Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05

Oversigt over undervisningen i matematik - 1x 04/05 side 14 Der undervises efter: TGF Claus Jessen, Peter Møller og Flemming Mørk : Tal, Geometri og funktioner. Gyldendal 1997 EKS Knud Nissen : TI-84 familien introduktion og eksempler TGF side 139-147 Det gyldne snit Definition af det gyldne snit: liniestykke AB deles i det gyldne snit, hvis forholdet mellem den korte del (b) og den lange del (a) er lig med forholdet mellem den lange del og hele liniestykket: b/a = b/ a+b Man kan vise ( se min note om det gyldne snit ) at a b = 1+ 5 2 1,618 ( tallet benævnes ofte med φ ) Altså er forholdet mellem det største og det mindste stykke ca. 1,618 Forholdet mellem det mindste og det største stykke er Det gyldne rektangel 2 (1+ 5) 0,618 Da dette også er lig med forholdet mellem største stykke og hele stykket, ser vi at liniestykkets gyldne snit ligger 61,8 % inde på liniestykket. (Bemærk at 1/φ = φ 1) Et gyldent rektangel er et rektangel, hvor forholdet mellem den længste side og den korteste side er φ A4 formatet ( denne sides format ) er ikke gyldent forholdet mellem den længste og den korteste side er 2 1,41 Det gyldne rektangel er behandlet i min note om det gyldne snit. De menneskelige proportioner Øvelse i de menneskelige proportioner Se evt. http://www.textanalyse.dk/billedkomposition.htm

Funktioner Sammenhænge. Forskellige eksempler på afhængige størrelser. I forbindelse med funktionsbegrebet tales der om uafhængig variabel og afhængig variabel. Funktionsbegrebet. Definition: side 15 Funktions - begrebet En funktion er en forskrift, der til ethvert element i en given mængde knytter præcis ét tal. Funktionsværdi: Definitionsmængde: y = f(x) Dm(f) Værdimængde: Vm(f) Eksempler på forskellige måder hvorpå en forskrift for en funktion kan angives. en regneforskrift et grafisk billede en tabel en sproglig beskrivelse Definition af grafen for en funktion. Ved grafen for en funktion forstås mængden af de punkter (x, y) i et koordinatsystem, hvor y er funktionsværdien af x ( y = f(x) ) Til fremstilling af en graf for en funktion udarbejdes en tabel over sammenhæng mellem den afhængige og den uafhængige variabel. Den uafhængige variabel benævnes normal med x og afsættes ud af 1.-aksen. Den afhængige variabel benævnes normalt med y og afsættes op ad 2.-aksen. Kender vi regneforskriften for funktionen, vælges en række x -værdier i Dm(f) og de tilsvarende y -værdier udregnes. Disse afsættes som støttepunkter i koordinatsystemet. Gennem disse punkter tegnes grafen for f. Aflæsning på graf. Du skal kunne aflæse: 1) funktionsværdier y = f(x) ( fra x-aksen til grafen og ind på y-aksen) 2) løsning til ligningen f(x) = a ( fra y-aksen til grafen og ned på x-aksen) 3) definitionsmængden Dm(f) (på x-aksen) 4) værdimængden Vm(f) (på y-aksen) Definitionsmængden og værdimængden angives som et interval

Tegning af grafer m.m. på TI-84 side 16 Eksempel på anvendelse af TI-84 til graftegning, fremstilling af tabel, bestemmelse af nulpunkter, skæring mellem grafer mm. Det anbefales at læse kapitel 2 Grafer og grafværktøjer i hæftet TI-84 familien - Introduktion og eksempler. Gruppearbejde med spiritus og promille. Fra Fakta om promiller (kilde: Rådet for Større Færdselssikkerhed ) har vi følgende tommelfingerregel: antal genstande 12 Mænds promilleberegning: kropsvækst 0,68 antal genstande 12 Kvinders promilleberegning: kropsvækst 0,55 Forbrændingen er ca. 0,15 promille pr. time både for mænd og for kvinder. spritformlen : x antal genstande ( 1 genstand 12g alkohol = 15 ml alkohol ) v vægt t tid i timer p alkoholpromille Mænd: Kvinder: p = p = 12x v 0,1 t v 0,68 12x v 0,085 t v 0,55 Her regnes med en forbrænding på 0,1 g alkohol i timen pr. kg. kropsvægt for mænd 0,085 g for kvinder. Vi har haft besøg af Jacob Jessen biologi og dramalærer på TG for at fortælle om spiritus indvirkning på kroppen. Funktioners variation Definition på voksende og aftagende funktioner (monotone funktioner). For en ikke monoton funktion kan man angive funktionens monotoniforhold ved at opskrive monotoni-intervallerne ( intervaller hvori funktionen enten er aftagende eller voksende). Maksimum ( størsteværdi ) og minimum ( mindsteværdi ) for funktioner. Tallet hvori funktionen antager sit maksimum eller minimum kaldes maksimumsstedet h.h.v. minimumsstedet ( fællesbetegnelse: ekstremumssteder )

Lokale og globale ekstremum. Ekstremum er en fællesbetegnelse for maksimum og minimum. side 17 Opgaver i aflæsning på graf. Bestemmelse af ekstremumspunkter på TI-84 Tegning af grafer ved hjælp af graftegningsprogrammer. Lineære funktioner Der findes et hav af udmærkede graftegningsprogrammer. Her skal blot nævnes nogle få stykker. Grafik.exe Findes på skolens netværk og kan downloades fra min hjemmeside. Winplot Et freeware program i Peanut - serien. Link findes på min hjemmeside. GraphMatica Findes på skolens netværk. MathCad Et integreret tekstbehandlingsprogram og matematikværktøj. Findes på skolens netværk. Skolen har licens til hjemmebrug til alle elever. Det skal bemærkes, at Excel er ret uegnet til graftegning. Lineær funktion En funktion, der har en regneforskrift der kan skrives på formen: f(x) = ax + b hvor a og b er reelle tal kaldes en lineær funktion. Disse funktioner har grafer, der ligger på en ret linie. Eksempler på lineære funktioner. Alle rette linier, undtagen lodrette, kan være graf for en lineær funktion. Eksempler: f(x) = 2x 3 (2 x + ( 3)) a = 2 b = 3 f(x) = x +1 ( 1 x + 1) a = 1 b = 1 f(x) = x ( 1 x + 0 ) a = 1 b = 0 f(x) = 5 ( 0 x + 5 ) a = 0 b = 5 Betydning af konstanterne a og b: a: kaldes hældningskoefficienten eller stigningstallet og er den tilvækst i y-koordinat der svarer til tilvæksten 1 i x-koordinat. b: angiver liniens skæring med 2. aksen. Beregning af a og b i ligningen y = ax + b Hvis der er givet to punkter A= (x 1, y 1 ) og B = (x 2, y 2 ) er hældningskoefficienten givet ved : a = y 2 y 1 x 2 x 1

b beregnes ved at indsætte et af punkterne A eller B og den beregnede værdi for a i ligning y = ax + b side 18 b = y 1 ax 1 Lineære modeller Lineær vækst er karakteriseret ved, at der til lige store tilvækster på den uafhængige variabel svarer lige store tilvækster på den afhængige variabel. Man kan undersøge om der er en lineær sammenhæng mellem to størrelser ved at afsætte sammenhørende værdier i et koordinatsystem. Hvis punkterne tilnærmelsesvis ligger på ret linie, kan vi konstatere en lineær sammenhæng. Forskriften for den lineære funktion bestemmes ved at tegne en ret linie, der " bedst muligt " passer til punkterne. METODE til tegning af den " bedste rette linie ": 1) Vælg en enhed på akserne, så figuren bliver så stor som muligt. 2) Afsæt punkterne og vurder om der "tilnærmelsesvis er lineær sammenhæng". Husk at respektere de enheder, der er valgt på akserne. 3) Placer linien sådan at punkternes samlede afvigelse fra linien er mindst mulig, og så afvigelsen er ligelig fordelt på begge sider af linien. 1) Bestem forskriften ud fra to punkter på grafen. Punkterne skal vælges langt fra hinanden. Husk at der ofte er valgt forskellig enheder på akserne! På TI-84 kan man beregne forskriften for den bedste rette linie. Metoden kaldes lineær regression. Metoden er gennemgået og er beskrevet i detaljer i den udleverede Eksempelsamling til TI-84. Der findes et program på skolens netværk - REGRESS - der gør det samme. Programmet kan downloades fra min hjemmeside. Facilitet er også indbygget i regnearket EXCEL. Nedenfor er et skærmbillede fra TI-84 fra opgaven med USA s befolkningstal i perioden 1939-1986. Hvis man bruger TI-84 til at beregne modellen, skal der foreligge en grafisk dokumentation på, at modellen med rimelighed kan anvendes ( dvs. at punkterne skal tilnærmelsesvis ligge på en ret linie ).

Løsning af ligninger og uligheder side 19 Beregning af løsningsmængden til en ligning eller en ulighed foretages ved at omforme ligningen eller uligheden, så den ubekendte isoleres på den ene side af lighedstegnet eller ulighedstegnet. Om disse omformninger gælder følgende regler: Regneregler for omformning af ligninger Regneregler for omformning af uligheder 1) Man må trække det samme tal fra eller lægge det samme tal til på begge sider af et lighedstegn 2) Man må gange og dividere med samme tal på begge sider af et lighedstegn, undtagen med nul. 1) Man må trække det samme tal fra eller lægge det samme tal til på begge sider af et ulighedstegn 2) Man må gange og dividere med samme positive tal på begge sider af et ulighedstegn. 3) Man må gange og dividere med samme negative tal på begge sider af et ulighedstegn når ulighedstegnet samtidig vendes Når ovenstående regneregler anvendes, får man en ligning eller ulighed hvor løsningsmængden er den samme som den oprindelige. Man siger at udsagnene er ensbetydende. Man bruger symbolet imellem ensbetydende udsagn. Metode til at beregne løsningsmængden til simple ligninger og uligheder: 1) gang parenteser ud. 2) fjern brøker ved at gange med fællesnævneren for brøkerne i udsagnet. 3) saml alle x ' erne på den ene side af lighedstegnet eller ulighedstegnet og alle tallene på den anden. 4) divider på begge sider af lighedstegnet eller ulighedstegnet med det tal,der står foran x. 5) opskriv løsningsmængden. Grafisk løsning af ligninger og uligheder. I forbindelse med løsning af uligheder kræves der, at I kan løse simple lineære uligheder. Andre ikke simple uligheder løses ved følgende metode - skitseret ved et eksempel : Løs uligheden x 1 x Først løses den tilsvarende ligning x = 1 x (evt. v.h.a TI-84)

Tegn graferne for funktionerne f(x) = x og g(x) = 1 på TI-84 x side 20 Tast CALC efterfulgt af INTERSECT for at få beregnet skæringspunktet Af det grafiske billede fås så løsningen L = ]0,1] I forbindelse med grafisk løsning af ligninger er der arbejdet med stykvis definerede funktioner gaffelforskrift el. Tuborg funktion Eks. 2x+ 1 for x 1 f(x) = 2 x 6x+ 8 for x> 1 Grafen kan tegnes på TI-84, som det fremgår af nedenstående figurer: (Tegnene =, <, m.fl. fås i 2nd MATH ( TEST ) Den numeriske værdi af x : f(x) = R S 0 T x x for x > 0 for x = 0 for x < 0 betegnes enten som x eller som abs(x) ( den absolutte værdi af x) - på TI-84 fås den ved at taste MATH, NUM, 1 Angående løsning af ligninger skal I kunne løse ligninger, der kan omskrives til lineære ligninger eller andengradsligninger. Andre ligninger løses med TI-84.

side 21 Ved uligheder hvor der indgår brøker skal man først isolere alt på den ene side af lighedstegnet og sætte på fælles brøkstreg. Uligheden løses herefter ved at undersøge fortegnsvariationen for tæller, nævner og brøken ( jf. eks. 35 og 36 side 191-192 i Tal, geometri og funktioner ) Uligheder med produkter løses også ved hjælp af en fortegnslinie. Husk! Nulreglen a b = 0 a = 0 b = 0 a/b = 0 a = 0 ( b 0 ) Der kan i forbindelse med løsning af ligninger optræde specielle situationer : Eks. Udsagnene 0 = 0 og 1 < 2 er altid sande - derfor er løsningsmængden lig med hele grundmængden Udsagnene 2 = 3 og 4 2 er aldrig sande derfor er løsningsmængden tom ( L = Ø ) Interaktive øvelser på nettet : http://home3.inet.tele.dk/pmh/1g/mbinequa/mbinequa.htm Flytning af grafer: Der gælder følgende sætning, om hvordan flytning af grafer påvirker funktioners forskrift. Parallelforskydn ing af en graf Forskriften for den funktion, g, hvis graf er en parallelforskydning af grafen for f med talsættet (a,b), er givet ved: g(x) = f(x a) + b Parallelforskydning af graf med talsættet ( a,b) Eksempler på flytning af grafer

Andengradspolynomier - Parabel side 22 En funktion, der har en regneforskrift der kan skrives på formen: f(x) = ax 2 + bx + c hvor a, b og c er reelle tal og a 0 kaldes et Andengradspolynomium. Indledning med symmetri og parallelforskydning Definition : En kurve der har ligningen y = a x 2 og alle parallelforskydninger af sådanne kaldes en parabel. Tegning af grafen for f(x) = a x 2 på TI-83 for forskellige værdier af a. Hvis a > 0 vender grenene opad Hvis a < 0 vender de nedad. Parablen er "smal" for a numerisk stor og "bred" for a numerisk lille. Begreberne toppunkt og symmetriakse er indført. a = 2 a = 0,5 a = 1 a = - 0,2 a = - 3 Parallelforskydning af parablen y = a x 2 Andengradspolynomier Parallelforskydning af y = x 2 Parallelforskydes parablen y = x 2 med koordinatsættet (p,q) fås en parabel med toppunkt i (p,q) med ligningen: y = a(x p) 2 + q

Toppunkt for parablen: side 23 Sætning om parablens toppunkt Ligningen y = ax 2 + bx + c, a 0, beskriver en parabel med toppunkt i -b 2a, -d 4a, hvor d er deskriminanten: d = b2 4ac y = ax 2 + bx + c, a 0 beskriver altså en parabel. Konstanterne a, b og c kaldes koefficienterne. Deres betydning for det grafiske billede fremgår af ovenstående sætninger. Skal man tegne parablen i et koordinatsystem, skal man først finde toppunktet og så tegne y = ax 2, som om toppunktet er koordinatsystemets begyndelsespunkt. c er skæringen med y-aksen. Deskriminanten har betydning parablens skæring med x- aksen) : Ved at se på toppunktets andenkoordinat kan vi få følgende placeringer af parablen for forskellige fortegn for a og d: d < 0 d = 0 d > 0 a > 0 a < 0 Andengradsligningen En ligning af type y = ax 2 + bx +c = 0, a 0, kaldes en andengradsligning. Løsninger til den kaldes andengradsligningens rødder Sætning om rødderne i andengrads ligningen Om andengradsligningen y = ax 2 + bx + c = 0 a 0, gælder, at antallet af rødder afhænger af deskriminanten : d < 0: ingen løsning d = 0: én løsning bestemt ved x = b 2a d > 0: to løsninger bestemt ved x = -b ± d 2a

side 24 Øvelser i tegning af parabler i et koordinatsystem og løsningen af andengradsligninger. For ikke at skyde spurve med kanoner ved simple andengradsligninger er nulreglen nævnt: Et produkt er nul hvis og kun hvis én af faktorerne er nul. Eks.: (x 2)(2x + 4) = 0 x 2 = 0 2x + 4 = 0 x = 2 x = 1 2 L = { 1 2, 2 } Løsning af andengradsligninger med TI-83 Indtast formlerne for d, og rødderne og gem dem i formellagrene u,v eller w. Gem værdierne for a, b og c i lagrene A, B og C Nedenstående display viser hvordan formlen for d og den ene rod indtastes, hvordan polynomiet indtastes samt grafen for andengradspolynomiet. I kan læse mere om det i den udleverede TI-84 familien introduktion og eksempler ( 4) Det er også muligt at lægge et program ind i TI-84 til bestemmelse af rødderne: TI Graph Link - er et program til bl.a. overførsel af programmer til TI-84.Programmet ligger på den CD i modtog sammen med lommeregneren. I kan søge efter programmer til TI-84 på internettet. På min hjemmeside under matematik har jeg lagt nogle links til forskellige adresser. På min hjemmeside kan i hente et program til løsning af 2.gradsligninger : ANDENGRA under klasser/1x (http://home5.inet.tele.dk/hhhsdrh/ ) Eksempler på opgaver med familier af andengradspolynomier. Eksempler på optimering af andengradspolynomier ( fåreindhegning mm. ) Andengradsuligheder Løses grafisk sammen med en løsning af den tilsvarende andengradsligning. Skæring mellem linie og parabel og mellem to parabler Metode: Indsæt udtrykket for y i liniens ligning i parablens ligning. Herved fremkommer en andengradsligning, der kan have enten : 1) ingen løsning ingen skæring 2) én løsning linien er tangent til parablen eller cirklen 3) to løsninger linien skærer to steder. y-koordinaten til skæringspunkterne findes ved at indsætte de fundne x-værdier i liniens ligning. Samme metode bruges ved skæring mellem to parabler.

Polynomier side 25 Polynomium Definition Et polynomium af grad n er en funktion hvis forskrift kan skrives på formen: f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +..+ a 2 x 2 + a 1 x + a 0 hvor a n 0 Eks: 2x 3 x + 1 a 3 = 2, a 2 = 0, a 1 = 1, a 0 = 1 (x +1) 4 omskrives: (x +1) 4 = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1 dvs. a 4 = a 3 = a 2 = a 1 = a 0 = 1 Man kan vise at et n'te gradspolynomium har højst n rødder ( nulpunkter ) Der findes formler til at finde de eksakte rødder i 3. og 4. gradspolynomier, og man kan vise at der ikke findes generelle formler til bestemmelse af rødder i polynomier af højere grad end 4. På min hjemmeside kan i finde et program til TI-84 til bestemmelse af rødder i et vilkårligt 3.gradspolynomium. Med TI-84 kan man numerisk bestemme rødder til alle polynomier. Faktorisering af andengradspolynomier: faktorisering Hvis et andengradspolynomium har rødderne α og β kan det faktoriseres: ax 2 + bx + c = a( x α )(x β) Sætningen er klar, da højresiden af ligningen er et andengradspolynomium med rødderne α og β, hvis graf er en parallelforskydning af y = ax 2 Omskrivningen ax 2 + bx + c = a( x α )(x β) a( x 2 + b a x + c a ) = a ( x2 αx βx + α β ) x 2 + b a x + c a = x2 + ( α β) x + α β viser at α + β = b/a og α β = c/a Specielt gælder der, hvis a = 1 : røddernes sum er lig med koefficienten foran x med modsat fortegn røddernes produkt er lig med sidste led. Anvendelser af faktorisering: forkortning af brøker af polynomier. Andengradspolynomiet afsluttes med en projektopgave: Afstandsregulering en trafikmodel.

Omvendt funktion. side 26 Definition af omvendt funktion, herunder begrebet injektiv funktion. Grafen for den omvendte funktion. Øvelser og eksempler En funktion f kaldes injektiv, hvis der gælder: x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) for alle x 1, x 2 Dm(f) Hvis en funktion f er injektiv, er den omvendte funktion f 1 defineret ved: f 1 (y) = x f(x) = y Grafen for f 1 fremkommer ved at spejle grafen for f i linien y = x Eksponentiel vækst bevis: (x,y) graf(f) y = f(x) f 1 (y) = x (y,x) graf(f 1 ) og da (y,x) netop fremkommer ved spejling af (x,y) i linien x = y følger sætningen. Den omvendte funktion til x 2 for x > 0 er funktionen x Indledning med gruppearbejde hvor begreberne absolut tilvækst, relativ tilvækst og fremskrivningsfaktor bliver forklaret. Procent og fremskrivningsfaktor Vækstrate = relativ tilvækst = rentefod I det meste litteratur betegnes ovenstående med bogstavet r. Angives rentefoden i procent skrives r% - eks. 7% = 0,07 Vækstfaktor = fremskrivningsfaktor Sammenhæng mellem fremskrivningsfaktor og rente i % :

side 27 Eksempel: Kapitalfremskrivning a = 1 + r Fremskrivningsfaktor Rentefod i % 1,1 10% 1,07 7% 1,001 0,1% 1,5 50% 2 100% 4,5 350% 0,85-15% Vigtig formel i forbindelse med procent - og rentesregning: Slutværdi = Startværdi Fremskrivningsfaktor Formlen kan omskrives til: Startværdi = Slutværdi / Fremskrivningsfaktor eller Fremskrivningsfaktor = Slutværdi/ Startværdi Udledelse ( på grundlag af et eksempel ) af kapitalfremskrivningsformlen: K n = K 0 ( 1+r) n K n = Slutværdi K 0 = Startværdi r = rentefod pr. termin n = antal terminer En termin er den perioder der går mellem to rentetilskrivninger. Formlen kan anvendes når 3 af de 4 størrelser, der indgår i formlen, er kendt. Det giver 4 forskellige anvendelser af formlen: 1) K n ubekendt - kapitalfremskrivning K 0 = 3000 r = 0,14 ( 14%) n = 5 lommeregner: 3000 1.14 ^ 5 = 5776.24

2) K 0 ubekendt - kapitaltilbageførsel side 28 K n = 10000 r = 0,07 n = 20 lommeregner: 10000 1.07^ 20 = 2584.19 3) r ubekendt K n = 5,1 10 9 K 0 = 3,5 10 9 n = 18 Vi får ved isolation af r i formlen K n /K 0 = (1+r) n 1+r = n K n /K 0 r = n K n /K 0-1 lommeregner: 5.1 EE 9 3.5 EE 9 ^ 18 x -1 1 = 0.021 ( 2,1 %) 4) n ubekendt K n = 1000 K 0 = 500 r = 0,02 Vi får ved isolation af n i formlen (1+r) n = K n /K 0 her 1,02 n = 2 Metoden består i at prøve sig frem på lommeregneren. Da 1,02 35 = 2 er n = 35 Ligningen kan løses på en anden måde idet man kan bruge sætningen ( som I skal lære senere ): a = b n n = log(a) log(b)

Gennemsnitlig procent side 29 Bemærk at rentefoden 16% p.a. ikke svarer til 4% pr. kvartal på grund af rentes rente. Af samme grund svarer 2% pr. måned ikke til 24% p.a. Vi har 1 + R = (1 + r) n n 1 + R = 1 + r R er rentefoden for det lange tidsrum og r er rentefoden for det korte tidsrum Eks. : Hvis R = 16% = 0,16 er den årlige rente. 1+r = 4 1,16 = 1,0378 r = 0,0378 = 3,78 % er renten pr. kvartal Hvis r = 2% = 0,02 er den månedlige rente 1+R = 1,02 12 = 1,268 R = 0,268 = 26,8% er den årlige rente Gennemsnitlig rentefod Den gennemsnitlige rentefod, r, af rentesatserne r 1, r 2,..r n er givet ved: 1 + r = n (1 + r 1 ) (1 + r 2 ). (1 + r n ) (1+r) n = (1 + r 1 ) (1 + r 2 ). (1 + r n ) Hvis den månedlige rentefod er 2%, siger man at den nominelle rente pro anno er 24 %. Derimod er den effektive rente 26,8%. Vi når ikke længere dette semester. Det var oprindelig planlagt, at vi skulle beskæftige os med eksponentiel vækst. Det bliver så det emne, vi skal starte med i august. 25/5 kl. 900 13.10 er der årsprøve i skriftlig matematik. Alle hjælpemidler er tilladte. Prøven består af to dele. En uden og en med hjælpemidler. Prøven uden hjælpemidler skal afleveres kl. 10. Først herefter må hjælpemidlerne tages frem. 9-10/6 - kl. 8.00 13.30 er der årsprøveprojekt i Geometriske konstruktioner. Til projektet skal vi anvende programmet Geometer. I skal have jeres lærebog, samt passer og lineal med til årsprøveprojektet.