Om Riemnn-integrlet. Noter til Mtemtik 1 Jon Johnsen Institut for Mtemtiske Fg, Alborg Universitet Fredrik Bjers Vej 7G, 9220 Ålborg Ø 3. december 2001 1 Indledning Integrlregning går tilbge til Newtons og Leibniz rbejder i 1670 erne, men det vr først i 1829 t Augustin Cuchy beviste t middelsummerne for en kontinuert funktion f(x) på et intervl [, b] konvergerer mod et fst tl; dette betegnes med f(x) dx. I disse noter indfører vi det integrlbegreb der blev introduceret f Bernhrd Riemnn i 1854, og der benyttes foruden middelsummer også over- og undersummer for funktioner på [, b]. Det giver en fleksibel rmme for t udlede de væsenligste egenskber ved Riemnn-integrlet, som vi også gør her. 2 Definitioner Vi begynder med de centrle begreber. Ld [, b] være et lukket, begrænset intervl (det er underforstået i nottionen t < b, når ikke ndet nævnes). Ved en inddeling P f [, b] forstås en endelig delmængde P = {x 0, x 1,..., x n }, som opfylder x 0 =, x n = b, og x j 1 < x j for j = 1, 2,..., n. En inddeling P 1 siges t være finere end P, hvis P 1 P (mængdeinklusion). Mængden f lle inddelinger f et givet intervl betegnes I[, b]. Normen f en inddeling P I[, b] er længden f det største delintervl bestemt f P og betegnes P ; det vil for P = {x 0, x 1,..., x n } sige P = mx{x j x j 1 j = 1, 2,..., n}. Vi bemærker, t P 1 P medfører P 1 P. Givet en inddeling P = {x 0, x 1,..., x n }, så siges en n-tuppel t = (t 1,..., t n ) t være underordnet P, hvis t j [x j 1, x j ] for j = 1, 2,..., n. 1
Ld f være en begrænset reel funktion defineret på [, b]. Givet P I[, b] og t underordnet P, så definerer vi, jævnfør figur 1, middelsummen ved S(P, t, f) = f(t j )(x j x j 1 ). (1) M j (f) f(t j ) m j (f) x j 1 t j x j Figur 1: Illustrtion til undersum, middelsum og oversum For j = 1, 2,..., n indfører vi endvidere tllene m j (f) = inf{ f(x) x [x j 1, x j ] } (2) M j (f) = sup{ f(x) x [x j 1, x j ] } (3) og ved hjælp herf definerer vi dernæst undersummen (L kommer fr lower ) L(P, f) = m j (f)(x j x j 1 ) (4) og oversummen (U kommer fr upper ) ved U(P, f) = M j (f)(x j x j 1 ). (5) Det følger umiddelbrt f definitionerne, t vi hr ulighederne L(P, f) S(P, t, f) U(P, f) (6) for ethvert vlg f t underordnet P. Se figur 1 for et eksempel. Med disse forberedelser kn vi nu definere Riemnn-integrbilitet. 2
Definition 2.1. En begrænset funktion f på [, b] siges t være Riemnn-integrbel på [, b], hvis der findes et tl A med følgende egenskb: Givet ε > 0, så findes en inddeling P I[, b], således t for lle P 1 I[, b] med P 1 P og lle t underordnet P 1 gælder S(P 1, t, f) A < ε. I bekræftende fld skriver vi A = f(x)dx. Mængden f Riemnn-integrble funktioner på [, b] betegnes R([, b]). Det er klrt fr definitionen, t der højst eksisterer ét tl A med denne egenskb, så nottionen A = f(x)dx giver mening. Øvelse 2.1. Bevis påstnden om t der højst er et sådnt A. 3 Om Riemnn-integrbilitet For t kunne bruges i prksis skl definition 2.1 suppleres med kriterier for integrbilitet. Vi giver to resultter; det første viser, t Riemnn-integrbilitet også kn krkteriseres ved hjælp f oversummer og undersummer. Sætning 3.1. For en begrænset funktion f : [, b] R, hvor [, b] er et kompkt intervl, er følgende egenskber ækvivlente: (i) Funktionen f(x) er Riemnn-integrbel, f R([, b]). (ii) For ethvert ε > 0 eksisterer der en inddeling P I[, b], således t U(P 1, f) L(P 1, f) < ε. for enhver inddeling P 1 I[, b] som opfylder P 1 P. Til beviset for sætningen hr vi brug for nogle observtioner. Lemm 3.2. Antg, t f er en begrænset funktion på [, b]. Antg, t P 1, P 2 I[, b] og P 2 P 1. Så gælder L(P 1, f) L(P 2, f) og U(P 2, f) U(P 1, f). Bevis. Det er nok t se på det tilfælde, hvor P 2 hr et punkt mere end P 1. Kld dette punkt c, og ntg c ]x j 1, x j [. Sæt M 1 = sup{f(x) x [x j 1, c]}, M2 = sup{f(x) x [c, x j ]}. 3
Så er M 1 M j (f) og M 2 M j (f) ifølge (3), og vi hr U(P 2, f) = M k (f)(x k x k 1 ) + M 1 (c x j 1 ) + M 2 (x j c) = k=1,...,n k j k=1,...,n k j M k (f)(x k x k 1 ) + M j (f)(c x j 1 ) M k (f)(x k x k 1 ) = U(P 1, f). k=1 + M j (f)(x j c) Det viser det ene delresultt. Det ndet vises på smme måde. Som konsekvens f lemmet gælder der for lle P 1, som er finere end P, t L(P, f) L(P 1, f) U(P 1, f) U(P, f). Dette viser dels t det nytter t gøre inddelingerne finere, dels t f. eks. undersummen L(P, f) hørende til en given inddeling P er mindre end eller lig enhver oversum svrende til en finere inddeling; dette vil sige t L(P, f) inf{ U(P 1, f) P 1 P }. Det er et centrlt punkt i beviset nedenfor t mn fktisk kn tge infimum over smtlige oversummer, ltså t der for ethvert P I[, b] gælder uligheden L(P, f) inf{ U(P, f) P I[, b] }. (8) Dette kn fås fr det ovenstående fordi der for enhver inddeling P I[, b] gælder t P P både er finere end P og P. Endelig defineres det øvre og det nedre integrl som, henholdsvis, I(f) = inf{u(p, f) P I[, b]} (9) I(f) = sup{l(p, f) P I[, b]}. (10) Det følger direkte f (8) t I(f) I(f) (og det bliver vist nedenfor t lighedstegnet er ækvivlent med både (i) og (ii) i sætning 3.1). BEVIS FOR SÆTNING 3.1. Antg først f R([, b]) og sæt A = f(x)dx. Ld ε > 0 være givet. Så findes ifølge definitionen på Riemnn-integrbilitet en inddeling P 0 I[, b], således t for lle P I[, b] med P P 0 og lle t underordnet P gælder (7) f(t j )(x j x j 1 ) A < 1 ε. (11) 3 Ld nu P være vlgt vilkårligt så P P 0, men fstholdt i resten f denne del f beviset. Bruges (11) for to forskellige, underordnede n-tupler t og s, så fås S(P, t, f) S(P, s, f) = (f(t j ) f(s j ))(x j x j 1 ) f(t j )(x j x j 1 ) A + A f(s j )(x j x j 1 ) < 2 ε. (12) 3 4
Sæt nu µ = ε/(3(b )). Bruger vi definitionen f M j (f) og m j (f) som henholdsvis et supremum og et infimum, kn vi finde t j [x j 1, x j ] således t og s j [x j 1, x j ], således t M j (f) < f(t j ) + µ/2, m j (f) > f(s j ) µ/2. Herf følger M j (f) m j (f) < f(t j ) f(s j ) + µ og dernæst t U(P, f) L(P, f) = < (M j (f) m j (f))(x j x j 1 ) (f(t j ) f(s j ))(x j x j 1 ) + µ (x j x j 1 ) (13) < 2 ε + µ(b ) = ε. 3 Det beviser t (i) medfører (ii). Antg nu t betingelsen (ii) er opfyldt. Så gælder I(f) = I(f), hvilket kn ses på følgende måde: Ld ε > 0 være fst men vilkårligt. Så findes efter ntgelsen en inddeling P I[, b] med U(P, f) L(P, f) < ε. Men så hr vi og derfor I(f) U(P, f) < L(P, f) + ε I(f) + ε, 0 I(f) I(f) < ε. D ε er vilkårlig, følger I(f) = I(f). Ideen er t vise, t f er integrbel, i henhold til definitionen, med integrl A := f(x) dx = I(f) = I(f). (14) Ld ε > 0 være givet. Bestem nu P således, t U(P, f) < I(f) + ε. Så gælder ifølge lemm 3.2 t U(P, f) < I(f) + ε. for lle P P. Tilsvrende bestemmes P således, t L(P, f) > I(f) ε for lle P P, hvor vi igen hr brugt lemm 3.2. Sæt P 0 = P P og ntg t P P 0 er vilkårlig. Så gælder for et vilkårligt t underordnet P A ε = I(f) ε < L(P, f) S(P, t, f) U(P, f) < I(f) + ε = A + ε og følgelig S(P, t, f) A < ε. Det beviser, t f er Riemnn-integrbel. (15) 5
Bemærk den finte, t en funktion f R([, b]) som konsekvens f sætningen nødvendigvis også er Riemnn-integrbel over ethvert delintervl [α, β] f sin definitionsmængde. (Dette fktum er nemt t tge for givet, men bør bevises.) Ved hjælp f ovenstående sætning 3.1 kn vi nu bevise hovedresulttet. Sætning 3.3. Antg, t f er kontinuert på [, b]. Så gælder f R([, b]), ltså t f er Riemnn-integrbel på [, b]. Bevis. Beviset udnytter t f s kontinuitet på det kompkte intervl [, b] er uniform (se Apostol Theorem 4.47). D f er kontinuert og [, b] er kompkt, er f begrænset; vi kn derfor bruge sætning 3.1 i beviset. Ld ε > 0 være givet. Bestem δ > 0, således t x y < δ medfører f(x) f(y) < ε/(2(b )) for lle x, y [, b]. Det er muligt, d f er uniformt kontinuert. Ld P være en inddeling med P < δ og ld P 1 P være vilkårlig. D f(x) ntger begge værdierne M j (f) og m j (f) på det kompkte intervl [x j 1, x j ], og d længden f ethvert sådnt delintervl f P 1 er mindre end δ, så følger uligheden M j (f) m j (f) ε/(2(b )) og dermed U(P 1, f) L(P 1, f) = (M j (f) m j (f))(x j x j 1 ) ε 2(b ) (x j x j 1 ) = ε (16) 2 < ε. Det viser ifølge sætning 3.1 t f R([, b]). I mtemtisk littertur betegner C([, b]) ofte rummet f reelle, kontinuerte funktioner på [, b] dermed er sætningens udsgn t C([, b]) R([, b]). Øvelse 3.1. Gennemfør rgumentet for (8) i lle detljer. Øvelse 3.2. Bevis t funktionen f(x) der er 1 for x = 0 og ellers er nul på [ 1, 1] er Riemnn-integrbel på [ 1, 1] med integrl 0. Øvelse 3.3. Godtgør påstnden efter sætning 3.1 om integrbilitet over ethvert delintevl. 4 Egenskber ved Riemnn-integrlet Nedenfor følger en smling nyttige integrtionsresultter, med kortfttede beviser. Sætning 4.1. R([, b]) er et reelt vektorrum. For f, g R([, b]) og c 1, c 2 R gælder (c 1 f(x) + c 2 g(x))dx = c 1 f(x)dx + c 2 g(x)dx. 6
Bevis. Sæt h = c 1 f + c 2 g. Så gælder for lle P og lle underordnede t t S(P, t, h) = c 1 S(P, t, f) + c 2 S(P, t, g). Givet ε > 0, så kn vi bestemme en inddeling P, således t for lle P P gælder S(P, t, f) f(x)dx < ε og en inddeling P, således t for lle P P gælder S(P, t, g) g(x)dx < ε. Sæt nu P 0 = P P. Så gælder for lle P P 0 S(P, t, h) c 1 f(x)dx c 2 g(x)dx < c 1 ε + c 2 ε. Herf følger resulttet. Det næste resultt kendes som indskudssætningen. Sætning 4.2. Antg c ], b[ og t f er Riemnn-integrbel over to f de tre intervller [, b], [, c] og [c, b]. Så er f også Riemnn-integrbel over det tredje, og der gælder f(x)dx = c f(x)dx + c f(x)dx. (17) Bevis. Vi ntger, t f er integrbel over [, c] og [c, b]. Givet ε > 0, så findes der en inddeling P 0 f [, c], således t for lle P P 0 gælder S(P, t, f) c f(x)dx < ε 2 og en inddeling P 0 f [c, b], således t for lle P P 0 gælder S(P, t, f) c f(x)dx < ε 2 ; herved er t og t vilkårlige tupler underordnede P og P. Vi sætter P 0 = P 0 P 0. Ld nu P P 0 og ld t være underordnet P. Så defineres P = P [, c], P = P [c, b], (18) med en tilsvrende opspltning t = (t, t ). Så er P en inddeling f [, c] og P en inddeling f [c, b], og der gælder S(P, t, f) = S(P, t, f) + S(P, t, f). Fordi P P 0 og P P 0 giver trekntsuligheden derfor t S(P, t, f) c f(x)dx c f(x)dx < ε. Resulttet følger herf. De ndre tilfælde behndles på smme måde. 7
Vi indfører de sædvnlige konventioner og sætter f(x)dx = f(x)dx b og f(x)dx = 0. Derefter gælder (17) for vilkårlig beliggenhed f, b og c: Korollr 4.3. Uden forudsætning om, b, c R gælder Sætning 4.2 i øvrigt ordret (med pssende fortolkning f [, b] for b < osv.). At Riemnn-integrlet respekterer den nturlige ordning f reelle funktioner er indholdet f Sætning 4.4. Antg f R([, b]) og g R([, b]), og t f(x) g(x) for lle x [, b]. Så gælder f(x)dx g(x)dx. Specielt gælder for en ikke-negtiv funktion, det vil sige f(x) 0 for x [, b], t f(x) dx 0. Bevis. Hvis f(x) 0, følger det f definitionen på middelsum t 0 S(P, t, f) for ethvert P og ethvert underordnet t. Men så er f(x) dx 0. Herf følger sætningen umiddelbrt ved t nvende det foregående på g f. For en funktion f betegner f funktionen givet ved f (x) = f(x). Mn d hr nedestående resultt, som er fundmentlt for t kunne vise uligheder mellem integrler. Sætning 4.5. Antg f R([, b]). Så er f R([, b]) og der gælder f(x)dx f (x)dx. (19) Bemærk t det f forudsætningen følger t < b. Dersom b < gælder ifølge sætningen f(x) dx f(x) dx. Idet f(x) dx = f(x) dx, er b b b det så i lle tilfælde vist t f(x) dx f(x) dx, for, b R. Denne formulering er dog ret kvet, d der stdig optræder numerisk værdi f integrlet på ulighedens højre side. D det ydermere er klrt t (19) er forkert hvis b <, så nøjes vi med t hve præmissen t < b stående indirekte i krvet f R([, b]). 8
Bevis. Betrgt et P I[, b], og hold x j 1, x j P fst. For vilkårlige x, y [x j 1, x j ] hves og det følger herf t f(x) f(y) f(x) f(y) M j (f) m j (f) (20) M j ( f ) m j ( f ) M j (f) m j (f). Multipliktion med x j x j 1 og summtion giver nu t U(P, f ) L(P, f ) U(P, f) L(P, f). D det gælder for lle inddelinger, giver sætning 3.1, t f R([, b]). Vi hr f f og f f, så uligheden følger fr sætning 4.4. Bemærkning 4.6 (Advrsel). Der gælder ikke t f R([, b]) medfører f R([, b]). Dette er en f de største svgheder ved Riemnn-integrlet. Som illustrtion kn mn betrgte funktionen på [0, 1] givet ved { 1 for x irrtionl, f(x) = 1 for x rtionl. Så gælder U(P, f) = 1 og L(P, f) = 1 for lle inddelinger P f [0, 1]. Men så er f ikke Riemnn-integrble ifølge sætning 3.1. På den nden side er f lig den konstnte funktion 1, som er Riemnn-integrbel. Der findes dog et mere generelt integrl opkldt efter Henri Lebesgue (1902), hvor klssen L([, b]) f Lebesgue-integrble funktioner er så meget større end R([, b]) t mn kn mnøvrere mere frit. Blndt ndet gælder der lment t f L([, b]) hvis og kun hvis f L([, b]). Det vil dog føre for vidt t komme ind på dette her. Det er under tiden nyttigt t vide t R([, b]) er lukket under punktvis multipliktion, hvilket er oplgt for underrummet C([, b]); men det gælder også lment: Sætning 4.7. Antg f R([, b]) og g R([, b]). Så er fg R([, b]). Bevis. Vi bruger først sætning 3.1 for t behndle tilfældet f = g. Der gælder både M j (f 2 ) = (M j ( f )) 2 og m j (f 2 ) = (m j ( f )) 2. Dermed hr vi M j (f 2 ) m j (f 2 ) = (M j ( f ) + m j ( f ))(M j ( f ) m j ( f )) 2K(M j ( f ) m j ( f )), (21) hvor begrænsetheden f f er brugt til t bestemme en konstnt K, så f(x) K for lle x [, b]. Men så følger resulttet f sætning 4.5 og sætning 3.1. Resulttet følger for vilkårlige f og g i R([, b]) f identiteten 2f(x)g(x) = (f(x) + g(x)) 2 (f(x)) 2 (g(x)) 2 og sætning 4.1 smt første del f beviset. 9
De to næste resultter kendes under nvnet differentil- og integrlregningens hovedsætning. Sætning 4.8. Antg, t f er kontinuert på [, b] og definér for x [, b] F (x) = x f(t)dt. Så er F kontinuert differentibel på [, b], og der gælder F (x) = f(x). Bevis. For vilkårlige to punkter x og x + h i [, b] hves 1 h (F (x + h) F (x)) f(x) = 1 h x+h x (f(t) f(x))dt. (22) Givet ε > 0 og x [, b], så kn vi på grund f kontinuiteten f f bestemme et δ > 0, så f(t) f(x) < ε for lle t i kuglen B [,b] (x, δ). Definitionen på grænseværdi, sætning 4.5 og (22) giver derfor resulttet. Bemærk t de fledte f F i og b nødvendigvis skl forstås som ensidede; og t beviset for x = eller x = b tger højde for det ved t referere til kuglen B [,b] (x, δ) i det metriske delrum [, b] (som for x ], b[ og δ tilstrækkeligt lille blot er ]x δ, x + δ[ ). I den omvendte retning hves, endd under svgere forudsætninger, Sætning 4.9. Ld F være kontinuert på [, b] og differentibel på ], b[ med Riemnn-integrbel differentilkvotient; det vil sige F (x) = f(x) for lle x ], b[ og f R([, b]). Så gælder f(x)dx = F (b) F (). Bevis. Ld P være en vilkårlig inddeling f [, b]. Så gælder F (b) F () = = (F (x j ) F (x j 1 )) F (t j )(x j x j 1 ) = f(t j )(x j x j 1 ), (23) hvor t j ]x j 1, x j [ er bestemt ved t nvende middelværdisætningen (Apostol Theorem 5.11). For hvert fst ε > 0 kn vi nu bestemme en inddeling, som er så fin, t vi hr F (b) F () f(x)dx = f(t j )(x j x j 1 ) f(x)dx < ε. D venstresiden er ufhængig f ε, og d ε er vilkårlig, følger resulttet. 10
Øvelse 4.1. Bevis korollr 4.3. Øvelse 4.2. Brug sætning 4.4 til t vise t der for hver kontinuert funktion f på [, b] findes et tl ξ [, b] så f(x) dx = f(ξ)(b ). Dette kendes som integrlregningens middelværdisætning. Vis t mn endd kn slutte t ξ ], b[. Øvelse 4.3. Verificer ulighederne i beviset for sætning 4.5. Øvelse 4.4. Verificer den sidste påstnd i beviset for sætning 4.8 5 Riemnn-integrlet f komplekse funktioner Konstruktionen f integrlet udvides nu til funktioner, der fbilder et intervl [, b] over i de komplekse tl. Vi minder om, t en funktion f : [, b] C kn skrives som f = Ref + i Imf. Definition 5.1. En begrænset funktion f : [, b] C kldes Riemnn-integrbel på [, b], hvis Ref R([, b]) og Imf R([, b]); for sådnne f sættes f(x)dx = Ref(x)dx + i Imf(x)dx. Mængden f komplekse Riemnn-integrble funktioner betegnes R([, b]; C) Bemærk, t med denne definition er Re f(x)dx = Ref(x)dx og Im f(x)dx = Som en umiddelbr konsekvens f definitionen og sætning 4.1 hves: Sætning 5.2. R([, b]; C) er et komplekst vektorrum. Afbildningen f er en lineær fbildning fr R([, b]; C) til C. f(x)dx Imf(x)dx. For håndteringen f integrler f komplekse funktioner er det næste resultt meget vigtigt. Sætning 5.3. Ld f R([, b]; C). Så er f R([, b]), og der gælder f(x)dx f(x) dx. 11
Bevis. Før uligheden vises må vi give mening til integrlet på højre side, ltså vise påstnden om t f R([, b]). Ved t bruge (dele f) formel (20) på både Ref og Imf, ses det t der til hvert delintervl [x j 1, x j ] f en inddeling P gælder f(x) f(y) f(x) f(y) Derf fås t Ref(x) Ref(y) + Imf(x) Imf(y) M j (Ref) m j (Ref) + M j (Imf) m j (Imf). M j ( f ) m j ( f ) M j (Ref) m j (Ref) + M j (Imf) m j (Imf), hvorfor mn ved multipliktion med x j x j 1 og summtion over j finder (24) U(P, f ) L(P, f ) ( U(P, Ref) L(P, Ref) ) + ( U(P, Imf) L(P, Imf) ). Nu ses t f er i R([, b]), for til givet ε findes en inddeling P 0 for hvilken begge led på højre side er < ε/2 for lle P P 0. Bestem nu et θ R, så t f(x)dx = eiθ f(x)dx = e iθ f(x)dx. Vi hr d, idet vi bruger sætningerne 4.5 og 4.4, f(x)dx = Re e iθ f(x)dx = Herf følger sidste del f sætningen. Re(e iθ f(x))dx Re(e iθ f(x)) dx f(x) dx. (25) I krft f dette resultt kn hovedsætningen, sætning 4.8, vises (med et lignende bevis) for funktioner med komplekse værdier. 6 Riemnn-integrlet f vektorfunktioner Nu betrgtes funktioner, der fbilder et intervl [, b] over i R n eller C n. For simpelhedens skyld skrives dette som L n, der ltså er et vektorrum over legemet L. Som bekendt er det sædvnlige indre produkt i dette rum givet ved u v = u 1 v 1 + + u n v n, og u = u 1 2 + + u n 2. Det bemærkes t der for lle u L n gælder den elementære ulighed u u 1 + u 2 + + u n ; (26) dette kn ses ved t kvdrere begge sider hvorved der kommer ekstr led på højre side f formen 2 u k u m, der lle er positive. Idet funktioner f : [, b] L n kn skrives som n-tupler f funktioner, f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)) er følgende definition nturlig. 12
Definition 6.1. En begrænset funktion f : [, b] L n kldes Riemnn-integrbel på [, b], hvis f j R([, b]; C) for hvert j = 1,...,n; for sådnne f sættes f(x)dx = ( f 1 (x) dx,..., f n (x) dx). Mængden f Riemnn-integrble vektorfunktioner betegnes R([, b]; L n ). Bemærk t integrlet f en vektorfunktion hermed bliver en vektor i L n. Ved t ræsonnere på hver komponent f j f f kn mn reltivt let overføre de fleste f de tidligere viste resultter for R([, b]) eller R([, b]; C) (lt efter som L = R eller L = C). Eksempelvis ses det let R([, b]; L n ) er et vektorrum over L og t integrlet er en lineær fbildning fr dette rum ind i L. Imidlertid er der en vigtig egenskb der fortjener t blive vist i detljer. Sætning 6.2. Ld f R([, b]; L n ). D gælder t x f(x) er en funktion i R([, b]), og f(x) dx f(x) dx. (27) Bevis. For t vise integrbiliteten f f(x) går vi frem på smme måde som i beviset for sætning 5.3. Ved t bruge uligheden (26) fås for L = R t f(x) f(y) f(x) f(y) f k (x) f k (y) k=1 (M j (f k ) m j (f k )). Som i beviset for sætning 4.5 og 5.3 sluttes nu t ( U(P, f ) L(P, f ) U(P, fk ) L(P, f k ) ). k=1 k=1 (28) Her kn højre side gøres mindre end et givent ε ved t tge P tilstrækkeligt fin, så integrbiliteten f f følger. For L = C gås frem på smme måde, blot skl mn yderligere splte op i rel- og imginærdele f f k fr og med den miderste ulighed i (28); jævnfør beviset for sætning 5.3. Endelig findes der til hvert v L n en enhedsvektor u som opfylder v = u v, for eksempel u = 1 v. Specielt gælder dette for v = f(x) dx, og det v noteres t u f(x) er i R([, b]; C) hvormed også u f(x) er integrbel ifølge sætning 5.3. Vi får d f integrlets lineritet og Cuchy Schwrz ulighed t f(x) dx = u f(x) dx = f(x) u dx = u f(x) dx f(x) dx. u f(x) dx (29) I den sidste ulighed indgik sætning 4.4 og den viste integrbilitet f f(x). Dermed er sætningen bevist. 13