Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig lidt uklart, hvor nyttigt det er at kende egenværdierne og egenvektorerne for en matrix, så lad os derfor se på dette eksempel Lad os antage, at vi kender en matrix A, der har egenværdien λ med tilhørende egenvektor a, og egenværdien λ med tilhørende egenvektor a, hvor vektorerne a og a er angivet i følgende figur: a a x Da A a j er λ j a j, får vi ved at multiplicere gentagne gange med A matricen, at A 0 a 04 a, A 0 a a 04 og A 0 x a + x a 04 x a + x 04 a, hvilket kan illustreres således, idet x er ca a + a A 0 a A 0 a A 0 x Hvis vi vil regne i koordinater, er det smartest at benytte koordinater mht basen a, a, for hvis vi benyttede den naturlige basis skulle A 0 x beregnes således: A 0 x 07 07 0 3? Hvis S betegner koordinattransformations-matricen for skiftet fra den naturlige basis e, e til basen a, a vil det tilsvarende regnestykke i de nye koordinater se således ud: A 0 x A 0 S S S A S 0 04 a a 04
Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske har I hørt om Fibonacci-tallene:,,, 3,, 8, 3,, Tal-følgen dukker op i mange forskellige sammenhænge, feks ude i naturen, hvor bla antallet af knopper rundt om en gran-kogle vil være et udsnit af denne følge af tal! Følgen af Fibonacci-tal er et specielt eksempel på en lineær differens-ligning, idet det k te tal fås som summen af det k te og det k te, efter at de to første tal er givet Generelt ser en lineær differensligning sådan ud: x k når a x k + a x k + + a n x k n, for k n x n, x n,,x 0 er givet Hvis vi samler sæt bestående af n konsekutive tal i vektorer, ser vi, at alle sådanne sæt fås ved at gange iterativt med en bestemt type af matrix: x k a a a n x k x k 0 0 x k 0 0 0 0 0 x k n+ Det karakteristiske polynomium for en sådan matrix er: x k n deta λe n λ n a λ n a λ n a n, så det er let at se, at egenværdierne til matricen for Fibonacci-tallene er rødderne i polynomiet λ λ, dvs λ + 68 og λ 068 Til hver egenværdi λ kan man kun finde et -dimensionelt rum af egenvektorer, nemlig vektorerne v λ t λ n, λ n,,, hvor t 0 Da egenværdierne for Fibonacci-eksemplet er forskellige, vil deres to egenvektorer + og dog alligevel give os en basis for R, og som det fremgår af det foregående eksempel, vil sættet af Fibonacci-tal altså efterhånden blive mere og mere proportional med den første af egenvektorerne! Vi har altså, at x k + x k 68 det gyldne snit for store k
3 Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer 3 Sidst i TL-noterne om de komplekse tal, så vi, at definitionen af feks eksponential-funktionen: expx + x + x + 6 x3 + + n! xn + kunne udvides til også at gælde for alle komplekse tal x For alle lignende entire funktioner kan definitionen såmænd også udvides til at give mening for alle kvadratiske matricer x! Dvs for en n n matrix A er expa defineret således: expa E + A + A + 6 A3 + + n! An + og hvis A er diagonaliserbar, er expa specielt simpel at udregne: expa exps D S E + S D S + S D S + 6 S D S 3 + + n! S D S n + S E + D + D + 6 D3 + + n! Dn + S expλ 0 0 S 0 expλ 0 0 S 0 0 expλ n Antag feks at vi gerne vil finde to reelle funktioner x t og x t, hvor vi kun ved, at x t x t + x t x t x t og x 0, x 0 Vi kan skrive denne lineære differential-ligning på matrix-form: x t x t og da der gælder, at 0 x t x t, hvor x 0 x 0 vektoren expt Ax bliver til vektoren E x x, når t er 0, og til vektoren Aexpt Ax, når dens elementer differentieres, får vi løsningen til differential-ligningen fra det foregående eksempel: x t t t exp x t t 0 + expt + 0 + 0 expt +3 expt + + 3 expt 0 0 + expt + + expt 0 0,
4 Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer 4 Som det fremgår af de to sidstnævnte eksempler, bliver lineære differens- og differentialligninger nemmere at løse, når koefficientmatricen kan diagonaliseres Desværre er det jo ikke alle n n matricer, der kan diagonaliseres, men de kan alle næsten diagonaliseres via den såkaldte Jordan normalisering: Antag feks at vi har en 8 8 matrix A, der har egenværdierne λ, hvor rmλ 4, men emλ er kun, λ, hvor rmλ emλ, og λ 3, hvor rmλ 3, men emλ 3 er kun Da emλ ikke er lig med rmλ for alle egenværdierne, kan vi ikke finde en regulær matrix S, så S A S er en diagonalmatrix D, men hvis vi ødelægger diagonal-matricen D lidt ved at skrive taller over de sidste af de λ i er, hvortil der ikke kan findes lineært uafhængige egenvektorer, kan S A S blive til en sådan feks ved at kalde Maple s JordanForm, dvs: λ 0 0 0 0 λ 0 λ S A S λ 0 λ λ 0 0 λ3 0 0 λ 3 En sådan næsten diagonal-matrix er næsten lige så nyttig, når man skal løse lineære differens- eller differentialligninger, idet der gælder, at matricerne S A S n S A n S og exp S t A S S exp t A S er hhv λ n 0 0 0 n n 0 λ n λ n λ n 0 0 λ n n λ n λ n 0 λ n λ n 0 0 λ n n 3 λ3 n 0 0 λ n 3
for n, hvor n k er binomial-koefficienter, og e t λ 0 0 0 0 e t λ t et λ t et λ 0 0!! e t λ t et λ! e t λ 0 e t λ e t λ 0 0 e t λ 3 t et λ 3! 0 0 e t λ 3