RUMLIGE FIGURER
1 Indholdsfortegnelse 2 Indledning... 2 2.1 Den rumlige figur... 2 2.2 Programmet... 2 3 Løsningsmodel... 2 3.1 Funktionsudtryk 1... 3 3.1.1 Opstilling af funktioner... 3 3.1.2 De første 2 funktioner position & hældning... 3 3.2 Funktionsudtryk 2... 4 3.2.1 Tangenter... 4 3.2.2 Det endelige funktionsudtryk... 6 3.3 Rumfang af omdrejningslegeme... 7 4 Konklusion... 8 5 Programmeringsdelen... 9 5.1 Indledning... 9 5.2 Analyse... 9 5.3 Design... 9 5.4 Implementering... 9 5.5 Kildekoden... 10 1
Thomas Feld 5. oktober 2009 2 Indledning I forbindelse med et projekt i fagenee matematik og programmering har der skullet designes og beregnes på et omdrejningslegeme af nogle sammensatte funktioner. Den rumlige figur som skal designes, skal vælges med relation til vores teknikfag, og skal have et symme- trisk længdesnit så funktionerne som beskriver konturen kan drejes om aksen. Fordi kurven skal drejes om en af akserne i et retvinklet koordinatsystem, skal også rumfanget af den dan- nede figur findes. Selve designet skal bestå af flere funktioner, hvor imellem der skal være en glat overgang(samme hældning) mindst ét sted. Desuden skal der i programmeringsdelen skrives et program som kan visualisere den valgte rumlige figur. 2.1 Den rumlige figur Mit teknikfag er design og produktion mekatronik, som er den blanding af mekanik og elektronik. Jeg har derfor valgt at beskæftige mig med en elpæelektronik. re, som kan siges at høre ind under Nærmere bestemt har jeg valgt at beskrive elpærens glaspære, da den har et symmetrisk snit. 2.2 Programmet Programmet som skal visualisere den rumlige figur kan laves med et valgfrit udviklingsmiljø. Da vi for nyligt har arbejdet med Python og VPython i programmering har jeg valgt at bruge VPython(Visual Python) til at visualisere figuren. 3 Løsningsmodel Det første der skal gøres er at opsætte nogle funktionsudtryk, som kan beskrive elpærens kontur. Det første jeg gør, er at lægge pæren ned, så funktionen kan beskrives som en gaffelfunktion, og figuren bliver drejet om x-aksen. For at opsætte funktionerne kigger på pærens opbygning. Det jeg er kommet frem til, er at der er to cirkelbuer, en andengradsfunktangerer både andengrads- tion, og en ret linje. Den rette linje funktionen og den store cirkel. For at pæren får en omtrentlig realistisk størrelse har jeg målt på en pære og fået følgende mål: Længden af pæren(definitionsmængden) er ca. 7,6 cm. Radius i den store cirkel er omkring 6 cm. Højden ved den lille cirkel er 3,3 cm. 2
3.1 Funktionsudtryk 1 3.1.1 Opstilling af funktioner Ud fra de oplysninger har jeg tegnet en midlertidig skitse af de funktioner som indgår. Radius af den lille cirkel har jeg sat til 0,4 mens radius af den store er 3. Andengradsfunktionen har toppunkt på den lille cirkel, dvs. centrum plus radius af cirklen. De tre funktionsudtryk er: =0.4 + 0.4 +1.25 = 0.4 4 +1.65 h=3 4.6 Det første udtryk er for den lille cirkel, med radius 0,4. De 1.25 som bliver adderet til sidst, giver sammenlagt en højde på 1,65 som er halvdelen af 3,3; radius i det punkt på elpæren. For at forskyde kurven ad x- aksen, trækker jeg radius fra x. Det andet udtryk som er andengradsligningen, bliver også forskudt ad x-aksen, og igen 0,4. For at flade kurven ud, divideres der med 4. Der lægges 1,65 til for at forskyde kurven til toppen af cirkelbuen. Det tredje udtryk er igen en cirkelfunktion, som her har radius 3, og er forskudt 4,6 ad x-aksen, for at få længden på 7,6. For at få et mere klassisk udtryk for andengradsligningen, nemlig på formen ++, ganger jeg parentesen ud. = 1 4 0.4 +1.65 = 1 4 +0.16 0.8+1.65 = 1 4 0.2+1.69 3.1.2 De første 2 funktioner position & hældning For at se om de to funktioner f og g skærer hinanden, finder jeg 0.4 og 0.4. =0.4 + 0.4 +1.25 0.4=0.4 +1.25=1.65 = 0.4 4 +1.65 3
0.4=1.65 Det betyder at de to funktioner skærer hinanden i punktet (0.4, 1.65) For at vise at begge funktioner har en vandret tangent i det punkt, differentierer jeg udtrykkene. Funktionen f er en sammensat funktion, med endnu en sammensat funktion inden i. =0.16+ 0.4^2+1.25 Den sammensatte funktion inden i kvadratroden kan ganges ud til en andengradsfunktion: 0.4 = 0.8+0.16 Leddet inden i kvadratroden bliver så til 0.8+0.32 = Ved at sætte 0,4 ind i stedet for x, får jeg: 1 2 +0.8+0.32 2 0.8=.= Hældningen for funktionen g i punktet 0,4 er:...+.+. = 2 0.8 2 +0.8+0.32 = 1 4 0.2+1.69 = 1 2 0.2 3.2 Funktionsudtryk 2.=..= 3.2.1 Tangenter Da der er et større hul mellem funktionerne g og h, indsætter jeg en ret linje, som skal tangere begge grafer. For at gøre det fastsætter jeg tangenten i forhold til andengradsligningen, og ændrer derefter cirklens radius. Efter lidt undersøgelser i Graph, kom jeg frem til at en tangent til = er forholdsvis tæt på cirkelperiferien. For at finde forskriften for tangenten, bruger jeg tangentligningen: 4
= + er den x-værdi hvor tangent tangerer kurven. Tangenten bliver altså: = 5 4 + 5 4 5 4 = 2929 1600 +17 40 5 4 = + Linjen l skal også tangere halvcirklen, og derfor skal cirklens radius ændres. Da tangenten i et punkt altid er vinkelret på linjen som går gennem centrum af cirklen og punktet, kan jeg finde den vinkelrette afstand fra centrum af cirklen til linjen l. Afstanden fra centrum af cirklen til linjen vil så være den nye radius. Formlen for afstanden mellem et punkt og en linje er:,= ++ + Hvor linjens ligning er ++=0 og punktets koordinater er, For at få linjen ligning på den anden form, trækker jeg y fra på begge sider: Punktets koordinater er: Afstanden bliver altså: 17 40 4.6+2079 1600 17 40 +1 = 17 40 +2079 1600 17 40 +2079 1600 =0 :4.6,0 = 5207 75560 1889 2.995 5
Radius i cirklen bliver altså 2,995. For at se om resultatet passer, og linjen tangerer cirklen når radius er 2.995, skal jeg finde koordinaterne for skæringen mellem tangent og cirkel. Det gør jeg ved at sætte de to ligninger lig hinanden. =h 17 40 +2079 1600 = 5207 75560 1889 4.6 Jeg skal så isolere x. Det gør jeg ved hjælp af programmel. x-koordinaten bliver så 3.428493912. Ved at sætte det ind i tangentens ligning får jeg også y-koordinaten. = 17 40 +2079 1600 =17 40 3.428493912+2079 1600 =2.756484913 For at se om det passer, sætter jeg det samme ind i cirklen ligning. = 5207 75560 1889 +3.428493912 4.6 =2.756484913 De to y-koordinater er også ens. Det betyder at linjen l tangerer h i punktet.,. 3.2.2 Det endelige funktionsudtryk Det endelige funktionsudtryk bliver så en gaffelfunktion med alle fire funktioner. =0.4 + 0.4 +1.25 = 1 4 0.2+1.69 h= 27112849 3022400 + 4.6 = 17 40 +2079 1600 6
Thomas Feld 5. oktober 2009 Intervalgrænserne er ved den første cirkel {0; 0.4}, Andengradspolynomiet {0.4; 1.25}, og tangenten {1.25; 3.248}. For den sidste cirkel er slutintervallet lig centrum + radius = 7.595, altså {3.428; 7.595} Den samlede gaffelfunktioner er så: = 0.16+ 0.4 +1.25 0 <0.4 1 4 0.2+1.69 0.4 <1.25 17 40 +2079 1600 1.25 <3.428 27112849 3022400 + 4.6 3.428 <7.595 3.3 Rumfang af omdrejningslegeme Rumfanget af elpæren findes ved at dreje kurven 360 om x-aksen. Udtrykket for rumfanget af et omdrejningslegeme er: = Fordi kurven består af flere funktioner, beregnes rumfanget for hver af de fire, og lægges til sidst sammen. Intervallet i det bestemte integral er det samme som intervallet i gaffelfunktionen.. =. =.. =. 7
. = h. Jeg beregner de fire integraler ved hjælp af programmel, og lægger dem derefter sammen for at få det totale rumfang Rumfangene bliver altså: =3.673937926 =7.818028278 =36.47893162 =267.4955502 =. 4 Konklusion Den rumlige figur blev udtryk ved fire funktioner. Alle overgangene mellem funktionerne var steder hvor de to funktionerne som skærer hinanden har samme hældning. Det samlede rumfang blev beregnet til 315 kubikcentimeter, eller 315 ml. Resultater er ikke fuldstændigt realistisk, da pæren blev lavet med tilfældige mål og kun de overordnede dimensioner var realistiske. 8
5 Programmeringsdelen 5.1 Indledning Jeg har valgt at arbejde i Python, og har brugt modulet Visual Python til at visualisere objektet. Programmet tegner en funktionskurve, og samtidig et omdrejningslegeme. 5.2 Analyse Selve programmet skal kun vise et output med et omdrejningslegeme af en vis funktion. Der er derfor ikke noget brugerdefineret input til programmet. De konkrete ting som programmet skulle kunne er: Tegne koordinatsystemet i et tredimensionelt rum. Tegne funktionskurven i nævnte koordinatsystem. Beregne og tegne overfladen for omdrejningslegemet. 5.3 Design Koordinatsystemet har fået nogle specifikke farver for hver akse; rød, grøn og blå. For at de ikke skal være for iøjefaldende har markeringerne langs aksen fået dæmpet farverne, da det ikke er akserne der skal være fokus på. Selve funktionen bliver tegnet med en rød streg, og over fladen har en gul-orange farve, som passer til at det er en elpære. For at give et bedre indtryk af tredimensionalitet og rum skifter farven på overfladen ad x-aksen. Igen for at lede fokus mod figuren, er kameraets synsvinkel forskudt fra midten af koordinatsystemet, mod figuren. 5.4 Implementering Selve arbejdsprocessen foregik i flere stadier, hvor hvert af programmets krav blev opfyldt et ad gangen. Første stadie var at tegne koordinatsystemets akser i rummet. Derefter gik det på at kunne tegne en funktionskurve i koordinatsystemet. Kurven bliver tegnet med et såkaldt curve objekt, som består af en række punkter som der tegnes en streg mellem. Kurven bliver tegnet i en løkke, hvor der hele tiden bliver lagt et nyt punkt til, som beregnes ud fra funktionsforskriften. Funktionen append lægger det nye punkt til curve-objektet. Det næste stadie var at få tegnet et omdrejningslegeme af kurven. For at gør det tilføjes der endnu en løkke inden i den anden, som for hvert trin tegner en ring med højden af kurven som radius. Denne ring består af trekanter som beregnes ved hjælp af trigonometriske funktioner. 9
Objektet som bruger disse trekanter hedder faces, og tegner trekanter ud fra koordinaterne til tre punkter. Disse punkter skal også have angivet farve, og en normal, som indikerer hvordan lyset falder på trekanten. Trekanter bliver tilføjet til objektet med append ligesom med curve. Efter at programmet var i stand til at tegne et omdrejningslegeme ud fra en kurve, skulle det tilpasses funktionerne fundet i matematik delen. Det gøres blandt andet ved at ændre på intervallet hvori løkken kører, og ved at sætte nogle if statements ind, som tjekker x-værdien og vælger den rigtige funktion. Den ovenstående funktion bliver så kaldt hver gang der skal laves et nyt punkt. Alt efter hvor langt programmet er nået bliver der sendt en forskellig funktion tilbage. Fordi intervallet er et langt decimaltal, kommer der et hul i enden af pæren. Det lukkes ved at lave en række trekanter til sidst, som kan lukke helt. 5.5 Kildekoden from visual import * from math import * #Define the funkton and intervals. ------------------------- > def funk(x): #The function is defined. x is the input. if x <= 0.4: # The output of the function varies according to the interval. return math.sqrt((0.4**2)-(x-0.4)**2) + 1.25 if 0.4 < x <= 1.25: return (((x-0.4)**2/4)+1.65) if 1.25 < x <= 3.428: return (17.0/40)*x+(2079.0/1600) if 3.428 < x < 7.595: return math.sqrt((2.995**2)-(x-4.6)**2) if 7.595 < x: return 0 #Closes the hole which is created at the end. #End < ------------------------- #Set scene properties and axes ------------------------- > scene.center = (2,0,0) #Sets the center of the scene #The three axes are created. Each object has an orientation, a position and a color. #The three objects also have widths, and fixedwidth which prevents autoscaling. ax = arrow(axis=(12,0,0), pos=(-2,0,0), color=(1,0,0), shaftwidth=0.08, fixedwidth = 1) ay = arrow(axis=(0,12,0), pos=(0,-6,0), color=(0,1,0), shaftwidth=0.08, fixedwidth = 1) az = arrow(axis=(0,0,12), pos=(0,0,-6), color=(0,0,1), shaftwidth=0.08, fixedwidth = 1) # Creates the three axes as arrows. #Create spheres along axes ------------ > i = -2 #Iterating variable set to -2, so the spheres start there. while i < 10: 10
sphere(pos=(i,0,0), radius=0.1, color=(0.5,0,0)) #Creates spheres along the axes. sphere(pos=(0,i-4,0), radius=0.1, color=(0,0.5,0)) sphere(pos=(0,0,i-4), radius=0.1, color=(0,0,0.5)) i = i + 1 sphere(color=(.5,.5,.5),radius=0.2) #Creates a center sphere #End < ------------ #End < ------------------------- #Draw graph and surface ------------------------- > graph = curve(color=(1,0,0)) #The curve which will depict the functions is defined overflade = faces() #The object which will hold the surface is created t = 0.0 #The iterating variable starts at 0 inc = 0.02 #The increment of the iterating variable q = 25 #The number of edges in the revolving object while t < (7.595): # The loop stops earlier than the funktion. #Draw function graph ------------ > funktion = vector(t,funk(t),0) #The posistion of the graph's next point is calculated graph.append(pos=funktion) #The posistion is added to a list of point contained in the curve object #End < ------------ #Draw revolved surface ------------ > p = 0.0 #The iteratiing variable for another loop is defined and reset u = t + inc #A variable which is slightly larger than t helps make the surface y1 = funk(t) #The functions' height is found at the current location y2 = funk(u) #The height is found at the next spot. while p < q: #The length of the loop equals the number of segments. r = p + 1 #A new variable is always slightly larger than p. s1 = sin(p/q*2*pi) #Various trigonometric functions are calculated once, s2 = sin(r/q*2*pi) #The coordinates produced have to different angles c1 = cos(p/q*2*pi) #in order to create the trangles. c2 = cos(r/q*2*pi) #Two trangles are created, thus creating a rectangle. #Each point has a position, a color and a normal. overflade.append(pos=(t,c1*y1,s1*y1), color=(1,1-(t/15),0), normal=(0,c1,s1)) #Triangle 1 point 1 overflade.append(pos=(t,c2*y1,s2*y1), color=(1,1-(t/15),0), normal=(0,c2,s2)) #Triangle 1 point 2 overflade.append(pos=(u,c1*y2,s1*y2), color=(1,1-(u/15),0), normal=(0,c1,s1)) #Triangle 1 point 3 overflade.append(pos=(t,c2*y1,s2*y1), color=(1,1-(t/15),0), normal=(0,c2,s2)) #Triangle 2 point 1 overflade.append(pos=(u,c2*y2,s2*y2), color=(1,1-(u/15),0), normal=(0,c2,s2)) #Triangle 2 point 2 overflade.append(pos=(u,c1*y2,s1*y2), color=(1,1-(u/15),0), normal=(0,c1,s1)) #Triangle 2 point 3 #These create opposite facing triangles, for a doublesided surface. ''' overflade.append(pos=(t,c1*y1,s1*y1), color=(1,1-(t/15),0), normal=(0,c1,s1)) overflade.append(pos=(u,c1*y2,s1*y2), color=(1,1-(t/15),0), normal=(0,c1,s1)) overflade.append(pos=(t,c2*y1,s2*y1), color=(1,1-(t/15),0), normal=(0,c2,s2)) overflade.append(pos=(t,c2*y1,s2*y1), color=(1,1-(t/15),0), normal=(0,c2,s2)) overflade.append(pos=(u,c1*y2,s1*y2), color=(1,1-(t/15),0), normal=(0,c1,s1)) overflade.append(pos=(u,c2*y2,s2*y2), color=(1,1-(t/15),0), normal=(0,c2,s2)) ''' p = p + 1 #Iteration which causes the creation of the next rectangle #End < ------------ t = t + inc #Iteration which causes the creation of the next curve point and ring of triangles. #End < ------------------------- 11