Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00
Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil hovedsageligt ruge øgernes øvelser og opgaver. Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er om man også kan gange to vektorer med hinanden. Svaret er ja, men hvad der kan forekomme forvirrende er, at der er flere måder at gøre det på. Vi vil starte med at definere det såkaldte planprodukt. Før vi kan definere planproduktet, er det nødvendigt at definere en orientering af planen. Sædvanligvis tegner man koordinatsystemer med.-aksen vandret og positive tal mod højre..-aksen tegnes normalt lodret med positive tal opad. En rotation fra.-aksen til.-aksen vil vi regne positiv. Bemærk, at denne rotation går mod urets retning. I matematik regner man rotationer mod uret retning for positive og rotationer med uret for negative. Bemærk, at i navigation er det modsat - rotationer med uret regnes positive. Figure : Orienteringen af, er her positiv. Hvis vektorerne og ikke er parallelle, så kan man også tale om orienteringen af parret,. Orienteringen siges at være positiv dersom den korteste rotation fra s retning til s retning er positiv. Ellers siges orienteringen af, at være negativ. Definition Lad og være vektorer. Hvis, er positivt orienteret, så defineres planproduktet fra til som = arealet af det af og udspændte parallelogram. Hvis, er negativt orienteret, så defineres planproduktet fra til som = arealet af det af og udspændte parallelogram. Hvis og er parallelle, så defineres planproduktet fra til som = 0.
c + c Figure : Summen af arealerne af de gr parallelogrammer til venstre er lig arealet af parallellogrammet til hjre. Planproduktet er således et areal regnet med fortegn. Grunden til at vi regner arealer med fortegn er, at vi på denne måde får et produkt, som opfylder nogle pæne regneregler. Dette ville ikke være tilfældet, hvis vi ikke regnede med fortegn. Sætning For tre vilkårlige vektorer, og c og en konstant k R gælder følgende regneregler:. = p anti-kommutativ lov.. k = k = k. 3. + c = + p c og love. + c p = p + c p distriutiv 4. = 0 netop hvis og er parallelle. Specielt er p = 0. Bevis. Vi viser de enkelte regneregler en ad gangen.. Hvis og er parallelle, så står der 0 på egge sider af lighedstegnet. Hvis og ikke er parallelle, vil det udspændte parallelogram have samme areal uanset hvilken rækkefølge og står i. Orienteringen af, er modsat af orienteringen af, så planproduktet skifter fortegn, når og ytter plads.. Denne regneregel siger, at hvis en af siderne i et palallellogram ganges med k så vil arealet af det nye parallelogram være k gange så stort som arealet af det oprindelige parallelogram. 3. Beviset for den første af de to ligninger fremgår af Figur. Den anden af de to ligninger regel evises på samme måde eller ved at kominere regel og regel 3. 4. Dette skyldes at en vektor altid er parallel med sig selv. Med disse regneregler kan vi udlede en formel til eregning af planprodukter i koordinatsystemer.
Sætning 3 Lad og a være vektorer med koordinater og. Da a er planproduktet fra og givet ved Bevis. Vi skriver = a a. = a i + a j, = i + j. Vi vil enytte, at i p j = og at j p i = til at vise = a i + a j p i + j = a i p i + a i p j + a j p i + a j p j = a i p i + a i p j + a j p i + a j p j = a 0 + a + a + a 0 = a a. Hermed er sætningen evist. Med denne formel er det nu let at eregne arealet af diverse polygoner. Example 4 Vektorerne og udspænder et parallelogram. Plan- 3 produktet er p 3 Parallelogrammets areal er derfor 7. Example 5 Vektorerne og udspænder et parallelogram. Planproduktet er p 3 = 3 = 7. 3 = 3 = 8. Planproduktet er negativt hvilket afspejler at vektorerne er negativt orienterede. Arealet er 8. Example 6 En trekant har hjørner A =,, B = 5, 3 og C =, 6. Vi estemmer vektorer svarende til to af siderne. 5 4 AB = =, 3 AC = =. 6 4 Planproduktet eregnes som 4 AB p AC = p 4 = 4 4 = 5. Arealet af det udspændte parallelogram er dermed 5. Arealet af den udspændte trekant er halvt så stort, hvilket er 5/7 = 7. 3
A 3 A 4 A A 5 A Figure 3: Trianguleret femkant. Notation 7 I dette afsnit har vi rugt p som notation for planproduktet. Dette er imidlertid ikke standardnotation og kan derfor ikke ruges ved skriftlig eksamen. Den mest almindelige notation for planprodukt er at skrive det, og kalde planproduktet for determinanten af og. Hvis vektorerne er givet ved koordinaterne a =, a =, så er det almindeligt at skrive determinanten som det, = a a. Historisk set startede vektorregning som et systematiske studie af determinanter i flere dimensioner. Sætning 8 Arealformel Lad A, A,, A n etegne hjørnerne i en polygon så nummereringen af hjørnerne er i positiv omløsretning. Da er arealet af polygonen OA p OA + OA p OA3 + + OA n p OA hvor O er koordinatsystemets egyndelsespunkt. Bevis. Hvis O ligger inden i polygonen og linjestykkerne fra O til polygonens hjørner giver en triangulering af polygonen som på Figur 3 så er sætningen oplagt. I andre tilfælde eviser man sætningen for hver trekant i en triangulering af polygonen og lægger de enkelte arealer sammen. Example 9 En femkant har hjørner,,, 3,,, 3, og, 4. 4
Arealet eregnes ved hjælp af vore arealformel 3 + 3 + 3 = 35 5 + 7 + 7 + 0 + 6 =. + 3 4 + 4 Arealet er derfor 35/. Øvelse 0 Beregn arealet af en firkant med hjørner,, 3,, 5, 6 og, 9. Tegn firkanten ind i et koordinatsystem. 3 Tværvektor Som vi har set, kan man ruge planproduktet til at undersøge om to vektorer er parallelle. Vi ønsker nu at ruge planproduktet til at undersøge om to vektorer er vinkelrette eller ortogonale som det også hedder. Definition Lad være en vektor. Da er tværvektoren til den vektor som fås ved at dreje en kvart tørn i positiv omløsretning. Tværvektoren til etegnes eller lot â. I stedet for at sige tværvektoren til er det almindeligt lot at siges ahat, idet a får en hat på. Sætning Lad og være vektorer. Da er og ortogonale, netop hvis = 0. Bevis. Dette følger af, at netop hvis. Sætning 3 Lad og være vektorer og lad k være et reelt tal. Da gælder følgende regneregler:. k = k.. + = +. 3. =. 4. =. Bevis. Beviserne for disse regneregler fås direkte ud fra tegninger af hvad der foregår. a Sætning 4 Hvis vektoren er givet ved sine koordinater, så gælder a = a a. 5
Bevis. Vi enytter vore regneregler og får = a Hermed er sætningen evist. a = a i + a j = a i + a j = a j + a i a =. a Det viser sig at størrelsen p spiller en vigtig rolle i mange sammenhænge, så før vi går videre, vil vi indføre lidt mere notation. 4 Prikprodukt Vi vil nu definere endnu et produkt mellem vektorer. Hvor planproduktet ruges til at eregne arealer, vil vi ruge det nye produkt til at eregne længder og vinkler. Definitionen af det nye produkt kominerer defintionerne af planprodukt og tværvektor. Definition 5 Ved prikproduktet af vektorerne og forstås planproduktet af og tværvektoren af. I symoler ser definitionen således ud =. a Andre etegnelser for prikproduktet er skalarprodukt og indre produkt. Sætning 6 a Lad = og = være vektorer. Da kan prikproduktet af de to vektorer eregnes som: Bevis. Vi enytter definitionen = a + a. = a = a p a = a p = a a = a + a. Hermed er sætningen evist. For hver regneregel vi har for planproduktet har vi en tilsvarende regel for prikproduktet. Dette svarer til ogens sætning 7. Bemærk at ogen forlanger at vektorerne skal være genetlige, men det er ikke nødvendigt med det evis som gives her. Faktisk ruger ogen at sætningen også gælder for vektorer, som ikke er egentlige i eviset for sætning 9. 6
Sætning 7 For tre vektorer, og c og en konstant k R gælder følgende regneregler:. = kommutativ lov.. k = k = k. 3. + c = + c distriutive lov. 4. =. Bevis. De første tre regneregler kan fås direkte ud fra tilsvarende regneregler for planprodukt. Alternativt kan man evise dem ud fra sætning 6. Regel a evises således. Lad = og a =. Da gælder a = = a a + a a = a + a = a =. Regel og 3 fås tilsvarende og eviserne er skrevet ud i alle detaljer i ogen. Den sidste regneregel fås ved at emærke, at =. Prikproduktet af en vektor med sig selv er derfor lig med arealet af et kvadrat med sidelængde, hvilket som ekendt er. Vi har defineret prikproduktet ved hjælp af planprodukt og tværvektor. Man kan i stedet gøre som ogen og udregne arealer ved hjælp af tværvektor og prikprodukt, idet der gælder =. Bogen undlader dog at navngive planproduktet til trods for at dette er etydeligt lettere at forstå geometrisk end prikproduktet. 5 Pythagoras og vektorer længder Sætning 8 Længdeformlen Lad = ved: = a + a /. Bevis. Vi ved at = = a a + a a = a + a. a a. Da er længden af estemt Formlen fås ved at tage kvadratroden på egge sider af lighedstegnet. I ogen ruger de Pythagoras læresætning til at evise denne formel, men vi har vist den uden hjælp fra Pythagoras. Det er faktisk endnu edre, idet vi nu er i stand til at give et ganske simpelt evis for Pythagoras læresætning. 7
B a c c C A Figure 4: Retvinklet trekant og tilhørende vektorer. Sætning 9 Pythagoras Læresætning Lad A, B og C etegne hjørnerne i en trekant, hvor C er ret. Lad a og etegne længderne af kateterne og lad c etegne længden af hypotenusen. Da gælder Bevis. Vi indfører følgende vektorer a + = c. = CB, = CA, c = AB, således at a =, = og c = c. Da gælder c = og dermed c = c c = Da trekanten er retvinklet er = 0. = + = a +. 6 Cosinusrelationerne og vinkler En vigtig egenskaer for prikproduktet er, at det kan ruges til at eregne vinkler. Sætning 0 Lad og være to egentlige vektorer. Da gælder = cos v, hvor v =,. 8
cosv, sinv v, 0 Bevis. Figure 5: Enhedscirkel med vektorerne og indtegnet. Vi vil først antage evise sætningen under antagelse af at Vi lægger et koordinatsystem som på Figur 5, så får koordinater Koordinaterne for cos v liver da og sin v = 0 cos v sin v = cos v + 0 sin v = cos v. =.. 0 For en vilkårlig vektor gælder, at vektoren har længde. Derfor gælder = cos v. Vi ganger med på egge sider af lighedstegnet med, hvilket eviser sætningen. Sætning Cosinus-relationerne Lad A, B og C etegne hjørnerne i en 9
B a c c C A Figure 6: Trekant og tilhørende vektorer. trekant. Lad a, og c etegne længderne af de tilsvarende sider. Da gælder a = + c c cos A, = a + c ac cos B, c = a + a cos C. Bevis. Vi viser kun den sidste ligning, idet de øvrige vises på samme måde. Vi indfører følgende vektorer = CB, = CA, c = AB, således at a =, = og c = c. Da gælder c = og dermed hvilket eviser sætningen. c = c c = = + = a + a cos C, 0