Diskriminantformlen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Diskriminantformlen 1
Resumé I dette dokument beviser vi den såkaldte diskriminantformel for løsningerne til en andengradsligning. 1 Introduktion Diskriminantformlen er en lige ud af landevejen -metode til at løse andengradsligninger med. Den er dog mest af teoretisk interesse, fordi det i praksis kan være svært at huske formlen rigtigt, og fordi der findes andre metoder der som er meget hurtigere til at løse konkrete andengradsligninger. Beviset kan virke temmeligt langt, men det er faktisk ret nemt at huske, fordi det bare handler om at løse en generel andengradsligning på samme måde som man kan løse konkrete andengradsligninger ved først at omskrive dem til simple ligninger. Den eneste forskel er at vi arbejder med tre tal, a, b og c som vi ikke kender, men som vi alligevel forestiller os at vi kender. Forudsætninger Du bør have prøvet at bruge diskriminantformlen i praksis inden du læser dette dokument. Desuden er det en fordel hvis du allerede har træning i at løse andengradsligninger ved at omskrive dem til simple ligninger, fordi hele ideen i beviset bygger på denne metode 1. Desuden er det vigtigt at du er fortrolig med at regne med brøker, også når der indgår ukendte størrelser. 2 Diskriminantformlen Vi starter med at definere den størrelse som det hele handler om: 1 Du kan læse eksempler på løsning af andengradsligninger ved hjælp af begge de nævnte metoder her side 1
Definition 1. Til en andengradsligning af formen: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0, og x er en ukendt reel størrelse, knytter vi en hjælpestørrelse ved navn diskriminanten. Den er defineret ved: d = b 2 4ac Herefter er vi klar til at formulere diskriminantsformlen som en sætning: Sætning 2. En andengradsligning af formen: ax 2 + bx + c = 0 hvor a, b og c er reelle tal, a 0 og x er en ukendt reel størrelse har følgende løsninger: Hvis d = b 2 4ac er negativ er der ingen løsninger. Hvis d = b 2 4ac er lig nul har den præcis en løsning givet ved: x = b Hvis d = b 2 4ac er positiv har den præcis to løsninger givet ved: x = b ± d side 2
Bevis. Vi starter med andengradsligningen: ax 2 + bx + c = 0 1) I første omgang omskriver vi den ved at dividere med a på begge sider. Bemærk at da a 0 er dette tilladt, og den nye ligning har præcis de samme løsninger som den oprindelige.) x 2 + b a x + c a = 0 2) Herefter laver vi færdiggørelse af kvadratet. De to led: x 2 + b a x er det samme som: ) 2 ) b 2 Sidstnævnte kan nemlig omskrives ved hjælp af første kvadratsætning til: ) 2 ) b 2 = x 2 + 2 b ) b 2 ) b 2 x + = x 2 + b a x Dermed kan vi skrive vores ligning som: En hurtig omskrivning af dette giver: ) 2 ) b 2 + c a = 0 3) ) 2 ) b 2 = c a 4) Med lidt brøkregning kan højresiden omskrives til: side 3
b ) 2 c a = b2 c a = b2 4ac Dermed har vi omskrevet vores andengradsligning til: ) 2 = b2 4ac 5) Så langt, så godt. Det eneste vi mangler er at isolere x. Allerførst lægger vi dog mærke til at vi allerede nu kan sige noget om antallet af løsninger. Størrelsen på højre side af lighedstegnet er simpelt hen: d og eftersom altid vil være positivt, har vi nu følgende situationer: Hvis d er negativ: I dette tilfælde står der et negativt tal på højre side af ligning 5). Eftersom en potensopløftning i anden potens aldrig kan give et negativt tal, er der i dette tilfælde ingen løsninger. Hvis d = 0: I dette tilfælde står der nul på højresiden af ligning 5). Altså: ) 2 = 0 Det eneste tal som kan give nul ved opløftning i anden potens er nul selv, så ligningen er det samme som: dvs. = 0 x = b side 4
Hvis d er positiv: I dette tilfælde giver ligning 5) to muligheder, nemlig at: eller: = d = d Med lidt mere brøkregning kan disse to muligheder skrives som: d = ± Man skal lige overveje at dette også er korrekt hvis a er negativ!) Dvs. x = b ± d = b ± d side 5