Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M E O P G A V E UDLEVERING OG AFLEVERING: Opgave ka dowloades fra AULA-hjemmeside for matematik fra fredag de 14. december 2007 kl. 14.15. Opgavebesvarelse skal afleveres i 4 eksemplarer (ige af disse tilbageleveres) seest torsdag de 20. december 2007 kl. 11.00 hos Bodil Krogh kotor 123, 1. etage i bygig 1326. Med samme deadlie skal e elektroisk versio i PDF-format af besvarelse (icl. alle bilag) sedes til MiMaSt@eco.au.dk, hvor subject skal agive årskortummer for samtlige gruppedeltagere. E opgavebesvarelse vil ikke kue godkedes medmidre e elektroisk besvarelse foreligger. Udlad veligst at sede mere ed é mail og husk at agive alle gruppedeltageres årskortumre i mailes subject liie. GRUPPEVIS BESVARELSE: Det vil være muligt at aflevere besvarelse i grupper op til 4 studerede (abefales). Gruppestørrelser på over 4 ka ku accepteres med e særlig begrudelse og efter aftale. NAVN OG ÅRSKORTNR.: På besvarelses forside skal forfatteres (evt. forfatteres) fulde av(e), årskortummer, øvelsesholdummer og e-mail adresse tydeligt agives. FORMKRAV: Besvarelse skal være let læselig (maskiskrift/tekstbehadlig foretrækkes!) og velformuleret. Alle spørgsmål skal besvares, og svaree skal begrudes! Erfarige viser, at der ka være store forskelle i sidetal på de afleverede besvarelser. Ma ka sagtes lave e god besvarelse på uder 15 sider, og uder alle omstædigheder bør besvarelse holde sig uder 20 sider, dvs. excl. formel-udlediger og grafer. Besvarelse bør være sammehægede ude for mage hevisiger til bilag og appedices, dog vil grafer og tabeller med fordel kue hevises til bilag. Det er dog vigtigt, at ma er selektiv i valget af bilagsmaterialet, materiale, der er overflødigt, vil kue få e egativ idflydelse på bedømmelse. VÆGTNING AF DE ENKELTE OPGAVER: Opgavere vægter es. PENSUMRELATION: Opgavesættet forudsætter kedskab til hele det agive pesum.
Opgave 1 HJEMMEEKSAMENSOPGAVE MIKROØKONOMI, MATEMATIK OG STATISTIK Alle idbyggere i Århus maksimerer deres forvetede ytte, år de tager beslutiger. De har hver e vo Neuma-Morgester yttefuktio u(w), hvor w er deres idividuelle formue, og u er voksede og stregt kokav. Alle idbyggere har e bil, der skal parkeres ved et parkometer. Afgifte for at parkere er a. Hvis de ikke betaler afgifte får de, med sasylighed p, e bøde på kr. b > a, me med sasylighed 1 p bliver de ikke faget. Atag, at idbyggeres formuer stammer fra e kotiuert fordelig på itervallet [w,w]. (a) Lad de() idbygger(e), der er idifferet(e) mellem at betale afgifte og ikke betale have formue w 0. Nedskriv de ligig, der bestemmer w 0. (b) Atag, at afgifte er midre ed de forvetede udgift til bøde. Nedskriv betigelser for, at der både er idbyggere, der betaler afgifte og idbyggere, der ikke gør, hvis alle idbyggere har yttefuktio u(w) = l(w). (c) Atag u, at der både er idbyggere, der betaler afgifte, og idbyggere, der ikke gør (beyt e geerel yttefuktio). Byrådet vil u gere øge de adel af idbyggere, der betaler afgifte. De overvejer to forskellige muligheder. E mulighed er at asætte flere parkerigsvagter, således at sasylighede for at blive faget stiger med x%, og e ade mulighed er, at øge bøde med x%. Atag, at de ikke tager udgifter og idtægter ved de to forslag i betragtig. Hvilke af de to løsiger vil øge adele af betalere mest? Opgave 2 Atag, at forbrugere får ytte både af at have fri og af at forbruge. Lad c være de mægde af forbrugsgodet, som de forbruger, og lad l [0,1] være de mægde fritid, som de vælger. Atag edvidere, at forbruger i har ever h i, og at x i er de mægde tid de vælger at bruge på arbejde. Deres tidsbegræsig ka skrives som: x i + l i = 1+h i (1) hvor 1 er de totale tid, der er til rådighed. (a) Diskutér og fortolk (1). (b) Atag, at løe for arbejde såvel som prise på forbrugsgodet er 1. Nedskriv budgetbegræsige for forbrugere i økoomie. Atag u, at alle forbrugere har yttefuktio { (c+θ(c κ))+ll hvis c > κ U (c,l) c+ll hvis c κ Forbrugere får altså ekstra ytte, år de krydser e forbrugstærskel. Side 2 af 5
(c) Teg yttefuktioe for e forbruger, hvor l = 1 2 er eksoget givet, og giv et eksempel på e situatio, hvor såde e yttefuktio er relevat. (d) Maksimer agetes ytte uder atagelse af at c > κ. (e) Maksimer agetes ytte uder atagelse af at c κ. Atag, at h i [ 1 4, 3 4]. (f) Udled betigelser for, at de løsiger, som du fadt i spørgsmål (d) og (e) faktisk opfylder heholdsvis c > κ og c κ. (g) Maksimer ytte for e give forbruger med ever h i. Beskriv matematisk, hvilke forbrugere, der vælger c κ, og hvilke, der vælger c > κ. Diskutér resultatet. Atag, at κ = 1.1. (h) Har alle forbrugere råd/ever til at forbruge mere ed κ? (i) Atag edelig, at alle forbrugere bliver pålagt e idkomstskat på 10%. Diskutér, hvorda det påvirker forbrugeres lyst til at arbejde. Husk, at l [0,1]. Opgave 3 E forretig i Århus sælger et bestemt produkt. Forretigsidehavere øsker e ærmere aalyse af udviklige i salget af det pågældede produkt. Ha har derfor over e periode på 24 uger oteret det daglige salg af produktet, og resultatet fremgår af bilag 1 (Excel-fil). (Bemærk, at forretige ku har åbet på hverdage). Ha øsker di hjælp til at foretage aalyse. Besvar i de forbidelse edeståede spørgsmål. I di besvarelse er du velkomme til selv at gøre diverse atagelser (heruder fordeligsapproksimatioer), som ka hjælpe dig i aalyse. Me husk at skrive eksplicit, hvilke atagelser/approksimatioer du har gjort. (a) For hele periode (uge 1 uge 24), estimér middelværdi og varias på det daglige salg, samt stadardafvigelse på de estimerede middelværdi. (b) Forretigsidehavere har e formodig om, at ha i geemsit sælger 9 eksemplarer af produktet pr. dag. Er der udfra stikprøve i bilag 1 støtte til de formodig? (c) Forretigsidehavere har også e formodig om, at der er sket e udviklig over periode, såda at både salget og variatioe i salget er vokset geem periode. Del hele periode op i 2 delperioder: (uge 1 uge 12) og (uge 13 uge 24). Formulér og udfør tests at hypotesere, at hhv. middelværdiere og variasere er idetiske i de 2 delperioder. Side 3 af 5
(d) Hvilke atagelser har du måtte gøre for at besvare oveståede spørgsmål? (e) Forretigsidehavere meer at kue observere, at der er et bestemt møster i salget over uge, emlig såda at afsætige tederer til at være større om fredage og lavere om madage ed i reste af ugedagee. Formulér og udfør et statistisk test af, om der er forskel i fredags- og madagsomsætige. (f) Formulér og udfør et test af, om fredagsomsætige er 50% større ed madagsomsætige. (g) Formulér og udfør et statistisk test af, om omsætige over alle dagee er ormalfordelt med e kostat middelværdi og varias. Er resultatet som du forveter? (h) Det pågældede produkt er af e såda karakter, at salgsprise varierer fra dag til dag. Forretigsidehavere har e idé om, at salget hovedsageligt afhæger af prise. Ha har derfor oteret salgsprisere for periode, og resultatet fremgår også af bilag 1. Formulér e statistisk model, der ka bruges til at aalysere prises betydig for salget. Hvilke atagelser bygger modelle på? (i) På baggrud af pris- og salgstallee i bilag 1, estimér produktets pris-elasticitet, ε, og test hypotese, at efterspørgsle efter produktet er relativt elastisk (dvs. ε > 1). (j) Hvor stor e del af variatioe i salget ka forklares ved prise? (k) Atag, at prise på produktet i de kommede periode (dvs. efter uge 24) forvetes at vokse til geemsitligt kr. 125. Hvad idebærer det for forretiges forvetede salg i de kommede periode? (l) I e tidligere periode (før uge 1) lå prise fast på kr. 110. For de periode har forretigsidehavere e idé om, at efterspørgsle flukturerede helt stokastisk og usystematisk. Hvilke model ka bruges til at beskrive de situatio? (m) Forretigsidehavere øsker at få et ærmere kedskab til kuderes baggrudskarakteristika og holdiger til et bestemt yt produktsortimet. Ha har bl.a. e formodig om, at kvider er mere positivt idstillet overfor det y produktsortimet ed mæd, og at gifte/samboede har e mere egativ idstillig ed ugifte/elige. For e kort periode har ha derfor uddelt et spørgeskema til alle vokse persoer, der i periode har købt é eller flere varer i forretige. Et udsit af resultatet af spørgeskemaudersøgelse fremgår edefor. Holdig Meget Meget Positiv Neutral Negativ positiv egativ Mad Gift/sam 10 21 12 11 8 Ugift/elig 12 17 12 12 4 Kvide Gift/sam 14 25 11 7 4 Ugift/elig 13 24 10 5 3 Side 4 af 5
Formulér og udfør et, eller flere, statistisk(e) test(s) for, om der er e systematisk sammehæg mellem kuderes holdig til det y produktsortimet, og hvorvidt de er hhv. mad eller kvide, og gifte/samboede eller ugifte/elige. Hvilke atagelser omkrig stikprøve (heruder fordeligsatagelser) bygger det, eller disse, test(s) på? () Ka du udfra oveståede udersøgelse bekræfte forretigsidehaveres formodiger om sammehæge mellem kuderes holdig til det y produktsortimet, og deres kø hhv. ægteskabelige status? Opgave 4 Betragt optimerigsproblemet Max x x Dx = st. x x = i=1 i=1 d i j x i x j j=1 x 2 i = 1 hvor D er e kedt symmetrisk ( )-matrice, og x er e ukedt ( 1) vektor. (a) Løs optimerigsproblemet og fid og forklar, hvilke egeskab e hvilke som helst løsigsvektor, x 0, må have Hit: Egeskabe er tæt kyttet til D matrice (b) Giv e præcis beskrivelse af optimerigsproblemets maksimumværdi x 0 Ax 0. Hvad sikrer, at maksimumværdie eksisterer? (c) Hvad med det tilsvarede miimerigsproblem? Side 5 af 5