninger Du skal selvfølgelig have godt styr på differentiation inden du kan forstå dette dokument. Du bør også have erfaring med at finde stamfunktioner, eftersom dette faktisk er det første eksempel på løsning af (simple, førsteordens) differentialligninger. Desuden skal vi holde fast i følgende gode regel: Når ordet funktion optræder i dette dokument, så skal det læses som: En funktion med primærmængde R og sekundærmængde R. 1 Vi løfter os et niveau, idet funktioner går fra at være nogle konkrete fætre som man manipulerer med til at de er ukendte, og at hele problemet består i at finde dem. 2 Man skal helst have en fornemmelse af at det kun er de allersimpleste problemer som kan løses, og at man meget nemt kan formulere problemer som ingen personer i verden kan løse. side 1

2 Hvad er en differentialligning? Vi begynder med at definere hvad vi mener med en differentialligning. Dette afsnit indeholder en masse eksempler på hvad man kan komme ud for. De fleste af disse fænomener vil blive forklaret yderligere i de næste afsnit. Allerførst skal vi lige vænne os til et lidt mere uskyldigt begreb. 2.1 Funktionsligninger Det sværeste ved at lære om differentialligninger er at man skal vænne sig til tanken om at en funktion kan være ukendt! Når du har løst ligninger indtil nu har den ukendte størrelse altid været et tal. Derfor er det en ret stor omvæltning at den ukendte størrelse i en ligning pludselig kan være en funktion. Prøv lige at tænke over hvor lang tid det tog at vænne sig til almindelige ligninger (hvor den ukendte er et tal): Først når man er så vant til at arbejde med tal at man ser dem som nogle meget konkrete ting kan man acceptere tanken om at et tal kan findes, men alligevel være ukendt ( hemmeligt ). Det er præcis denne tilvænning som du nu er nødt til at lave med funktioner: Vi skal nemlig til at arbejde med ligninger, hvor der optræder en ukendt funktion, og hvor ligningen skal ses som en slags gåde der skal løses for at finde ud af hvad den ukendte funktion er. Men det bliver lige et gebis værre, for man kan ikke sige ret meget om en funktion uden at tale om dens funktionsværdier. Derfor vil en funktionsligning ofte give informationer om den ukendte funktion ved at fortælle noget om dens funktionsværdier i nogle ikke nærmere definerede tal. Så vi har ikke kun brug for at tale om en ukendt funktion, men også om denne funktions værdi i et (ukendt) tal fra definitionsmængden. side 2

Definition 1 En funktionsligning er en ligning, hvori der optræder navnet på en ukendt funktion (som regel f) samt navnet på et ukendt element (som regel x) i funktionens definitionsmængde. Definitionsmængden kan enten være oplyst direkte (ved at man f.eks. tilføjer noget i stil med for x [ 2; 7] ) eller være underforstået: så stor som muligt. En løsning til funktionsligningen består af en konkret funktion, som får ligningen til at gælde for enhver værdi af x i den angivne definitionsmængde. Bemærkninger: Selvom en funktionsligning både indholder en funktion, f, og et tal, x, så er det altså ikke x et der skal isoleres. Man kan sige at x et udelukkende er en hjælpestørrelse der skal bruges til at sige noget om f s opførsel. Når ikke den ukendte funktions definitionsmængde er oplyst direkte, så kan det være ret svært at gennemskue hvad så stor som muligt betyder. Det ser vi på i nogle eksempler senere. Eksempel 1 Her er en meget nem funktionsligning: f(x) + x = sin(x) + 2, for x R Denne gang er der oplyst en definitionsmængde (nemlig alle de reelle tal), og man ønsker så at finde en funktion, f, hvis værdi i ethvert reelt tal, x, får ligningen til at gælde. side 3

Det er meget nemt at se hvilken funktion er er løsning til ligningen. Det er nemlig funktionen, f, givet ved: f(x) = sin(x) + 2 x Vi kunne i dette tilfælde bare isolere f(x) i ligningen. Eksempel 2 Men det kan hurtigt blive sværere. Se f.eks. på ligningen: cos(f(x)) x + f(x) = 1, for x R Denne ligning er meget sværere. Man kan jo ikke lige isolere f(x). I stedet kan vi prøve at se hvad ligningen siger, for ét x af gangen. F.eks. siger den, når x = 0 at: cos(f(0)) 0 + f(0) = 1 Herfra er det meget nemt at se hvad f(0) skal være, for der står jo bare at: f(0) = 1 Men vi har slet ikke løst ligningen endnu. Vi har kun opdaget at en løsningsfunktion nødvendigvis skal have funktionsværdien f(0) = 1. Sagt på en anden måde: Dens graf er nødt til at gå igennem punktet (0; 1). Man kan også prøve med x = 1. Så siger ligningen at: cos(f(1)) 1 + f(1) = 1 dvs. cos(f(1)) + f(1) = 1 side 4

Denne gang er det lidt sværere, men vi kan igen se det som en ligning med funktionsværdien f(1) som ukendt. (Man kan eventuelt viske f(1) ud i ligningen og skrive y eller et andet bogstav i stedet for.) Ved f.eks. at løse ligningen grafisk kan man se at der faktisk kun findes et eneste værdi af f(1) som får ligningen til at gælde, nemlig f(1) = 0 Så vi har endnu et punkt som grafen skal gå igennem, nemlig (1; 0). Men hvad med andre steder? Hvis vi prøver med x = 5, så sker der noget nyt. Her siger ligningen at: cos(f(5)) 5 + f(5) = 1 Man kan igen betragte dette som en (gammeldags) ligning med f(5) som ukendt. Men så opdager man noget mærkeligt, nemlig at der er flere løsninger! I dette tilfælde er både: og f(5) 1,13 f(5) 1,71 f(5) 4,06 gode muligheder. Og vi har ingen mulighed for at finde ud af hvilken en der er rigtig. Vi kan kun konstatere at en løsningsfunktion, f, enten vil have funktionværdien f(5) 1,13 eller f(5) 1,71 eller f(5) 4,06. Eller med andre, at grafen for en løsningsfunktion skal gå igennem et af punkterne (5; 1,13), (5; 1,71) eller (5; 4,06). Hvis man laver denne undersøgelse for alle værdier af x kan man (i teorien) finde alle de punkter som grafen for en løsningsfunktion kan gå igennem. Det svarer til at finde alle punkter (x; y) hvor cos(y) x + y = 1 side 5

Det kan computerprogrammer heldigvis gøre ret hurtigt. Det giver følgende billede af alle de punkter som grafen for en løsningsfunktion kan gå igennem: (Se figur 1). Dette illustrerer en meget typisk egenskab ved funktionsligninger, nemlig at de ofte har uendeligt mange løsninger. Enhver graf man kan finde på at tegne, som udelukkende benytter sig at de blå punkter på figur 1 vil være graf for en løsningsfunktion til ligningen. Nu kan man se at hvis vi sætter et ekstra krav til vores løsningsfunktion, nemlig at den skal være kontinuert, så er der kun en eneste løsning, nemlig den funktion hvis graf består af den sammenhængende del af punkterne på figur 1 som går gennem (0; 1). Figur 1: En indtegning af alle de punkter som en eventuel løsningsfunktion til ligningen i eksempel 2 kan gå igennem. 10 5 20-15 -10-5 5 10 15 20-5 -10 Vi indrammer lige et par af de fænomener som opstod i eksemplet oven over: side 6

En funktionsligning vil ofte have uendeligt mange løsninger. Først når man lægger yderligere krav på løsningsfunktionerne (såsom at de skal være kontinuerte, eller at de skal have bestemte funktionsværdier i bestemte tal) begrænses antallet af løsninger. Til sidst skal vi lige se et eksempel hvor funktionens definitionsmængde ikke er oplyst. Eksempel 3 Lad os se på funktionsligningen: f(x) 2 = x Eftersom der ikke er oplyst noget om hvad x må være, er det underforstået at f skal have så stor en definitionsmængde som muligt. Men hvis x er et negativt tal, så siger ligningen at f(x) 2 skal være et negativt tal, og det kan det aldrig blive. Så der er ingen chancer for at f kan være defineret i negative tal. Til gengæld, hvis x 0, så er der præcis to muligheder for hvad f(x) kan være, nemlig og f(x) = x f(x) = x Som i det foregående eksempel, er der uendeligt mange løsningsfunktioner, fordi f kan vælge mellem at give den positive eller den negative kvadratrod i hvert eneste x. Hvis man yderligere kræver at løsningsfunktionen skal være kontinuert, er der kun to løsninger. side 7

Vi vil nu bevæge os videre til det som er det egentlige emne, nemlig differentialligningerne. Det skal dog lige bemærkes at historien om funktionsligninger slet ikke er slut her. De kan blive meget vanskeligere end de eksempler vi har set, men eftersom det ikke er vigtigt for forståelsen vil vi kun antyde dette med følgende lille drilleopgave: Øvelse 1 Om en funktion, f, oplyses at f(2x) = f(x) for alle x R. Hvilke løsninger har denne funktionsligning? (Hvis man kun leder efter kontinuerte løsninger, så er svaret ganske pænt.) 2.2 Differentialligninger Vi har nu den værste del overstået. Hvis du har luret hvad en funktionsligning er, så vil du ikke blive chokeret over den næste definition. Definition 2 En differentialligning er en ligning hvori der indgår navnet på en ukendt funktion (som regel f), samt navnet på et ukendt element (som regel x) i funktionens definitionsmængde og endvidere udtryk for funktionens afledede af forskellig orden (dvs. f, f, f o.s.v.). Det højeste antal gange den ukendte funktion er differentieret kaldes ordenen af differentialligningen. At løse en differentialligning vil sige at finde alle de funktioner som (sammen med deres afledede funktioner) får ligningen til at gælde. side 8

Det er underforstået at løsningsfunktionerne skal være differentiable så mange gange som ordenen af ligningen kræver. Specielt er det altid underforstået at løsningsfunktionen skal være kontinuert. Lad os starte med en ordentlig bunke eksempler på hvad man kan komme ud for. Senere dykker vi lidt dybere ned i de fænomener der dukker op. Eksempel 4 Heldigvis har du allerede løst mange differentialligninger. Når man finder stamfunktioner til en given funktion, så løser man nemlig i virkeligheden et (forholdsvist uskyldigt) eksempel på en differentialligning. F.eks. er ligningen: f (x) = cos(x) en differentialligning af orden 1 (fordi den ukendte funktion, f, optræder differentieret en gang). Og vi kender alle løsninger til den, nemlig: f(x) = sin(x) + k hvor k er en reel konstant. Men det bliver lynhurtigt meget sværere end det ovenstående eksempel. Prøv f.eks. at se her: Eksempel 5 Den ukendte funktion må gerne optræde flere steder i ligningen. Her er et lidt mere avanceret eksempel på en differentialligning: f (x) + f (x) x = f (x) f (x) side 9

Lad os prøve at gætte en løsning: Vi gætter på den konstante funktion, f, givet ved: Denne funktion opfylder: og f(x) = 5, x R f (x) = 0 f (x) = 0 Så derfor giver venstresiden af differentialligningen: mens højresiden giver: f (x) + f (x) x = 0 + 0 x = 0 f (x) f (x) = 0 0 = 0 Da de to sider giver det samme, er f altså en løsning til differentialligningen. Øvelse 2 Vis at enhver konstant funktion er løsning til differentialligningen i eksemplet ovenover. Kan du gætte en løsningsfunktion som ikke er konstant? (Der er en meget simpel løsningsfunktion som ikke er konstant.) Det er mange gange muligt at gætte en løsning til en differentialligning, alene ved at gætte på de simpleste funktioner man kender (konstante funktioner, f.eks.) Men det er desværre sjældent at man side 10

er tilfreds med det. Man har meget ofte lyst til at kende alle løsningsfunktionerne. Eksempel 6 Her er en differentialligning: f (x) = f(x) En løsning til denne ligning består altså i en funktion, f, som giver sig selv når den differentieres to gange. Det er meget let at gætte en enkelt løsning, nemlig funktionen f, defineret ved: f(x) = e x En lidt mere overraskende løsning er måske funktionen g, defineret ved: g(x) = 1 e x = e x Den opfylder nemlig at: og g (x) = e x ( 1) = e x g (x) = e x ( 1) = ( e x ) = e x Og dermed er g (x) det samme som g(x) for alle reelle tal x. Og vi er bestemt ikke færdige! Man kan faktisk finde uendeligt mange funktioner som opfylder ligningen. Nemlig alle funktioner, h, defineret ved: h(x) = a f(x) + b g(x) hvor a og b er vilkårlige reelle tal. Og selv derefter er det meget svært indse om der findes endnu flere. (Det gør der ikke.) side 11

Øvelse 3 Her er en differentialligning: f (x) = f(x) Hvor mange løsninger kan du finde til denne ligning? Eksempel 7 Der kan sagtens indgå kendte funktionsudtryk i en differentialligning sammen med den ukendte funktion. Det åbner muligheder for endnu mere komplicerede ligninger. Her er et eksempel på en ret ondskabsfuld ligning: f (x) + f(x) cos(x) = x 2 + e x En løsning til denne ligning består af en funktion, f, hvor f (x) + f(x) cos(x) giver det samme som x 2 + e x uanset hvilket x man sætter ind. Kan du finde en løsning? (Jeg kan ikke, men jeg er sikker på at der findes nogen.) 2.3 Stamfunktionsproblemet på en ny måde Nu kan vi så sige hvorfor stamfunktionsproblemet i virkeligheden er en light udgave af en differentialligning. Når man finder stamfunktioner til en given funktion, f, f.eks. f(x) = x 4 + x 2 så leder man efter funktioner, F, som opfylder at: F (x) = x 4 + x 2 side 12

Dette er i virkeligheden en differentialligning, eller helt præcist: En simpel, lineær førsteordens differentialligning (hvor den ukendte funktion hedder F ). En løsning til denne differentialligning kunne være: F (x) = 1 5 x5 + 1 3 x3 Men som du nok kan huske, så har en given funktion som regel uendeligt mange stamfunktioner. Det er præcis det samme som at sige at differentialligningen har uendeligt mange løsninger. Vi har endda styr på hvilke andre løsninger der findes. To stamfunktioner til den samme funktion vil nemlig altid være ens bortset fra en eventuel additiv konstant. Så vi kan skrive samtlige løsninger til differentialligningen op. De består nemlig af funktioner, F, givet ved: F (x) = 1 5 x5 + 1 3 x3 + k hvor k er en reel konstant. 2.4 Partikulære og fuldstændige løsninger En differentialligning har næsten altid uendeligt mange løsninger. Man kan enten vælge at lede efter en af løsningerne, eller (hvis man er mere ambitiøs): efter dem alle. For at skelne mellem disse to muligheder, har vi to fine ord: Definition 3 En funktion, f, som løser en differentialligning kaldes en partikulær løsning til ligningen. Med den fuldstændige løsning menes en præsentation af samtlige løsninger til ligningen. side 13

Det er ofte ret nemt at gætte en partikulær løsning til en differentialligning. Hvis vi derimod skal finde den fuldstændige løsning, så er vi nødt til at være meget mere forsigtige. Den typiske logik som man bruger er at stille spørgmålet: Hvis f er en løsning til differentialligningen, hvad kan vi så sige om f? Bare for at antyde hvor svært det kan være at finde den fuldstændige løsning, kommer her et enkelt eksempel på hvordan ovenstående logik virker. Sætning 1 Lad os se på differentialligningen: f (x) = f(x) Den fuldstændige løsning til denne ligning består af alle funktioner, f, givet ved: f(x) = k e x hvor k er en reel konstant. Bevis. Det er meget let at tjekke at enhver funktion af den foreslåede form er en løsning: Hvis f er givet ved: så er f(x) = k e x f (x) = k e x (fordi multiplikative konstanter bliver stående når man differentierer, og fordi eksponentialfunktionen er uændret når den differentieres). Det som er svært er at argumentere for at der ikke findes andre løsninger. Her kommer ovennævnte logik til hjælp: Lad os forestille side 14

os at f er en løsningsfunktion til differentialligningen 3. Vi kan naturligvis ikke vide noget som helst om hvordan f er defineret. Det eneste vi ved er at: f (x) = f(x) Vi vil nu forsøge at argumentere for at f nødvendigvis er en af de løsningsfunktioner som sætningen påstår. Dertil skal man få en vild ide: Lad os lave en ny funktion, g ved at definere: g(x) = f(x) e x Vi tager altså den løsningsfunktion som kom ind ad døren og bruger den til at lave en helt anden funktion. Denne funktion kan vi så prøve at differentiere. Dertil skal vi bruge reglen for differentiation af produkter og reglen for differentiation af sammensatte funktioner (fordi e x er sammensat af et fortegnsskift som den indre funktion og eksponentialfunktionen som den ydre). Det giver: g (x) = f (x) e x + f(x) e x ( 1) Bemærk at vi ikke kan sige noget konkret om hvad f giver når den differentieres (fordi vi ikke ved hvordan f er defineret), men vi kan stadig skrive at det giver f. Nu kan vi så bruge det eneste som vi ved om f, nemlig at f og f er den samme funktion. (f var jo en løsning til differentialligningen!) Derfor er: g (x) = f(x) e x + f(x) e x ( 1) = f(x) e x f(x) e x = 0 Så g giver simpelt hen nul når den differentieres! Det må betyde at g er konstant! Lad os kalde denne konstant for k. Nu kan vi se på definitionen af g at: g(x) = f(x) e x = f(x) 1 e x 3 Lav gerne et billede inde i hovedet af at en eller anden fremmed person kommer ind ad døren med en løsningsfunktion som han har fundet. side 15

dvs. f(x) = g(x) e x = k e x Dermed er f en af de funktioner som sætningen påstod! 2.5 Frie parametre og begyndelsesbetingelser Når man leder efter den fuldstændige løsning til en differentialligning, kommer man næsten altid ud for at skulle skrive uendeligt mange funktioner op. Dertil er det smart at bruge nogle nogle frie parametre; altså nogle reelle konstanter som kan være lige hvad de har lyst til, og først hvis man fastlægger en værdi for alle disse parametre har men en konkret løsningsfunktion. Eksempel 8 Differentialligningen: f (x) = x har en partikulær løsning givet ved funktionen f, hvor: f(x) = 1 6 x3 (Tjek selv hvad der sker hvis man differentierer f to gange.) Den fuldstændige løsning består af alle funktioner, f, hvor f(x) = 1 6 x3 + ax + b hvor a og b kan være et hvilket som helst reelt tal. Meget ofte 4 står man 5 med en differentialligning og ønsker sig en løsningsfunktion som (udover at løse differentialligningen) har nogle helt bestemte egenskaber. Sådanne krav om yderligere egenskaber 4 I en passende forstand af ofte. 5 I en passende forstand af man. side 16

kaldes begyndelsesbetingelser eller (i nogle sammenhænge) randbetingelser. Hvis man allerede har skrevet den fuldstændige løsning op ved hjælp af nogle frie parametre, så er det en populær afspændingsøvelse at finde præcis de værdier af de frie paramtre som får begyndelsesbetingelserne til at være opfyldt. Man siger at begyndelsesbetingelserne bruges til at fastlægge en partikulær løsning. Det foregår som i det næste eksempel. Eksempel 9 Differentialligningen fra eksempel 8 havde en fuldstændig løsning bestående af alle funktioner f, hvor f(x) = 1 6 x3 + ax + b Her er a og b frie parametre som kan være lige hvad de har lyst til, og alt efter hvilken værdi vi giver den, får vi en forskellig løsningsfunktion. Nu kunne vi opstille et par begyndelsesbetingelser. Det kunne være at vi ønskede os en løsningsfunktion, hvor og f(1) = 4 f(2) = 0 Hvis indsætter den generelle forskrift for en løsningsfunktion i disse krav, så står der at: og 1 6 13 + a 1 + b = 4 1 6 23 + a 2 + b = 0 side 17

Eller omskrevet: 1 6 + a + b = 4 og 8 6 + 2a + b = 0 Dette er to ligninger med a og b som ukendte, og de kan bruges til at bestemme a og b. Vi isolerer b i den anden ligning: b = 8 6 2a og indsætter dette i den første ligning: dvs. dvs. Og dermed er: 1 6 + a 8 6 2a = 4 2a = 4 + 8 6 1 6 = 4 + 7 6 = 31 6 a = 1 2 31 6 = 31 12 2,6 b = 8 6 2a = 8 6 + 31 6 = 23 6 3,8 Så den løsning til differentialligningen som opfylder vores begyndelsesbetingelser er: f(x) = 1 6 x3 31 12 x + 23 6 Som en tommelfingerregel kan man godt sige følgende. Det er ikke en sætning, fordi der findes masser af modeksempler hvor det simpelt hen er forkert. Men det forekommer så ofte at man gerne må side 18

have en fornemmelse af at det hænger sammen på den måde: Hvis en differentialligning har orden n, så er det meget almindeligt at der kræves n forskellige frie parametre for at opskrive den fuldstændige løsning, og det er meget almindeligt at der skal opstilles n begyndelsesbetingelser for at fastlægge en bestemt partikulær løsning. 3 Nogle vigtige tillægsord På nuværende tidspunkt har du sandsynligvis en fornemmelse af at der findes et hav af forskellige differentialligninger. For hjælpe lidt på overblikket har vi nogle tillægsord som kan knyttes til en differentialligning. På den måde kan man inddele dem i forskellige typer, alt efter hvilke tillægsord der kan knyttes til dem. 3.1 Ordenen af en differentialligning For det første har enhver differentialligning en orden, nemlig det højeste antal gange den ukendte funktion er differentieret i ligningen. Det allerførste man bør gøre når man møder en differentialligning er at gøre sig klart hvilken orden den har. Man siger da at differentialligningen er f.eks. en førsteordens eller femteordens ligning. Øvelse 4 Kig alle eksemplerne fra de sidste afsnit igennem, og identificer ordenen af de differentialligninger du ser. (Hvis det ikke er angivet direkte). side 19

3.2 Simple differentialligninger Hvis navnet på den ukendte funktion kun forekommer et eneste sted i differentialligningen kaldes den simpel. Eksempel 10 Her er et (gyseligt) eksempel på en simpel differentialligning af tredje orden: f (x) x 2 x + sin(x) = ex Bemærk er dette er helt i harmoni med at vi kalder gammeldags ligninger for simple hvis det ukendte tal kun forekommer et eneste sted i ligningen. Hvis en differentialligning er simpel, så kan det som regel lade (om ikke andet, så i princippet) sig gøre at isolere den ukendte funktion, sådan at ligningen får et udseende af formen: f (n) (x) = g(x) Hvor n er ordenen af ligningen og g er en konkret funktion. Hvis man når så langt, så er differentialligningen kun en udvidet version af stamfunktionsproblemet. Dermed er det forholdsvist nemt at opskrive den fuldstændige løsning, så længe g er en pæn nok funktion. 3.3 Lineære differentialligninger Den sidste type differentialligninger vi skal se på hedder lineære differentialligninger. Tro nu ikke at dette navn har noget at gøre med at løsningsfunktionerne er lineære funktioner! Det er overhovedet ikke rigtigt. Ordet lineær refererer i stedet til at der kun er udført lineære regneoperationer på den ukendte funktion og dens afledede. Med andre ord: Den ukendte funktion og dens afledede optræder kun ganget med konstanter og lagt sammen med andre led i ligningen. side 20

Det gør vi lige mere præcist med en definition: Definition 4 En lineær differentialligning af orden n er en ligning af formen: a 0 f(x) + a 1 f (x) + a 2 f (x) +... + a n f (n) (x) = g(x) hvor g er en (konkret) funktion, og a 0, a 1, a 2,... a n er (konkrete) reelle tal. Denne type differentialligninger er ekstremt vigtige, dels fordi de er nemme nok til at der faktisk findes løsningsmetoder, men samtidigt fordi de er avancerede nok til at kunne bruges i beskrivelsen af en masse virkelige problemer. Således er de fleste differentialligninger som dukker op i (grundlæggende) fysik lineære. Øvelse 5 Prøv at opskrive en (konkret) lineær differentialligning af orden 5. Prøv også: 1. At opskrive en linær differentialligning som er simpel. 2. At opskrive en simpel differentialligning som ikke er lineær. 3. At opskrive en lineær differentialligning som ikke er simpel. 4. At opskrive en differentialligning som hverken er linær eller simpel. Hvis du mangler inspiration, kan du faktisk finde eksempler på alle fire ting i eksemplerne i dette dokument. side 21

4 Førsteordensligninger Lad os kigge nærmere på den nemmeste familie af differentialligninger. En førsteordens differentialligning vil give os en sammenhæng imellem x, f(x) og f (x). Når man har en sådan sammenhæng, så er der et lille trick som kan bruges til at få et overblik over hvordan løsningsfunktionerne ser ud. Det hedder at tegne retningsdiagram for differentialligningen. 4.1 Retningsdiagrammer og flowkurver Hvordan man tegner retningsdiagrammer er nemmest at forklare ud fra et eksempel: Eksempel 11 Her er en førsteordens differentialligning: f (x) f(x) + f(x) x = sin(x) Nogle gange er man så heldig at man kan isolere f (x). Det kan vi i dette eksempel: f (x) = f(x) (sin(x) f(x) x) Nu vil vi forsøge at tegne grafen for en løsningsfunktion (uden at kende den). Selvfølgelig kan det ikke lade sig gøre på den måde man normalt tegner grafer. Men man kan gøre noget andet: 1. Vælg et punkt i koordinatsystemet (ikke nødvendigvis på x-aksen!) Vi tager punktet (π; 1) som eksempel. 2. Lad os forestille os at grafen for en løsningsfunktion gik igennem dette punkt. Det ville i vores tilfælde være det samme som at f(π) var lig med 1. side 22

3. Betragt nu differentialligningen idet vi sætter x = π: f (π) = f(π) (sin(π) f(π) π) 4. Her kan vi indsætte vore (opdigtede) oplysning at f(π) = 1: f (π) = 1 (0 1 π) = π 3,14 5. Det betyder at hvis grafen for en løsningsfunktion går igennem punktet (π; 1), så har den en tangenthældning på cirka 3,14 i dette punkt. 6. Denne fantastiske indsigt markerer vi ved ikke blot at markere punktet (π; 1) i koordinatsystemet med ved at sætte et lillebitte linjestykke som går igennem dette punkt med hældning 3,14. 7. Og nu starter vi så forfra med et nyt punkt. Og efter cirka 400 år har vi været igennem så mange punkter at der tegner sig et billede i stil med figur 2 nedenfor. (Heldigvis er computere rigtigt glade for den slags repetitive arbejde.) Med et retningsdiagram i hånden har man pludselig en ide om hvordan grafen for en løsningsfunktion kan se ud. Løst sagt har vi tegnet grafer for alle løsningsfunktionerne på en gang. Det betyder at hvis man vil have en konkret løsning til differentialligningen, så er det bare et spørgsmål om at vælge et punkt i koordinatsystemet hvor grafen skal starte, og så lade grafen flyde med strømmen i retningsdiagrammet. Bemærk at valget af startpunkt svarer præcis til at man opstiller en begyndelsesbetingelse (deraf navnet) som fastlægger en partikulær løsning ud fra den fuldstændige løsning. Dette er også grunden til at man nogle gange kalder grafen for en løsningsfunktion en flowkurve. side 23

Figur 2: Retningsdiagram for differentialligningen i eksempel 11. Jeg har markeret punktet (π; 1) med en rød prik. 3 2 1-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1 -2-3 Konklusion: Vi har ganske vist ikke skrevet en eneste løsningsfunktion ned, men vi har en fremragende ide om hvordan grafer for sådanne løsningsfunktioner kan se ud. 4.2 Nummerisk løsning Retningsdiagrammerne fra sidste afsnit kan give en god ide om hvordan man kan finde partikulære løsninger til en førsteordens differentialligning. Ideen er at starte med en begyndelsesbetingelse af typen: f(x 0 ) = y 0 hvor x 0 og y 0 er konkrete tal, og så konstruere en løsningsfunktion på følgende måde: 1. Vi har allerede en enkelt funktionsværdi, nemlig f(x 0 ) = y 0. side 24

2. Ud fra differentialligningen kan vi dermed se hvad f (x 0 ) skal være. 3. Lad nu x 1 være en lille smule større end x 0, altså hvor x er et meget lille tal. 4. Sæt y 1 til at være: x 1 = x 0 + x y 1 = y 0 + f (x 0 ) x Det svarer til at vi går en lille smule langs med linjestykket der har hældning f (x 0 ). 5. Sæt f(x 1 ) til at være y 1 og start forfra med denne funktionsværdi. Denne metode (ofte kaldet Eulers iterationsmetode ) kan bruges til at producere funktionsværdier for den løsningsfunktion som opfylder begyndelsesbetingelsen. Man skal bare gentage processen så mange gange at man kommer hen til den x-værdi man ønsker at kende funktionen i. Man kan endda også da x være negativ, sådan at man også kan flyde baglæns med regningsdiagrammet. På figur 3 har vi ladet en computer benytte tre forskellige begyndelsesbetingelser til at tegne flowkurver for differentialligningen fra eksempel 11. Problemer og forbedringer Eulers metode er dog langtfra fantastisk! Som du nok har på fornemmelsen, så laver man en lille fejl hver gang man beregner den næste funktionsværdi. Og endnu værre: Fejlen har tendens til at være til den samme side hver gang, sådan at de små fejl hober sig op hvis vi gennemløber metoden mange gange. side 25

Figur 3: Retningsdiagram for differentialligningen i eksempel 11 med indtegning af tre forskellige flowkurver. 4 3 2 1-6 -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5 6-1 -2-3 -4 Derfor findes der naturligvis masser af forbedringer af Eulers metode. De er lidt mere avancerede, men grundpricippet er det samme. Den mest populære af sådanne forbedringer har det hemmelighedsfulde navn RK4 hvor bogstaverne er en forkortelse for opfindernes efternavne (Runge og Kutta) mens firtallet refererer til at metoden findes i flere udgaver. Det har så vist sig at nummer 4 er den af udgaverne som oftest giver bedst præcision i forhold til hvor tunge beregninger der kræves. 4.3 Newtons afkølingslov: Et eksempel. Et meget virkelighedsnært eksempel på en førsteordens differentialligning opstår helt af sig selv hvis vi prøver at beskrive hvordan temperaturen af en varm genstand (f.eks. en kop kaffe) ændrer sig som funktion af tiden når man stiller den i et køligt rum. Lad vores ukendte funktion hedde T, og lad et tilfældigt tidspunkt hedde t. Og lad os sige at rummet som vi stiller kaffen ind i har en temperatur, T rum. side 26

Den afledede af T, altså T har en meget naturlig betydning, nemlig hastigheden hvormed temperaturen ændrer sig. Man må forvente at hvis kaffen er varmere end rummet, så vil T være negativ. Newtons afkølingslov siger mere præcist at afkølingshastigheden (T (t)) er proportional med temperaturforskellen mellem den varme genstand (T (t)) og rummet (T rum ). Med symboler siger den at der findes en proportionalitetskonstant 6, α sådan at: T (t) = α (T (t) T rum ) Bemærk at sådan som vi har skrevet afkølingsloven op her, så må α under alle omstændigheder være et negativt tal. Øvelse 6 Vælg en konkret værdi af T rum og α (Husk at α skal være negativ!) og tegn et retningsdiagram for differentialligningen: T (t) = α (T (t) T rum ) Kan du se en løsningsfunktion? Prøv at sætte α = 1 og T rum = 0 (selvom det godt nok er et rimeligt koldt rum). Kan du nu gætte en løsningsfunktion? (Se sætning 1 hvis du mangler inspiration). For en god ordens skyld må vi hellere lige nævne: 6 Værdien af denne proportionalitetskonstant vil afhænge en masse fysiske faktorer, såsom genstandens form, hvilket materiale den er lavet af, hvilken luftart der er i rummet og meget andet. side 27

Sætning 2 Hvis α er et negativt tal, og T r um er et reelt tal, så er den fuldstændige løsning til differentialligningen: givet ved funktioner T af typen: T (t) = α (T (t) T rum ) T (t) = T rum + k e α t hvor k kan være en hvilken som helst reel konstant. Denne sætning kan bevises på samme måde som sætning 1. Man skal blot være lidt mere kreativ på det tidspunkt hvor hjælpe funktionen g opfindes. Hvis du har lyst til at prøve, så brug denne her: g(t) = (T (t) T rum ) e α t 5 Andenordensligninger Vi vil også knytte en enkelt kommentar til andenordens differentialligninger. Mest af alt fordi den mest anvendte fysiske lovmæssighed overhovedet er et eksempel på sådan en: 5.1 Newtons anden lov: Et eksempel Du kender sikkert Newtons anden lov som: F = m a hvor F er den resulterende kraft på en genstand, m er denne genstands masse og a er genstandens acceleration. Det er mindre sikkert at du har fået at vide at dette faktisk er en differentialligning. side 28

Men hvad fysikbøgerne sjældent nævner er at både F og a er funktioner af tiden, og at de som regel hænger meget nøje sammen med en helt tredie funktion, nemlig genstandens position. Lad os begrænse os til en 1-dimensional bevægelse. Og lad os vælge et nulpunkt og en enhed for denne bevægelse. Dermed er genstandens position nemlig en (ukendt) funktion af tiden. Lad os kalde denne funktion for x. Nu viser det sig at Newtons anden lov (som regel) er en differentialligning som beskriver funktionen x. I første omgang er det klart hvad accelerationen, a har med x at gøre. Det er jo den anden afledede af x. Dvs: a(t) = x (t) Det er lidt mere indviklet at indse at F (som regel) hænger direkte sammen med selve funktionen x. Men hvis man tænker lidt over det, så er de fleste naturkræfter som kan påvirke en genstand givet ved genstandens position. Dette faktum skyldes dog ikke Newtons anden lov, men derimod diverse andre naturlove, såsom tyngdeloven, de elektrodynamiske love, Hooke s lov, o.s.v. Lad os se på et konkret eksempel. Eksempel 12 Vi sætter en klods med massen m fast i væggen med en fjeder med fjederkonstant k og giver den lov til at glide frem og tilbage på en fuldkommen glat overflade. (Kan du genkende opstillingen fra fysiktimerne?) Hvis vi sætter x = 0 til at svare til fjederens ligevægtsposition, og måler x i meter, med retningen væk fra væggen som den positive retning, så siger Hooke s lov at kraften, F på vores genstand (der er heldigvis ingen gnidningskraft) er givet ved: F = k x Lad os så skrive Newtons anden lov op, idet vi husker at x er side 29

en funktion af tiden: k x(t) = m x (t) Se selv: En andenordens differentialligning! Faktisk er dette en ganske uskyldig ligning, og man kan forholdsvist nemt vise at de eneste løsningsfunktioner er givet ved: x(t) = A sin k m t + φ Hvor A og φ er frie parametre. Det passer glimrende med vores intuition om at genstanden vil svinge som en harmonisk svingning omkring nulpunktet. Et par oplagte begyndelsesbetingelser som vil fastlægge de to frie parametre, A og φ, kunne være en ekstra information om hvilket tidspunkt vi har startet vores svingning på og hvor langt vi har strakt fjedederen i første omgang. Hvis man får lyst til at tage yderligere fænomener ind i ovenstående eksempel, så finder man hurtigt ud af hvor svære andenordensligninger kan blive. Luftmodstand Hvis f.eks. vil regne med luftmodstand i bevægelsen, så er det en kraft som er proportional med genstandens fart (idet vi faktisk oversimplificerer helt vildt), og med modsat retning af hastigheden. Det kan udtrykkes som: F luftmodstand = α v hvor v er hastigheden. Hvis vi husker at hastigheden er en funktion af tiden og at: v(t) = x (t) side 30

så kan luftmodstanden indsættes i Newtons anden lov. Det giver en ny differentialligning: 5.1.1 Gnidningskraft k x(t) α x (t) = m x (t) Hvis man vil tage gnidningskraft med i billedet, så bliver det helt tosset. Gnidningskraften er (lidt oversimplificeret) en konstant kraft som peger modsat genstandens hastighed. Det kunne man modellere matematisk med: x (t) F gnid = K x (t) (idet x (t) x (t) bare er ±1, alt efter om hastigheden er positiv eller negativ. Dette er dog kun meningsfuldt når x (t) 0. I de øjeblikke hvor vores genstand ligger stille er den derimod givet ved en statisk gnidningskraft, som modsat summen af alle andre kræfter. Og dens størrelse er konstant, dog maksimalt lige så stor som de andre kræfter. Som du nok kan se, er gnidningskraft noget rædselsfuldt rod! Hvis den tages med, så bliver differentialligningen af typen: F (x(t), x (t)) = m x (t) hvor F er en uhyre kompliceret funktion der kan regnes ud til enhver given værdi af både x(t) og x (t), men som ikke engang er en kontinuert funktion af disse to variable. Så ganske vist kommer der en differentialligning frem, men det er vist meget klart hvorfor fysikere holder så meget af glatte overflader. Flerdimensional bevægelse En anden udvidelsesmulighed kunne være at tillade vores genstand at bevæge sig i 2 eller 3 dimensioner. Dermed bliver den ukendte funktion pludselig en vektorfunktion, eller med andre ord: Vi får hele tre ukendte funktioner af tiden. Hvad det kan medføre af udfordringer kan du se (en smule) mere om i de næste afsnit. side 31

6 (Meget) avancerede udvidelser Advarsel: Nu tager vi hul på nogle meget store emner. Mange af de problemer som nævnes er uløste ikke bare i den forstand at det er for svært for gymnasieelever at forstå løsningen, men i den forstand at ingen personer i verden kan løse dem. Endnu. 6.1 Koblede differentialligninger Differentialligningernes svar på flere ligninger med flere ukendte hedder koblede differentialligninger. Hvis den ukendte funktion er en vektorfunktion. Det sker f.eks. altid når man prøver at beskrive virkelige bevægelser. Her er der tre funktioner, nemlig x-, y og z koordinaten af vores genstands position, som alle tre er funktioner af tiden. Et meget berømt (og oplagt) eksempel på dette er trelegemeproblemet hvor man prøver at beskrive positionen af hele tre objekter (det giver så 9 ukendte funktioner af tiden) som påvirker hinanden ved hjælp af tyngdekraften. Skriver man Newtons anden lov ned for hver af de tre objekter, så fremkommer der hele 9 andenordens differentialligninger, hvor alle 9 ukendte funktioner indgår i dem alle. Glem alt om en lige ud af landevejen løsningsmetode, som vi har for almindelige ligningssystemer med flere ukendte. Faktisk er de differentialligninger som opstår så indviklede at man kun kender meget få partikulære løsningsfunktioner i nogle meget specielle specialtilfælde (f.eks. hvis de tre genstande vejer præcis det samme.) Og løsninger udviser det som kaldes kaotisk adfærd hvilket (løst sagt) betyder at et sæt begyndelsesbetingelser godt kan fastlægge en løsning. Men hvis man ændrer en af begyndelsesbetingelserne en ganske lille smule, så kan det få løsningsfunktionerne til at se totalt anderledes ud. Dette fænomen har givet anledning til kælenavnet the butterfly effect. Nemlig det fænomen at en enkelt sommerfugl i Sydamerika som basker en ekstra gang med vingerne i princippet kan afgøre om side 32

der kommer monsun i Indien dette år eller ej. Det samme fænomen antyder også hvorfor man nok aldrig nogensinde vil kunne skrive en fuldstændig løsning til et sådant ligningssystem ned. Løsningsfunktionernes afhængighed af begyndelsesbetingelserne er simpelt hen for kompliceret til nogensinde at kunne skrives ned. 6.2 Partielle differentialligninger En anden måde at gøre problemet sværere på er ved at lade den ukendte funktion være en funktion af flere variable. Dette ligger et stykke uden for sædvanligt gymnasiestof, men det er ganske oplagt at sådanne funktioner findes overalt. F.eks. er lufttrykket i det lokale du befinder dig i en funktion af hele fire variable: Tiden samt tre koordinater til det punkt man måler trykket i. Til sådanne funktioner af flere variable har man opfundet noget som hedder partiel differentiation hvor man differentierer med hensyn til en af de variable af gangen. Hvis f.eks. funktionen f afhænger af de fire variable t, x, y og z, så skriver man f (t, x, y, z) x for den afledede af f med hensyn til x i punktet (x, y, z, t). 6.3 Velkommen til forskningsfronten! Uheldigvis har naturen en slem tendens til at lade de fleste funktioner være både vektorfunktioner og afhængige af flere variable. Det betyder at man meget hurtigt løber ind i koblede, partielle differentialligninger. Nogle meget berømte eksempler, hvoraf kun en enkelt er nogenlunde under kontrol er: Maxwells ligninger. Navier Stokes ligningerne. side 33

Varmeligningen. Schrödingerligningen. Bølgeligningen. side 34