Formelsamling og noter. Elektromagnetisme

Formelsamling og noter. Elektromagnetisme 3. august 2 Dennis Hansen Generelt E = ρ ɛ E = B t B = B = µ J + µ ɛ E t I stof E da = Q enc ɛ D = ɛ E + P D = ɛe E dl = Φ B H = B M H = µ µ B B da = D = ρ free D da = Q free enc B dl = µ I enc + µ ɛ ΦE H = J f + D t H dl = I free enc + Φ D E = ρ 4πɛ L ı 2 îdτ V = ρ 4πɛ ı dτ P = ρbound P n = σ bound B = µ I dl î 4π ı 2 A = µ J 4π ı dτ M = J bound M n =K bound W = ɛ 2 W = 2µ all space all space E 2 dτ F el = QE U = p E N = p E B 2 dτ F mag = Qv B U = m B N = m B E = f s dl E = dφ dt J = σe V = IR

INDHOLD Indhold Forord og indledning 4 2 Vektoranalyse 5 2. Vektoranalysens hovedsætninger..................... 5 2.2 Vektorfelter................................ 5 2.3 færiske og cylindriske koordinater................... 6 2.4 Dierentialer i forskellige koordinater.................. 9 2.5 Gradient, divergens og curl i forskellige koordinater.......... 3 Maxwells ligninger mv. 2 3. tatiske felter............................... 2 3.2 Dynamiske felter............................. 2 4 Elektrostatik 3 4. Det elektriske felt............................. 3 4.2 Gauÿ lov i elektrostatik......................... 5 4.3 Elektrisk potentiale............................ 6 4.4 Arbejde og energi i elektrostatik..................... 7 4.5 Ledere................................... 8 4.6 Elektrostatisk tryk............................ 9 4.7 Kapacitans................................ 2 4.8 Grænseovergange i elektrostatik..................... 2 4.9 Multipolekspansion............................ 2 5 Laplaces og Poissons ligning 25 5. Kort analyse, egenskaber ved løsninger................. 25 5.2 Entydighedssætninger.......................... 25 5.3 Billedmetoden............................... 26 6 Elektrostatiske felter i materialer 28 6. Dielektrika og inducerede dipoler.................... 28 6.2 Polarisation og bundne ladninger.................... 29 6.3 Det elektriske forskydningsfelt...................... 3 6.4 Lineære dielektrika............................ 32 6.5 Energi i lineære dielektrika........................ 32 6.6 Kræfter på lineære dielektrika...................... 32 6.7 Grænseovergange i dielektrika...................... 33 7 Magnetostatik 34 7. Højrehåndsreglen............................. 34 7.2 trømme og strømtætheder....................... 34 7.3 Magnetfeltet og Biot-avarts lov.................... 35 7.4 Ampères lov i magnetostatik....................... 37 7.5 Magnetisk vektorpotential........................ 4 7.6 Grænseovergange i magnetostatik.................... 4 2 af 69

INDHOLD 7.7 Multipolekspansion............................ 42 7.8 Den magnetiske kraft og arbejde, energi................ 44 8 Magnetiske felter i materialer 46 8. Kraft, kraftmoment på dipoler og energien af en dipol........ 46 8.2 Forskellige typer magnetisme...................... 47 8.3 Magnetisering og bundne strømme................... 48 8.4 H-feltet.................................. 49 8.5 Lineære materialer............................ 5 8.6 Grænseovergange i magnetiske materialer............... 5 9 Elektrodynamik 52 9. Ohms lov................................. 52 9.2 Elektromotorisk kraft........................... 54 9.3 Elektromagnetisk induktion....................... 55 9.4 Induktans................................. 58 9.5 Ampères lov med Maxwells korrektioner................ 6 Indeks 62 A Appendix 64 A. Elektriske felter og potential for standardkongurationer....... 64 A.2 Magnetiske felter for standardkongurationer............. 65 A.3 Enheder på forskellige størrelser..................... 66 A.4 pecielle integraler............................ 67 A.5 Krydsprodukter i kartesiske, cylindriske, og sfæriske koordinater... 67 A.6 Geometriske formler........................... 67 A.7 Parameteriseringer af kurver og ader................. 68 3 af 69

FORORD OG INDLEDNING Forord og indledning Denne formelsamling slash notesamling er gældende til kurset Elektromagnetisme på Københavns Universitet. I modsætning til andre notesamlinger man kan nde på nettet, forsøger denne ikke at være en afskrift af D.J. Griths Electrodynamics. Jeg har forsøgt at samle de vigtigste formler og ligninger og knyttet disse til en kort beskrivelse af anvendelser/faldgrupper, samt små opskrifter til hvordan man udregner visse ting. Jeg har også lavet en række eksempler som viser kort hvordan man kan anvende teorien, og har efterstræbt at lave ca. et eksempel til hvert emne. En del af eksemplerne er besvarelser på opgaver i Griths (i så fald, står det der), men der er også en række eksempler, som jeg selv har konstrueret. Fx har jeg konstrueret et eksempel, hvor man bruger Biot-avarts lov direkte til at nde magnetfeltet midt i en ellipse, der mest er en øvelse i Taylorrækker og kunne parameterisere sine kurver rigtigt (se eksempel 2). I alt er der gennemregnet 38 eksempler, som giver et rimelig bredt indblik i hvordan de este opgaver i elektromagnetisme skal regnes. I marginen har jeg tilføjet stikord, så det let at nde præcis det man søger uden at skulle læse hele brødteksten i gennem og der er en index til sidst i dokumentet. I appendix er der to tabeller som mange nok vil nde brugbare - nemlig en med det elektriske felt og potential for en masse standardlegemer, og en med det magnetiske felt for en masse standardlegemer. Et afsnit med enheder på de este størrelser brugt i elektromagnetisme er også angivet, da der til eksamen plejer at være et par spørgsmål med enheder på forskellige størrelser. Derudover er der i appendix også en række geometriske formler, som man kunne få brug for, og (mere usandsynligt) en tabel over parameteriseringer af forskellige kurver og ader for legemer. Forslag til forbedringer og rettelser modtages gerne på mail xnw99@alumni.ku.dk - dette er foreløbig version. (lidt stavefejl og typos rettet, samt tilføjet en ligning i afsnit 4.8, tilføjet afsnittet med enheder i appendix og gjort marginnoterne bredere siden version.) og der tages forbehold for typos og det bør efterstræbes at læse linjerne kritisk - jeg kan have fucked op! Dennis Hansen 4 af 69

2 VEKTORANALYE 2 Vektoranalyse Et legeme betegnes L, en ade betegnes, og en kurve betegnes γ. Randen af et legeme L er specielt en lukket ade, og randen af en ade er specielt en lukket kurve. Notation 2. Vektoranalysens hovedsætninger I vektoranalysen er der 3 vigtige sætninger, der kan omforme et type integrale til et andet. Disse har udseendet: 2.2 Vektorfelter Gradientsætningen Divergenssætningen tokes sætning 2.2. Irrotationelle felter b a γ L f dl = f(b) f(a) () V dτ = ( V) da = L V da (2) V dl (3) For et irrotationelt vektorfelt V gældes der at der ndes en stamfunktion u : R 3 R således at V = u. Følgende re punkter er ensbetydende: ) Der eksisterer en skalarfunktion u så V = u. 2) V = over alt. 3) 4) b a γ γ V dl = u(b) u(a) for enhver kurve γ. V dl = for enhver kurve γ. Enhver stamfunktion af u + c, hvor c er en konstant skalar, giver den samme gradient/vektorfelt, da gradienten af en konstant er lig nul. 2.2.2 olenoidale felter For et solenoidalt vektorfelt V gældes der at der ndes en stamfunktion U : R 3 R 3 således at V = U. Følgende re punkter er ensbetydende: ) Der eksisterer en vektorfunktion U så V = U. 2) V = over alt. 3) 4) V da uafhængig af aden; afhænger kun af adens rand (kommer fra divergenssætningen). V da = for enhver lukket ade (da randen jf. det forrige skrumper sammen til ét punkt). 5 af 69

2 VEKTORANALYE Enhver stamfunktion af typen U + u giver anledning til det samme vektorfelt, da ( u) = for enhver stamfunktion til et irrotationelt vektorfelt V. u kan derfor vælges vilkårligt, hvilket matematisk kaldes at gaugexe sit vektorfelt. 2.3 færiske og cylindriske koordinater Meget symmetriske problemer bliver i vektoranalysen ofte meget nemmere i sfæriske eller cylindriske koordinater, men det har sin pris. kifter man til et af de to koordinatsystemer fra det kartesiske, står man nu med den situation, at ens basisvektorer ændrer sig [i det kartesiske koordinatsystem], når punktet de beskriver sig ændres. Beskrives fx vektorerne v = x og v 2 = x i sfæriske koordinater, vil både r, θ og φ ændres. 2.3. færiske koordinater færiske koordinater beskriver situationer hvor der er sfærisk symmetri meget simpelt. Arbejdes der med kugler, cirkler mv. i problemet, opnår man en fordel ved at skifte til sfæriske koordinater. For at kunne beskrive ethvert punkt i koordinatsystemet, skal (r, θ, φ) antage følgende værdier: tørrelse Interval r [, ) θ [, π] φ [, 2π] kift fra kartesiske koordinater til sfæriske (x, y, z) (r, θ, φ): (x, y, z) (r, θ, φ) 6 af 69

2 VEKTORANALYE x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ kift fra sfæriske til kartesiske koordinater (r, θ, φ) (x, y, z): (r, θ, φ) (x, y, z) r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arccos (z/r) φ = arctan (y/x) Enhedsvektorernes retning i det kartesiske koordinatsystem, er funktioner af θ, φ på følgende vis: r, θ, φ r = sin θ cos φx + sin θ sin φŷ + cos θẑ θ = cos θ cos φx + cos θ sin φŷ sin θẑ φ = sin φx + cos φŷ På samme måde kan de kartesiske enhedsvektorer udtrykkes i termer af de sfæriske enhedsvektorer på følgende vis: x, ŷ, ẑ x = sin θ cos φr + cos θ cos φθ sin φ φ ŷ = sin θ sin φr + cos θ sin φθ + cos θ φ ẑ = cos θr sin θθ 7 af 69

2 VEKTORANALYE 2.3.2 Cylindriske koordinater Cylindriske koordinater beskriver situationer hvor der er cylindrisk symmetri meget simpelt, altså ved fx problemer cylindere. For at kunne beskrive ethvert punkt i koordinatsystemet, skal (s, φ, z) antage følgende værdier: tørrelse Interval s [, ) φ [, 2π] z (, ) kift fra kartesiske koordinater til cylindriske (x, y, z) (s, φ, z): (x, y, z) (s, φ, z) x = s cos φ y = s sin φ z = z kift fra cylindriske til kartesiske koordinater (s, φ, z) (x, y, z): (s, φ, z) (x, y, z) r = x 2 + y 2 θ = arctan (y/x) z = z Enhedsvektorernes retning i det kartesiske koordinatsystem, er funktioner af θ, φ på følgende vis: ŝ, φ, ẑ 8 af 69

2 VEKTORANALYE ŝ = cos φx + sin φŷ φ = sin φx + cos φŷ ẑ = ẑ På samme måde kan de kartesiske enhedsvektorer udtrykkes i termer af de sfæriske enhedsvektorer på følgende vis: x, ŷ, ẑ x = cos φŝ sin φ φ ŷ = sin φŝ + cos φ φ ẑ = ẑ 2.4 Dierentialer i forskellige koordinater 2.4. Linjeelementer Linjeelement Kartesisk færisk Cylindrisk dl = dxx + dyŷ + dzẑ dl = drr + rdθθ + r sin θdφ φ dl = dsŝ + sdφ φ + dzẑ 2.4.2 Fladeelementer Hvis man står i en speciel situation, hvor symmetrien tillader det, kan man droppe en af de tre dimensioner, når man skal lave et adeintegrale. Afhængigt af hvilket plan det foregår i; altså hvilken del af dierentialet, der er konstant, bliver adeelementerne som følger: Kartesisk da xy = dxdy da xz = dxdz da yz = dydz færisk da rθ = rdrdθ da rφ = r sin θdrdφ da θφ = r 2 sin θdθdφ Cylindrisk da sφ = sdsdφ da sz = dsdz da φz = sdφdz 2.4.3 Volumeelementer Fladeelement Volumenelement Kartesisk færisk Cylindrisk dτ = dxdydz dτ = r 2 sin θdrdθdφ dτ = sdsdφdz 2.4.4 Fladenormal Hvis aden er givet ved en parameterisering gennem variablene u og v så (u, v) = r (u, v), så ndes adenormalen n ved: Fladenormal n = r u r v r u r v 9 af 69

2 VEKTORANALYE 2.5 Gradient, divergens og curl i forskellige koordinater 2.5. Gradient, f Kartesisk færisk Cylindrisk f = f f x + x y ŷ + f z ẑ h = h r r + h r θ θ + g = g s ŝ + s r sin θ g φ φ + g z ẑ h φ φ 2.5.2 Divergens, Kartesisk, V = v xx + v y ŷ + v z ẑ V = v x x + v y y + v z z ( r færisk, V = v rr + v θ θ + vφ φ 2 ) v r V = r 2 + r r sin θ Cylindrisk, V = v s ŝ + v φ φ + vz ẑ 2.5.3 Curl, V = s (sv s ) s + s v φ φ + v z z (sin θv θ ) θ + v φ r sin θ φ Kartesisk, V = v xx + v y ŷ + v z ẑ x ŷ ẑ V = x y z v x v y v z færisk, V = v rr + v θ θ + vφ φ r rθ r sin θ φ V = r 2 sin θ r θ φ v r rv θ r sin θv φ Cylindrisk, V = v s ŝ + v φ φ + vz ẑ V = ŝ s φ ẑ s s φ z v s sv φ v z 2.5.4 Laplaceoperatoren (skalar), 2 f Kartesisk færisk Cylindrisk 2 f = 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 2 h = ( r 2 r 2 h ) + r r 2 g = s s ( s g s r 2 sin θ ) + 2 g s 2 φ 2 + 2 g z 2 ( sin θ h ) + θ θ 2 h r 2 sin θ φ 2 af 69

2 VEKTORANALYE 2.5.5 Laplaceoperatoren (vektor), 2 V = ( V) ( V) Kartesisk 2 V = 2 v xx + 2 v y ŷ + 2 v z ẑ ( færisk 2 V = 2 v r 2v ( r r 2 2 (vθ sin θ) r 2 + v )) φ r sin θ θ φ ( + 2 v θ + 2 ( v r r 2 θ r 2 sin 2 v θ + 2 cos θ v )) φ θ θ φ ( ( + 2 2 v r v φ + r 2 sin θ θ + r 2 sin 2 2 cos θ v )) θ θ φ v φ φ ( Cylindrisk 2 V = 2 v s v s s 2 2 ) ( v φ s 2 ŝ + 2 v φ v φ φ s 2 2 ) v s φ s 2 + ( 2 ) v z ẑ φ af 69

3 MAXWELL LIGNINGER MV. 3 Maxwells ligninger mv. Her er de vigtigste relationer i elektromagnetismen opridset i form af Maxwells ligninger på integralform og dierentialform for både statiske felter og dynamiske felter; L for stof og generelt. Nogle af formlerne står ikke direkte i bogen fordi at de er ret uanvendelige (fx H da = L M da), men for god ordens skyld har jeg medtaget dem. Der står også noteret hvad det er for nogle ader eller kurver der skal integreres over og om de er lukkede osv. Hver af de i alt re Maxwell ligninger står i hver række nedenfor, i de forskellige udgaver de nu kommer i. 3. tatiske felter Generelt E = ρ ɛ E = B = B = µ J I stof E da = Q enc D = ρ free ɛ E dl = D = P γ B da = H = M B dl = µ I enc H = J free γ D da = Q free enc D dl = P dl γ H da = M da H dl = I free enc 3.2 Dynamiske felter Generelt E = ρ ɛ E = B t B = B = µ J + µ ɛ E t E da = Q enc ɛ E dl = B da t B da = B dl = µ I enc + µ ɛ t E da I stof D = ρ free H = J free + D t D da = Q free enc H dl = I free enc + t D da Bemærk i stof gælder der naturligvis også at E = B t tilhørende integralformer. og B = og de 2 af 69

4 ELEKTROTATIK 4 Elektrostatik 4. Det elektriske felt Figur : eparationsvektoren ı's rolle. Coulomb's lov siger at for en kildeladning af størrelsen q er kraften på en testpartikel Q givet ved F = QE = 4πɛ Qq ı 2 î, hvor vektorfeltet E, [E] = N /C = V /m, kaldes det elektriske felt. Vektoren ı er afstandsvektoren mellem q og Q. Det er underforstået på denne skrivemåde, at man vælger et smart koordinatsystem således at stedvektoren, der peger på en kildeladning r og stedvektoren der peger på punktet hvori man vil beregne det elektriske felt r har givet sammenhængen: r = ı + r ı = r r = î = r r r r uperpositionsprincippet giver at det elektriske felt for to eller ere partikler er summen af de felter de ville have lavet, såfremt den anden partikel ikke var der. For n partikler gælder der således: Coulomb's lov Elektrisk felt eparationsvektor uperposition E = n q i 4πɛ i= ı 2 î i i En kontinuert ladningsfordeling opstår når man i forrige formel lader n gå mod uendelig og lader afstanden mellem ladningerne dq gå mod nul. For en kontinuert ladningsfordeling med volumenladningstætheden ρ, overadeladningstætheden σ eller linjeladningstætheden λ (der godt kan afhænge af de mærkede koordinater), er det elektriske felt givet ved: E = 4πɛ L ρ ı 2 îdτ E = 4πɛ σ ı 2 îda E = 4πɛ γ λ ı 2 îdl Her er det underforstået at man bruge de rigtige integraler til de rigtige kongurationer (det giver ikke mening at integrere noget der har en overadetæthed som et linjeintegrale), og at man integrerer over de mærkede koordinater, hvilket blot be- Kontinuert ladningsfordeling 3 af 69

4 ELEKTROTATIK tyder at man skal huske at integrere over ladningsfordelingen og ikke punktet man vil nde det elektriske felt i (koordinaterne til dette punkt fungerer som konstanter). Det gør man dog stortset altid automatisk uden at lægge for mange tanker i det, så det er også underforstået. Eksempel (Det elektriske felt af en ad disk med radius R og overadeladningstæthed σ (problem 2.6)). Vi vil nde E-feltet i et punkt lige over centrum af disken, som vi placerer i origo (og derfor har r = og ı = r) og placerer disken i xyplanen. Vi vil altså beregne E-feltet i punktet z = d over origo, eller (,, d). Vi kan kun have et felt i z-retningen, da vi ser det samme uanset hvilken vinkel vi drejer situationen med i xy-planen, er det det samme. Vi skal derfor løse integralet E z = σ 4πɛ cos θda, som nemmest lader sig gøre i cylindriske koordinater, da det ı 2 jo er en disk. Vi har da E z = 4πɛ R 2π σ ı R s cos θdφds = σ s d σd ds = 2 2ɛ s 2 + d 2 ı 2ɛ = σd [ ] 2ɛ d 2 + R = σ 2 d 2 + 2 2ɛ R [ s (s 2 + d 2 ) ] d R 2 + d 2 3/2 ds 4.. tørrelsen af den totale ladning fra ladningsfordelinger Den totale ladning af en ladningsfordeling kan udregnes som et af de relevante integraler Q = L ρdτ Q = σda Q = k Eksempel 2 (Total ladning af en kugle med radius R og ρ = ). Vi +(x 2 +y 2 +z 2 )/c 2 udregner det relevante volumenintegrale Q = L ρdτ i sfæriske koordinater for at nde den totale ladning af kuglen: γ λdl Total ladning Q = L R 2π π k + (x 2 + y 2 + z 2 ) /c 2 dτ k = + r 2 /c 2 r2 sin θdθdφdr = 4πk [ ( r )] ( ( )) R R = 4πk c 2 r c 3 arctan = 4πk c 2 R c 3 arctan c c R r 2 + r 2 /c 2 dr 4 af 69

4 ELEKTROTATIK 4.2 Gauÿ lov i elektrostatik Figur 2: Gaussiske ader. Gauss' lov siger at det elektriske ux gennem (enhver) lukket ade er et mål for ladningen der er indkapslet af aden: E da = Q enc ɛ Gauss' lov er altid gyldig (forstået på den måde, at uanset hvilken form har, er den altid gyldig, bare den er en lukket ade), men kun brugbar til faktiske beregninger af E i meget symmetriske situationer - sfærisk symmetri, plansymmetri, cylindersymmetri. Når Gauss' lov anvendes, skal der symmetriargumenter til for at bestemme naturen af det elektriske felt - altså størrelse og retning. Dette er argumenter som ofte har karakter af et fysisk modstidsbevis, hvor man overvejer konsekvensen af forskellige situationer. Hvis ladningsfordelingen er isotrop (ens i alle retninger), må feltet være konstant (eksempel: en uendelig stor plade), og hvis ladningsfordelingen kun afhænger af én retning (fx. den radiale retning), kan E kun pege i denne retning, da man vil være i samme situation hvis man ændrede retning ortogonalt på denne (eksempel: en sfærisk ladningsfordeling hvor der gælder ρ(r)). Man vælger i disse tre situationer sin gaussade som følger: færisk symmetri: Gauss' lov er kun nyttig, såfremt at ladningsfordelingen kun er en funktion af radius r. Vælg en kugle med radius r som gaussisk ade. Der gælder da at E da = E da = E(r) 4πr2 = Qenc(r) ɛ. Cylindrisk symmetri: Gauss' lov er kun nyttig, såfremt at ladningsfordelingen kun er en funktion af radius s. Vælg en cylinder med længde L som gaussisk ade. Der gælder da at Qenc(s) E da = E da = E(s) 2πsL = ɛ, da endernes biddrag er forsvindende, hvis cylinderen er meget lang (som det skal argumenteres for før man bruger Gauss' lov). Gauÿ' lov ymmetriargumenter færisk symmetri Cylindrisk symmetri 5 af 69

4 ELEKTROTATIK Plansymmetri: Gauss' lov er kun nyttig, såfremt at overadeladningen er konstant. Vælg en kasse med areal for oven/neden A og højde ε som gaussisk ade. Der gælder da at Qenc E da = E da = E 2A = ɛ, da sidernes biddrag er forsvindende, hvis planen er meget stor. Der gælder kun som konsekvens af Gauss' lov at Q enc = E =, såfremt at symmetrien er tilstrækkelig høj - tænk fx på to kugler hver med ladning Q hhv. Q, der er placeret så de tangerer hinanden; vælges den gaussiske ade til at være det 8-tal der netop indekapsler dem begge, har vi Q enc =, men det er klart at E alle steder. Man kan fx. konkludere ud fra Gauss lov at det elektriske felt i en leder er nulfeltet, da der er lige mange positive og negative ladninger, og vælges der da en gaussisk ade der netóp indeslutter lederen, så har vi at Q enc = og dermed at E =. Eksempel 3 (Det elektriske felt af en kugle med radius R og ρ = k +(x 2 +y 2 +z 2 )/c 2 ). k ρ er i sfæriske koordinater givet ved ρ (r, θ, φ) =, og afhænger således ikke af +r 2 /c 2 θ og φ og ladningsfordelingen er derfor isotrop, og E-feltet kan da kun have en radial retning pga. dette symmetri argument. Vi har jf. forrige eksempel 4πk ( c 2 R c 3 arctan ( )) R c Q(r) = 4πk ( c 2 r c 3 arctan ( )) r og vi får da ved at anvende Gauss' lov at c, for r R, for r < R Plansymmetri Q enc = E da = E da = E 4πr 2 = Q enc(r) E = ɛ k(c 2 R c 3 arctan( R c )) r 2 ɛ r, for r R k(c 2 r c 3 arctan( R c )) r 2 ɛ r, for r < R 4.3 Elektrisk potentiale Da der for elektrostatiske felter gælder at Curl og divergens E = ρ ɛ E =, kan vi jf. afsnit 2.2. nde en funktion W : R 3 R, hvorom der gælder E = W. Vi vælger at denere det elektriske potential (spændingen) er givet ved kurveintegralet langs en kurve γ af det elektriske felt på følgende måde: V (r) = r O E dl, hvor r er et vilkårligt punkt og O ligeledes er et vilkårligt punkt, der dog kaldes referencepunktet. Det eleketriske potentiale er en skalarfunktion (V : R 3 R) og der gælder (da V er en stamfunktion til det statiske elektriske felt), netop at Elektrisk potential Referencepunkt E = ρ ɛ giver os også en nem måde at beregne volumensladningstætheden på. 6 af 69

4 ELEKTROTATIK referencepunktet er ligegyldigt, og at det elektriske felt fås (igen) ved at tage minus gradienten E = V Man skal huske at gradienten skal udregnes på en lidt anden måde når det er kurvede koordinater end hvis det bare er kartesiske. Der gælder også at potentialforskellen mellem to punkter er uafhængig af referencepunktet, og vi har da: V (r) = r O E dl Det elektriske potentiale er altid kontinuert, da det ikke giver mening at tale om det elektriske felt, hvis man end ikke kan tage gradienten af V (som man ikke kan, hvis den ikke er kontinuert). åfremt at ladningsfordelingen ikke strækker sig til i nogen af de tre retninger, så kan man beregne det elektriske potential direkte når der sættes O = (da /ı for ı ), hvilket er noget nemmere end at udregne det elektriske felt for det meste, da der kun er én komponent og ét (helt eller delvist ubestemt) integrale der skal udregnes. Altid kontinuert V (r) = ρ 4πɛ L ı dτ V (r) = σ 4πɛ ı da V (r) = λ 4πɛ γ ı dl Eksempel 4 (Udregning af volumenladningstæthed for et elektrisk felt i sfæriske koordinater givet ved E = ). Vi får for r R at E = ( c krr, r < R cr/r 2 r, r R 2 r r 2) = r 2 ( r 2 r c) = ρ (r R) =. For r < R har vi E = ( r 2 r kr r2) = k ( r 2 r r3) = 3k ρ (r < R) = 3ɛ k. Læg mærke til at det gælder helt generelt at udenfor et legeme er ρ =, da E r 2. Eksempel 5 (Potentialet inde i kuglen med det elektriske felt givet ved krr, r < R E = ). Vi sætter referencepunktet til uendelig, vælger parameteriseringen af vores kurve, så den er parallel med radiusvektoren, og får såle- cr/r 2, r R des V (r) = r O E dr = R c r dr r r 2 R krr dr = R c dr r [ r 2 R krdr = c ] R r [ 2 kr2] r R = c R + 2 kr2 2 kr2. Ville vi også nde potentialet udenfor kuglen, skulle vi også lave integralet r c r 2 r dr. 4.4 Arbejde og energi i elektrostatik For en samling partikler af n partikler, er det arbejde der skal til at samle ladningskongurationen givet ved n partikler W = 4πɛ n i= n j= j>i q i q j ı ij = 8πɛ n i= n j= j i q i q j ı ij = 2 n i= q i n j= j i 4πɛ q j ı ij = 2 n q i V (r i ) i= 7 af 69

4 ELEKTROTATIK, hvor V (r i ) er potentialet af alle andre ladninger ened q i selv. Der i praksis nemmest udregnes direkte som (de første 4 af de i alt n ladninger medregnet): W = ( q q 2 + q q 3 + q q 4 + q 2q 3 + q 2q 4 + q ) 3q 4 +... 4πɛ ı 2 ı 3 ı 4 ı 23 ı 24 ı 34 Med i dette arbejde medregnes ikke arbejdet der skal til at lave partiklerne selv, da vi her ville dividere med nul i formlerne, hvis vi forsøgte at medregne dette. Energien af en samling punktladninger kan derfor godt være negativ (svarende til at Hvad der tæller I en kontinuert ladningsfordeling, kan energien der skal til at skabe ladningerne selv dog godt medregnes sammen med energien til at samle ladningskongurationen, da dq er innitesimal, og afstanden til den næste dq ligeledes er innitesimal. Energien af en kontinuert ladningsfordeling er altid større end eller lig nul. Energien kan udregnes ved man får energi ud af at samle ladningskongurationen). Kontinuert ladningsfordeling W = ρv dτ 2 L = ɛ E 2 dτ + 2 L = ɛ E 2 dτ 2 all space L V E da Eksempel 6 (Udregning af energien i en kugleskal med overadeladningstætheden, r < R σ). Denne kugleskal producerer det elektriske felt E =. Vi kan da σ R 2 ɛ r, r R r 2 nde energien af ladningskongurationen ved integralet W = ɛ 2 E 2 dτ. Vi får i sfæriske koordinater all space ( W = ɛ R 2 = ɛ ( 2 R 4.5 Ledere 2π π 2π π σ 2 ɛ 2 2 r 2 sin θdθdφdr + R 4 sin θdθdφdr r2 2π π R ) = 2πσ2 R 4 ( ɛ R ( σ R 2 ɛ r 2 r 2 dr ) 2 r 2 sin θdθdφdr) ) = 2πσ2 R 4 En (perfekt) leder har den totale ladning Q leder =, men indeholder q positive ladninger og q negative frie ladninger, der kan bevæge sig rundt som de nu engang vil (og det vil de på en bestemt måde jf. Laplaces/Poissons ligning og dens entydighedssætninger). ɛ [ ] = 2πσ2 R 3 r R ɛ 4.5. Egenskaber. E = inde i lederen. Ved tilstedeværelsen af et ydre elektrisk felt, vil de frie ladninger inde i lederen blive tiltrukket hhv. frastødet af E-feltet, og disse inducerede ladninger skaber netop et felt E induceret = E; modsat rettet og samme 8 af 69

4 ELEKTROTATIK størrelse som det eksterne felt, og feltet i lederen er derfor jf. superpositionsprincippet E leder = E + E induceret =. Vælges der en gaussisk ade der netóp indeslutter lederen, så har vi at Q enc = og dermed at E =. 2. ρ = inde i lederen. Følger fra Gauss lov, da E = = ρ/ɛ ρ =. 3. Enhver ladning bender sig på lederens overade. Dette er det eneste sted det kan være jf. punkt 2. 4. En leder er et ækvipotentiale. Følger af at V (b) V (a) = b a E leder dl = b a dl = V (b) = V (a). 5. Det elektriske felt står vinkelret på lederoveraden (E induceret n). Ellers ville ladninger ytte sig på overaden indtil at E induceret n =, og så er E induceret n alligevel det eneste felt. Eksempel 7 (Inducerede ladninger). Hvis en ladningsfordeling med ladningen q er fuldstændig indesluttet af en leder, følger det ved at vælge sin lukkede gaussiske ade som en der går inde i lederen, at da leder E leder da = leder da = Q enc/ɛ = (q + q induceret ) /ɛ = q induceret = q. Dermed vil den del af overaden der vender udad have ladningen q, da Q leder =. Eksempel 8 (To kugleskaller med radius r A r B sammenkoblet med en leder). Da en elektrisk leder er et ækvipotentiale, er spændingen på oversiden af kugleskallerne den samme (hvis den ikke var det, ville ladningerne ytte sig rundt indtil de alligevel var et ækvipotentiale), eller man kan argumentere at med lederen denerer man spændingen på kugleoveraden, og dermed er ladningen og radiussen bundet. pændingen på kugleskallerne er givet ved V = q A 4πɛ ra = q B 4πɛ rb. Deraf følger det også at q A = r A rb q B, der altså ikke kan vælges frit. Da overadeladningstæthederne er σ A = = σ B, altså ikke ens. q A 4πr 2 A q B 4πr 2 B Eksempel 9 (Det elektriske felt inde i et hulrum af en leder, Faraday bur). Hvis vi har en leder af arbitrær udformning, så vil vi nu vise at det elektriske felt inde i et hulrum af lederen (et sted hvor der ingen ladninger er), er nul. Der gælder at γ E dl =, hvor γ er en kurve der går gennem hulrummet det stykke den nu kan, og resten af kurven gennem lederens indre (hvor E = ). Vi har da γ E dl = E hulrum dl + E indre dl = E dl + dl = hulrum E dl + = hulrum indre hulrum E hulrum =. Dette er princippet bag et Faraday bur; det elektriske felt kan afskærmes fuldstændigt ved at anbringe en leder (der ikke behøves være massiv) uden om det man vil beskytte. indre 4.6 Elektrostatisk tryk Trykket (kraft pr. arealenhed) som en overadeladningsfordeling af størrelsen σ udsættes for af et (andet) elektrisk felt er givet ved (dette elektrisk felt er diskontinuert når σ krydses) Tryk på overadeladning f = F A = Q A E = σe average = 2 σ (E above + E below ) 9 af 69

4 ELEKTROTATIK, da gennemsnittet af de to netop fjerner biddraget fra σ selv, da denne ikke kan udøve en kraft på sig selv. Et ladet legeme prøver derfor at splitte sig selv ad (da den består af ensladede partikler), der frastøder hinanden. Har vi at gøre med en leder, ved vi at feltet lige udenfor overaden er E = σ ɛ n (og nul inden i), og gennemsnittet er derfor E average = σ 2ɛ n. Det elektrostatiske tryk er derfor Tryk på leder f = σ2 2ɛ n = P = 2 ɛ E 2 4.7 Kapacitans En kapacitor består af to ledere i en vilkårlig konguration, men med ladningen Q på den ene og Q på den anden. Da hver leder er en ækvipotentiale, er spændingsforskellen imellem dem konstant og lig Denition V = V V = E dl Vi ved at V Q, og vi kalder denne proportionalitetskonstant C for kapacitansen C = Q V. Man skal vælge punkterne og sådan så V >. Kapacitansen er således et udtryk for hvor meget ladning pr. spændingsenhed, der kan oplagres i ladningskongurationen. Energien af de ladninger der er i en kapacitor er givet ved Kapacitorenergi W = Q = 2 CV 2 V dq = Q q Q2 dq = C 2C Eksempel (Kapacitansen af to cylinderrør placeret koncentrisk med radii a < b (problem 2.39)). Lad os antage at begge cylinderrør har længde l og lad os kigge på problemet i cylindriske koordinater. Jf. Gauss lov er der intet biddrag fra den yderste cylinder i intervallet a < s < b, hvor feltet (når l a) jf. appendix A da er givet ved E = λ 2πɛ sŝ. Lad os placere den negative ladning på det yderste cylinderrør, potentialforskellen er da V = E dl = Kapacitansen pr. længdeenhed er da λ b 2πɛ s ds = a C l = Q lv = λl lv = 2πɛ ln ( ) b λ 2πɛ s ds = a λ 2πɛ ln ( ) b a 4.8 Grænseovergange i elektrostatik E-feltet er diskontinuert, når en overadeladningsfordeling krydses. Tager vi et lille udsnitsareal A af denne overadeladningsfordeling, der har ladningen σ (A skal være så lille at σ her kan betragtes konstnat), har vi da jf. Gauss lov vi vælger en kasse Diskontinuert E 2 af 69

4 ELEKTROTATIK med højden 2ε og areal A (for oven og neden) når ε at uanset σ's geometri, så er E-feltet er diskontinuert med en størrelse i retningen parallelt og ortogonalt på overaden givet ved E above E below = σ ɛ E above E below =, hvilket også kan skrives i form af en enhedsadenormal n på σ. E above E below = σ ɛ n Vi får også i grænsen ε for potentialet at Potentialet Og at ε V = E dl = V above = V below ε E above E below = σ ɛ n V above V below = σ ɛ n V above n V below n = σ ɛ V n = V n Overadeladning Der er en nem måde at nde overadeladningen af en leder eller en ade, som man kender potentialet på begge sider af, da vi så blot skriver for ade/leder σ = ɛ V n = ɛ E ±σ Bemærk at der vil være overadeladningstætheden σ på den ene overade af lederen og σ på den anden overade af lederen jf. lederes egenskaber. Det kan også tit være en fordel at huske at E-feltet står vinkelret på lederens overade lige udenfor lederen, så der i dette tilfælde gælder at E = E. Formlen holder derudover også for både inducerede overadeladninger og ladninger, der er placeret der af os. Eksempel (Grænseovergang i en kugleskal med overadeladning σ (problem 2.3c)). Vi vil vise at formlen V ude n V inde n er V inde = konstant, så V inde n =. Vi har V ude = R2 σ ɛ r, så V ude n udeforan kuglen har vi da r = R, og vi har derfor V ude n og det er altså opfyldt. = σ ɛ holder i dette tilfælde. Inde i kuglen = V ude r = R2 σ ɛ. Lige r 2 V inde n = R2 σ ɛ = σ R 2 ɛ 4.9 Multipolekspansion Multipolekspansion er en metode til at approksimere det elektriske potentiale på lange afstande ved at skrive potentialet som en Taylorrække. elvom man ikke udfører en fuldstændig Taylorudvikling, så er det klart at desto ere led der tages med, desto bedre bliver approksimationen naturligvis, men de vigtigste led er monopolleddet og dipolleddet, da det n'te led går som /r n+ og hurtigt bliver småt.: Ideen bag Mono- og dipolled 2 af 69

4 ELEKTROTATIK V (r) = 4πɛ (r ) n Pn r n+ (cos θ )ρ ( r ) dτ = ρ ( r ) dτ + 4πɛ r 4πɛ } {{ } r 2 r cos θ ρ ( r ) dτ +... } {{ } Monopolleddet Dipolleddet n=, hvor P n (cos θ ) er det n'te Legendre polynomium i cos θ. Monopolleddet do- Dominans minerer normalvis potentialet 2, med mindre den samlede ladning er Q = - da dominerer dipolleddet. 4.9. Dipolleddet Vi kan opskrive dipolleddet V dip (r) = 4πɛ r 2 r cos θ ρ (r ) dτ på den ækvivalente form Dipolleddet, hvor vektoren V dip (r) = = p = 4πɛ r 2 r r p 4πɛ r 2 r ρ ( r ) dτ r ρ ( r ) dτ Dipolmoment er dipolmomentet. Læg mærke til at der integreres over de mærkede koordinater. Dette betyder at p er uafhængig af i hvilket punkt V dip (r) udregnes, og p er således en geometrisk størrelse, der relaterer sig til ladningskongurationen. Eksempel 2 (Dipolmomentet for en kugle med radius R, ρ = f(r), placeret med centrum i origo). Vi starter med at udregne dipolmomentet p = r ρ (r ) dτ i x- retningen. Vi har med centrum i origo r = (x, y, z) og p x er da integralet p x = = xf(r)dτ = R rf(r) sin θ cos φdτ = 2π π r 3 f(r)dr cos φdφ sin 2 θdθ = R 2π π rf(r) sin θ cos φr 2 sin θdθdφdr ( R ) ( π ) r 3 f(r)dr () = 2 Regner man dipolmomentet ud i de andre retninger, ser man at også disse er nul (eller man kan argumentere ud fra symmetrien), og vi kan dermed konkludere at p =. 2 Monopolleddet giver det eksakte potentiale for en elektrisk monopol; en punktladning. 22 af 69

4 ELEKTROTATIK 4.9.2 Dipolmomentet Figur 3: Forskydning koordinatsystemets origo med en vektor a og dettes indydelse på dipolmomentet. Dipolmomentet kan fortolkes som en vektor, der peger fra den del af ladningskongurationen, hvor der er en overvægt af negative ladninger til den del af ladningskon- gurationen, hvor der er en overvægt at positive ladninger i forhold til origo af ens koordinatsystem. For punktladninger gælder det at dipolmomentet er givet ved p = n q i r i Og generelt adlyder dipolmomentet superpositionsprincippet. i= Flytter vi origo med en vektor a, så ændres dipolmomentet på følgende måde: Fortolkning Punktladninger Andet origo p = = rρ ( r ) (r dτ = a ) ρ ( r ) dτ = r ρ ( r ) dτ Qa r ρ ( r ) dτ a ρ ( r ) dτ Hvis den samlede ladning af ladningskonguration er Q =, er dipolmomentet da uafhængigt af valget af origo. Eksempel 3 (Dipolmomentet af en kugle med uniform volumenladningstæthed med ladning Q). Når kuglen bender sig i origo af det kartesiske koordinatsystem, så dikterer symmetrien at det samlede dipolmoment er p =, da der ikke er nogen speciel retning hvor der er mere negativ end positiv ladning. Når kuglen forskubbes med en vektor d, er dipolmomentet således p = Q ( d) = + Qd = Qd, da det at ytte kuglen en vektor d svarer til at ytte origo med en vektor d. 23 af 69

4 ELEKTROTATIK 4.9.3 Elektriske dipoler En fysisk dipol er to ladninger q og q adskilt med seperationsvektoren d (pegende fra q til q). Da den samlede ladning er Q =, gælder det at dipolmomentet er givet ved Fysisk dipol p = q + r + + q r = qr + qr = q ( r + r ) = qd og uafhængig af valget af origo. En ren dipol opnås ved at holde produktet p = q d konstant samtidigt med at q og d. For en ren dipol er det elektriske felt i sfæriske koordinater givet ved Ren dipol E dip (r, θ) = E dip (r) = p ( ) 4πɛ r 3 2 cos θr + sin θθ (3 (p r) r p) 4πɛ r3 V For en ren dipol gælder det at potentialet dikteret af V dip (r) = r p 4πɛ er eksakt r 2 og det elektriske felt er derfor også eksakt. For en fysisk dipol er V dip (r) dog stadig en approksimation, der bliver bedre og bedre med større r. For en ladningsfordeling hvor man har approksimeret det elektriske potential med en multipolekspansion, kan de to ovenstående formler også bruges, og giver det rigtige felt langt væk fra ladningsfordelingen. Eksempel 4 (Udregn biddraget til det elektriske felt fra dipolmomentet p = kẑ på x-aksen). Vi sætter ind i E dip (r) = 4πɛ r 3 (3 (p r) r p) og udregner: E dip (x,, ) = (3 (kẑ x) x kẑ) = k 4πɛ x3 4πɛ x 3 ẑ dip eksakt? Approksimation 24 af 69

5 Laplaces og Poissons ligning 5 LAPLACE OG POION LIGNING 5. Kort analyse, egenskaber ved løsninger Laplaces ligning 2 V = er et specialtilfælde af Poissons ligning 2 V = ρ/ɛ. At løse Poissons ligning er det samme som at spørge efter det elektriske potential steder hvor der godt må være en ladningskonguration (fx inde i ladet kugle). I praksis er det ofte ganske tilstrækkeligt at kunne løse Laplaces ligning, der svarer til at spørge efter det elektriske potential steder hvor der ingen ladningskonguration er, forstået på den måde at vi ikke gider vide hvad det elektriske potential er i ladningsfordelingen, men kun alle andre steder. Løsninger til Laplaces ligning har følgende egenskaber: Poissons ligning Laplaces ligning Egenskaber. Enhver løsning V i et punkt V (r) er gennemsnittet af V på enhver kugleover- ade med radius R, der skal forstås som at V (r) = V da 4πR 2 kugle 2. V har intet lokalt minimum eller maksimum; ekstremalpunkter ligger på randen af der hvor ladningskongurationen er deneret. 3. V er altid kontinuert. 5.. Ligningerne i forskellige koordinatsystemer Laplaces ligning i de tre gængse koordinatsystemer er givet ved: Kartesisk færisk Cylindrisk 2 V = 2 V x 2 + 2 V y 2 + 2 V 2 V = r 2 r 2 V = s s ( r 2 V r ( s V s z 2 = ) + r 2 sin θ ( sin θ V ) + θ θ 2 V r 2 sin θ φ 2 = ) + 2 V s 2 φ 2 + 2 V z 2 = Løsningsfunktioner I alle 3 koordinatsystemer er Laplaces ligning separabel og kan løses med denne metode ved at omskrive til et sæt ordinære dierentialligninger. I kartesiske koordinater er løsningsfunktionerne eksponential-, trigonometriske- og hyperbolskefunktioner. I sfæriske koordinater er løsningsfunktionerne Legendre polynomier, trigonometriskeog potens-funktioner. I cylindriske koordinater er løsningsfunktionerne Besselfunktioner, eksponential-, trigonometriske-funktioner. 5.2 Entydighedssætninger Der er to entydighedssætninger til Laplaces hhv. Poissons ligninger, som er brugbare til at sikre sig at man har netóp den rigtige løsning, hvis man nu er så heldig at kunne gætte en. (Kun humanister gætter uden!). 5.2. Første entydighedssætning (tilhørende Laplaces ligning) Theorem. Løsningen V til Laplaces ligning i et område af rummet V er entydigt bestemt, hvis det elektriske potential er speciceret (kendt) på randen V. 25 af 69

5 LAPLACE OG POION LIGNING Det følger også af dette at hvis volumenladningstætheden og det elektriske potential på randene kendte, så er V entydigt bestemt. Det samme gælder V eller V/ n er speciceret på enhver ade i det område som man er interesseret i løsningen til Laplaces ligning. 5.2.2 Anden entydighedssætning (tilhørende Poissons ligning) Theorem. I et område af rummet V omkranset af ledere (ækvipotentialer, på randen V) og indeholdende en speciceret (kendt) ladningstæthed ρ, er det elektriske felt og dermed potentialet entydigt bestemt. Bemærk at uendeligt langt væk også fungerer som en leder, da det jo er et ækvipotential med V = - såfremt ladningskongurationen naturligvis ikke selv strækker sig til uendelig. Eksempel 5 (Ladningsfordeling indkapslet af en ledende kugleskal (example 2.9)). Det elektriske felt udenfor kuglen er givet ved E = q 4πɛ r, hvilket vi nu vil argumentere for. Et heurestisk argument vil være at vil ladningen på den del af r 2 kugleoveraden, der vender udad have ladningen q og σ vil da være uniform, da ladningen spreder sig så meget ud som muligt, og dermed er E = q 4πɛ r uden for kugleskallen. r 2 Men vi kan ikke være helt sikker på at dette faktisk er den eneste løsning - lad os løse problemet ved at løse Poissons ligning: Vi vil nde det elektriske felt udenfor kuglen (vi kan ikke gøre os forhåbninger om at nde feltet inde i; så skal man vide noget om ladningsfordelingen), så vores rand af V er uendeligt langt væk og vores kugleoverade - og dem kender vi jo potentialet for. Vi ved V ( ) = og V (R) = V, da en leder altid er et ækvipotential. Det følger også af entydighedssætning til Laplaces ligning at der kun er én løsning til problemet. En måde at fordele en ladning på så vi får et ækvipotentiale i lederen er at fordele ladningen q på indersiden af kugleskallen og q på oversiden af kugleskallen, og dette er dermed løsningen, der beskriver situationen, og vi har dermed E = q 4πɛ r r 2 udenfor kuglen. 5.3 Billedmetoden Lad der være givet en-eller-andet ladningskonguration, som vi nu vil bestemme det elektriske potential for, hvor vi kender det elektriske potential på en ade, som typisk er en leder (ækvipotentiale) og jordet (V = ). Glem nu alt om denne ladningskonguration. Ved at opstille punktladninger, billedladninger, på en smart måde ved at udnytte symmetrien således at man får det samme potentiale på aden som det oprindelige problem, så fortæller entydighedssætning os at vi da har fundet en løsning til det oprindelige problem. En række ting er det samme ved billedmetoden og billedladningerne, men ikke alle: Billedladninger. Kraften F på ladningskongurationen er den samme som med billedladningerne, der hvor potentialet er det samme (altså i den region man løser for) 26 af 69

2. Energien der fås ved at anvende W = ɛ 2 5 LAPLACE OG POION LIGNING all space E 2 dτ er normalvis IKKE den samme, da man det potentiale man nder med billedmetoden ikke er gyldigt i alle regioner. Hvis man vil nde energien der skal til at samle systemet (ikke energien der går til at lave ladningerne), skal abejdet derfor udregnes som W = a F dl, hvor F er kraften som billedladninger påvirker ladningskongurationen med, med en passende kurve γ der går fra uendelig langt væk til punktet a hvor ladningskongurationen er. 27 af 69

6 Elektrostatiske felter i materialer 6. Dielektrika og inducerede dipoler 6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER Et dielektrika (eller insulator) er et materiale, hvor ladningerne ikke kan arrangere sig som de vil. I stedet af hvert enkel elektron der er bundet til atomkernen højest blive forskudt en meget lille afstand d fra atomkernen så der igen er ligevægt (E atom = E ekstern ), når et eksternt elektrisk felt påtrykkes materialet. Der opstår derfor for hver atom et dipolmoment og vi siger at der herved induceres dipolmomenter af størrelsen p induceret = qd for hvert atom og at atomet er polariseret. Polariseringen er generelt materialespecik og afhænger af størrelsen og retningen af E ekstern i materialet, og sammenhængen kaldes atompolariserbarheden α (der her er en tensor) med p induceret = α E ekstern. For ikke alt for stærke elektriske felter, er de inducerede dipolmomenter proportional med størrelsen af det elektriske felt, og vi har da p induceret = αe ekstern, hvor α > nu spiller rollen som konstant. Det inducerede dipolmoment er altså ensret- tet med det eksterne elektriske felt, p induceret E ekstern, hvilket også følger af at elektronskyen tiltrækkes af det eksterne elektriske felt. Eksempel 6 (Tiltrækningen mellem en punktladning q og et neutralt atom med atompolariserbarheden α, separeret med en afstand r (problem 4.4)). Vi har at E q = q r er feltet fra punktladningen (der placeres i origo), så p r 2 ind = αe q = αq 4πɛ 4πɛ r. Det elektriske felt som dette dipolmoment resulterer i, er givet ved E r 2 dip (r) = ( ) ) 4πɛ (3 (p r) r p). Vi får da E r 3 dip (r) = 4πɛ (3 αq r 3 4πɛ r r r αq r 2 4πɛ r = r 2 αq r. Kraften på q er da F = qe 8π 2 ɛ 2 dip = αq2 r, der er tiltrækkende. Jf. Newtons r5 8π 2 ɛ 2 r5 tredje lov, er det den samme kraft med modsat fortegn som punktladningen påvirker dipolen med. Dielektrika Induceret dipol Polarisering Polariserbarhed p ind E eks 6.. Kraft, kraftmoment på dipoler og energien af en dipol 3 I et uniformt elektrisk felt er kraften på hver af ladningerne i dipolen F + = qe, og Uniformt elektrisk felt F = qe, og den resulterende kraft F res er derfor F res = F + + F = qe qe = Det resulterende kraftmomentet N res omkring punktet midt mellem forskydningen af atomkernen og elektronerne er derimod N res = N + + N = r + F + + r F = d 2 F + d 2 F = qd E = p E I et ikke-uniformt elektrisk felt er der en resulterende kraft F res der er givet ved F res = q (E + E ) = q E = q (d ) E = (p ) E 3 Bemærk at disse udregninger også gælder for approksimerede dipoler, selvom resultaterne også er en approksimation! Ikke-uniformt elektrisk felt 28 af 69

6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER, og som skal udregnes i kartesiske koordinater. Det resulterende kraftmomentet N res er det samme, såfremt at afstanden mellem ladningerne er tilstrækkelig lille, men om en vilkårlig akse afstanden r fra punktet midt mellem forskydningen af atomkernen og elektronerne er udtrykket dog N res = p E + r F res. Energien af en dipol (der skal ses som en potentiel energi) er givet ved Energi U = p E Energien er der fordi at E påvirker dipolen med et kraftmoment, der forsøger at rotere dipolen, og arbejdet kraftmomentet skal udføre er netop U. Eksempel 7 (Tiltrækningen mellem en punktladning q og en dipol p, separeret med en afstandsvektor r, hvor p er placeret således at den laver en vinkel θ med r (problem 4.9)). Vi har at E q = q 4πɛ r er feltet fra punktladningen (der placeres i r 2 origo), som i kartesiske koordinater er lig E q = q xx+yŷ+zẑ 4πɛ. Kraften på dipolen (x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 er da F res = (p ) E, og vi udregner i x-retningen ( ) F x = (p ) E x = p x x + p y y + p q x z z 4πɛ (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ( ) = q x p x 4πɛ x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 + p x y y (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 + p x z z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 = q ( x 2 + y 2 + z 2) 3/2 [ (p x x 3 ] 4πɛ 2 x 2x (x 2 + y 2 + z 2 + (p y [ 32 ] ) xy + p z [ 32 ])) xz q = 4πɛ r 3 [p 3r (p r)] x Det er det samme for de andre koordinater også, så vi kan se at vi har F = q q 4πɛ (p 3r (p r)) = r 3 4πɛ (3r (p r) p), hvilket er samme svar, men med r 3 modsat fortegn, som hvis vi havde regnet det elektriske felt for dipolen ud først, og så beregnet F = qe dip (hvilket ville have været lettere her). 6.2 Polarisation og bundne ladninger I stedet for at kigge på en hvert enkelt atoms dipolmoment, kan man i stedet kigge makroskopisk på det og indføre polarisationen, der er givet ved dipolmoment pr. volumenenhed; Polarisation P = n i=, som godt kan være en funktion af hvor man bender sig i legemet. Dipolmomentet er omvendt igen givet ved at integrere over legemet L der indeholder polarisationen p = L p i V i Pdτ Det elektriske potential som følge af polarisationen kan da udregnes ved: 29 af 69

6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER V pol (r) = = = = = 4πɛ L [ 4πɛ [ 4πɛ [ 4πɛ [ 4πɛ î P ı 2 dτ L L ( P ı ) dτ ı P da ı P nda + L σ bound L ı L L da + ı L ( P ) ] dτ L ı ( P ) ] dτ ı ( P ) dτ ] ρ bound ı dτ ] σ bound = P n er den bundne overadeladning, hvor n er enhedsadenormalen, hvor der her skal vælges den der peger udad legemet; er der ere enhedsadenormaler til samme ade der peger udad, betyder dette at der sidder en bunden overadeladning på begge disse ader. Den bundne overadeladning kan fortolkes som summen af alle atomernes dipolmomenter, hvor hvert atom har en positiv ladet retning og en negativ ladet retning, og derved giver det en akkumulation af ladning på aderne. Ligeledes er ρ bound = P den bundne volumenladning, der er et mål for hvor inhomogen polarisationen er, ved at angive hvor mange ladninger fra de polariserede atomer der er fanget inde i legemet L og ikke gået til overaden. Er polariseringen konstant vektor k, uniform polarisering, ses det at ρ bound = k =, og alle ladninger er gået til overaden. Den samlede bundne ladning som skyldes polarisationen er lig nul når man integerer over hele legemet L og både medtager den bundne overadeladning og den bundne volumenladning. Q bound L = ρ b dτ + σ b da = L L σ bound ρ bound Uniform polarisering Altid Q bound Hele L = P = udenfor L, hvilket naturligvis også er klart, da hvert atom har totalladning Q =. Polarisationen udenfor legemet er altid P =. Bemærk at dette ikke betyder at der ikke P E dipol? er noget elektrisk felt udenfor legemet, med mindre at det er en meget symmetrisk situation og Gauss' lov kan bruges - kun der kan man konkludere at det elektriske felt som følge af polariseringen E dipol = udenfor legemet (indeni L kan der godt gælde E dipol ). Eksempel 8 (Udregn alle de bundne ladninger for en cylinder med P = kz 2 ẑ i cylindriske koordinater). Vi har at normalvektorerne der ikke giver skalarproduktet med P er dem på endeaderne, så dvs. n = ±ẑ. Dermed har vi altså de bunde overadeladninger givet ved σ/overst bound = P ẑ = kz2 og σnederst bound = P ẑ = kz2. De bundne volumenladninger er givet ved ρ bound = P = ( z kz 2 ) = 2kz. 6.3 Det elektriske forskydningsfelt Det elektriske forskydningsfelt D er det felt, der skyldes alt andet end de bundne ladninger grundet polarisationen P, og kun skyldes de frie overadeladninger σ free = σ σ bound og de frie volumenladninger ρ free = ρ ρ bound. De frie ladninger er de Forskydningsfeltet 3 af 69

6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER ladninger der kan kontrolleres, ved at man placerer en ladningskonguration, mens de bundne ladninger de ladninger der ikke kan kontrolleres, og fordeler sig jf. materialets egenskaber. Vi denerer D = ɛ E + P Der gælder også specielt at divergensen af det elektriske forskydningsfelt er Divergensen D = (ɛ E + P) = ɛ E + P = ρ ρ bound = ρ free Curl og potentialet Generelt forsvinder curl af forskydningsfeltet ikke, da polariseringen kan have en curl der er ikke-nul; D = (ɛ E + P) = ɛ E + P = P. Der kan derfor ikke generelt opskrives en skalarfunktion der beskriver et potentiale. 6.3. Gauÿ lov i dielektrika Med de frie ladninger kan man opskrive Gauss' lov på en måde der er sammenlignlig med den generelle Gauss' lov (der naturligvis også er gældende her). Vi har da D da = Q free enc Man kigger således kun på de ladninger der er frie dvs. placeret af os, og så kan man udregne D-feltet med de samme symmetriargumenter mv. fra afsnit 4.2. D-feltet kan altid ndes selvom at P ikke er kendt, men når P ikke er kendt, kan E heller ikke ndes. Igen gælder det at Gauss' lov i dielektrika altid gælder, men ikke altid er brugbar. elvom at Q free enc =, kan man ikke konkludere at D = udenfor legemet; der skal være tilstrækkelig med symmetri, samme typer som givet i afsnit 4.2, før man kan tillade sig dette. Tag fx en elektret, der er en elektrisk ækvivalent til en stangmagnet, hvor der er en indefrosset polarisation P, der er uniform inde i legemet, og der er derfor kun ladninger på enderne med normalvektorer parallel/antiparallel med P. Udenfor legemet er det klart at E pga. disse ladninger på overaderne, men man ville hurtigt kunne komme til at konkludere at Q free enc = her medfører D = - men dette er forkert. Der gælder jo D = µ E + P = µ E udenfor legemet, og det elektriske felt skal beregnes med andre metoder, og så kan man beregne D-feltet. Eksempel 9 (Udregn D-feltet og E-feltet for en tyk kugleskal med indre og ydre radius a < b, hvor der i dette opråde gælder at P = k r r (problem 4.5)). For r < a, har vi med Gauss' lov at Q free enc =, og da det er isotropt, kan vi konkludere at D = her, og da P = her også, kan vi ligeledes konkludere at E =. For a r b, har vi med Gauss' lov at Q free enc =, og symmetrien tillader os igen at konkludere at D = her, men da P = k r r her, har vi da konkludere at E = ɛ P = k ɛ r r. For r > b, har vi med Gauss' lov at Q free enc =, og da det er isotropt, har vi at D =, og da vi ligeledes har P =, kan vi ligeledes konkludere at E =. Gauÿ lov Q free enc =? 3 af 69

6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER 6.4 Lineære dielektrika For en del dielektrikaer gælder det at P = ɛ χ e E. χ e kaldes susceptibiliteten og optræder her som en enhedsløs konstant (selvom den helt sikker også kunne være en tensor og afhænge af andre eksterne variable), og angiver hvor godt legemet polariseres. Vi kalder faktoren ɛ = ɛ ( + χ e ) for permittiviteten, og kan yderligere indføre den relative permitttivitet 4 ɛ r = ɛ ɛ = + χ e, der på samme måde som susceptibiliteten angiver hvor godt et legeme polariseres. åledes gælder der i lineære dielektrika nu sammenhængene for det elektriske forskydningsfelt D Linearitet usceptibilitet Permittivitet D = ɛ E + ɛ χ e P = ɛ ( + χ e ) E = ɛ r ɛ E = ɛe 6.5 Energi i lineære dielektrika Energien der skal til at opbygge en ladningskonguration med frie ladninger, hvor der opstår en polarisering efterhånden som man fører de frie ladninger ind i det polariserede materiale, er når der er tale om at lineært dielektrika givet ved W di = D Edτ 2 all space Generelt så ses det at energien der skal til at opbygge et lineært dielektrikum er større end den energi der skal til at opbygge en tilsvarende ladningskonguration, hvor man fører både bundne og frie ladninger ind og derefter beregner energien der skulle til her (energien er her givet ved W = ɛ 2 E 2 dτ ). all space Bemærk W di > W 6.6 Kræfter på lineære dielektrika Er der tale om to elektriske ledere med ladning Q hhv. Q, i en-eller-andet konguration, hvor der i mellem disse ledere er en spændingsforskel V (der er konstant), er der dermed givet en kapacitans C for kongurationen. Er kongurationen således at der kan komme et dielektrika ind mellem disse ledere fra en eller anden retning (vi vælger her r-retningen), og har kongurationen en energi W = 2 CV 2, vil kraften på dette dielektrikum være givet ved F = W r = 2 V 2 C(r) r, hvor C(r) r skal bestemmes før kraften kan bestemmes. Dette er et generelt resultat at kraften vil søge at trække dielektrikaet ind i kongurationen. Har vi en konguration er en pladekondensator (koordinatsystem som på gur 4.3, side 94), er kraften på et rektangulært dielektrika givet ved 4 Der gælder således også at ɛ = ɛ rɛ F = 2 V 2 dc dx 32 af 69

6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER Og kraften vil igen trække dielektrikaet ind mellem pladerne. 6.7 Grænseovergange i dielektrika E-feltet er diskontinuert, når en overadeladningsfordeling krydses, mens D-feltet kun er diskontinuert når der krydses en fri overladeladning σ free ortogonalt på aden. Ved at bruge Gauss' lov for dielektrika, så nder man hurtigt at der gælder Diskontinuert D? D above D below = σfree Og D-feltet kun er diskontinuert i den retning parallelt med aden, hvis polariseringen ændrer sig (man krydser fx legemets rand) i denne retning D above D below = P above P below Men der gælder samtidigt at E above E below = skal man huske. 33 af 69

7 MAGNETOTATIK 7 Magnetostatik 7. Højrehåndsreglen Figur 4: Højrehåndsreglen I magnetostatik optræder der ofte curl af et-eller-andet, og der skal oftes tages krydsproduktet mellem to vektorer. For at sikre at man får retningen på sit krydsprodukt eller sit curl rigtigt, bruger man højrehåndsreglen (der ndes jo en normalvektor i den anden retning også, og det er ofte normalvektoren man skal bruge, så pr. denition tager man der kommer når man bruger højrehåndsreglen). Lad os sige at vi vil nde krydsproduktet mellem vektorerne a og b, a b.. Flugt vektor a langs pegengeren. 2. Flugt vektor 2 b langs langengeren. 3. Krydsproduktet a b ugter da langs tommelngeren. 7.2 trømme og strømtætheder Ved strømmen I forstår man antal ladninger dq pr. tidsenhed ds, der passerer eteller-andet givet punkt i en eller anden retning û (man kan derfor skrive I = û dq ds, hvis punktet er veldeneret). Har vi en linjeladning λ langs en kurve, er (linje)strømmen derfor I = v dq dl ds = λv ds = λv. Har vi i stedet at strømmen går på en ade, der kan opfattes som en masse linjestrømme, har vi at strømmen kan skrives som summen (integralet) over alle disse linjestrømme I = l Kdl, hvor vi måler strømmen der passerer gennem punkterne der ligger på en kurve l ortogonalt på K. K kaldes overadestrømtætheden, og kender trømmen K 34 af 69

7 MAGNETOTATIK man retningen af strømmen I, så kan størrelsen I beregnes ved I = K dl γ, hvor γ er en kurve langs aden. På samme måde kan der generaliseres til strømmen der passerer gennem punkterne ortogonalt på en ade a på et legeme L: Vi har da at strømmen er summen (integralet) af alle disse linjestrømme gennem a, I = a Jda, hvor vi altså måler strømmen, der passerer punkterne der ligger på en falde a ortogonalt på J. J kaldes volumenstrømtætheden, og den mest generelle at arbejde med. Kender man retningen af strømmen I, så kan størrelsen I beregnes ved I = J da J, hvor er en ade gennem legemet L. Eksempel 2 (Udregn strømmen gennem en kvadratisk ade med siderne a i xy-planen der ligger i [, a] [, a], med J = kx 2 yẑ). Normalvektoren til den kvadratiske ade er ẑ. Vi har da I = J da = kxyda = a a kx 2 ydxdy = k a x 2 dx a ydy = k 3 a3 2 a2 = ka5 6 7.2. Kontinuitetsligningen Der gælder at J = ρ t, hvilket skal forstås som at ladningen er bevaret, da hvad der forsvinder fra ladningskongurationen L, må strømme ud gennem overaden L. Har vi med magnetostatik at gøre, gælder er at J =, hvilket skal fortolkes som at den samlede ladning i kongurationen er konstant, og vi siger at der er en konstant strøm eller jævnstrøm. Kontinuitet Jævnstrøm 7.3 Magnetfeltet og Biot-avarts lov Figur 5: kitse over hvad der skal integreres over 35 af 69

7 MAGNETOTATIK Ladninger i bevægelse (med en hastighed ift. et referencesystem forskelligt fra nul) etablerer det magnetiske felt, der kaldes B-feltet. Dette felt kan udregnes i et punkt r ift. origo ved Biot-avarts lov, der lyder B B = µ 4π γ I î ı 2 dl = µ I dl î 4π γ ı 2 B = µ K î 4π ı 2 da B = µ J î 4π L ı 2 dτ, hvor der skal integreres over strømkongurationen (de mærkede koordinater) og så linjestrømmen givet ved kurven γ, overadestrømtætheden givet ved aden eller volumenstrømtætheden givet ved legemet L. ı er afstanden mellem det punkt hvor B-feltet udregnes i, og dl, da eller dτ. I praksis kan Biot-savarts lov kun bruges, såfremt at symmetrien er tilstrækkelig simpel til integralet kan udregnes. Det er ofte en formel at udregne krydsproduktet I î for at nde retningen af db, og derefter krydsengre for at man kan se/argumentere for at B må være nul i en eller ere akseretninger. (Man vil ofte hellere bruge Ampères lov, hvis symmetrien tillader det). Der gælder om det magnetiske felt og curl og divergens af denne at Anvendelse Curl og divergens B = B = µ J Disse to ligninger har vidt forskellig betydning. B = dikterer at der ikke ndes magnetiske monopoler, da man ved at anvende divergenssætningen kan se at der altid må gælde for ethvert legeme at en magnetisk ladning er nul. B = µ J giver os derimod en nem måde at beregne volumenstrømtætheden, såfremt vi kender magnetfeltet. Eksempel 2 (Udregn magnetfeltet for et elliptisk kredsløb med konstant strøm I, der går i positiv omløbsretning, i midten af ellipsen). Parameterfremstillingen ( ) a cos t for en ellipse er som det ses i appendix givet ved r(t) =. Vi har da b sin t ( ) dl = dr(t) a sin tdt dt dt =. Afstandsvektoren er ı = r(t), så vi ser at Biotb cos tdt avarts lov tager udseendet B = µ I dl î 4π γ = µ I dl ı ı 2 4π γ. Krydsproduktet dl ı ı 3 udregner vi dl ı = dl ( r(t)) = x ŷ ẑ dl x dl y dl z = r x r y r z x ŷ ẑ a sin tdt b cos tdt a cos t b sin t = x + ŷ + (a sin tb sin tdt + a cos tb cos tdt) ẑ = abdtẑ Vi har ı = a 2 cos 2 t + b 2 sin 2 t, og vi har da magnetfeltet givet ved 36 af 69

7 MAGNETOTATIK dl ~ı abdt z ab µ I 2π µ I 2π = = z 3/2 dt 3 3/2 ı 4π 4π γ a2 cos2 t + b2 sin2 t a2 cos2 t + b2 sin2 t!!! r µ I µ I µ I b2 a2 a2 k 2 a2 k2 = z = z = z EllipticE EllipticE EllipticE πa b πa ak πa k2 B= µ I 4π, hvor EllipticE er det komplette elliptiske integral af anden slags Dette kan skrives som en Taylorrække udviklet omkring µ I B = z πa π 2 b = ak. til π π (k ) 9π (k )2 9π (k )3 625π (k )4 + + +... 2 4 32 64 248 Bemærk at i tilfældet I z µπr k= 5 med = a = b = R k = reducerer udtrykket til! B = I z µ2r, hvilket netop er magnetfeltet i centrum af en cirkel, der kan udregnes noget simplere. 7.3. uperposition uperposition I magnetostatikken gælder superpositionsprincippet også. Dermed kan en strømkon guration opsplittes i mindre, mere symmetriske dele,..., k,... i, hvorefter Bk -feltet beregnes/slåes op, og til sidst summeres det hele så vi har: B= i X Bk k= 7.4 Ampères lov i magnetostatik Figur 6: Et eksempel på en ade hver sin retning og 5 Ienc er derfor, dets rand, Ienc = I I2. og to strømme I og I2, der går http://en.wikipedia.org/wiki/elliptic_integral#complete_elliptic_integral_of_the_second_kind 37 af 69

7 MAGNETOTATIK Ampères lov spiller næsten samme rolle i magnetostatikken som Gauss' lov i elektrostatikken. Ved at at bruge sammenhængen B = µ J og tokes sætning, kan vi da skrive adeintegralet over en ade (der ikke nødvendigvis er lukket, så kurven langs randen er derned ikke nødvendigvis af længden nul, men dog en lukket kurve) som. ( B) da = µ J da = µ I enc B dl = µ I enc I enc er således den (jævn)strøm, der er indeholdt inde i den lukkede kurve. Faktisk så gælder det at aden er underordnet; det vigtige er at kun randen har betydning (og ere ader kan give samme rand, fx giver både en cylinder og en kugle samme rand). Man vælger således ofte ved brug af Ampères lov bare en lukket kurve γ kaldet et Amperisk loop, og denerer ikke yderligere aden. B dl = µ I enc γ Pr. konvention skal integrationsretningen (gennemløbsretningen for kurveparameteriseringen af ) være i overensstemmelse med højrehåndsreglen; Integrationsretningen skal være den retning som en positiv strøm på går når man bruger højrehåndsreglen på I r, hvor r er afstandsvektoren fra strømmen til kurven. Er strømmen ikke givet på forhånd, foretager man således et valg, og vælger at den positive strøm går i den og den retnining, hvorefter integrationsretningen falder ud ved at bruge højrehåndsreglen. Bemærk at Ampères lov også holder udenfor magnetostatikken, så længe at det er kvasistatiske ændringer i strømme der er tale om, hvilket først bryder sammen når vi bevæger os over over i bølger og stråling. Netop det at γ B dl udtrykker den strøm der går igennem inde i den lukkede kurve γ, gør den svært anvendelig i (meget) symmetriske situationer. Når Ampères lov anvendes, skal der symmetriargumenter til for at bestemme naturen af det magnetiske felt - altså størrelse og retning. Dette er argumenter som ofte har karakter af et fysisk modstidsbevis, hvor man overvejer konsekvensen af forskellige situationer. Hvis strømfordelingen er isotrop (ens i alle retninger), må feltet være konstant (eksempel: en uendelig stor plade med en konstant overadestrømtæthed K = K x), og hvis ladningsfordelingen kun afhænger af én retning (fx. den radiale retning), kan B kun pege i en retning ortogonalt på denne, da man vil være i samme situation hvis man rotere strømkongurationen en vilkårlig vinkel (eksempel: en linjestrøm). Der er i alt 4 slags symmetrier, hvor Ampères lov virker som beskrevet nedenfor. Det største problem er ofte at nde ud af hvilken retning B har, hvilket altid gøres med Biot-avarts lov (man kigger på retningen af I î, som da er retningen B-feltet) og højrehåndsreglen, men ofte kan man tænke sig til retningen. Man vælger i disse re situationer sin gaussade som følger: Amperisk loop Integrationsretning Kvasistatisk ymmetri-argumenter Retning af B (Uendelig lange) lige linjestrømme: Hvis linjestrømmen fx ligger langs z-aksen, så vælg det amperiske loop som en cirkel med radius s med centrum i linje- 38 af 69

7 MAGNETOTATIK strømmen og radiusvektor ortogonalt på strømmen. Vi har da at B(s), da situationen stadig er den samme selvom vi roterer os en vilkårlig vinkel omkring linjestrømmen og er derfor konstant i en radial afstand s. Retningen fås fra højrehåndsreglen til at må være rundt om ledningen (retning φ i cylindriske koordinater) Vi har derfor γ B dl = B 2πs = µ I enc = µ I B = φ µ I 2πs. (Uendelig lange) cylindere: amme som forgående, bortset fra at I(s), som skal regnes ud fra det man ved om volumenstrømtætheden J for strømfordelingen. (Uendelig store) planer: Hvis fx pladen ligger i xy-planen, har en konstant overadestrømtæthed K = K x, så vælg det amperiske loop som en rektangel med siderne l og h. B kan ikke have et z-komponent, da et hvert biddrag i z-retningen canceleres af biddragene fra halvplanerne for y > hhv. y < når pladen er uendelig stor jf. højrehåndsreglen, og må så være konstant i denne retning, da strømfordelingen er isotrop. Retningen af B må da jf. Biot-avarts lov og højrehåndsreglen være i ŷ retningen over pladen (z > ) og ŷ retningen under pladen (z < ). Ampères lov giver da γ B dl = B 2l cos +B2h cos π 2 = B 2l = µ I enc = µ Kl B = ŷ z z µ K 2. (Uendelig lange) solenoider: Hvis solenoiden er kocentrisk med z-aksen, og har n vindinger pr. længdeenhed. Vi vil først argumentere for retningen af B- feltet må være ẑ. Vælger vi et amperisk loop som går i en cirkel med radius s udenom/indeni så er I enc =, og vi har da γ B dl = B φ 2πs = µ I enc = B φ =. Placeres i stedet et amperisk loop med form som en rektangel med siderne l og h, udenfor solenoiden i en afstand a, har vi da B φ = at γ B dl = (B(a) B(a + h))l = µ I enc = B(a) = B(a + h), og feltet udenfor solenoiden må da være nul, da vi fra Biot-avarts lov har B for s. Fra højrehåndsreglen følger det da at feltet må have retningen ẑ. Placerer vi nu det rektangulære loop netop så vindingerne går igennem loopet, så har vi γ B dl = B l cos + l cos + 2h cos π 2 = Bl = µ I enc = µ nli B = ẑµ ni. Toroider : Feltet er her i retningen φ når torodiden placeres i xy-planen. (Der er en lang udledning i Griths example 5.). Bemærk: Hvis samme strøm går i gennem kurven N gange, er dette bidrag til I enc netop N I (der kan være andre biddrag fra andre strømme naturligvis). I enc = NI 39 af 69

7 MAGNETOTATIK Eksempel 22 (Udregn magnetfeltet for en uendelig lang cylinder med radius R og J = ks 3 φ alle steder). Vi udregner først strømmen gennem en rektangulær rektangel med længde l fra randen af cylinderen ind til en radius s. Normalvektoren til denne ade er φ og vi får da I(s) = J da = ks3 da = l R s ks3 dsdz = 4 kl ( R 4 s 4). Det er klart at der ikke er noget B-felt i φ-retningen og i s-retningen, og at B-feltet er nul udenfor cylinderen. å retningen af B-feltet må være i z-retningen. Vi bruger nu Ampères lov med et ampereloop som en rektangel med længden l og bredden h, placeret således at h er parallel med s, og går ude fra udenfor cylinderen og ind i cylinderen. Vi får da γ B dl = B l cos + l cos + 2h cos π 2 = µ I enc Bl = 4 µ kl ( R 4 s 4) og dermed jf. højrehåndsreglen B = 4 µ k ( R 4 s 4) ẑ inde i cylinderen og således størst inde i midten af cylinderen. Dette er naturligvis klart, da denne strømkon- guration blot svarer til en masse solenoider med stigende strømstyrke med større s-værdier langt inde i hinanden. 7.5 Magnetisk vektorpotential Da der gælder at B =, kan vi jf. afsnit 2.2.2 nde en stamfunktion, dvs. vektorfelt A : R 3 R 3 således at der gælder B = A. Ved at omskrive den fremkomne Laplaces ligning 2 A = µ J ved at xe gaugen til A =, får vi da at A kan udregnes ved: Laplaces ligning A(r) = µ 4π L J (r ) dτ A(r) = µ ı 4π K (r ) da A(r) = µ ı 4π γ I (r ) dl = µ I ı 4π γ ı dl, hvor der menes at der udregnes i hver af de tre koordinater, fx: A(r) = µ 4π J x(r ) L ı dτ J y(r ) L ı dτ L J z(r ) ı dτ Ovenstående formler gælder dog kun hvis J for ı, så formlerne kan ikke bruges på alle uendeligt store ladningsfordelinger. Der gælder normalvis at A har samme retning J, med mindre at det er en meget sammensat strømkonguration, fx et rektangulært strømloop. Der gælder altid at A er en kontinuert funktion i alle punkter, da det ikke engang giver mening at tage curl af A, hvis den ikke er kontinuert. Gyldighed Retning Kontinuitet 7.5. Laplaces/Poissons ligning i magnetostatik I magnetostatik, er det vektorlaplaceoperatoren der bruges og Poissons ligning lyder da 2 A = µ J dvs. der er faktisk tale om tre gange Laplaces/Poissons ligning. Igen gælder det at A altid er en kontinuert funktion. I visse situationer hvor symmetrien er høj og man kan argumentere for at A kun afhænger af én variabel og kun er i én af akseretnin- A kont. 4 af 69

7 MAGNETOTATIK gerne, så reduceres Laplaces ligning til én ordinær andenordens dierentialligning, der relativt let kan lade sig løse (husk randbetingelser og husk at brug den rigtige version af vektorlaplaceoperatoren givet i afsnit 2.5.5). Eksempel 23 (Bestem det magnetiske vektorpotential i en ledning med radius R med volumenstrømtætheden J = J z ẑ (problem 5.25)). Udenfor ledningen ses det i cylindriske koordinater at A = µ I 2π ln (s/a) ẑ, a R + er et bud på den rigtige vektorpotential, da A = B = µ I φ. 2πs Inde i ledningen har vi at Poissons ligning 2 A = µ J reduceres til 2 I A z = µ J z = µ, da vi ud fra A(r) = πr 2 µ J(r ) 4π L ı dτ kan se at de andre retning har A s = A φ =. Ligningen 2 A z = µ J z er da i cylindriske koordinater givet ved 2 A z = ( s s s A z ) s + 2 A z + 2 A z = s 2 φ 2 z ( 2 s s s A z ) s = I µ, da 2 A z = 2 A z =, da vektorpotentialet ikke kan afhænge af disse pga. symmetrien. Ligningen ( πr 2 s 2 φ 2 z 2 s s s A z ) s = I µ har den generelle πr 2 løsning A z (s) = µ I 4 s 2 + C πr 2 ln (s) + C 2. Vi må have C =, da ln ikke er de- neret, og B-feltet derfor ikke ville være deneret. A-feltet er altid kontinuert, så i s = R må vi have det samme som vi får for det A-felt der gælder udenfor ledningen, altså A z = µ I 2π ln (R/a). Vi har derfor µ I 4 R 2 + C πr 2 2 = µ I 2π ln (R/a) C 2 = µ I 2π ln (R/a) µ I 4 R 2 = µ I πr 2 2π ln (R/a) µ I 4π = µ ( ( I 2π ln a 2 /R 2) ). Vektorpotentialet er derfor inde i ledningen A = µ I ( 4 s 2 + µ ( ( I πr 2 2π ln a 2 /R 2) )) ẑ. 7.6 Grænseovergange i magnetostatik Figur 7: Grænseovergang af en adestrøm. B-feltet er diskontinuert når der krydses en adestrøm med en overadestrømtæthed K. Gauss lov for magnetisme giver at det totale ux gennem en kasse med areal foroven/neden l 2, siderne l og højde ε som gaussisk ade (såfremt at vi gør kassen så lille at B-feltet er tilnærmelsesvist konstant og højden ε) kasse B da = Babove l2 cos θ Bbelow l2 cos θ + 2B above lε cos θ + 2B belowlε cos θ B above l2 cos θ B below l2 cos θ = B above B below = B above = B below for ε Diskontinuert 4 af 69

7 MAGNETOTATIK, hvor θ er vinklen mellem adenormalerne og B. Bruges i stedet Ampères lov og vælges det amperiske loop γ som en rektangel med siderne l og ε så det står ortogonalt på K, men krydser aden, så har vi ( ) B dl = ε Babove B below ( ) = l B above B below ( ) + l B above B below = µ Kl B above B below = µ K Dermed kan det i alt konkluderes at når en adestrøm krydses, så gælder der B above B below B above B below = µ (K n), hvor n er den enhedsadenormal, der peger opad (man skal vælge den normalvektor som dikteres af højrehåndsreglen og B K). Det ses dermed at B-feltet er diskontinuert når krydses. Det gælder derimod altid at A er kontinuert, og vi må derfor have Vektorpotential A above = A below Og da A er parallel med K, så har vi at den normalt aedte (den retningsaedte i retning af adenormalen) 7.7 Multipolekspansion A above n A below n = µ K Vi kan Taylorudvikle det magnetiske vektorpotential for en linjestrøm givet ved kurven γ, hvorved vi opnår udtryk af typen: A(r) = µ I 4π = µ I 4π = µ I 4π r n+ n= ( r γ r + µ I 4π γ dl + r 2 = }{{} + µ I 4π Monopolleddet ( r ) n Pn (cos θ )dl γ ) r cos θ dl +... r 2 r cos θ dl +... γ r 2 r cos θ dl +... γ } {{ } Dipolleddet Det er klart at monopolledet altid forsvinder, siden at der ikke ndes magnetiske monopoler - hvilket danner hele teorien for det magnetiske vektorpotential. Til normalt brug er dipolleddet det dominerende og giver en rimelig approksimation af det rigtige magnetiske vektorpotential langt væk fra strømkongurationen. 42 af 69

7 MAGNETOTATIK 7.7. Dipolleddet Da dipolleddet ofte er dominerende i en approksimation, kan det betale sig at trække dette ud og kigge på det selvstændigt. Vi har da: Dipolleddet, hvor A dip (r) = µ I 4π = µ I 4π r 2 r 2 γ γ = µ ( I 4π r 2 = µ m r 4π r 2 m = I da = Ia r cos θ dl r r dl da ) r kaldes for det magnetiske dipolmoment, og da er vektorarealet, der er størrelsen af arealet som strømloopet indkredser, og med retning som den normalvektor, der dikteres af højrehåndsreglen 6. Der gælder også at det samlede magnetiske dipolmoment for en strømkonguration, hvor dipolmomentet kan regnes ud for delkongurationer, blot er summen af disse delkongurationers dipolmomenter: Dipolmoment Vektorareal Retning n m = m i = I n i= i= Eksempel 24 (Beregn det magnetiske dipolmoment af et ellipse-formet kredsløb). Placer ellipsen i xy-planen og lad strømmen gå i positiv omløbsretning. Retningen af m er da ẑ når man gør som i fodnote 6, og da arealet af en ellipse er A = πab, og vi har derfor a = πabẑ, og vi har da m = Ia = πiabẑ. 7.7.2 B-feltet for en magnetisk dipol a i Magnetfeltet fra en magnetisk dipol - enten fra en approksimation eller fra en ren magnetisk dipol der er en innitesimal lille lukket strømloop med radius a, hvor produktet m = Ia holdes konstant mes a og I, hvor feltet er eksakt, kan udregnes ved en af følgende to formler Ren magnetisk dipol B dip (r, θ) = µ ( ) m 4πr 3 2 cos θr + sin θθ B dip (r) = µ (3 (m r) r m) 4πr3 Afstanden r er afstanden fra origo (hvor det geometriske centrum 7 af strømkon- gurationen, skal placeres) til punktet hvor B dip gerne vil beregnes. 6 trømmens retning langs pegengeren og langengeren pegende ind mod kredsløbet; retningen af m er da tommelngerens retning. 7 Midtpunktet for arealet. 43 af 69

7 MAGNETOTATIK Eksempel 25 (Beregn biddraget til det magnetiske felt fra dipolmomentet for en ellipse på z-aksen). Jf. forrige eksempel har vi m = Ia = πiabẑ. Vi har da B dip (,, z) = µ 4πz 3 (3 (πiabẑ ẑ) ẑ πiabẑ) = µ 4πz 3 2πIabẑ = µ Iab 2z 3 ẑ 7.8 Den magnetiske kraft og arbejde, energi Magnetiske felter påvirker ladninger i bevægelse med en kraft givet ved Lorentzkraften, der for en punktladning i bevægelse har udseendet Lorentzkraften F mag = Qv B For andre strømgurationer har denne udseendet F mag = γ (I B) dl = I γ dl B F mag = (K B) da F mag = L (J B) dτ Arbejde= Magnetiske kræfter der har sin oprindelse i statiske magnetiske felter udfører intet arbejde, selvom det ofte kan se således ud. Dynamiske magnetfelter godt kan udføre et arbejde, men da skyldes det et induceret elektrisk felt. Ofte spiller den magnetiske kraft rollen som at ændre kraften på en anden kraft. At magnetiske kræfter intet arbejde udfører, kan indses ved denne simple udregning: W = γ F mag dl = γ (Qv B) dl = t (Qv B) vdt = t dt = Man ender ofte med linjeintegraler, der skal parameteriseres korrekt, og dette er det største problem når kraften skal udregnes, men se nedenstående eksempel på hvordan man fx kan gøre. Eksempel 26 (Kraften på en ensvinklet trekant med siderne a fra en lang ledning (problem 5.b)). Kraften på lederen det lige stykke af trekanten (vi kalder den delkurven γ ) kan, da B = µ I 2πs φ er konstant langs denne kurve udregnes til (brug af højrehåndreglen; B-feltet peger ud af papiret som vi kalder y-retningen), φ = π/2 er vinklen mellem B-feltet og dl F = I dl B = IB sin φ dl = ŷ γ γ µ ai 2 2πs Vi kalder den skrå side af af trekanten der med strømmen peger væk fra den rette linje for kurvenγ 2, og vi kan da beregnes kraften på denne ved df 2 = Idl B = I x ŷ ẑ dx dy dz B x B y B z = I x ŷ ẑ dx dy dz µ I 2πy = µ I 2 2πy (xdy ŷdx) iderne udgør en ret linje med hældningen tan (6 o ) = tan (π/3) = 3, så y = 44 af 69

7 MAGNETOTATIK 3x. Vi får da dy dx = 3 dx = dy y som paramteren, der derfor skal integeres fra s til s + 3, og bruger dette med parameteriseringen med 3 2 a F 2 = I df 2 = γ2 µ I 2 2π ( ( = µ I 2 s + 3 x ln 2π γ 2 2 a s s+ 3 2 a y (xdy ŷdx) = µ I 2 2π s ) ( ŷ s + 3 2 ln a )) 3 s ( xdy ŷ dy ) y 3 ymmetrien dikterer at F 3 = F 2,xx + F 2,y ŷ, og får derfor at den samlede kraft på trekanten er F = F + F 2 + F 3 = ŷ µ I 2 2π ( a s 2 3 ln ( s + 3 2 a s )) 7.8. Energien i magnetiske felter En magnetisk kraft fra et statisk magnetisk felt kan ikke udføre et arbejde, men det kan et dynamisk felt, da der induceres et elektrisk felt som kan udføre et arbejde. Naturen afskyr uxændringer og jf. Lenz' lov går den inducerede strøm i den retning, der modvirker uxændringerne, hvilket bevirker at der skal udføres et arbejde af det inducerede elektriske felt for at etablere et magnetfelt (da man jo ikke bare tænde og slukke et magnetfelt uden at der er en ændring), da denne back emf (modvirkende elektromotorisk kraft) i et kort øjeblik gør magnetfeltet svagere. Det giver derfor mening at tale om energien i et magnetisk felt, der kan udregnes på følgende tre måder: Dynamisk/statisk Back emf W = 2 LI2 = A Jdτ 2 L = B 2 dτ 2µ all space Eksempel 27 (Energien i en torus med rkantet tværsnitsareal A = (b a) h og konstant strøm I (problem 7.27)). Magnetfeltet for en torus er B = µ NI φ 2πs inde i torusen og B = alle andre steder. Vi har derfor ved at regne i cylindriske koordinater W = 2µ = h/2 2µ h/2 all space 2π b B 2 dτ = 2µ a 2π B 2 sdsdφdz = h/2 2π 2µ h/2 µ 2 N 2 I 2 4π 2 s dsdφdz = µ N 2 I 2 h/2 2π b 8π 2 h/2 a b s dsdφdz = µ N 2 I 2 h 4π = µ N 2 I 2 ( ) h b ln 4π a a ( ) µ NI 2 sdsdφdz 2πs b a s ds 45 af 69

8 Magnetiske felter i materialer 8 MAGNETIKE FELTER I MATERIALER 8. Kraft, kraftmoment på dipoler og energien af en dipol 8 I et uniformt magnetfelt er kraften på atomet F res =, da feltet (i gennemsnit) vil Uniformt magnetfelt have lige store biddrag fra hver side af dipolloopet (der er elektronens omkreds(kurve) γ, som er en lukket kurve), hvor elektronen på hvert stykke dl vil påvirkes med en kraft med størrelsen jf. Lorentz kraftlov givet ved df = Idl B, så på modsat side af loopet er df = Idl B, og den resulterende kraft er derfor F res = γ Idl B + F res ( Idl B) = γ dl =. Kraftmomentet Det resulterende kraftmoment dn omkring elektronens centrum 9 er på hver segment af elektronbanen givet ved: dn = r df = r (Idl B) = I (d (r r B) B (r dl)) 2 ved = I (r dl) B 2 ( ) N = I (r dl) B = 2 ( γ 2 I = m B γ ) (r dl) B = 2 I (2a) B I et ikke-uniformt magnetfelt er der en resulterende kraft F res deriomod er givet Ikke-uniformt magnetfelt F res = (m B) Det resulterende kraftmomentet N res er derimod stadig givet ved N = m B selvom magnetfeltet ikke er uniformt, da elektronen i praksis er punktformet. Energien af en dipol (der skal ses som en potentiel energi) er givet ved Energi U = m B Energien er der fordi at B påvirker dipolen med et kraftmoment, der forsøger at rotere dipolen, og arbejdet kraftmomentet skal udføre er netop U. 8 Bemærk at disse udregninger også gælder for approksimerede dipoler, selvom resultaterne også er en approksimation! 9 Vi forestiller os at elektronen er i en cirkulær bane med radiusvektor r. 46 af 69

8 MAGNETIKE FELTER I MATERIALER Eksempel 28 (Kraftmomentet på et lille rkantet strømloop med siderne b pga. et cirkulært loop med radius a, der er langt fra hinanden (problem 6.)). Dipolmomentet for cirklen er m c = Iπa 2 ŷ og for det rkantede strømloop m s = Ib 2x. Da de er langt fra hinanden er det en god approksimation at bruge biddraget fra dipolmomentet B dip (r) = µ 4πr 3 (3 (m r) r m) til at regne feltet fra det cirkulære loop ud på x-aksen. Vi får da: B c = µ 4πr 3 (3 (m c x) x m c ) = µ ( ( 3 Iπa2ŷ 4πr 3 x ) x Iπa 2 ŷ ) = µ Iπa 2 4πr 3 ŷ Kraftmomentet på det rkantede strømloop er da (approksimeret): N = m B = Ib 2x ( µ Iπa 2 ) 4πr 3 ŷ = µ I 2 b 2 a 2 4r 3 (x ŷ) = µ I 2 b 2 a 2 4r 3 ẑ 8.2 Forskellige typer magnetisme Der ndes tre typer kategorier som materialer kan inddeles i, og som har følgende karakteristika og forklaringsmodel: Paramagnetisme: Visse atomer (dem med et ulige antal elektroner) fungerer som en lille dipol, da hver elektron er en dipol og konstituere en strøm når den roterer om sig selv (spin). Når et atom påtrykkes et eksternt magnetfelt B vil der være et kraftmoment på atomet N med dipolmomentet m, der forsøger at dreje atomet i en ligevægtstilstand, der er parallelt med B-feltet. Det totale felt der skyldes det eksterne felt og paramagnetismen, bliver derfor større end blot det eksterne felt. Diamagnetisme: Elektronen har i form af sit spin et dipolmoment, men der er også et dipolmoment i form af dets rotation omkring atomkernen. Når atomer så ikke er paramagnetiske fordi at dipolmomenterne fra spin ophæver hinanden, så bliver biddraget fra elektronens rotation omkring atomkernen målbare (i paramagnetiske materialer er dette biddrag forsvindende, da det kræver en del energi at rotere hele elektronens bane). Påtrykkes der et eksternt magnetfelt B, vil det komponent der står ortogonalt på det plan som elektronbanen udspænder B jf. Lorentzkraften speede elektronen op, da denne sammen med kraften fra tiltrækningen mellem atomkernen og elektronen giver et biddrag så v 2 m e /R må blive større og dermed bliver v større. trømmen som elektronen udgør bliver derfor også større og dipolmomentet bliver derfor større i den retning (kan det vises), der er modsat rettet B. Dermed bliver det totale felt, der skyldes det eksterne felt og diamagnetismen mindre. Ferromagnetisme: Dipolerne arrangerer sig også parallelt med feltet, men effekten er blot meget kraftigere og meget ulineær i sin opførsel end paramagnetismen. Materialet arrangerer sig i en masse domæner, der er områder med ensrettet dipolmoment [for mange atomer], og efterhånden som det ekstrne magnetfelts styrke øges, vender ere og ere domæner sig med dipolmomentet Paramagnetisme B para > B Diamagnetisme B dia < B Ferromagnetisme B fer B 47 af 69

8 MAGNETIKE FELTER I MATERIALER parallelt til det eksterne felt. Indtil et vist punkt: Når stort set alle domæner er parallele med det eksterne felt, bliver eekten af at øge feltstyrke ikke meget større, og materialet siges at være satureret. 8.3 Magnetisering og bundne strømme For at kunne regne på sagerne, er det smart at indføre en størrelse, hvor det er underordnet om det er para-, dia-, eller ferromagnetisme der er tale om, når man skal regne på magnetfeltet. Vi indfører derfor magnetiseringen M, der er summen af dipolmomenterne m i divideret med V i i det volumen V i hvor de er placeret i legemet L - og dette gøres så for alle V i L. Vi har da M = n i= Omvendt gælder det derfor også at dipolmomentet for et legeme L er givet ved: m = L m i V i Mdτ Kigger man på det magnetiske vektorpotential A for det magnetiske felt der skyldes M (afsnit 7.6., A dip (r) = µ m î 4π ), så får man ved lidt omskrivning at man ı 2 kan udtrykke vektorpotentialet som en bunden overadestrømtæthed K bound og en bunden volumenstrømtæthed J bound : Magnetisering Bundne strømme A(r) = µ 4π = µ 4π = µ 4π = µ 4π = µ 4π M î L ı 2 dτ [ [ M [ [ [ L L ( )] ] dτ ı ( M ) dτ ı M dτ + ı L J bound L ı dτ + L L L K bound ( M ı ] M n da ı ] da ı ) dτ ] Med J bound = M K bound = M n K bound er et udtryk for den strøm der går langs legemets rand, da det kun er i legemets rand at strømmen ikke bliver kancelleret af andre omkringliggende atomers strømloop, og der kan ikke være nogen strøm ved de overader hvis normalvektorer er parallelle med magnetiseringen (da strømloop for atomerne ikke har en strøm i denne retning), så med K bound = M n vælges netop den korrekte strøm ud. J bound er et udtryk for den strøm der er fanget inde i materialet fordi at ikke K bound J bound 48 af 69

8 MAGNETIKE FELTER I MATERIALER alle strømloop bliver helt kancelleret, hvilket fx sker hvis magnetiseringen er stærkere nogle steder end andre. Med J bound = M får man netop størrelsen af denne strøm der er fanget. Når J bound og K bound er bestemt, kan man regne B-feltet ud direkte med Biot- avarts, Ampères lov, eller ved at regne det magnetiske vektorpotential ud og derefter tage curl af denne, som det var en normal strøm. Ved beregning af K bound = M n, skal man huske at tage den normalvektor n der peger ud af legemet. Bemærk at det gælder normalvis at den totale strøm i et magnetiseret legeme L Jbound dτ + L Kbound da. Eksempel 29 (Uniform mangetisereret lang cylinder). Lad der være givet en magnetisering M, der er uniformt langs z-aksen, dvs. M = Mẑ. Vi har J bound = M = (dette gælder generelt altid for uniforme magnetiseringer), så strømmen må være langs overaden. Der kan være normalvektorer på den krumme ade, og på endeader, men da endeaderne har retning ±ẑ, og der kan ikke være en overfaldestrøm her, da K bound enderne = M n = Mẑ (±ẑ) =, og på den krumme ade har vi at normalvektoren der peger ud af legemet er n = ŝ og dermed har vi K bound = M n = Mẑ ŝ = M φ. Med symmetriargumenter og Ampères lov, ser man at feltet er i ẑ's retning og vi får dermed at B = µ Mẑ = µ M inde i cylinderen og B = udenfor (det samme som en lang solenoide). Retning af n 8.4 H-feltet H-feltet er det felt, der skyldes alt andet end de bundne strømme grundet magnetiseringen M, og kun skyldes den frie overadestrømtæthed K free = K K bound og de frie volumenstrømtæthed J free = J J bound. De frie strømme er de strømmme der kan kontrolleres, ved at man placerer en strømkonguration, mens de bundne strømme de strømme der ikke kan kontrolleres, og fordeler sig jf. materialets egenskaber (med retning også alt efter om det er para-, dia- eller ferromagnetisme). Vi denerer derfor H-feltet som H-feltet H = µ B M Hele motivationen for at denere H-feltet kommer af at man ved hvad curl af magnetiseringen og B-feltet er: ( ) H = B M = B M = J J bound µ µ = J free Der gælder også specielt at divergensen af H-feltet er H = ( ) B M = B M µ µ = M Curl Divergensen og potentialet 49 af 69

8 MAGNETIKE FELTER I MATERIALER Der kan derfor ikke generelt opskrives et vektorfelt, der beskriver et potentiale da divergens ikke altid forsvinder. 8.4. Ampères lov i materialer Ampères lov er ligeså brugbar i materialer, som den er generelt. Med formalismen og frie strømme, tager denne udseendet γ H dl = I free enc, og man bruger højrehåndsreglen og integrationsretning som beskrevet i afsnit 7.4. Den eneste forskel er nu blot at man kun kigger på de frie strømme (I free enc = I I bound ), der går i gennem sit amperiske loop. Man skal dog passe på med at konkludere at H = alle steder, bare fordi der ingen frie strømme er, da Ampères H =? lov kun er brugbar for meget symmetriske situationer. Et eksempel hvor det ikke holder, er fx. en stangmagnet, der har en uniform magnetisering den ene retning. Det er klart at der ingen frie strømme er, og symmetrien er tilstrækkelig til at man kan konkludere at H = inde i magneten, men udenfor er det klart at der er et B-felt. Er man ude for at situationen ikke er symmetrisk nok til at man kan konkludere noget, må man beregne B (og M) og derefter direkte bruge denitionen H = µ B M. Eksempel 3 (Find H- og B-feltet for en lang cylindrisk stangmagnet med radius R og M = f(s)ẑ). Uanset hvordan f(s) er konstrueret, så har vi I free = alle steder. Vi vil først bestemme H-feltet inde i cylinderen, og vælger et rektangulært ampereloop med længde l og højde h, som går fra udenfor cylinderen og ind. Det er let at se at udenfor cylinderen er H-feltet H =, da et ampereloop vil give H = konstant, og da vi ved at H for s. amtidigt er strømkongurationen isotrop i både z- og φ-retningen, så H-feltet kan kun evt. have retningen z. Da har vi γ H dl = H l = Ifree enc = H =. H-feltet er således alle steder. Vi har da inde i cylinderen at B = µ M = µ f(s)ẑ og B = udenfor. 8.5 Lineære materialer For en del paramagnetiske og diamagnetiske materialer, gælder det at M B, og denne sammenhæng skrives sammen med H-feltet; M = χ m H, hvor χ m er den magnetiske usceptibilitet, der er enhedsløs og der gælder at χ m R. Diamagnetiske materialer har χ m < og paramagnetiske materialer har χ m >, og vakuum har χ m =. krevet over i sammenhængen med B-feltet, så har vi usceptibilitet B = µ (H + M) = µ ( + χ m ) H = µh 5 af 69

8 MAGNETIKE FELTER I MATERIALER, hvor µ = µ ( + χ m ) er permeabiliteten af materialet. elvom der nu er en lineær sammenhæng mellem B og H, vil B-feltet stadig være diskontinuert når man krydser randen af legemet, der er magnetiseret. 8.6 Grænseovergange i magnetiske materialer B-feltet er diskontinuert når det krydser en bunden overadestrømtæthed K bound med normalvektor n, men det er H-feltet ikke, da denne kun er afhængig af de frie strømme. Vi har Ikke-diskontinuert H above H below = (M above M below = ) H above H below = (K free n, hvor n er den enhedsadenormal, der peger opad (man skal vælge den normalvektor som dikteres af højrehåndsreglen og H K free ). Vi kan også indføre den relative permeabilitet µ r = µ/µ = + χ m. Der gælder desuden også at µ < µ for diamagnetiske materialer og µ > µ for paramagnetiske materialer. Men er der en ade med en ikke-bunden overadestrømtæthed, er H-feltet også diskontinuert naturligvis. ) 5 af 69

9 ELEKTRODYNAMIK 9 Elektrodynamik 9. Ohms lov Der gælder helt generelt at der løber en strøm når ladninger påvirkes af en kraft (klart, da de så vil bringes i bevægelse) og derfor så er J. Kraften pr. ladning f = F/Q er de este materialer proportional med J, altså J = σf. Konstanten σ er konduktiviteten af materialet som strømmen løber i, og der gælder at σ, så strømmen løber i den retning som de bliver påvirket af kraften. Desto større σ, desto lettere er det at lede en strøm (let forstået på den måde at E kan være mindre for at give den samme strøm), og der gælder for perfekte ledere at σ =, og for dielektrika at σ (ihvertfald efter et stykke tid, når polariseringen har indfundet sig). f kan fx skyldes en kemisk reaktion eller - det er underordnet. Oftest skyldes det dog elektromagnetiske kræfter, og fra Lorentz kraftlov så ved vi at kraften pr. ladning på som følge af elektromagnetiske kræfter er givet ved f = E + v B. Da der i materialer oftes gælder at v, så kan man i de este tilfælde 2 se helt bort fra den magnetiske kraft. Vi har da Ohms lov [på feltform] givet ved: Konduktivitet Ohms lov J = σe Det ses (som vi vidste fra Gauss' lov i elektrostatikken) at i perfekte ledere har vi E = J =, selvom J. Ohms lov [på skalarform], der er en emperisk lov, udtaler sig i stedet direkte om spændingsforskellen (der skal regnes som positiv) V mellem to punkter på lederen, der er proportional med strømmen I gennem lederen Ohms lov V = RI Modstanden R er en geometrisk størrelse, der kan udregnes mere specikt ved at beregne spændingen og strømmen ud fra J = σe ved: I = J da V = E dl γ, hvor det i situationen giver sig selv hvad kurven γ er, og aden er. Herefter kan man ud fra V = RI aæse R - generelt gælder der at σ /R som en god tommelngeregel. Modstand 2 Et tilfælde hvor den ikke helt holder er i vakuum hvor B ændres over tid. 52 af 69

9 ELEKTRODYNAMIK Eksempel 3 (To metalobjekter i et ledende materiale, modstand som funktion af kapacitans og spænding som funktion af tid (problem 7.3)). a) Lad os kalde legemet der indeholder de to metalobjekter og 2 for L og de to metalobjekter for L og L 2. trømmen I der går fra til 2 er den samme den der går fra 2 til med modsat fortegn. Bruges Ohms lov J = σe og integrerer vi over randen af legemet L, har vi jf. Gauss' lov at J = σe J da = σ E da I = σq L L ɛ Hvis L og L 2 fungerer som kapacitor, må der være en ladning på Q = Q 2 = Q (uden fortegn) i hver af dem. Da denitionen på kapacitans siger at V = Q C og Ohms lov også siger at V = IR, har vi: V = Q C = IR Q C = σq ɛ R R = ɛ σc om det skulle vises. b) Der gælder Ohms lov, og vi har V = IR og bruger vi denitionen af kapacitans har vi CV = Q CRI = Q I = RC Q og ved dierentiation mht. tiden har vi Q = I og dermed fremkommer dierentialligningen I = RC I, som har løsningen I(t) = I e RC t og ved multiplikation med R på begge sider får vi jf. Ohms lov at V (t) = RI e RC t = V e RC t = V e σ t ɛ = V e t τ med τ = ɛ σ. 9.. E er uniform i ledere Det gælder for et materiale at E-feltet er uniform inde i en leder af længde L, der har samme tværsnitsareal langs hele materialet, hvilket kan indses ved at løse Poissons ligning. Lad os sige at der mellem to punkter a = og b = L på lederen er spændingsforskellen V = V b V a = V b. På overaden af lederen har vi at J n = σe n =, da arealet er det samme ned langs lederen. Vi har da jf. afsnit 4.3. at E = V n =, og V er da den samme på overaden som inden i lederen. Da der ingen stationære ladninger er, reducerer Poissons ligning til Laplaces ligning. Vi kender da spændingen på alle aderne for lederen og jf. første entydighedssætning fra afsnit 5.2, så er V entydigt bestemt og vi skal da blot gætte en løsning der giver det rigtige potentiale de rigtige steder dvs. V () = og V (L) = V b. Dette er ikke så svært; vi har let at V (x) = V x V L. Følgevis er E = x x vist. = V L x og det ønskede er Har man en leder der fx buler ud et sted, vil strømmen igennem her stadig være den samme som alle andre steder (Kirchhos kredsløbslove), men J n = σe n i området, så V n og spændingen i dette punkt er altså anderledes og følgevis er det elektriske felt heller ikke uniformt. 9..2 Joules lov Det gælder at eekten der leveres af en strøm til en resistor, hvor der over er et spændingsfald V, er givet ved P = d dt E = d dt V Q = V dq dt = V I. Fra Ohms lov har vi at V = RI, så vi har alt i alt Joules lov 53 af 69

9 ELEKTRODYNAMIK P = V I = I 2 R, der kaldes Joules lov. Vil man udregne energien der leveres til en resistor (og derefter går tabt som varmeenergi), har vi E (t) = t P dt = t V Idt = R At der i sidste integrale står I 2, fortæller at ligegyldig strømmens retning, så vil der altid leveres energi til resistoren. Eksempel 32 (Bestem energien der afsættes i en modstand R med strømmen I (t) = kt exp ( t/2c) mellem t = og t = ). Vi får direkte ved integration: t I 2 dt E = P dt = R [ = Rk 2 c 3 e t c I 2 dt = R )] ( 2t c + t2 c 2 + 2 (kte t 2c ) 2 dt = Rk 2 t 2 e t c dt )) ( ( = Rk 2 c 3 e 2 c c + 2 c 2 + 2 = 2Rc 3 k 2 9.2 Elektromotorisk kraft Et elektrisk kredsløb er en geometrisk konguration af ledere, der kan parameteriseres med en lukket kurve γ. I et elektrisk kredsløb opstår der et elektrisk felt E pga. ladningerne (selvom de er bevægelse), som spreder ladningerne så meget ud som hinanden og derfor er I den samme alle steder. Hvis ikke strømmen var den samme alle steder, ville ladninger hobe sig op ét eller ere steder og så ville de alligevel kort tid efter være udjævnet, da ladningerne frastøder hinanden. Hvis ladningerne bliver påvirket af en kraft pr ladning f s (en-eller-anden måde der er uinteressant for nu) så er den totale kraft pr. ladning på ladningerne da f = f s + E. Vi denerer da den elektromotoriske kraft (emf) E til at være det lukkede linjeintegrale rundt i kredsløbet (givet ved parameteriseringen γ) E = γ f dl = γ f s dl Elektrisk kredsløb Udjævning Biddraget fra E giver intet biddrag. at kurveintegralet over en lukket kurve for E er E dl = uanset hvordan denne kurve ser ud når det er elektrostatik, så den kan ignoreres (men det skal vides at den er der). E kan fortolkes som et arbejde pr. ladning, og den har en række ting til fælles med det elektriske potential for en ladningskonguration, og i visse tilfælde (som fx det nedenstående) er de også lig hinanden. 9.2. f s skyldes batteri, ideele og ikke-ideele batterier I et ideelt batteri er σ = og i dets indre må vi da have f = f s + E = f s = E. Potentialforskellen mellem polerne er da V = E dl = f s dl = γ f s dl = E Batteri 54 af 69

9 ELEKTRODYNAMIK Eksempel 33 (Ikke-ideelt batteri). Har vi et ikke ideelt batteri, har batteriet en indre modstand R i og σ <. Vi har da f = f s + E = σ J E = σ J f. Potentialforskellen mellem polerne er da V = E dl = (f σ J ) dl = f s dl σ J dl åfremt at det antages at strømmen er en leder med samme tværsnit A langs hele laderen, er J konstant og vi har derfor J dl = Jdl og lad længden af det stykke strømmen går i gennem være l. Vi har da videre V = γ f s dl σa JA dl = E l σa I = E R ii Det kan vises at man får samme resultat, selvom man ikke gør så [strenge] antagelser om hvor strømmen bender sig. Bemærk at når man gør disse antagelser om hvor strømmen er, kan man generelt udregne modstanden direkte ved R = Eksempel 34 (Pladekondensator som elektromotorisk kraft (problem 7.6)). Kapacitatorpladerne er her den elektromotoriske kraft, f s = E. Man kunne fristes til at tro at E = γ f s dl = γ E dl = h E dl, da der ikke er nogen elektromotrisk kraft udenfor pladerne, når man går rundt i strømkredsen γ (feltet er ). Men dette er naturligvis forkert, da vi ved at kurveintegralet over en lukket kurve for E er E dl = uanset hvordan denne kurve ser ud når det er elektrostatik (hvilket det er her). Konklusionen må derfor være at randeekterne fra pladerne netop må modvirke biddraget fra dem lodrette del af loopet. Fra ohms lov har vi da at E = V = RI = I =. 9.3 Elektromagnetisk induktion l σa. 9.3. f s skyldes magnetfelt, motional emf Bevæger man sit kredsløb med en hastighed v, påvirkes de ladninger der er inde i kredsløbet med en kraft pr. ladningsenhed givet ved den magnetiske kraft f mag = v B. Den elektromotoriske kraft er da givet ved E = f mag dl = (v B) dl Der bliver således induceret en emf (en spænding), og derfor jf. Ohms lov også en strøm. Den inducerede strøms retning fås ved at bruge Lorentz kraftlov; strømmen vil da gå i samme retning som krydsproduktet v B. Motional emf Retning 9.3.2 Fluxreglen og Faradays lov Om det magnetiske ux Φ B gennem en ade som kredsløbet givet ved parameteriseringen af den lukkede kurve γ er indeholdt i Φ B = B da 55 af 69

9 ELEKTRODYNAMIK, gælder det at sammenhængen med den elektromotoriske kraft E er givet ved uxreglen: E = Φ B t = t B da Det eneste der betyder noget er ændringen i det magnetiske ux - ikke hvordan den er opstået. Fluxreglen er den samme ligning for tre forskellige tilfælde (der kan godt ske kombinationer af dem alle 3, men uxreglen er stadig gældende), som har lidt forskellig betydning Motional emf (bevægelse af strømloop): Dette situationen som beskrevet i afsnit 9.2.2; Et i tiden konstant magnetfelt holdes stationært og et kredsløbsloop bevæges igennem B med hastigheden v og der induceres en strøm som går i samme retning som krydsproduktet v B. Motional emf (bevægelse af magnetfelt): Kredsløbsloopet γ holdes nu i ro, mens magnetfeltet bevæges i med hastigheden v. Der induceres en strøm som går i samme retning som krydsproduktet v B, da det svarer til forrige situation ved at vælge et referencesystem der bevæger sig med hastigheden v ift. kredsløbsloopet, der så jf. Gallileitransformationen bevæger sig med hastigheden v. Faradays lov (tidsmæssigt ændrende magnetfelt): B-feltet ændres i tiden, så B t. Der induceres en strøm i den retning som Lenz' lov dikterer. I det tredje tilfælde bliver der udført et arbejde på ladningerne i ledningerne, men alt er stationært, så har vi fra Lorentz kraftlov at f mag = v B = B =, så kraften er ikke magnetisk. om Faraday også k inspiration til at foreslå, så giver det ændrede B-felt anledning til et E-felt, selvom der ingen frie ladninger kan observeres. Vi siger også at et ændrende magnetfelt inducerer et elektrisk felt, og dette elektriske felt kan godt udføre et arbejde. På dierentialform lyder Faradays lov da (fås ved at bruge tokes sætning på E = f dl = B E dl = t da) da E = B t Det gælder at for solenoidale felter som B-feltet at uxet ikke afhænger af aden man integerer over, men kun af randen. Man kan derfor vælge vilkårligt, så længe γ =. Af samme grund kan det magnetiske ux også ndes ved at lave et kurveintegrale af det magnetiske vektorpotential langs kredsløbet γ, der kan være anvendelig, hvis man skal udregne uxet som skyldes en magnetisk dipol. E = t γ A dl Motional emf Faradays lov Induceret E Dierentialform Uafh. af 9.3.3 Lenz' lov Naturen afskyer ændringer i det magnetiske ux 3. For alle typer uxændringer, uanset hvor kompliceret det end måtte være, kan dette bruges til at nde 3 Men naturen afskyr ikke det magnetiske ux! 56 af 69

9 ELEKTRODYNAMIK retningen af den inducerede strøm i kredsløbet. Den inducerede strøm vil netop gå i den retning, der prøver at modvirke uxændringen. Dvs. at man bruger højrehåndsreglen og følgende opskrift: Retning I ind. Identicer den overordnede retning af B-feltet (der evt. ændres over tiden), der giver anledning til et ux Φ B. 2. Læg din tommelnger langs den retning af kredsløbet, som gør at håndaden (skal pege ind mod det indre af kredsløbet, der er afgrænset af den lukkede kurve ) og ngrene for enden af dem, peger i den retning som ville give et magnetfelt i retningen B. 3. Tommelngerens retning er da retningen af I ind. Eksempel 35 (Bestem den elektromotoriske kraft induceret i et rektangulært loop [, a] [, a] af et felt B (y, t) = ky 3 t 2 ẑ (problem 7.3)). Normalvektoren til det rektangulære loop er ẑ, så vi kan beregne uxet gennem loopet direkte Φ B = B da = a a Vi har da den elektromotoriske kraft givet ved E = Φ B t = kt 2 a 5 t 4 ky 3 t 2 dxdy = kt2 a 5 = kta5 2 Det negative fortegn viser at ved at bruge højrehåndsreglen at den inducerede strøm går i negativ omløbsretning, da positiv retning skaber et positivt ux. Vi ville få det samme med Lenz' lov og bare kun beregne størrelsen af E. 9.3.4 Faradays lov på integralform 4 På integralform er Faradays lov E dl = t B da = Φ B t analog med Ampéres lov og giver derfor en nem metode (i symmetriske situationer) til at bestemme det inducerede E-felt. Alle metoderne, der er gyldige ved Ampéres lov for magnetostatik (afsnit 7.4), er også gyldige her, og lige så alle symmetriargumenter. Det gælder også at man skal bruge højrehåndsreglen for at bestemme integrationsretningen, der skal stemme overens den giver konstituerer en negativ uxændring B r = r B, hvor r er afstandsvektoren fra et punkt inde i ud til kurven som der integreres over. Ampères lov er kun gyldig i det kvasistatiske som beskrevet i afsnit 7.4, men i praksis gyldig så længe vi ikke kigger på bølger/stråling, så disse eekter ignorerer vi normalvis og bruger Ampères lov alligevel. Integralform Integrationsretning Kvasistatisk 57 af 69

9 ELEKTRODYNAMIK Eksempel 36 (Beregn det inducerede elektriske felt for en lang solenoide med radius a og n vindinger pr. længdeenhed med en tidsafhængig strøm I(t) (problem 7.5)). B-feltet for en lang solenoide er i den kvasistatiske approksimation B = µ ni(t)ẑ inde i cylinderen og B = udenfor. Er vi inde i cylinderen, har vi derfor uxet gennem en cirkulær ade inde i solenoiden (s < a) givet ved Φ B = πs 2 µ ni(t), mens uxet for s a er givet ved Φ B = πa 2 µ ni(t) og er konstant. Da retningerne φ og z er isotrope, kan det inducerede E-felt kun afhænge af s. Retningen af det inducerede E-felt må være φ jf. højrehåndsreglen. Vi har da for s < a at Faradays lov på integralform siger For s a har vi E dl = Φ B t = πs 2 µ ni E 2πs = πs 2 µ ni E = sµ ni 2 E dl = Φ B t = πa 2 µ ni E 2πs = πa 2 µ ni E = a2 µ ni 2s Og dermed altså, bemærk at E-feltet er kontinuert, har vi: E = φ sµ n I 2 a2 µ ni 2s φ for s < a for s a 9.4 Induktans Hvis man har to lukkede kredsløb givet ved de lukkede kurver γ og γ 2 og sender en strøm Ĭ igennem γ, så gælder det at uxet gennem γ 2 er givet ved Φ 2 = B da = M 2 Ĭ 2 Fra Biot-avarts lov ses det at B Ĭ og dermed gælder det også generelt atuxet er proportional med strømmen igennem kredsløbet. ender vi i stedet den samme strøm Ĭ igennem γ 2, og udregner vi uxet igennem γ, så får vi med Φ = B 2 da = M 2 Ĭ Neuman-ligningen, der kan bruges til at udregne induktansen 4 M 2 eller M 2 M = µ dl dl 2 4π 2 ı Φ I Neuman-ligningen, viser at M 2 = M 2 = M, og dermed også at Φ = Φ 2. Det er altså ligegyldigt M 2 = M 2 om man udregner uxet gennem γ eller γ 2 ; man kan bare sende strømmen Ĭ igennem den anden og så udregne uxet for denne, og dette er slemt brugbart, hvis fx γ har en kompliceret geometri, mens γ 2 har en simpel geometri. Generelt, så gør man 4 Men er for kompliceret i de este tilfælde til praktisk brug 58 af 69

9 ELEKTRODYNAMIK som følger hvis man vil udregne uxet gennem et kredsløb, som skyldes en anden strømkonguration eller induktansen.. Vælg det kredsløb, der producerer det simpleste B-felt når Ĭ sendes i gennem den og lad os kalde den γ. 2. Beregn uxet gennem den anden strømkonguration γ ved at udregne Φ = B da. 3. Vi har da Φ = Φ, og M = Φ/Ĭ = Φ/Ĭ. Når M kendes, kan den elektromotoriske kraft, der induceres i et af kredsløbene udregnes, og man kan evt. udnytte at M 2 = M 2 = M sammen med E = M di dt Eksempel 37 (Et kvadratisk loop med siderne a med strømmen I = kt (negativ omløbsretning) placeret midt mellem et aangt rektangulært loop, der har afstanden 3a i mellem sig, beregn emf i den store rektangel (problem 7.2)). Vi placerer de to rektangler i xy-planen. Det er for kompliceret at beregne M ved at sende strømmen i gennem det lille loop (korte ledninger har ikke et særligt homogent felt, og slet ikke et som vi kan beregne), så vi vælger at sende strømmen I = kt igennem det store rektangulære loop, da denne har et felt, der er givet ved superposition af de to lange ledningers felt, hvis vi ser bort fra endestykkernes biddrag; B = 2 µi 2πy ẑ = µ I πy ẑ. Fluxet gennem det lille kvadrat er da Φ 2 = B da = 2 2a a a µ I πy dxdy = µ Ia π ln 2 Vi kan da aæse M = µ a π ln 2. Den inducerede elektromotoriske kraft i det store rektangel er da (bemærk at I er en positiv strøm), så vi har E = M di dt = µ a ln 2dkt π dt = µ ak π ln 2 Og det ses at den inducerde strøm løber i positiv omløbsretning, hvilket vi også ville få med Lenz' lov. 9.4. elvinduktans En strømkonguration påvirker sig selv, da når den producerer et magnetfelt, også skaber et ux igennem sig selv. Da dette ux er proportional med strømmen der sendes igennem strømgurationen, og vi kalder proportionalitetskonstanten L for selvinduktansen. Der gælder altså Φ selv I elvinduktans L = Φ I elvinduktansen er ligesom induktansen en ren geometrisk (og positiv) størrelse. Der induceres derfor en elektromotorisk kraft i strømkongurationen, der har størrelsen 59 af 69

9 ELEKTRODYNAMIK E back = L di dt E back er den før omtalte back-emf, der opstår som følge af Lenz' lov, og medfører at man ikke bare sådan kan ændre Man skal bemærke at man skal udregne det totale ux, der går igennem strøm- gurationen selv. Dvs., har man noget hvor der er N vindinger, og er Φ uxet gennem én vinding, er det totale ux Φ = NΦ = LI og ud fra denne ligning kan man bestemme L. Back emf 9.5 Ampères lov med Maxwells korrektioner Det viser sig desværre at Ampéres lov er inkonsistent, når man bevæger sig over i elektrodynamikken, da der altid gælder for ethvert vektorfelt X at ( X) = 5. I Ampères lov på dierentialform har vi dog at divergensen bliver ( B) = Maxwells korrektioner µ ( J), men J er generelt ikke nul i elektrodynamikken. For at gøre Ampères lov konsistent i elektrodynamikken, kan man gøre brug af kontinuitetsligningen (afsnit 7.2.), J = ρ ρ t, som vi ved altid er opfyldt. Vi ser at vi kan skrive J = t = t (ɛ E) = (ɛ t E), så trækker vi dette fra på højresiden, så bliver Ampères lov netop konsistent. Vi har således Ampères lov med Maxwells korrektioner: B = µ J + µ ɛ E t = µ J + µ J d Vi sætter forskydningsstrømmtætheden lig J d E = ɛ t. Dette er ikke en strøm der skyldes ladninger i bevægelse, men udelukkende E t, og den tæller derfor heller ikke med i J = J free + J bound. For at få forskydningsstrømmen I d gennem en ade, skal vi således blot udregne følgende adeintegrale: I d = J d da = ɛ E t da Vi kan således konkludere at et ændrende E-felt etablerer et B-felt. Vi siger også at et ændrende E-felt inducerer et B-felt. På integralform lyder Ampères lov med Maxwells korrektioner Φ E B dl = µ I enc + µ ɛ E da = µ I enc + µ ɛ t t = µ I enc + µ I d Man skal integere den vej rundt så når t E og/eller I enc konstituerer en positiv retning, så vil krydsproduktet t E r og/eller I enc r jf. højrehåndsreglen pege i integrationsretningen, hvor r er afstandsvektoren fra t E og/eller I enc til kurven. For at nde retningen på B-feltet, bruges igen højrehåndsreglen, der så peger i retning af t E î eller I enc î. Ampères lov J d B ind Integrationsretning Retning af B 5 Men bare rolig, det har ikke særlig stor betydning for de beregnede resultater så længe vi er i det kvasistatiske tilfælde, h.v.s. beskæftiger os med strømme, der ændrer sig langsommere end i bølger/stråling. 6 af 69

9 ELEKTRODYNAMIK Eksempel 38 (Beregn det inducerede B-felt fra en tyk cylindrisk ledning med radius a skåret over så enderne har en afstand d i mellem sig, men med en konstant strøm I i gennem hver ende (problem 7.3)). Vi har at det elektriske felt mellem de to plader for a d er givet ved E = σ ɛ ẑ. Vi har dermed det elektriske ux gennem en cirkel med radius s a givet ved Φ E = E da = σ ɛ ẑda = σπs2 ɛ = Qs2 ɛ a 2 Det inducerede B-felt kan ikke afhænge af hverken z eller φ, da situationen er isotrop i disse variable, og kan således kun afhænge af s, der er den eneste unikke retning. Retningen af t E î er φ, så dette må være retningen af det inducerede B-felt. Og vi får således ved at bruge Ampères lov med Maxwells korrektioner og vores ampereloopm som en cirkel med radius s at B dl = µ I enc + µ ɛ Φ E t ( Qs 2 = µ ɛ t ɛ a 2 B dl = B 2πs = µ Is 2 ) s 2 Q = µ a 2 t = µ Is 2 a 2 a 2 B = µ Is 2πa 2 φ, da der jf. kontinuitetsligningen gælder Q t og Φ E == Q ɛ, og vi får da: = I. For s > a har vi at uxet er konstant B dl = B 2πs = µ I B = µ I 2πs φ Nøjagtigt som magnetfeltet fra en ledning, der ikke var blevet klippet over. I praksis vil den pladekondensator som ledningsenderne udgør hurtigt blive ladet op, og strømmen vil derfor hurtigt holde op med at løbe. 6 af 69

Indeks n-polygon, 67 Ækvipotentiale, 9 afstandsvektor, 3 Ampères lov, 38 Ampères lov m. Maxwells rettelse, 6 Ampères lov, linjestrømme, 38 Ampères lov, materialer, 5 Ampères lov, planer, 39 Ampères lov, solenoider, 39 Ampères lov, toroider, 39 Atompolariserbarheden, 28 Back emf, 45 Billedmetoden, 26 Biot-avarts lov, 36 Bunden overadeladning, 3 Bunden overadestrømtæthed, 48 Bunden volumenstrømtæthed, 48 Bundne volumenladning, 3 Cirkel, 67, 68 Coulomb's lov, 3 Curl af det elektrostatiske felt, 6 Curl af det magnetostatiske felt, 36 Curl, E generelt, 56 Curl, H-feltet, 49 Curls, Cykloide, 68 Cylinder, 68 Cylindrisk symmetri, 5 Cylindriske koordinater, 8 Det elektriske potential, 6 Diamagnetisme, 47 Dielektrika, 28 Dierentialer, 9 Dipol, induceret, 28 Dipolled, elektrostatik, 2 Dipolled, magnetostatik, 42 Dipolmoment, elektrostatik, 22 Dipolmoment, magnetostatik, 43 Dipolmoment, punktladninger, 23 Divergens af det elektrostatiske felt, 6 Divergens af det magnetostatiske felt, 36 Divergens, elektrisk forskydningsfelt, 3 Divergens, H-feltet, 49 Divergenser, Elektret, 3 Elektrisk forskydningsfelt, 3 Elektrisk kredsløb, 54 Elektrisk leder, 8 Elektriske dipoler, 24 Elektromotorisk kraft, 54 Elektrostatisk tryk, 9 Ellipse, 67, 68 Ellipsoide, 68, 69 Energi, elektrisk dipol, 29 Energi, frie ladninger, 32 Energi, kontinuert ladningsfordeling, 8 Energi, magnetisk dipol, 46 Energi, magnetisk felt, 45 Energi, samle ladningskonguration, 7 Enheder, 66 Entydighedssætninger, 25 Faradays lov, 56 Faradays lov, integralform, 57 Ferromagnetisme, 47 Fladeelementer, 9 Fladenormal, 9 Fluxreglen, 56 Forskydningsstrømmtætheden, J d, 6 Fri overadeladningstæthed, 3 Fri overadestrømtæthed, 49 Fri volumenladningstæthed, 3 Fri volumenstrømtæthed, 49 Gauÿ lov, dielektrika, 3 Gauÿ' lov, 5 Grænseovergang ved overadeladning, 33 Grænseovergang, bundne strømme, 5 Grænseovergange i elektrostatik, 2 Grænseovergange i magnetostatik, 4 Gradienter, Graf, 69 H-feltet, 49 Højrehåndsreglen, 34 62

INDEK Hyperbola, 68 Ideelt batteri, 54 Ikke-ideelt batteri, 55 Inducerede ladninger, 9 Induceret B-felt, 6 Induktans, 58 Integrationsretning, 38 Irrotationelt vektorfelt, 5 Joules lov, 54 Kapacitans, 2 Kegle, 68, 69 Konduktivitet, 52 Kontinuert ladningsfordeling, 3 Kontinuitetsligningen, 35 Kraft på elektrisk dipol, 28 Kraft på lineær dielektrika, 32 Kraft på magnetisk dipol, 46 Kraftmoment på elektrisk dipol, 28 Kraftmoment, magnetisk dipol, 46 Kugle, 68 Kvasistatisk, 38 Laplaceoperatoren, skalar, Laplaceoperatoren, vektor, Laplaces ligning, 25 Laplaces ligning, magnetostatik, 4 Legendre polynomium, 22 Lenz' lov, 56 Lineære dielektrika, 32 Lineære magnetiske materialer, 5 Linje, 68 Linjeelementer, 9 Lorentzkraften, 44 Magnetiseringen, 48 Magnetisk dipol, 43 Magnetisk vektorpotential, 4 Maxwells ligninger, 2 Modstand, 52 Monopolled, magnetostatik, 42 Multipolekspansion, elektrostatik, 2 Multipolekspansion, magnetostatik, 42 Ohms lov, 52 Overadestrømtæthed, 34 Paramagnetisme, 47 Perfekte ledere, 52 Permeabilitet, 5 Plansymmetri, 6 Poissons ligning, 25 Polarisationen, 29 Polariseringen, 28 Potential for dipolleddet, 22 Referencepunkt for V, 6 Retning af induceret strøm, 55 ρ bound, 3 elvinduktans, 59 fære, 69 færisk symmetri, 5 færiske koordinater, 6 σ bound, 3 olenoidalt vektorfelt, 5 tangmagnet, 5 trøm, 34 uperposition, magnetisme, 37 uperpositionsprincippet, 3 usceptibilitet, magnetisk, 5 ymmetriargumenter, Ampères lov, 38 ymmetriargumenter, Gauÿ' lov, 5 Torus, 68 totale ladning, 4 Trapez, 67 Uniform polarisering, 3 Vektoranalysens hovedsætninger, 5 Volumenelementer, 9 Volumenstrømtæthed, 35 Neuman ligningen, 58 63 af 69

A APPENDIX A Appendix A. Elektriske felter og potential for standardkongurationer 6 Ladningskonguration Koordinater E V ρr 3ɛ fære med ρ = k, radius R færisk = r, r R ( R 2 6ɛ 3R 2 r 2 ), r R = Linje med længden Log linjeladningstæthed λplaceret med den ene ende i origo og den anden i x = Li afstanden dpå z-aksen Firkantet loop med siderne a med linjeladningstæthed λi afstanden dover centrum Cirkulært loop, radius R med linjeladning λi afstanden dover centrum Cirkulært disk, radius Rmed overadeladningstæthed σ afstanden dover centrum Uendelig lang linje med linjeladningstæthed λ placeret på i z-aksen Uendelig stort plan med overadeladningstæthed σ placeret i xy-planen V beregner på z-aksen Kartesisk = λ 4πɛd Kartesisk = λ πɛ 3ɛ Cylindrisk = λ 2ɛ Cylindrisk = σ 2ɛ ρr 3 r, r > R r 2 [( ) d d 2 +L 2 x + L d 2 +L 2 ( [ d 2 + a2 4 ad ) d 2 + a2 2 Rd ẑ (R 2 +d 2 ) 3/2 d R 2 +d 2 ] ẑ ] 3ɛ ẑ = σ 2ɛ Cylindrisk = 2πɛsŝ λ = λ 2πɛ Kartesisk = σ ẑ = σ 2ɛ 2ɛ ρr 3 r, r > R ( R 2 + d 2 d ) ln (s/a) (z a) 6 Hvis ikke vilkårligt punkt a R står der, er referencepunktet for V. 64 af 69

A APPENDIX A.2 Magnetiske felter for standardkongurationer trømkonguration Koordinater B Uendelig lang solenoide med n vindinger pr. længdeenhed, radius R, strøm Iplaceret kocentrisk med z-aksen Endelig lang solenoide med n vindinger pr. længdeenhed, radius R, strøm Iplaceret kocentrisk med z-aksen med vinkel θ ift. første vinding og vinkel θ 2 ift. sidste, på z-aksen Uendelig lang ledning med strøm Ii en radial afstand sfra den Endelig lang ledning med strøm Ii en radial afstand sfra den, koncetrisk med z-aksen med vinkel θ ift. første vinding og vinkel θ 2 ift. sidste. Cirkulært loop, radius Rmed strøm Ii afstanden dover centrum (z-aksen) Uendelig plan med K = K x, plan placeret i xy-planen Toroidal spole med konstant krumt tværsnitsareal, og N vindinger rundt om dette areal og strøm I, placeret i origo Kugleskal med radius R, uniform overadeladningstæthed σ, med vinkelhastighed ωi origo. µ niẑ, s < R Cylindrisk =, s R Cylindrisk Cylindrisk Cylindrisk Cylindrisk = µ ni 2 (cos θ 2 cos θ ) ẑ = µ I 2πs φ = µ I 4πs (sin θ 2 sin θ ) φ = µ I 2 R 2 (R 2 +d 2 ) 3/2 ẑ µ K 2 Kartesisk = ŷ, z > µ K 2, z < µ NI φ 2πs, I spolen Cylindrisk =, Udenfor 2µ σr 3 ω, r < R færisk B =, r R µ Rωrσ sin θ φ, r < R A = 3 µ R 4 ωσ sin θ 3r 2 φ, r R 65 af 69

A APPENDIX A.3 Enheder på forskellige størrelser tørrelse Enhed A magnetisk vektorpotential Tm = N/A = kg m/ ( s 2 A ) α polarisabilitet C 2 m/n = A 2 s 4 /kg B magnetfelt T = N/ (Am) = kg/ ( s 2 A ) χ e elektrisk susceptibilitet enhedsløs χ m magnetisk susceptibilitet enhedsløs D forskydningsfelt C/m 2 = A s/m 2 E elektromotorisk kraft V = J/C = m 2 kg/ ( s 3 A ) E elektrisk felt V/m = m kg/ ( s 3 A ) ɛ, ɛ (vakuum) permittivitet C 2 / ( m 2 N ) = A 2 s 4 / ( m 3 kg ) ɛ r relativ permittivitet enhedsløs H H-felt A 2 T/N = A/m I strøm C/s = A J volumenstrømtæthed C/ ( m 2 s ) = A/m 2 K overadestrømtæthed C/ (ms) = A/m C kapacitans F = C/V = A 2 s 4 / ( m 2 kg ) L selvinduktans H = Vs/A = m 2 kg/ ( A 2 s 2) λ linjeladningstæthed C/m = As/m M (gensidig) induktans H = Vs/A = m 2 kg/ ( A 2 s 2) M magnetisering A 2 T/N = A/m m magnetisk dipolmoment m 2 A µ, µ (vakuum) permeabilitet N/A 2 = m kg/ ( A 2 s 2) µ r relativ permeabilitet enhedsløs N kraftmoment Nm = m 2 kg 2 /s 2 P polarisering C 2 V/ ( m 3 N ) = As/m 2 p elektrisk dipolmoment C 2 V/N = Asm Φ B magnetisk ux Wb = Tm 2 = m 2 kg/ ( s 2 A ) Φ E elektrisk ux Vm = m 3 kg/ ( s 3 A ) Q ladning C = As R modstand Ω = V/A = m 2 kg/ ( A 2 s 3) ρ volumenladningstæthed C/m 3 = As/m 3 ρ resistivitet Ωm = m 3 kg/ ( A 2 s 3) σ overadeladningstæthed C/m 2 = As/m 2 σ konduktivitet (Ωm) = A 2 s 3 / ( m 3 kg ) V elektrisk potential V = J/C = m 2 kg/ ( s 3 A ) 66 af 69

A APPENDIX A.4 pecielle integraler ( x ) a 2 + x dx = arsinh 2 a x a 2 + x dx = a 2 + x 2 2 (a 2 + x 2 ) 3/2 dx = x a 2 a 2 + x 2 x (a 2 + x 2 ) 3/2 dx = a 2 + x 2 A.5 Krydsprodukter i kartesiske, cylindriske, og sfæriske koordinater x ŷ = ẑ ŷ ẑ = x ẑ x = ŷ I sfæriske og cylindriske, må man bruge den måde man kan udtrykke enhedsvektorerne i form af de kartesiske koordinater og derefter krydse dem - med mindre at man direkte kan se hvad krydsproduktet er (hvilket man ofte kan, ihvertfald i cylindriske koordinater). kal man krydse to vektorer, kan dette i kartesiske koordinater lettest gøres ved at udregne følgende determinant: A B = x ŷ ẑ A x A y A z B x B y B z A.6 Geometriske formler A.6. 2D gurer Figur Ligning Omkreds Areal Cirkel x 2 + y 2 = R 2 2πR πr 2 Ellipse x 2 a 2 + y2 b 2 = πab ( ) Trapez a + b + h sin v + sin v 2 2h (a + b) n-polygon nb 4 nb2 cot (π/n) 67 af 69

A APPENDIX A.6.2 3D legemer Legeme Ligning Overadeareal Volumen Kugle x 2 + y 2 + z 2 = R 2 4πR 2 4 3 πr3 x Ellipsoide 2 + y2 + z2 4 = a 2 b 2 c 2 3 πabc Cylinder x 2 + y 2 = R 2 2πr (r + h) πr 2 h Kegle x 2 + y 2 = k 2 z 2 πr (s + r) 3 πr2 h Torus π 2 ( R 2 r 2) 4 3 π2 (R + r) (R r) 2 A.7 Parameteriseringer af kurver og ader A.7. Kurver 7 Kurve Ligning Parameterfremstilling ( ) Linje y = ax + b at + b ct + d ) ( Cirkel x 2 + y 2 = R 2 R cos t R sin t ( ) Ellipse x 2 a cos t + y2 = a 2 b 2 b sin t ( ) Cykloide Hyperbola at h sin t a h cos t ( ) x 2 a sec t y2 = a 2 b 2 b tan t 7 Den oplistede parameterfremstilling er naturligvis kun én blandt mange parameterfremstilling, men den er valgt så parameterfremstillingen er glat. 68 af 69

A APPENDIX A.7.2 Flader 8 Legeme Ligning Param. fremst. r Interval Funktionalmatrice (x,y,z) (u,v) Fladenormal r u r v fære x 2 + y 2 + z 2 = R 2 R cos v cos u R cos v sin u R sin v u ( π, π) v ( π/2, π/2) R cos v sin u R sin v cos u R cos v cos u R sin v sin u R cos v R 2 cos u cos 2 v R 2 sin u cos 2 v 2 R2 sin 2v Kegle x 2 + y 2 = k 2 z 2 kv cos u kv sin u v u ( π, π) v ( π/2, π/2) kv sin u k cos u kv cos u k sin u kv cos u kv sin u k 2 v x Ellipsoide 2 + y2 + z2 = a 2 b 2 c 2 Graf f : A R 2 R a cos v cos u b cos v sin u c sin v u v f (u, v) u ( π, π) v ( π/2, π/2) a sin u cos v a cos u sin v b cos u cos v b sin u sin v (u, v) A c cos v f f u v bc cos u cos 2 v ac sin u cos 2 v 2 ab sin 2v f u f v 8 Der skal evt. skiftes fortegn på adenormalen for at vælge den der peger udad. Den oplistede parameterfremstilling er naturligvis kun én blandt mange parameterfremstilling, men den er valgt så parameterfremstillingen er glat i så mange punkter som muligt (med glat menes der at søjlerne i funktionalmatricen er lineært uafhængige) 69 af 69