Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N = {1,2,3,...}). Løsning af f.eks. x + 2 = 1 De hele tal Z (Z = {0, ±1, ±2, ±3,...}). Løsning af f.eks. 2x = 1 De rationale tal Q (Q = { m n m Z, n N}). Løsning af f.eks. x 2 = 2 De reelle tal R (R = {alle endelige og uendelige decimaltal}). Løsning af f.eks. x 2 = 1 De komplekse tal C (C = {a + ib a,b R}).
Algebraens Fundamentalsætning. Ethvert n te grads polynomium p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, med komplekse koefficienter a 0,a 1,...,a n har præcis n komplekse rødder talt med multiplicitet. Specielt: Enhver 2. grads ligning ax 2 + bx + c = 0 med komplekse koefficienter a,b,c har to komplekse løsninger (talt med multiplicitet).
Indføring af de komplekse tal. Vi starter med at betragte punkterne i den 2-dimensionale plan: R 2 = {(a,b) a R, b R}. Vi udstyrer R 2 med to regneoperationer + og, som defineres på følgende måde: (a,b) + (x,y) = (a + x,b + y), (a,b,x,y R) (a,b) (x,y) = (ax by,ay + bx), (a,b,x,y R).
Regneregler Det er ikke svært at efterse, at der for disse regneoperationer gælder følgende regneregler for z,v,w R 2 : z + v = v + z z + (v + w) = (z + v) + w zw = wz z(vw) = (zv)w z(v + w) = zv + zw.
Indlejring af de reelle tal Vi identificerer det reelle tal a R med (a,0) R 2. Bemærk at der for a,b i R gælder: a + b = (a,0) + (b,0) = (a + b,0) = a + b. a b = (a,0) (b,0) = (a b,0) = a b. De indførte regneoperationer på R 2 passer således med de sædvanlige regneoperationer på R.
Første definition af de komplekse tal De komplekse tal C er mængden R 2 = {(a,b) a R,b R} udstyret med regneoperationerne + og indført ovenfor.
Tallet i. Elementet i := (0,1) R 2 har speciel betydning: i 2 = i i = (0,1) (0,1) = ( 1,0) = 1. Tallet i kaldes for den imaginære enhed. Bemærk, at der for ethvert b R gælder at i b = (0,1) (b,0) = (0,b). Dermed kan ethvert par (a,b) R 2 skrives på formen: (a,b) = (a,0) + (0,b) = a + ib.
Anden definition af komplekse tal Et komplekst tal er et tal på formen: z = a + ib, hvor a,b R. Tallet a kaldes realdelen af z, tallet b kaldes imaginærdelen af z. Man benytter notationen: Re(z) = Re(a + ib) = a, og Im(z) = Im(a + ib) = b. Mængden af alle komplekse tal betegnes med C, altså: C = {a + ib a,b R}.
Regneoperationerne på C (revisited) Hvis vi som ovenfor skriver komplekse tal på formen a + ib, så kan regneoperationerne + og udtrykkes på følgende måde: (a + ib) + (x + iy) = a + x + i(b + y) (a + ib) (x + iy) = ax by + i(ay + bx). Bemærk specielt at produktet (a + ib) (x + iy) kan udregnes ved blot at gange parantesserne ud og huske på at i i = 1: (a + ib)(x + iy) = ax + aiy + ibx + ibiy = ax + i(ay + bx) + (i i)by = ax by + i(ay + bx).
Modulus og argument Grafisk repræsenterer vi et komplekst ( ) tal a + ib som punktet P = (a,b) eller vektoren OP a = b Modulus: Længden af OP kaldes for modulus eller den absolutte værdi af z, og den betegnes med z : z = a + ib = a 2 + b 2. Argument: Lad θ betegne vinklen i ] π,π], som vektoren OP danner med den reelle akse. Denne vinkel kaldes for argumentet for z og betegnes med Arg(z). Polar form af et komplekst tal: z = a + ib = z (cos θ + isin θ). (1)
Grafisk repræsentation af produktet af to komplekse tal. Betragt to komplekse tal z og w, og sæt θ = Arg(z), og φ = Arg(w). Vi finder så at zw = ( z (cos θ + isin θ)) ( w (cos φ + isin φ)) = z w (cos θ cos φ + icos θ sin φ + isin θ cos φ sinθ sinφ) = z w ( (cos θ cos φ sin θ sin φ) + i(cos θ sin φ + sin θ cos φ) ) = z w ( cos(θ + φ) + isin(θ + φ) ). Vi har til sidst har benyttet additionsformler for cos og sin!
Kvadratrødder af komplekse tal. Det følger fra ovenstående, at ethvert komplekst tal z 0 har to forskellige kvadratrødder! Vi kan nemlig skrive: z = z (cos θ + isinθ), hvor θ = Arg(z). Vi kan da betragte tallene ± z ( cos( θ 2 ) + isin(θ 2 )). Vi finder så vha. foregående udregning [ ± z ( cos( θ 2 ) + isin(θ 2 ))] 2 = z z ( cos( θ 2 + θ 2 ) + isin(θ 2 + θ 2 )) = z ( cos θ + isin θ ) = z.
Hovedværdien af kvadratroden Vi sætter z = z ( cos( θ 2 ) + isin(θ 2 )), og dette tal kaldes for hovedværdien af kvadratroden for z. Bemærk specielt at Re( z) = z cos( θ 2 ) 0, idet θ 2 ] π 2, π 2 ]. Hvis θ π, er hovedværdien af z altså den af de to kvadratrødder, som har positiv realdel. Hvis θ = π, gælder at z ],0[, og vi finder, at z = z (cos( π 2 ) + isin(π 2 )) = i z.
Om løsning af 2. grads ligninger. Betragt en reel 2. grads ligning: ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0, Med de komplekse tal til rådighed har enhver sådan ligning to løsninger (som dog kan være sammenfaldende): r 1 = b + D 2a Her er D diskriminanten: og r 2 = b D, (2) 2a D = b 2 4ac.
Om løsning af 2. grads ligninger (fortsat) Hvis D > 0, er der 2 forskellige reelle rødder. Hvis D = 0, er der 2 sammenfaldende reelle rødder. Hvis D < 0, finder vi, at r 1 r 2 = b D 2a + i 2a = b D 2a i 2a. Løsningsformlen: r 1 = b + D 2a gælder faktisk også selvom a,b,c C. og r 2 = b D 2a
Den komplekse eksponentialfunktion Eksponentialfunktionen e x er som bekendt defineret for alle reelle værdier af x. Man kan udvide definitionen til også at gælde for komplekse tal, idet man benytter definitionen: e x+iy = e x (cos y + isin y), (x + iy C). Bemærk, at for et reelt tal x = x + i0 har vi e x+i0 = e x (cos(0) + isin(0)) = e x.
Fundamentalligningen for exponentialfunktionen: Den komplekse eksponentialfunktion opfylder den sædvanlige identitet: e z e w = e z+w, (z,w C). Bevis. Skriv z og w som z = x + iy, w = u + iv, hvor x,y,u og v er reelle tal. Vi har da e z e w = ( e x (cos(y) + isin(y) )( e u (cos(v) + isin(v) ) = e x e u (cos(y + v) + isin(y + v)) = e x+u (cos(y + v) + isin(y + v)) = e (x+u)+i(y+v) = e z+w.
Euler s formler: For ethvert reelt tal x gælder formlerne: cos(x) = eix + e ix, og sin(x) = eix e ix. 2 2i En anvendelse: Udregn integralet π 0 sin2 (x)dx. Vha. Eulers formel for sin(x) finder vi, at ( e sin 2 ix e ix ) 2 e 2ix + e 2ix 2 (x) = = 2i 4 Det følger derfor, at π 0 = 1 2 1 4( e 2ix + e 2ix) = 1 2 1 2 cos(2x). sin 2 (x)dx = [ 1 2 x 1 4 sin(2x) ] π 0 = π 2.
Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter. En anden ordens lineær, homogen differentialligning med konstante koefficienter er en differentialligning på formen: hvor a, b, c er konstanter. ay + by + cy = 0, (3) Løsninger: En to gange differentiabel funktion y = y(t) defineret på et interval I er en løsning til (3), hvis den opfylder at ay (t) + by (t) + cy(t) = 0, for alle t i I.
Løsning af: ay + by + cy = 0. For at bestemme løsninger til (3) gætter vi i første omgang på en funktion på formen y(t) = e rt, hvor r er en konstant (reel eller kompleks!). Bemærk at y (t) = re rt og y (t) = r 2 e rt. Det følger derfor, at ay (t) + by (t) + cy(t) = ar 2 e rt + bre rt + ce rt = (ar 2 + br + c)e rt. Det fremgår altså, at y(t) = e rt er en løsning til (3) ar 2 + br + c = 0.
Løsning af: ay + by + cy = 0 (fortsat). Andengradsligningen ax 2 + bx + c kaldes for karakterligningen hørende til (3). Løsningen til (3) afhænger nu af løsningen til karakterligningen. Der er 3 tilfælde; svarende til om diskriminanten: D = b 2 4ac er positiv, nul eller negativ.
Tilfælde I: D > 0. I dette tilfælde har karakterligningen to forskellige reelle rødder: r 1 = b D 2a og r 2 = b + D. 2a Således har vi fundet de to løsninger e r1t og e r2t til (3). Dermed er alle funktioner på formen y(t) = Ae r1t + Be r2t, (4) hvor A og B er vilkårlige konstanter, også løsninger til (3). Man kan vise, at der ikke findes andre løsninger til (3). Vi siger, at (4) angiver den fuldstændige løsning til (3).
800 600 400 200-6 -4-2 0 0 t 2 Grafen for funktionen 2e 2t + e t på intervallet [ 6,3].
Tilfælde II: D = 0. I dette tilfælde har karakterligningen dobbeltroden r = b 2a. Den fuldstændige løsning til (3) bliver så y(t) = Ae rt + Bte rt, hvor A og B er vilkårlige konstanter.
60 50 40 30 20 10-3 -2-1 0 0 1 t 2 3 Grafen for funktionen e t + 2te t på intervallet [ 3,3].
Tilfælde III: D < 0. I dette tilfælde har karakterligningen de to komplekse løsninger: og Vi har her sat r 1 = b 2a i D 2a r 2 = b 2a + i D 2a k = b 2a og ω = = k iω, = k + iω. D 2a, Vi finder dermed løsningerne y(t) = C 1 e (k iω)t + C 2 e (k+iω)t, hvor C 1 og C 2 er konstanter.
Tilfælde III (fortsat) Her antager e (k iω)t og e (k+iω)t komplekse værdier. Husk imidlertid på, at e (k iω)t = e kt (cos(ωt) isin(ωt)), e (k+iω)t = e kt (cos(ωt) + isin(ωt)). Man kan dermed omskrive løsningerne til formen: y(t) = Ae kt cos(ωt) + Be kt sin(ωt), (5) som giver reelle løsninger når A og B vælges reelle. Man kan igen indse, at (5) angiver den fuldstændige løsning til (3)
50 t -4-2 0 0 2 4-50 -100 Grafen for funktionen e t (cos(t) + sin(t)) på intervallet [ 4,5].
Hooke s Lov. Betragt et lod af masse m, som er ophængt i en (vægtløs) fjeder. Vi forestiller os at loddet hænger stille (ligevægtsposition), men hvis man trækker vertikalt i loddet, vil fjederen påvirke det med en modsatrettet kraft, som er propertional med loddets afstand til ligevægtspositionen: hvor F fjeder = ky, y = loddets afstand til ligevægtspositionen. k er en positiv proportionalitetskonstant. Samtidig giver Newton s 2. lov, at F fjeder = m d2 y dt 2,
Hooke s Lov (fortsat). Vi opnår således differentialligningen: m d2 y dt 2 = ky, dvs. d 2 y dt 2 + k y = 0. (6) m Den tilhørende karakterligning er x 2 + k m = 0, Den har løsningerne: k r = ±i m. Dermed bliver den fuldstændige løsning til (6) hvor ω = k m. y(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt),
2 1-8 -4 0 0 4 8 x -1-2 Grafen for funktionen 2cos(t) + sin(t) på intervallet [ 8,8].
Kompleks differentiabilitet I det følgende betragtes en funktion f : C C (f.eks. f (z) = e z for alle komplekse z) Definition. Lad z 0 være et fast punkt fra C. Vi siger da at f er kompleks differentiabel i punktet z 0, hvis grænseværdien f (z) f (z 0 ) c := z z0 lim, z z z z 0 0 eksisterer. I bekræftende fald kaldes c for den afledede af f i z 0 og betegnes med df dz (z 0) eller f (z 0 ). Hvis f er kompleks differentiabel i alle punkter af C, siges f at være C-C-differentiabel i C.
Eksempler på C-C-differentiable funktioner: Polynomier: p(z) = a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, hvor a 0,a 1,...,a n C. Den komplekse exponentialfunktion: f (z) = e z. Sammensætning og regning med C-C-differentiable funktioner, f.eks. f (z) = (z 4 + 1)e z2. De komplekse cosinus og sinus funktioner f (z) = cos z og g(z) = sin z.
Egenskaber for C-C-differentiable funktioner For en C-C-differentiabel funktion f : C C gælder der, at Hvis f (z) R for alle z, så er f konstant. f er automatisk uendeligt ofte C-C-differentiabel. Der findes en følge a 1,a 2,a 3,... af komplekse tal, såldes at f for alle z i C har fremstillingen f (z) = n=0 a n z n ( = lim a0 + a 1 z + a 2 z 2 + + a N z N), N F.eks. gælder der, at e z = n=0 1 n! zn. Hvis f er begrænset, så er f konstant [Liouville s Sætning].
Algebraens Fundamentalsætning. Ethvert n te grads polynomium p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, med komplekse koefficienter a 0,a 1,...,a n har præcis n komplekse rødder talt med multiplicitet.
Skitse af beviset for algebraens fundamentalsætning Antag at p ikke har nogen rødder i C. Så kan man betragte funktionen f (z) = 1 p(z), (z C), og man kan let argumentere for, at f er C-C-differentiabel og begrænset. Ifølge Liouvilles Sætning gælder derfor at 1 p(z) = f (z) = C og dermed p(z) = 1 C, for en passende konstant C.
Skitse af beviset for algebraens fundamentalsætning (fortsat) Ovenstående viser, at ethvert polynomium p(z) af grad mindst 1 (dvs. som ikke er konstant) har mindst én rod ζ 1 i C. Så bliver kvotienten et nyt polynomium. q(z) = p(z)/(z ζ 1 ) Hvis q har grad mindst 1, så har q mindst en rod ζ 2, og dermed har p(z) = (z ζ 1 )q(z) mindst to rødder ζ 1 og ζ 2. Sådan kan man fortsætte, og man ender med fremstillingen p(z) = a n (z ζ 1 )(z ζ 2 ) (z ζ n ), hvor ζ 1,ζ 2,...,ζ n er rødderne for p.