Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 1.1 Euklidisk geometri.................... 1 1.2 Trekanter......................... 2 2 Navngivning 3 2.1 Hjørner, sider og vinkler................. 3 2.2 Irrationelle vinkler?.................... 4 2.3 Bogstavnavne....................... 4 2.4 Utraditionelle navne................... 6 2.5 Flere ord......................... 7 3 Sætninger om trekanter 8 3.1 Trekantsuligheden..................... 8 3.2 Vinkelsummen i en trekant................ 8 3.3 Ensvinklede trekanter................... 9 4 Tilstrækkelig information om en trekant 10 4.1 Kongruenssætningen................... 10 5 Hjælpelinjer i en trekant 10 5.1 Højder........................... 10 5.2 Medianer......................... 10 5.3 Midtnormaler....................... 10
Resumé I dette dokument gennemgår vi noget teori og baggrundsviden om trekanter. Herunder traditioner for navngivning af vinkler og sidelængder i en trekant, trekantsuligheden, kongruenssætningen, og en bunke terminologi. Som bonus for ivrige læsere, er der en sidehistorie om hvorfor gradtallet (matematisk set) er en tosset måde at måle vinkler på. 1 Introduktion 1.1 Euklidisk geometri Den klassiske plangeometri er en teori som handler om planen Et uendeligt stort, fuldstændigt fladt område, hvor man kan tegne perfekte rette linjer og måle afstande og vinkler fuldkommen nøjagtigt. Dette område findes naturligvis ikke i virkeligheden! Men det viser sig at mange situationer i vores virkelige verden (hvad end den er for noget) minder så meget om planen at den klassiske plangeometri kan bruges til at planlægge, beregne og beskrive udseendet af nogle særdeles virkelige ting. De såkaldte gamle grækere tillæges en stor del af ansvaret for at opfinde denne teori. Specielt findes der mange historier om Euklid og hans elev Archimedes og hvordan de brugte geometriske beregninger til at opfinde nogle meget effektive maskiner. Euklid tillægges så stor betydning for opfindelsen af den klassiske geometri at man ofte omtaler den som Euklidisk geometri. På samme måde omtales vores uendeligt store, perfekte plan også nogle gange som den Euklidiske plan. Når vi skal i gang med at forstå den Euklidiske plan, så bliver det nødvendigt for mig at henvise til nogle få indlysende facts, såsom at side 1
to linjer aldig vil kunne skære hinanden præcis to steder. Hvis man tænker lidt over det, så er disse facts slet ikke så indlysende som man kunne ønske sig. Og det er slet ikke indlysende om to sådanne facts kan risikere at modsige hinanden. Euklid lavede et enormt stykke arbejde med at få sådanne facts reduceret til et minimum (såkaldte aksiomer), hvorfra alle andre facts kan udledes ved hjælp af logiske argumenter. Vi skal ikke beskæftige os med Euklids aksiomer for plangeometrien i dette dokument, men hvis du synes at det lyder spændende, kan du læse om det et andet sted 1. 1.2 Trekanter Den klassiske plangeometri handler om den Euklidiske plan og alle tænkelige delmængder af den. Uden at gå nærmere ind i dimensionsbegrebet, så kan disse delmængder groft sagt inddeles i tre typer, alt efter hvor mange retninger de udstrækker sig i. Punkter er f.eks. 0- dimensionale, linjer og andre kurver er 1-dimensionale, mens cirkelskiver, polygoner (trekanter, firkanter, femkanter o.s.v.) og andre flade områder er 2-dimensionale. Hvis jeg lige må kaste mig ud i lidt lommefilosofi, så udgør trekanterne en slags atomer for alle de todimensionale delmængder. De er nemlig de simpleste todimensionelle figurer man kan forestille sig, og i en vis forstand kan alle andre todimensionelle figurer bygges af trekanter. Hvis man tænker denne filosofiske tanke helt i bund 2, så kan man ende med at opfinde hele den gren af matematikken som hedder topologi. 1 Læs om euklidisk og ikke-euklidisk geometri her 2 Det hjælper gevaldigt hvis man oven i købet hedder Euler eller Poincaré til efternavn. side 2
Vi skal ikke helt så langt her. Jeg vil blot understrege at trekanter ikke bare er noget som forekommer på byggepladser og i arkitekters tegninger, men at de faktisk er så grundlæggende et objekt i matematikken at selv de mest avancerede artikler om moderne matematik indimellem indeholder referencer til teori om trekanter 3. 2 Navngivning Al videnskab starter med at man fastlægger noget terminologi altså nogle ord som vi alle skal være fuldstændigt enige om betydningen af. 2.1 Hjørner, sider og vinkler En trekant er en delmængde af den euklidiske plan som består af præcis tre punkter (kaldet trekantens hjørner) samt tre rette linjestykker (kaldet trekantens sider) som forbinder hvert af de tre par af hjørner. I hvert hjørne vil de to sider som går ud fra dette hjørne danne en såkaldt vinkel. Vi beslutter os i dette dokument 4 for at måle størrelsen af denne vinkel ved hjælp af såkaldte grader. Selvom du garanteret kender dette begreb ganske udmærket allerede, så har du muligvis aldrig set en rigtig definition af det. Derfor laver vi lige en. Definition 1. En vinkel i en trekant har et tilknyttet gradtal som er defineret på følgende måde: 3 Selvom du ikke skal forvente at forstå ret meget (det gør jeg heller ikke), kan du se et par eksempler her, her og her. 4 Du skal senere lære en smartere måde at måle vinkler på som hedder radianer. side 3
1. Hvis de to sider som danner vinklen går i præcis samme retning ( oven på hinanden ), så siger vi at vinklens gradtal er 0. 2. Hvis de to sider som danner vinklen går parallelt, men i præcis modsatte retninger, så siger vi at vinklens gradtal er 180. 3. Hvis de to sider som danner vinklen står vinkelret på hinanden, så siger vi at vinklens gradtal er 90. 4. Hvis man inddeler en vinkel på 180 i n lige store dele (hvor n er et naturligt tal), så siger vi at hver af delene har et gradtal på ( 180 ) n Bemærk den lille cirkel efter tallene som angiver at det pågældende tal er et gradtal for en vinkel. Det er et meget unikt eksempel på en slags enhed 5 i matematik, hvor det ellers er totalt uhørt at arbejde med enheder. Dette er for at understrege at gradtallet er unaturligt og underligt (hvorfor i alverden skal 90, 180 og 360 lige have lov at være de helt specielle tal?), og for at kunne skelne en vinkels gradtal fra den rigtige måde at måle vinklen på, nemlig dens radiantal. Husk altid at sætte grader -tegnet på tallene når du angiver en vinkels gradtal! 2.2 Irrationelle vinkler? Hvis du allerede har hørt om forskellen på rationelle tal (brøker) og irrationelle tal (som f.eks. 2 og π), så vil du muligvis undre dig over definitionen i det foregående afsnit. Den bevirker nemlig følgende meget underlige egenskab: 5 Du kan læse mere om enheder her side 4
Ifølge definition?? har alle vinkler et gradtal som er et rationelt tal. 2.3 Bogstavnavne Når vi skal arbejde med trekanter, så bliver det meget nyttigt at kunne tale om deres hjørner, sider og vinkler på en måde hvor man hurtigt kan blive enige om hvilken af disse man taler om. Derfor plejer man at giver hver af dem et bogstavnavn. Det er meget almindeligt (men ikke obligatorisk!) at navngive hjørnerne med store bogstaver, som f.eks. A, B og C, mens man navngiver siderne med små bogstaver som f.eks. a, b og c. Samtidigt er der en regel man har indført for at gøre livet lidt nemmere, nemlig følgende: Definition 2. Hvis en trekants hjørner er navngivet med tre forskellige store bogstaver, f.eks. M, P og D, så er det meget almindelige (men ikke obligatorisk!) at navngive siderne med de tilsvarende små bogstaver (i eksemplet vil det altså være m, p og d), på en sådan måde at: Siden m går mellem punkterne P og D Siden p går mellem punkterne M og D Siden d går mellem punkterne M og P Sagt på en anden måde (med samme betydning): Siden m ligger over for punktet M side 5
Siden p ligger over for punktet P Siden d ligger over for punktet D Når en trekants sider og hjørner er navngivet på denne måde, så siger man at trekanten har været udsat for standardnavngivning eller traditionel navngivning. Nu kommer der noget underligt som man nok skal læse et par gange for at forstå. Men jeg lover dig at hvis du forstår det, så vil du undgå en masse forvirring når du læser andre bøger, fordi de fleste andre matematikbogsforfattere ikke helt har fattet at det er et problem. Når vi taler om trekanter, så er det normalt acceptabelt at være upræcis med hensyn til forskellen på en side i trekanten og denne sides længde. Selvom disse to objekter på ingen måde er ens (det ene er et linjestykke, det andet er et tal), så plejer man at give dem et fælles bogstavnavn, sådan at en side f.eks. kan hedde a, men at man samtidigt gerne må skrive f.eks: a = 4 På samme måde er det normalt acceptabelt at være upræcis med hensyn til forskellen på et hjørne i trekanten, den vinkel som de to sider danner i dette hjørne og sørme også denne vinkels gradtal. Selvom disse tre objekter på ingen måde er ens (det ene er et punkt, den andet er noget som de to sider danner og det tredje er et tal), så plejer man at give dem et fælles bogstavnavn. På den måde kan et hjørne i trekanten f.eks. hedde A, men samtidigt kan man finde på at tale om vinklen A og endda oplyse at: A = 22 side 6
2.4 Utraditionelle navne Læg lige godt mærke til at traditionerne omkring navngivning af størrelser i trekanter ikke er obligatoriske. Det betyder at man selv vælger om man vil følge dem eller ej. Nogle gange er det endda umuligt at følge dem, fordi nogle af bogstaverne er brugt til at navngive noget andet. Derfor er det vigtigt at gøre opmærksom på det når man bruger standardnavngivningen. Og omvendt: Når andre ikke gør opmærksom på det, kan man ikke regne med at de følger standardnavngivningen. Vigtigst af alt, skal du være klar til at håndtere trekanter hvor siderne og hjørnerne har underlige navne. Her kan en tegning af trekanten med markerede bogstavnavne være langt den hurtigste måde at gøre klart hvordan de forskellige sider og vinkler ligger i forhold til hinanden. Trekanten på figur?? nedenfor er et eksempel på hvordan dette kan gøres. 2.5 Flere ord Der er lige nogle flere ord som vi får brug for når vi arbejder med trekanter. Først nogle tillægsord som man kan bruge om trekanter: Retvinklet En trekant kaldes retvinklet hvis en af dens vinkler er 90. Stumpvinklet En trekant kaldes stumpvinklet hvis en af dens vinkler er over 90. side 7
Spidsvinklet En trekant kaldes spidsvinklet hvis alle dens vinkler er under 90. Ligebenet En trekant kaldes ligebenet hvis den har to sider som er lige lange. Ligesidet En trekant kaldes ligesidet hvis alle dens tre sider er lige lange. Senere skal vi se at dette automatisk betyder at dens vinkler også er lige store. Til sidst for såkaldte relationer som man kan have imellem to trekanter. Ensvinklede To trekanter kaldes ensvinklede hvis deres vinkler er parvist lige store. Sagt mere præcist: Hver af vinklerne i den ene trekant er lige så stor som en af vinklerne i den anden trekant. Kongruente To trekanter kaldes kongruente hvis 3 Sætninger om trekanter Nu er vi klar til at formulere de første (og ekstremt vigtige) sætninger om trekanter. side 8
3.1 Trekantsuligheden Sætning 3 (Trekantsuligheden). Hvis en trekant har siderne a, b og c, så gælder følgende uligheder altid: a b + c b c + a c a + b Sagt med ord: Hver af siderne er højst lige så lang som summen af de to andre sidelængder. Bevis. Dette er faktisk et af de såkaldte indlysende facts som jeg nævnte i indledningen. Hvis man kigger efter i Euklids aksiomer for plangeometrien, så er der netop et af aksiomerne som siger at: Den kortest mulige kurve mellem to punkter er det rette linjestykke mellem dem. Dette er præcis grunden til at trekantsuligheden gælder. Man kan undre sig lidt over at sætningen hedder trekantsuligheden når der faktisk er hele tre uligheder. Men det er egentlig spild af plads at have alle tre uligheder med. 3.2 Vinkelsummen i en trekant Sætning 4 (Vinkelsummen i en trekant). Hvis en trekant har hjørnerne A, B og C, så gælder det altid at: A + B + C = 180 side 9
Sagt i ord: Summen af vinklerne i en trekant er altid 180. 3.3 Ensvinklede trekanter Dette afsnit handler om to trekanter (og forholdet mellem dem). Derfor har vi brug for at være lidt kreative med bogstavnavnene. Sætning 5 (Skalerede trekanter er ensvinklede). En trekant har hjørnerne A, B og C og siderne a, b og c (med standardnavngivning), mens en anden trekant har hjørnerne D, E og F og siderne d, e og f (også med standardnavngivning). Hvis der findes et tal k (en såkaldt skalering), sådan at: så gælder: a = k d b = k e c = k f A = D B = E C = F Med andre ord: De to trekanter er ensvinklede side 10
4 Tilstrækkelig information om en trekant Vi starter med at kigge på det yderst fornuftigt spørgsmål, nemlig: Hvor meget information (sidelængder og vinkler) skal man have om en trekant for at kunne beregne alle de resterende sidelængder og vinkler? I retvinklede trekanter kan dette spørgsmål besvares meget let. 4.1 Kongruenssætningen 5 Hjælpelinjer i en trekant 5.1 Højder 5.2 Medianer 5.3 Midtnormaler side 11