Formelsamling og noter. Elektromagnetisme

Formelsamling og noter. Elektromagnetisme 3. august 2 Dennis Hansen Generelt E = ρ ɛ E = B t B = B = µ J + µ ɛ E t I stof E da = Q enc ɛ D = ɛ E + P D = ɛe E dl = Φ B H = B M H = µ µ B B da = D = ρ free D da = Q free enc B dl = µ I enc + µ ɛ ΦE H = J f + D t H dl = I free enc + Φ D E = ρ 4πɛ L ı 2 îdτ V = ρ 4πɛ ı dτ P = ρbound P n = σ bound B = µ I dl î 4π ı 2 A = µ J 4π ı dτ M = J bound M n =K bound W = ɛ 2 W = 2µ all space all space E 2 dτ F el = QE U = p E N = p E B 2 dτ F mag = Qv B U = m B N = m B E = f s dl E = dφ dt J = σe V = IR

INDHOLD Indhold Forord og indledning 4 2 Vektoranalyse 5 2. Vektoranalysens hovedsætninger..................... 5 2.2 Vektorfelter................................ 5 2.3 færiske og cylindriske koordinater................... 6 2.4 Dierentialer i forskellige koordinater.................. 9 2.5 Gradient, divergens og curl i forskellige koordinater.......... 3 Maxwells ligninger mv. 2 3. tatiske felter............................... 2 3.2 Dynamiske felter............................. 2 4 Elektrostatik 3 4. Det elektriske felt............................. 3 4.2 Gauÿ lov i elektrostatik......................... 5 4.3 Elektrisk potentiale............................ 6 4.4 Arbejde og energi i elektrostatik..................... 7 4.5 Ledere................................... 8 4.6 Elektrostatisk tryk............................ 9 4.7 Kapacitans................................ 2 4.8 Grænseovergange i elektrostatik..................... 2 4.9 Multipolekspansion............................ 2 5 Laplaces og Poissons ligning 25 5. Kort analyse, egenskaber ved løsninger................. 25 5.2 Entydighedssætninger.......................... 25 5.3 Billedmetoden............................... 26 6 Elektrostatiske felter i materialer 28 6. Dielektrika og inducerede dipoler.................... 28 6.2 Polarisation og bundne ladninger.................... 29 6.3 Det elektriske forskydningsfelt...................... 3 6.4 Lineære dielektrika............................ 32 6.5 Energi i lineære dielektrika........................ 32 6.6 Kræfter på lineære dielektrika...................... 32 6.7 Grænseovergange i dielektrika...................... 33 7 Magnetostatik 34 7. Højrehåndsreglen............................. 34 7.2 trømme og strømtætheder....................... 34 7.3 Magnetfeltet og Biot-avarts lov.................... 35 7.4 Ampères lov i magnetostatik....................... 37 7.5 Magnetisk vektorpotential........................ 4 7.6 Grænseovergange i magnetostatik.................... 4 2 af 69

INDHOLD 7.7 Multipolekspansion............................ 42 7.8 Den magnetiske kraft og arbejde, energi................ 44 8 Magnetiske felter i materialer 46 8. Kraft, kraftmoment på dipoler og energien af en dipol........ 46 8.2 Forskellige typer magnetisme...................... 47 8.3 Magnetisering og bundne strømme................... 48 8.4 H-feltet.................................. 49 8.5 Lineære materialer............................ 5 8.6 Grænseovergange i magnetiske materialer............... 5 9 Elektrodynamik 52 9. Ohms lov................................. 52 9.2 Elektromotorisk kraft........................... 54 9.3 Elektromagnetisk induktion....................... 55 9.4 Induktans................................. 58 9.5 Ampères lov med Maxwells korrektioner................ 6 Indeks 62 A Appendix 64 A. Elektriske felter og potential for standardkongurationer....... 64 A.2 Magnetiske felter for standardkongurationer............. 65 A.3 Enheder på forskellige størrelser..................... 66 A.4 pecielle integraler............................ 67 A.5 Krydsprodukter i kartesiske, cylindriske, og sfæriske koordinater... 67 A.6 Geometriske formler........................... 67 A.7 Parameteriseringer af kurver og ader................. 68 3 af 69

FORORD OG INDLEDNING Forord og indledning Denne formelsamling slash notesamling er gældende til kurset Elektromagnetisme på Københavns Universitet. I modsætning til andre notesamlinger man kan nde på nettet, forsøger denne ikke at være en afskrift af D.J. Griths Electrodynamics. Jeg har forsøgt at samle de vigtigste formler og ligninger og knyttet disse til en kort beskrivelse af anvendelser/faldgrupper, samt små opskrifter til hvordan man udregner visse ting. Jeg har også lavet en række eksempler som viser kort hvordan man kan anvende teorien, og har efterstræbt at lave ca. et eksempel til hvert emne. En del af eksemplerne er besvarelser på opgaver i Griths (i så fald, står det der), men der er også en række eksempler, som jeg selv har konstrueret. Fx har jeg konstrueret et eksempel, hvor man bruger Biot-avarts lov direkte til at nde magnetfeltet midt i en ellipse, der mest er en øvelse i Taylorrækker og kunne parameterisere sine kurver rigtigt (se eksempel 2). I alt er der gennemregnet 38 eksempler, som giver et rimelig bredt indblik i hvordan de este opgaver i elektromagnetisme skal regnes. I marginen har jeg tilføjet stikord, så det let at nde præcis det man søger uden at skulle læse hele brødteksten i gennem og der er en index til sidst i dokumentet. I appendix er der to tabeller som mange nok vil nde brugbare - nemlig en med det elektriske felt og potential for en masse standardlegemer, og en med det magnetiske felt for en masse standardlegemer. Et afsnit med enheder på de este størrelser brugt i elektromagnetisme er også angivet, da der til eksamen plejer at være et par spørgsmål med enheder på forskellige størrelser. Derudover er der i appendix også en række geometriske formler, som man kunne få brug for, og (mere usandsynligt) en tabel over parameteriseringer af forskellige kurver og ader for legemer. Forslag til forbedringer og rettelser modtages gerne på mail xnw99@alumni.ku.dk - dette er foreløbig version. (lidt stavefejl og typos rettet, samt tilføjet en ligning i afsnit 4.8, tilføjet afsnittet med enheder i appendix og gjort marginnoterne bredere siden version.) og der tages forbehold for typos og det bør efterstræbes at læse linjerne kritisk - jeg kan have fucked op! Dennis Hansen 4 af 69

2 VEKTORANALYE 2 Vektoranalyse Et legeme betegnes L, en ade betegnes, og en kurve betegnes γ. Randen af et legeme L er specielt en lukket ade, og randen af en ade er specielt en lukket kurve. Notation 2. Vektoranalysens hovedsætninger I vektoranalysen er der 3 vigtige sætninger, der kan omforme et type integrale til et andet. Disse har udseendet: 2.2 Vektorfelter Gradientsætningen Divergenssætningen tokes sætning 2.2. Irrotationelle felter b a γ L f dl = f(b) f(a) () V dτ = ( V) da = L V da (2) V dl (3) For et irrotationelt vektorfelt V gældes der at der ndes en stamfunktion u : R 3 R således at V = u. Følgende re punkter er ensbetydende: ) Der eksisterer en skalarfunktion u så V = u. 2) V = over alt. 3) 4) b a γ γ V dl = u(b) u(a) for enhver kurve γ. V dl = for enhver kurve γ. Enhver stamfunktion af u + c, hvor c er en konstant skalar, giver den samme gradient/vektorfelt, da gradienten af en konstant er lig nul. 2.2.2 olenoidale felter For et solenoidalt vektorfelt V gældes der at der ndes en stamfunktion U : R 3 R 3 således at V = U. Følgende re punkter er ensbetydende: ) Der eksisterer en vektorfunktion U så V = U. 2) V = over alt. 3) 4) V da uafhængig af aden; afhænger kun af adens rand (kommer fra divergenssætningen). V da = for enhver lukket ade (da randen jf. det forrige skrumper sammen til ét punkt). 5 af 69

2 VEKTORANALYE Enhver stamfunktion af typen U + u giver anledning til det samme vektorfelt, da ( u) = for enhver stamfunktion til et irrotationelt vektorfelt V. u kan derfor vælges vilkårligt, hvilket matematisk kaldes at gaugexe sit vektorfelt. 2.3 færiske og cylindriske koordinater Meget symmetriske problemer bliver i vektoranalysen ofte meget nemmere i sfæriske eller cylindriske koordinater, men det har sin pris. kifter man til et af de to koordinatsystemer fra det kartesiske, står man nu med den situation, at ens basisvektorer ændrer sig [i det kartesiske koordinatsystem], når punktet de beskriver sig ændres. Beskrives fx vektorerne v = x og v 2 = x i sfæriske koordinater, vil både r, θ og φ ændres. 2.3. færiske koordinater færiske koordinater beskriver situationer hvor der er sfærisk symmetri meget simpelt. Arbejdes der med kugler, cirkler mv. i problemet, opnår man en fordel ved at skifte til sfæriske koordinater. For at kunne beskrive ethvert punkt i koordinatsystemet, skal (r, θ, φ) antage følgende værdier: tørrelse Interval r [, ) θ [, π] φ [, 2π] kift fra kartesiske koordinater til sfæriske (x, y, z) (r, θ, φ): (x, y, z) (r, θ, φ) 6 af 69

2 VEKTORANALYE x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ kift fra sfæriske til kartesiske koordinater (r, θ, φ) (x, y, z): (r, θ, φ) (x, y, z) r = x 2 + y 2 + z 2 θ = arccos (z/r) φ = arctan (y/x) Enhedsvektorernes retning i det kartesiske koordinatsystem, er funktioner af θ, φ på følgende vis: r, θ, φ r = sin θ cos φx + sin θ sin φŷ + cos θẑ θ = cos θ cos φx + cos θ sin φŷ sin θẑ φ = sin φx + cos φŷ På samme måde kan de kartesiske enhedsvektorer udtrykkes i termer af de sfæriske enhedsvektorer på følgende vis: x, ŷ, ẑ x = sin θ cos φr + cos θ cos φθ sin φ φ ŷ = sin θ sin φr + cos θ sin φθ + cos θ φ ẑ = cos θr sin θθ 7 af 69

2 VEKTORANALYE 2.3.2 Cylindriske koordinater Cylindriske koordinater beskriver situationer hvor der er cylindrisk symmetri meget simpelt, altså ved fx problemer cylindere. For at kunne beskrive ethvert punkt i koordinatsystemet, skal (s, φ, z) antage følgende værdier: tørrelse Interval s [, ) φ [, 2π] z (, ) kift fra kartesiske koordinater til cylindriske (x, y, z) (s, φ, z): (x, y, z) (s, φ, z) x = s cos φ y = s sin φ z = z kift fra cylindriske til kartesiske koordinater (s, φ, z) (x, y, z): (s, φ, z) (x, y, z) r = x 2 + y 2 θ = arctan (y/x) z = z Enhedsvektorernes retning i det kartesiske koordinatsystem, er funktioner af θ, φ på følgende vis: ŝ, φ, ẑ 8 af 69

2 VEKTORANALYE ŝ = cos φx + sin φŷ φ = sin φx + cos φŷ ẑ = ẑ På samme måde kan de kartesiske enhedsvektorer udtrykkes i termer af de sfæriske enhedsvektorer på følgende vis: x, ŷ, ẑ x = cos φŝ sin φ φ ŷ = sin φŝ + cos φ φ ẑ = ẑ 2.4 Dierentialer i forskellige koordinater 2.4. Linjeelementer Linjeelement Kartesisk færisk Cylindrisk dl = dxx + dyŷ + dzẑ dl = drr + rdθθ + r sin θdφ φ dl = dsŝ + sdφ φ + dzẑ 2.4.2 Fladeelementer Hvis man står i en speciel situation, hvor symmetrien tillader det, kan man droppe en af de tre dimensioner, når man skal lave et adeintegrale. Afhængigt af hvilket plan det foregår i; altså hvilken del af dierentialet, der er konstant, bliver adeelementerne som følger: Kartesisk da xy = dxdy da xz = dxdz da yz = dydz færisk da rθ = rdrdθ da rφ = r sin θdrdφ da θφ = r 2 sin θdθdφ Cylindrisk da sφ = sdsdφ da sz = dsdz da φz = sdφdz 2.4.3 Volumeelementer Fladeelement Volumenelement Kartesisk færisk Cylindrisk dτ = dxdydz dτ = r 2 sin θdrdθdφ dτ = sdsdφdz 2.4.4 Fladenormal Hvis aden er givet ved en parameterisering gennem variablene u og v så (u, v) = r (u, v), så ndes adenormalen n ved: Fladenormal n = r u r v r u r v 9 af 69

2 VEKTORANALYE 2.5 Gradient, divergens og curl i forskellige koordinater 2.5. Gradient, f Kartesisk færisk Cylindrisk f = f f x + x y ŷ + f z ẑ h = h r r + h r θ θ + g = g s ŝ + s r sin θ g φ φ + g z ẑ h φ φ 2.5.2 Divergens, Kartesisk, V = v xx + v y ŷ + v z ẑ V = v x x + v y y + v z z ( r færisk, V = v rr + v θ θ + vφ φ 2 ) v r V = r 2 + r r sin θ Cylindrisk, V = v s ŝ + v φ φ + vz ẑ 2.5.3 Curl, V = s (sv s ) s + s v φ φ + v z z (sin θv θ ) θ + v φ r sin θ φ Kartesisk, V = v xx + v y ŷ + v z ẑ x ŷ ẑ V = x y z v x v y v z færisk, V = v rr + v θ θ + vφ φ r rθ r sin θ φ V = r 2 sin θ r θ φ v r rv θ r sin θv φ Cylindrisk, V = v s ŝ + v φ φ + vz ẑ V = ŝ s φ ẑ s s φ z v s sv φ v z 2.5.4 Laplaceoperatoren (skalar), 2 f Kartesisk færisk Cylindrisk 2 f = 2 f x 2 + 2 f y 2 + 2 f z 2 2 h = ( r 2 r 2 h ) + r r 2 g = s s ( s g s r 2 sin θ ) + 2 g s 2 φ 2 + 2 g z 2 ( sin θ h ) + θ θ 2 h r 2 sin θ φ 2 af 69

2 VEKTORANALYE 2.5.5 Laplaceoperatoren (vektor), 2 V = ( V) ( V) Kartesisk 2 V = 2 v xx + 2 v y ŷ + 2 v z ẑ ( færisk 2 V = 2 v r 2v ( r r 2 2 (vθ sin θ) r 2 + v )) φ r sin θ θ φ ( + 2 v θ + 2 ( v r r 2 θ r 2 sin 2 v θ + 2 cos θ v )) φ θ θ φ ( ( + 2 2 v r v φ + r 2 sin θ θ + r 2 sin 2 2 cos θ v )) θ θ φ v φ φ ( Cylindrisk 2 V = 2 v s v s s 2 2 ) ( v φ s 2 ŝ + 2 v φ v φ φ s 2 2 ) v s φ s 2 + ( 2 ) v z ẑ φ af 69

3 MAXWELL LIGNINGER MV. 3 Maxwells ligninger mv. Her er de vigtigste relationer i elektromagnetismen opridset i form af Maxwells ligninger på integralform og dierentialform for både statiske felter og dynamiske felter; L for stof og generelt. Nogle af formlerne står ikke direkte i bogen fordi at de er ret uanvendelige (fx H da = L M da), men for god ordens skyld har jeg medtaget dem. Der står også noteret hvad det er for nogle ader eller kurver der skal integreres over og om de er lukkede osv. Hver af de i alt re Maxwell ligninger står i hver række nedenfor, i de forskellige udgaver de nu kommer i. 3. tatiske felter Generelt E = ρ ɛ E = B = B = µ J I stof E da = Q enc D = ρ free ɛ E dl = D = P γ B da = H = M B dl = µ I enc H = J free γ D da = Q free enc D dl = P dl γ H da = M da H dl = I free enc 3.2 Dynamiske felter Generelt E = ρ ɛ E = B t B = B = µ J + µ ɛ E t E da = Q enc ɛ E dl = B da t B da = B dl = µ I enc + µ ɛ t E da I stof D = ρ free H = J free + D t D da = Q free enc H dl = I free enc + t D da Bemærk i stof gælder der naturligvis også at E = B t tilhørende integralformer. og B = og de 2 af 69

4 ELEKTROTATIK 4 Elektrostatik 4. Det elektriske felt Figur : eparationsvektoren ı's rolle. Coulomb's lov siger at for en kildeladning af størrelsen q er kraften på en testpartikel Q givet ved F = QE = 4πɛ Qq ı 2 î, hvor vektorfeltet E, [E] = N /C = V /m, kaldes det elektriske felt. Vektoren ı er afstandsvektoren mellem q og Q. Det er underforstået på denne skrivemåde, at man vælger et smart koordinatsystem således at stedvektoren, der peger på en kildeladning r og stedvektoren der peger på punktet hvori man vil beregne det elektriske felt r har givet sammenhængen: r = ı + r ı = r r = î = r r r r uperpositionsprincippet giver at det elektriske felt for to eller ere partikler er summen af de felter de ville have lavet, såfremt den anden partikel ikke var der. For n partikler gælder der således: Coulomb's lov Elektrisk felt eparationsvektor uperposition E = n q i 4πɛ i= ı 2 î i i En kontinuert ladningsfordeling opstår når man i forrige formel lader n gå mod uendelig og lader afstanden mellem ladningerne dq gå mod nul. For en kontinuert ladningsfordeling med volumenladningstætheden ρ, overadeladningstætheden σ eller linjeladningstætheden λ (der godt kan afhænge af de mærkede koordinater), er det elektriske felt givet ved: E = 4πɛ L ρ ı 2 îdτ E = 4πɛ σ ı 2 îda E = 4πɛ γ λ ı 2 îdl Her er det underforstået at man bruge de rigtige integraler til de rigtige kongurationer (det giver ikke mening at integrere noget der har en overadetæthed som et linjeintegrale), og at man integrerer over de mærkede koordinater, hvilket blot be- Kontinuert ladningsfordeling 3 af 69

4 ELEKTROTATIK tyder at man skal huske at integrere over ladningsfordelingen og ikke punktet man vil nde det elektriske felt i (koordinaterne til dette punkt fungerer som konstanter). Det gør man dog stortset altid automatisk uden at lægge for mange tanker i det, så det er også underforstået. Eksempel (Det elektriske felt af en ad disk med radius R og overadeladningstæthed σ (problem 2.6)). Vi vil nde E-feltet i et punkt lige over centrum af disken, som vi placerer i origo (og derfor har r = og ı = r) og placerer disken i xyplanen. Vi vil altså beregne E-feltet i punktet z = d over origo, eller (,, d). Vi kan kun have et felt i z-retningen, da vi ser det samme uanset hvilken vinkel vi drejer situationen med i xy-planen, er det det samme. Vi skal derfor løse integralet E z = σ 4πɛ cos θda, som nemmest lader sig gøre i cylindriske koordinater, da det ı 2 jo er en disk. Vi har da E z = 4πɛ R 2π σ ı R s cos θdφds = σ s d σd ds = 2 2ɛ s 2 + d 2 ı 2ɛ = σd [ ] 2ɛ d 2 + R = σ 2 d 2 + 2 2ɛ R [ s (s 2 + d 2 ) ] d R 2 + d 2 3/2 ds 4.. tørrelsen af den totale ladning fra ladningsfordelinger Den totale ladning af en ladningsfordeling kan udregnes som et af de relevante integraler Q = L ρdτ Q = σda Q = k Eksempel 2 (Total ladning af en kugle med radius R og ρ = ). Vi +(x 2 +y 2 +z 2 )/c 2 udregner det relevante volumenintegrale Q = L ρdτ i sfæriske koordinater for at nde den totale ladning af kuglen: γ λdl Total ladning Q = L R 2π π k + (x 2 + y 2 + z 2 ) /c 2 dτ k = + r 2 /c 2 r2 sin θdθdφdr = 4πk [ ( r )] ( ( )) R R = 4πk c 2 r c 3 arctan = 4πk c 2 R c 3 arctan c c R r 2 + r 2 /c 2 dr 4 af 69

4 ELEKTROTATIK 4.2 Gauÿ lov i elektrostatik Figur 2: Gaussiske ader. Gauss' lov siger at det elektriske ux gennem (enhver) lukket ade er et mål for ladningen der er indkapslet af aden: E da = Q enc ɛ Gauss' lov er altid gyldig (forstået på den måde, at uanset hvilken form har, er den altid gyldig, bare den er en lukket ade), men kun brugbar til faktiske beregninger af E i meget symmetriske situationer - sfærisk symmetri, plansymmetri, cylindersymmetri. Når Gauss' lov anvendes, skal der symmetriargumenter til for at bestemme naturen af det elektriske felt - altså størrelse og retning. Dette er argumenter som ofte har karakter af et fysisk modstidsbevis, hvor man overvejer konsekvensen af forskellige situationer. Hvis ladningsfordelingen er isotrop (ens i alle retninger), må feltet være konstant (eksempel: en uendelig stor plade), og hvis ladningsfordelingen kun afhænger af én retning (fx. den radiale retning), kan E kun pege i denne retning, da man vil være i samme situation hvis man ændrede retning ortogonalt på denne (eksempel: en sfærisk ladningsfordeling hvor der gælder ρ(r)). Man vælger i disse tre situationer sin gaussade som følger: færisk symmetri: Gauss' lov er kun nyttig, såfremt at ladningsfordelingen kun er en funktion af radius r. Vælg en kugle med radius r som gaussisk ade. Der gælder da at E da = E da = E(r) 4πr2 = Qenc(r) ɛ. Cylindrisk symmetri: Gauss' lov er kun nyttig, såfremt at ladningsfordelingen kun er en funktion af radius s. Vælg en cylinder med længde L som gaussisk ade. Der gælder da at Qenc(s) E da = E da = E(s) 2πsL = ɛ, da endernes biddrag er forsvindende, hvis cylinderen er meget lang (som det skal argumenteres for før man bruger Gauss' lov). Gauÿ' lov ymmetriargumenter færisk symmetri Cylindrisk symmetri 5 af 69

4 ELEKTROTATIK Plansymmetri: Gauss' lov er kun nyttig, såfremt at overadeladningen er konstant. Vælg en kasse med areal for oven/neden A og højde ε som gaussisk ade. Der gælder da at Qenc E da = E da = E 2A = ɛ, da sidernes biddrag er forsvindende, hvis planen er meget stor. Der gælder kun som konsekvens af Gauss' lov at Q enc = E =, såfremt at symmetrien er tilstrækkelig høj - tænk fx på to kugler hver med ladning Q hhv. Q, der er placeret så de tangerer hinanden; vælges den gaussiske ade til at være det 8-tal der netop indekapsler dem begge, har vi Q enc =, men det er klart at E alle steder. Man kan fx. konkludere ud fra Gauss lov at det elektriske felt i en leder er nulfeltet, da der er lige mange positive og negative ladninger, og vælges der da en gaussisk ade der netóp indeslutter lederen, så har vi at Q enc = og dermed at E =. Eksempel 3 (Det elektriske felt af en kugle med radius R og ρ = k +(x 2 +y 2 +z 2 )/c 2 ). k ρ er i sfæriske koordinater givet ved ρ (r, θ, φ) =, og afhænger således ikke af +r 2 /c 2 θ og φ og ladningsfordelingen er derfor isotrop, og E-feltet kan da kun have en radial retning pga. dette symmetri argument. Vi har jf. forrige eksempel 4πk ( c 2 R c 3 arctan ( )) R c Q(r) = 4πk ( c 2 r c 3 arctan ( )) r og vi får da ved at anvende Gauss' lov at c, for r R, for r < R Plansymmetri Q enc = E da = E da = E 4πr 2 = Q enc(r) E = ɛ k(c 2 R c 3 arctan( R c )) r 2 ɛ r, for r R k(c 2 r c 3 arctan( R c )) r 2 ɛ r, for r < R 4.3 Elektrisk potentiale Da der for elektrostatiske felter gælder at Curl og divergens E = ρ ɛ E =, kan vi jf. afsnit 2.2. nde en funktion W : R 3 R, hvorom der gælder E = W. Vi vælger at denere det elektriske potential (spændingen) er givet ved kurveintegralet langs en kurve γ af det elektriske felt på følgende måde: V (r) = r O E dl, hvor r er et vilkårligt punkt og O ligeledes er et vilkårligt punkt, der dog kaldes referencepunktet. Det eleketriske potentiale er en skalarfunktion (V : R 3 R) og der gælder (da V er en stamfunktion til det statiske elektriske felt), netop at Elektrisk potential Referencepunkt E = ρ ɛ giver os også en nem måde at beregne volumensladningstætheden på. 6 af 69

4 ELEKTROTATIK referencepunktet er ligegyldigt, og at det elektriske felt fås (igen) ved at tage minus gradienten E = V Man skal huske at gradienten skal udregnes på en lidt anden måde når det er kurvede koordinater end hvis det bare er kartesiske. Der gælder også at potentialforskellen mellem to punkter er uafhængig af referencepunktet, og vi har da: V (r) = r O E dl Det elektriske potentiale er altid kontinuert, da det ikke giver mening at tale om det elektriske felt, hvis man end ikke kan tage gradienten af V (som man ikke kan, hvis den ikke er kontinuert). åfremt at ladningsfordelingen ikke strækker sig til i nogen af de tre retninger, så kan man beregne det elektriske potential direkte når der sættes O = (da /ı for ı ), hvilket er noget nemmere end at udregne det elektriske felt for det meste, da der kun er én komponent og ét (helt eller delvist ubestemt) integrale der skal udregnes. Altid kontinuert V (r) = ρ 4πɛ L ı dτ V (r) = σ 4πɛ ı da V (r) = λ 4πɛ γ ı dl Eksempel 4 (Udregning af volumenladningstæthed for et elektrisk felt i sfæriske koordinater givet ved E = ). Vi får for r R at E = ( c krr, r < R cr/r 2 r, r R 2 r r 2) = r 2 ( r 2 r c) = ρ (r R) =. For r < R har vi E = ( r 2 r kr r2) = k ( r 2 r r3) = 3k ρ (r < R) = 3ɛ k. Læg mærke til at det gælder helt generelt at udenfor et legeme er ρ =, da E r 2. Eksempel 5 (Potentialet inde i kuglen med det elektriske felt givet ved krr, r < R E = ). Vi sætter referencepunktet til uendelig, vælger parameteriseringen af vores kurve, så den er parallel med radiusvektoren, og får såle- cr/r 2, r R des V (r) = r O E dr = R c r dr r r 2 R krr dr = R c dr r [ r 2 R krdr = c ] R r [ 2 kr2] r R = c R + 2 kr2 2 kr2. Ville vi også nde potentialet udenfor kuglen, skulle vi også lave integralet r c r 2 r dr. 4.4 Arbejde og energi i elektrostatik For en samling partikler af n partikler, er det arbejde der skal til at samle ladningskongurationen givet ved n partikler W = 4πɛ n i= n j= j>i q i q j ı ij = 8πɛ n i= n j= j i q i q j ı ij = 2 n i= q i n j= j i 4πɛ q j ı ij = 2 n q i V (r i ) i= 7 af 69

4 ELEKTROTATIK, hvor V (r i ) er potentialet af alle andre ladninger ened q i selv. Der i praksis nemmest udregnes direkte som (de første 4 af de i alt n ladninger medregnet): W = ( q q 2 + q q 3 + q q 4 + q 2q 3 + q 2q 4 + q ) 3q 4 +... 4πɛ ı 2 ı 3 ı 4 ı 23 ı 24 ı 34 Med i dette arbejde medregnes ikke arbejdet der skal til at lave partiklerne selv, da vi her ville dividere med nul i formlerne, hvis vi forsøgte at medregne dette. Energien af en samling punktladninger kan derfor godt være negativ (svarende til at Hvad der tæller I en kontinuert ladningsfordeling, kan energien der skal til at skabe ladningerne selv dog godt medregnes sammen med energien til at samle ladningskongurationen, da dq er innitesimal, og afstanden til den næste dq ligeledes er innitesimal. Energien af en kontinuert ladningsfordeling er altid større end eller lig nul. Energien kan udregnes ved man får energi ud af at samle ladningskongurationen). Kontinuert ladningsfordeling W = ρv dτ 2 L = ɛ E 2 dτ + 2 L = ɛ E 2 dτ 2 all space L V E da Eksempel 6 (Udregning af energien i en kugleskal med overadeladningstætheden, r < R σ). Denne kugleskal producerer det elektriske felt E =. Vi kan da σ R 2 ɛ r, r R r 2 nde energien af ladningskongurationen ved integralet W = ɛ 2 E 2 dτ. Vi får i sfæriske koordinater all space ( W = ɛ R 2 = ɛ ( 2 R 4.5 Ledere 2π π 2π π σ 2 ɛ 2 2 r 2 sin θdθdφdr + R 4 sin θdθdφdr r2 2π π R ) = 2πσ2 R 4 ( ɛ R ( σ R 2 ɛ r 2 r 2 dr ) 2 r 2 sin θdθdφdr) ) = 2πσ2 R 4 En (perfekt) leder har den totale ladning Q leder =, men indeholder q positive ladninger og q negative frie ladninger, der kan bevæge sig rundt som de nu engang vil (og det vil de på en bestemt måde jf. Laplaces/Poissons ligning og dens entydighedssætninger). ɛ [ ] = 2πσ2 R 3 r R ɛ 4.5. Egenskaber. E = inde i lederen. Ved tilstedeværelsen af et ydre elektrisk felt, vil de frie ladninger inde i lederen blive tiltrukket hhv. frastødet af E-feltet, og disse inducerede ladninger skaber netop et felt E induceret = E; modsat rettet og samme 8 af 69

4 ELEKTROTATIK størrelse som det eksterne felt, og feltet i lederen er derfor jf. superpositionsprincippet E leder = E + E induceret =. Vælges der en gaussisk ade der netóp indeslutter lederen, så har vi at Q enc = og dermed at E =. 2. ρ = inde i lederen. Følger fra Gauss lov, da E = = ρ/ɛ ρ =. 3. Enhver ladning bender sig på lederens overade. Dette er det eneste sted det kan være jf. punkt 2. 4. En leder er et ækvipotentiale. Følger af at V (b) V (a) = b a E leder dl = b a dl = V (b) = V (a). 5. Det elektriske felt står vinkelret på lederoveraden (E induceret n). Ellers ville ladninger ytte sig på overaden indtil at E induceret n =, og så er E induceret n alligevel det eneste felt. Eksempel 7 (Inducerede ladninger). Hvis en ladningsfordeling med ladningen q er fuldstændig indesluttet af en leder, følger det ved at vælge sin lukkede gaussiske ade som en der går inde i lederen, at da leder E leder da = leder da = Q enc/ɛ = (q + q induceret ) /ɛ = q induceret = q. Dermed vil den del af overaden der vender udad have ladningen q, da Q leder =. Eksempel 8 (To kugleskaller med radius r A r B sammenkoblet med en leder). Da en elektrisk leder er et ækvipotentiale, er spændingen på oversiden af kugleskallerne den samme (hvis den ikke var det, ville ladningerne ytte sig rundt indtil de alligevel var et ækvipotentiale), eller man kan argumentere at med lederen denerer man spændingen på kugleoveraden, og dermed er ladningen og radiussen bundet. pændingen på kugleskallerne er givet ved V = q A 4πɛ ra = q B 4πɛ rb. Deraf følger det også at q A = r A rb q B, der altså ikke kan vælges frit. Da overadeladningstæthederne er σ A = = σ B, altså ikke ens. q A 4πr 2 A q B 4πr 2 B Eksempel 9 (Det elektriske felt inde i et hulrum af en leder, Faraday bur). Hvis vi har en leder af arbitrær udformning, så vil vi nu vise at det elektriske felt inde i et hulrum af lederen (et sted hvor der ingen ladninger er), er nul. Der gælder at γ E dl =, hvor γ er en kurve der går gennem hulrummet det stykke den nu kan, og resten af kurven gennem lederens indre (hvor E = ). Vi har da γ E dl = E hulrum dl + E indre dl = E dl + dl = hulrum E dl + = hulrum indre hulrum E hulrum =. Dette er princippet bag et Faraday bur; det elektriske felt kan afskærmes fuldstændigt ved at anbringe en leder (der ikke behøves være massiv) uden om det man vil beskytte. indre 4.6 Elektrostatisk tryk Trykket (kraft pr. arealenhed) som en overadeladningsfordeling af størrelsen σ udsættes for af et (andet) elektrisk felt er givet ved (dette elektrisk felt er diskontinuert når σ krydses) Tryk på overadeladning f = F A = Q A E = σe average = 2 σ (E above + E below ) 9 af 69

4 ELEKTROTATIK, da gennemsnittet af de to netop fjerner biddraget fra σ selv, da denne ikke kan udøve en kraft på sig selv. Et ladet legeme prøver derfor at splitte sig selv ad (da den består af ensladede partikler), der frastøder hinanden. Har vi at gøre med en leder, ved vi at feltet lige udenfor overaden er E = σ ɛ n (og nul inden i), og gennemsnittet er derfor E average = σ 2ɛ n. Det elektrostatiske tryk er derfor Tryk på leder f = σ2 2ɛ n = P = 2 ɛ E 2 4.7 Kapacitans En kapacitor består af to ledere i en vilkårlig konguration, men med ladningen Q på den ene og Q på den anden. Da hver leder er en ækvipotentiale, er spændingsforskellen imellem dem konstant og lig Denition V = V V = E dl Vi ved at V Q, og vi kalder denne proportionalitetskonstant C for kapacitansen C = Q V. Man skal vælge punkterne og sådan så V >. Kapacitansen er således et udtryk for hvor meget ladning pr. spændingsenhed, der kan oplagres i ladningskongurationen. Energien af de ladninger der er i en kapacitor er givet ved Kapacitorenergi W = Q = 2 CV 2 V dq = Q q Q2 dq = C 2C Eksempel (Kapacitansen af to cylinderrør placeret koncentrisk med radii a < b (problem 2.39)). Lad os antage at begge cylinderrør har længde l og lad os kigge på problemet i cylindriske koordinater. Jf. Gauss lov er der intet biddrag fra den yderste cylinder i intervallet a < s < b, hvor feltet (når l a) jf. appendix A da er givet ved E = λ 2πɛ sŝ. Lad os placere den negative ladning på det yderste cylinderrør, potentialforskellen er da V = E dl = Kapacitansen pr. længdeenhed er da λ b 2πɛ s ds = a C l = Q lv = λl lv = 2πɛ ln ( ) b λ 2πɛ s ds = a λ 2πɛ ln ( ) b a 4.8 Grænseovergange i elektrostatik E-feltet er diskontinuert, når en overadeladningsfordeling krydses. Tager vi et lille udsnitsareal A af denne overadeladningsfordeling, der har ladningen σ (A skal være så lille at σ her kan betragtes konstnat), har vi da jf. Gauss lov vi vælger en kasse Diskontinuert E 2 af 69

4 ELEKTROTATIK med højden 2ε og areal A (for oven og neden) når ε at uanset σ's geometri, så er E-feltet er diskontinuert med en størrelse i retningen parallelt og ortogonalt på overaden givet ved E above E below = σ ɛ E above E below =, hvilket også kan skrives i form af en enhedsadenormal n på σ. E above E below = σ ɛ n Vi får også i grænsen ε for potentialet at Potentialet Og at ε V = E dl = V above = V below ε E above E below = σ ɛ n V above V below = σ ɛ n V above n V below n = σ ɛ V n = V n Overadeladning Der er en nem måde at nde overadeladningen af en leder eller en ade, som man kender potentialet på begge sider af, da vi så blot skriver for ade/leder σ = ɛ V n = ɛ E ±σ Bemærk at der vil være overadeladningstætheden σ på den ene overade af lederen og σ på den anden overade af lederen jf. lederes egenskaber. Det kan også tit være en fordel at huske at E-feltet står vinkelret på lederens overade lige udenfor lederen, så der i dette tilfælde gælder at E = E. Formlen holder derudover også for både inducerede overadeladninger og ladninger, der er placeret der af os. Eksempel (Grænseovergang i en kugleskal med overadeladning σ (problem 2.3c)). Vi vil vise at formlen V ude n V inde n er V inde = konstant, så V inde n =. Vi har V ude = R2 σ ɛ r, så V ude n udeforan kuglen har vi da r = R, og vi har derfor V ude n og det er altså opfyldt. = σ ɛ holder i dette tilfælde. Inde i kuglen = V ude r = R2 σ ɛ. Lige r 2 V inde n = R2 σ ɛ = σ R 2 ɛ 4.9 Multipolekspansion Multipolekspansion er en metode til at approksimere det elektriske potentiale på lange afstande ved at skrive potentialet som en Taylorrække. elvom man ikke udfører en fuldstændig Taylorudvikling, så er det klart at desto ere led der tages med, desto bedre bliver approksimationen naturligvis, men de vigtigste led er monopolleddet og dipolleddet, da det n'te led går som /r n+ og hurtigt bliver småt.: Ideen bag Mono- og dipolled 2 af 69

4 ELEKTROTATIK V (r) = 4πɛ (r ) n Pn r n+ (cos θ )ρ ( r ) dτ = ρ ( r ) dτ + 4πɛ r 4πɛ } {{ } r 2 r cos θ ρ ( r ) dτ +... } {{ } Monopolleddet Dipolleddet n=, hvor P n (cos θ ) er det n'te Legendre polynomium i cos θ. Monopolleddet do- Dominans minerer normalvis potentialet 2, med mindre den samlede ladning er Q = - da dominerer dipolleddet. 4.9. Dipolleddet Vi kan opskrive dipolleddet V dip (r) = 4πɛ r 2 r cos θ ρ (r ) dτ på den ækvivalente form Dipolleddet, hvor vektoren V dip (r) = = p = 4πɛ r 2 r r p 4πɛ r 2 r ρ ( r ) dτ r ρ ( r ) dτ Dipolmoment er dipolmomentet. Læg mærke til at der integreres over de mærkede koordinater. Dette betyder at p er uafhængig af i hvilket punkt V dip (r) udregnes, og p er således en geometrisk størrelse, der relaterer sig til ladningskongurationen. Eksempel 2 (Dipolmomentet for en kugle med radius R, ρ = f(r), placeret med centrum i origo). Vi starter med at udregne dipolmomentet p = r ρ (r ) dτ i x- retningen. Vi har med centrum i origo r = (x, y, z) og p x er da integralet p x = = xf(r)dτ = R rf(r) sin θ cos φdτ = 2π π r 3 f(r)dr cos φdφ sin 2 θdθ = R 2π π rf(r) sin θ cos φr 2 sin θdθdφdr ( R ) ( π ) r 3 f(r)dr () = 2 Regner man dipolmomentet ud i de andre retninger, ser man at også disse er nul (eller man kan argumentere ud fra symmetrien), og vi kan dermed konkludere at p =. 2 Monopolleddet giver det eksakte potentiale for en elektrisk monopol; en punktladning. 22 af 69

4 ELEKTROTATIK 4.9.2 Dipolmomentet Figur 3: Forskydning koordinatsystemets origo med en vektor a og dettes indydelse på dipolmomentet. Dipolmomentet kan fortolkes som en vektor, der peger fra den del af ladningskongurationen, hvor der er en overvægt af negative ladninger til den del af ladningskon- gurationen, hvor der er en overvægt at positive ladninger i forhold til origo af ens koordinatsystem. For punktladninger gælder det at dipolmomentet er givet ved p = n q i r i Og generelt adlyder dipolmomentet superpositionsprincippet. i= Flytter vi origo med en vektor a, så ændres dipolmomentet på følgende måde: Fortolkning Punktladninger Andet origo p = = rρ ( r ) (r dτ = a ) ρ ( r ) dτ = r ρ ( r ) dτ Qa r ρ ( r ) dτ a ρ ( r ) dτ Hvis den samlede ladning af ladningskonguration er Q =, er dipolmomentet da uafhængigt af valget af origo. Eksempel 3 (Dipolmomentet af en kugle med uniform volumenladningstæthed med ladning Q). Når kuglen bender sig i origo af det kartesiske koordinatsystem, så dikterer symmetrien at det samlede dipolmoment er p =, da der ikke er nogen speciel retning hvor der er mere negativ end positiv ladning. Når kuglen forskubbes med en vektor d, er dipolmomentet således p = Q ( d) = + Qd = Qd, da det at ytte kuglen en vektor d svarer til at ytte origo med en vektor d. 23 af 69

4 ELEKTROTATIK 4.9.3 Elektriske dipoler En fysisk dipol er to ladninger q og q adskilt med seperationsvektoren d (pegende fra q til q). Da den samlede ladning er Q =, gælder det at dipolmomentet er givet ved Fysisk dipol p = q + r + + q r = qr + qr = q ( r + r ) = qd og uafhængig af valget af origo. En ren dipol opnås ved at holde produktet p = q d konstant samtidigt med at q og d. For en ren dipol er det elektriske felt i sfæriske koordinater givet ved Ren dipol E dip (r, θ) = E dip (r) = p ( ) 4πɛ r 3 2 cos θr + sin θθ (3 (p r) r p) 4πɛ r3 V For en ren dipol gælder det at potentialet dikteret af V dip (r) = r p 4πɛ er eksakt r 2 og det elektriske felt er derfor også eksakt. For en fysisk dipol er V dip (r) dog stadig en approksimation, der bliver bedre og bedre med større r. For en ladningsfordeling hvor man har approksimeret det elektriske potential med en multipolekspansion, kan de to ovenstående formler også bruges, og giver det rigtige felt langt væk fra ladningsfordelingen. Eksempel 4 (Udregn biddraget til det elektriske felt fra dipolmomentet p = kẑ på x-aksen). Vi sætter ind i E dip (r) = 4πɛ r 3 (3 (p r) r p) og udregner: E dip (x,, ) = (3 (kẑ x) x kẑ) = k 4πɛ x3 4πɛ x 3 ẑ dip eksakt? Approksimation 24 af 69

5 Laplaces og Poissons ligning 5 LAPLACE OG POION LIGNING 5. Kort analyse, egenskaber ved løsninger Laplaces ligning 2 V = er et specialtilfælde af Poissons ligning 2 V = ρ/ɛ. At løse Poissons ligning er det samme som at spørge efter det elektriske potential steder hvor der godt må være en ladningskonguration (fx inde i ladet kugle). I praksis er det ofte ganske tilstrækkeligt at kunne løse Laplaces ligning, der svarer til at spørge efter det elektriske potential steder hvor der ingen ladningskonguration er, forstået på den måde at vi ikke gider vide hvad det elektriske potential er i ladningsfordelingen, men kun alle andre steder. Løsninger til Laplaces ligning har følgende egenskaber: Poissons ligning Laplaces ligning Egenskaber. Enhver løsning V i et punkt V (r) er gennemsnittet af V på enhver kugleover- ade med radius R, der skal forstås som at V (r) = V da 4πR 2 kugle 2. V har intet lokalt minimum eller maksimum; ekstremalpunkter ligger på randen af der hvor ladningskongurationen er deneret. 3. V er altid kontinuert. 5.. Ligningerne i forskellige koordinatsystemer Laplaces ligning i de tre gængse koordinatsystemer er givet ved: Kartesisk færisk Cylindrisk 2 V = 2 V x 2 + 2 V y 2 + 2 V 2 V = r 2 r 2 V = s s ( r 2 V r ( s V s z 2 = ) + r 2 sin θ ( sin θ V ) + θ θ 2 V r 2 sin θ φ 2 = ) + 2 V s 2 φ 2 + 2 V z 2 = Løsningsfunktioner I alle 3 koordinatsystemer er Laplaces ligning separabel og kan løses med denne metode ved at omskrive til et sæt ordinære dierentialligninger. I kartesiske koordinater er løsningsfunktionerne eksponential-, trigonometriske- og hyperbolskefunktioner. I sfæriske koordinater er løsningsfunktionerne Legendre polynomier, trigonometriskeog potens-funktioner. I cylindriske koordinater er løsningsfunktionerne Besselfunktioner, eksponential-, trigonometriske-funktioner. 5.2 Entydighedssætninger Der er to entydighedssætninger til Laplaces hhv. Poissons ligninger, som er brugbare til at sikre sig at man har netóp den rigtige løsning, hvis man nu er så heldig at kunne gætte en. (Kun humanister gætter uden!). 5.2. Første entydighedssætning (tilhørende Laplaces ligning) Theorem. Løsningen V til Laplaces ligning i et område af rummet V er entydigt bestemt, hvis det elektriske potential er speciceret (kendt) på randen V. 25 af 69

5 LAPLACE OG POION LIGNING Det følger også af dette at hvis volumenladningstætheden og det elektriske potential på randene kendte, så er V entydigt bestemt. Det samme gælder V eller V/ n er speciceret på enhver ade i det område som man er interesseret i løsningen til Laplaces ligning. 5.2.2 Anden entydighedssætning (tilhørende Poissons ligning) Theorem. I et område af rummet V omkranset af ledere (ækvipotentialer, på randen V) og indeholdende en speciceret (kendt) ladningstæthed ρ, er det elektriske felt og dermed potentialet entydigt bestemt. Bemærk at uendeligt langt væk også fungerer som en leder, da det jo er et ækvipotential med V = - såfremt ladningskongurationen naturligvis ikke selv strækker sig til uendelig. Eksempel 5 (Ladningsfordeling indkapslet af en ledende kugleskal (example 2.9)). Det elektriske felt udenfor kuglen er givet ved E = q 4πɛ r, hvilket vi nu vil argumentere for. Et heurestisk argument vil være at vil ladningen på den del af r 2 kugleoveraden, der vender udad have ladningen q og σ vil da være uniform, da ladningen spreder sig så meget ud som muligt, og dermed er E = q 4πɛ r uden for kugleskallen. r 2 Men vi kan ikke være helt sikker på at dette faktisk er den eneste løsning - lad os løse problemet ved at løse Poissons ligning: Vi vil nde det elektriske felt udenfor kuglen (vi kan ikke gøre os forhåbninger om at nde feltet inde i; så skal man vide noget om ladningsfordelingen), så vores rand af V er uendeligt langt væk og vores kugleoverade - og dem kender vi jo potentialet for. Vi ved V ( ) = og V (R) = V, da en leder altid er et ækvipotential. Det følger også af entydighedssætning til Laplaces ligning at der kun er én løsning til problemet. En måde at fordele en ladning på så vi får et ækvipotentiale i lederen er at fordele ladningen q på indersiden af kugleskallen og q på oversiden af kugleskallen, og dette er dermed løsningen, der beskriver situationen, og vi har dermed E = q 4πɛ r r 2 udenfor kuglen. 5.3 Billedmetoden Lad der være givet en-eller-andet ladningskonguration, som vi nu vil bestemme det elektriske potential for, hvor vi kender det elektriske potential på en ade, som typisk er en leder (ækvipotentiale) og jordet (V = ). Glem nu alt om denne ladningskonguration. Ved at opstille punktladninger, billedladninger, på en smart måde ved at udnytte symmetrien således at man får det samme potentiale på aden som det oprindelige problem, så fortæller entydighedssætning os at vi da har fundet en løsning til det oprindelige problem. En række ting er det samme ved billedmetoden og billedladningerne, men ikke alle: Billedladninger. Kraften F på ladningskongurationen er den samme som med billedladningerne, der hvor potentialet er det samme (altså i den region man løser for) 26 af 69

2. Energien der fås ved at anvende W = ɛ 2 5 LAPLACE OG POION LIGNING all space E 2 dτ er normalvis IKKE den samme, da man det potentiale man nder med billedmetoden ikke er gyldigt i alle regioner. Hvis man vil nde energien der skal til at samle systemet (ikke energien der går til at lave ladningerne), skal abejdet derfor udregnes som W = a F dl, hvor F er kraften som billedladninger påvirker ladningskongurationen med, med en passende kurve γ der går fra uendelig langt væk til punktet a hvor ladningskongurationen er. 27 af 69

6 Elektrostatiske felter i materialer 6. Dielektrika og inducerede dipoler 6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER Et dielektrika (eller insulator) er et materiale, hvor ladningerne ikke kan arrangere sig som de vil. I stedet af hvert enkel elektron der er bundet til atomkernen højest blive forskudt en meget lille afstand d fra atomkernen så der igen er ligevægt (E atom = E ekstern ), når et eksternt elektrisk felt påtrykkes materialet. Der opstår derfor for hver atom et dipolmoment og vi siger at der herved induceres dipolmomenter af størrelsen p induceret = qd for hvert atom og at atomet er polariseret. Polariseringen er generelt materialespecik og afhænger af størrelsen og retningen af E ekstern i materialet, og sammenhængen kaldes atompolariserbarheden α (der her er en tensor) med p induceret = α E ekstern. For ikke alt for stærke elektriske felter, er de inducerede dipolmomenter proportional med størrelsen af det elektriske felt, og vi har da p induceret = αe ekstern, hvor α > nu spiller rollen som konstant. Det inducerede dipolmoment er altså ensret- tet med det eksterne elektriske felt, p induceret E ekstern, hvilket også følger af at elektronskyen tiltrækkes af det eksterne elektriske felt. Eksempel 6 (Tiltrækningen mellem en punktladning q og et neutralt atom med atompolariserbarheden α, separeret med en afstand r (problem 4.4)). Vi har at E q = q r er feltet fra punktladningen (der placeres i origo), så p r 2 ind = αe q = αq 4πɛ 4πɛ r. Det elektriske felt som dette dipolmoment resulterer i, er givet ved E r 2 dip (r) = ( ) ) 4πɛ (3 (p r) r p). Vi får da E r 3 dip (r) = 4πɛ (3 αq r 3 4πɛ r r r αq r 2 4πɛ r = r 2 αq r. Kraften på q er da F = qe 8π 2 ɛ 2 dip = αq2 r, der er tiltrækkende. Jf. Newtons r5 8π 2 ɛ 2 r5 tredje lov, er det den samme kraft med modsat fortegn som punktladningen påvirker dipolen med. Dielektrika Induceret dipol Polarisering Polariserbarhed p ind E eks 6.. Kraft, kraftmoment på dipoler og energien af en dipol 3 I et uniformt elektrisk felt er kraften på hver af ladningerne i dipolen F + = qe, og Uniformt elektrisk felt F = qe, og den resulterende kraft F res er derfor F res = F + + F = qe qe = Det resulterende kraftmomentet N res omkring punktet midt mellem forskydningen af atomkernen og elektronerne er derimod N res = N + + N = r + F + + r F = d 2 F + d 2 F = qd E = p E I et ikke-uniformt elektrisk felt er der en resulterende kraft F res der er givet ved F res = q (E + E ) = q E = q (d ) E = (p ) E 3 Bemærk at disse udregninger også gælder for approksimerede dipoler, selvom resultaterne også er en approksimation! Ikke-uniformt elektrisk felt 28 af 69

6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER, og som skal udregnes i kartesiske koordinater. Det resulterende kraftmomentet N res er det samme, såfremt at afstanden mellem ladningerne er tilstrækkelig lille, men om en vilkårlig akse afstanden r fra punktet midt mellem forskydningen af atomkernen og elektronerne er udtrykket dog N res = p E + r F res. Energien af en dipol (der skal ses som en potentiel energi) er givet ved Energi U = p E Energien er der fordi at E påvirker dipolen med et kraftmoment, der forsøger at rotere dipolen, og arbejdet kraftmomentet skal udføre er netop U. Eksempel 7 (Tiltrækningen mellem en punktladning q og en dipol p, separeret med en afstandsvektor r, hvor p er placeret således at den laver en vinkel θ med r (problem 4.9)). Vi har at E q = q 4πɛ r er feltet fra punktladningen (der placeres i r 2 origo), som i kartesiske koordinater er lig E q = q xx+yŷ+zẑ 4πɛ. Kraften på dipolen (x 2 +y 2 +z 2 ) 3/2 er da F res = (p ) E, og vi udregner i x-retningen ( ) F x = (p ) E x = p x x + p y y + p q x z z 4πɛ (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 ( ) = q x p x 4πɛ x (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 + p x y y (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 + p x z z (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 = q ( x 2 + y 2 + z 2) 3/2 [ (p x x 3 ] 4πɛ 2 x 2x (x 2 + y 2 + z 2 + (p y [ 32 ] ) xy + p z [ 32 ])) xz q = 4πɛ r 3 [p 3r (p r)] x Det er det samme for de andre koordinater også, så vi kan se at vi har F = q q 4πɛ (p 3r (p r)) = r 3 4πɛ (3r (p r) p), hvilket er samme svar, men med r 3 modsat fortegn, som hvis vi havde regnet det elektriske felt for dipolen ud først, og så beregnet F = qe dip (hvilket ville have været lettere her). 6.2 Polarisation og bundne ladninger I stedet for at kigge på en hvert enkelt atoms dipolmoment, kan man i stedet kigge makroskopisk på det og indføre polarisationen, der er givet ved dipolmoment pr. volumenenhed; Polarisation P = n i=, som godt kan være en funktion af hvor man bender sig i legemet. Dipolmomentet er omvendt igen givet ved at integrere over legemet L der indeholder polarisationen p = L p i V i Pdτ Det elektriske potential som følge af polarisationen kan da udregnes ved: 29 af 69

6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER V pol (r) = = = = = 4πɛ L [ 4πɛ [ 4πɛ [ 4πɛ [ 4πɛ î P ı 2 dτ L L ( P ı ) dτ ı P da ı P nda + L σ bound L ı L L da + ı L ( P ) ] dτ L ı ( P ) ] dτ ı ( P ) dτ ] ρ bound ı dτ ] σ bound = P n er den bundne overadeladning, hvor n er enhedsadenormalen, hvor der her skal vælges den der peger udad legemet; er der ere enhedsadenormaler til samme ade der peger udad, betyder dette at der sidder en bunden overadeladning på begge disse ader. Den bundne overadeladning kan fortolkes som summen af alle atomernes dipolmomenter, hvor hvert atom har en positiv ladet retning og en negativ ladet retning, og derved giver det en akkumulation af ladning på aderne. Ligeledes er ρ bound = P den bundne volumenladning, der er et mål for hvor inhomogen polarisationen er, ved at angive hvor mange ladninger fra de polariserede atomer der er fanget inde i legemet L og ikke gået til overaden. Er polariseringen konstant vektor k, uniform polarisering, ses det at ρ bound = k =, og alle ladninger er gået til overaden. Den samlede bundne ladning som skyldes polarisationen er lig nul når man integerer over hele legemet L og både medtager den bundne overadeladning og den bundne volumenladning. Q bound L = ρ b dτ + σ b da = L L σ bound ρ bound Uniform polarisering Altid Q bound Hele L = P = udenfor L, hvilket naturligvis også er klart, da hvert atom har totalladning Q =. Polarisationen udenfor legemet er altid P =. Bemærk at dette ikke betyder at der ikke P E dipol? er noget elektrisk felt udenfor legemet, med mindre at det er en meget symmetrisk situation og Gauss' lov kan bruges - kun der kan man konkludere at det elektriske felt som følge af polariseringen E dipol = udenfor legemet (indeni L kan der godt gælde E dipol ). Eksempel 8 (Udregn alle de bundne ladninger for en cylinder med P = kz 2 ẑ i cylindriske koordinater). Vi har at normalvektorerne der ikke giver skalarproduktet med P er dem på endeaderne, så dvs. n = ±ẑ. Dermed har vi altså de bunde overadeladninger givet ved σ/overst bound = P ẑ = kz2 og σnederst bound = P ẑ = kz2. De bundne volumenladninger er givet ved ρ bound = P = ( z kz 2 ) = 2kz. 6.3 Det elektriske forskydningsfelt Det elektriske forskydningsfelt D er det felt, der skyldes alt andet end de bundne ladninger grundet polarisationen P, og kun skyldes de frie overadeladninger σ free = σ σ bound og de frie volumenladninger ρ free = ρ ρ bound. De frie ladninger er de Forskydningsfeltet 3 af 69

6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER ladninger der kan kontrolleres, ved at man placerer en ladningskonguration, mens de bundne ladninger de ladninger der ikke kan kontrolleres, og fordeler sig jf. materialets egenskaber. Vi denerer D = ɛ E + P Der gælder også specielt at divergensen af det elektriske forskydningsfelt er Divergensen D = (ɛ E + P) = ɛ E + P = ρ ρ bound = ρ free Curl og potentialet Generelt forsvinder curl af forskydningsfeltet ikke, da polariseringen kan have en curl der er ikke-nul; D = (ɛ E + P) = ɛ E + P = P. Der kan derfor ikke generelt opskrives en skalarfunktion der beskriver et potentiale. 6.3. Gauÿ lov i dielektrika Med de frie ladninger kan man opskrive Gauss' lov på en måde der er sammenlignlig med den generelle Gauss' lov (der naturligvis også er gældende her). Vi har da D da = Q free enc Man kigger således kun på de ladninger der er frie dvs. placeret af os, og så kan man udregne D-feltet med de samme symmetriargumenter mv. fra afsnit 4.2. D-feltet kan altid ndes selvom at P ikke er kendt, men når P ikke er kendt, kan E heller ikke ndes. Igen gælder det at Gauss' lov i dielektrika altid gælder, men ikke altid er brugbar. elvom at Q free enc =, kan man ikke konkludere at D = udenfor legemet; der skal være tilstrækkelig med symmetri, samme typer som givet i afsnit 4.2, før man kan tillade sig dette. Tag fx en elektret, der er en elektrisk ækvivalent til en stangmagnet, hvor der er en indefrosset polarisation P, der er uniform inde i legemet, og der er derfor kun ladninger på enderne med normalvektorer parallel/antiparallel med P. Udenfor legemet er det klart at E pga. disse ladninger på overaderne, men man ville hurtigt kunne komme til at konkludere at Q free enc = her medfører D = - men dette er forkert. Der gælder jo D = µ E + P = µ E udenfor legemet, og det elektriske felt skal beregnes med andre metoder, og så kan man beregne D-feltet. Eksempel 9 (Udregn D-feltet og E-feltet for en tyk kugleskal med indre og ydre radius a < b, hvor der i dette opråde gælder at P = k r r (problem 4.5)). For r < a, har vi med Gauss' lov at Q free enc =, og da det er isotropt, kan vi konkludere at D = her, og da P = her også, kan vi ligeledes konkludere at E =. For a r b, har vi med Gauss' lov at Q free enc =, og symmetrien tillader os igen at konkludere at D = her, men da P = k r r her, har vi da konkludere at E = ɛ P = k ɛ r r. For r > b, har vi med Gauss' lov at Q free enc =, og da det er isotropt, har vi at D =, og da vi ligeledes har P =, kan vi ligeledes konkludere at E =. Gauÿ lov Q free enc =? 3 af 69

6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER 6.4 Lineære dielektrika For en del dielektrikaer gælder det at P = ɛ χ e E. χ e kaldes susceptibiliteten og optræder her som en enhedsløs konstant (selvom den helt sikker også kunne være en tensor og afhænge af andre eksterne variable), og angiver hvor godt legemet polariseres. Vi kalder faktoren ɛ = ɛ ( + χ e ) for permittiviteten, og kan yderligere indføre den relative permitttivitet 4 ɛ r = ɛ ɛ = + χ e, der på samme måde som susceptibiliteten angiver hvor godt et legeme polariseres. åledes gælder der i lineære dielektrika nu sammenhængene for det elektriske forskydningsfelt D Linearitet usceptibilitet Permittivitet D = ɛ E + ɛ χ e P = ɛ ( + χ e ) E = ɛ r ɛ E = ɛe 6.5 Energi i lineære dielektrika Energien der skal til at opbygge en ladningskonguration med frie ladninger, hvor der opstår en polarisering efterhånden som man fører de frie ladninger ind i det polariserede materiale, er når der er tale om at lineært dielektrika givet ved W di = D Edτ 2 all space Generelt så ses det at energien der skal til at opbygge et lineært dielektrikum er større end den energi der skal til at opbygge en tilsvarende ladningskonguration, hvor man fører både bundne og frie ladninger ind og derefter beregner energien der skulle til her (energien er her givet ved W = ɛ 2 E 2 dτ ). all space Bemærk W di > W 6.6 Kræfter på lineære dielektrika Er der tale om to elektriske ledere med ladning Q hhv. Q, i en-eller-andet konguration, hvor der i mellem disse ledere er en spændingsforskel V (der er konstant), er der dermed givet en kapacitans C for kongurationen. Er kongurationen således at der kan komme et dielektrika ind mellem disse ledere fra en eller anden retning (vi vælger her r-retningen), og har kongurationen en energi W = 2 CV 2, vil kraften på dette dielektrikum være givet ved F = W r = 2 V 2 C(r) r, hvor C(r) r skal bestemmes før kraften kan bestemmes. Dette er et generelt resultat at kraften vil søge at trække dielektrikaet ind i kongurationen. Har vi en konguration er en pladekondensator (koordinatsystem som på gur 4.3, side 94), er kraften på et rektangulært dielektrika givet ved 4 Der gælder således også at ɛ = ɛ rɛ F = 2 V 2 dc dx 32 af 69

6 ELEKTROTATIKE FELTER I MATERIALER Og kraften vil igen trække dielektrikaet ind mellem pladerne. 6.7 Grænseovergange i dielektrika E-feltet er diskontinuert, når en overadeladningsfordeling krydses, mens D-feltet kun er diskontinuert når der krydses en fri overladeladning σ free ortogonalt på aden. Ved at bruge Gauss' lov for dielektrika, så nder man hurtigt at der gælder Diskontinuert D? D above D below = σfree Og D-feltet kun er diskontinuert i den retning parallelt med aden, hvis polariseringen ændrer sig (man krydser fx legemets rand) i denne retning D above D below = P above P below Men der gælder samtidigt at E above E below = skal man huske. 33 af 69

7 MAGNETOTATIK 7 Magnetostatik 7. Højrehåndsreglen Figur 4: Højrehåndsreglen I magnetostatik optræder der ofte curl af et-eller-andet, og der skal oftes tages krydsproduktet mellem to vektorer. For at sikre at man får retningen på sit krydsprodukt eller sit curl rigtigt, bruger man højrehåndsreglen (der ndes jo en normalvektor i den anden retning også, og det er ofte normalvektoren man skal bruge, så pr. denition tager man der kommer når man bruger højrehåndsreglen). Lad os sige at vi vil nde krydsproduktet mellem vektorerne a og b, a b.. Flugt vektor a langs pegengeren. 2. Flugt vektor 2 b langs langengeren. 3. Krydsproduktet a b ugter da langs tommelngeren. 7.2 trømme og strømtætheder Ved strømmen I forstår man antal ladninger dq pr. tidsenhed ds, der passerer eteller-andet givet punkt i en eller anden retning û (man kan derfor skrive I = û dq ds, hvis punktet er veldeneret). Har vi en linjeladning λ langs en kurve, er (linje)strømmen derfor I = v dq dl ds = λv ds = λv. Har vi i stedet at strømmen går på en ade, der kan opfattes som en masse linjestrømme, har vi at strømmen kan skrives som summen (integralet) over alle disse linjestrømme I = l Kdl, hvor vi måler strømmen der passerer gennem punkterne der ligger på en kurve l ortogonalt på K. K kaldes overadestrømtætheden, og kender trømmen K 34 af 69