Jesper, Emil, Mikkel, Michael 0 Elektroner i Boblekammer. 1 Forord 2. 2 Boblekammer 3

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 0 Elektroner i Boblekammer Indhold 1 Forord 2 2 Boblekammer 3 3 Energitab 4 3.1 Teori.................................. 4 3.2 Forsøget................................ 5 3.3 Usikkerheder............................. 6 3.4 Resultater............................... 8 3.5 Simulering............................... 9 4 Spredning af impuls 10 4.1 Teori.................................. 10 4.2 Forsøget................................ 11 4.3 Resultater............................... 14 4.4 Fordeling for impulsen på et Plan.................. 15 5 Konklusion 16 6 Litteraturliste 17 7 Bilag 18 7.1 Formel for bestemmelse af raidus.................. 18 7.2 Formel for bestemmelse af impuls.................. 18 7.3 Punkt i rummet........................... 18 1

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 1 Elektroner i Boblekammer 1 Forord I dette projekt har vi valgt at beskæftige os med partikler i et boblekammer. I vores forsøg vil vi kigge på energitabet for elektroner i et boblekammer. Vi vil sammenholde dette med Bethe-Bloch formlen, som netop beskriver energitabet for partikler. Derudover ønsker vi at analysere spredningen af den impuls, P, som elektronerne har, efter protonerne er stødt ind i dem. Denne sammenhæng burde ifølge teorien kunne beskrives som P 2 1. I vores rapport har vi valgt at lægge alle vores data om som bilag, så for at kigge nærmere på dataen, se der omme. Vi har også lagt en større kopi af alle vores grafer om bag ved, så hvis en graf føles lidt uklar at se på i selve rapporten, burde den blive bedre der. De fleste mellemregninger ligger også som bilag. 1 Passage Of Particles Through Matter 2

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 2 Elektroner i Boblekammer 2 Boblekammer Et boblekammer bruges til at observere partiklers bevægelse. Boblekammeret indeholder for eksempel flydende brint. Det fungerer ved, at der dannes små bobler, når en partikel bevæger sig igennem kammeret. Når man så tager et billede af det, og kan man se, hvor boblerne er, og dermed hvordan partiklen har bevæget sig. Ved at stille boblekammeret i et magnetfelt, kan man ud fra partiklernes spor, bestemme impulsen af ladede partikler. Boblerne kan dannes, da væsken befinder sig i en ustabil tilstand. Så kan den lille energi, som mange elektroner får fra sammenstød med indkommende partikler, være nok til at sætte gang i bobledannelsen. Fordelen med boblekammeret er, at man kan få en god opløsning. Derudover kan man også observere et relativt stort synsfelt, da de små partiklers mikroskopiske bevægelser bliver lavet om til makroskopiske fænomener, som man nemt kan registrere. I boblekammeret kan man se en masse forskellige reaktioner og henfald. Der sker det, at der skydes en masse energirige protoner ind fra siden, og de støder ind i enten protoner eller elektroner i væsken. Det vi vil kigge på, er det sidste. Vi måler så på disse elektroner for at bestemme, hvordan de taber energi. Vi vil også kigge på, hvilken impuls elektronerne får tilført, når protonerne støder ind i dem. 3

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 3 Elektroner i Boblekammer 3 Energitab 3.1 Teori Når partikler bevæger sig igennem stof, taber de energi. Dette skyldes forskellige ting alt afhængigt af, hvor meget energi de forskellige partikler har. Som udgangspunkt for beskrivelsen af energitabet, i det område vi arbejder med, bruges Bethe-Bloch formlen. I formlen er β og γ de kendte størrelse fra relativitets teorien, mens resten er konstanter 2 : de [ dx = Kz2Z 1 1 A β 2 2 ln2m ec 2 β 2 γ 2 T max I 2 β 2 δ(βγ) ] 2 Figur 1: Plot af Bethe-Bloch formlen. Dog skal man være opmærksom på, at det ikke er elektroner i brint, som i vores forsøg, men muoner der bremses i kobber. Dette gør at størrelsesforholdene ikke passer til vores forsøg, men grafen har alligevel samme udseende. Som man kan se ved at kigge på formlen og grafen, er funktionen opdelt i forskellige afsnit. Ved lave energier skyldes tabet i energi, mange små sammenstød med partiklerne i boblekammeret. Når βγ så nærmer sig ca. 5, begynder nogle relativistiske effekter at spille ind, som får energitabet til at stige. Når energien bliver endnu større, begynder strålingseffekter at spille den klart dominerende rolle og derfor ses en kraftig stigning i energitabet, når energien bliver stor. I vores forsøg kommer vi til at arbejde inden for området βγ 40-500. Dette gør, at vi ikke vil tage hensyn til δ(βγ) 2 ledet i vores beregninger. Dette led er strålingsenergitabet, som først er dominerende ved højere energier, og derfor kan vi med god tilnærmelse se bort fra det. 2 Formel og graf er taget fra Passage Of Particles Through Matter 4

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 3 Elektroner i Boblekammer 3.2 Forsøget Som tidligere nævnt, gik vores forsøg ud på at bestemme partiklers energitab i boblekammeret. Vi har valgt at fokusere på elektronerne, da de giver gode spiraler at måle på, og da der er klart flest sammenstød med elektronerne. Vi målte på spiraler med radius omkring 5-15 cm. Disse spiraler må være dannet af elektroner eller positroner, da andre partikler enten danner for store spiraler eller stopper, før de kan danne en egentlig spiralbane. Ved vores forsøg inddelte vi den fundne spiral i mindre stykker, så vi kan approksimere hvert stykke med en cirkel. For at finde radius for de approksimerede cirkler, måler vi sekanternes længde og højde for hver cirkelbue (længderne d og h). Ud fra dem kan radius, r, bestemmes via trigonometri, givet ved formlen (Se afsnit 7.1 for udledning): r = h 2 + d2 8h Ud fra vores fundne radius, r, kan elektronens impuls, P, findes via fomlen (Se afsnit 7.2 for udledning): P = 3.0 r B Her er impulsen målt i MeV/c, radius i centimeter, og magnetfelttet, B, målt i Tesla. Via den beregnede impuls findes energien ud fra den specielle relativitetsteori: E 2 = m 2 + P 2 Det er dog ikke særlig interessant at kigge på energitabet mellem 2 punkter. Vi vil derimod finde energitabet per længdeenhed, da man kan sammenligne dette med andre punkter. For at finde strækningen, S, bruger vi dennne formel, som 5

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 3 Elektroner i Boblekammer følger af vinkelberegninger: S = 2 arcsin ( ) d r 2r (regnet i radianer) For at beregne energitab per længde bruges så denne formel, hvor mærke betegner punktet lige efter det umærkede: δe δs E S = (E E ) S 2 + S 2 = 2(E E ) S + S Dette skyldes, at E egentligt betegner gennemsnitsenergien for buestykket S, og som punkt repræsenterer E derfor bedst midten af buestykket. Mellem de to værdier E og E vil elektronen derfor have tilbagelagt strækningen S 2 + S 2. Endnu vigtigere regner vi også med energitab pr. strækning, da det så er muligt at sammenligne med Bethe-Bloch formlen. Vi vil også kunne sammenholde forskellige boblekammerar med hinanden, derfor dividerer vi med massefylden. På den måde tager vi højde for, hvor meget stof partiklerne bevæger sig igennem. Dette giver følgende formel for energitabet: de ds = 2(E E ) ρ(s + S ) Udfra disse formler har vi til hvert punkt udregnet en energi og mellem 2 punkter udregnet et energitab. Dog er der rimelig stor spredning på disse tal. For at få en mere klar sammenhæng slår vi så punkterne sammen. Dette betyder, at vi antager, at 3-4 punkter i nærheden af hinanden har samme impuls og energi. Denne antagelse er god, da der ikke er så stor variation mellem dem og da vores forventede teori siger, at i vores område skal der en stor ændring i impulsen for en lille ændring i energitabet. Vi udregner det vægtede gennemsnit af disse punkter udfra deres usikkerheder. Dog er der lidt problemer med dette, da vores målinger ikke er uafhængige, som denne metode egentlig kræver. Vi har taget vores endepunkt for en måling, som begyndelsespunkt for den næste. Dermed kan der være en sammenhæng mellem 2 på hinanden efterfølgende punkter, dog er dette ikke sikkert. En fordel med at tage endepunktet, som startpunktet for det næste, er, at man kan fjerne små afvigelser, når man slår dem sammen. Hvis der er en sammenhæng, vil et lidt specielt punkt ikke betyde så meget. Det kan være, at et punkt har en for stor energi, men da man både tager energitabet op til det punkt og fra det punkt til næste punkt, betyder dette ikke så meget. 3.3 Usikkerheder Eftersom en del af vores udregninger bygger på tilnærmelser, har vi gjort os nogle tanker omkring dem og vores usikkerhed. Vi måler alle længderne med 6

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 3 Elektroner i Boblekammer lineal, hvilket i sig selv giver en rimelig høj usikkerhed. Dette sammen med, at de streger vi måler på, er lidt udtværede, gør, at vi har sat vores måleusikkerhed på længdemålingerne til 1mm. Ved forsøget har vi ikke taget højde for, at spiralbanerne kan ligge skævt i forhold til det plan, vi måler i, men har antaget de ligger parallelt med. Dette er en god antagelse, når vi kigger på store spiraler. Det skyldes for det første, at meget store spiraler vil ramme boblekammerets sider, hvis den er særlig skæv. For det andet vil spiraler fra skæve baner have endnu højere impuls, end de ser ud til. Da sandsynligheden for, at en partikel kommer ud med en bestemt impuls, følger fordelingen 1 P, er det langt mere sandsynligt, at store spiraler 2 ligger i planet. Derudover er der en forstørrelsesfaktor i forhold til de målinger vi laver på billedet og de virkelige mål. Denne forstørrelsesfaktor påvirker dog ikke vores målinger af energitabet pr. tilbagelagt længde, da radius er proportional med både energien og den tilbagelagte strækning. Forstørrelsesfaktoren afhænger af, hvor vi er i boblekammeret, i den ende nærmest kameraerne er den på 1.26 og i den fjerneste ende på 1.045. Vi har valgt at tage gennemsnitsværdien af disse og bruge den til vores data. Den betyder ikke det helt store, men det vil vi komme ind på senere. På grund af vores udregninger er der visse type målinger, som giver relativt store usikkerheder. Dette er for eksempel målinger med lille d og lille h, derfor har vi prøvet at undgå sådanne målinger. Og her ligger så kompromisset mellem den gode antagelse, at vi kan approksimere med en cirkel og at vi får store nok højder til, at vores usikkerhed på dem ikke bliver alt for store. Vi laver en del antagelser med usikkerhederne undervejs. Den første antagelse er, at den relative usikkerhed på vores højdemåling er så meget større end den på sekanten, så vi kan se bort fra usikkerheden på sekanten. Når vi har regnet vores ændring i energien og vores længder ud, kan vi også se, at den relative usikkerhed på energitabet er meget større end den på længden. Derfor vælger vi igen at sige, at den er nul. Tilsidst får vi bestemt en usikkerhed på impulsen og på vores de dx, den relative usikkerhed på impulsen er meget lille i forhold til usikkerheden på de dx. Derudover skal vi sammenligne dette med en relativ flad graf. Derfor kan vi med meget god tilnærmelse antage, at usikkerheden på impulsen er 0. Det er værd at bemærke, at vores usikkerhed for impulsen faktisk er så lille, at den ændring der kunne være, fra hvor vores spiral lå i boblekammeret(altså, hvilken forstørrelsesfaktor vi bruger), faktisk er større end den usikkerhed vi er nået frem til. Dette er endnu en god grund til ikke at regne med denne usikkerhed, uden i hvert fald at tage højde for det andet. 7

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 3 Elektroner i Boblekammer Der er brugt følgende formler til at udregne de forskellige usikkerheder: δr = dr dh δh = d2 8h 2 + 1 2 δh δp = dp δr = 3B δr dr δe δp δde = 2δE δ de ds = 1 ρ ds δde Vi har målt på en del forskellige spiraler, og vi har valgt at se bort fra den første spiral vi målte på. Dette skyldes, at vores målemetode var dårlig, og vi målte på for små højder, hvilket betød, at vores usikkerhed blev for stor. I de andre har vi fundet en bedre størrelse på højderne. 3.4 Resultater 10 Bethe-Bloch Vores data -de/dx / MeV*cm^2/g 1 1 10 100 P / MeV/c Figur 2: Plot af vores data sammen med Bethe-Bloch. Dette plot er med logaritmiske akser, og det er grunden til, at usikkerheden ser lidt mærkelig ud. Ved at kigge på de to plot af vores data, kan vi se, at vores data passer godt til teorien. Klart størsteparten af vores punkter ligger indenfor en standard spredning af det teoretisk forventede, hvilket er et tegn på, at teorien passer til vores data. Man skal dog huske, at vores data jo kun kan bruges til at sige at teorien passer i vores område. Vi har fokuseret på elektronerne og deres energier, hvilket kun ligger i et lille interval af det teorien spænder over. Grunden til, at der er så stor variation i usikkerhederne på vores målinger, er, at vi har målt 8

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 3 Elektroner i Boblekammer på forskellige spiraler. Nogle spiraler har åbenbart givet mindre usikkerheder, dette hænger nok sammen med, at vi har ramt en bedre sekantlængde og de har ligget en lille smule mere i planet. Man kan altid tage flere punkter for at vise, at teorien holder bedre, men med vores usikkerhed har vi nok punkter til at kunne sige, at teorien i vores område passer til vores data. Den bedste måde at vise om teorien virkelig passede, ville klart være at tage punkter i nogle andre intervaller, da man i vores område f.eks. bare kunne approksimere energitabet med en konstant, uden at det ville se forkert ud. 10 Bethe-Bloch Vores data -de/dx / MeV*cm^2/g 100 P / MeV/c Figur 3: Plot af data sammen med Bethe-Bloch, zoomet ind omkring vores data område Vi har også prøvet at fitte Bethe-Bloch formlen med vores punkter. Vi gjorde dette ved at gange en konstant på formlen, som så kunne sige noget om, hvor skævt det var. Vi fik denne konstant til at være: K = 1, 14 ± 0, 13 Det er klart, at denne konstant helst skulle være 1, da vores bedste fit, så lige netop havde været Bethe-Bloch formlen. Men vi kan se, at vores fit ligger ca. 1 standardafvigelse fra, hvilket er meget pænt. 3.5 Simulering Man kan også sammenligne teorien med data på en anden måde. Nemlig ved at tage alt det vi ved og lave en simulering over dette. Denne simulering kan vi så sammenligne med de data, vi har målt. Vi kender Bethe-Bloch formlen, der beskriver energitabet, og vi ved, hvordan magnetfeltet påvirker partiklen. Disse to ting sat sammen i en simulering, giver os en ide om, hvordan det vil komme til at se ud i virkeligheden. Vi har plottet nogle målte punkter sammen med simuleringen, dette kan man så sammenligne. 9

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 4 Elektroner i Boblekammer Figur 4: Den sorte spiral er simuleringen. Punkterne er vores målepunkter. Koordinataksernes længde svarer til 10cm i virkeligheden. I starten passer det godt sammen. Mellem den sidste cirkel og den første firkant sker der det, at elektronen rammer ind i ny elektron. Derfor falder energien og der kommer en ny bane. Egentlig burde man kunne simulere denne nye bane igen, men vores antagelse omkring den ligger i et plan bliver for dårlig i dette tilfælde. 4 Spredning af impuls 4.1 Teori I det første forsøg har vi udelukkende betragtet energitabet for enkelte elektroner. Grunden til, at elektronbanerne dog overhovedet fremkommer, er, at elektronerne får en høj impuls fra et sammenstød med en proton. Det er dette sammenstød, som vi vil prøve at undersøge i vores andet forsøg. Mere præcist vil vi prøve at studere, hvordan elektronernes impuls fordeler sig. Vi vil altså kigge over en masse billeder og måle impulsen af elektronen på alle sammenstødene, så har vi en fordeling af forskellige impulser. Partikelsammenstød blev først beskrevet af Rutherford, hvor han bestemte størrelsen af atomkerner via sammenstød med alfa partikler. Hans situation er dog den omvendte af vores, idet det hos ham er en let partikel, som støder ind i en tung. I 10

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 4 Elektroner i Boblekammer hans tilfælde fandt han, at der gjaldt følgende formel: 2 r ρ R K 1 sin ( ) 4 θ Ved at transformere Rutherfords formel om til vores system (en tung partikel støder ind i en let) finder man, at sandsynlinghed for en given impuls har følgende fordeling: dn dp 1 p 2. Det er denne spredning vi ønsker at eftervise. 4.2 Forsøget Forsøget går i al sin enkelhed ud på at opsamle tilstrækkelig statistisk materiale til at bekræfte vores sandsynlighedsfordeling af impulsen. Praktisk talt gør vi dette ved at måle på en lang række af spiraler. For hver spiral måler vi afstanden fra spiralens top- og bundpunkt til et fikspunkt. Det skal lige noteres, at vi kun måler afstanden i y-aksens retning (Se figur 5), da vi kun er intereseret i højden på vores spiral og ikke i, hvor den er placeret på x-aksen. Grunden til, at vi måler til fikspunkter i stedet for bare at måle på selve spiralen som i forrige forsøg, er, at vi ikke længere kan bruge approksimationen, at spiralen ligger i planet. I dette forsøg vil vi i stedet beregne dens præcise posistion og vinkel. Udover at måle til et fikspunkt bliver vi derfor også nødt til at måle på billeder fra to kameraer. Dette er også forklaringen på, at vi måler til fikspunkter, da vi så kan sammenholde dataene fra de to billeder. Vi målte således 4 afstande for hver spiral (to fra hver kamera) og dette gjorde vi så systematisk for alle spiraler, vi fandt repræsentative. (Yderligere uddybning følger senere). For at bestemme elektronens impuls, P, skal vi bruge spiralbanens udstrækning i både y- og z-retningen. Via disse størrelser kan vi bestemme impulsen i x,y-planet, vinklen,θ i forhold til x,y-planet og dermed elektronens oprindelige impuls. Før vi dog kan komme dertil, er der lige et par måletekniske detaljer, der skal overståes. 2 I forhold til figuren(figur 5) skal det noteres, at vi ikke direkte kan måle d 1 og d 2. Dette skyldes perspektivet, som ændrer størrelsesforholdene, så vi i stedet måler nogle andre længder m 1 og m 2. For at bestemme d 1 og d 2 indfører vi derfor en forstørrelsesfaktor, f = m d. Vi bestemmer de to forstørrelsefaktorer ved at måle afstanden mellem to fikspunkter, hvor vi allerede kender den rigtige afstand. Praktisk virker omregning med forstørrelses faktoren således: d = m f For at finde y og z er vi først nødt til at bestemme y- og z-koordinaterne til spiralens to punkter. y er her forskellen i y-koordinaterne fra begyndelsespunktet til det punkt, hvor elektronen har bevæget sig en halv bane igennem. Det samme med z bortset fra, at her er det selvfølgelig z-koordinaterne. Via analytisk geometri kan man finde følgende formler for et punkts koordinater, givet de oplysninger vi har(se afsnit 7.3 for udledning): 11

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 4 Elektroner i Boblekammer Figur 5: dist(p;t) = d 1 dist(p;b) = d 2 dist(p;o)=β. Vi kendte længden h og fikspunkternes koordinater. (disse formler forudsætter P ligger over både t og b (se figur 5)) y = h 2 (2β f 1 m 1 m 2 ) h f 1 (m 2 m 1 ) z = L m h f 1 m Hvor m = m 2 - m 1 I vores formel indgår den ukendte størrelse L. Den bestemmes via formlen for z, ved i stedet for at måle på et ukendt punkt X at måle på et kendt fikspunkt på boblekammerets bagside. Da vi kender boblekammerets bredde, vil L være den eneste ukendte størrelse og kan dermed bestemmes. Da vi nu har formler for y- og z-koordinaterne, kan y og z findes ved at tage differensen mellem spiralens top- og bundpunkt. Vores formler for impuls og vinkel bliver: P = 3B y cos(θ) 1 z og θ = tan y (vinklen findes via trigonometri, og indgår i formlen for P, da vi ellers kun havde beregnet impulsen i xy-planet og ikke elektronens samlede impuls) Vi måler impulsen over en strækning, så egentlig har vi ikke bestemt startimpulsen, men impulsen efter at en fjerdedel af spiralen er blevet gennemløbet. Dette 12

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 4 Elektroner i Boblekammer tager vi højde for, ved at bruge Bethe-Bloch formlen til at udregne energitabet og så lægge det til vores impuls, idet vi regner med så store energier, at E P. Vi har dog ikke taget højde for dette i projektionen, da det bliver lidt mere kringlet at regne den længde ud, som spiralen har tilbagelagt. Da vi nu kan bestemme P, skal vi sikre os, at de data vi måler på, er repræsentative. Dette skyldes, at vi i vores forsøg prøver at eftervise en sandsynlighedsfordeling af impulsen. For vi overhovedet kan gøre os håb om at komme dertil, må vi sikre os, at vi ikke frasorterer data på en inhomogen måde. I vores forsøg har vi valgt ikke at udvælge bestemte pæne billeder. I stedet måler vi systematisk på en række billeder taget lige efter hinanden. Da de bør være uafhænige, undgår vi på den måde at lave nogen udvælgelse af de billeder, vi måler på. Desuden har vi begrænset os til at måle på spiraler med en diameter i intervallet [1;20] cm, og som kommer fra sammenstød med protonerne fra kilden. Intervallet har vi valgt, fordi mindre værdier vil medføre for store måleusikkerheder, mens en diamenter større end 20 cm tit går ud over måleplanen. Dette vil være et problem, da vi uden for dette interval enten vil overse spiraler eller kun kunne måle på en brøkdel af de spiraler, der forekommer, og dermed vil vores data ikke være repræsentative. Grunden til, at vi kun måler på elektroner, der kommer fra sammenstød med protoner fra kilden, er, at protonernes energi er den samme. Så vi har de samme betingelse for alle vores målinger. Udover at frasortere data på grund af størrelse har vi også frasorteret alle spriraler udenfor intervallet θ [ 45 o ; 45 o ]. Dette skyldes, at vi dermed undgår at få alt for store usikkerheder på vores impuls, idet vi så kommer tæt på at skulle dividere med nul. Da det er tilfældigt, hvilken vinkel elektronen forlader kollisionen med protonerne på, kan vi systematisk frasortere bestemte vinkler uden, det vil have indflydelse på, hvor repræsentative vores data bliver. Desuden er det sandsynligt, at meget små elektronbaner vil blive overset, hvis de har en stor vinkel og dermed bliver endnu mindre. Så derfor hjælper vores begrænsning i vinklen også til at undgå skævvridning af vores data. Da vi således har sikret, at vores data er repræsentative og ikke rummer antagelser, som påvirker vores resultat væsentligt, kan vi se på, hvad det betyder, at vi arbjeder med en sandsynlighedsfordeling. For det første vil vores eksperimentelle fordeling først blive optimal, når vores datamængde går mod uendelig. Da dette aldrig vil være praktisk muligt, har vi valgt, at cirka 100 målinger vil være en acceptabel approksimation for vores forsøg. Dette gør dog, at vi må vise vores resultater som et histogram. Vi må derfor inddele vores impuls i nogle passende intervaller og finde et tælletal for hvert interval. For at få nogle gode punkter, er vi dog nødt til at lave forskellige intervalstørrelser, dermed bliver vi nødt til at vægte tælletallet i forhold til den størrelse intervallet har. Derfor får 13

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 4 Elektroner i Boblekammer vi følgende formel: dn dp = N maalt p Usikkerheden bliver også en del anderledes end i forrige forsøg, fordi vi arbejder med denne sandsynlighedsfordeling. Da det er tilfældigt, om vores impuls er en lille smule større eller mindre, betyder det ikke noget for vores usikkerhed på tælletallet, da det vil gå ud med hinanden over en stor nok mængde af data. Derudover er vores usikkerhed på impulsen også lille i forhold til de intervaller vi måler på, hvilket også gør, at den er ligegyldig. Tilgengæld kommer der så den statistiske usikkerhed for vores data, baseret på antallet af målinger, N maalt : dn maalt = N maalt. Med usikkerhed bliver vores formel således: N dp = N maalt ± p Nmaalt p Vi har dog et problem angående vores intervaller. I vores forsøg har vi kun kunnet måle på radierne (og dermed impulsen) i et begrænset interval. Dermed er vores interval for impulsen også begrænset, problemet kommer så med endepunkterne. Vi skal vælge en eller anden startværdi for vores første interval. Det kunne være oplagt at vælge den mindste impuls, som startværdi. Problemet med dette er, at det kan være, at vi har frasorteret nogle punkter, som egentlig ligger over denne startværdi. Dermed kan vores første punkt blive mindre end egentlig forventet. Det sidste punkt lider lidt af samme problem, på et eller andet tidspunkt har vi ikke målt flere punkter, spørgsmålet er bare, hvornår skal man stoppe? Det ville være oplagt at stoppe ved største impuls, men igen får man så her et problem. Det er statistisk forkert at stoppe ved den, da der lige så godt kunne være kommet en i næste punkt, og ved at tage den sidste impuls med, laver man en sortering. 4.3 Resultater Vi har plottet vores impuls ud ad x-aksen og antallet inden for intervallet op ad y-aksen. Disse punkter har vi så fittet med en funktion af typen: P(p) = K p c Vi fik så følgende værdier for c og k (se figur 4.3): c = 1, 65 ± 0, 14 og k = 140, 7 ± 43, 6 Vi kan se, at c ikke passer synderlig godt med det forventede resultat. Det ligger en del standardafvigelser fra teorien. Dette kan dog delvist forklares ved at tage højde for de før omtalte fejl ved vores intervaller. Hvis vi fjerner det første og sidste punkt, opnår vi en c-værdi, som ligger en del tættere på det forventede -2. 14

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 4 Elektroner i Boblekammer f(x) "spredning.txt" 10 dn/dp 1 0.1 1 10 P / MeV/c Figur 6: Plot af vores spredning sammen med det bedste fit 4.4 Fordeling for impulsen på et Plan Istedet for at skulle regne vinkel og alt sådan noget ud, kunne man bare måle impulsen i det plan, som kammeraet ligger i. Det viser sig faktisk, at impulsens fordeling ind på et plan også er proportionelt med 1/p 2 xy. Strengt taget er det billede, vi får fra kameraet, ikke en ren projektion på et plan, men en skæv projektion på grund af perspektivet. Da kameraet dog er meget længere væk end dimensionen på de spiraler, vi måler på, kan vi som en god approksimation sige, at det er en rigtig projektion af spiralerne. Dermed kan vi sandsynliggøre vores formel ved at plotte spiralernes impuls udregnet via de radier, vi direkte har målt fra et af kameraerne, og plotte dem efter samme metode som beskrevet for vores korrigerede impuls. Vi har dog valgt at tage y 2, da vi alligevel har udregnet den til brug for det forrige. Dette giver så følgende resultater for spredningen (se figur 4.4): c = 1.80 ± 0, 21 og k = 174, 9 ± 70.5 Disse tal passer jo ret godt på det forventede, da c ligger inden for en standardafvigelse fra det forventede. 15

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 5 Elektroner i Boblekammer f(x) "Planspred.txt" 10 dn/dpxy 1 0.1 1 10 Pxy / MeV/c Figur 7: Plot af spredningen af impulsen på et plan sammen med det bedste fit På vores resultater kan vi se forskellen ved vores metoder. Grunden til at vores andet og i princippet mere simple metode giver bedre resultater, skyldes blandt andet forskellen på, hvordan vores systematiske usikkerheder spiller ind. Da det er de samme måledata, vi har, er selve måleusikkerhed den samme, men ved vores første metode får den langt større betydning, på grund af vores vinkelberegning specielt for små spiraler. 5 Konklusion Vi nåede frem til, at vores resultater passer godt med Bethe-Bloch formlen. Vi ligger ca. en standard afvigelse væk fra det teoretiske forventede, hvilket er pænt. For at afprøve det bedre, ville man skulle kigge i andre energi intervaller eller med andre partikler. Vi fandt også en fordeling af impulsen efter sammenstødene. Den ligger et sted mellem 2-3 og 3 standard afvigelser fra det forventede, hvilket ikke er synderlig godt. Her ville det være oplagt at tage nogle flere målepunkter, for på den måde, at få et større statistisk materiale at arbejde med. 16

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 6 Elektroner i Boblekammer 6 Litteraturliste Bishel, H. ; Groom, D.E. ; Klein, S.R. : 27. Passage of Particles through matter, http://pdg.lbl.gov/2006/reviews/passagerpp.pdf Hansen, Knud : Boblekammer, Fysisk Tidsskrift 2-3 Information om boblekammerets dimensioner 17

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 7 Elektroner i Boblekammer 7 Bilag 7.1 Formel for bestemmelse af raidus Vi ser på en trekant med hjørner i d s ene skæring med cirklen, h s skæring med d og centrum af cirklen. Dette giver en retvinklet trekant med kateter med længerderne 1 2d og r-h og en hypotenuse med længden r. Via Pythagoras: ( 1 2 d)2 + (r h) 2 = r 2 d2 4 + r2 + h 2 2rh = r 2 r = h 2 + d2 8h 7.2 Formel for bestemmelse af impuls Vi har i opgaven brugt formlen P = 3Br til at bestemme impulsen, P. Her er magnetfeltet regnet i tesla og radius i centimeter. Denne formel kommer fra, at vi har to udtryk for kraften: F = q v B F = mγa = mγ v2 r Ved at sætte disse to lig hinanden fås følgende sammenhæng: q v B = mγ v2 r mγv = qbr P = qbr Ved at kigge på enhederne på dette kan vi omskrive det. Da vi arbejder med elektroner vælger vi at skrive ladningen, som målt i elementarladninger. Da q så bliver 1e, da vores partikel lige netop er en elektron. [qbr] = 1e kg C 1 s 1 cm = MeV c 2 1m 100cm C 6, 24 10 18 e e C 1 kg s 1 cm = 1 1 100 6, 24 10 18 1, 783 10 30 kg kg s 1 m = 100 1 1 6, 24 10 18 1 1, 783 10 30 1 MeV 3 10 8 c 3 MeV c Hermed kan man se, hvor 3 tallet kommer fra i formlen, og hvorfor enhederne skal være som de er. 7.3 Punkt i rummet Vi ønsker nu at finde ud af, hvor meget spiralbanen hælder i planet. Forsøgsopstillingen ser ud som på figur 5. Vi lægger et koordinatsystem ind som ZY-planet, hvor z bliver vores første akse. Vi vælger nulpunktet, kaldet O på den før omtalte figur, for koordinatsytemet til at være på den første væg i boblekammeret. Vi 18

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 7 Elektroner i Boblekammer vælger højden for punktet til at være midt imellem de to kammeraer. Opstillingen kan behandles, som en plan da spiralen ikke hælder i xz-planet. Dermed får punkterne markeret, t, b, C og D, koordinaterne: C( L, 300), D( L, 300), t(0, β d 1 ) og b(0, β d 2 ) Punkterne C og D er kameraernes positioner. Her skal bemærkes, at afstande er målt i millimeter. Ved at forbinde punkterne til linjer og finde disse linjers skæringspunkt vil man da kunne finde et vilkårligt punkt, som de to kameraer ser. Finder hældningskoefficienten til linjen l: a 1 = β d 1 300 L Finder hældningskoefficienten til linjen m: a 2 = β d 2 + 300 L Dette giver følgende formler for linjerne: l : y = β d 1 300 (z 0) + β d 1 = β d 1 300 z + β d 1 L L m : y = β d 2 + 300 (z 0) + β d 2 = β d 2 + 300 z + β d 2 L L Dermed findes de to kameralinjers skæringspunkts z-koordinat, ved at substituere y-koordinaterne fra de to linjer: β d 1 300 L z + β d 1 = β d 2 + 300 L z + β d 2 z ( β d 2 + 300 β d 1 300 ) = d 2 d 1 L L d 2 d 1 z = L d 1 d 2 + 600 Nu kan y-koordinaten findes ved at indsætte den fundne z-koordinat: y = β d 1 300 L L d 2 d 1 d 1 d 2 + 600 + β d 1 = (d 2 d 1 ) (β d 1 300) d 1 d 2 + 600 + β d 1 = (d 2 d 1 ) (β d 1 300) + (d 1 d 2 + 600) (β d 1 ) d 1 d 2 + 600 = d 2 β d 2 d 1 300d 2 d 1 β + d 2 1 + 300d 1 + βd 1 βd 2 + 600β d 2 1 + d 1d 2 600d 1 d 1 d 2 + 600 = 19

Jesper, Emil, Mikkel, Michael 7 Elektroner i Boblekammer 300 2 β d 2 d 1 d 1 d 2 + 600 Dermed, har vi nu en metode til at finde koordinatsættet til et vilkårligt punkt, ud fra de målte størrelser: ( d 2 d 1 Q l d 1 d 2 + 600, 300 2 β d ) 2 d 1 d 1 d 2 + 600 Alle disse størelser tager dog ikke højde for forstørrelsesfaktoren. Der gælder at d 1 = m1 f 1. Ved at indsætte dette i den forrige og gange igennem med f 1, så får man følgende: ( m 2 m 1 Q l, 300 2 β f ) 1 m 2 m 1 m 1 m 2 + 600 f 1 m 1 m 2 + 600 f 1 20