Oversigt [S] 5.2, 5.3, 5.4, 2., 2.2 Nøgleord og begreber Analysens hovedsætning Stamfunktioner Itereret integral Test itereret integral Fubinis sætning Test Fubini Eksempler Test produkt Calculus - 26 Uge 39.2 -
Analysens hovedsætning [S] 5.4 The fundamental theorem of calc. Sætning (Analysens fundamentalsætning) Antag, at f : [a,b] R er kontinuert. Så er g(x) = x a f(t)dt differentiabel og g (x) = f(x) Calculus - 26 Uge 39.2-2
Analysens hovedsætning [S] 5.4 The fundamental theorem of calc. Sætning (Analysens fundamentalsætning) Antag, at f : [a,b] R er kontinuert. Så er g(x) = x a f(t)dt differentiabel og g (x) = f(x) For en stamfunktion F(x), F (x) = f(x), er b a f(x)dx = F(b) F(a) Calculus - 26 Uge 39.2-2
Overbevis [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus Sætning (Analysens fundamentalsætning) Bevis g g(x + h) g(x) (x) = lim h h x+h = lim f(u)du h h x f(x )h = lim h h = f(x) Calculus - 26 Uge 39.2-3
Stamfunktions botanik [S] 5.3 Evaluating definite integrals... Stamfunktioner x n dx = n + xn+, n dx = ln(x) x e x dx = e x ln(x)dx = x ln(x) x a x dx = ln(a) ax Calculus - 26 Uge 39.2-4
Stamfunktions botanik [S] 5.3 Evaluating definite integrals... Stamfunktioner - flere sin(x)dx = cos(x) cos(x)dx = sin(x) x 2 dx = sin (x) + x 2 dx = tan (x) Calculus - 26 Uge 39.2-5
Integral smertefrit Eksempel Beregn [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus 4 (x 2 + x 3 )dx Calculus - 26 Uge 39.2-6
Integral smertefrit Eksempel Beregn Løsning [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus 4 (x 2 + x 3 )dx 4 (x 2 + x 3 )dx = [ x 3 3 + x4 4 ] 4 Calculus - 26 Uge 39.2-6
Integral smertefrit Eksempel Beregn Løsning [S] 5.4 The fundamental theorem of calculus 4 (x 2 + x 3 )dx 4 (x 2 + x 3 )dx = [ x 3 3 + x4 4 ] 4 = ( 43 3 + 44 4 ) (3 3 + 4 4 ) = ( 64 3 + 64) ( 3 + 4 ) = 339 4 Calculus - 26 Uge 39.2-6
Integral af integral Definition Antag f : [a,b] [c,d] R er kontinuert. For x [a,b] er det partielle integral A(x) = d c f(x,y)dy Calculus - 26 Uge 39.2-7
Integral af integral Definition Antag f : [a,b] [c,d] R er kontinuert. For x [a,b] er det partielle integral A(x) = og det itererede integral d c f(x,y)dy 2 b a A(x)dx = b a d c f(x,y)dydx Calculus - 26 Uge 39.2-7
Integral integral avet om Definition I modsat rækkefølge. Det partielle integral og det itererede integral A(y) = b a f(x,y)dx 3 d c A(y)dy = d c b a f(x,y)dxdy Calculus - 26 Uge 39.2-8
Beregn integral integral Eksempel R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y Calculus - 26 Uge 39.2-9
Beregn integral integral Eksempel R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y Partial integral A(x) = x 2 y dy Calculus - 26 Uge 39.2-9
Beregn integral integral Eksempel R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y Partial integral A(x) = = [x 2y2 2 x 2 y dy ] y=2 y= = x 222 2 x22 2 = 3 2 x2 Calculus - 26 Uge 39.2-9
Fortsat Eksempel - fortsat A(x) = 3 2 x2 Calculus - 26 Uge 39.2 -
Fortsat Eksempel - fortsat A(x) = 3 2 x2 Itereret integral 3 x 2 y dydx = 3 3 2 x2 dx Calculus - 26 Uge 39.2 -
Fortsat Eksempel - fortsat A(x) = 3 2 x2 Itereret integral 3 x 2 y dydx = 3 3 2 x2 dx [ ] x 3 3 = 3 2 3 3 = 3 2 3 = 27 2 3 Calculus - 26 Uge 39.2 -
Fortsat avet om Eksempel - fortsat R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y Calculus - 26 Uge 39.2 -
Fortsat avet om Eksempel - fortsat Partial integral R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y A(y) = 3 x 2 y dx Calculus - 26 Uge 39.2 -
Fortsat avet om Eksempel - fortsat Partial integral R = [, 3] [, 2], f(x,y) = x 2 y A(y) = = 3 [ x 3 3 y x 2 y dx ] x=3 x= = 33 3 y = 9y Calculus - 26 Uge 39.2 -
Sluttelig ens Eksempel - fortsat A(y) = 9y Calculus - 26 Uge 39.2-2
Sluttelig ens Eksempel - fortsat A(y) = 9y Itereret integral 3 x 2 y dxdy = 9y dy Calculus - 26 Uge 39.2-2
Sluttelig ens Eksempel - fortsat A(y) = 9y Itereret integral 3 x 2 y dxdy = [ y 2 = 9 2 9y dy ] 2 = 9( 22 2 2 2 ) = 27 2 Calculus - 26 Uge 39.2-2
Test itereret integral Test Lad f(x,y) = xy. Det itererede integral (a) 9. (b) 9. (c) 6. 2 4 4 Afkryds den rigtige: xy dxdy er (a) (b) (c) Calculus - 26 Uge 39.2-3
Test itereret integral Test Lad f(x,y) = xy. Det itererede integral (a) 9. (b) 9. (c) 6. 2 4 4 Løsning Afkryds den rigtige: xy dxdy er (a) (b) (c) xy dxdy = [ x 2 [ y 2 2 ] 2 ] x=2 x= y dy = 3 2 2 = 3 3 2 2 = 9 4 Calculus - 26 Uge 39.2-3
Test itereret integral Test Lad f(x,y) = xy. Det itererede integral (a) 9. (b) 9. (c) 6. 2 4 4 Løsning Afkryds den rigtige: xy dxdy er (a) (b) (c) xy dxdy = [ x 2 [ y 2 2 ] 2 ] x=2 x= y dy = 3 2 2 = 3 3 2 2 = 9 4 Calculus - 26 Uge 39.2-3
Øvelse gør mester Eksempel R = [, ] [, ], f(x,y) = 2x + 2ye x Calculus - 26 Uge 39.2-4
Øvelse gør mester Eksempel Partial integral R = [, ] [, ], f(x,y) = 2x + 2ye x A(x) = (2x + 2ye x )dy = [ 2xy + y 2 e x] y= y= = 2x + e x Calculus - 26 Uge 39.2-4
Videre Eksempel - fortsat A(x) = 2x + e x Calculus - 26 Uge 39.2-5
Videre Eksempel - fortsat A(x) = 2x + e x Itereret integral (2x + 2ye x )dydx = (2x + e x )dx = [ x 2 + e x] = ( + e) ( + ) = e Calculus - 26 Uge 39.2-5
Fortsat avet om Eksempel - fortsat R = [, ] [, ], f(x,y) = 2x + 2ye x Calculus - 26 Uge 39.2-6
Fortsat avet om Eksempel - fortsat Partial integral R = [, ] [, ], f(x,y) = 2x + 2ye x A(y) = (2x + 2ye x )dx = [ x 2 + 2ye x] x= x= = ( + 2ye) ( + 2y) = 2(e )y + Calculus - 26 Uge 39.2-6
Igen ens Eksempel - fortsat A(y) = 2(e )y + Calculus - 26 Uge 39.2-7
Igen ens Eksempel - fortsat A(y) = 2(e )y + Itereret integral (2x + 2ye x )dxdy = (2(e )y + )dy = [ (e )y 2 + y ] = ((e ) + ) ( + ) = e Calculus - 26 Uge 39.2-7
Fubini: Alle veje fører til Rom 4 Sætning (Fubinis sætning) Lad R = [a,b] [c,d] og antag f : R R er kontinuert. Så er dobbeltintegralet lig de itererede integraler og R R f(x,y)da = f(x,y)da = b a d c d c b a f(x,y)dydx f(x,y)dxdy Calculus - 26 Uge 39.2-8
Overbevis Fubinis sætning - begrundelse Lad f(x,y). Volumenet under grafen er dobbeltintegralet f(x,y)da Det partielle integral R A(x) = d c f(x,y)dy er arealet af et snit gennem området under grafen for x fast. Calculus - 26 Uge 39.2-9
Mere overbevis Fubinis sætning - begrundelse Det itererede integral b a A(x)dx = b a d c f(x,y)dydx tilnærmes af Riemann summen A(x i ) x i som ved grænseovergang fører til volumenet, der netop er dobbeltintegralets værdi. Calculus - 26 Uge 39.2-2
Fremgangsmåde Eksempel 2 R = [, 2] [, 2], f(x,y) = x 3y 2 Calculus - 26 Uge 39.2-2
Fremgangsmåde Eksempel 2 R = [, 2] [, 2], f(x,y) = x 3y 2 R (x 3y 2 )da = (x 3y 2 )dydx Calculus - 26 Uge 39.2-2
Fremgangsmåde Eksempel 2 R = [, 2] [, 2], f(x,y) = x 3y 2 R (x 3y 2 )da = = = (x 3y 2 )dydx [ xy y 3 ] y=2 y= dx (x 7)dx [ x 2 = 2 7x = 2 ] 2 Calculus - 26 Uge 39.2-2
Fortsat Eksempel 2 - fortsat (x 3y 2 )da = R (x 3y 2 )dxdy Calculus - 26 Uge 39.2-22
Fortsat Eksempel 2 - fortsat (x 3y 2 )da = R (x 3y 2 )dxdy = = [ x 2 2 3y2 x (2 6y 2 )dy ] x=2 x= = [ 2y 2y 3] 2 = 2 dy Bemærk, at midtpunktsreglen, [S] 2. Eksempel 3, gav tilnærmelsen 95 =, 875 8 Calculus - 26 Uge 39.2-22
Med sinus og cosinus Figur - Eksempel 3 R = [, 2] [,π], f(x,y) = y sin(xy) Calculus - 26 Uge 39.2-23
Med sinus og cosinus Figur - Eksempel 3 R = [, 2] [,π], f(x,y) = y sin(xy) z x y Calculus - 26 Uge 39.2-23
Fortsat Eksempel 3 - fortsat R y sin(xy)da = π y sin(xy) dxdy Calculus - 26 Uge 39.2-24
Fortsat Eksempel 3 - fortsat R y sin(xy)da = = = π π π y sin(xy) dxdy [ cos(xy)] x=2 x= dy ( cos(2y) + cos(y))dy [ = sin(2y) 2 = ] π + sin(y) Calculus - 26 Uge 39.2-24
Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = x ln y dxdy. Afkryds: ja nej Calculus - 26 Uge 39.2-25
Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = x ln y dxdy. Løsning (x,y) [, 2] [, 2] giver ved Fubinis sætning R x ln y da = Afkryds: x ln y dydx ja nej Calculus - 26 Uge 39.2-25
Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = x ln y dxdy. Løsning (x,y) [, 2] [, 2] giver ved Fubinis sætning R x ln y da = Afkryds: x ln y dydx ja nej Calculus - 26 Uge 39.2-25
Produktregel Figur - Eksempel 5 R = [, π 2 ] [, π ], f(x,y) = sin(x) cos(y) 2 Calculus - 26 Uge 39.2-26
Produktregel Figur - Eksempel 5 R = [, π 2 ] [, π ], f(x,y) = sin(x) cos(y) 2 z x y Calculus - 26 Uge 39.2-26
Produktregel Eksempel 5 R sin(x) cos(y)da = π 2 π 2 sin(x) cos(y) dxdy Calculus - 26 Uge 39.2-27
Produktregel Eksempel 5 sin(x) cos(y)da = R = = π 2 π 2 π 2 π 2 cos(y) sin(x) cos(y) dxdy π 2 sin(x) dx sin(x)dx dy π 2 cos(y) dy = [ cos(x)] π 2 [sin(y)] π 2 = ( ( ))( ) = Calculus - 26 Uge 39.2-27
Opgave Øvelse R = [, ] [, ], f(x,y) = xe xy Calculus - 26 Uge 39.2-28
Opgave Øvelse R = [, ] [, ], f(x,y) = xe xy z x y Calculus - 26 Uge 39.2-28
Opgave løst Øvelse R xe xy da = xe xy dydx Calculus - 26 Uge 39.2-29
Opgave løst Øvelse R xe xy da = = = xe xy dydx [e xy ] y= y= dx (e x e )dx = [e x x] = e 2 Calculus - 26 Uge 39.2-29
Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = xdx ln y dy. Afkryds: ja nej Calculus - 26 Uge 39.2-3
Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = xdx ln y dy. Afkryds: ja nej Løsning R x ln y da = = = x ln y dy x ln y dydx ln y dydx xdx Calculus - 26 Uge 39.2-3
Test Fubini Test Lad f(x,y) = x ln y, R = [, 2] [, 2]. Der gælder R x ln y da = xdx ln y dy. Løsning R x ln y da = = = x ln y dy Afkryds: x ln y dydx ln y dydx xdx ja nej Calculus - 26 Uge 39.2-3