Matematik Eksamensprojekt Casper Wandrup Andresen, 2.F I dette projekt arbejdes der bl.a. med parabler, vektorer, funktioner, sinus, cosinus, tangens, differentialregning, integralregning samt de øvrige/resterende funktioner i algebra. Lærer: Maria Rybaltover Afleveres: 10/6-2009 kl. 14:00 Underskrift:
Ud fra min fødselsdato har jeg fået opgivet følgende værdier/konstanter af programmet, det er disse min eksamens opgave vil være baseret på. h: 12,8 meter c: 13,2 meter v 1: 40,8 grader v 2: 23,8 grader : 638 Newton Opgave 1 A) Bestem FG og Trekanten er en ligebenet trekant, hvilket jeg kan se da. Jeg kan finde ved at trække den samlede sum af de to kendte vinkler fra 180, da en trekant altid har en vinkelsum på 180. Jeg kan finde frem til ved at benytte denne formel: 180 Figur 1. Udregningen af,, ses på figur 1 ovenfor. Nu kender jeg også. Side 2 af 16
Når jeg kender FH,, og. Kan jeg nemmest finde FG ved at benytte sinusrelationen, som ser således ud (se også figur 2): sin sin sin 1,58522, Figur 2. Dermed fik jeg bestemt FG og vil nu gå videre til. For at få bestemt skal jeg enten bruge sinus eller cosinus relationerne alt efter om jeg har fået alle vinklerne eller siderne oplyst. Her har jeg fået alle sidelængerne oplyst, derved kan jeg benytte Cosinusrelationerne til at finde 1,650 0,900 2,40 2 2 2 2 2,400 1,650 0,900 21,6500,900 CosC0,96875 Se figur 3. Figur 3. Nu har jeg så taget og regnet følgende opstilling ud, som ses på figur 3. Derefter har jeg taget af den og er kommet frem til 14,3615, se figur 4. 14,3615 Figur 4. Side 3 af 16
b) Bestem tværsnitsarealet af masten. For at bestemme tværsnitarealet på masten skal man inddele den i flere stykker der er til at regne på, for at kunne finde den samlede sum. Jeg har inddelt søjlen på figur 5, i 3 stykker. To trekanter og en firkant (kan ses på figur 5). Firkanten har jeg udregnet på følgende måde: h (se også figur 7) Figur 7. h10,24 For at beregne trekanten, har jeg benyttet sinusrelationen. Jeg kender Figur 5. 87 h12,8 Jeg skal bruge denne ligning: som jeg har isoleret til C. Dertil har jeg på figur 6 udregnet HJ til at være 12,8176m (se figur 6). For at finde vinkel trækker jeg de opgivede 87 fra den rette vinkel på 90 og ender ud med en vinkel på 3 Figur 6. Side 4 af 16
For at kunne beregne arealet af trekant kan jeg med mine nuværende oplysninger via følgende formel: ½h ½12,812,81763 Dertil har jeg på figur 7, udregnet arealet på trekant ud til at være 4,29326. Dette ganger jeg med 2, da der er en symmetrisk del magen til på højre side af søjlen. Se udregningerne på figur 8. Dvs. at jeg har et samlet areal på 18, 8,8265 Figur 8. For at komme videre med udregningerne af tværsnit arealet. Og beregningerne af den øvre del af el masten ( ADE). Skal jeg først finde vinklen. Det vil jeg gøre på følgende måde: Først og fremmest skal jeg finde vinkel til : Jeg benytter Cosinusrelationen til dette, da jeg kender alle side længderne. Se figur 9. 0,9 2,4 1,65 20,92,4 27,0481 Figur 9. For at finde frem til koordinat skal jeg beregne C1E1 som jeg har tegnet som hjælpe trekant. Samt C1H1. Se figur 10. Da jeg kender kan jeg finde 1 ved at trække summen af og 1 som er retvinklet fra 180. Dertil får man 62,9519. Da jeg kender EH, 1, 1 og kan jeg benytte Figur 10. Sinusrelationen. Se figur 11. sin1 11 sin1 11 0,409265 11, 11 Figur 11. Side 5 af 16
Nu har jeg fundet C1H1, som er E s y koordinat. Dertil kan jeg indsætte dette i formlen ovenfor og i stedet lave Solve på C1H1 for at finde E s x koordinat. sin1 11 sin1 11, 11 11 0,801563 For at kunne gøre det til E s x koordinat skal jeg have den til at fortsætte fra C1 til x=0. Jeg kender også HI som har centrum i x=0. Dertil kan jeg blot tage det halve Figur 12. af HI og lægge til C1H1 for at finde E s x koordinat. Hvilket kan ses på overstående screen. E s koordinater er altså ifølge udregninger fra figur 12: X= -1,20156 Y=0,409265 Ligeledes skal de resterende koordinater ordinater også regnes ud ligeledes vha. hjælpetrekanter. Dette tager dog utrolig lang tid at formulere, opstille på papir samt at det fylder ekstremt meget. Derfor har jeg valgt ikke at vise beregningerne for disse men blot de koordinater jeg har fundet frem til. H = (-0,4; 0) A = (-2,6; 3,8) D = (-0,986; 0,817) C = (0; 0,446) Arealet af har jeg regnet ud på følgende måde: ½* Grundlinje * højde = T Højden er E s Y koordinat. Se udregninger på figur 13. ½2,40,409265 0,491118 Disse koordinater har jeg indsat i programmet Graph som en punktserie. Ud fra den punktserie har jeg lavet en tendenslinje som indrammer koordinaterne til vores figur. Jeg har så sat mit CAS værktøj til at beregne arealet af funktionen / tendenslinjen. Som jeg fået til 1,2539 Se figur 14. Figur 13. Side 6 af 16
Figur 14. Nu har jeg faktisk tværsnit arealet af hele elmasten. Blot i små stykker som jeg nu vil lægge sammen. Søjlen har et tværsnit areal på har et areal på: Venstre side af armen har et areal på: 18,8265 0,491118 1,2539 Sammenlagt giver dette: 18,8265 20,491118 21,2539 22,3165 Figur 15. Det total tværsnit areal må i mit tilfælde være: 22,3165 ifølge figur 15. Side 7 af 16
C) bestem og Jeg skal finde F og F, hvilket jeg gør på følgende måde: v findes ved, at differentiere funktionen for parablen og dernæst at sætte x lig nul. Se figur 16. 0,0035265 0,17632713,2 0,0070530,176327 0,00705300,176327 0,176327 I virkeligheden behøvede jeg ikke at differentiere, da jeg sætter x lig nul, så jeg kan bruge koordinaterne direkte fra funktionen. Denne værdi har jeg brugt arcus tangens på, og er kommet frem til følgende vinkel: se figur 17. Figur 16. tan 0,176327 10 Nu har jeg på denne måde fundet frem til vinklen v som vist på figuren til højre. Denne vinkel bruges til at bestemme længden af og. Hvilket jeg gør med disse formler: Figur 17. 638 sin10 sin12 Denne formel har jeg fundet frem til, da jeg ved, at summen af kraften fra begge sider er lig den kraft som holder hele elmasten oppe (. Se figur 18. Dertil ved jeg også at: Figur 18. sin10 sin12 Da hele elmasten ellers ville stå skævt, da den så ville blive trykket mere i den ene side. Derfor kan jeg opstille følgende formler til at finde frem til vores to ukendte vektorer. Figur 19. Side 8 af 16
Dertil benytter jeg substitutions metoden til at køre Solve på. Se figur 19. cos12 cos10, 0,993237 Det kan jeg nu bruge til at køre Solve på 6380,993237 sin10 sin12, 1677,25 Nu hvor jeg har kan jeg også finde 1677,25cos12 cos10, 1665,9 Figur 20. Se udregninger på figur 20. D) Redegør for hvilken indflydelse en ændring i temperaturen har på og. I videoen fremgår det hvordan en stigning i temperatur forlænger kablet som resulterer i en forøget vinkel på og. Dette skyldes at et legeme fylder mere i opvarmet tilstand end i køligere tilstand. Dette resulterer i en mere krum eller glad parabel, derfor vil funktionen stige mere stejlt omkring masterne. Når vinklen stiger grundet temperatur-stigning og dermed udvidelse, vil og påvirke med en større nedadgående kraft, dette påviser ovenstående udregninger. Dog vil og være lige store i forhold til hinanden da de stadig vil udligne hinanden, da temperatur stigningen er global og ikke lokal på enkelte metre af kablet. E) Bestem den mindste afstand mellem punktet N og kablet. Her skal jeg udregne den korteste afstand mellem punktet N og kablet. For at finde frem til dette skal man drage brug af optimering. Jeg skal finde det bedste sted på ledningen til at optimere afstanden til den kortest mulige vej til punktet N. Til dette skal jeg benytte afstandsformlen: Denne har jeg så modificeret så den passer til mit eksempel, jeg kender allerede N s koordinater ( ), dertil kan jeg indsætte dem. Samt jeg kender også i form af denne opgivende funktions forskrift: 0,0035265 0,17632713,2 Min afstandsformel ser altså sådan ud, og skal differentieres, hvilket jeg har brugt min lommeregner til, se figur 21: Side 9 af 16
14 5 0,0035265 0,17632713,2 0,007053 75,0009 45198,3656451 100,001 90396,6 2,625862,977117 Overstående differential-kvotient sættes lig 0, sådan at x kan køres solve på se figur 22. Figur 21.,,, 0,,,,, 14,8161 Nu har jeg et koordinat for lednings punkt på x-aksen. Dette koordinat skal jeg nu finde ud af hvorvidt det negativt eller positivt. Hvilket jeg gør vha. monotoni regning. Figur 22. Funktionen går fra ;14,8161[ til ]14,8161; Derfor skal jeg finde mig to tal. Det ene under 14,8161og det andet skal være over. Jeg har eksempelvis valgt 10 og 20 som mine værdier. Jeg tager derfor funktionen og sætter 10 ind på x s plads. Hvis mit resultat er negativt er funktionen aftagende indtil 14,8161. Hvis det er positivt er det stigende indtil 14,8161. 0,00705310 75,000910 45198,310656451 10 100,00110 90396,6 0,421486, se figur 23. 10 2,62586102,977117 Da overstående er blevet negativt betyder dette at funktionen er aftagende indtil 14,8161. 0,00705320 75,000920 45198,320656451 20 100,00120 90396,6 0,445028, se figur 24. 20 2,62586202,977117 Da ovenstående er blevet positivt betyder dette at funktionen er tiltagende og kan derfor konkluderer at det er et minimumspunkt. Dette var også det jeg ledte efter, da jeg skulle finde den korteste vej til punktet N, hvilket er ned ad, altså negativt ergo et minimumspunkt jeg havde brug for. Figur 23. Figur 24. Side 10 af 16
Jeg kan nu udregne resten af koordinaterne med mine fundne værdier. Jeg har x værdien hvilket jeg kan bruge ved at sætte ind i min funktion for at finde y s koordinater, se figur 25. 0,003526514,8161 0,17632714,8161 13,2 11,3616 Nu har jeg koordinaterne for både N og ledningens punkt. Figur 25. Kabels punkt: 14,8161;11,3616 N: 14;5 Dette kan jeg indsætte i afstandsformlen, for at finde afstanden. Hvilket kan ses herunder, se figur 26: 14,816114 11,36165 6,41373 Figur 26. Jeg har hermed optimeret afstanden mellem ledningen og punktet N, til den korteste. Da det tidligere fremgår af opgave oplæget at alle koordinater er angivet i enheden meter, er den korteste afstand mellem ledningen og punktet N er altså: 6,41373. F) bestem længden af kablet mellem de to master. Jeg kender afstanden mellem m de to master ud fra de opgivede oplysninger fra opgave oplæget, afstanden er 50 meter. Dette kunne være fristende blot at angive som kablets længde, men da kablet ikke hænger i en fuldstændig lige linje fra mast til mast går dette ikke. I stedet vil jeg udregne længden ud, vha. funktionen som også har indgået i de tidligere underopgaver. 0,0035265 0,17632713,2 Jeg har også den differentierede version af overstående funktion hvilket jeg også skal benytte. Dertil kan jeg opstille denne integral formel: 1 10,0070530,176327 50,2579 Kablets længde er altså efter matematikkens kraft at dømme 50,2579 meter. Figur 27. Side 11 af 16
G) Er dette krav opfyldt? En anden dag er længden af kablet forøget med 0,1 %, men x-koordinaten for parablens toppunkt forbliver uændret. Det officielle mindstekrav for kablets højde over terræn er 83meter. Jeg kan starte med at udregne den nye længde af kablet. Jeg kender længden fra forrige opgaver, samt ved at den forøges med 0,1%. Dertil kan jeg opstille følgende, se figur 28: 50,25791,001 50,3082 Nu har jeg længden af kablet, denne kan jeg bruge til at sætte ind i den differentierede funktion for kablets parabel. Dertil skal jeg bruge Figur 28. toppunktsformlen som også sættes ind i den differentierede funktion. Toppunktsformlen ser sådan ud: 2 ; 4 Denne isolerer jeg til b, med x-koordinatet. For videre brug i den differentierede funktion, se figur 29. 25 2, 50 Nu skal jeg definere en funktion for parablen, som senere skal differentieres, derfor ved jeg at når en anden grads ligning bliver differentieret bliver det til 2axb. Jeg har isoleret b i overstående formel, så det er lige til at sætte ind: Figur 29. 250 Dette kan jeg nu benytte til at integrere dette til funktionen.. Og køre solve på den, sådan at jeg får konstanten a, til vores funktion. Her har jeg brugt numerisk solve, for at frasortere alle de negative værdier. 1250 50,3082, 0,003857 Min a konstant i overstående ligning. Er nu det sidste jeg mangler for at kunne regne min funktion ud vha. funktions forskriften, jeg har indsat 25, da det er midtpunktet mellem de to master, se figur 30: Side 12 af 16
250,003857 500,00385713,2 10,7894 Det laveste punkt på parablen (kablet) er 10,7894 meter. Derfor er minimumshøjden på de 8,3 meter ikke noget problem. Ja jeg kan ud fra overstående beregninger konkludere at kravene er opfyldt. Figur 30. Side 13 af 16
Opgave 2 Placer mindst 4 elmaster på strækningen, og kom med relevante bud på forskrifter for kablernes parabelbuer. Kontroller at højspændingskablerne er mindst 8,3 meter over terræn. Foretag selv yderligere relevante udregninger. I den forbindelse skal du inddrage flest mulige relevante emner inden for matematikken, f.eks. funktioner, geometri, vektorer mv. I denne opgave ser jeg det mest logiske at placere masterne med samme forhold som opgave oplæget fra tidligere. Altså 50 meter mellem hver mast, i en højde á 15 meter. Jeg har fået opgivet funktionsforskrifter for terrænet. Hvilket ser således ud: (terrænet kan ses på figur 31) Figur 31. De første 100 meter vil komme til at bestå af 3 master. Én ved start, en ved 50 meter og tredje ved 100 meter. Disse vil være 15 meter høje, som også tidligere nævnt. Den fjerde mast, vil stå ved 140 meter. Grunden til at den ikke følger mønsteret fra de andre og står ved 150 meter, er af den simple grund at terrænet er stoppet med dens tiltagen ved 140 meter. Efter 140 meter er terrænet faldende. Derfor vil det være det mest optimale sted at placere dette. Mit højspændingskabel skal hele tiden overholde kravet omkring minimums højde på 8,3 meter. Dette har jeg brugt til beregningerne af kabelparablerne. Jeg har lavet parablerne i Graph. Man skal have sine 3 punkter som parablen skal gå igennem. Derefter tilføjer man en tendenslinje til punktserien. Denne tendenslinje er polynomisk. Helt præcist er det faktisk et 3. grads polynomium jeg har med at gøre. Jeg har brugt mit CAS værktøj til beregning af dette. Se figur 32. Side 14 af 16
De første 2 punkter er der hvor kablerne skal gå fra på de to master. Derefter skal polynomiet gå gennem et 3. punkt. Dette punkt har jeg bestemt til at være midt på kablet i en højde af 11 meter. Programmet har dertil beregnet min funktionsforskrift for dette. Figur 32. Det er let nok de første 100 meter. Problematikken kommer når det skal gå op ad bakke, og samtidig overholde minimumshøjden. Jeg har tidligere argumenteret for mit valg af den fjerde elmasts placering på de 140 meter. Dertil har jeg taget koordinatet der ligger mellem 100 og 140. Det er altså 120 metermærket jeg snakker om. Dertil har jeg udregnet højden ved 120 meter ud fra terrænets funktionsforskrift. Dette har jeg gjort så simpelt ved blot at indsætte 120 på x s plads. Da så får det tilsvarende y-koordinat. Altså højden i meter. Se figur 33. 0,0006875 0,24625 25,6251087,5 0,0006875120 0,24625120 25,6251201087,5 10,5 Figur 33. Side 15 af 16
Derfor bliver jeg nød til at placere parablen mellem 3. og 4. masts 3. koordinat højere end de ellers 11 meter der blev benyttet på de andre parabler. Hvis minimumshøjden er 8,3 meter. Da får jeg så 18,8 meter hvis dette lige akkurat skal opfylde kravet. Dertil er der ikke taget højde for kablet bliver længere ved varme. Derfor syntes jeg at se det logisk at runde tallet op til 20 meter. Da der så ikke er nogle problemer på de varme sommerdage med udvidende kabler. Dertil har jeg sat 3. koordinatet mellem mast 3 og 4, til at være 120;20. Ud fra dette har mit Graph program igen været i stand til at udregne funktionsforskriften for parablen. Disse funktionsforskrifter for de forskellige afstande ser således ud: 0 <50 50<x 100 100< 140 0,0064 0,3215 0,0064 0,9647 0,0125 2,5140 Side 16 af 16