KOMPLEKS ANALYSE. noter til matematik beta H.A. NIELSEN

KOMPLEKS ANALYSE noter til matematik beta H.A. NIELSEN institut for matematiske fag aarhus universitet 23

KOMPLEKS ANALYSE H.A. NIELSEN Indhold. Komplekse tal 2 2. Elementære funktioner 3. Holomorfe funktioner 2 4. Kompleks kurveintegral 27 5. Cauhys integralsætninger 37 6. Potensrækker 45 7. Poler 52 8. Residuesætningen 59 9. Integraler, summer og produkter 63 Eksamensopgaver 85 Løsninger 94 Litteratur Stikord Noterne er til et 8 timers kursus inden for Matematik beta i kompleks analyse. De skitserede beviser er ultrakorte og skal kun give appetit på at se i de mere udførlige fremstillinger i litteraturlisten. Der er især lagt vægt på beregning af bestemte integraler ved brug af residuesætningen. Foruden det direkte nyttige og sjove heri er tanken, at dette skulle katalysere fortrolighed med regning med komplekse tal og funktioner. I resten af Matematik beta såvel Fourierrækketeorien som grupperepræsentationsteorien vil komplekse tal spille en vigtig rolle. Reel analyse forudsættes i et omfang svarende til Matematik alfa +2, hvorfra også afsnit +2 i disse noter prinipielt er kendte. Fremstillingen er bevidst kortfattet og præis, fremfor beskrivende og detaljeret. Dette kræver en lidt større indsats ved første læsning, men vil betale sig i overskuelighed senere. For et helstøbt udbytte forudsættes, at noterne suppleres med både forelæsninger og mange øvelser. Tidligere eksamensopgaver i Matematik beta med løsninger, udgivet særskilt, er vejledende for vægtning af både pensum og sværhed. Version: 2.3.. november, 25.

2. Komplekse tal. Komplekse tal Her repeteres kort de komplekse tal, regneregler, modulus og argument samt trigonometriske formler og roduddragning. Definition.. Ved et kompleks tal forstås et udtryk z = x + yi hvor x = Rez og y = Im z er reelle tal kaldet realdel og imaginœrdel. i er den imaginœre enhed, formelt identifieret med i =, altså i 2 =. Mængden af komplekse tal betegnes C. Det er et faktum, at de sædvanlige regneregler for reelle tal udvider meningsfuldt fra realdel til alle komplekse tal. Der gælder addition multiplikation z = x + y i, z 2 = x 2 + y 2 i z + z 2 = (x + y i) + (x 2 + y 2 i) = (x + x 2 ) + (y + y 2 )i z z 2 = (x + y i)(x 2 + y 2 i) = x x 2 + x y 2 i + y ix 2 + y iy 2 i = (x x 2 y y 2 ) + (x y 2 + y x 2 )i Øvelse.2. (3 5i) + ( 2 + 3i) = 2i (3 5i)( 2 + 3i) = 3( 2) ( 5)3 + (3 3 + ( 5)( 2))i = 9 + 9i Definition.3. For et kompleks tal z = x + yi er det konjugerede tal z givet ved z = x yi så Der gælder Rez = z + z 2, Im z = z z 2i z + z 2 = z + z 2 samt z z 2 = z z 2 z z = x 2 + y 2

. Komplekse tal 3 Sætning.4. Hvis z = x + yi så findes det reiproke tal z = z z z x + yi = x x 2 + y 2 y x 2 + y 2i Øvelse.5. 3 + 5i i = (3 + 5i)( + i) ( i)( + i) = 2 + 8i 2 = + 4i Definition.6. Talplanen R 2 med rektangulœre koordinater (x,y) identifieres med de komplekse tal (den komplekse plan) C ved = (,) og i = (,), så x + yi = (x,y) Im yi z = z + yi i x Re Skitse.6.. Den komplekse plan. Im z 2 z + z 2 i z Re Skitse.6.2. Addition ved parallellogramreglen.

4. Komplekse tal Im i z Re z Skitse.6.3. Konjugering er spejling i den reelle akse. Den ordnede reelle basis {,i} bestemmer den positive omløbsretning. Normen x + yi = x 2 + y 2 = (x,y) kaldet Modulus (absolut vœrdi) udtrykkes ved Modulus opfylder nulregel multiplikativitet og trekantsuligheder z = z z z = z = z z 2 = z z 2 z + z 2 z + z 2 z z 2 z z 2 z z z 2 z z 2 z 2 Skitse.6.4. Trekantsuligheder er geometrisk indlysende.

. Komplekse tal 5 Sætning.7. For z = er z = z For z er w z = w z z 2 Eksempel.8. For reelle tal a,b,,d er (a 2 + b 2 )( 2 + d 2 ) = (a bd) 2 + (ad + b) 2 ved brug af modulus multiplikativitet på a + bi, + di. Dette giver, at hvis to tal er sum af kvadrattal, så gælder dette også for produktet. For eksempel 65 = 3 5 = (2 2 + 3 2 )( 2 + 2 2 ) = ( 4) 2 + 7 2 = 6 + 49 Øvelse.9. Hvis z > så er ved brug af trekantsuligheden. z 3i > 7 Definition.. Et kompleks tal kan udtrykkes ved polœre koordinater z = z (os θ + isin θ) Vinklen θ = arg z, z, er bestemt op til et heltals fold af 2π og kaldes argument. Det er bestemt ved Hvis Re z så er som det ses af figuren: os arg z = Rez Im z, sin arg z = z z Im tan arg z = Imz Rez i z arg z z Re Skitse... Polære koordinater.

z z 2 6. Komplekse tal Ved hovedbestemmelsen af arg forstås værdien For Arg z π er Thi Arg z ] π,π] Arg z = 2Artan Imz z + Re z tan Arg z Arg z 2sin 2 os Arg z 2 sin Arg z = = 2 2os 2 Arg z + os Arg z = Imz z + Re z 2 Multiplikation i C kan udtrykkes ved additionsformlerne (os θ + isin θ )(os θ 2 + isin θ 2 ) = os(θ + θ 2 ) + isin(θ + θ 2 ) så for komplekse tal z,z 2 er z z 2 = z z 2 arg(z z 2 ) = arg z + arg z 2 z z 2 Im θ θ 2 θ + θ 2 Re Skitse..2. Multiplikation af komplekse tal. For z er pånær fold af 2π. arg z = arg z Im i z z Re Skitse..3. Reiprok tal.

Øvelse.. Bestem modulus og argument for i i. Komplekse tal 7 Da i =, arg i = π 2 og i = 2, arg i = π 4 er i i = 2 Det ses arg i i = π 2 ( π 4 ) = 3π 4 i i = 2 (os 3π 4 + isin 3π 4 ) = 2 + 2 i Øvelse.2. Skitser følgende mængder af z C () Rez = a (2) z = r (3) a Rez b, Im z d (4) s z t, u arg z v Eksempel.3. Trigonometriske formler for fold af vinkler udledes fra binomialformlen n ( ) n (z + w) n = z n k w k k Realdel og imaginærdel samles sin nθ = os nθ = os n θ ( ) n os n θ sinθ k= (os θ + isin θ) n = os nθ + isin nθ ( ) ( n n os n 2 θ sin 2 θ + 2 4 ( ) n os n 3 θ sin 3 θ + 3 ) os n 4 θ sin 4 θ... ( ) n os n 5 θ sin 5 θ... 5 Eksempel.4. Trigonometriske sumformler til brug i Fourierrækketeorien udledes fra sum af kvotientrække, z n z k = zn+ z k= k= (Antag først ω = ) n os(kθ + ω) = os(n 2 θ + ω)sin(n+ 2 θ) sin( θ 2 ) n k= sin(kθ + ω) = sin(n 2 θ + ω)sin(n+ 2 θ) sin( θ 2 )

8. Komplekse tal Sætning.5 (Rødder, de Moivre). Lad z = z (os θ + i sin θ) () For et helt tal n er z n = z n (os nθ + isin nθ) (2) For helt tal n > og k n er w k = z /n (os( θ n + 2π n k) + isin(θ n + 2π n k)) de n forskellige komplekse rødder til ligningen Im w n = z, z z i θ θ 2 z Re Skitse.5.. Kvadratroden. Øvelse.6. Bestem de komplekse tal w som opfylder w 4 = 4 Da 4 = 4 og arg 4 = π så er w k = 4 /4 (os( π 4 + 2π 4 k) + isin(π 4 + 2π 4 k)) altså w = + i,w = + i,w 2 = i,w 3 = i Eksempel.7 (Kvadratrod). Kvadratroden ±w = ±(u+vi) af z = x+yi kan beregnes direkte. (u + vi) 2 = x + yi giver u 2 v 2 = x, 2uv = y som kvadreres og adderes og dermed (u 2 + v 2 ) 2 = x 2 + y 2 2u 2 = x 2 + y 2 + x, 2v 2 = x 2 + y 2 x

Så pånær fortegn, + for y = Imz positiv, er. Komplekse tal 9 eller u + vi = x 2 + y 2 + x 2 z + Rez ± x 2 + y 2 x 2 z Re z i w = 2 ± 2 i Øvelse.8 (Andengradsligning). Formlen for løsning af andengradsligningen w 2 + aw + b = er som bekendt Løs ligningen w = a ± d, d = a 2 4b 2 w 2 + ( 4 + i)w + 5 + i = Diskriminanten er ( 4 + i) 2 4(5 + i) = 5 2i og kvadratroden er 25 25 + 44 5 + 44 + 5 5 2i = i = 2 3i 2 2 Formlen for løsninger giver altså w = 4 i ± 5 2i 2 w = + i,w = 3 2i Opgaver Opgave.. Udregn (form x + yi) i + i og ( ) i + i Opgave.2. Udregn realdel og imaginærdel af z i z + i udtrykt ved realdel og imaginærdel af z. Opgave.3. Find modulus og argument af ( + i ( + i) 7, i 7, i ) 7

. Komplekse tal Opgave.4. Hvis = og d, så er d d = Opgave.5. Bestem for givne,d den mindste værdi af z + z d, z C Opgave.6. Skitser følgende mængder af z C () Rez 2 (2) Imz 2 Opgave.7. Angiv formler for udtrykt ved os θ, sin θ, tan θ os 5θ, sin 5θ, tan 5θ Opgave.8. Løs ligningerne z 3 =, z 4 =, z 6 = Opgave.9. Find kvadratrødder 36, i, 5 6i, os + isin 2 Opgave.. Løs andengradsligningerne z 2 + z + =, z 2 + ( + 2i)z + 5i = Opgave.. Løs ligningen iz = z i både rektangulære og polære koordinater.

2. Elementære funktioner 2. Elementære funktioner Polynomier og rationale funktioner udvider naturligt til komplekse tal. Udvidelsen af exponential- og logaritmefunktionen til komplekse tal forbindes ved Eulers formler med trigonometriske funktioner. Eksempel 2.. For komplekse tal e = a + bi,f = + di er den lineære funktion z ez + f for z = x + yi givet ved matrixformen ( x y) ( a b b a )( x y ) ( + d) Fra polær form a + bi = r(os θ + isin θ) ( ( )( ( x os θ sin θ x r + y) sin θ os θ y) d) ses, at en lineær funktion bevarer vinkler i den komplekse plan. Im Im i i f Re Re Skitse 2... z-plan og w-billedplan. Øvelse 2.2. Ved navngivningen ( ) =,i = ( ) identifieres de komplekse tal med addition og multiplikation med reelle matrier af form ( ) x y x + yi = y x med matrixaddition og matrixmultiplikation.

2 2. Elementære funktioner Eksempel 2.3. Til en kompleks 2 2 matrix ( ) a b d med determinant ad b tilordnes en rational funktion z w af form w = az + b, ad b z + d som kaldes en Möbius transformation. Den er defineret for z, hvor z+d og har billede w, hvor w + a. Der er en invers funktion z = dw b w + a som også er en Möbius transformation. Dette følger af, at sammensat funktion w = a w + b w + d w = (a a + b )z + (a b + b d) ( a + d )z + ( b + d d) igen er en Möbius transformation, og på matrix form er koeffiienterne i sammensætning givet ved matrixmultiplikation. Øvelse 2.4. Möbius transformationen w = z er en bijektiv afbildning af C fraregnet på sig selv. For reelle a > afbildes irklen med entrum i a og radius a på den lodrette linje gennem 2a z a = a Rew = 2a og omvendt da transformationen er sin egen inverse. Øvelse 2.5. For a < er Möbius transformationen w = z a az en bijektiv afbildning af irkelskiven z på sig selv. Øvelse 2.6. Möbius transformationerne w = z i z + i, z = iw + i w + giver en bijektiv afbildning {z Im z > } {w w < }

2. Elementære funktioner 3 Im Im Re Re Skitse 2.4.. z-plan og w-billedplan for reiprokfunktion af den øvre halvplan på den åbne enhedsirkelskive. Definition 2.7. Exponentialfunktionen er givet ved, z = x + yi exp z = e z = e x (os y + isin y) som er en udvidelse af exponentialfunktionen for realdel. Im e x e x+yi y Re Skitse 2.7.. Eksponentialfunktionen. Der gælder den fundamentale regneregel e z +z 2 = e z e z 2 Logaritmefunktionen er bestemt op til heltals fold af 2πi for z log z = log z + iarg z Ved hovedbestemmelsen af log forstås værdien Log z = log z + iarg z

4 2. Elementære funktioner For komplekse tal z,z 2 er pånær fold af 2π. Der gælder log(z z 2 ) = log z + log z 2 exp log z = z log exp z = z + 2pπi, p helt tal For et tal w findes tal z så alle andre løsninger er på formen Exponentialfunktionen er e z = w z + 2pπi, p et helt tal exp : {z π < Imz π} {z z } en bijektiv afbildning, hvis inverse afbildning er logaritmefunktionens hovedbestemmelse Log. Øvelse 2.8. Vis opskrivningerne e z = e Re z, arg e z = Im z Re e z = e Re z os Im z, Im e z = e Re z sin Im z Relog z = log z, Im log z = arg z Øvelse 2.9. Vandrette linjer {x+yi x R} afbildes ved z e z i halvlinjer fra med retningsvinkel y. Lodrette linjer {x + yi y R} afbildes ved z e z i irkler med entrum i og radius e x. Im πi Im i Re Re πi Skitse 2.9.. z-plan og w-billedplan for eksponentialfunktionen

2. Elementære funktioner 5 Eksempel 2. (Potenser). Potenser (der er flere) z w kan nu defineres meningsfuldt for alle z,w. () =, w = for w. (2) z = e v, z w = e vw. Potensregneregler (z z 2 ) w = z w zw 2 pånær e 2pπiw z w +w 2 = z w z w 2 pånær e 2pπi(w +w 2 ) Øvelse 2. (Euler). Beregn tallet i i. giver i = e πi 2 i i = e π 2.2 Eksempel 2.2 (Eulers formler). De (hyperbolsk)trigonometriske funktioner defineres for alle komplekse tal z ved os z = eiz + e iz 2 sin z = eiz e iz 2i osh z = ez + e z = os iz 2 sinh z = ez e z = isin iz 2 De opfylder de kendte additionsformler os(z + z 2 ) = os z os z 2 sin z sinz 2 sin(z + z 2 ) = sinz os z 2 + os z sinz 2 osh(z + z 2 ) = osh z osh z 2 + sinh z sinh z 2 sinh(z + z 2 ) = sinhz osh z 2 + osh z sinh z 2 Eksempel 2.3. Lad w = os z Så er z = aros w = w i log(w ± 2 ) Tilsvarende for w = sin z er z = arsin w = i log(wi ± w 2 ) Det følger, at funktionerne os og sin er surjektive.

6 2. Elementære funktioner Eksempel 2.4. sinz = har løsninger z = pπ, p helt tal os z = har løsninger z = π + pπ, p helt tal 2 Eksempel 2.5. Lad Så er w = tan z = sin z os z z = artan w = 2i log + iw iw Eksempel 2.6 (Enhedsrødder). Løsningerne til ligningen kaldes n-te enhedsrødder og har form w n = w k = e 2πik n, k =,...,n ζ = e 2πi n kaldes en primitiv enhedsrod og der gælder w k = ζ k Im e 2πi 9 Re Skitse 2.6.. Enhedsrødder. Af faktoriseringen (w w )... (w w n ) = w n fås den nyttige formel w + + w n = + + ζ n =

Ligningen har for en valgt rod w rødder De første primitive enhedsrødder er 2. Elementære funktioner 7 w n = z, z w k = ζ k w, k =,...,n e 2πi = e 2πi 2 = e 2πi 3 = 2 + 3 2 i e 2πi 4 = i e 2πi 5 2 5 = + 5 + 5 i 4 4 e 2πi 6 = 3 2 + 2 i e 2πi Beregning af ζ = e 2πi 5. Sæt Fra relationen er så x,y er rødder i ligningen Det fås 7 = e 2πi 7 e 2πi 2 2 8 = 2 + 2 i e 2πi 9 = e 2πi 9 e 2πi 5 + 2 = + 5 5 i 4 4 e 2πi = e 2πi e 2πi 3 2 = 2 + 2 i x = ζ + ζ 4, y = ζ 2 + ζ 3 + ζ + ζ 2 + ζ 3 + ζ 4 = x + y =, xy = u 2 + u ζ + ζ = + 5 2 og dermed er ζ rod i ligningen ζ 2 + 5 ζ + = 2

8 2. Elementære funktioner Eksempel 2.7 (Tredjegradsligning). Ligningen redueres ved substitution w 3 + aw 2 + bw + = w = z a 3 p = a2 3 + b q = 2a3 27 ab 3 + til z 3 + pz + q = Rødderne heri z,z,z 2 opfylder og dermed relationerne (z z )(z z )(z z 2 ) = z 3 + pz + q z + z + z 2 =, z z + z z 2 + z z 2 = p, z z z 2 = q Lad ζ = e 2πi 3 = +i 3 2, + ζ + ζ 2 = være en primitiv 3-je enhedsrod. Sæt x = z + ζz + ζ 2 z 2 y = z + ζ 2 z + ζz 2 så er 3z = x + y, 3z = ζ 2 x + ζy, 3z 3 = ζx + ζ 2 y Det fås xy = 3p x 3 y 3 = 27p 3 x 3 + y 3 = 27q så x 3,y 3 er rødder i ligningen u 2 + 27qu 27p 3 = x 3 q 27 = q 2 + 2 4 + p3 27, y 3 q 27 = q 2 2 4 + p3 27 Kubikrødder skal da vælges, så xy = 3p Dette giver tre muligheder og de imponerende formler z = 3 q q 2 + 2 4 + p3 27 + 3 q q 2 2 4 + p3 27 z = i 3 3 q q 2 2 + 2 4 + p3 27 + + i 3 3 q q 2 2 2 4 + p3 27 z 2 = + i 3 3 q q 2 2 + 2 4 + p3 27 + i 3 3 q q 2 2 2 4 + p3 27

2. Elementære funktioner 9 Øvelse 2.8. Løs ligningen (Fibonai) w 3 + 2w 2 + w 2 = Denne redueres ved substitution w = z 2 3 til Så er x 3 27 = 352 27 + (352 ) 2 + 27 Kubikrødder skal da vælges, så p = 26 3 q = 74 27 z 3 + 26 3 z 74 27 = ( ) 26 3, 9 xy = 26 Dette giver x,y R og (352 ) 2 352 w = 3 27 + + 27 w = i 3 (352 ) 2 352 3 2 27 + + 27 + + i 3 (352 ) 2 352 3 2 27 + 27 w 2 = + i 3 (352 ) 2 352 3 2 27 + + 27 + i 3 (352 ) 2 352 3 2 27 + 27 y 3 27 = 352 27 ( ) 26 3 + 3 352 9 27 ( ) 26 3 9 ( ) 26 3 2 9 3 ( ) 26 3 9 ( ) 26 3 2 9 3 (352 ) 2 + 27 (352 ) 2 + 27 ( ) 26 3 9 ( ) 26 3 2 9 3 Approximation w.37 w.68 3.43i w 2.68 + 3.43i

2 2. Elementære funktioner Opgaver Opgave 2.. Gennemfør udregningen os(x + yi) 2 = os 2 (x) + sinh 2 (y) sin(x + yi) 2 = sin 2 (x) + sinh 2 (y) Opgave 2.2. Angiv formler for log z, arg log z e zi, arg e zi Opgave 2.3. Vandrette linjer {x + yi x R} afbildes ved z sinz i ellipser. Lodrette linjer {x + yi y R} afbildes ved z sin z i hyperbler. Opgave 2.4. Løs ligningerne os z = 4 3 i tan z = 2i Opgave 2.5. Bestem alle værdier af i i Opgave 2.6. En Möbius transformation fører irkler og linjer i den komplekse plan i irkler og linjer, men bevarer ikke altid type eller entrum. (Benyt f.eks. omskrivningen for.) az + b z + d = a ad b z + d Opgave 2.7. Benyt værdien af e 2πi 5 til vise e 2πi 5 + 2 = + 5 5 i 4 4 Opgave 2.8. Løs ligningen (Cardano) w 3 8w + 3 =

3. Holomorfe funktioner 2 3. Holomorfe funktioner Da C med modulus er identifieret R 2 med norm kan begreberne åbne og lukkede delmængder samt rand i C tillægges den sædvanlige betydning. En lukket og begrænset mængde er kompakt. Ordet område reserveres til en ikke-tom åben sammenhængende delmængde. indre z rand Skitse 3... Et punkt z i det indre. Lad D C, en afbildning f : D C kaldes en kompleks funktion. Der indføres skrivemåden f(x + yi) = u(x,y) + v(x,y)i u = Re f, v = Im f med realdel og imaginærdel. Begreber som grænseværdi, kontinuitet og (reel) partiel differentiabilitet er da i sædvanlig betydning for u, v og de kendte regneregler kan udnyttes. Der er imidlertid en vigtigere form for differentiabilitet, nemlig i det tilfælde, hvor den lineære tilnærmelse er på formen h ah + b. Sammemhæng mellem disse begreber er hovedtema i dette afsnit. Beviser for regnereglerne er ord for ord som i det reelle tilfælde. Definition 3.. En funktion f defineret i en åben mængde D kaldes holomorf i D, hvis for alle z D, differenskvotienten har en grænseværdi, differentialkvotienten, f(z + h) f(z) h I så fald fås tilnærmelsen f (z) = df dz (z), h f(z + h) f(z) f (z)h f = df dz er den afledede funktion og f er stamfunktion til f. Da kompleks multiplikation bevarer vinkler følger, at holomorfe funktioner bevarer vinkler i den komplekse plan, Eksempel 2.. I beviserne forudsættes tilstrækkelig differentiabilitet.

22 3. Holomorfe funktioner Sætning 3.2 (Regneregler). Hvis f,g er holomorfe i D, så er holomorfe i D og f + g, fg, f g for g(z) (f + g) (z) = f (z) + g(z) (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z) ( ) f (z) = f (z)g(z) f(z)g (z) g g(z) 2 Sætning 3.3 (Kæderegel, Invers funktion). Hvis f er holomorf i D og g er holomorf i E, f(d) E, så er g f holomorf med, w = f(z), (g f) (z) = g (w)f (z) Hvis f er invers funktion til f, f(z) = w, så er denne holomorf og (f ) (w) = f (z) Eksempel 3.4. Lad A = Den afledede er Den inverse funktion har den afledede h (w) = ( ) a b give Möbius transformationen d w = f(z) = az + b z + d f (z) = ad b (z + d) 2 z = h(w) = dw b w + a ad b (z + d)2 = ( w + a) 2 ad b Eksempel 3.5. De elementære funktioner er holomorfe. Den afledede beregnes ved de kendte formler (z n ) = nz n (e z ) = e z (os z) = sin z (sin z) = os z (osh z) = sinhz (sinh z) = osh z (log z) = z

3. Holomorfe funktioner 23 log z er defineret på C fraregnet en halvlinje ud fra. Definition 3.6. For en reel-differentiabel kompleks funktion f(x + yi) = u(x, y) + v(x, y)i er Cauhy-Riemann ligningerne u x = v y v x = u y Ligningerne udtrykker, at de reelle vektorfelter (u, v) og (v, u) begge er rotationsfrie eller at differentialformerne er lukkede. udx v dy og v dx + udy ( v x, v y ) ( u x, u y ) Skitse 3.6.. Gradienter er vinkelrette. Hovedsætning 3.7. f = u + vi er holomorf i et område, hvis og kun hvis u, v er differentiable og Cauhy-Riemann ligningerne er opfyldte. I så fald er f (z) = u (z) + i v x x (z) Bevis. Antag f() = og f () = a + bi. Nær er u(x,y) + v(x,y)i (a + bi)(x + yi) = (ax by) + (bx + ay)i hvis og kun hvis i u x = a = v y v x = b = u y Eksempel 3.8. Lad f = u + vi. Hvis de partielle afledede af u,v eksisterer og er kontinuerte, så er u, v differentiable og hvis Cauhy-Riemann ligningerne er opfyldte, så er f holomorf.

24 3. Holomorfe funktioner Eksempel 3.9. Lad f = u + vi og bemærk f dz = f dx + if dy = udx v dy + i(v dx + udy) Cauhy-Riemann ligningerne kan skrives på den mere kompakte form altså differentialformen er lukket. i f x f y = f dz i f x = f y f x Skitse 3.9.. Drejning på π 2. I så fald er den afledede f (z) = f (z) = i f x y (z) Jaobi-determinanten er positiv, idet f 2 u u x y = v v = x y ( ) u 2 + x ( ) v 2 x Altså bevarer en holomorf funktion vinkler og orientering i den komplekse plan i punkter, hvor f (z). Øvelse 3.. Lad f være holomorf i et område D og antag f = på D. Så er f konstant. Øvelse 3.. Antag f er holomorf i et område D og f(d) R. Så er f konstant. Thi f = u + vi og v = giver Så f = på D. u x = v y = = v x = u y Eksempel 3.2. log z er holomorf med (log z) halvlinje ud fra. Hertil skrives = z på C fraregnet en log(x + yi) = log x 2 + y 2 + iartan y x

3. Holomorfe funktioner 25 u = 2 log(x2 + y 2 ), v = artan y x u x = x x 2 + y 2, u y = v x = y x 2 + y2 x 2 = v y = x + y2 x 2 = Så Cauhy-Riemanns ligninger er opfyldte og y x 2 + y 2 y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 (log z) x = x 2 + y 2 i y x 2 + y 2 = z Im πi Im z = Log w w = e z Re Re πi Skitse 3.2.. z-logaritmer og w-eksponentialer. Øvelse 3.3. Funktionerne z z og z z er ikke holomorfe i noget område. Er z z + z holomorf? Øvelse 3.4. Lad arg z være bestemt som funktion i et område. Bestem de partielle afledede. Er funktionen holomorf? Opgaver Opgave 3.. Angiv stamfunktioner til z n, e z, log z

26 3. Holomorfe funktioner Opgave 3.2. Beregn den afledede af aros z, tan z, artan z Opgave 3.3. Lad f være holomorf. Vis, at funktionen er holomorf. z f(z) Opgave 3.4. Vis, direkte, at differentialformen z dz er lukket. Opgave 3.5. Beregn de partielle afledede og afgør om funktionerne er holomorfe. () x 2 + iy. (2) x 2y + (2x + y)i. (3) x 2 y 2 i. Opgave 3.6. Find f = u + vi holomorf, så () u(x,y) = x 3 3xy 2. (2) v(x,y) = e y sin x. Opgave 3.7. Hvis f = u + vi er holomorf (u,v to gange kontinuert differentiable), så er 2 u x 2 + 2 u y 2 = 2 v x 2 + 2 v y 2 = Opgave 3.8. Antag f er holomorf i et område D. Hvis enten Ref, Imf eller f er konstant i D, så er f konstant. Opgave 3.9. Antag f er holomorf i et område D. Hvis f(d) er indeholdt i en linje, så er f konstant. Opgave 3.. Skriv en funktion på polær form f(re iθ ) = R(r,θ)e iθ(r,θ) Cauhy-Riemann ligningerne har da formen R r = R Θ r θ R θ = Rr Θ r

4. Kompleks kurveintegral 27 4. Kompleks kurveintegral Plan vektoranalyse, kurveintegral og Greens sætning tilpasses som hjælpemiddel for analyse af komplekse funktioner. En kort omtale af omløbstal benyttes ikke senere. Definition 4.. En kurve i C antages at være kontinuert, orienteret med stykkevis kontinuert differentiabel parameter fremstilling z(t), t [α, β]. En kurve er simpel hvis z(t ) z(t 2 ) for t < t 2. Hvis kurven er lukket z(α) = z(β) kaldes denne simpel hvis z(t ) z(t 2 ) for t < t 2 < β. Lœngden af er β β L() = z (t) dt = x (t) 2 + y (t) 2 dt α nemlig grænseværdien af zi+ z i z (t i ) (t i+ t i ) for finere inddeling af kurven. For en kontinuert kompleks funktion f defineret på er kurveintegralet givet ved β f(z)dz = f(z(t))z (t)dt Hvis kurven er lukket bruges også betegnelsen f(z)dz = f(z)dz Kurveintegralet er grænseværdien af summen f(zi )(z i+ z i ) f(z(t i ))z (t i )(t i+ t i ) for finere inddelinger af kurven. α α z(β) (v, u) (u, v) z i z i+ z(α) z i Skitse 4... Kurve med inddeling og vektorfelt. For z = x + yi, f = u + vi er f(z)dz = (u + vi)d(x + yi)

28 4. Kompleks kurveintegral = udx v dy + i v dx + udy Kurveintegralet er da det komplekse tal, hvis realdel er integralet af formen udx vdy og hvis imaginær del er integralet af vdx + udy langs kurven. På vektorform f(z)dz = (u, v) (dx,dy) + i (v,u) (dx,dy) er kurveintegralet det komplekse tal, hvis realdel er arbejdet af vektorfeltet (u, v) langs kurven og hvis imaginær del er fluxen af samme felt gennem kurven. De kendte regneregler for kurveintegraler kan udnyttes, speielt ved parameterskift er integralet uændret, når gennemløbsretningen er bevaret, og skifter fortegn ved modsat retning. Øvelse 4.2. For kurver z,z 2 er z z 2 en kurve med (z z 2 ) (t) = z (t)z 2(t) + z (t)z 2 (t) Hvis z er en kurve i et område hvor f(z) er holomorf, så er f(z) en kurve med f(z(t)) = f (z(t))z (t) Øvelse 4.3. For z = x + yi, f = u + vi er β f(z)dz = (u(x(t),y(t))x (t) v(x(t),y(t))y (t))dt α β + i α (v(x(t),y(t))x (t) + u(x(t),y(t))y (t))dt Eksempel 4.4. Linjestykket [a,b] fra a til b i C har en parameterfremstilling z(t) = ( t)a + tb, t [,] Længden er b a dt = b a b a z = ( t)a + tb Skitse 4.4.. Linjestykke.

4. Kompleks kurveintegral 29 Cirklen z a = R med entrum i a og radius R samt positiv omløbsretning har en parameterfremstilling Længden er z(t) = a + Re it, t [,2π] 2π R dt = 2πR a R t z = a + Re ti Skitse 4.4.2. Cirkel med radius R. Eksempel 4.5. For et helt tal n er (z a) n dz = Thi værdien er z a =R 2π {, n 2πi, n = ir n+ e (n+)it dt Eksempel 4.6. Halvirklen z = i øvre halvplan har en parameterfremstilling z(t) = e it, t [,π] Integralet Ved parameterfremstillingen giver I alt den kendte formel z = z = dz = πi z z (t) = + ti, t [, ] ti z dz = ti 2i + ti ( ti) 2 dt + t 2dt = π 2

3 4. Kompleks kurveintegral Im i z (t) + 2ti ti Re Skitse 4.6.. En snu parametrisering. Sætning 4.7. Hvis f(z) M for z gœlder vurderingen f(z)dz M L() Bevis. Der gælder β f(z)dz f(z(t))z (t) dt M L() α Alternativt f(z)dz f(z i )(z i+ z i ) f(z i ) z i+ z i M z i+ z i M L() Eksempel 4.8. Lad u være kurven med parameterfremstilling Da er Thi så for u < z(t) = e it, t [,u] lim e z2 dz = u u e z2 M, z e z2 dz ML( u) = Mu, u u Øvelse 4.9. Lad R være kurven med parameterfremstilling z(t) = Re it, t [, π 4 ] Da er e lim R R z2 z 2 dz =

4. Kompleks kurveintegral 3 Definition 4.. En kompakt mængde K, hvis indre er et område og hvis rand består af et sæt,..., m af disjunkte simple lukkede kurver med gennemløbsretning fra K kaldes en indhegning. Punkter i det indre af K er indenfor indhegningen. (Hvis omløbsretningen i C er mod uret, skal K være på venstre hånd ved gennemløb af kurven i positiv retning.) Skitse 4... Generel indhegning. Eksempel 4.. En lukket irkelskive, hvis periferi har positiv omløbsretning er en indhegning. En trekant, et rektangel og mere generelt en polygon med positiv omløbsretning er en indhegning. Skitse 4... Populære indhegninger. Eksempel 4.2. Den udprikkede enhedsirklenskive < z er ikke en lukket delmængde og dermed ikke en indhegning. En lukket irkelring r z R, hvis rand er givet ved kurverne r : t re it, R : t Re it, t [,2π]

32 4. Kompleks kurveintegral Skitse 4.2.. Udprikket er ej lukket. Cirkelring er indhegning. er en indhegning. Hovedsætning 4.3 (Greens sætning). Lad f vœre reel-kontinuert differentiabel i et område D. For enhver indhegning K med rand,..., m i D er f(z)dz + + f(z)dz = (i f m K x f y )da Bevis. I en omegn af z er f(z + dz) f(z) + f f (z)dx + x y (z)dy For randen af et infinitisimalt rektangel K er f(z)dz f(z)dx + f(z + dx)idy f(z)idy f(z + idy)dx f(z)dx + (f(z) + f f x (z)dx)idy f(z)idy (f(z) + y (z)dy)dx K (i f x f y )da Et generelt K overdækkes med et fintmasket kvadratnet og så følger påstanden ved videreindeling (svært). Eksempel 4.4. Lad K være en indhegning med rand,..., m. Arealet af K er da A(K) = z dz + + z dz 2i 2i m Øvelse 4.5. En lukket irkelring r z R med rand r : t re it, R : t Re it, t [,2π] har areal A = z dz + z dz 2i r 2i R = 2i 2π re it ( i)re it dt + 2i 2π Re it ire it dt

4. Kompleks kurveintegral 33 Skitse 4.3.. Greens situation. = π(r 2 r 2 ) Definition 4.6. Lad være en lukket kurve. For a / er indeks (omløbstal) I(,a) = 2πi z a dz Som det fremgår af beviset nedenfor angiver omløbstallet, hvormange gange man ved at følge kurven kommer helt omkring punktet a regnet med fortegn. Sætning 4.7. Indeks opfylder () I(,a) er et helt tal. (2) I(,a) varierer kontinuert med a. Bevis. Antag a =. () Ved inddeling af kurven vises, at parameterfremstillingen kan skrives på polær form Hvoraf I(,) = 2πi z(t) = r(t)e θ(t)i, t [α,β] β α ( r (t) r(t) + θ(β) θ(α) θ (t)i)dt = 2π er et helt tal, da kurven er lukket. (2) For b i en irkelskive z R som ikke møder forløber kurven med parameterfremstilling z(t) b z(t) helt i irkelskiven z <. Så ved valg af θ som ovenfor fås I(,) =. Det følger I(,b) = I(,) + I(,) = I(,)

34 4. Kompleks kurveintegral + +2 Alternativt () opfylder så og dermed g(β) = 2pπi. (2) Skitse 4.7.. Omløbstal per øjemål. g(u) = u α z (t) z(t) dt d du e g(u) z(u) = e g(α) z(α) = e g(β) z(β) I(,b) I(,) max z z b z L() Eksempel 4.8. Lad være randen af irklen z b = R med positiv omløbsretning { a b < R I(,a) = a b > R Thi ved kontinuitet er I(,a) = I(,b) for a b < R og I(,a) = for a. Opgaver Opgave 4.. Beregn længden af kurven L() = β α z (t) dt

4. Kompleks kurveintegral 35 hvor z(t) er parameterfremstilling for () Linjestykket fra + i til 2 i. (2) Enheds halvirklen i øvre halvplan. (3) Linjestykket fra til i fortsat med irkelbuen fra i til med radius og entrum i. Opgave 4.2. Beregn integralerne Rez dz, z dz, z 2 dz hvor er kurven () Linjestykket fra til. (2) Enheds halvirklen i øvre halvplan. (3) Linjestykket fra til i fortsat med linjestykket fra i til. Opgave 4.3. Lad R være halvirklen i øvre halvplan. Gør rede for, at R z 2 dz, R og R z 2 eiz dz, R Opgave 4.4. Beregn indeks I(, ) hvor er den lukkede kurve (med positivt omløb) () Cirklen z =. (2) Kvadrat med hjørner + i, + i. i, i. (3) Ellipsen z(t) = aos t + isin t, t [,2π]. Opgave 4.5. Beregn integralerne z i dz, z + i dz, hvor er den lukkede kurve (med positivt omløb) () Cirklen z i =. (2) Cirklen z + i =. (3) Cirklen z = 2. z 2 + dz Opgave 4.6. Hvis en simpel lukket kurve kan sammentrækkes til et punkt i området D, dvs. z : [α,β] [,] D z(α,u) = z(β,u) = z(t,) for alle t,u z(t,) fremstiller

36 4. Kompleks kurveintegral så er randen af en indhegning i D. z(t, ) z(t, u) z(t, ) Skitse 4.8.. Sammentrækning af kurve. Opgave 4.7. Hvis en kontinuert funktion f : D C {} har I(f(),) = for enhver lukket kurve i D. Så findes en kontinuert funktion g : D C som giver f = e g Opgave 4.8. Lad z (t),z 2 (t) give lukkede kurver, 2. () Lad være kurven givet ved produktet z (t)z 2 (t), så er I(,) = I( ) + I( 2 ) (2) Hvis z (t) z 2 (t) z (t) for alle t, så er I( ) = I( 2 ) Opgave 4.9. Brouwers fixpunktssœtning. Lad f være kontinuert på irkelskiven z. () Hvis f(z) for z, så er I(f( z = r),) =, r [,] (2) Hvis f(z) for z, så har f et fixpunkt z f(z ) = z

5. Cauhys integralsætninger 37 5. Cauhys integralsætninger Cauhys integralsætninger og -formler fås fra Greens sætning. En række populære resultater udledes, algebraens fundamentalsætning, Liouvilles sætning og maksimumsprinippet. Eksempel 5.. En funktion F er (reel)-stamfunktion til f når differentialerne df = fdz Da df = F F dx + dy, fdz = fdx + ifdy x y opfylder F Cauhy-Riemanns ligninger F x = f, F y = if og er derfor (holomorf)-stamfunktion til f. Polynomier og eksponentialfunktionen har stamfunktioner i ethvert område. Eksempel 5.2. Lad f være en kontinuert funktion på en kurve. Funktionen f(w) F(z) = w z dw er holomorf i C fraregnet. Den afledede er F f(w) (z) = (w z) 2 dw w w z z + h z Skitse 5.2.. Konstruktion af holomorf funktion. F(z + h) F(z) = f(w)( w z h w z )dw h f(w) (w z) 2 dw Sætning 5.3. Lad f vœre kontinuert i et område D. Følgende er œkvivalent () f har en stamfunktion i D.

38 5. Cauhys integralsætninger (2) Ethvert lukket kurveintegral f(z)dz = (3) Ethvert kurveintegral f(z)dz afhœnger kun af kurvens endepunkter. Hvis F er en stamfunktion til f og begynder i a og slutter i b, så er f(z)dz = F(b) F(a) Bevis. Hvis F er en stamfunktion, så er d dt F(z) = f(z(t))z (t) Omvendt hvis kurveintegralet kun afhænger af endepunkter, så er F(z) = f(w)dw hvor er en kurve fra et fast punkt til z, en stamfunktion til f, idet F(z + h F(z) = f(w)dw f(z), h h h [z,z+h] Øvelse 5.4. For kurven z(t) = e sin(t t2 i), t beregnes dz. z 2 Da ( z ) = z fås 2 z 2dz = [ z ]esin( i) e = e sin( i) Hovedsætning 5.5 (Cauhys integralsætning). Lad f vœre holomorf i et område D. For enhver indhegning K med rand,..., m i D er f(z)dz + + f(z)dz = m Bevis. Greens sætning giver at venstre siden er (i f x f y )da = fra Cauhys ligninger. K

5. Cauhys integralsætninger 39 2 3 Skitse 5.5.. Cauhys sætning for en indhegning. Sætning 5.6. En holomorf funktion f i et stjerneområde D har en stamfunktion i D. En holomorf funktion har lokalt en stamfunktion. [a,z] z a Skitse 5.6.. Stjerneområde. Bevis. Trekanter er indhegninger, så fra et udsigtspunkt a er F(z) = f(w)dw en stamfunktion. [a,z] Eksempel 5.7. For enhver indhegning K med rand,..., m er { z a dz + + 2πi, for a indenfor K m z a dz =, for a ikke i K For a indenfor indhegningen er integralets værdi dz = 2πi z a z a =r for en tilpas lille irkel om a. For a ikke i K er integranten holomorf om K. Øvelse 5.8. z har ikke en stamfunktion i C {}. Men log z er stamfunktion i C fraregnet en halvlinje ud fra.

4 5. Cauhys integralsætninger a z a = r Skitse 5.7.. En irkel om a tilføjet. Øvelse 5.9. z har en stamfunktion i C fraregnet den negative reelle halvakse. Hovedsætning 5. (Cauhys integralformler). Lad f vœre holomorf i et område D og lad K med rand,..., m vœre en indhegning i D. For alle z indenfor indhegningen er og f(z) = j f (n) (z) = j 2πi j n! 2πi j f(w) w z dw f(w) dw (w z) n+ z w z = r Skitse 5... Afledede i z bestemt i en irkel om z. Bevis. Anvend Cauhys sætning, j =. f(w) f(z) w z

5. Cauhys integralsætninger 4 er holomorf, så f(w) f(z) dw = w z Hvoraf f(w) dw = f(z) w z w z dw som med eksempel 5.7 giver den første formel. Dernæst differentier under integraltegnet. Øvelse 5.. For z < er og e z = 2πi w = e w w z dw e z = n! e w dw 2πi w = (w z) n+ Sætning 5.2 (Cauhys uligheder). Lad f vœre holomorf i et åbent område som indeholder irkelskiven z a r. Da vurderes de afledede f (n) (a) n! r n max f(z) z a =r r z a n! r n f(z) Skitse 5.2.. Maksimer langs irkel. Bevis. Integralformlerne. Sætning 5.3 (Liouvilles sætning). En holomorf og begrœnset funktion i hele C er konstant. Bevis. Antag f(z) M. Ved Cauhys uligheder er f (z) M R, R

42 5. Cauhys integralsætninger Øvelse 5.4. Samme bevis som ovenfor giver, at en holomorf funktion f i C som opfylder f(z) z n for z stor er et polynomium af grad højst n. Sætning 5.5 (Algebraens fundamentalsætning). Et ikke konstant polynomium p(z) = z n + a z n + + a n har en rod i C. Bevis. Anvend Liouvilles sætning på funktionen p(z) Eksempel 5.6. Et n-te grads polynomium faktoriserer i. grads led z n + a z n + + a n = (z ) (z n ) En ægte brøk rational funktion har en partialbrøkfremstilling i a i (z b i ) n i Et reelt polynomium faktoriserer i reelle. og 2. grads led. En reel ægte brøk rational funktion har en partialbrøkfremstilling a i (x b i ) n + a j x + b j i (x 2 + j j x + d j ) n j i Sætning 5.7 (Åben afbildning). Hvis f er holomorf og ikke konstant i et område D, så er billedmœngden f(d) et område, dvs. åben og sammenhœngende. f(d) w f(a) r Skitse 5.7.. En lille irkelskive om billedpunktet er i billedet.

5. Cauhys integralsætninger 43 Bevis. Åben: Antag f() =, ǫ > og f(z) for < z ǫ. Lad w < 2 min z =ǫ f(z) og modsætningsvist f(z) w for z ǫ. Ved Cauhys uligheder fås modstrid w < min z =ǫ f(z) w Eksempel 5.8. Hvis f er holomorf og injektiv i et område D, så er f (z) for alle z D. Den inverse funktion er holomorf på området f(d) med den afledede (f ) = f f Sætning 5.9 (Maksimumsprinippet). Hvis f(a) er et lokalt maksimum for en holomorf funktion f i et område, så er f konstant. Bevis. Åben afbildning sætning. Opgaver Opgave 5.. Beregn Opgave 5.2. Beregn z = z =3 z =3 z 5 2 dz e z z 5 dz e z z dz Opgave 5.3. Beregn e 3z sin iz dz for enhver kurve, der starter i og slutter i 2 πi. Opgave 5.4. Beregn z = sin z z 3 dz Opgave 5.5. Hovedbestemmelsen af logaritmefunktionen er givet ved Log w = f(z)dz [,w] for w i C fraregnet den negative reelle halvakse.

44 5. Cauhys integralsætninger Opgave 5.6. Vis, at z(z ) dz = for en simpel lukket kurve som ikke møder linjestykket [,]. Opgave 5.7. Der er ingen bijektiv afbildning af den åbne enhedsirkelskive på den komplekse plan, hvor afbildning og den inverse afbildning begge er holomorfe. Opgave 5.8. Hvis f,g er holomorfe i D og f + g antager et maksimum i D, så er f,g konstante. Opgave 5.9. Hvis f er holomorf i D og så er f =. f = f samt der findes a D,f(a) = f (a) = Opgave 5.. En uforkortelig ægte brøk rational funktion med simple rødder b,...,b n i nævneren har en partialbrøkfremstilling Find fremstillingen af p(z) q(z) = i p(b i ) q (b i ) (z b i) z 3 z 4 6 Opgave 5.. Lad f er holomorf i D som indeholder enhedsirkelskiven. For z D er { f(w) 2πi w = w z dw = f() for z < f() f( z ) for z >

6. Potensrækker 45 6. Potensrækker Konvergensteorien for komplekse potensrækker er analog til det reelle tilfælde. De elementære funktioner udvikles i Taylorrækker. Fra Cauhys integralsætninger følger, at enhver holomorf funktion om ethvert punkt i sit definitionsområde kan udvikles i sin Taylorrække med positiv konvergensradius. Det ses, at den afledede af en holomorf funktion igen er holomorf. Definition 6.. En potensrække om a an (z a) n har konvergensradius R R = lim sup n a n som adskiller konvergens og divergens { an (z a) n z a < R, konvergent z a > R, divergent Hvis < R kaldes sumfunktionen analytisk. konvergent a R divergent Skitse 6... Konvergensradius. Øvelse 6.2 (Kvotientkriteriet). Hvis så er konvergensradius R. lim n a n a n+ = R Øvelse 6.3. For a n z n og b n z n er produktrækken n z n, hvor n = a b n + a b n + + a n b Produktrækkens sumfunktion er produktet af faktorernes sumfunktioner.

46 6. Potensrækker Sætning 6.4. Hvis < R er sumfunktionen holomorf i konvergensirkelskiven og har afledet og stamfunktion givet ved f(z) = a n (z a) n f (z) = a n n(z a) n f(z)dz = n + a n(z a) n+ Hovedsætning 6.5 (Taylorrækken). En funktion f som er holomorf i en omegn af a har en Taylorrœkke fremstilling f(z) = a n (z a) n n= a n = n! f(n) (a) a n = f(w) 2πi w a =r (w a) n+dw for en tilpas lille irkel med entrum a. Hvis området D er maksimalt, så er konvergens radius R er givet ved radius af den største åbne irkelskive indeholdt i D. For komplekse funktioner er holomorf og analytisk œkvivalente betingelser. konvergent R a divergent område D Skitse 6.5.. Konvergensradius er størst mulig. Bevis. Identiteten w z = (z a) n (w a) n+ n=

6. Potensrækker 47 sammen med Cauhys integralformler for en lille irkel w a = r giver potensrækkefremstillingen f(z) = 2πi n= w a =r f(w) (w a) n+dw (z a)n Eksempel 6.6. De elementære funktioner har Taylorrækker givet ved de kendte formler e z = Log( + z) = os z = sin z = osh z = sinh z = artan z = arsin z = n= n! zn ( ) n n zn n= ( ) n (2n)! z2n n= ( ) n (2n + )! z2n+ n= (2n)! z2n n= (2n + )! z2n+ n= ( ) n (2n + ) z2n+ n= ( ) n ( ) 2 z 2n+ (2n + ) n n= Øvelse 6.7. Funktionen +z Funktionen ez +z har Taylorrække har Taylorrække + z = ( ) n z n n= e z + z = n! zn n= ( ) n z n n=

48 6. Potensrækker Eksempel 6.8 (Binomialrækken). For z < er ( ) α ( + z) α = z n n Hvis α ikke er et positivt helt tal, så er konvergensradius netop. Binomialkoeffiienterne er givet ved ( ) ( ) α α α(α ) (α n + ) =, = n n! og opfylder samt Pasals trekant (α ) n= ( ) α = α n ( ) α n + n + n n ( ) α + = n + ( ) α + n + Potensen kommer fra hovedbestemmelsen af logaritmen ( + z) α = e α Log(+z) Fra kvotientkriteriet følger konvergensen og en udregning med binomialkoeffiienter viser ( ) α ( ) α ( + z) z n = z n n n og n= ( + z) d dz n= ( ) α z n = α n n= n= ( ) α z n n Da potensfunktionen ( + z) α opfylder samme regneregler følger identiteten af de to udtryk. I koordinater fås det imponerende udtryk (Abel) ( ) u + vi (x + yi) n = ( + x + yi) u+vi n n= = ( + x) 2 + y 2 u y v Artan e +x ( os(u Artan +i sin(u Artan y + x + v Log ( + x) 2 + y 2 ) y + x + v Log ( + x) 2 + y 2 ) Eksempel 6.9. Den afledede af en holomorf funktion er holomorf. En holomorf funktion har afledede af enhver orden, som igen er holomorfe. )

6. Potensrækker 49 Eksempel 6.. Moreras betingelse. En kontinuert funktion f : D C så f(z)dz = for alle lukkede kurver i D, er holomorf. En kontinuert funktion som er holomorf i D {a} er holomorf i hele D. z a = δ a Skitse 6... En lille omvej rundt a. Eksempel 6.. Hvis f er holomorf i D {a} og f(z) for z a så er f holomorf i en åben omegn af a. Øvelse 6.2. Funktionen ez z er holomorf i hele C. Sætning 6.3 (Identitetsprinippet). Hvis f er holomorf i et område D og nulpunkterne for f har et fortœtningspunkt i D, så er f = i D. nulpunkter Skitse 6.3.. Et fortætningspunkt. Bevis. Hvis alle afledede f (n) (a) = er f fremstillet ved -rækken i en omegn af a og det følger at f er konstant. I modsat fald nær a f(z) = (z a) k g(z), g(a) og a ej et fortætningspunkt for f s nulpunkter. Eksempel 6.4. Hvis f, g er holomorfe i et område D og stemmer overens på et ikke-degenereret kurvestykke, så er f = g i hele D. En reel funktion på et interval har højst en udvidelse til en holomorf funktion i et område indeholdende intervallet.

5 6. Potensrækker Sætning 6.5 (Maksimumsprinippet). Hvis f(a) er et lokalt maksimum for en holomorf funktion f i et område, så er f konstant. Bevis. Antag a = og f(z) = n= a nz n for z nær. For små r følger det, at 2π f(re it ) 2 dt = a n 2 r 2n 2π og dermed n= a n 2 r 2n = n= Eksempel 6.6 (Shwarz s lemma). Hvis f er holomorf for z <, f(z) og f() =, så er f(z) z og f () med = netop når f(z) = az, a =. Dette følger af maksimumsprinippet for f(z) z. Opgaver Opgave 6.. Vis, at for et reelt tal < r < r n r os θ os nθ = 2r os θ + r 2 n= r n sin nθ = n= r sin θ 2r os θ + r 2 Opgave 6.2. Bestem Taylorrækken for z om a =. Opgave 6.3. Bestem Taylorrækken for sinz z om a =. Opgave 6.4. Bestem ved brug af binomialrækken Taylorrækken for + z om a =. Opgave 6.5. Bestem konvergensradius for Taylorrækken om a = for Opgave 6.6. Vis ved potensrækker (z 2 + 4)(z 2 + 9) os iz isin iz = e z

6. Potensrækker 5 Opgave 6.7. En holomorf funktion f med f (a) er injektiv i en omegn af a. Opgave 6.8. Hvis f er holomorf i hele C og så er f et polynomium. f(z) for z Opgave 6.9. Hvis Im f eller Re f har et lokalt maksimum eller minimum for en holomorf funktion f i et område, så er f konstant. (Betragt e f(z) ). Opgave 6.. Hvis f,g er holomorfe i et område D og fg = i D, så er f = eller g =. Opgave 6.. Hvis f er holomorf i hele C og bevarer akser f(r) R, f(ri) Ri så er f ulige f(z) = f( z), for alle z Im f(z) Re f( z) Skitse 6.6.. Fastlægger funktionen fra en delmængde. Opgave 6.2. Vis opskrivningen ( + z) α = + z Re α Im z Im αartan e +Re z ( os(re α Artan +isin(re α Artan Im z + Imα Log + z ) + Rez Im z + Imα Log + z ) + Rez )

52 7. Poler 7. Poler Taylorrækken udvides til Laurentrækken. Residuer i poler beregnes i simple tilfælde. I de næste afsnit vises, at dette er nok til bestemmelse af en lang række vigtige integraler. Definition 7.. For en funktion f(z) holomorf i en udprikket irkelskive < z a < r kaldes a et isoleret singulœrt punkt. Der underdeles i 3 tilfælde () hœveligt singulœrt punkt (holomorf). Hvis der findes en holomorf funktion g i en omegn af a så f(z) = g(z)(z a) k, g(a) Hvis k > er a et nulpunkt af orden (multipliitet) k, hvis k = kaldes nulpunktet simpel. (2) pol af orden (multipliitet) k. Hvis der findes en holomorf funktion g i en omegn af a så g(z) = f(z)(z a) k, g(a) Hvis k > er har f en pol af orden k i a, hvis k = kaldes polen simpel. (3) vœsentligt singulœrt punkt. Ikke af ovenstående type. En funktion f er meromorf i et område D, hvis f i ethvert punkt i D enten er holomorf eller har en pol. Hovedsætning 7.2 (Laurentrækken). En funktion f med en isoleret singularitet i a har en Laurentrœkke fremstilling f(z) = a n (z a) n n= konvergent i en udprikket irkelskive om a. a n = f(w) 2πi (w a) n+dw w a =r for en tilpas lille irkel med entrum a. Bevis. Identiteten w z = (z a) n (w a) n+ n= sammen med Cauhys integralformler for en lille irkelring r < z a < r 2 giver fremstillingen f(z) = f(w) 2πi w a =r 2 w z dw f(w) 2πi w a =r w z dw

f(z) = 2πi n= 7. Poler 53 w a =r f(w) (w a) n+dw (z a)n w a = r 2 w a = r a z Skitse 7.2.. Cauhys sætning for irkelring. Eksempel 7.3. En funktion f med en isoleret singularitet i a er holomorf i a, hvis f er begrænset i en lille udprikket omegn af a. (Benyt Cauhys ulighed på a n, n < ). Eksempel 7.4. En funktion f med en isoleret singularitet i a har en pol i a, hvis og kun hvis f(z) for z a Eksempel 7.5 (Weierstrass). En funktion f med en isoleret singularitet i a har en væsentlig singularitet i a, hvis og kun hvis ethvert punkt w i C er grænsepunkt for en følge f(z n ) w for z n a. Øvelse 7.6. Funktionen e z har en væsentlig singularitet for z =. Eksempel 7.7. En funktion f som er holomorf i a har et nulpunkt af orden k netop når f(a) = = f (k ) (a) =, f (k) (a) Hvis f(z) = g(z) h(z) hvor g resp. h har et nulpunkt i a af orden m resp. n, så har f et nulpunkt i a af orden m n når m > n og en pol i a af orden n m når m < n i a. Hvis g,h er holomorfe i området D, så er f meromorf i D.

54 7. Poler Definition 7.8. For en funktion f(z) med et isoleret singulært punkt i a er residuet kurveintegralet R(f,a) = f(z)dz 2πi z a =r integreret langs en tilpas lille irkel med entrum i a, z(t) = a + re it,t [,2π]. a r Skitse 7.8.. Residuet i en pol. Øvelse 7.9. Residuet er veldefineret. Sætning 7.. En funktion f med en pol af orden k i a kan skrives f(z) = a n (z a) n n k I så fald er residuet R(f,a) = a Bevis. f(z) a z a har en stamfunktion i en lille udprikket irkelskive om a. Øvelse 7.. Ved brug af Taylorrækker ses, at funktionen os z z 2 har en hævelig singularitet i z = og funktionen sin 2 z z 3 har en simpel pol for z = med residue R =. Eksempel 7.2. Hvis f har en pol af orden k i a, så er g(z) = f(z)(z a) k

holomorf i en omegn af a og Øvelse 7.3. Funktionen R(f,a) = f(z) = 7. Poler 55 (k )! g(k ) (a) ( + z 2 ) 2 har poler af orden 2 for z = ±i. Residuet i z = i beregnes g(z) = f(z)(z i) 2 = (z + i) 2 g (z) = 2(z + i) 3 R(f,i) = (2 )! g(2 ) (i) = g (i) Beregn residuet for z = i. R(f,i) = 4i = i 4 Im i i Re Skitse 7.3.. Polerne. Eksempel 7.4. Hvis f har en simpel pol i a, så er holomorf i en omegn af a og g(z) = f(z)(z a) R(f,a) = g(a) = lim z a f(z)(z a) Øvelse 7.5. Funktionen f(z) = sin z har poler af orden for z = pπ, p et helt tal. Residuerne 3π 2π π π 2π 3π Re Skitse 7.5.. Poler i fold af π. g(z) = f(z)(z pπ) = z pπ sinz sinpπ

56 7. Poler Eksempel 7.6. Hvis R(f,pπ) = os pπ = ( )p f(z) = g(z) h(z) hvor g(a) og h har et simpelt nulpunkt i a, så har f en simpel pol i a og R(f,a) = g(a) h (a) Hvis g har nulpunkt af orden p og h har nulpunkt af orden p + i a så har f en simpel pol i a og R(f,a) = (p + ) g(p) (a) h (p+) (a) Øvelse 7.7. Funktionen f(z) = z n har poler af orden for z = e 2pπi n, p =,...,n. Residuerne beregnes h(z) = z n, h (z) = nz n R(f,e 2pπi n ) = ne 2pπ(n )i n = n e2pπi n Im e 2πi n Re Skitse 7.7.. Polernes plaering. Eksempel 7.8. Antag f(z) = g(z) h(z)

7. Poler 57 hvor g har nulpunkt af orden p og h har nulpunkt af orden q i a. Hvis p q så har f nulpunkt af orden p q i a. Hvis p < q så har f en pol af orden k = q p i a. Lad f(z) = a n (z a) n, g(z) = b n (z a) n, h(z) = n (z a) n n n n I pol tilfældet er q... b p R(f,a) = q+ q... b p+ k. q...... q+k 2 q+k 3... q b p+k 2 q+k q+k 2... q+ b p+k Dette følger af identiteten, a =, (a k + a k+ z + + a z k +...)( q + q+ z +...) = b p + b p+ z +... udtrykt ved matrixmultiplikation og Cramers formler. Øvelse 7.9. Taylorudvikling giver funktionen os z = z2 2! + z4 4! + sin 3 z = ( z! z3 3! + )3 = z 3 z5 2 + f(z) = os z sin 3 z en pol af orden 3 i z =. Residuet beregnes R(f,) = 3 2 2 Opgaver = Opgave 7.. Bestem arten af de singulære punkter for funktionerne (). (z 2 ) 2 (2) ez. z 2 (3) sin z. (4) tan z. Opgave 7.2. Find poler og residuer af funktionerne z () z+2. (2) +. z 2 z 3 (3) z 3.

58 7. Poler (4) z (5) e z. (6) sinz. z 2 z 3 +a 3. Opgave 7.3. Bestem poler og residuer af funktion z n + Opgave 7.4. Bestem poler og residuer af funktion Gør rede for, at ot z er holomorf i. ot z z Opgave 7.5. Hvis f har isoleret singularitet i a, så har f isoleret singularitet i a og R(f,a) = Opgave 7.6. Vis formlen for residuet af sammensat funktion g f R((g f)f,) = R(g,f()) Opgave 7.7. Hvis f(z) og f( z ) er meromorfe i C, så er f(z) rational, f(z) = P(z) Q(z) for polynomier P(z),Q(z). Opgave 7.8. Antag f(z) er meromorf i C med endelig mange poler. For R stor er f(z)dz = z 2f( z )dz Altså z =R R( z 2f( z ),) = z = R z =R f(z)dz Opgave 7.9. Beregn residuet af i z =. f(z) = ez sin 3 z

8. Residuesætningen 59 8. Residuesætningen Der gives en meget praktisk fortolkning af Cauhys sætninger. Som en anvendelse tælles nulpunkter og poler for en meromorf funktion. Mange flere anvendelser i næste afsnit. Hovedsætning 8. (Residuesætningen). Lad f vœre meromorf i et område D og lad K vœre en indhegning i D med rand,..., m, der ikke går gennem polerne for f. Da er n f(z)dz = 2πi R(f,a k ) j j k= hvor a,...,a n er de endelig mange poler indenfor indhegningen. a a 2 z a 2 = r z a = r z a 3 = r a 3 Skitse 8... Indhegningen uden om polerne. Bevis. Af tegningen fremgår n f(z)dz = k= z a k =r n f(z)dz = 2πi R(f,a k ) k= hvor z a k = r er en tilpas lille irkel med entrum i a k. Sætning 8.2 (argumentprinippet). Lad f vœre meromorf i et område D og lad K vœre en indhegning i D, hvis rand,..., m ikke går gennem poler og nulpunkter for f. Da er j f (z) j f(z) dz = 2πi(N P) hvor N henhv. P er antallet talt med orden af nulpunkter henhv. poler indenfor indhegningen. Bevis. Residuesætningen.

6 8. Residuesætningen + nulpunkt pol 2 pol Skitse 8.2.. Nulpunkter og poler med fortegn og multipliiteter. Eksempel 8.3. Lad f,g være holomorfe i et område D og lad K være en indhegning i D, hvis rand,..., m ikke går gennem poler og nulpunkter. Da er f (z) j j f(z) g(z)dz = n i g(a i ) i hvor a i er nulpunkt med multipliitet n i for f indenfor indhegningen. Eksempel 8.4 (Rouhés sætning). Lad f, g være holomorfe i et område D og lad K være en indhegning i D med rand og antag f(z) g(z) < g(z), z Da har f og g samme antal nulpunkter indenfor indhegningen. Dette fås af argumentprinippet for funktionen f(z) g(z). f(z) f(z) g(z) g(z) Skitse 8.4.. Mand-kortsnor-hund samme antal gange om lygtepæl. Øvelse 8.5. Betragt polynomiet p(z) = z n + a z n + + a n

8. Residuesætningen 6 Inden for irklen med entrum i og radius R > + a + + a n har p(z) netop n rødder. Sætning 8.6 (Åben afbildning). Hvis f er holomorf og ikke konstant i et område D, så er billedmœngden f(d) et område, dvs. åben og sammenhœngende. Bevis. Åben: Antag f() =, ǫ > og f(z),f (z) for < z ǫ. Lad w < min z =ǫ f(z). Ved argumentprinippet og Rouhés sætning fås = f (z) 2πi f(z) dz = 2πi z dz = 2πi z =ǫ derfor findes z så f(z) = w. f( z =ǫ) z w dz = 2πi Opgaver f( z =ǫ) z =ǫ f (z) f(z) w dz Opgave 8.. Antag f(z) og f( z ) er meromorfe i C. Så er R( z 2f( z ),) = j R(f(z),a j ) hvor a,...,a n er polerne for f(z). Opgave 8.2. Hvis f er holomorf og injektiv i hele C, så er f et. grads polynomium. (hjælp: () z f( z ) har en pol i z =. (2) f er et polynomium.) Opgave 8.3. Hvis f er holomorf med f (a) findes ǫ > så f er injektiv for z a ǫ. Den inverse funktion er givet ved f (w) = zf (z) 2πi f(z) w dz med afledt z a =ǫ (f ) (w) = 2πi z a =ǫ f(z) w dz Opgave 8.4. Hvis f har en pol i a, så har f en pol i a med R(f,a) = Opgave 8.5. Antag f holomorf med et nulpunkt af orden n i a. Ligningen f(x) = b har netop n løsninger tæt ved a for b tæt ved.

62 8. Residuesætningen Opgave 8.6. Lad f,g være meromorfe i et område D og antag f(z) + g(z) < f(z) + g(z) på randen af indhegning K i D, der ikke går gennem poler og nulpunkter. Da er N f P f = N g P g hvor N henhv. P er antallet talt med orden af nulpunkter henhv. poler indenfor indhegningen. Opgave 8.7. Lad a > e og vis at f(z) = e z + az n har netop n forskellige nulpunkter i irkelskiven z <. Opgave 8.8. Lad a ], [ og vis, at f(z) = a z e z har netop nulpunkt i øvre halvplan Imz, og at dette er reelt. Opgave 8.9. Lad R være randen af rektanglet med hjørner Ri,π Ri,π + Ri,Ri gennemløbet i positiv retning. Givet R > og k et positivt helt tal. () 2πiR(tan k (z), π 2 ) = R tan k (z)dz (2) tan k (z)dz + tan k (z)dz = [π Ri,π+Ri] [Ri, Ri] (3) lim tan k (z)dz = π( i) k R [ Ri,π Ri] (4) lim tan k (z)dz = πi k R [π+ri,ri] (5) R(tan k (z), π 2 ) = ik+ + ( i) k+ (6) R(tan 2k (z), π 2 ) =,R(tan2k (z), π 2 ) = ( )k 2

9. Integraler, summer og produkter 63 9. Integraler, summer og produkter Der gives eksempler på fem typer af bestemte integraler som er populære at udregne ved residuesætningen. Yderligere nogle vigtige integraler beregnes. Sum af række, partialbrøkfremstilling og produktudvikling behandles. Eksempel 9. (Type ). 2π R(os t,sin t)dt hvor R er et rationalt udtryk i to variable. For eksempel 2π + aos t dt = 2π, < a < a 2 Ved Eulers formler og substitution fås Funktionen 2π os t = 2 (z + z ), z = eit, dz = ie it dt + aos t dt = 2i z = az 2 + 2z + a dz f(z) = har en simpel pol i z = + a 2 a 2i az 2 + 2z + a R(f, + a 2 ) = a indenfor enhedsirklen og i a 2 Ved residuesætningen 2π + aos t dt = 2πi i a 2 Im i pol Re Skitse 9... Pol på den reelle akse.

64 9. Integraler, summer og produkter Øvelse 9.2. Beregn 2π Der omskrives ved Eulers formler sin t 5 + 4os t dt os t = 2 (z + z ), sin t = 2i (z z ), z = eit, dz = ie it dt 2π sin t 5 + 4os t dt = z 2 z = 2z(2z 2 + 5z + 2) dz z 2 f(z) = 2z(2z 2 + 5z + 2) har simple poler i z = 2, indenfor enhedsirklen og R(f, 2 ) = 4, R(f,) = 4 Dette giver 2π sin t 5 + 4os t dt = 2πi( 4 + ( 4 )) = Im i - 2 Re Skitse 9.2.. To poler. Eksempel 9.3 (Type 2). P(x) Q(x) dx hvor P,Q er polynomier og graden af Q er mindst 2 højere end graden af P. For eksempel π(2n)! ( + x 2 ) n+dx = 2 2n (n!) 2 Lad f(z) = ( + z 2 ) n+ og lad R være halvirklen med entrum i og radius R > i øvre halvplan gennemløbet i positiv retning. Sammen med intervallet [ R,R] udgør R

9. Integraler, summer og produkter 65 randen af en indhegning indenfor hvilken f har en pol af orden n + i z = i med residue d n R(f,i) = n! dz n(z + i) n z=i n 2n(2n )... (n + ) R(f,i) = ( ) n! Im (2i) 2n+ i Re Ved residuesætningen Skitse 9.3.. En pol i øvre halvplan. [ R,R] Af vurderingen for z = R f(z)dz + f(z)dz = 2πiR(f,i) R z 2 + R 2 fås f(z)dz R Formlen følger for R. πr (R 2 ) n+ Øvelse 9.4. Beregn Lad + x 4 dx f(z) = z 4 + og lad R være halvirklen med entrum i og radius R > i øvre halvplan gennemløbet i positiv retning. Sammen med intervallet [ R,R] udgør R randen af en indhegning indenfor hvilken f har simple poler i z = e πi 4,e 3πi 4 med residuer R(f,e πi 4 ) = 4 e πi 3πi 4, R(f,e 4 ) = e3πi 4 4 Ved residuesætningen z 4 dz = 2πi( + 4 e πi 4 + e3πi 4 ) = π 4 2

66 9. Integraler, summer og produkter Im e 3πi 4 i e πi 4 R R Re Skitse 9.4.. To poler og integrationskurve. Altså R R + x 4dx + R z 4 + dz = π 2 Af vurderingen for z = R følger For R fås Eksempel 9.5 (Type 3). z 4 + z 4 = R 4 R z 4 + dz πr R 4 + x 4 dx = π 2 g(x)e ix dx hvor g er holomorf og zg(z), z. Beregn e ix x 2 + dx Lad f(z) = eiz z 2 + og lad R være halvirklen med entrum i og radius R > i øvre halvplan gennemløbet i positiv retning. Sammen med intervallet [ R,R] udgør R randen af en indhegning indenfor hvilken f har en simpel pol i z = i med residue R(f,i) = e 2i Ved residuesætningen e iz z 2 dz = 2πie + 2i = π e

9. Integraler, summer og produkter 67 Im i Re Altså Skitse 9.5.. Pol og randkurve. R e ix R + x 2dx + Af vurderingen for t π og følger For R fås og dermed også Eksempel 9.6 (Type 4). R e iz e ireit z 2 + R 2 e R iz z 2 + dz z 2 + dz = π e πr R 2 e ix + x 2 dx = π e os x + x 2 dx = π e sin x + x 2 dx = P(x) Q(x)x α dx hvor < α < og P,Q er polynomier med graden af Q mindst højere end graden af P. For eksempel x α ( + x 2 ) dx = π 2os απ, < α < 2 Lad x α ( + x) dx = f(z) = e αlog z z 2 + π sin απ, < α <

68 9. Integraler, summer og produkter hvor log z er bestemt i C fraregnet den negative imaginære akse. Lad R være halvirklen med entrum i og radius R > i øvre halvplan gennemløbet i positiv retning og lad r være halvirklen med entrum i og radius r < i øvre halvplan gennemløbet i negativ retning. Sammen med intervallerne [ R, r],[r,r] udgør disse randen af en indhegning i området for log. Im i R r r R Re Skitse 9.6.. Indhegning og pol. Indenfor har f en simpel pol i z = i med residue Ved residuesætningen R(f,i) = e αlog z z 2 + απi e 2 2i απi dz = πe 2 Af vurderingerne for z = r, R f(z)dz πr r r α ( r 2 ), f(z)dz R følger for r,r (e απi + ) απi x α ( + x 2 dx = πe 2 ) πr R α (R 2 ) og heraf første formel. Anden formel fås ved variabel skift x x. Øvelse 9.7. Beregn Lad x(x 2 + ) dx f(z) = e 2 log z z 2 + hvor log z er bestemt i C fraregnet den negative imaginære akse. Lad R være halvirklen med entrum i og radius R > i øvre halvplan gennemløbet i positiv retning og lad r være halvirklen med entrum i og radius r <

9. Integraler, summer og produkter 69 i øvre halvplan gennemløbet i negativ retning. Sammen med intervallerne [ R, r],[r,r] udgør disse randen af en indhegning i området for log. Im i R r r R Re Skitse 9.7.. Pol og indhegning. Indenfor har f en simpel pol i z = i med residue e πi 4 R(f,i) = 2i Ved residuesætningen e 2 log z πi 4 z 2 dz = 2πie = π ( i) + 2i 2 Af vurderingerne for z = r, R f(z)dz πr r r( r 2 ), f(z)dz R følger Heraf for realdelen Eksempel 9.8 (Type 5). πr R(R 2 ) i x( + x 2 ) dx + x( + x 2 ) dx = π ( i) 2 x( + x 2 ) dx = π 2 P(x) log xdx Q(x) hvor P,Q er polynomier og graden af Q er mindst 2 højere end graden af P. Beregn log x x 2 + dx Lad f(z) = log2 z z 2 +

7 9. Integraler, summer og produkter hvor log z er bestemt i C fraregnet den positive reelle akse. Lad R være irkeludsnit z R (t) = Re it, θ t θ, R >, < θ < gennemløbet i positiv retning og lad r være tilsvarende irkeludsnit med radius r < gennemløbet i negativ retning. Sammen med linjestykkerne [re iθ,re iθ ], [Re iθ,re iθ ] udgør disse randen af en indhegning i området for log. Im i Re θi Re i Skitse 9.8.. En noget komplieret indhegning med to poler. Indenfor har f simple poler i z = ±i med residuer Ved residuesætningen log 2 z z 2 + R(f,i) = (πi 2 )2 2i R(f, i) = (3πi 2 )2 2i dz = 4 2πi( π2 2i + 9π2 4 2i ) = 2π3 Af vurderingerne for z = r, R f(z)dz 2πr(log r + 2π)2 r r 2, f(z)dz R følger, R, r, θ, Heraf imaginærdelen log 2 x + x 2dx (log x + 2πi) 2 + x 2 dx = 2π 3 log x + x 2dx = 2πR(log R + 2π)2 R 2

9. Integraler, summer og produkter 7 og realdelen + x 2dx = π 2 Eksempel 9.9 (Gauss integral). π e x2 dx = 2 Lad e z2 f(z) = + e, πi = 2 πiz Lad være randen af rektanglet med hjørner π R,R + i, R + 2 gennemløbet i positiv retning. Im π ( + i) 2 π i, R 2 πi R i πi 2 R Re Skitse 9.9.. En rigtig snu fremgangsmåde. Indenfor har f en simpel pol i z = πi 2 med residue πi R(f, 2 ) = i 2 π Ved residuesætningen f(z)dz = π Af vurderingerne for Re z = ±R og R >> π f(z)dz π [ R, R+ 2 i] e R2+ 2 e 2πR π f(z)dz π [R,R+ 2 i] e R2+ 2 e 2πR+π følger, R, e x2 + e 2 πix dx π 2 π 2 e (x+i πi) 2 + e 2 πi(x+i πi) dx = π

72 9. Integraler, summer og produkter Differensen af integranter er snedigt nok e x2, så e x2 dx = π Eksempel 9. (Fresnels integraler). π os x 2 dx = 8 π sin x 2 dx = 8 Lad f(z) = e iz2 og lad R være irkeludsnit z(t) = Re it, t π 4 gennemløbet i positiv retning. Sammen med linjestykkerne [,R], [Re πi 4,] udgøres randen af en indhegning i C. Im i Re πi 4 R Re f har ingen poler så Af vurderingen følger, R, Skitse 9... Lagkagestykke uden poler. R e iz2 f(z)dz = π dz 4 Re R2t dt (os x 2 + isin x 2 )dx = e x2 e πi 4 dx Realdel og imaginærdel giver sammen med Gauss integral resultatet. Eksempel 9. (Eulers integral). For < m < n er x m π + x n dx = n sin mπ n

9. Integraler, summer og produkter 73 Lad og lad R være irkeludsnit f(z) = zm z n + z(t) = Re it, t 2π n gennemløbet i positiv retning. Sammen med linjestykkerne [,R], [Re 2πi n,] udgøres randen af en indhegning i C. Im Re 2πi n i e πi n R Re Skitse 9... Lagkagestykke med en pol. f har netop en simpel pol z = e πi n så Det følger, R, og heraf formlen. ( e 2πi n ) indenfor. Residuet er R(f,e πi n ) = e mπi n n f(z)dz = 2πi n e mπi n x m dx = 2πi + xn n e mπi n Eksempel 9.2 (sinus integral). Lad sin x x dx = π 2 f(z) = eiz z Lad R være halvirklen med entrum i og radius R > i øvre halvplan gennemløbet i positiv retning og lad r være halvirklen med entrum i og radius r < i øvre halvplan gennemløbet i negativ retning. Sammen med intervallerne [ R, r],[r,r] udgør disse randen af en indhegning i området C {}.

74 9. Integraler, summer og produkter Im R r r R Re f er holomorf i C {}, så Skitse 9.2.. Indhegning, men ingen poler. f(z)dz = Ved grænseovergangen r, R følger Resultatet følger af [ R, r] r f(z)dz πi R f(z)dz Eksempel 9.3 (otangens integral). Lad R sin x f(z)dz + f(z)dz = 2i [r,r] r x dx π 2 xot xdx = π 2 log 2 f(z) = z(ot z + ) Lad være randen af rektanglet med hjørner π 2, π 2 + Ri, π 2 + Ri, π 2 gennemløbet i positiv retning. Dette er en indhegning i et område, hvor f er holomorf, så f(z)dz = Ved grænseovergangen R følger f(z)dz [ π 2 +Ri, π 2 +Ri] f(z)dz f(z)dz π log 2 [ π 2, π 2 +Ri] [ π 2, π 2 +Ri]

9. Integraler, summer og produkter 75 Im π 2 + Ri i π 2 π 2 Re Skitse 9.3.. Rektangel uden poler. I alt giver resultatet π 2 π 2 xot xdx = π log 2 Eksempel 9.4 (Bernoulli tal). Bernoulli tallene er defineret ved Taylorrækken z e z = 2 z + B 2n (2n)! z2n z idet e z + 2z er en lige funktion. Konvergensradius er 2π. Fra exponentialrækken fås rekursionsformlen n ( ) n + B k = k som giver k= n= B =, B = 2, B 2 = 6, B 4 = 3, B 6 = 42 Ved Eulers formler fås Taylorrækker z ot z = ( ) k 4k (2k)! B 2kz 2k tan z = k= ( ) k 4k (4 k ) B 2k z 2k (2k)! k= z sin z = ( ) k 4k 2 (2k)! B 2kz 2k k= Funktionen g n (z) = z 2n (e z ) har en pol i z = af orden 2n + og fra potensrækken residuet R(g n,) = B 2n (2n)!

76 9. Integraler, summer og produkter Im 4πi z = R 2πi Re 2πi 4πi Skitse 9.4.. Poler i imaginær fold af 2π. De øvrige poler i z = 2kπi er simple med residue Fra residuesætningen følger = lim R 2πi R(g n,2kπi) = z =R (2kπi) 2n g n (z)dz = B 2n (2n)! + (2kπi) 2n k Heraf For eksempel k= k= k 2n = ( ) n B 2n (2π) 2n 2 (2n)! k 2 = π2 6, k= k 4 = π4 9, k= k 6 = π6 945 Eksempel 9.5 (Partialbrøkfremstilling). π ot πz = z + k π ot πz = z + k= z k + k 2z z 2 k 2

9. Integraler, summer og produkter 77 π tan πz = k= π sin πz = z + 2z ( 2k 2 ) 2 z 2 k= ( ) k 2z z 2 k 2 π sinπz = ( ) k z + k k π os πz = 2 ( ) k (k + 2 ) (k + 2 )2 z 2 π 2 k= sin 2 πz = (z + k) 2 k Funktionen f(w) = π ot πw w w z er meromorf med poler i hele tal, w = k og i w = z. Im z = R i 4 3 2 2 3 4 Re Skitse 9.5.. Poler i hele tal. Residuerne beregnes R(f,k) = k(k z), k R(f,) = z 2 R(f,z) = π ot πz z

78 9. Integraler, summer og produkter Fra residuesætningen følger = lim R 2πi Heraf partialbrøkfremstillingen eller w =R f(w)dw = k π ot πz = z + k π ot πz = z + k= k(k z) z 2 + π ot πz z z k + k 2z z 2 k 2 Ved Eulers formler følger de resterende fremstillinger. Eksempel 9.6 (Produktudvikling). sinπz = πz ( z2 k 2) os πz = k= k= 4z 2 ( (2k ) 2) Da d log sin z = ot z dz fås ved integration af rækken produktudviklingen Eksempel 9.7 (Gauss sum). π ot πz = z + sinπz = πz n k= e 2πik2 n k= 2z z 2 k 2 ( z2 k 2) k= = n + i n i Betragt 2e2πiz 2 n f(z) = e 2πiz med simple poler i hele tal z = k og residuer R(f,k) = 2e2πik 2 n 2πi

9. Integraler, summer og produkter 79 Lad være randen af det om og n 2 indskrænkede rektangel med hjørner gennemløbet i positiv retning. Ri, n 2 Ri, n 2 + Ri,Ri Im Ri n 2 + Ri i ǫi n 2 Re Skitse 9.7.. Den vanskeligste fremgangsmåde i disse noter. Ved residuesætningen fås f(z)dz = 2 e 2πik2 n <k< n 2 Af de 8 delintegraler er der efter R,ǫ trivielle bidrag fra de vandrette linjestykker. Indskrænkningerne giver f(z)dz = lim ǫ z =ǫ lim f(z)dz = ǫ z n 2 =ǫ De 4 lodrette linjestykker giver samlet I alt fås 2i( + i n ) { n e 2πik2 n = 2i( + i n ) k= e 2πi( n 2 ) 2 n,n lige,n ulige e 2πiy2 n dy e 2πiy2 n dy

8 9. Integraler, summer og produkter For n = giver dette = 2i( i) e 2πiy2 dy Summen for generelle n følger ved variabelskift. Øvelse 9.8. Beregn Gauss sum direkte 8 k= e 2πik2 9 = 9 + i 9 i Opgaver = 3 Opgave 9.. Beregn Opgave 9.2. Beregn Opgave 9.3. Beregn Opgave 9.4. Beregn Opgave 9.5. Beregn 2π sin 2 t 2 + os t dt x + x 4 dx e ix x 2 + dx x(x + ) dx log x x 2 + dx Opgave 9.6. Vis følgende formler () π a + os t dt = π a 2, a > (2) (3) π 2 a + sin 2 t dt = π 2 a 2 + a, a > x a + x dx = π sin πa, < a <

9. Integraler, summer og produkter 8 (4) (5) (6) (7) (a 2 + x 2 ) 2dx = π 4a 3, a > os ax π(a + )e a ( + x 2 dx =, < a < ) 4 π + x ndx = n sin π, n 2 n e ax + e xdx = π sin πa, < a < Opgave 9.7. For < r < er en indhegning K bestemt ved Im r z og z r Re () Funktionen f(z) = Log z z er holomorf i et område om K. (2) Beregn integralet (3) Beregn integralet π 2 π π Log + e it dt Log sin t dt = π 2 Log 2 Opgave 9.8 (Vinteren 999-2 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved e iz f(z) = z 2 + 4z + 5

82 9. Integraler, summer og produkter Med betegnes randkurven af halvirklen {z C arg z π og z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. () Find polerne og bestem residuerne i disse punkter af funktionen f. (2) Beregn værdien af integralet f(z)dz for < R < 2 og for 3 < R. (3) Lad R betegne irkelbuen i randkurven. Antag 3 < R og gør rede for uligheden f(z)dz πr R R 2 2 5R + 5 (4) Beregn værdierne af integralerne os(t) t 2 + 4t + 5 dt = π os(2) og e sin(t) t 2 + 4t + 5 dt = π e sin(2) Opgave 9.9 (Sommeren 2 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = 3z 2 + iz 3 () Gør rede for, at funktionen f netop har poler i de to punkter z = 3i og z = 3i. Bestem residuerne. Med R betegnes randkurven af irklen med radius R > {z C z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. (2) Beregn værdierne af integralet R f(z)dz for R 3,3. (3) Gør rede for formlen (4) Beregn integralet 2if(e it )e it = 2π 5 + 3sin(t) 5 + 3sin(t) dt Opgave 9. (Vinteren 2- opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = (z 2 + 9) 2 Med betegnes randkurven af halvirklen {z C arg z π og z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. () Find polerne samt deres ordener og bestem residuerne i disse punkter af funktionen f.

9. Integraler, summer og produkter 83 (2) Beregn værdien af integralet f(z)dz for < R < 3 og for 3 < R. (3) Lad R betegne irkelbuen i randkurven. Antag 3 < R og gør rede for uligheden f(z)dz R (4) Beregn værdien af integralet πr (R 2 9) 2 (x 2 + 9) 2 dx Opgave 9. (Vinteren 2-2 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = z 2 + 2z Med betegnes randkurven af irklen {z C z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. () Find polerne samt deres ordener og bestem residuerne i disse punkter for funktionen f. (2) Beregn værdien af integralet for < R < 2 og for 2 < R. (3) Gør rede for formlen f(e it )e it = f(z)dz 2 + os(t) isin(t) 5 + 4os(t) (4) Beregn værdien af integralet 2π 2 + os(t) 5 + 4os(t) dt Opgave 9.2 (Sommeren 22 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = ez e 2z + Med betegnes randkurven af rektanglet, R >, {z C R Rez R, Im z π} gennemløbet med positiv omløbsretning. () Funktionen f har netop en pol i rektanglet, z = π 2i. Bestem orden og residue.

84 9. Integraler, summer og produkter (2) Beregn integralet f(z)dz. (3) Gør rede for følgende ulighed for x e x f(x + yi) e 2x (4) Beregn ved brug af ovenstående de reelle integraler e x e 2x dx og + osh x dx Opgave 9.3 (Vinteren 22-3 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = z 2 2iz 2 Med betegnes randkurven af halvirklen, R >, {z C Re z, z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. () Find polerne samt deres ordener og bestem residuerne i disse punkter for funktionen f. (2) Beregn værdien af integralet f(z)dz for < R < og for 2 < R. (3) Lad R betegne irkelbuen i randkurven. Antag 3 < R og gør rede for uligheden f(z)dz πr R R 2 2R 2 (4) Beregn ved brug af ovenstående det reelle integral t 2 + 2t + 2 dt

Eksamensopgaver 85 Eksamensopgaver Opgave (Sommeren 992 opgave 3). Lad betegne randen af kvartirkelskiven {z arg z π, z R}, R > 2 med positiv gennemløbsretning. a) Bestem + z 4dz b) Benyt dette til at bevise at integralet + x 4 dx eksisterer. Bestem integralets værdi. Eventuelle vurderinger bedes gennemført. Opgave 2 (Vinteren 992-93 opgave 3). Lad f(z) betegne den komplekse funktion 3z 3 f(z) = z(2z )(2z 2 + 3z 2) og lad betegnes enhedsirklen {z z = } med positiv omløb. Bestem kurveintegralet f(z)dz Opgave 3 (Sommeren 993 opgave 3). Lad betegne randen af halvirklen {z C z R, arg z [,π]} gennemløbet i positiv omløbsretning. (a) Find værdien af kurveintegralet z 2 + 2 (z 2 + 2z + 2)(z 2 2z + 2) dz () for R = (2) for R 2 (b) Vis på basis af (a), at integralet x 2 + 2 (x 2 + 2x + 2)(x 2 2x + 2) dx er konvergent, og bestem integralets værdi. (Eventuelle vurderinger ønskes udført i detaljer). Opgave 4 (Vinteren 993-94 opgave 3). Lad R være et positivt reelt tal og lad R betegne randen af området {z C arg z π, z R} 2

86 Eksamensopgaver med positiv omløbsretning. (a) Bestem R z + z 4dz for < R < og for R >. (b) Benyt ovenstående til at bevise at integralet x + x 4 dx eksisterer. Bestem integralets værdi. (Eventuelle vurderinger bedes gennemført). Opgave 5 (Sommeren 994 opgave 3). Lad g(z) og h(z) betegne de to komplekse funktioner g(z) = sin(z 2 ) h(z) = z 3 (z 2 4iz 3) (a) Bestem samtlige nulpunkter (inl. multipliitet) for g(z) og h(z). (b) Bestem f(z)dz hvor f(z) = g(z) h(z) og betegner irklen med entrum z = og radius 2, gennemløbet med positiv omløbsretning. Opgave 6 (Vinteren 994-95 opgave 3). Lad R være et positivt reelt tal og lad R betegne randen af halvirklen {z C arg z π, z R} med positiv omløbsretning. (a) Bestem z R (z 2 + )(z 2 2z + 2) dz for < R < og for R > 2. (b) Benyt ovenstående til at bevise at integralet x (x 2 + )(x 2 2x + 2) dx eksisterer. Bestem integralets værdi. (Eventuelle vurderinger bedes gennemført i detaljer). Opgave 7 (Sommeren 995 opgave 3). Udregn følgende integraler (a) z dz hvor er givet ved (t) = + 2 2e it, π 4 t π 2.

Eksamensopgaver 87 (b) z =2 e z z(z ) 2 dz Opgave 8 (Vinteren 995-96 opgave 3). Lad en kompleks funktion f være givet ved e iz f(z) = (z π 2 )2 + Lad betegne randkurven af halvirkelskiven {z C Im z og z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. Vi antager yderligere, at R 3. (a) Vis, at f(z)dz = πe i. () Find, ved brug af ovenstående, værdien af de reelle integraler os(x) (x π dx og 2 )2 + Alle detaljer i beregningen bedes gennemført. sin(x) (x π 2 )2 + dx Opgave 9 (Sommeren 996 opgave 3). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = p(z) hvor p(z) = z 4 2z 3 + ( 2i)z 2 + 4iz 2i (a) Vis, at z = er et nulpunkt af orden 2 for polynomiet p(z). Bestem herefter samtlige nulpunkter for p(z). Lad r betegne randkurven af halvirkelskiven {z C Rez og z r} gennemløbet med positiv omløbsretning. (b) Bestem r f(z)dz for r = 2 og for r 2. () Vis, ved brug af det foregående, at integralet f(it)dt eksisterer (dvs. er konvergent) og bestem dets værdi. Alle detaljer i beregningen bedes gennemført. Opgave (Vinteren 996-97 opgave 3). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = z2 3z + 2 z 4 + z 2 + 9 Lad r betegne randkurven af halvirkelskiven {z C arg z [,π] og z R}

88 Eksamensopgaver gennemløbet med positiv omløbsretning. (a) Bestem R f(z)dz for R = 2, R = 2 og for R 4. (b) Vis, ved brug af det foregående, at det reelle integral f(t)dt eksisterer (dvs. er konvergent) og bestem dets værdi. Alle udregninger - herunder evt. vurderinger - bedes gennemført i detaljer. Opgave (Sommeren 997 opgave 3). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = (z 2 + 2z + 2) 2 Lad r betegne randkurven af halvirkelskiven {z C Im z og z r} gennemløbet med positiv omløbsretning. (a) Bestem f(z)dz r for r = og for r 2. (b) Vis, ved brug af det foregående, at det reelle integral f(t)dt eksisterer (dvs. er konvergent) og bestem dets værdi. Alle udregninger - herunder evt. vurderinger - bedes gennemført i detaljer. Opgave 2 (Vinteren 997-98 opgave ). Betragt funktionerne f(z) = log z (z 2 + ) 2, g(z) = (z 2 + ) 2, h(z) = e iz (z 2 + ) 2 hvor log(z) = ln( z ) + iarg(z), π 2 < arg(z) < 3π 2, betegner den gren af logaritmefunktionen der er analytisk i C {iy y R og y }, og som på den positive reelle akse stemmer overens med ln. Lad k r : betegne halvirklen z = re it, t π, med radius r > og entrum z =. (a) Vis for z k r følgende tre uligheder f(z) ln(r) + π (r 2 ) 2, g(z) (r 2 ) 2, h(z) (r 2 ) 2

Eksamensopgaver 89 Lad ǫ,r : betegne den lukkede kurve med positivt gennemløb, der er randen af mængden {z C ǫ z r og arg(z) π}, hvor ǫ og r er (faste) reelle tal, der opfylder ǫ < < r. (b) Vis, at f(z)dz = π π2 for ǫ < og g(z)dz = + iπ2 ǫ,r 2 4 ǫ,r for < ǫ < () Vis, ved brug af det foregående, at det reelle integral f(t) dt eksisterer (dvs. er konvergent) og bestem dets værdi. Opgave 3 (Sommeren 998 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = eiz e 2iz (a) Bestem samtlige singulære punkter for f. Bestem deres type, og for poler bestem deres orden. Med betegnes randkurven af rektanglet {z C Rez π, Im z K} 2 hvor K >. Det antages, at gennemløbes med positiv omløbsretning. (b) Beregn værdien af integralet f(z)dz. () Benyt det fundne resultat til at vise formlen osh t dt = π Alle udregninger samt alle vurderinger bedes gennemført i detaljer. Opgave 4 (Vinteren 998-99 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved e iz f(z) = ( + z 2 )(4 + z 2 ) Med betegnes randkurven af halvirklen {z C arg z π og z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. Det antages, at R > 2. (a) Beregn værdien af integralet f(z)dz. (b) Find ved brug af resultatet ovenfor f(t)dt Alle udregninger samt alle vurderinger bedes gennemført i detaljer. () Bestem herefter integralet os t ( + t 2 )(4 + t 2 ) dt

9 Eksamensopgaver Opgave 5 (Sommeren 999 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved z f(z) = (z 2 + )((z a) 2 + ) hvor a er en reel konstant forskellig fra nul. Med betegnes randkurven af halvirklen {z C arg z π og z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. Det antages, at R > + a. (a) Beregn værdien af integralet f(z)dz. (b) Benyt resultatet til at vise, at t (t 2 + )((t a) 2 + ) dt = π a a 2 + 4 Alle udregninger samt alle vurderinger bedes gennemført i detaljer. Opgave 6 (Vinteren 999-2 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved e iz f(z) = z 2 + 4z + 5 Med betegnes randkurven af halvirklen {z C arg z π og z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. () Find polerne og bestem residuerne i disse punkter af funktionen f. (2) Beregn værdien af integralet f(z)dz for < R < 2 og for 3 < R. (3) Lad R betegne irkelbuen i randkurven. Antag 3 < R og gør rede for uligheden f(z)dz πr R R 2 2 5R + 5 (4) Beregn værdierne af integralerne os(t) t 2 + 4t + 5 dt = π os(2) og e sin(t) t 2 + 4t + 5 dt = π e sin(2) Opgave 7 (Sommeren 2 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = 3z 2 + iz 3 () Gør rede for, at funktionen f netop har poler i de to punkter z = 3i og z = 3i. Bestem residuerne. Med R betegnes randkurven af irklen med radius R > {z C z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. (2) Beregn værdierne af integralet R f(z)dz for R 3,3.

Eksamensopgaver 9 (3) Gør rede for formlen (4) Beregn integralet 2if(e it )e it = 2π 5 + 3sin(t) 5 + 3sin(t) dt Opgave 8 (Vinteren 2- opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = (z 2 + 9) 2 Med betegnes randkurven af halvirklen {z C arg z π og z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. () Find polerne samt deres ordener og bestem residuerne i disse punkter af funktionen f. (2) Beregn værdien af integralet f(z)dz for < R < 3 og for 3 < R. (3) Lad R betegne irkelbuen i randkurven. Antag 3 < R og gør rede for uligheden f(z)dz πr R (R 2 9) 2 (4) Beregn værdien af integralet (x 2 + 9) 2 dx Opgave 9 (Vinteren 2-2 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = z 2 + 2z Med betegnes randkurven af irklen {z C z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. () Find polerne samt deres ordener og bestem residuerne i disse punkter for funktionen f. (2) Beregn værdien af integralet for < R < 2 og for 2 < R. f(z)dz

92 Eksamensopgaver (3) Gør rede for formlen f(e it )e it = 2 + os(t) isin(t) 5 + 4os(t) (4) Beregn værdien af integralet 2π 2 + os(t) 5 + 4os(t) dt Opgave 2 (Sommeren 22 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = ez e 2z + Med betegnes randkurven af rektanglet, R >, {z C R Rez R, Im z π} gennemløbet med positiv omløbsretning. () Funktionen f har netop en pol i rektanglet, z = π 2i. Bestem orden og residue. (2) Beregn integralet f(z)dz. (3) Gør rede for følgende ulighed for x e x f(x + yi) e 2x (4) Beregn ved brug af ovenstående de reelle integraler e x e 2x dx og + osh x dx Opgave 2 (Vinteren 22-3 opgave ). Lad en kompleks funktion f være givet ved f(z) = z 2 2iz 2 Med betegnes randkurven af halvirklen, R >, {z C Re z, z R} gennemløbet med positiv omløbsretning. () Find polerne samt deres ordener og bestem residuerne i disse punkter for funktionen f. (2) Beregn værdien af integralet f(z)dz for < R < og for 2 < R. (3) Lad R betegne irkelbuen i randkurven. Antag 3 < R og gør rede for uligheden f(z)dz R πr R 2 2R 2

Eksamensopgaver 93 (4) Beregn ved brug af ovenstående det reelle integral t 2 + 2t + 2 dt

94 Løsninger Løsninger Eksamensopgaverne kan løses på mange måder. Her gives kun et enkelt forslag til hver opgave. Løsningerne er taget fra slides til forelæsningerne og er derfor nok vel korte til en ren skriftlig besvarelse. Løsning 2 (Vinteren 997-98 opgave ). f(z) = log z (z 2 + ) 2, g(z) = (z 2 + ) 2, h(z) = e iz (z 2 + ) 2 Im ǫ,r i k r ǫ r Re (a) Vis for z k r følgende tre uligheder Løsning. f(z) giver for z = r giver yderligere og da fås i øvre halvplan ln(r) + π (r 2 ) 2, g(z) (r 2 ) 2, h(z) (r 2 ) 2 z 2 + z 2 f(z) (r 2 ) 2 log z ln z + iarg z g(z) ln r + π (r 2 ) 2 e iz = e Im z h(z) (r 2 ) 2 (b) Vis, at ǫ,r f(z)dz = π 2 for ǫ < og ǫ,r g(z)dz = π2 + iπ2 4 for < ǫ <

Løsninger 95 Løsning. Funktionerne har en pol af orden 2 i z = i som er inden for kurven. Residuer i dette punkt er R(f,i) = ((z + i) 2 ) z=i = 2(z + i) 3 z=i = 4i R(g,i) = (log(z)(z + i) 2 ) z=i = z (z + i) 2 + log(z)( 2(z + i) 3 ) z=i = i(2i) 2 log(i)2(2i) 3 = i 4 + π 8 Residuesætningen giver de to integraler. () Vis, ved brug af det foregående, at det reelle integral f(t) dt eksisterer og bestem dets værdi. Løsning. Langs irkelbuerne fås ved ulighederne i (a) f(z)dz (r 2 ) 2πr, r Altså f(z)dz ( ǫ 2 ) 2πǫ, ǫ f(t)dt = 2 f(z)dz = π 4 Løsning 3 (Sommeren 998 opgave ). f(z) = Im eiz e 2iz π 2 + Ki π π 2 π Re

96 Løsninger (a) Bestem samtlige singulære punkter for f. Bestem deres type, og for poler bestem deres orden. Løsning. De singulære punkter er e 2iz = 2iz = 2piπ z = pπ, p Z Da (e 2iz ) = 2ie 2iz er de fundne punkter simple poler. (b) Beregn værdien af integralet f(z)dz. Løsning. Kun polen z = er inden for kurven. Residuet er R(f, ) = = = 2i e iz (e 2iz ) z= e iz 2ie 2iz z= Så residuesætningen giver f(z)dz = 2πi( 2i ) = π () Benyt det fundne resultat til at vise formlen osh t dt = π Løsning. Langs linjestykket z = π 2 + iy : K e y f(z)dz = e 2y + dy K Langs linjestykket z = x + ik: π/2 e ix e 2K f(z)dz = π/2 e 2ix 2K + dx Ved trekantsuligheden Altså Dette giver f(z)dz f(z) e 2K e 2K e 2K π,k e 2K 2 f( π 2 + iy)idy = 2e y e 2y + dy = π f(z)dz

Løsninger 97 I alt som angivet. osh t dt = π Løsning 4 (Vinteren 998-99 opgave ). f(z) = e iz ( + z 2 )(4 + z 2 ) Im 2i i i 2i (a) Beregn værdien af integralet f(z)dz. R Re Løsning. De singulære punkter er z 2 + = z = ±i z 2 + 4 = z = ±2i som alle er simple poler, da et 4.grads polynomium højst har 4 rødder og e iz. De 2 punkter med positiv imaginær del er inden for. Residuet i disse punkter beregnes R(f, i) = lim z i (z i)f(z) = = e 6i e iz (z + i)(z 2 + 4) z=i R(f, 2i) = e iz (z 2 + )(z + 2i) z=2i Residuesætningen giver = e 2 2i f(z)dz = 2πi( e 6i + e 2 2i ) = π( e 3 e 2 6 )

98 Løsninger = π 6 (2e e 2 ) (b) Find ved brug af resultatet ovenfor f(t)dt Løsning. Langs irkelbuen fås ved trekantsuligheden Altså f(z) max t [,π] e R sint (R 2 )(R 2 4) f(z)dz (R 2 )(R 2 πr, R 4) f(t)dt = f(z)dz = π 6 (2e e 2 ) () Bestem herefter integralet os t ( + t 2 )(4 + t 2 ) dt Løsning. Integralet er realdelen af integralet i (b), så os t ( + t 2 )(4 + t 2 ) dt = π 6 (2e e 2 ) Løsning 5 (Sommeren 999 opgave ). z f(z) = (z 2 + )((z a) 2 + ), a > Im i a + i i a i R Re (a) Beregn værdien af integralet f(z)dz. Løsning. De singulære punkter er z 2 + = z = ±i (z a) 2 + = z a = ±i z = a ± i som alle er simple poler, da et 4.grads polynomium højst har 4 rødder.

Løsninger 99 De 2 punkter med positiv imaginær del er inden for. Residuet i disse punkter beregnes R(f, i) = lim z i (z i)f(z) = = z (z + i)((z a) 2 + ) z=i i 2i(a 2 2ia) R(f,a + i) = = z (z 2 + )(z a + i) z=a+i a + i 2i(a 2 + 2ia) Residuesætningen giver i f(z)dz = 2πi( 2i(a 2 2ia) + a + i 2i(a 2 + 2ia) ) (b) Benyt resultatet til at vise, at = π( ia2 2a a 4 + 4a 2 + a3 2ia + ia 2 + 2a a 4 + 4a 2 ) a = π a 2 + 4 t (t 2 + )((t a) 2 + ) dt = π a a 2 + 4 Løsning. Integralet er konvergent ved sammenligning med et polynomium af grad 3. Langs irkelbuen fås ved trekantsuligheden f(z)dz R (R 2 )((R a ) 2 πr, R ) Altså t (t 2 + )((t a) 2 + ) dt = a f(z)dz = π a 2 + 4 Løsning 6 (Vinteren 999-2 opgave ). f(z) = e iz z 2 + 4z + 5

Løsninger Im 2 + i R 2 i R Re () Find polerne og bestem residuerne i disse punkter af funktionen f. Løsning. Simple poler for med residuer z 2 + 4z + 5 = z = 2 ± i R(f, 2 + i) = f(z)(z ( 2 + i)) z= 2+i = e 2i 2i R(f, 2 i) = f(z)(z ( 2 i)) z= 2 i = e 2i 2i (2) Beregn værdien af integralet f(z)dz for < R < 2 og for 3 < R. Løsning. For < R < 2 er der ingen poler inden for kurven. Så Cauhy s sætning giver f(z)dz = For 3 < R er polen i z = 2 + i inden for kurven. Så residue sætningen giver f(z)dz = 2πi e 2i = πe 2i 2i (3) Lad R betegne irkelbuen i randkurven. Antag 3 < R og gør rede for uligheden f(z)dz πr R R 2 2 5R + 5 Løsning. z 2 + 4z + 5 = z + 2 i z + 2 + i z 5 2 giver for z R f(z) = e Im(z) z 2 + 4z + 5 (R 5) 2

og dermed (4) Beregn værdierne af integralerne Løsning. Så af (3) fås Løsninger f(z)dz πr R R 2 2 5R + 5 os(t) t 2 + 4t + 5 dt = π os(2) og e f(z)dz = R R e it sin(t) t 2 + 4t + 5 dt = π e sin(2) f(t)dt + f(z)dz R t 2 dt = πe 2i + 4t + 5 Realdel og imaginærdel giver os(t) t 2 + 4t + 5 dt = π e os(2) og sin(t) t 2 + 4t + 5 dt = π e sin(2) Løsning 7 (Sommeren 2 opgave ). f(z) = 3z 2 + iz 3 Im R 3 i R Re 3i () Gør rede for, at funktionen f netop har poler i de to punkter z = 3i og z = 3i. Bestem residuerne. Løsning. Simple poler for 3z 2 + iz 3 = z = 3i, z = 3 i

2 Løsninger med residuer R(f, 3i) = 6z + i z= 3i = 8i R(f, 3 i) = 6z + i z= 3 i = 8i (2) Beregn værdierne af integralet R f(z)dz for R 3,3. Løsning. For < R < 3 er der ingen poler inden for kurven R. Så Cauhy s sætning giver R f(z)dz = For 3 < R < 3 er polen i z = 3 i inden for kurven R. Så residuesætningen giver R f(z)dz = 2πi 8i = π 4 For 3 < R er begge poler inden for kurven R. Så residuesætningen giver R f(z)dz = 2πi( 8i 8i ) = (3) Gør rede for formlen Løsning. (4) Beregn integralet 2if(e it )e it = 2if(e it )e it = 2π = = 5 + 3sin(t) 2ie it 3e 2it + ie it 3 2i 3(e it e it ) + i 3sin(t) + 5 5 + 3sin(t) dt Løsning. For parametrieret med t e it, t [,2π] er 2π f(z)dz = f(e it )ie it dt Fra () og (3) fås 2π 5 + 3sin(t) dt = π 2

Løsning 8 (Vinteren 2- opgave ). f(z) = Løsninger 3 Im (z 2 + 9) 2 3i R R Re 3i () Find polerne samt deres ordener og bestem residuerne i disse punkter af funktionen f. Løsning. Simple nulpunkter for giver poler for f z 2 + 9 = (z 3i)(z + 3i) = z = ±3i begge af orden 2. Residuerne beregnes R(f, 3i) = ((z 3i) 2 ) z= 3i = 8i R(f,3i) = ((z + 3i) 2 ) z=3i = 8i (2) Beregn værdien af integralet f(z)dz for < R < 3 og for 3 < R. Løsning. For < R < 3 er der ingen poler inden for kurven. Så Cauhy s sætning giver f(z)dz = For 3 < R er polen i z = 3i inden for kurven. Så residuesætningen giver f(z)dz = 2πi R 8i = π 54

4 Løsninger (3) Lad R betegne irkelbuen i randkurven. Antag 3 < R og gør rede for uligheden f(z)dz πr R (R 2 9) 2 Løsning. giver for z = R z 2 + 9 z 2 9 f(z) Da længden af R er πr fås f(z)dz R (R 2 9) 2 πr (R 2 9) 2 (4) Beregn værdien af integralet (x 2 + 9) 2 dx Løsning. f(z)dz = For R fås af (2) og (3) [ R,R] f(z)dz + f(z)dz R (x 2 + 9) 2 dx = π 54 og dermed da integranten er en lige funktion (x 2 + 9) 2 dx = π 8 Løsning 9 (Vinteren 2-2 opgave ). f(z) = z 2 + 2z Im R 2 R Re

Løsninger 5 () Find polerne samt deres ordener og bestem residuerne i disse punkter af funktionen f. Løsning. Simple nulpunkter for giver poler for f z 2 + 2z = (z + 2)z = z =, 2 begge af orden. Residuerne beregnes (2) Beregn værdien af integralet for < R < 2 og for 2 < R. R(f,) = (z + 2) z= = 2 R(f, 2) = z z= 2 = 2 f(z)dz Løsning. For < R < 2 er polen i z = inden for kurven. Så residuesætning giver f(z)dz = πi For 2 < R er polerne i z =, 2 inden for kurven. Så residuesætningen giver R f(z)dz = 2πi( 2 2 ) = (3) Gør rede for formlen Løsning. f(e it )e it = 2 + os(t) isin(t) 5 + 4os(t) f(e it )e it = e it + 2 = e it + 2 e it + 2 2 = = (4) Beregn værdien af integralet 2π os(t) + 2 + isin( t) (os(t) + 2) 2 + sin 2 (t) os(t) + 2 isin(t) 5 + 4os(t) 2 + os(t) isin(t) 5 + 4os(t) dt

6 Løsninger Løsning. For R = er parametriseret ved z(t) = e it, dz = ie it dt så Hermed Realdel giver 2π f(z)dz = 2π 2 + os(t) isin(t) 5 + 4os(t) 2π f(e it )ie it dt dt = i 2 + os(t) 5 + 4os(t) dt = π f(z)dz = π Løsning 2 (Sommeren 22 opgave ). f(z) = Im ez e 2z + R + πi π 2 i Re () Bestem orden og residue i z = π 2 i. Løsning. Da er polen simpel. Residuet beregnes (e 2z + ) = 2e 2z R(f, π 2 i) = = e z (e 2z + ) z= π 2 i e z 2e 2iz z= π 2 i = i 2 (2) Beregn værdien af integralet f(z)dz.

Løsninger 7 Løsning. Kun polen z = π 2i er inden for kurven. Så residuesætningen giver f(z)dz = 2πi( i 2 ) (3) Gør rede for uligheden f(x + yi) = π e x e 2x Løsning. Der gælder og ved trekantsulighederne er e z = e x Heraf følger uligheden. (4) Beregn de reelle integraler e 2z + e 2z = e 2x e x e 2x dx og + R osh x dx Løsning. Langs linjestykkerne z = x og z = x + πi : R e x R f(z)dz = e 2x + dx = e x+πi e 2(x+πi) + dx Langs linjestykkerne z = ±R + yi fås ved (3): f(z)dz e±2r e ±2R π,r Altså Dette giver og dermed 2 f(x)dx = R f(z)dz e x e 2x + dx = π 2 osh x dx = 2 e x dx = π + e x Løsning 2 (Vinteren 22-3 opgave ). f(z) = z 2 2iz 2

8 Løsninger Im Ri + i + i Re R () Find polerne samt deres ordener og bestem residuerne i disse punkter af funktionen f. Løsning. Nulpunkter for giver poler for f z 2 2iz 2 =, z = i ± z = + i, + i begge af orden. Residuerne beregnes R(f, + i) = R(f, + i) = (2) Beregn værdien af integralet for < R < og for 3 < R. 2z 2i z= +i = 2 2z 2i z=+i = 2 f(z)dz Løsning. Polerne har modulus 2. For < R < er der ingen poler inden for kurven. Så residuesætning giver f(z)dz = For 3 < R er polen i z = +i inden for kurven. Så residuesætningen giver R f(z)dz = 2πi( 2 ) = πi (3) Lad R betegne irkelbuen i randkurven. Antag 3 < R og gør rede for uligheden f(z)dz πr R R 2 2R 2

Løsning. Løsninger 9 z 2 2iz 2 z 2 2iz 2 z 2 2 z 2 giver for z = R f(z) R 2 2R 2 Da længden af R er πr fås f(z)dz πr R R 2 2R 2 (4) Beregn ved brug af ovenstående det reelle integral t 2 + 2t + 2 dt Løsning. [Ri, Ri] er parametriseret ved så z(t) = ti, dz = idt, t [ R,R] f(z)dz = Hermed for R altså R R f( ti)idt + f(z)dz R i ( ti) 2 dt = πi 2i( ti) 2 t 2 + 2t + 2 dt = π

Litteratur Litteratur Lars V. Ahlfors, Complex analysis, MGraw-Hill 963. Berenstein & Gay, Complex variables, Springer-Verlag 99. Bohr & Mollerup, Lœrebog i matematisk analyse, Gjellerup 949. Robert Burkel, An introdution to lassial omplex analysis, Aademi Press 979. Henri Cartan, Théorie élémentaire des fontions analytiques..., Herman 96. John B. Conway, Funtions of one omplex variable, Springer-Verlag 978. Birger Iversen, Notes on omplex analysis, Aarhus 994. Børge Jessen, Funktioner af en kompleks variabel, København 965. Kunihiko Kodaira, Introdution to omplex analysis, Cambridge 984. Jerrold E. Marsden, Basi omplex analysis, Freeman 973. Raghavan Narasimhan, Complex analysis in one variable, Birkhäuser 985. Rao & Stetkær, An invitation: A onise introdution to omplex funtion theory, World S. 99. Reinhold Remmert, Theory of omplex funtions, Springer-Verlag 99. Sansone & Gerretsen, Letures on the theory of funtions og a omplex variable, Groningen 96/69. Palle Shmidt, Kompleks funktionsteori, Aarhus 97. Stewart & Tall, Complex analysis, Cambridge 983.

åben afbildning, 42, 6 absolut værdi, 4 algebraens fundamentalsætning, 42 analytisk, 45 andengradsligning, 9 argument, 5 argumentprinippet, 59 Bernoulli tal, 75 binomialrækken, 47 Brouwers fixpunktssætning, 36 Cauhy-Riemann ligningerne, 23 Cauhys integralformler, 4 Cauhys integralsætning, 38 Cauhys uligheder, 4 otangens integral, 74 de Moivre, 8 elementære funktioner, 22, 47 enhedsrødder, 6 Eulers formler, 5 Eulers integral, 72 exponentialfunktion, 3 Fresnels integraler, 72 Gauss sum, 78 Gauss integral, 7 Greens sætning, 32 hæveligt singulært punkt, 52 holomorf, 2 hovedbestemmelsen, 6, 3 hyperbolske funktioner, 5 identitetsprinippet, 49 imaginærdel, 2 imaginære enhed, 2 indeks, 33 indenfor, 3 indhegning, 3 isoleret singulært punkt, 52 kompakt, 2 kompleks funktion, 2 kompleks plan, 3 kompleks tal, 2 konjugerede tal, 2 kurve, 27 kurveintegral, 27 kvadratrod, 8 Stikord længde, 27 Laurentrække, 52 Laurentrækken, 52 Liouvilles sætning, 4 logaritmefunktionen, 3 lukket kurve, 27 Möbius transformation, 2 maksimumsprinippet, 43, 5 meromorf, 52 modulus, 4 Moreras betingelse, 49 multiplikativitet, 4 nulpunkt, 52 omløbsretning, 4 omløbstal, 33 område, 2 partialbrøkfremstilling, 76 pol af orden (multipliitet) k, 52 polære koordinater, 5 potenser, 5 primitiv enhedsrod, 6 produktudvikling, 78 rødder, 8 realdel, 2 rektangulære koordinater, 3 residuesætningen, 59 residuet, 54 Rouhés sætning, 6 Shwarz s lemma, 5 simpel kurve, 27 simpel lukket kurve, 27 simpel nulpunkt, 52 simpel pol, 52 sinus integral, 73 Taylorrække, 46 tredjegradsligning, 8 trekantsuligheder, 4 trigonometriske funktioner, 5 væsentligt singulært punkt, 52 Weierstrass, 53