1 Når vi taler om andre geometrier tænker vi i dette tilfælde på to geometrier, der på afgørende vis adskiller sig fra den euklidiske geometri og fra hinanden. De er begge eksempler på, hvad man kalder ikke-euklidiske geometrier. De kaldes hyperbolsk geometri og sfærisk geometri. Vi vil give et indtryk af forskellen mellem de tre geometrier, men vil hovedsageligt koncentrere os om sfærisk geometri, der omhandler geometrien på en kugle. Den er interessant for os, fordi vi bor på Jorden, der med god tilnærmelse kan betragtes som en kugle. De to ikke-euklidiske geometrier er begge todimensionale geometrier. Sfærisk geometri er som sagt geometrien på overfladen af en kugle. Tilsvarende er hyperbolsk geometri den geometri der gælder på overfladen af en omdrejningshyperboloide. Den euklidiske, den sfæriske og den hyperbolske geometri har mange fælles egenskaber, men en egenskab, som adskiller de tre geometrier, er vinkelsummen af en trekant. Figuren illustrerer dette. Vinkelsummen i en euklidisk trekant er som bekendt 180, mens den for en hyperbolsk trekant er mindre end 180, og for en sfærisk trekant større end 180. Hensigten med arbejdskortene i -serien er, at får indsigt i andre geometrier end den euklidiske får en forståelse af, hvordan man kan udregne afstande mellem fjerntliggende destinationer, samt hvordan man finder kursen, når man skal ud på flyrejser eller sejlture anvender nogle sædvanlige trigonometriske sammenhænge til at udlede tilsvarende sammenhænge i den sfæriske geometri. -serien består af disse arbejdskort: 1 Fundamentale geometriske diskussioner 2 De sfæriske cosinusrelationer og nogle anvendelser 3 De sfæriske sinusrelationer og en anvendelse
2 1 Fundamentale geometriske diskussioner Hensigten med dette arbejdskort er, at skal reflektere over og diskutere fundamentale geometriske begreber Problem 1: Hvornår siger man, at en linje er ret? Tænk på dine egne erfaringer. Det kan muligvis hjælpe dig at tænke på, hvordan du ville forklare begrebet for en femårig (eller måske lytte på hvordan en femårig vil forklare det for dig!). Hvis du anvender en lineal, hvordan kan du så vide (eller checke), at denne er ret? Hvilke egenskaber har rette linjer, som adskiller dem fra ikke rette linjer? Tænk på spørgsmålet ud fra 4 synsvinkler: 1) Hvordan kan du kontrollere i praksis om noget følger en ret linje, uden at antage at du har en lineal, for det fører så bare til spørgsmålet: "Hvordan kan du kontrollere at linealen er retlinjet?" 2) Hvordan konstruerer du noget, der er retlinjet - fx hvordan opstilles hegnspæle langs en ret linje, eller hvordan tegnes en ret linje? 3) Hvilke symmetrier har en ret linje? En symmetri af en geometrisk figur er en spejling, rotation, parallelforskydning eller en glidespejling, der bevarer figuren. Fx har bogstavet 'T' spejlingssymmetri omkring en lodret linje gennem dets midte og bogstavet 'Z' har rotationssymmetri, hvis det roteres 180 omkring dets midtpunkt. 4) Kan du give en definition på "en ret linje"? skolen får vi at vide, at den korteste afstand mellem to punkter er længden af den rette linje, der forbinder de to punkter. Men i Problem 2 vil vi erfare, at dette ikke altid er tilfældet. Det er heller ikke en særlig praktisk definition, idet der ikke findes nogen metode til at måle alle mulige afstande mellem to punkter for at finde den korteste. A: Formulér dit svar på ovenstående spørgsmål skriftligt som udgangspunkt for en gruppediskussion. B: Afslut med en gruppediskussion af spørgsmålene og opsamling i plenum. Problem 2: Hvad forstår man ved en ret linje på en kugleoverflade? Forestil dig, at du er et insekt, der kravler rundt på en kugleoverflade. (Dette insekt kan hverken flyve eller grave sig ind i kuglen). nsektets univers er kuglens overflade. Det forlader den aldrig!
3 Hvad vil insektet forstå ved begrebet retlinjet, dvs. hvad vil insektet se og erfare som værende retlinjet? Hvordan kan du overbevise dig selv om dette? Brug symmetriegenskaberne for retlinjethed, som vi diskuterede i problem 1. Vis (dvs. overbevis dig selv, og giv et argument, der kan overbevise andre), at storcirklerne på en kugle er rette linjer i forhold til kugleoverfladen, og at der ikke er andre cirkler på kuglen, der er rette linjer i forhold til kuglen. Storcirkler er de cirkler, som opstår ved skæring mellem kuglen og en plan gennem centrum af kuglen. Fx er enhver længdecirkel (meridian) og ækvator storcirkler på Jorden. Det første skridt på vejen til at forstå dette problem er at overbevise sig selv om, at storcirkler er rette linjer på kugleoverfladen. Hvad er det for en egenskab ved storcirkler, der får et insekt til at opfatte dem som rette linjer? For bedre at kunne forestille sig, hvad der foregår på en kugleoverflade, er det nødvendigt at bruge modeller. Du bliver nødt til at tegne rette linjer på en kugleoverflade for at forstå fuldstændigt, hvad der er retlinjet og hvorfor. En appelsin eller en tennisbold kan fungere fint som model for en kugle, og elastikker virker udmærket som linjer. Prøv at anbringe en elastik på en kugle langs forskellige kurver og observer hvad der sker. Undersøg om symmetrierne for linjen i problem 1 holder for linjer på kugler. Det er vigtigt her, at man husker at man skal tænke på, hvad der foregår på kugleoverfladen, og ikke se kugler som en del af det tredimensionale rum. Tænk altid på hvordan tingene ser ud fra et insekts synspunkt. Hvis man ser på en kugle udefra i det tredimensionale rum, er alle veje på kuglen selv storcirkler - krumme. Men i forhold til kugleoverfladen kan linjerne muligvis være rette. Vær sikker på, at du forstår denne forskel og prøv at indse, hvorfor alle symmetrier (som fx en spejling), skal ses fra insektets synspunkt. Overvej følgende: Hvad må insektet gøre, når det går på en ikke plan overflade, for at gå langs en ret linje? Hvordan kan insektet kontrollere om det går lige ud? C: Formulér dit svar på ovenstående spørgsmål skriftligt som udgangspunkt for en gruppediskussion. D: Afslut med en gruppediskussion af spørgsmålene og opsamling i plenum.
4 Problem 3: Hvad er en vinkel? Giv nogle definitioner på begrebet vinkel Kan alle dine definitioner bruges både i planen og på kugleoverfladen? Hvad er fordelene og ulemperne ved de forskellige definitioner? Hvad betyder det at to vinkler er kongruente? Hvordan kan vi kontrollere det? Betragt den vinkel, der ligger i det nederste venstre hjørne af denne side. Enhver vil nok opfatte det som en vinkel. Riv nu hjørnet af (- eller forestil dig, at du river hjørnet af). Er vinklen stadigvæk på det hjørne, du har revet af? Riv mere af siderne af vinklen, men vær forsigtig ikke at rive ned i selve hjørnet. Er vinklen stadig i hjørnet, du har revet af? Hvad forstår man ved vinklen i dette hjørne? Nu har du basis for at gå i gang med at definere, hvad man forstår ved en vinkel. Du skal muligvis komme med flere definitioner for at forklare alle egenskaberne ved en vinkel. Der er mindst tre forskellige perspektiver ud fra hvilke, du kan definere vinkel. E: Formulér dit svar på ovenstående spørgsmål skriftligt som udgangspunkt for en gruppediskussion. F: Afslut med en gruppediskussion af spørgsmålene og opsamling i plenum. Problem 4: Sætningen om topvinkler Bevis, at vinklerne u og v, der er dannet af to linjer, der skærer hinanden, er lige store. Her skal ordet bevis forstås som en diskussion, der er tilstrækkelig til at overbevise en fornuftig skeptiker (men selv om vi er glade for definitioner, vil vi her undlade at definere fornuftig det er op til læseren). Vink: Forklar, hvordan du vil bevæge u, for at den kan falde sammen med v. Hvilke symmetriegenskaber fra den rette linje bruger du? Virker dit bevis også på kuglen? A: Formulér dit svar på ovenstående spørgsmål skriftligt som udgangspunkt for en gruppediskussion. B: Afslut med en gruppediskussion af spørgsmålene og opsamling i plenum.
5 2 De sfæriske cosinusrelationer og nogle anvendelser Hensigten med dette arbejdskort er, at skal fremstille en konkret model, der tydeliggør, hvordan man kan bruge trigonometrien fra den euklidiske plangeometri til at forstå og udtrykke trigonometrien i den sfæriske geometri Arbejde med nogle anvendelser af de sfæriske cosinusrelationer grundbogsafsnittet er de sfæriske cosinusrelationer udledt ved anvendelse af cosinusrelationerne fra den euklidiske plangeometri i kombination med relationer fra den retvinklede trekant i den euklidiske plangeometri.. Model for Pyramiden OB C A Den sfæriske trekant er trekant ABC. i forbindelse med den er tegnet en pyramide OAB C som vist på figuren. Ved at anvende almindelig trigonometri på sidefladerne i pyramiden kan den sfæriske cosinusrelation udledes. For at få et konkret billede af pyramiden og dens sideflader, konstrueres den udfoldede pyramide i et geometriprogram. den her beskrevne konstruktion er A, A og A alle udfoldninger af punktet A. Konstruer en vilkårlig spidsvinklet trekant OB C. Det gør konstruktionen lidt lettere, hvis du lader B C være vandret. Konstruér trekant C AO, så vinkel A bliver ret. Konstruer punktet A, så OA B bliver ret: Da OA = OA, må A ligge på en cirkel med centrum i O og OA som radius og da A er ret, må A også ligge på cirklen med B O som diameter. Nu mangler vi bare at konstruere A i trekant A B C, men da B A = B A og C A = C A, kan A konstrueres som skæringspunktet mellem to cirkler. Siderne i de tre trekanter konstrueres, alle hjælpelinjer og -cirkler skjules, den udfoldede figur printes, klippes ud, og foldes til en pyramide. Ud fra trekanterne på den udfoldede figur kan cosinusrelationerne udledes.
6 Eksempler på anvendelse af cosinusrelationerne Opgave 1 Københavns position: 55,7 nordlig bredde, 12,6 østlig længde. Los Angeles position: 34,0 nordlig bredde, 118,1 vestlig længde. 1: llustrer byernes beliggenhed på en kugleflade. Jorden betragtes i det følgende som en kugle med radius 6370 km. 2: Find den sfæriske afstand mellem de to byer. En flyverute København Los Angeles går via Søndre Strømfjord, som ligger på position 66,0 nordlig bredde, 54,0 vestlig længde. 3: Beregn afstanden mellem København Søndre Strømfjord og Søndre Strømfjord Los Angeles, og sammenlign den samlede flyveafstand med resultatet fra 2. 4: Med hvilken kurs skal der startes fra København? Opgave 2: Storcirkelsejlads En storcirkelbue mellem to steder A og B på Jorden er den korteste vej mellem punkterne. Skal man sejle storcirkelsejlads kan man enten bruge storcirkelkort eller man kan beregne sig frem. Vi skal forestille os at vi skal sejle fra en position A: 45 17,3 N.br. og 16 23,5 vestlig længde. Vores kurs er S.39V (kursen regnes fra den nordlige del af meridianen, hvilket betyder at kursvinklen er 180 39 ). Den tilbagelagte distance er 151,3 sømil. Hvor ender vi, dvs. hvad er længde og bredde for position B (resultatet skal angives i grader og minutter). Lidt oplysninger: 1 nautisk sømil er 1852 m. 1 nautisk sømil er en omtrentlig værdi for buelængden af en storcirkelbue spændende over 1 bueminut på jorden. 1 grad 40.000 km/360 111,11 km 1 bueminut 111,11/60 km 1,852 km 1 = 60 = 3600 (1 grad = 60 bueminutter og 1 bueminut = 60 buesekunder).
7 3 De sfæriske sinusrelationer og en anvendelse De sfæriske sinusrelationer giver en sammenhæng mellem siderne (målt i grader) og vinklerne i en sfærisk trekant ABC, med siderne a, b og c. De sfæriske sinusrelationer: sin( a ) sin( ) sin( ) b c sin( A) sin( B) sin( C) Sinusrelationerne kan udledes ud fra cosinusrelationerne samt grundrelationen mellem sinus og cosinus til en vinkel x: cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 Du vil i det følgende blive guidet igennem et bevis for formlerne: For at opstille sinusrelationerne kan vi bruge følgende: (1) cos(a) = cos(b) cos(c) + sin(b) sin(c) cos(a) og (2) cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1 2 2 cos ( x) 1 sin ( x) Leddet i (1) (cosinusrelationen), der indeholder sinusfunktionen, isoleres. Så får man: sin(b) sin(c) cos(a) = cos(a) cos(b) cos(c) Derefter kvadreres på begge sider af lighedstegnet sin 2 (b) sin 2 (c) cos 2 (A) = cos 2 (a) + cos 2 (b) cos 2 (c) 2 cos(a) cos(b) cos(c) Relationen (2) bruges, så cos 2 (A), cos 2 (a), cos 2 (b) og cos 2 (c) udtrykkes ved sinus til de tilsvarende vinkler: Det skulle gerne efter at være reduceret føre til følgende udtryk: sin 2 (b) sin 2 (c) sin 2 (A) = 2 + sin 2 (a) + sin 2 (b) + sin 2 (c) + 2 cos(a) cos(b) cos(c) Vi benytter nu, at højresiden er symmetrisk i a, b og c. Det betyder, at ligegyldig hvilken af de tre vinkelspidser vi tager som udgangspunkt, så er højresiden den samme, altså må de tilsvarende venstresider også være ens, og vi får:
8 sin 2 (b) sin 2 (c) sin 2 (A) = sin 2 (a) sin 2 (b) sin 2 (C) = sin 2 (a) sin 2 (c) sin 2 (B) Vi uddrager nu kvadratroden på alle sider af lighedstegnene (idet vi antager, at alle vinkler og sider er mindre end 180, hvilket betyder at alle sinusværdier er positive): sin(b) sin(c) sin(a) = sin(a) sin(b) sin(c) = sin(a) sin(c) sin(b). Heraf fås ved passende omskrivninger de sfæriske sinusrelationer: sin( a ) sin( ) sin( ) b c sin( A) sin( B) sin( C) Udfyld hullerne i beregningskæden i beviset. kapitlet side 15 og side 21 så vi et eksempel på beregning af længden af en flyrute fra København med geografisk position 55,7 nordlig bredde 12,6 østlig længde til San Franciscos, hvis position er 37,7 nordlig bredde, 122,4 vestlig længde. Flyvningen foregår langs en storcirkel. Ved brug af de sfæriske cosinusrelationer finder vi afstanden i grader mellem de to positioner til a = 79,053. llustrér de to byers beliggenhed på en kugleflade. Med hvilken kurs skal startes fra København? rutens nordligste punkt er kursen stik vest. Benyt dette samt sinusrelationerne til at bestemme positionen for rutens nordligste punkt. Hvor i Verden er det? Her er det stort set ikke muligt at slutte dette arbejdskort uden at præsentere en klassiker. Den har noget med matematik (forskellige geometrier) at gøre, men også med zoologi, geografi og samme spørgsmål som før: Hvor på Jorden kan vi mon befinde os? Den lyder tosset men den kan løses. Her kommer den så: En mand er på bjørnejagt. Sent på eftermiddagen finder han et sted at slå lejr. Han rejser sit telt, tænder sit medbragte gasblus, spejler et par æg og varmer en dåse baked beans. Glad og mæt finder han derefter vej til sin sovepose og sover de retfærdiges søvn hele natten. Dagen efter står han op, spiser morgenmad, griber sin riffel og går på jagt. Først går han 5 km stik syd fra sin lejr. Derefter går han 3 km stik øst. Her møder han en bjørn og skyder den! Han markerer stedet, så han senere kan finde det, går 5 km stik nord og så er han tilbage i sin lejr. Og så kommer spørgsmålet: Hvilken farve havde bjørnen?