9.1 Egenværdier og egenvektorer

SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der findes v V \{0}, så T (v) =λv. v kaldes da en egenvektor for T associeret til, eller svarende til, λ. 2. Lad A Mat n,n (F). λ F er en egenværdi for A hvis der findes z F n \{0}, så Az = λz. z kaldes da en egenvektor for A associeret til, eller svarende til, λ. Eksempler 9.1.2 1. Ethvert tal λ R er en egenværdi for differentiation D : C (R) C (R); f(t) =e λt er en tilsvarende egenvektor. (En egenvektor i et funktionsrum kaldes ofte en egenfunktion.) 2. 2, 2 er egenværdier for [ ] 1 1 Mat 1 1 2,2 (R), idet [ ][ ] 1 1 1+ 2 1 1 1 = [ 1+ 2 2 1 ], [ ][ ] 1 1 1 2 1 1 1 = [ 1 2 2 1 ]. Lemma 9.1.3 Lad V være et F-vektorrum med ordnet basis V = {v 1,..., v n }, og lad T : V V være en lineær transformation. Så er λ en egenværdi for T λ er en egenværdi for M(T ) V,V, og v V er en egenvektor for T associeret til λ [v] V er en egenvektor for M(T ) V,V associeret til λ. Da koordinatisering mht. V giver en isomorfi V F n, gælder T (v) =λv [T (v)] V =[λv] V M V,V (T )[v] V = λ[v] V. Da v = 0 [v] V = 0 følger udsagnet umiddelbart. 155

SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Pga. lemma 9.1.3 vil vores udregning af egenværdier og egenvektorer næsten altid foretages for matricer men det er oftest egenskaber af lineære transformationer, som vi dermed prøver at afdække. Se f.eks. Application 1 og Application 2 i [L], 6.1. Det er nemlig sådan, at vi kan udregne egenværdier og egenvektorer for en matrix på algoritmisk vis: Proposition 9.1.4 ([L], s. 302) Lad A Mat n,n (F), λ F. Følgende er ækvivalente: (a) λ er en egenværdi for A. (b) Ligningssystemet (A λi)x = 0 har en ikke-triviel løsning. (c) N(A λi) {0}. (d) A λi er singulær. (e) det(a λi) = 0. (a) (b): Der findes z F n \{0} så Az = λz, så 0 = Az λz =(A λi)z, og z er en ikke-triviel løsning til (A λi)x = 0. (b) (c): En ikke-triviel løsning z til (A λi)x = 0 ligger i N(A λi), og er ikke 0. (b) (d): Sætning 1.4.8. (d) (e): Sætning 8.1.15. (c) (a): Lad z N(A λi) \{0}, så 0 =(A λi)z = Az λz og Az = λz. Da z 0 er λ en egenværdi for A. Proposition 9.1.5 Hvis det(a λi) beregnes for et ubestemt λ, så fås et polynomium af grad n i λ, p A (λ) = det(a λi); vi har p A (λ) =( 1) n λ n +( 1) n tr(a)λ n 1 + + det(a) hvor tr(a) =a 11 + + a nn er summen af diagonalindgangene i A. 156

SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Den (i,j) te indgang i A λi er { a ij a ii λ Korollar 8.2.5 foretæller, at det(a) = hvis i j hvis i = j σ S n a σ(1),1... a σ(n),1 sgn(σ) anvendt på A λi ser vi, at det(a λi) er en sum af produkter af n elementer, som er enten en a ij,i j eller en a ii λ. p A (λ) = det(a λi) er således et polynomium af grad højst n; det er dog af grad n, idet leddet (a 11 λ)(a 22 λ)... (a nn λ) er det eneste af de indgående produkter, hvor λ n optræder. Vi ser, at den optræder med koefficient ( 1) n. Hvis σ S n ikke er identiteten, så er σ(i) i for mindst to i {1,..., n}, (hvis σ afbilder n 1 af 1,..., n til sig selv, så må den også afbilde det sidste element til sig selv, idet den er surjektiv), så λ n 1 optræder i p A (λ) også kun i produktet (a 11 λ)(a 22 λ)... (a nn λ): vi ser, at den optræder med koefficient ( 1) n 1 (a 11 + + a nn ) = ( 1) n 1 tr(a). Endelig er konstant-leddet i p A (λ) det(a), idet dette konstante led er p A (0) = det(a 0I) = det(a). Notation 9.1.6 p A kaldes det karakteristiske polynomium for A. Korollar 9.1.7 Lad A Mat n,n (F). λ 0 er en rod for p A (dvs. p A (λ 0 )=0) λ 0 er en egenværdi for A, og hvis λ 0 er en egenværdi for A så er v en tilsvarende egenvektor v N(A λ 0 I) \{0}. Vi kan således finde samtlige egenværdier og egenvektorer for A Mat n,n (F): 1. Find alle rødderne λ 1,..., λ k for p A. 2. For i =1,..., k, find en basis {z i1,..., z i,ni } for N(A λ i I) (her n i = dim N(A λ i I)). Så er λ 1,..., λ k de eneste egenværdier for A og for i =1,..., k er egenvektorerne for λ i givet som ikke-trivielle lineære kombinationer af z i1,..., z i,ni. 157

SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Notation 9.1.8 N(A λ i I) kaldes egenrummet E A (λ i ) svarende til λ i : og dets dimension kaldes den geometriske multiplicitet Geo A (λ i ) af λ i. Den algebraiske multiplicitet Alg A (λ 0 ) af λ 0 er derimod det antal gange, λ λ 0 går op i p A (λ): hvis p A (λ) =(λ λ 0 ) m0 q(λ), hvor q(λ 0 ) 0, så er m 0 = Alg A (λ 0 ). Eksempel 9.1.9 Lad 9 0 7 A = 3 2 3 Mat 3,3 (R). 8 0 6 9 λ 0 7 p A (λ) = det 3 2 λ 3 8 0 6 λ [ ] =( 1) 2+2 9 λ 7 (2 λ) 8 6 λ = (2 λ)((9 λ)( 6 λ) + 56) = (2 λ)(λ 2 3λ + 2) = (2 λ) 2 (1 λ). Egenværdierne er derfor λ 1 =1, med algebraisk multiplicitet 1, og λ 2 =2med algebraisk multiplicitet 2. 8 0 7 R 3 R 3 +R 1 8 0 7 R A = 3 1 3 2 8R 2 24 8 24 8 0 7 0 0 0 R 2 R 2+3R 1 8 0 7 0 8 3 0 0 0 R 1 1 8 R 1 R 2 1 8 R2 1 0 7/8 0 1 3/8, 0 0 0 så Geo(λ 1 ) = 1. og Geo(λ 2 )=2. E A (λ 1 )=N(A ) = Span 7 3 ; 8 7 0 7 1 0 1 A 2 = 3 0 3 0 0 0 8 0 8 0 0 0 0 1 E A (λ 2 )=N(A 2 ) = Span 1, 0 ; 0 1 158

SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Eksempel 9.1.10 Lad [ ] cos θ sin θ A = Mat sin θ cos θ 2,2 (R). A er SMR for rotationen R θ af planen gennem en vinkel θ, hvis θ 0,π, så er Av, v ikke parallelle for v R 2 \{0}, så A har ingen egenværdi. Hvis vi udregner ser vi, at p A (λ) har rødder p A (λ) = (cos θ λ) 2 + sin 2 θ = λ 2 2λ cos θ +1 2 cos θ ± 4 cos 2 θ 4 2 så rødderne er ikke reelle når sin θ 0, dvs. når θ 0,π. = cos θ ± i sin θ, Sætning 9.1.11 (Algebraens Fundamentalsætning) Lad p være et ikke-konstant komplekst polynomium. Da har p en rod. Faktisk kan p skrives på formen p(x) =a(x x 1 ) n1... (x x k ) n k hvor a C \{0} og x 1,..., x r C er p s rødder. Vi vil ikke vise denne sætning i dette kursus, der henvises i stedet for til bøger eller kurser i kompleks analyse. Notation 9.1.12 n i er multipliciteten af x i som rod af p; p har n = n 1 + + n k rødder talt med multiplicitet. Korollar 9.1.13 Lad A Mat n,n (C). Da har Anegenværdier, talt med algebraisk multiplicitet. Når en matrix har reelle indgange, så kan den også opfattes som en kompleks matrix, fordi de reelle tal er indlejrede i de komplekse. Så vi kan, og ofte vil, betragte komplekse egenværdier for en reel kvadratisk matrix. Mange udredninger og udregninger bliver meget nemmere, når komplekse egenværdier tages i betragtning, også selv om det er reel information, der søges. 159

SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Lemma 9.1.14 Lad A Mat n,n (R); lad λ C \ R være en egenværdi for A, med tilsvarende egenvektor v. 1. λ er en egenværdi for A, med tilsvarende egenvektor v. 2. λ, λ har den samme geometriske multiplicitet som egenværdier for A. 1. Vi har Av = λv. Konjuger: Av = λv; så A v = λ v, idet A har reelle indgange. 2. Antag, at {v 1,..., v k } er en basis for E λ (A). Så er v 1,..., v k E λ(a). De er uafhængige, for Så dim E λ(a) dim E λ (A). c 1 v 1 + + c k v k =0 c 1 v 1 + + c k v k =0 c 1 =0,..., c k =0 c 1 =0,..., c k =0, Med λ erstattet med λ i det ovenstående fås dim E λ(a) dim E λ(a); da λ = λ har vi vist dim E λ (A) = dim E λ(a). Lemma 9.1.15 Lad A Mat n,n (R); lad λ R være en egenværdi for A. Så har λ den samme geometrisk multiplicitet, uanset om A betragtes som en reel eller en kompleks matrix. Lad E R A(λ) ={x R (A λi)x = 0}, E C A(λ) ={z C (A λi)z = 0}; så dim EA R (λ) er den geometriske multiplicitet af λ som egenværdi af A betragtet som reel matrix, mens dim EA C (λ) er den geometriske multiplicitet af λ som egenværdi af A betragtet som kompleks matrix. Lad A λ H i RREF. Da A λ har reelle indgange kan denne rækkeækvivalens fås ved reelle rækkeoperationer, og i så fald gælder A λ H uanset om A λ og H betragtes som reelle eller komplekse matricer. Vi har da, ifølge Proposition 3.2.8, 1, at som påstået. dim E R A(λ) =Antal søjler uden pivot i H = dim E C A(λ), 160

SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER Lemma 9.1.16 ([L], 6.1.1) Lad A, B Mat n,n (F) være similære. 1. p A = p B. 2. Hvis λ 0 er en egenværdi for A og B, så er Geo A (λ 0 ) = Geo B (λ 0 ). 1. Der gælder, at B = S 1 AS, hvor S Mat n,n (F) er invertibel. Vi har for et ubestemt λ Så S 1 (A λ )S = S 1 AS S 1 (λ )S = B λ. p B (λ) = det(b λ ) = det(s 1 (A λ )S) = det(s 1 ) det(a λ ) det(s) = det(a λ ) = p A (λ). (Vi har brugt, at det(s 1 ) det(s) = det(s 1 S) = det( ) = 1). 2. Lad {v 1,..., v k } være en basis for N(B λ 0 ). Vi har da for i =1,..., n så Sv 1,..., Sv k N(A λ 0 ). Sv 1,..., Sv k er uafhængige: for antag, at Så er (A λ 0 )Sv i = S(B λ 0 )v i =0, c 1 Sv 1 + + c k Sv k = 0, så S(c 1 v 1,..., c k v k )=0. c 1 v 1 + + c k v k = S 1 S(c 1 v 1 + + c k v k )=S 1 0 = 0; og c 1 =0,..., c k =0fordi v 1,..., v k er uafhængige. Så dim N(A λ 0 ) dim N(B λ 0 ). På samme måde ses, at hvis {w 1,..., w l } er en basis for N(A λ ), så er S 1 w 1,..., S 1 w l N(B λ ), og uafhængige, så dim N(A λ 0 ) dim(b λ 0 ). Så Geo A (λ 0 ) = dim N(A λ 0 ) = dim N(B λ 0 ) = Geo B (λ 0 ). 161

9.2 Diagonalisering Definition 9.2.1 1. Lad L : V V være en lineær transformation. L er diagonaliserbar hvis der findes en basis V = {v 1,..., v n } for V bestående af egenvektorer for L. Hvis egenværdien svarende til v i er λ i, for i =1,..., n, så er M V,V (L) = [[L(v 1 )] V,..., [L(v n )] V ] = [[λ 1 v 1 ] V,..., [λ n v n ] V ] =[λ 1 e 1,..., λ n e n ] λ 1 0 =, 0 λ n en diagonalmatrix. Definition 9.2.2, fortsat 2. Lad A Mat n,n (F). A er diagonaliserbar, hvis der findes en basis V = {v 1,..., v n } for F n bestående af egenvektorer for A. L A er således diagonaliserbar, og, som ovenfor, hvis egenværdien svarende til v i er λ i for i =1,..., n, så er Ifølge Korollar 4.2.9 er M V,V (L A )= λ 1 λ n. M V,V (L A )=K V,E M E,E (L A )K E,V, hvor K E,V er koordinatskiftematricen til E-koordinater (dvs. standard-koordinater) fra V-koordinater (se slides 3.3). Skriv V =[v 1,..., v n ] i søjleform. Ifølge Lemma 3.3.5 (se også [L], s. 158-9) er K E,V = V, K V,E = V 1 ; da M E,E(LA ) = A har vi λ 1 λ n = V 1 AV. Leon ([L], s. 326) definerer A til at være diagonaliserbar vha. denne formel. Definitionerne er ensbetydende: 162

Lemma 9.2.3 ([L], 6.3.2) Lad A Mat n,n (F). Følgende er ækvivalente: (1) Der findes en basis for F n bestående af egenvektorer for A. (2) Der findes n lineært uafhængige egenvektorer for A. (3) Der findes en invertibel matrix V Mat n,n (F) så V 1 AV er en diagonalmatrix. (1) (2): er oplagt. (2) (1): 3.1.4, (eller [L], 3.4.3,I). (2) (3): Lad v 1,..., v n være lineært uafhængige egenvektorer for A; lad λ 1,..., λ n være de tilsvarende egenværdier. Skriv V =[v 1,..., v n ] i søjleform. Vi har AV = A[v 1,..., v n ]=[Av 1,..., Av n ] λ 1 0 =[λ 1 v 1,..., λ n v n ] = [v 1,..., v n ] = VD 0 λ n hvor λ 1 0 D = er diagonal. 0 λ n Da V har uafhængige søjler er den invertibel. Vi har derfor V 1 AV = V 1 VD= D. (3) (2): Antag, at der findes invertibel X Mat n,n (F) så X 1 AX = D, hvor D er diagonal, λ 1 0 D =. 0 λ n Skriv X =[x 1,..., x n ] i søjleform. Da X er invertibel, er x 1,..., x n uafhængige. Vi har AX = X(X 1 AX) = XD, dvs. [Ax 1,..., Ax n ] = [λ 1 x 1,..., λ n x n ]. Men så er Ax i = λ i x i for i =1,..., n; x 1,..., x n er n uafhængige egenvektorer for A. Lemmaet undgår behændigt at nævne koordinatskift; alligevel er det nyttigt at huske, specielt i anvendelser, at et koordinatskift er involveret. 163

Det er nemt at regne med potenser af en diagonaliserbar matrix: Lemma 9.2.4 Lad A Mat n,n (F) være diagonaliserbar, og lad v 1,..., v n være en basis af F n bestående af egenvektorer for A med tilsvarende egenværdier λ 1,..., λ n. 1. Der gælder, at for alle c 1,..., c n F og k N. A k (c 1 v 1 + + c n v n )=c 1 λ k 1v 1 + + c n λ k nv n ( ) 2. Lad V =[v 1,..., v n ]. Der gælder, at A k = V 1 λ k 1 V λ k n for k N. 1. For k N er A k (c 1 v 1 + + c n v n )=c 1 A k v 1 + + c n A k b n = c 1 λ k 1v 1 + + c n λ k nv n 2. ( ) kan omskrives som A k V c 1. c n = V λ k 1 λ k n c 1. c n for alle c 1. c n F n, så A k V = V λ k 1 λ k n og A k = V λ k 1 V 1. λ k n 164

Eksempel 9.2.5 ([L] 3.5, Application 1) Vi har set på dette eksempel tidligere (i begyndelsen af sektion 3.3). Det handler om befolkningsændringer i en storby: hvert år flytter 6% af befolkningen fra midtbyen til omegnskommuner, mens 2% flytter den anden vej. Hvis 30% af befolkningen bor i midtbyen, 70% i omegnskommunerne nu, hvad bliver fordelingen ad årene? Vi skrev [ ] 0, 94 0, 02 A =, x 0, 06 0, 98 0 = [ 0, 30 0, 70 så giver x n = Ax n 1,n=1, 2,... denne fordeling efter n år. Vores løsningsmetode var egentlig at identificere egenvektorer [ ] [ ] 1 1 u 1 =, u 3 2 = 1 for A; vi så, at Au 1 = u 1, Au 2 =0, 92u 2. (Vi kan naturligvis også finde egenværdierne fra det karakteristiske polynomium» 0, 94 λ 0, 02 p A(λ) = = λ 2 1, 92λ +0, 92 = (λ 1)(λ 0, 92), 0, 06 0, 98 λ og egenvektorer ved en nulrums- (egenrums-)udregning f.eks. Vi har da Da E 1 = N A I = N 2 0.06 4 0.02 0.06 0.02 3 5 ] ; [ 1 = R ) 3] A n (au 1 + bu 2 )=aa n u 1 + ba n u 2 = au 1 + b(0, 92) n u 2. (det er her, der skiftes koordinater!) er x 0 =0, 25u 1 0, 05u 2 (1) x n = A n x 0 =0, 25u 1 0, 05(0, 92) n u 2 0, 25u 1 når n. (2) Da u 1, u 2 er uafhængige, er A diagonaliserbar, og, hvis U =[u 1, u 2 ], så er [ ] [ ] A n 1 0 = U 0 (0, 92) n U 1, så A n 1 0 x 0 = U 0 (0, 92) n U 1 x 0. og Da U 1 = K U,E er U 1 x 0 =[x 0 ] U = Da U = [ ] 0, 25 0, 05 [ ] A n 0, 25 x 0 = U (0, 92) n. 0, 05 [ ] 1 1 udregnes A n x 3 1 0 = men formuleringen i (2) er måske nemmere at overskue. (fra (1)) [ 0, 25 + (0, 92) n 0, 05 0, 75 (0, 92) n 0, 05 ] 165

Uafhængigheden af egenvektorer svarende til forskellige egenværdier gælder generelt: Lemma 9.2.6 ([L], 6.3.1) Lad A Mat n,n (F); antag, at λ 1,..., λ k er forskellige egenværdier for A. Lad v 1,..., v k være tilsvarende egenvektorer. Så er v 1,..., v k uafhængige. Lad S = Span(v 1,..., v k ); og lad r = dim S. Vi må vise, at r = k. Antag, modsætningsvis, at r < k. Efter omnummerering kan vi antage, at v 1,..., v r udgør en basis for S, så der findes Så er dvs. c 1,..., c r F med v r+1 = c 1 v 1 + + c r v r (1) Av r+1 = A(c 1 v 1 + + c r v r )=c 1 Av 1 + + c r Av r, Træk λ r+1 gange ligning (1) fra ligning (2): λ r+1 v r+1 = c 1 λ 1 v 1 + + c r λ r v r (2) 0=c 1 (λ 1 λ r+1 )v 1 + + c r (λ r λr + 1)v r. Da v 1,..., v r er uafhængige er koefficienterne c 1 (λ 1 λ r+1 ),..., c r (λ r λ r+1 ) i denne lineære relation alle 0. Da λ i λ j for i j må dette betyde, at c 1,..., c r alle er 0. Ligning (1) giver så, at v r+1 =0. Modstrid idet v r+1 er en egenvektor. Så vores antagelse var forkert, og r = k; v 1,..., v k er uafhængige. Vi konkluderer, at mange matricer er diagonaliserbare: Korollar 9.2.7 Lad A Mat n,n (F); antag, at A har n forskellige egenværdier. Så er A diagonaliserbar. 166

Vi kan vise mere omkring uafhængigheden af egenvektorer: Korollar 9.2.8 Lad A Mat n,n (F); antag, at λ 1,..., λ k er forskellige egenværdier for A. For i =1,..., k, lad v ij,j=1,..., m i være uafhængige egenvektorer for A svarende til λ i. Så er {v ij :1 i k, 1 j m i } uafhængige. Betragt en lineær relation k m i c ij v ij =0 (1) i=1 j=1 med c ij F. Skriv x i = m i j=1 c ijv ij ; så relationen bliver til x 1 + + x k =0. (2) Vi påstår, at x i =0for i =1,..., k. Antag, modsætningsvis, at nogle af x i erne ikke er 0; efter omnummerering kan vi antage, at x 1,..., x r 0, x r+1,..., x k =0. Så (2) bliver til x 1 + + x r =0. (3) For 1 i r er x i en egenvektor for A svarende til λ i, da den er ikke 0 og en lineær kombination af elementer af E A (λ i ), så selv et element af E A (λ i ). Ifølge Lemma 9.2.6 er x 1,..., x r uafhængige. (3) giver en modstrid. Så vores antagelse var forkert, og x i = 0 for i =1,..., k. Altså 0 = x i = c i1 v i1 + + c ini v ini for i =1,..., k. Da v i1,..., v ini er uafhængige fås, at c i1 =0,..., c ini =0for i =1,..., k; så er uafhængige. v ij, 1 i k, 1 j n i, Korollar 9.2.9 Lad A Mat n,n (F); antag, at λ 1,..., λ k er forskellige egenværdier for A. Så er Geo(λ 1 )+ + Geo(λ k ) n. Ifølge Korollar 9.2.8 er foreningen af baser for E A (λ 1 ),..., E A (λ k ) en uafhængig mængde i F n, så har højst n elementer. 167

Vi får nu en karakterisering af diagonaliserbare matricer: Proposition 9.2.10 Lad A Mat n,n (F), og lad λ 1,..., λ k være de forskellige egenværdier for A. A er diagonaliserbar n = Geo(λ 1 )+ + Geo(λ k ). : Lad {v 1,..., v n } være en basis for F n bestående af egenvektorer. Antag, for i =1,..., k, at n i af dem er indeholdt i egenrummet E A (λ i ). Da disse n i elementer er uafhængige, er Geo(λ i ) = dim E A (λ i ) n i. Da alle egenvektorer må have én af λ 1,..., λ k som tilsvarende egenværdi, har vi n = n 1 + + n k ; så n Geo(λ 1 )+ + Geo(λ k ). Vi har faktisk lighed, ifølge Korollar 9.2.9. : Lad V i være en basis for E A (λ i ) for i =1,..., k; lad V = V 1 V k. Ifølge Korollar 9.2.8 består V af uafhængige elementer. Da V i har Geo(λ i ) elementer har V Geo(λ i )+ + Geo(λ k )=n elementer. Så V er en basis for F n, en basis bestående af egenvektorer for A. Med tanke på beregningsteknikken for egenværdier og egenvektorer er det nærliggende at inddrage de algebraiske multipliciteter. Lemma 9.2.11 Lad A Mat n,n (F); og lad λ 0 være en egenværdi for A. Så er Geo A (λ 0 ) Alg A (λ 0 ). Lad v 1,..., v k være en basis for E A (λ 0 ); så Geo(λ 0 )=k. Udvid til en basis v 1,..., v n for F n. Lad V =[v 1,..., v n ] i søjleform. V er invertibel. Vi har, for i =1,..., k. (V 1 AV )e i = V 1 Av i = V 1 λ 0 v i = λ 0 V 1 V e i = λ 0 e i. I blokform har vi da V 1 AV = k n k k [ λ0 I B 0 C n k ]. 168

, fortsat Da A, V 1 AV er similære er p A (λ) =p V 1 AV (λ) [ (λ0 λ)i B = det 0 C λi Ved at udvikle determinanten og de efterfølgende minorer k gange efter første søjle fås så Alg(λ 0 ) k = Geo(λ 0 ). p A (λ) =(λ 0 λ) k det(c λi), ]. Det giver en alternativ karakterisering af diagonaliserbare matricer: Sætning 9.2.12 Lad A Mat n,n (F); lad λ 1,... λ k F være de forskellige egenværdier for A. Så er A diagonaliserbar (1) Alg(λ 1 )+ + Alg(λ k )=n (2) Alg(λ i ) = Geo(λ i ) for i =1,..., k. Bemærkning Hvis F = C gælder (1) altid. : hvis (1) og (2) gælder, så er Geo(λ 1 )+ + Geo(λ n )=n og A er diagonaliserbar ifølge Proposition 9.2.10. : hvis A er diagonaliserbar er Geo(λ 1 )+ + Geo(λ n )=n. Da p A er et polynomium af grad n har det højst n rødder, talt med multiplicitet, så Alg(λ 1 )+ + Alg(λ k ) n. Ifølge Lemma 9.2.12 er Alg(λ i ) Geo(λ i ) for i =1,..., k ( ) så n Alg(λ 1 )+ + Alg(λ k ) Geo(λ 1 )+ + Geo(λ k )=n. Vi må altså have ligheder hele vejen i denne kæde af uligheder; så n = Alg(λ 1 )+ + Alg(λ k ), mens ligheden Alg(λ 1 )+ + Alg(λ n ) = Geo(λ 1 )+ + Geo(λ k ) sammen med ( ) implicerer, at Alg(λ i ) = Geo(λ i ) for i =1,..., k. 169

Vi får en generel fremgangsmåde til at undersøge, om en kvadratisk matrix A Mat n,n (F) er diagonaliserbar, og til i givet fald at udføre diagonaliseringen: 1. udregn det karakteristiske polynomium p A (λ) = det(a λi) for A, 2. find de forskellige rødder λ 1,..., λ k F for p A (λ), 3. Løs for hvert i k det homogene ligningssystem (A λ i I)v = 0, og find derved en basis {v i1,..., v i,di }, bestående af d i vektorer, for N(A λ i I)=E A (λ i ). Lad n i være multipliciteten af λ i som rod af p A. Hvis n 1 + + n k <n, så er A ikke diagonaliserbar. Hvis n 1 + + n k = n, men d i <n i for mindst en af i =1,..., k, så er A ikke diagonaliserbar. Ellers er {v ij :1 i k, 1 j d i } en basis for F n bestående af egenvektorer for A. Eksempel 9.2.13 [ ] a 1 Lad A = Mat 0 a n,n (F). Da er ([ ]) a λ 1 p A (λ) = det =(a λ) 2, 0 a λ så A har kun [ én] egenværdi, a, med algebraisk multiplicitet Alg A (a) =2. 0 1 A a =, i RREF, så 0 0 så Geo A (a) =1< Alg A (a). A er ikke diagonaliserbar. ([ 1 E A (a) =N(A a ) = Span ; 0]) Eksempel 9.2.14 Lad 16 2 1 1 A = 1 2 16 1 1 20 1 1 16 2. 1 1 2 16 Vi finder egenværdier og egenvektorer. Først beregnes det karakteristiske polynomium, p A (λ) = det(a λ ) 16 20λ 2 1 1 = 1 20 4 det 2 16 20λ 1 1 1 1 16 20λ 2. 1 1 2 16 20λ 170

Eksempel 9.2.14, fortsat Vi har 16 20λ 2 1 1 p A (λ) = 1 20 4 det 2 16 20λ 1 1 1 1 16 20λ 2 (R 4 R 1 + R 2 + R 3 + R 4 ) 20 20λ 20 20λ 20 20λ 20 20λ 16 20λ 2 1 1 = 1 λ 20 3 det 2 16 20λ 1 1 1 1 16 20λ 2 1 1 1 1 15 20λ 1 0 1 = 1 λ 20 3 det 1 15 20λ 0 1 1 1 14 20λ 2 (S i S i S 4,i=1, 2, 3) 0 0 0 1 = 1 λ 15 20λ 1 0 [ ] 20 3 det 1 15 20λ 0 (1 λ)(14 20λ) 15 20λ 1 = 20 1 1 14 20λ 3 det 1 15 20λ = 1 20 3 (1 λ)(14 20λ)((15 20λ)2 1 2 ) = 1 20 3 (1 λ)(14 20λ)2 (16 20λ) = (1 λ)( 7 10 λ)2 ( 8 10 λ). Vi beregner E A ( 7 10 ): 2 2 1 1 1 1 2 2 A 7 10 = 1 2 2 1 1 20 1 1 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Så På lignende vis fås ( ) ( 7 E A = N A 7 10 10 ) 1 = Span 1 0, 0 0 0 1 1 1 E A (1) = N(A ) = Span 1 1, 1 1 E A ( 8 10 )=N(A 8 10 ) = Span 1 1. 1. 171

Eksempel 9.2.14, fortsat A er diagonaliserbar, hvor 1 V 1 AV = 8/10 7/10 7/10 1 1 1 0 1 1 1 1 V = 1 1 1 0 1 1 0 1 og V 1 = 1 1 1 1 1 4 2 2 0 0. 1 1 0 1 0 0 2 2 172