Partikelspredningsmodel Formål For beskrivelse af stoftransport i sandkassen er der opstillet en partikelspredningsmodel. Formålet med partikelspredningsmodellen er, at undersøge modellens evne til at beskrive stoftransporten gennem sandkassen. Herudover er formålet, at undersøge om porøsiteterne og dispersiviteterne i sandkassen bestemt gennem kalibrering af MT3DMS-modellen er korrekte. Modellen er -dimensional og opbygget i programmet Matlab. Opbygning af modellen I det følgende er opbygningen af partikelspredningsmodellen gennemgået. Herudover er de styrende ligninger for modellen gennemgået. Diskretisering Diskretiseringen af sandkassen for beregning med partikelspredningsmodellen er den samme som diskretiseringen for beregning med vanransportsmodellen. Det vil sige, at sandkassen er opdelt i 50 bokse med en størrelse på cm. cm, se HER. Transportligninger Til hvert tidskri er transporten af hver enkelt partikel beregnet i horisontal og vertikal retning. Det betyder, at der er opstillet transport ligninger. Transportligningerne ses nedenstående. qx xt = xt 1 + qx + 6 τ ( ( random 0.5) ) (1) n q z zt = zt 1 qz + 6 τ ( ( random 0.5) ) () n hvor x er x-koordinaten for den enkelte partikel [m] z er z-koordinaten for den enkelte partikel [m] q x er Darcy-hastigheden i x-retningen [m/s] q z er Darcy-hastigheden i z-retningen [m/s] er tidsskriet [s] n er porøsiteten [m 3 /m 3 ] τ er den langsgående dispersivitet [m] Darcy-hastigheden i både x- og z-retningen samt porøsiteten og dispersiviteten er afhængige af, hvilken boks partiklen befinder sig i, da alle 4 parametre varierer i sandkassen. Det ses af transportligningerne, at transporten af hver enkelt partikel består af en advektiv- og en dispersiv transport i både x- og z-retningen. Første led på højresiden i ligning 1 og angiver partiklens placering i sandkassen til det foregående tidsskri. Andet led angiver den advektive transport i henholdsvis x- og z- retningen. Tredje led angiver den langsgående dispersive transport i henholdsvis x- og z-retningen. 1
Den dispersive transport er bestemt af urækning af tilfældige tal med en værdi mellem 0 og 1 med random funktionen. På Figur 1 er der skitseret et eksempel på transport af en partikel til et tidsskri. Dispersivtransport i x-retningen Advektivtransport i x-retningen (xt-1, zt-1) Advektivtransport i z-retningen Dispersivtransport i z-retningen (xt, zt) Figur 1 Skitsering af partikeltransport. Darcy-hastighederne Darcy-hastighederne, som er anven i transportligningerne, er beregnet af trykniveauerne i sandkassen. Beregningerne af Darcy-hastighederne i henholdsvis x- og z-retningen er udført med nedenstående ligninger. q q x,( I, J ),( I, J ) z K I, J + K I + 1, J hi, J hi + 1, J = (3) dx K I, J + K I, J + 1 hi, J hi, J + 1 = (4) dz hvor K er den hydrauliske ledningsevne [m/s] h er trykniveauet [m] dx er boksbredden [m] dz er bokshøjden [m] Med notationen i ligning 3 er det forsøgt at angive, at Darcy-hastigheden i x-retningen i den enkelte boks er beregnet af trykniveauet og den hydrauliske ledningsevne i boksen samt trykniveauet og den hydrauliske ledningsevne i naboboksen på højresiden. Ligeledes er det forsøgt i ligning 4 at angive, at Darcyhastigheden er beregnet af trykniveauet og den hydrauliske ledningsevne i boksen samt trykniveauet og den hydrauliske ledningsevne i den nedenstående boks.
Trykniveauerne, som er anven i beregningerne, ses på Figur. 60 Trykniveau [m] 0.5 50 0.5 0.48 40 0.46 Højde [cm] 30 0 0.44 0.4 0.4 10 0.38 0 0 0 40 60 80 100 10 140 Længde [cm] 0.36 Figur Trykniveauer anven i partikelspredningsmodellen. Trykniveauerne, som er angivet på Figur, er bestemt i MODFLOW. Hydrauliske ledningsevner, porøsiteter og dispersiviteter De hydrauliske ledningsevner for de 3 joryper er bestemt gennem kalibrering af MODFLOW-modellen, se HER. Porøsiteterne og dispersiviteterne er bestemt gennem kalibreringen af MT3DMS-modellen, se HER. Værdierne for de 3 parametre er angivet i Tabel 1. Baskarpsand Baskarpsand Grovsand Grus blok 1 blok Hydrauliske ledningsevner [m/s] 8,4. 10-5 8,5. 10-5 8,7. 10-4 0,1 Effektiv porøsitet [m 3 /m 3 ] 0,3 0,36 0,3 0,3 Dispersiviteter [m] 0,01 0,008 0,003 0,003 Tabel 1 Porøsiteter og hydrauliske ledningsevner for de 3 joryper. Det ses af Tabel 1, at baskarpsandet er opdelt i to blokke med forskellige egenskaber. Opdelingen er nærmere beskrevet HER. Tidsskri Som tidligere beskrevet varierer Darcy-hastigheden i x- og z-retningen samt dispersiviteten og porøsiteten fra boks til boks. Det betyder, at der i nogle af boksene kan regnes med større tidsskri end i andre med 3
opretholdelse af stabiliteten i modellen. Variationen i størrelsen på tidsskriene medfører nedsat beregningstid i forhold til anvendelsen af konstant tidsskri. Der er dog alligevel anven et kontant tidsskri i modellen. Dette valg er foretaget ud fra, at koncentrationen i udløbet af sandkassen senere er plottet som funktion af tiden. Hermed har det været nødvendigt med nøjagtigt kendskab til transporttiden for at kunne sammenligne resultatet fra modelleringen med resultatet fra MT3DMS-modellen. For at undersøge om, der er stabilitet i modellen ved anvendelsen af tidsskriet i beregningerne, er der gennemført en stabilitetsberegning. Beregningen er gennemført i forhold til det advektive og dispersive ourant tal samt Peclet tallet. For hver af de to ourant tal samt Peclet tallet er der opsat intervaller, som de 3 værdier bør være indenfor, hvis der skal opretholdes stabilitet i beregningerne. Intervallerne er angivet i Tabel. Advektivt ourant tal ( ra ) [-] Dispersivt ourant tal ( rd ) [-] Peclet tal (P e ) [-] 0-1 0-0,5 0- Tabel Værdier for stabilitetsberegning. Beregningen af ourant tallene og Peclet tallet er foregået efter nedenstående ligninger [Vestergaard, 1989]. = q dx ra, x x og = q dz ra, z z (5/6) rd, x qx = τ og n dx rd, z qz = τ (7/8) n dz P e x = ra, x rd, x n = dx τ ra, z n τ, og Pe, z = = dz (9/10) rd, z Hvis beregningen af ourant tallene og Peclet tallene med ligning 5-10 har medført værdier svarende til intervallerne i Tabel, er det valgte tidsskri anven i beregningerne. Partikelspredningsmodellen vs. MT3DMS En del af formålet med partikelspredningsmodellen er, som beskrevet ovenstående, at undersøge resultaterne fra MT3DMS-modellen. Porøsiteterne og dispersiviteterne fra modellen er tidligere angivet og anven i partikelspredningsmodellen. Nedenstående er det modellerede koncentrationsforløb i udløbet af sandkassen afbilledet, se Figur 3. 4
ud / ind 1.00 1.000 0.800 0.600 0.400 0.00 0.000 0 00 400 600 800 1000 Tid [min] Figur 3 Forholdet mellem indløbs- og udløbskoncentrationen i sandkassen i forhold til tiden modelleret med MT3DMS. Resultatet fra modelleringen med partikelspredningsmodellen skulle have været angivet nedenstående. Der er imidlertid ikke opnået noget brugbart resultat indenfor projektperioden, hvorfor der ikke er angivet noget resultat. 5