Harmoniske Svingninger Frank Villa 16. marts 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Harmoniske svingninger 2 2.1 De fire parametre................... 3 2.2 Grafen for en harmonisk svinging.......... 6 3 Godt at vide om dem 8 3.1 Hvordan grafen ikke ser ud!............. 8 3.2 Periode og frekvens.................. 9 3.3 Cosinus og faseforskydningen............ 14 4 Hvad skal vi med dem? 14 4.1 Ligninger med harmoniske svingninger....... 14 4.2 Modellering af svingningsfænomener........ 21 4.3 Hvorfor er de overalt?................ 24 5 Summer af harmoniske svingninger 25 5.1 Samme vinkelfrekvens og faseforskydning...... 26 5.2 Forskellige faser Interferens............ 26 5.3 Næsten samme vinkelfrekvens Oversvingninger. 28 5.4 Forskellige vinkelfrekvenser Fourierteori..... 30
Resumé I dette lille dokument ser nærmere vi på den funktionsfamilie som kaldes harmoniske svingninger. 1 Introduktion Harmoniske svingninger optræder overalt i naturen. Blandt andet i forbindelse med bevægelser (hvor en genstands position svinger frem og tilbage som funktion af tiden, men også i så (tilsyneladende) forskellige områder som lys, lyd, elektricitet, magnetisme og kvantemekanik. Forudsætninger For at læse dette dokument, skal du kende funktionerne cosinus og sinus, samt radianbegrebet. Du skal også være fortrolig med selve det abstrakte funktionsbegreb og hvordan man tegner grafer for funktioner. Et enkelt afsnit (4.3) går forbi begrebet differentiation. Det er dog ikke nødvendigt at du kender det i forvejen, og hvis det bliver for tungt, kan du sagtens springe dette afsnit over. Det sidste afsnit er mere avanceret end resten af dokumentet, og her får du brug for at kende til de såkaldte additionsformler for cosinus og sinus. Ordet parameter Jeg bruger ordet parameter mange gange i dette dokument. Derfor er det en god ide at du vænner dig til det helt fra starten. En parameter er ganske enkelt et fint ord for noget man kan ændre på. Du har muligvis hørt sådan en politikertype stå i fjernsynes og sige noget i retning af Det afhænger af mange paramtre når de egentlig burde sige det ved jeg ikke. side 1
Jeg kan godt lide at forestille mig at parametre er sådan noget som man kan indstille, lige som man indstiller bas og diskant på sin musikafspiller. Ordet skal forstås en lille smule anderledes end en funktions såkaldte variabel 1. Forskellen består i at parametrene er nogle tal som man skal vælge inden man har sin funktion. Man elsker at sige det som at parametrene skal fastlægges. Først når de er fastlagt, så har man en funktion, og så kan man begynde at vælge værdier af dens variabel som skal sættes ind i funktionen. 2 Harmoniske svingninger Lad os bare starte med at smide definitionen på bordet: Definition 1. En harmonisk svingning er en funktion, f defineret ved en forskrift af typen: f(x) = A sin(ω x + ϕ) + k hvor ω, ϕ og k er reelle tal, og A er et positivt reelt tal. De fire tal, ω, ϕ, A og k kaldes parametrene som fastlægger en harmonisk svingning. Hver gang man vælger en værdi til de fire parametre har man altså en harmonisk svingning. I det næste afsnit tager vi et nærmere kig på betydningen af hver dem. 1 Hvis du en dag bliver rigtigt god til matematik, så kan du vende tilbage til dette sted og grine lidt, fordi det passer faktisk ikke. I en passende (meget avanveret) forstand er de to ting nøjagtigt det samme. Men det må jeg ikke fortælle nu, fordi det kan være forvirrende. side 2
2.1 De fire parametre De fire parametre har hver sin betydning for funktionen. Derfor har man ligefrem fundet på navne til hver af dem, for at afspejle denne betydning: k kaldes offsetværdien eller nogle gange middelværdien A kaldes Amplituden ω kaldes vinkelfrekvensen ϕ kaldes faseforskydningen Bemærk i øvrigt at bogstavbetegnelserne k, A, ω og ϕ (lige som de fleste andre bogstavbetegnelser) er helt frivillige. Man kan sagtens definere fire konstanter p, d, F og M og så tale om den harmoniske svingning f, givet ved: f(x) = p sin(f x + d) + M Den vil så have amplitude p, vinkelfrekvens F o.s.v. Det kan dog varmt anbefales at bruge standard -betegnelserne medmindre man har en alvorlig grund til ikke at gøre det. Når man skal forklare betydningerne (og dermed også hvorfor ovennævnte navne er fornuftige) er det som regel nyttigt at tænke på to af de mest velkendte harmoniske svingninger: Vekselspænding: En spændingsforskel som svinger op og ned som funktion af tiden. Lyd: Små, meget hurtige udsving i lufttrykket som funktion af tiden. 2.1.1 Offsetværdien Offsetværdien er den nemmeste at forklare. Det er simpelt hen den funktionsværdi som den harmoniske svingning svinger omkring. I side 3
tilfældet med vekselspændingen i stikkontakten er dette som regel en spænding på præcis nul volt. Men i andre situationer med elektronik kan man have en god grund til at lægge et såkaldt DC offset 2 oven i den svingende vekselspænding. Det betyder at man tilføjer en jævnspænding over sit kredsløb, og i så fald bliver offsetværdien lig med denne jævnspænding. I forbindelse med lyd betår offsetværdien af det konstante lufttryk på cirka 1 atmosfære. 2.1.2 Amplituden Ordet amplitude betyder noget i retning af tykkelse. Og det er nogenlunde præcist hvad amplituden er. Den angiver nemlig størrelsen af det udsving som vores svingende funktioner laver til begge sider af offsetværdien. I tilfældet med vekselspændingen i vores stikkontakter, så er amplituden de ca. 230 volt, fordi spændingen varierer mellem 230V og 230V. I tilfældet med lyd, vil de fleste normale lyde bestå af svingninger med bittesmå amplituder i størrelsesordenen 0, 001 atmosfære. 2.1.3 Vinkelfrekvensen Ordet frekvens betyder noget i retning af hvor tit noget gentager sig eller når det skal være lidt mere præcist (f.eks. i fysik): antal gentagelser pr. tid Ordet vinkelfrekvens er valg for at antyde at det næsten er det samme som frekvens, men at der er en vigtig forskel: Helt præcist angiver vinkelfrekvensen hvor mange radianer pr. tid at svingningen gennemløber, med den regel at 2π radianer svarer til en hel gennemført svingning. 2 Det er faktisk herfra at navnet offsetværdi er taget. side 4
Derfor vil vinkelfrekvensen af vores vekselspænding i Danmark være ω = 50 2π (forudsat tiden måles i sekunder) fordi der bliver gennemført 50 hele svingninger (svarende til 50 2π radianer) pr. sekund. Du skal ikke gå i panik hvis dette er lidt svært at forstå. Det bliver meget nemmere når vi indfører begrebet periode lidt senere. Lige nu er det kun vigtigt vide at når ω er et stort tal, så går svingningerne hurtigt. Lyde som kan høres af det menneskelige øre har typisk vinkelfrekvenser mellem 200 og 200 000. (Forudsat at tiden måles i sekunder). 2.1.4 Faseforskydningen Faseforskydningen, ϕ, er den sværeste parameter at forstå betydningen af, fordi den sjældent er nogen man har kontrol over. Når man ændrer faseforskydningen vil funktionens forløb være næsten det samme: Den vil svinge lige hurtigt med lige store udsving omkring den samme middelværdi. Det eneste som ændrer sig er Hvornår svingingen rammer offsetværdien. Altså en slags mål for hvornår svingningen starter. Både i eksemplet med vekselspænding og eksemplet med lyd, kan man ikke på nogen måde mærke vinkelfrekvensen af en enkelt svingning. Det er kun et spørgsmål om hvornår vores indre ur er startet. Men hvis man derimod lægger flere harmoniske svinginger (f.eks. lyde eller vekselspændinger) oven i hinanden, så får forskelle i vinkelfrekvenser lige pludselig en meget vigtig betydning. Det skal vi se mere på i afsnit 5. Den helt præcise betydning af faseforskydningen kan jeg først forklare når vi ser på grafen for en harmonisk svingning i næste afsnit. side 5
2.2 Grafen for en harmonisk svinging Når man tegner grafen for en harmonisk svingning, så bliver betydningen af de fire parametre meget mere klar. Uanset hvilken harmonisk svingning man tegner graf for, så vil den altid komme til at ligne grafen for sinus, blot forskudt og/eller strakt langs med akserne 3. Derfor starter vi lige med at minde om hvordan grafen for sinus ser ud (det kan man ikke minde om for ofte). Se figur 1. Figur 1: Grafen for sinus. 2 1-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5-1 -2. Betydningen af de fire parametre er: Offsetkonstanten, k, angiver den y-koordinat som grafen svinger omkring. Amplituden, A, angiver hvor meget grafen svinger til begge sider af ovennævnte y-koordinat. Hvis amplituden f.eks. er 5, og offsetkonstanten er 7, så vil grafen svinge mellem y-koordinaterne 7 5 = 2 og 7 + 5 = 12. 3 Hvis du vil se præcis hvorfor det er sådan, så skal du læse om grafmanipulation her. side 6
Vinkelfrekvensen, ω, angiver hvor mange hele svingninger der bliver gennemført hver gang man bevæger sig 2π ud af x-aksen. Helt præcis betyder dette at den vandrette afstand mellem to maksimumspunkter bliver 2π. Denne afstand kaldes perioden og skrives normalt som et T ω. Faseforskydningen, ϕ, angiver hvor meget grafen er forskudt i retning af x-aksen. Det er bare lidt besværligt at sige helt præcist hvor stor forskydning en bestemt værdi af ϕ forårsager, fordi dette også afhænger af vinkelfrekvensen. Helt præcist bliver grafen forskudt med ϕ ω mod venstre! Sådan at grafen rammer offsetværdien i x-koordinaten: x = ϕ ω Alt dette er illustreret på figur 2 nedenfor. Figur 2: Grafen for en typisk harmonisk svingning side 7
Øvelse 2. Skitser (på papir!) grafen for en harmonisk svingning som har offsetkonstant k = 3 og amplitude og vinkelfrekvens og faseforskydning A = 4 ω = 2 ϕ = 4 Øvelse 3. Hvad skal de fire parametre sættes til at være hvis man vil have grafen for sinus frem? (Se figur 1.) 3 Godt at vide om dem 3.1 Hvordan grafen ikke ser ud! Det sker desværre igen og igen at folk som egentlig burde have forstand på harmoniske svingninger tegner deres grafer som noget i retning af figur 3. Den altoverskyggende misforståelse i at gøre sådan består i at tro at kurverne på grafen for en harmonisk svingning er cirkelbuer. Det er de ikke! Den vigtigste forskel ligger i den hældning hvormed grafen skærer x-aksen. Den er aldrig lodret, sådan som cirkelbuernes hældninger er. Tværtimod, hvis akserne er skaleret sådan at perioden er cirka 6 gange større end amplituden, så vil hældningen hvormed grafen skærer x-aksen (eller rettere: Den vandrette linje gennem y = k altid være cirka 45. side 8
Figur 3: Nogle dumme halvcirkler som intet har med sagen at gøre. 5 2.5 5 7.5-5 3.2 Periode og frekvens Nu skal vi indføre et par begreber som gør vinkelfrekvensen lidt nemmere at forstå. Definition 4. Hvis man har en harmonisk svingning med vinkelfrekvens ω, så defineres perioden af den harmoniske svingning som T = 2π ω Det vigtigste ved perioden er følgende sætning: Sætning 5. Hvis f er en harmonisk svingning givet ved forskriften: f(x) = A sin(ω x + ϕ) + k side 9
Så angiver perioden for f hvor langt man skal gå mod højre på grafen for at gennemføre en hel svingning. Bevis. Jeg vil lade som om jeg ikke kender definition 4. Og så spørger jeg mig selv: Hvis vi starter i et punkt med x-koordinaten x 0, hvor langt skal vi så gå til højre for at svingningen gentager sig selv? Lad os kalde denne (ukendte) afstand for T. Vi ved allerede (se figur 1) at grafen for sinus gentager sig selv hver gang man går 2π til højre. Det betyder at hvis funktionen f, givet ved: f(x) = A sin(ω x + ϕ) + k skal gentage sig, så skal det som står inde i sinus blive 2π større. Altså skal: ω (x 0 + T ) + ϕ = (ω x 0 + ϕ) + 2π Dvs (vi ganger ind i parentes og fjerne den unødvendige parentes): ω x 0 + ω T + ϕ = ω x 0 + ϕ2π og det betyder (idet vi trækker ϕ og ω x 0 fra på begge sider: Hvilket giver at: ω T = 2π T = 2π ω Hvilket jo lige præcis er perioden, sådan som vi definerede den i definition 4. side 10
Bemærkning: Bemærk at udtrykket en hel svingning lige skal forstås helt rigtigt. Det kan forstås som at man går fra et maksimum til et maksimum sådan som det er vist på figur 2. Eller som at man går fra et minimum til et minumum. Men det kan også forstås som at man går fra en anden funktionsværdi til den næste forekomst af denne funktionsværdi. Her skal man bare passe godt på, fordi man skal faktisk lige springe en forekomst over, hvor funktionen har samme funktionsværdi, men er ved at ændre sig i den omvendte retning. Udtrykket næste forekomst altså skal forstås som næste gang funktionen laver samme funktionsværdi og har samme monotoniforhold (enten voksende eller aftagende). Eksempel 6. Lad os se på et konkret eksempel. Jeg har valgt den harmoniske svingning f, givet ved: f(x) = 7 sin(3 x + 5) 12 (Altså en amplitude på A = 7, en vinkelfrekvens på ω = 3, en faseforskydning på ϕ = 5 og en offsetkonstant på k = 12. Grafen er vist på figur 4 nedenfor. Perioden for denne funktion er dermed: T = 2π ω = 2π 3 = 2 3 π 2,0944 Bemærk hvordan ethvert punkt på grafen har en makker som ligger præcis afstanden T mod højre, hvor svingningen gentager sig. Når vi har perioden, så er der en anden størrelse som især er interessant i fysik: side 11
Figur 4: Grafen for den harmonisk svingning i eksempel 6 5-2 -1 0 1 2 3-5 -10-15 -20 Definition 7. Hvis f er en harmonisk svingning med periode T, så defineres frekvensen (ikke at forveksle med vinkelfrekvensen) som reciprokværdien af perioden: f = 1 T Den angiver hvor mange svingninger (eller hvor stor en del af en enkelt svingning) man når at gennemføre hvis man bevæger sig 1 til højre på grafen. side 12
Eksempel 8. Funktionen i eksempel 6 havde en periode på T 2,0944 Dermed har den en frekvens på: f = 1 T 0,4777 Det betyder at der bliver gennemført lige under en halv svingning hver gang x bliver 1 større. Forskellen på vinkelfrekvensen og frekvensen er ganske lille. Helt præcist har vi: Sætning 9. Vinkelfrekvensen ω og frekvensen f for en harmonisk svingning opfylder at: ω = 2π f Bevis. Det her er vist det nemmeste bevis i hele MatBog. Vi starter med definitionen af perioden: T = 2π ω og indsætter dette i definitionen af frekvensen: f = 1 T = ω 2π Og så ganger vi med 2π på begge sider: f 2π = ω side 13
3.3 Cosinus og faseforskydningen Et meget naturligt spørgsmål at stille når man ser definitionen af harmoniske svinginger er: Hvor skal man kun bruge sinus? Hvorfor ikke også cosinus? Svaret på dette spørgsmål er ganske enkelt: Fordi cosinus bare er en faseforskydning af sinus. Det skyldes en af de såkaldte overgangsformler: ( cos(x) = sin x + π ) 2 Man kan altså sige at cosinus er en harmonisk svingning med amplitude A = 1, vinkelfrekvens ω = 1, offsetkonstant k = 0 og faseforskydning ϕ = π. 2 4 Hvad skal vi med dem? I dette afsnit ser vi på nogle af de typiske problemer som kan opstå i forbindelse med harmoniske svingninger. 4.1 Ligninger med harmoniske svingninger Man løber ofte ind i at skulle løse ligninger hvor der indgår en harmonisk svingning. Eftersom disse ligninger næsten altid har uendeligt mange løsninger, skal man lige være lidt forsigt med at få dem alle med. Eksempel 10. Lad os se på et eksempel, hvor f er den harmoniske svingning givet ved: f(x) = 4 sin(2x + 1) + 5 Grafen for f er skitseret på figur 5 nedenfor. Lad os sige at vi ønsker at finde ud af hvornår f(x) giver funktionsværdien 3. Det svarer til at finde alle de punkter på grafen som har y koordinaten 3. Det har jeg illustreret på figur 5 ved at indside 14
lægge en vandret linje med ligningen y = 3. (Bemærk at dette ikke er offsetkonstanten!) Vi opskriver ligningen: dvs. f(x) = 3 4 sin(2x + 1) + 5 = 3 Vi kan hurtigt slippe af med offsetkonstanten ved at trække den fra på begge sider: 4 sin(2x + 1) = 2 Amplituden er også nem at slippe af med. Vi dividerer med den på begge sider: sin(2x + 1) = 2 4 = 1 2 Men nu skal vi have sinus væk. Og sinus er jo ikke injektiv, så vi er nødt til at være forsigtige. Der er uendeligt mange måder at sinus kan give funktionsværdien 1 2 på. En af mulighederne (nemlig den som ligger mellem π 2 og π 2 kan findes ved hjælp af den inverse sinus. Det giver: ( 2x + 1 = sin 1 1 ) 0,524 2 Men så er det vores (svære) job at huske at der er uendeligt mange andre muligheder. Halvdelen er givet ved at lægge et helt antal 2π til ovenstående. Det giver: 2x + 1 0,524 + z 2π (z Z) Hvis vi løser denne del færdigt, får vi: 2x 1,524 + z 2π dvs. x 1 ( 1,524 + z 2π) 0,762 + z π 2 side 15
På figur 5 er disse løsninger markeret med de stiplede grønne linjer. Den anden halvdel af løsningerne er givet ved: Dvs. 2x + 1 (π ( 0,524)) + z 2π (z Z) 2x + 1 3,665 + z 2π Og det kan vi løse på samme måde til: x 1,333 + z π På figur 5 er disse løsninger markeret med de stiplede røde linjer. Figur 5: En figur med alt for mange informationer på. Det er grafen for funktionen i eksempel 10 og 11. Der er indlagt en vandret linje gennem y-koordinaten 3. Desuden er løsningerne til den undersøgte ligning markeret med henholdsvist grønne og røde streger. 12 10 8 6 4 2-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 6-2 side 16
Heldigvis kan man være lidt smartere end dette, hvis man tænker på hvordan grafen ser ud. Lad os prøve at gøre det samme igen: Eksempel 11. Så f er stadig den harmoniske svingning givet ved: f(x) = 4 sin(2x + 1) + 5 Og vi vil stadig gerne løse ligningen: dvs. f(x) = 3 4 sin(2x + 1) + 5 = 3 Lige som før kan vi hurtigt når frem til: sin(2x + 1) = 1 2 Men nu gør vi noget vildt. Vi opgiver (indtil videre) at finde alle løsninger, og prøver i stedet var at producere en enkelt løsning. Den kan vi finde ved hjælp af den inverse a sinus. Det giver muligheden: Hvilket hurtigt kan løses til: ( 2x + 1 = sin 1 1 ) 0,524 2 x 1 = 1 ( 0,524 1) 0,762 2 Bemærk at dette er en af de grønne løsninger på figur 5. Nu vil jeg frembøfle alle de andre løsninger udelukkende ved at tænke på hvordan grafen for f ser ud. Vi husker at f har amplitude A = 4, vinkelfrekvens ω = 2, faseforskydning ϕ = 1 og offsetværdi k = 5. side 17
Vi starter med at udregne perioden: T = 2π ω = π Eftersom grafen gentager sig selv med denne periode, vil vi kunne lave alle de andre grønne løsninger ved at lægge et helt antal perioder til den løsning vi allerede har fundet. Det giver: x x 1 + z π (z Z) Derefter finder vi lige den x-koordinat hvor offsetkonstanten bliver lavet første gang. Husk at denne x-koordinat hang sammen med faseforskydningen og vinkelfrekvensen på denne måde: x 0 = ϕ ω = 1 2 = 0,5 Ved at lægge en halv periode til dette, kan vi hoppe over på den anden side af bølgetoppen til: x 0 + T 2 = 0,5 + π 2 1,071 Jeg har indtegnet de to punkter med disse x-koordinater som sorter prikker på figur??, hvor det hele også er forstørret lidt op. Ud fra den figur er det ret oplagt hvordan vi kan vinde den røde løsning. Den vandrette afstand, h, mellem x 1 og x 0 er: h = x 0 x 1 0,262 Den ene røde løsning ligger i den samme afstand fra x 0 + T 2. Det giver løsningen: x 2 = x 0 + T 2 + h 1,333 Og alle de andre røde løsninger kan findes ved at lægge et helt antal perioder til x 2. Det giver: x = x 2 + z π (z Z) a Kan du huske at det faktisk ikke er en invers funktion? Sinus er jo slet ikke injektiv. Det rigtige ord er sektionen til sinus. side 18
Figur 6: Et lidt mindre udsnit af grafen fra eksempel 11. Jeg har indtegnet en lodret, grøn linje gennem x 1 og en lodret, rød linje gennem x 2. 12 10 8 6 4 2-3 -2-1 0 1 2 3 4-2 Begge de ovenstående metoder er (som du nok kan se) ret svære at udføre rigtigt. Derfor er der mange som foretrækker at løse denne slags ligninger grafisk, selvom dette naturligvis ikke er helt lige så tilfredsstillende. Det er især fornuftigt hvis man på forhånd ved at man leder efter en helt bestemt løsning, som ligger inden for et bestemt interval. Lad os se et eksempel på det: Eksempel 12. Den harmoniske svingning f er givet ved forskriften: f(x) = 7 sin(5x 14) + 42, x [2; 3] side 19
Vi vil løse ligningen: f(x) = 47 Vi tegner grafen for f og indlægger en vandret linje med ligningen y = 47. (Se figur??). Bemærk at eftersom definitionsmængden for f er begrænset til intervallet [2; 3] så er den stiplede del af grafen skåret væk. Og vi kan heldigvis se på figur 7 at der kun er en eneste løsning til ligningen inden for definitionsmængden, fordi grafen kun skærer den vandrette linje et enkelt sted omkring x-koordinaten 2,75. Grafprogrammet kan finde skæringspunktets x-koordinat til: x 2,7591 Og det er altså løsningen til vores ligning. Figur 7: Grafen for den harmoniske svingning i ekspempel 12. 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 side 20
4.2 Modellering af svingningsfænomener Harmoniske svingninger er fantastisk brugbare til at beskrive sammenhænge, hvor en størrelse svinger frem og tilbage mellem to ekstreme værdier. Ofte kan man opstille en funktion ud fra nogle meget enkle oplysninger. Lad os så på et eksempel: Eksempel 13. I eventyrlandet Cliché står der et højt træ. På en gren i træet hænger en gynge og på gyngen sidder en lille pige (naturligvis) og gynger. Lad x betegne tiden, målt i sekunder, hvor x = 0 svarer til tidspunktet hvor denne historie begynder. Lad f(x) betenge pigens højde over jorden, målt i centimeter. I det øjeblik hvor historien begynder er pigen så højt oppe som hun overhovedet kan komme, nemlig 250 cm over jorden. Tre sekunder senere suser hun forbi det laveste punkt, 50 cm over jorden. Lad os prøve at finde funktionen f ud fra disse informationer. Det er meget rimeligt a at f skal være en harmonisk svingning. Eftersom f(x) svinger mellem værdierne 50 og 250, må vi have en amplitude på A = 100 og vi må svinge omkring en offsetværdi på k = 150 Det var de to nemmeste. Vinkelfrekvensen er lidt sværere. Vi har indirekte fået oplyst perioden til: T = 4 3 = 12 (fordi det tager yderligere 3 sekunder før hun er oppe i maksimal højde men i den modsatte ende. Derefter tager det 6 sekunder mere før hun starter forfra.) side 21
Men perioden hænger jo sammen med vinkelfrekvensen, så vi ved at: 2π ω = 12 Tager vi reciprok på begge sider, giver det: og derfra kan vi let finde ω: ω 2π = 1 12 ω = 2π 1 12 = π 6 Lad os indtil videre vælge faseforskydningen til ϕ = 0. Dermed er f givet ved: ( ) π f 1 (x) = 100 sin 6 x + 150 Jeg har tegnet grafen for denne funktion på figur 8. Den virker næsten. Desværre passer den ikke helt med at f(0) helst skulle være lig med den maksimale værdi på 250. Præcis dette kan vi justere ved at vælge en faseforskydning. (Endda uden at ødelægge de andre egenskaber!) Vi husker lige at faseforskydningen ϕ skubber grafen mod venstre med værdien ϕ ω Jeg vil gerne have min graf skubbet præcis en fjerdedel af perioden mod venstre. Det giver ligningen: ϕ ω = T 4 Så vi kan finde den rigtige værdi af ϕ: ϕ = T 4 ω = 12 4 π 6 = π 2 side 22
Det giver funktionen: ( π f 2 (x) = 100 sin 6 x + π ) + 150 2 a Hvis du spørger en fysiker, så vil vedkommende fortælle at dette kun er lidt korrekt. Sandheden er desværre en del mere kompliceret. Figur 8: Grafen for den første funktion i eksempel 13 250 200 150 100 50 0 3 6 9 12 15 18 21 side 23
Figur 9: Grafen for den forbedrede funktion i eksempel 13 (nu med korrekt faseforskydning). 250 200 150 100 50 0 3 6 9 12 15 18 21 4.3 Hvorfor er de overalt? Dette afsnit er lidt mere teknisk end resten af dokumentet og kan sagtens springes over. For at forstå det er du nødt til at vide en lille smule om differentiation. Til gengæld får du en meget naturlig indgangsvinkel til emnet differentialligninger, som ellers kan være meget svært at komme i gang med. Hvis man differentierer en harmonisk svingning, f, givet ved: så får man: f(x) = A sin(ω x + ϕ) + k f (x) = A cos(ω x + ϕ) ω og differentierer man en gang mere, får man: f (x) = A sin(ω x + ϕ) ω 2 Kigger man nøje efter, så ligner dette den oprindelige funktion rigtig meget. Der er et fortegn til forskel, og så er k forsvundet og vi har side 24
fået ganget ω 2 på i stedet for. Men denne ændring er simpel nok til at kunne skrives ned: eller lettere omskrevet: f (x) = ω 2 (f(x) k) f (x) = ω 2 f(x) + ω 2 k Her står at den dobbelt afledede af f er det samme som f, ganget med en negativ konstant ( ω 2 ) plus yderligere en konstant (ω 2 k). En sådan sammenhæng mellem en funktion og dens afledede kaldes en differentialligning. Fysik og andre naturvidenskaber er propfyldt med differentialligninger, hvor differentialligningen er det første vi opdager, og så er hele problemet at finde nogle funktioner som opfylder denne differentialligning. Og lige netop ovenstående differentialligning er så simpel (den siger bare at der er en lineær sammenhæng imellem f og f ) at den dukker op overalt. Newton s anden lov er det mest velkendte eksempel. Den siger nemlig at accelerationen (den dobbelt afledede af positionen) er lig en konstant ( 1 ) gange den resulterende kraft. I mange tilfælde (f.eks. m ved bevægelse af en fjeder, jævnfør Hooke s lov) er den resulterende kraft givet ved en negativ konstant gange positionen. Og så har vi lige præcis differentialligningen. 5 Summer af harmoniske svingninger Lad os nu se på nogle fænomener som forekommer næsten hver eneste gang man harmoniske svingninger optræder i naturen. Nemlig hvor flere harmoniske svingninger bliver lagt sammen. side 25
5.1 Samme vinkelfrekvens og faseforskydning Lad os først prøve at lægge to harmoniske svingninger sammen, hvor de har samme fase og samme vinkelfrekvens Det viser sig heldigvis er være meget nemt. Lad os starte med to harmoniske svingninger, f 1 og f 2 : f 1 (t) = A 1 sin(ϕ + ω t) + k 1 Så er: f 2 (t) = A 2 sin(ϕ + ω t) + k 2 f 1 (t) + f 2 (t) = A 1 sin(ϕ + ω t) + A 2 sin(ϕ + ω t) + k 1 + k 2 = (A 1 + A 2 ) sin(ϕ + ω t) + (k 1 + k 2 ) Altså: De to harmoniske svingninger lagt sammen giver bare en ny harmonisk svingning med samme (fælles) vinkelfrekvens og faseforskydning, og med offsetværdi og amplitude givet som summen af de to indgående svingningers offsetværdier henholdsvis amplituder. Dette fænomen kan være lidt svært at observere i naturen, fordi man sjældent har kontrol over faseforskydningen af harmoniske svingninger. Derfor er det meget mere relevant med det næste hvad vi skal se på i næste afsnit. 5.2 Forskellige faser Interferens Ok, lad os nu tage en harmonisk svingning: f 1 (t) = A 1 sin(ϕ 1 + ω t) + k 1 og en mere, som har samme vinkelfrekvens, men forskellig faseforskydning: f 2 (t) = A 2 sin(ϕ 2 + ω t) + k 2 Additionsformlen for sinus kan bruges til at omskrive: side 26
f 1 (t) = A 1 (sin(ϕ 1 ) cos(ωt) + cos(ϕ 1 ) sin(ωt)) + k 1 og tilsvarende med f 2 ; f 2 (t) = A 2 (sin(ϕ 2 ) cos(ωt) + cos(ϕ 2 ) sin(ωt)) + k 2 Dermed kan de let lægges sammen: f 1 (t) + f 2 (t) =A 1 (sin(ϕ 1 ) cos(ωt) + cos(ϕ 1 ) sin(ωt)) + k 1 + A 2 (sin(ϕ 2 ) cos(ωt) + cos(ϕ 2 ) sin(ωt)) + k 2 = (A 1 sin(ϕ 1 ) + A 2 sin(ϕ 2 )) cos(ωt) + (A 1 cos(ϕ 1 ) + A 2 cos(ϕ 2 )) sin(ωt) + (k 1 + k 2 ) Hvis man lige tager en dyb indånding og ser nærmere på dette, så kan man se at de to lange parenteser er konstanter (de afhænger ikke af t). Desuden kan cos(ωt) nemt omskrives til at være en faseforskudt sinus: cos(ωt) = sin( π 2 + ωt) Derfor kan dette tolkes som en sum af to nye harmoniske svingninger, som har amplituder gives ved henholdsvist: og (A 1 sin(ϕ 1 ) + A 2 sin(ϕ 2 )) (A 1 cos(ϕ 1 ) + A 2 cos(ϕ 2 )) og som er faseforskudt præcis π (altså en kvart svinging) i forhold 2 til hinanden. Det sjove ved dette er, at begge disse amplituder f.eks. kan give nul, uden at nogen af de oprindelige amplituder A 1 og A 2 er nul. Hvis f.eks. A 1 = A 2 side 27
og vi samtidigt har: så er: og ϕ 1 = ϕ 2 + π cos(ϕ 1 ) = cos(ϕ 2 ) sin(ϕ 1 ) = sin(ϕ 2 ) Og dermed bliver begge amplituderne nul. Dette er en forklaring på hvorfor to svingninger med samme vinkelfrekvens og samme amplitude, men omvendt faseforskydning kan annihilere hinanden. 5.3 Næsten samme vinkelfrekvens Oversvingninger Til sidst en lille illustration af hvad der sker når man anslår to næsten ens toner samtidigt. (Det som man benytter sig af når man f.eks. stemmer en guitar). Vi tager to harmoniske svingninger. Denne gang med samme amplitude og uden faseforskydinger. Og vi dropper også offsetkonstanten, fordi den ikke er interessant. og f 1 (t) = A sin(ω 1 t) f 2 (t) = A sin(ω 2 t) Lægger vi disse to sammen, får vi ikke umiddelbart noget som vi kan omskrive på: f 1 (t) + f 2 (t) = A sin(ω 1 t) + A sin(ω 2 t) Men hvis vi lige får den fremragende ide at indføre middelfrekvensen: ω m = ω 1 + ω 2 2 side 28
og differensfrekvensen: så er tricket at: ω d = ω 1 ω 2 2 ω 1 = ω m + ω d mens: (Regn selv efter). Derfor kan vi omskrive: ω 2 = ω m ω d f 1 (t) = A sin(ω m t + ω d t) og f 2 (t) = A sin(ω m t ω d t) Bruger vi additionsformlerne for sinus på disse, får vi noget der er lækkert at lægge sammen: f 1 (t) = A (sin(ω m t) cos(ω d t) + sin(ω d t) cos(ω m t)) f 2 (t) = A (sin(ω m t) cos(ω d t) sin(ω d t) cos(ω m t)) Dermed kan vi omskrive: f 1 (t) + f 2 (t) =A (sin(ω m t) cos(ω d t) + sin(ω d t) cos(ω m t)) + A (sin(ω m t) cos(ω d t) sin(ω d t) cos(ω m t)) =2A sin(ω m t) cos(ω d t) Hvis man nu tager sine allermest skarpe briller på, og samtidigt forestiller sig at de to oprindelige frekvenser var næsten lige store, så er dette faktisk ret smukt. Eftersom de to frekvenser er næsten lige store, så bliver middelfrekvensen omtrent det samme som de to oprindelige frekvenser, mens differensfrekvensen ω d bliver meget lille. side 29
Dermed kan vi se udtrykket for f 1 (t)+f 2 (t) som en ren harmonisk svingning: 2A sin(ω m t) (med middelfrekvensen af de to anslåede frekvenser, og den dobbelte amplitude) Men alt sammen ganget med et andet tal: cos(ω d t) som svinger meget langsomt (fordi ω d er lille) mellem 1 og 1. Hvis man forestiller sig at dette tal er ganget på amplituden, altså: f 1 (t) + f 2 (t) = (2A cos(ω d t)) sin(ω m t) så kan det tolkes som at der bliver skruet op og ned for amplituden, ganske langsomt. Og det er præcis sådan man hører det hvis to guitarstrenge anslås med næsten samme frekvens. Det lyder som om de to toner ligger oven på hinanden, men at lydstyrken svinger ganske langsomt. (Og jo langsommere svingningen i lydstyrken bliver, desto mere præcist er de to strenge stemt.) Musikere kalder dette fænomen for oversvingninger. 5.4 Forskellige vinkelfrekvenser Fourierteori Hvis man lægger to harmoniske svingninger sammen som har vidt forskellige frekvenser, så finder man hurtigt ud af at dette ikke lader sig omskrive på en måde så man klart kan se hvad resultatet bliver. Faktisk finder man ret hurtigt ud af at summer af harmoniske svingninger med forskellige vinkelfrekvenser bliver noget frygteligt rod. Så længe amplituderne er meget forskellige, så kan man godt forstå det som en stor svingning (den med størst amplitude) hvor man laver små udsving i forhold til den store svinging undervejs. (Se figur??). Men hvis amplituderne er cirka lige store, kan det virkelig se uoverskueligt ud (se figur??). side 30
Og hvis man lægger mere end 2 harmoniske svingninger sammen alle med forskellige vinkelfrekvenser og forskellige amplituder så får man næsten indtryk af at resultatet kan blive hvadsomhelst. Og det er faktisk i en vis forstand rigtigt! Fourierteori er en meget lang historie som i bund og grund handler om at enhver funktion kan opfattes tilnærmelsesvist som en sum af passende mange harmoniske svingninger. side 31