Simple udtryk og ligninger

Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul

Indhold Rækkefølge f + og... Smle led f smme type... Gnge ind i prentes. del... Rækkefølge f og smt f + og... Gnge ind i prentes. del... Hæve prentes... Fortegn. del... 6 Brøk division. del... 6 Fortegn. del... 8 Regler om ligevægt... 9 Isolere...... Brøk. del... Gnge to prenteser... 6,, osv.... 6 Kvdrtsætninger... 7 Det udvidede potensegre... 8 To ligninger med to uekendte... 8 Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf 0 Krsten Juul /-0 Dette hæfte kn downlodes fr www.mt.dk Hæftet må enyttes i undervisningen hvis læreren med det smme sender en e-mil til kj@mt.dk som oplyser t dette hæfte enyttes, og oplyser om hold, niveu, lærer og skole.

Rækkefølge f + og Teori Udtryk i prentes skl vi regne ud først. Når et tl står mellem + og så skl vi udregne gnge før plus. Når et tl står mellem to +'er, så kn vi selv vælge hvilket f de to tegn vi vil udregne først. Dette etyder: Vi kn omskrive til 8 Vi kn ikke omskrive til Vi kn ikke omskrive Vi kn ikke omskrive Vi kn omskrive til til til 7 Hvis + skl udregnes før, så skl vi skrive en prentes: Vi kn omskrive til Dette hr mn estemt. Så skl mn ikke skrive så mnge prenteser. Her skl læseren forestille sig t der står gngetegn. Her skl udregnes først, så vi kn ikke udregne noget før vi kender tllet. Smle led f smme type Teori 6 I udtrykket Sådn kn vi smle led f smme type. hr vi først en gng og derefter tre gnge, dvs. vi hr fire gnge, så. Ved t ruge smme tnkegng får vi 7 6 7 0. Der er underforstået et gngetegn mellem og i, så. Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 0 Krsten Juul

Gnge ind i prentes. del Teori 9 I en skole er der smme ntl piger i lle klsser og smme ntl drenge i lle klsser. k = ntl klsser p = ntl piger i en klsse d = ntl drenge i en klsse ntl elever i en klsse = ntl piger i en klsse plus ntl drenge i en klsse = p d ntl elever på skolen = ntl klsser gnge ntl elever i en klsse = k p d ntl piger på skolen = ntl klsser gnge ntl piger i en klsse = k p ntl drenge på skolen = ntl klsser gnge ntl drenge i en klsse = k d ntl elever på skolen = ntl piger på skolen plus ntl drenge på skolen = k p k d Der gælder k p d k p k d d egge ligningens sider er ntl elever på skolen. Ligningen er et eksempel på reglen for t gnge ind i en prentes se Teori 0. Teori 0 Reglen for t gnge ind i prentes. Reglen for t gnge ind i en prentes: Advrsel: Et udtryk med flere led kn vi gnge med et tl k ved t gnge hvert led i udtrykket med k, dvs. k k k k Det er + og der skiller led, så Dette etyder: k k Vi kn omskrive til 8 Vi kn ikke omskrive til 8 Vi kn ikke omskrive til 8 Vi kn omskrive til 8 Vi kn ofte reduere et udtryk sådn: indeholder kun ét led: 6 Først gnger vi ind i prentesen. 6 7 Så smler vi led f smme type. Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 0 Krsten Juul

Rækkefølge f og smt f + og Teori Når der før et tl står + og efter står + eller, så kn vi selv vælge hvilket f de to tegn vi vil udregne først. Når der før et tl står og efter står + eller, så er det minusset før vi skl udregne først. Når et tl står mellem og, så skl vi udregne gnge før minus. Dette etyder: Vi kn omskrive 7 til Vi kn omskrive 7 til 7 Vi kn omskrive 7 til Vi kn ikke omskrive 7 til 7 8 Vi kn ikke omskrive Vi kn ikke omskrive til 0 til Hvis skl udregnes før, så skl vi skrive en prentes: Vi kn omskrive til Teori 8 = ntl frø i en pose I en krukke er 6 frø og poser, dvs. ntl frø i krukken er 6 Vi lægger 7 frø i krukken, dvs. ntl frø i krukken er 6 7 Vi fjerner poser fr krukken, dvs. ntl frø i krukken er 6 7 Antl frø i krukken er 6 7 Denne omskrivning er et eksempel på reglen om t smle led f smme type. Teori 0 I udtrykket 8 7 Sådn kn vi smle led f smme type. hr vi først otte gnge, og derefter fjerner vi syv gnge, dvs. vi hr én gng tilge, så 8 7. Ved t ruge smme tnkegng får vi 6 8 7. Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 0 Krsten Juul

Gnge ind i prentes. del Teori Reglen for t gnge ind i prentes. Et udtryk med flere led kn vi gnge med et tl k ved t gnge hvert led i udtrykket med k, dvs. k k k k Det er + og der skiller led, så Dette etyder: k k Vi kn omskrive til 8 Vi kn ikke omskrive til 8 Vi kn ikke omskrive til 8 Vi kn omskrive til 8 Vi kn ofte reduere et udtryk sådn: indeholder kun ét led: 6 Først gnger vi ind i prentesen. Så smler vi led f smme type. Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 0 Krsten Juul

Hæve prentes Teori 8 Sådn kn vi hæve prenteser. Når der forn prentesen er, og efter prentesen er +, eller ingenting så kn vi fjerne prentesen og minusset forn hvis vi smtidig ændrer fortegnet for hvert led i prentesen. Når vi gør dette, siger vi t vi hæver minusprentesen. Når der forn prentesen er +, og efter prentesen er +, eller ingenting så kn vi fjerne prentesen og plusset forn. Når vi gør dette, siger vi t vi hæver plusprentesen. Eksempler: y y 8 8 8 Disse tegn skl fjernes. Disse tegn skl ændres. Denne linje skriver vi normlt ikke. d e d e d e Denne linje skriver vi normlt ikke. Teori 9 Ved t hæve minusprentesen får vi Prentesen og minusset forn hr vi fjernet, og fortegnet i prentesen hr vi ændret til plus. er det smme som Ved t hæve plusprentesen får vi Prentesen og plusset forn hr vi fjernet. Fortegnet i prentesen skl vi ikke ændre d det er en plusprentes vi hr hævet. Følgende prentes er ikke en minusprentes: Det skyldes t der ikke står minus forn prentesen. Når der ikke er skrevet noget forn prentesen, kn vi skrive + uden t ændre etydningen: Vi kn omskrive sådn: k k k k k Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 0 Krsten Juul

Teori Vi kn ofte reduere et udtryk sådn: 6 Først gnger vi ind i prentesen. 6 Så hæver vi minusprentesen. 8 Så smler vi led f smme type. Fortegn. del Teori Minus gnge minus giver plus Her skl tllene ikke gnges, så vi kn ikke ruge reglen om minus gnge minus. I stedet hæver vi prenteserne Teori 8. Brøk division. del Teori 7 Vi vil skrive division som en røk. At divideret med er skriver vi sådn. Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 6 0 Krsten Juul

Teori 8 Hlvdelen f 6 er dvs. 6 D der står mellem 6 og, må vi dividere op i 6. Teori 9 Hlvdelen f er ikke 6 dvs. 6 kn vi ikke omskrive til. D der står + mellem 6 og, må vi ikke dividere op i 6. Hvis der står minus må vi heller ikke dividere op i 6: 6 Der gælder ltså: 8 7 0 kn vi ikke omskrive til. kn vi ikke omskrive til 8 kn vi ikke omskrive til 7. Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 7 0 Krsten Juul

Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 8 0 Krsten Juul Teori Der gælder: og og og og kn vi ikke omskrive til kn vi ikke omskrive til kn vi ikke omskrive til Fortegn. del Teori Disse eksempler viser tilldte omskrivninger: Minus divideret med minus giver plus.

Regler om ligevægt Teori 6 De fire vigtigste f reglerne om ligevægt er føgende Regler om ligevægt vedrørende +,, og : Vi må lægge det smme tl til egge sider f lighedstegnet. Vi må trække det smme tl fr egge sider f lighedstegnet. Vi må gnge egge sider f lighedstegnet med det smme tl hvis det tl vi gnger med, ikke er nul. Vi må dividere egge sider f lighedstegnet med det smme tl hvis det tl vi dividerer med, ikke er nul. Reglerne ovenfor er skrevet meget kort. I de følgende rmmer forklrer vi grundigt hvd reglerne om ligevægt går ud på. Vi kn træne reglerne om ligevægt ved t ruge dem til t løse ligninger. Så nytter det ikke t du løser ligningerne ved hjælp f ndre regler, d det er reglerne om ligevægt der er formålet med øvelserne. Reglerne om ligevægt er en vigtig del f pensum. Teori 7 Tænk på en vægt når du løser ligninger. står for et tl. På hver pkke står hvor mnge lodder den indeholder. Vi hr nrgt nogle pkker på hver f vægtens skåle: Vi trækker fr egge ligningens sider, dvs. fjerner fr egge vægtskåle. Der må stdig være ligevægt: Vi dividerer egge ligningens sider med. På hver f vægtskålene er der nu en tredjedel f det der vr før. Der må stdig være ligevægt: : Pkken med lodder vejer det smme som fire lodder, dvs.. Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 9 0 Krsten Juul

Teori 8 Det er en FEJL t omskrive til fordi det kun er en del f venstre side der er gnget med. Mn skl gnge hele siden med : Her hr vi gnget egge sider med. 6 6 Her hr vi trukket fr egge sider. Ovenstående gælder ikke kun gnge. For lle regler om ligevægt gælder t lt det der står på én side f lighedstegnet, skl vi tænke på som ét tl vi skl udføre en udregning med. Teori 9 Hvis vi i ligningen trækker fr egge sider, får vi Hvis vi i ligningen dividerer egge sider med, får vi Ved t reduere de to sider får vi ADVARSEL: Hvis vi i ligningen dividerer egge sider med, får vi Strt med t trække fr egge sider. d ADVARSEL: Hvis vi i ligningen dividerer egge sider med, får vi IKKE Strt med t trække fr egge sider. e Hvis vi i ligningen gnger egge sider med, får vi f Hvis vi i ligningen lægger til egge sider, så får vi Vi gnger egge sider med : Ved t reduere de to sider får vi 0 kn ikke forkortes væk d der står + mellem og Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 0 0 Krsten Juul

Teori Vi strter med et tilfældigt tl: 7 Vi lægger til tllet og får: Vi trækker fr dette resultt og får: 7 Vi fik det vi strtede med, fordi træk fr er den omvendte udregning til læg til. På venstre side står udregningen læg til : Med egge sider lver vi den omvendte udregning, dvs. træk fr, og får: 7. Den omvendte udregning til træk fr er læg til. Denne omvendte udregning lver vi med egge sider i ligningen og får 6. Den omvendte udregning til gng med 6 er divider med 6. Denne omvendte udregning lver vi med egge sider i ligningen 6 og får 6 dvs. 6 6 Den omvendte udregning til divider med er gng med. Denne omvendte udregning lver vi med egge sider i ligningen og får dvs 6. Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 0 Krsten Juul

Isolere Teori 6 Sådn kn vi isolere en vriel. I en opgve står t vi skl isolere m i ligningen n m. Dette etyder: Vi skl omforme ligningen til formen plds står et udtryk der ikke indeholder m. m hvor der på prikkernes For t isolere m strter vi med t lægge til egge ligningens sider. Så får vi n m. Nu dividerer vi egge ligningens sider med : n m. Ved t forkorte røken på højre side får vi ligningen n m hvor m er isoleret. Resulttet på opgven er m n For t isolere z i ligningen dividerer vi egge sider med m og får Vi forkorter røken på venstre side og får zm zm m z p p m p m For t isolere i ligningen y dividerer vi egge sider med y og får Vi forkorter røken på venstre side og får y y y y Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 0 Krsten Juul

Teori 7 Udtrykket læses i nden og etyder gnget med sig selv dvs. 6. For lle tl er. På lommeregneren kn vi udregne t, I udtryk som,,96, skl vi opløfte til nden før vi ruger, + og, så der gælder 9 9 Teori 7 Vi lder k stå for et positivt tl. Udtrykket k læses kvdrtroden f k og er den positive løsning til ligningen k. Når vi kun ser på positive tl, så gælder t ligningen 6 hr løsningen 6. Vi udregner kvdrtroden på lommeregner og får 7,87 Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 0 Krsten Juul

Teori 76 Vi vil finde det positive tl som er løsning til ligningen 0. Først isolerer vi : 0 7 7 7 Af reglen fr teori 70 får vi 7 Vi udregner kvdrtroden på lommeregner og får,8 dvs., 8 er det positive tl som er løsning til 0. Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 0 Krsten Juul

Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 0 Krsten Juul Brøk. del Teori 8 Brøkregler. Vi ændrer ikke en røks tlværdi når vi forlænger dvs. gnger tæller og nævner med smme tl eller forkorter dvs. dividerer tæller og nævner med smme tl: k k Vi kn gnge to røker ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner: d d Vi kn gnge en røk med et tl ved t gnge røkens tæller med tllet: d Vi kn dividere en røk med et tl ved t gnge nævneren med tllet: : e Vi kn dividere med en røk ved t gnge med den omvendte røk: : f Hvis røkerne hr smme nævner, kn vi sætte på fælles røkstreg sådn: Ellers må vi først forlænge røkerne så de får smme nævner se Teori 8. Teori 8 Sådn kn vi sætte på fælles røkstreg. Her er to eksempler på hvordn vi kn sætte på fælles røkstreg ved først t forlænge så røkerne får smme nævner: 6 6 6 6 6 6 6 Advrsel: Der gælder Vi kn ikke omskrive til k k

Gnge to prenteser Teori 89 Reglen for t gnge to prenteser: Vi kn gnge to prenteser ved t gnge hvert led i den ene med hvert led i den nden. Forklring på hvordn reglen skl forstås: I udtrykket k indeholder første prentes de to led og nden prentes de tre led k Ved t gnge første led i første prentes med hvert f leddene i nden prentes får vi de tre led: 6 k Ved t gnge ndet led i første prentes med hvert f leddene i nden prentes får vi: k De seks led vi hr eregnet, lægger vi smmen og får: k 6 k k Advrsel: Der gælder t 6 Vi kn ikke omskrive til 6,, osv. Teori 98 Hvd etyder,, osv.? osv. Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 6 0 Krsten Juul

Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 7 0 Krsten Juul Teori 99 Når du fleverer opgver, skl du medtge en mellemregning som den i 8, men de ndre mellemregninger ehøver du ikke medtge. 6 6 6 7 8 Kvdrtsætninger Teori Kvdrtsætninger Kvdrtet på en sum: Kvdrtet på en differens: To tls sum gnge smme tls differens: kvdrtet på et tl = tllet opløftet til nden. kvdrtet på = 6 og kvdrtet på = 9. Kvdrtet på en sum: 0 9 Kvdrtet på en differens: 0 9 To tls sum gnge smme tls differens: 9

Det udvidede potensegre Teori 0 Potens hvor eksponent kn være negtiv, nul eller en røk 0 r r f.eks. r r r f.eks. s s r To ligninger med to uekendte Teori Løsning f ligningssystem ved sustitution Opgve Besvrelse Løs ligningssystemet y y I: y II: y Af I får vi: III: y Dette indsætter vi i II: 0 0 7 7 Dette indsætter vi i III: y y Løsning: og y Ordet sustituere etyder udskifte. I esvrelsen udskifter vi y i ligning II med. Vi strter med t isolere eller y i en f ligningerne. Vi hr her vlgt t isolere y i den første ligning d det ser ud til t være nemmest. Fit ville live det smme selv om vi hvde vlgt en f de tre ndre muligheder. Vi indsætter i ligning II fordi vi isolerede i ligning I. Hvis vi isolerer i ligning II, så skl vi indsætte i ligning I. Vi kn kontrollere fit ved t indsætte og for og y i ligningerne I og II: Vi ser t egge ligninger psser. Simple udtryk og ligninger for gymnsiet og hf Side 8 0 Krsten Juul