Stokastiske processer og køteori 5. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1
DAGENS EMNER Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer. Little s formel. Repetition af hopdiagrammer og Markovprocesser. Fødsels- og dødskøsystemer. DAGENS EMNER 2
UD OVER ANKOMST- OG EKSPEDITIONSTIDSPROCESSER Vi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser? Antal servere, antal ventepladser. Kødisciplin hvordan betjenes kunder? (Kundeopførsel utålmodige kunder etc.) (Flere køer, forbindelse mellem servere (kønetværk)). UD OVER ANKOMST- OG EKSPEDITIONSTIDSPROCESSER 3
KØDISCIPLINER FIFO. First-In-First-Out. Kunder ekspederes i ankomstrækkefølge. LIFO. Last-In-First-Out. Senest ankomne kunde ekspederes først. SIRO. Service-In-Random-Order. Tilfældig ekspeditionsrækkeflg. P. Prioritet. Hver kunde tildeles ved ankomst en prioritet og betjenes i rækkefølge efter prioritet. RR. Round-Robin. Hver kunde får en lille del af service, én efter én indtil ekspedition færdiggjort. PS. Processor-Sharing. Kapacitet deles ligeligt ml. kunder samtidig. Disciplin påvirker normalt ikke kvantitative størrelser (gnsnt. kølængde, tid i system etc.). Men kan påvirke variabilitet af ventetid. KØDISCIPLINER 4
KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q). Ankomstproces X og ekspeditionstidsproces Y kan antage værdier: M: Uafhængige og eksponentialfordelte ventetider. Dvs. X = M specificerer en Poissonproces. E r : Ventetider er uafhængige og Erlangfordelte af orden r. D: Deterministisk ventetidsfordeling. GI: Uafhængige (independent) ventetider med en fast fordeling. Dvs. ingen nærmere antagelse om fordelingstype. G: Generel (stationær) proces, dvs. ingen antagelser. KØSYSTEMER NOTATION 5
X/Y/(m, q)-systemer X Ankomstproces 1 2 q Y 1 2. m Ekspeditionstidsproces Ekspedienter er parallelforbundne man bliver ekspederet ved højest én ekspedient (modsat serieforbundne ekspedienter). q angiver antallet af køpladser (q = muligt). m angiver antallet af ekspedienter (m = muligt). X/Y/(m, q)-systemer 6
EKSEMPLER Notationen M/E 4 (3, ) specificerer følgende køsystem: Ankomstproces er Poisson. Ekspeditionstider er Erlangfordelte af orden 4. Ubegrænset antal køpladser (q = ) 3 ekspedienter. Notationen G/GI(1, 0) specificerer følgende køsystem Ankomstproces er en generel stationær proces. Ekspeditionstider uafhængige fra fast (uspecificeret) fordeling. 0 køpladser. 1 ekspedient. Disciplin fremgår ej af notation FIFO med mindre andet nævnt. EKSEMPLER 7
Trafiktilbud: TRAFIKTILBUD OG KUNDESPÆRRING Betragt et G/G(m, q)-system. Definér a: gennemsnitligt antal ankomster per tidsenhed. 1/b: gennemsnitlig ekspeditionstid. A = a/b kaldes trafiktilbuddet. Enheden ankomster per ekspedition kaldes en Erlang. Vi kan opspalte trafiktilbud som Kundespærring: A = afvist trafik + utålmodig trafik + afviklet trafik. E: gennemsnitligt antal optagede ekspedienter. π = 1 E/A er kundespærringen (brøkdel afviste kunder). TRAFIKTILBUD OG KUNDESPÆRRING 8
TIDSSPÆRRING OG KUNDESPÆRRING Kundespærring er sandsynlighed (i det lange løb) for afvisning af en kunde, dvs. sandsynligheden for at systemet er optaget til et ankomsttidspunkt. Kan tilsvarende definere tidsspærring som sandsynlighed (i det lange løb) for at systemet er optaget til et arbitrært tidspunkt. Generelt gælder kundespærring tidsspærring. Poissonankomster og PASTA: Hvis ankomstproces er Poisson, er sandsynligheden for et givet antal kunder i systemet uafhængig af, om t er et ankomsttidspunkt. Dvs. M/G(m, q)-køsystem kundespærring = tidsspærring. TIDSSPÆRRING OG KUNDESPÆRRING 9
EKSEMPEL: M/M(1, 0)-SYSTEM (AFVISNINGSSYSTEM) Velkendt fra første forelæsning. Ankomstproces Poisson med intensitet a = 1 per time. Ekspeditionstider eksponentialfordelte med middelværdi 1/b = 1/2 time. Beskrives ved antal kunder i systemet til tid t: N(t) {0, 1}. Trafiktilbud A = a/b = 1/2 Erlang. Ligevægtssandsynligheder p 0 = b/(a + b) = 1/(1 + A) = 2/3. p 1 = 1 p 0 = 1/3. Udnyttelsesgrad af ekspedient E = p 1 = A/(1 + A) = 1/3. Kundespærring π = 1 E/A = A/(1 + A) = 1/3. EKSEMPEL: M/M(1, 0)-SYSTEM (AFVISNINGSSYSTEM) 10
LITTLE S FORMEL Betragt et G/G(m, q)-system. Definér a: gennemsnitligt antal ankomster per tidsenhed (intensitet). L q : gennemsnitligt antal kunder i system. V q : gennemsnitligt opholdstid i systemet (dvs. tid for ventetid og ekspedition). Så gælder Little s formel: Anvendelser: L q = av q. Ofte let at beregne gennemsnitligt antal kunder i systemet (fx ud fra ligevægtssandsynligheder). Så kan Little s formel bruges til bestemmelse af gennemsnitlig opholdstid. LITTLE S FORMEL 11
EKSEMPEL: M/M(1, 0)-SYSTEM (AFVISNINGSSYSTEM) Ankomstproces Poisson med intensitet a = 1 per time. Ekspeditionstider eksponentialfordelte med middelværdi 1/b = 1/2 time (trafiktilbud A = a/b = 1/2). Beskrives ved antal kunder i systemet til tid t: N(t) {0, 1}. Ligevægtssandsynligheder p 0 = b/(a + b) = 1/(1 + A) = 2/3, p 1 = 1 p 0 = 1/3. Gennemsnitligt antal kunder i systemet L 0 = p 0 0 + p 1 1 = p 1 = A 1 + A = 1/3. Little s formel giver gennemsnitlig opholdstid V 0 = L 0 /a = 1/3 time, (bemærk, 1/2 time!) EKSEMPEL: M/M(1, 0)-SYSTEM (AFVISNINGSSYSTEM) 12
MERE OM LITTLE S FORMEL V q er den gennemsnitlige ventetid for alle kunder i systemet (afviste, forsinkede, straksekspederede). Vi er normalt mest interesserede i opholdstid for kunder, som ikke straksekspederes, dvs. forsinkede kunder. Hvis brøkdel D, som ej straksekspederes og W q gennemsnitlig opholdstid for disse, så gælder Generelt: L q = adw q. Mange andre lignende formler for sammenhæng mellem gennemsnitligt antal og gennemsnitlig opholdstid. MERE OM LITTLE S FORMEL 13
ARGUMENT FOR LITTLE S FORMEL N(t) Skraveret område: A(t) L q 0 t Antal kunder i system til tid t: N(t). Gennemsnitligt antal kunder i [0, t]: L q = A(t)/t. Hver kunde bidrager i snit med V q til A(t). Der ankommer i snit at kunder i [0, t]. Dvs. A(t) = atv q atv q = L q t L q = av q. ARGUMENT FOR LITTLE S FORMEL 14
REMINDER MARKOVPROCESSER Stationær Markovproces X med tilstandsrum {0, 1,..., n}. Beskrives ved overgangssands. p ij (t). Ligevægtssystemer lim p ij(t) = p j, t i, j {0, 1,...,n} (ligevægtssandsynligheder). Vi kan også beskrive X ved intensiteter c ij = p ij(t) (konstanter; uafhængige af t) Beskriver momentan tilbøjelighed til overgang i j (rate). Find ligevægtssandsynligheder ved at løse ligningssystemet n l=0 p l = 1 (normerende ligning) n l=0 p lc lj = 0, j = 0, 1,...,n. REMINDER MARKOVPROCESSER 15
M/M(1, N)-KØ Poisson ankomstproces med intensitet a og eksponentialfordelte ekspeditionstider med middelværdi 1/b. 1 ekspedient; N køpladser. Antal kunder i system N(t) {0, 1,..., N + 1}. Ligevægtssands. p i = lim t P(N(t) = i), i = 0,...,N + 1. a a 0 1 2 N+1 b b Et eksempel på et fødsels- og dødskøsystem. M/M(1, N)-KØ 16
Ligevægtsligninger; N+1 i=0 p i = 1 (normerende ligning) samt Dvs. bp 1 = ap 0 ap 0 + bp 2 = (a + b)p 1. ap i 1 + bp i+1 = (a + b)p i. ap N = bp N+1. p 1 = Ap 0 p 2 = (a/b)p 1 + (a/b + 1)p 1 = A 2 p 0. p i+1 = (a/b)p i 1 + (a/b + 1)p i = A i p 0. p N+1 = (a/b)p N = A N+1 p 0. M/M(1, N)-KØ 17
Ligevægtssandsynligheder hvis A = a/b 1: p i = 1 A 1 A N+2Ai, i = 0, 1,...,N + 1. Ligevægtssandsynligheder hvis A = a/b = 1: p i = 1, i = 0, 1,..., N + 1. N + 2 Lad N (uendeligt mange køpladser). Ligevægt i M/M(1, ) eksisterer kun hvis A < 1. Ligevægtsfordelingen er da p i = A i (1 A), i = 0, 1, 2,... M/M(1, N)-KØ 18
KARAKTERISTISKE STØRRELSER I M/M(1, ) Gennemsnitligt antal kunder i systemet L = ip i = i=0 A 1 A. Gennemsnitlig opholdstid V i systemet L = av V = 1 b 1 1 A (Little s formel). Brøkdel af kunder, som ikke straksekspederes D = 1 p 0 = A. Gennemsnitligt antal optagede ekspedienter E = A (da rent ventesystem, Andersen (2001), p.36ø.). KARAKTERISTISKE STØRRELSER I M/M(1, ) 19
Gennemsnitlig kølængde (ej straksekspedition) L = (i 1)p i = i=2 ip i i=1 p i = L A = i=1 A2 1 A. Gennemsnitlig opholdstid i køen L = av V = 1 b Bemærk her det intuitive resultat, at A 1 A (Little s formel) samt V = gnsn. systemtid gnsn. eksp. tid = V 1 b = 1 ( A ) b 1 A 1. L = DL = A A 1 A. KARAKTERISTISKE STØRRELSER I M/M(1, ) 20
TALEKSEMPEL I et produktionssystem ankommer emner efter en Poissonproces med en intensitet på a = 3 emner per time. Forarbejdningstid er eksponentialfordelt. Middelværdi 1/b =15 minutter. 1 ekspedient, uendelig mange køpladser. Beregninger: Trafiktilbud A = a/b = 0.75. Ligevægtssandsynligheder p i = (0.25)(0.75) i for i = 1, 2,.... Sandsynlighed for forsinkelse D = A = 0.75. Gennemsnitlig kølængde L = 0.752 1 0.75 = 2.25. Gennemsnitlig produktionstid V = 15 1 1 0.75 = 1 time. TALEKSEMPEL 21