4. 4.1 Tegn følgende lineære funktioner: a. y = 2 +1 b. y = 3 c. y = 3 d. y = ½ + 2 e. y = 2 + 350 f. y = -25 + 4200 g. y = 125-375 4.2 Tegn følgende lineære funktioner. Det er en stor fordel at isolere y på den ene side af lighedstegnet, inden du tegner funktionen. a. y + 4 = y = b. 2y = -4 8 y = c. ⅓ + y = 5 y = d. 2y + 10 = -5 y = e. 3y 2 + 4 = 0 y = f. -2 + y = -y + 4 y = 4.3 Find forskrifterne for funktionerne a-j. 4.1-4.3
4.4 Bestem forskrifterne for graferne Tip: find to punkter langt fra hinanden Graf a 25000 20000 15000 10000 5000 0-5000 -10000 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Graf b 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 100 200 300 400 500 600 700 Graf c 2000 1000 0-500-400-300-200-100 0 100 200 300 400 500-1000 -2000 4.4-4.4
4.5 Fra virkelighed til funktion a. En taa tager et grundgebyr på 30 kr og derefter koster det 5 kr pr km. Opstil en funktion, der giver prisen på en taa-tur. Hvor langt kan man komme for 100 kr? b. Karl Åge vejer 159 kg. Hver uge taber han sig 3 kg. Opstil en funktion, som finder Karl Åges vægt. Hvad vejer han efter 7 uger? Hvornår vejer han 100 kg? Opgaver - funktioner c. Et telefonabonnement koster 59 kr pr måned og 0,37 kr pr minut taletid. Opstil en funktion, der beskriver den samlede pris pr måned afhængig af hvor meget der tales i telefonen. Hvad skal du betale, hvis du taler i telefon i 60 minutter? Hvis du skal betale 102 kr, hvor meget har du talt i telefon? d. Peter har lavet et limonadesalg. Han tager 3 kr pr glas. Udgifterne til limonadesalget udgør 142 kr. Lav en funktion, som giver Peters udbytte af limonadesalget. Hvor meget tjener Peter, hvis han sælger 41 glas? Hvor meget skal han sælge, hvis han skal tjene 100 kr? 4.6 Lav et forskrift a. En lineær funktion går igennem punkterne (0; 3) og (4; 11). Bestem en forskrift for funktionen. b. Grafen for en lineær funktion går igennem punkterne (3; 27) og (6; -12). Bestem en forskrift for funktionen. c. En taa tager 52 kr for en tur på 5 km, og 85 kr for en tur på 16 km. Prisen for en taatur kan beskrives med en lineær funktion. Bestem funktionen. d. Antallet af medlemmer i en tennisklub er steget fra 57 ved klubbens 3-års dag til 134 ved klubbens 10-års dag. Bestem en lineær funktion for udviklingen i klubben. Hvor mange medlemmer startede klubben med? 4.7 Ligninger med 2 ubekendte a. + y = 2 - y = -4 b. + y = 5 - y = 3 c. 2y + = 6 3y - 4 = -2 4.5-4.7
d. -4y + 2 = -5 2y + ½ = 10 e. y = 2-3 y = + 1 f. 3y + 9 = 9 3-3 = y g. 6-2y - 2 = 0 2 + y = 9 h. y = - 2 y = -2 + 10 i. y + ½ = 4 y - = 1 j. y + 3 = 3 y - 7 = ½ k. 2y = 3 + 4 3y - 3 = 3 l. y = 3500 + 240 y = 2999 + 573 m. y = 175 + 0,55 y = 319 + 0,34 n. Summen af to tal er 10. Forskellen er 4. Find de to tal. o. På årets længste dag er dagen 10 timer og 54 minutter længere end natten. Hvor lang er dagen? p. 2 + 3y = z + 4 2z 2y = 2 5 3z + 6y = 5 Opgaver - funktioner 4.8 Løs disse opgaver ved at opstille to ligninger med to ubekendte. a. Nielsen skal købe bil. Han overvejer at købe en Peugeot 206. Han kan vælge mellem en model, der kører på benzin, til 160.000 kr eller en diesel-model til 175.000 kr. Benzinmodellen koster 0,49 kr pr km i brændstof, mens diesel-modellen koster 0,28 kr pr km. Hvornår er de to modeller lige dyre? b. På en virksomhed overvejer man at anskaffe sig en ny kopimaskine. Hvis de køber en ny koster det 50.000 kr i anskaffelse og 0,52 kr pr kopi. Hvis de leaser en kopimaskine koster det 1,25 kr pr kopi. Hvor mange kopier skal der tages, før det kan betale sig at købe frem for at lease? 4.8-4.8
c. Fru Andersen skal vælge mellem to typer telefonabonnementer. Der er standartabonnement, der koster 125 kr i måneden og minutprisen er 0,25 kr. Det andet er økonomi-abonnementet, der koster 199 kr i måneden og minutprisen er 0,18 kr. Sammenlign de to tilbud - hvornår er hvilket billigst? d. Fru Andersen har desuden fået et tilbud fra konkurrenten. Det lyder på 195 kr i måneden og en minutpris på 0,20 kr. Dertil kommer, at de første 200 minutter er gratis. Sammenlign dette med de to tilbud fra opgave c? e. I butikken Kalles Kolde Køleskabe står der to lige store køleskabe i vinduet. Det ene koster 2.495 kr og bruger cirka 286 kwh om året, mens det andet koster 3.349 kr og bruger cirka 102 kwh om året. Hvilket køleskab er billigst, hvis prisen på 1 kwh er 52 ører? f. Hvilket køleskab er billigst, hvis prisen på 1 kwh er 75 ører? g. Hvad skal prisen på strøm være, hvis de to køleskab skal være lige dyre efter 5 år? 4.9 En hundegård er planlagt til at have form af en rektangel med arealet 64 m 2. Hvor langt skal rektanglet være, hvis bredden er a. 12 m b. 8 m c. 4 m d. Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem længde og bredde. e. Ved hvilken længde skal der bruges mindst hegn? 4.10 Peter køre fra Århus til Odense i bil. Mellem de to byer er der 145 km. a. Tegn en graf, der viser sammenhængen mellem Peters gennemsnitshastighed og tiden for turen. b. Lav forskriften for funktionen. c. For hvilke -værdier gælder denne funktion. 4.11 Ohms lov beskrives således: Strømstyrke * Modstand = Spænding eller I * R = U Beskriv sammenhængen mellem strømstyrke og modstand, hvis spændingen er konstant 220 V 4.12 Tegn disse funktioner: 1 a. y = 2 b. y = 4.9-4.12
12 c. y = d. = y 1 e. y= 0,5 a f. Hvilken betydning har størrelse og fortegnet på a for en hyperbel med forskriften: y =? 4.13 Lav en hyperbel, der går gennem punktet (2; -6). 4 4.14 Find symmetriakserne for den hyperbel, der har forskriften: y = Hvad er forskrifterne på disse symmetriakser? 24 4.15 Tegn funktionen: y 3 = a. Bestem forskriften for symmetriakserne. b. Beskriv hyperblens asymptoter med hver sin ligning. 24 4.16 Tegn funktionen: y 3 = + 1 Bestem koordinaterne for punktet, hvor de 2 asymptoter skærer hinanden 4.17 En hyperbel har forskriften: = a + b a. Hvilken betydning har b for hyperblen? y b. Hvordan skal forskriften ændres, hvis hyperblen skal skubbes mod venstre i koordinatsystemet (dvs. parallelforskydes i -aksens retning)? c. Lav en regel om, hvordan man kan finde koordinaterne til asymptoternes a skæringspunkt, når man har en funktion med forskriften: + b y = + c 4.18 Asymptoterne til en hyperbel skærer hinanden i punktet (3; -2). Bestem forskriften for denne hyperbel. 4.13-4.19
4.19 Find ud af hvilke af disse grafer, der er funktioner. Begrund hvorfor. Forsøg evt. at lave et funktionsforskrift for funktionerne. a. b. c. 4.19-4.19
d. Opgaver - funktioner e. f. 4.19-4.19
g. 4.20 Fastslå definitionsmængden og værdimængden for funktionerne. a. 520 b. c. d. Der gives en funktion, som beskriver hvor langt tid man er om at køre fra København til Rom, hvis man kører med en gennemsnitshastighed på km/t: e. 2000 f. g. 2 er en funktion, der beskriver svingningstiden på en pendul med en, snorelængde på meter. h. er en ikke nærmere beskrevet funktion, der beskriver hvor mange kartofler Ole Korsholm har spist igennem hans liv frem til en alder af år. i. er en funktion, som beskriver hvor meget man skal betale hvis man køber daim. 4.21 Lav forskrifter til funktionerne. Start med identificere den uafhængige variabel og den afhængige variabel. a. Kartofler koster 4,95 pr kg. Beskriv prisen på kartofler som en funktion af vægten. b. Et telefonabonnement koster 39 kr pr måned. Samtaler koster 0,89 kr pr minut. Beskriv prisen på telefoni i en måned som en funktion af antal minutter, der er talt i telefon. c. En lastbil skyder en gennemsnitsfart på 70 km/t. Beskriv den tilbagelagte afstand som en funktion af tiden. d. En lastbil skal køre 500 km. Beskriv tiden, som det vil tage at køre turen, som en funktion af gennemsnitsfarten. 4.20-4.21
e. Du skal lave et rektangel, hvor den ene side er 5 m længere end den anden side. Beskriv arealet af rektanglet som en funktion af den korteste side. f. En fabrik køber en maskine til 4 millioner kr, som kan lave små yoghurtbægere. Hvert bæger koster 2,45 kr i fremstilling. Beskriv de samlede omkostninger (maskine + produktion) som en funktion af antal bægere yoghurt. g. Samme oplysninger som i forrige opgave. Beskriv udgiften pr bæger som en funktion af antal fremstillede bægere. h. Fortsat yoghurt-maskinen. Det forventes, at maskinen kan producere omkring 6.000.000 bæger yoghurt i hele dens levetid. Beskriv den samlede fortjeneste som en funktion af salgsprisen pr. bæger. i. Fortsat yoghurt-maskinen. Fordi det ikke kan vides med sikkerhed præcis hvor mange bægere yoghurt, maskinen vil lave i hele dens levetid, skal du nu lave en funktion med 2 variabler! Det meste af arbejdet har du faktisk lavet i den forrige opgave! Kald funktionen f(p, a). Beskriv den samlede fortjeneste som en funktion af salgsprisen pr bæger (p) og det samlede antal bægere, maskinen producere i hele dens levetid (a). j. Du har en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 7 lang. Beskriv arealet af trekanten som en funktion af længden på den ene katete. 4.22 Smeltende is På grafen kan man se temperatursvingningerne, mens 1 kg is smelter. 4.23 a. Lav en funktionsforskrift for grafen. Tip: del den op i 3. b. Hvad er isens smeltepunkt? c. Hvornår kræver det mest energi at få temperaturen til at stige 1 - før eller efter isens smeltning? Hvordan kan man se det på grafen. 4.22-4.23
4.23-4.23 Opgaver - funktioner