gudmandsen.net Ophavsret Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er tilladt i ikke-kommercielle sammenhænge, sålænge dette foregår med tydelig kildeangivelse. Al anden anvendelse kræver forfatterens skriftlige tilladelse [mailto:info@gudmandsen.net]. Indholdet stilles til rådighed under Open Content License [http://opencontent.org/openpub/]. Differentialkvotient Det kan være hensigtsmæssigt at kunne beregne den absolutte funktionstilvækst for en funktion for en bestemt x-værdi. Dette kan gøres ved hjælp af differentialkvotienter, beskrevet i det efterfølgende. For at udregne og bevise differentialkvotienter og disses regneregler ses der på grundlæggende forhold vedrørende funktionstilvækst og den rette linjes hældning. Nedenstående er en oversigt over grundlæggende forhold vedrørende differentialkvotienter, samt en oversigt over differentialkvotienter for de mest grundlæggende funktioner... Kontinuert, monoton og differentialbel Illustration : Grafen for en funktion, som er både kontinuert og monoton En funktion er kontinuert, ved ikke at være afbrudt ubrudt kurve. En funktion er monoton, ved at være konstant voksende eller aftagende. Det kan også være gældende inden for et interval af definitionsmængden. Er en funktion monoton, har den blandt andet en invers funktion. En funktion er differentiabel, ved at være kontinuert og monoton; være glat uden overgange. Der kan både være tale om kontinueritet og differentiabilitet for et punkt, et interval eller i hele funktionens definitionsmængde. diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
.. Funktionstilvækst En funktionstilvækst er et udtryk for hvor meget funktionsværdien, f(x, ændrer sig i forhold til en ændring i den frie variable, x. Det er for visse funktioner kendt, at funktionstilvæksten kan udregnes enten som eksempelvis en relativ størrelse (eksponentielle funktioner eller absolut størrelse (lineære funktioner, men hvordan kan vi finde den absolutte størrelse for alle funktioner til en bestemt x-værdi? Illustration : Funktionstilvækst gennem to punkter på grafen for f(x Tilvæksten i mellem punktet P (x ; f(x og punktet P (x +Δx; f(x +Δx, hvor Δx er forskellen mellem x-værdierne og Δy er forskellen mellem de to funktionsværdier. Her kan der tages udgangspunkt i den rette linje, hvor hældningen mellem punkter på linjen, P (x ;y og P (x ;y er defineret som: α = = y y x x Dette kan bevises (på C-niveau at gælde uanset afstanden mellem x og x i forhold til hældningen som ændring i funktionsværdien ved en Δx-værdi på, ved ensvinklede trekanter eller ligefrem proportionalitet. Da y = f(x giver punkterne på Illustration en funktionstilvækst, svarende til den rette linjes hældning: α = = f (x + f (x = f (x + f (x ( x + x diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
..3 Sekant til tangent Den relative tilvækst i punktet (x ;y svarer til hældningen a s af den rette linje gennem de to punkter på grafen, svarende til sekantantens hældning. Illustration 3: Sekant gennem to punkter på grafen for en differentiabel funktion Som før nævnt kan sekantens hældning udtrykkes ved hældningen af en ret linje gennem to punkter: a s = = f (x + f (x Den reelle tilvækst i punktet (x ;y svarer hældningen a t af en ret linje som tangerer funktionen, differentialkvotienten for Δx. Ved at lade afvigelsen Δx blive meget lille ('uendelig lille', vil sekantens hældning nærme sig tangentens hældning. Dette udtrykkes ved at sekantens hældning a s går mod tangentens hældning a t for Δx gående mod nul: a s = a t = dx for Sekantens hældning a s kaldes også for differenskvotient, da den udtrykke differensen (forskellene i x- og y-værdierne. Tangentens hældning i x udtrykkes ved differentialkvotienten og kan skrives på mange måder: Sekant er 'lånt' fra geometrien og afspejler en ret linje gennem punkter på en cirkelperiferi. diff_kvotient.odt Side 3 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
a t = f ' ( x = dx = y ' Illustration 4: Tangenten i x for samme differentiable funktion Hermed er tangentens hældning i form af differentialkvotient defineret.. 3-trinsreglen For at udregne differentialkvotienter, ud fra ovenstående benyttes arbejde med differenskvotienten, gående mod differentialkvotienten, kaldet 3-trinsreglen. Det er måske lidt misvisende, da de to første trin er en integreret del af ovenstående udledning af differenskvotienten, men der er tradition for dette, ligesom differensen i x-værdi, Δx, i visse lærebogsystemer bliver kaldt h. Trin : Ændring i funktionsværdi = f (x + f ( x Trin : Forholdet mellem ændring i funktionsværdi og værdien af den frie variable = f ( x + f ( x = f (x + f (x (x + x Trin 3: Lade Δx gå mod nul a s = a t = dx for Udledning af differentialkvotienter for simple funktioner kan ses under.3. Udledning af differentialkvotient side 8. diff_kvotient.odt Side 4 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
. Tangentens ligning, det approksimerede.grads polynomium Ikke alle funktioner er lige lette at arbejde med algebraisk, hvorfor det kan være praktisk kun at undersøge en lille del af grafens forløb. Som udgangspunkt vil en kontinuert og monoton funktion kun have en meget lille ændring inden for et meget lille interval omkring x. Derfor tillader vi os at approksimere funktionen til et.grads polynomium / ret linje. Når både funktionsværdien og differentialkvotienten kendes for x, er det oplagt at finde en ligning for tangenten i punktet (x ; f(x. Den rette linje kan beskrives som: y y = α(x x...hvor α (alfa er udtryk for linjens hældning. I denne sammenhæng benytter vi os af følgende notationer: y = f ( x og α = f ' ( x Dette giver os en ligning for tangenten i punktet (x ; f(x på grafen for en differentiabel funktion: y f ( x = f ' (x (x x Denne kaldes Tangentens ligning eller Det approksimerede.grads polynomium og kan med fordel formuleres i anden rækkefølge: y = f (x + f ' (x ( x x...svarende til.grads- og.gradsleddene i en lineær funktion på formen y = ax+b... Eksempel på tangentens ligning Benyttes førnævnte eksempel for f(x = x kan tangentens ligning i x = findes ved: y f ( = f ' ( (x y = ( x y 4 = 4 ( x y = 4x 4 diff_kvotient.odt Side 5 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
.. Taylors approksimerede polynomier af højere orden Det approksimerede.grads polynomium kan siges at være næsten lig med funktionen i umiddelbar nærhed af punktet (x ;y. Ved at bruge polynomier af højere orden, kan approksimeringen udstrækkes til et større område væk fra punktet (x ;y..grads polynomium i (x ;y Funktionværdien.grads polynomium i (x ;y Tangentens ligning.grads polynomium i (x ;y n.grads polynomium i (x ;y y = f x y = f (x + f ' ( x (x x y = f (x + f ' (x (x x + f ' ' ( x! ( x x! y n = f ( x + f ( x ( x x! +... + f n ( x ( x x n + f n (x (n! (x x n n! Note: Her benyttes notationen f n (x for den n te afledede (i stedet for funktionen opløftet i n te. Noter: Notationen n! dækker over fakultet, som udtrykker tallet n gange med n- gange med n- osv. ned til. n! = n (n (n... 3 Eksempelvis er! =,! = = og 3! =3 =6 osv. d n y dx n udtrykker den afledede i n te orden, dvs. funktionen differentieret n gange. Dette vil give approksimerede funktioner, udtrykt ved polynomier, som ligger lige oven i grafen for den oprindelige funktion, inden for et afgrænset område i nærheden af den ønskede værdi af x. Illustration 5: Approksimeret n.grads polynomium. Her brugt på sinusfunktion. Ved 7.grad opnås perfekt sinusform i perioden [; π]. diff_kvotient.odt Side 6 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
..3 Eksempel på approksimeret n.gradspolynomium Tager vi en funktion, som ikke er et polynomium, kan et approksimeret polynomium af højere orden findes: f (x = e x for x = y = e 7.389 y = y +e (x 7.389+7.389 x y = y +e (x 7.38956 7.38956 x+3.6945849 x Dette.gradspolynomium følger grafen for den naturlige eksponentialfunktion noget tættere, i et større område nær x =. Illustration 6: Den naturlige eksponentialfunktion med approksimerede.grads- og.gradspolynomier. Går vi højere op i graderne, vil det approksimerede polynomium dække et endnu større interval, som illustreret ved Taylors approksimerede polynomier af højere orden side 6. diff_kvotient.odt Side 7 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
.3 Afledede funktioner Herunder vises hvordan differentialkvotienten for en simpel funktion i bestemt x -værdi udledes ved hjælp af 3-trinsreglen. Efterfølgende kan denne viden benyttes til at finde tangentens ligning (det approksimerede.gradspolynomium og polynomier af højere orden..3. Udledning af differentialkvotient Ved at betragte en simpel funktion og en given x-værdi benyttes 3-trinsreglen, som følger: f (x = x og x = Dette vil give Trin : = (x + x = x + + x x = + x Trin: = (x +Δ x x = + x = +x Ved at lade Δx gå mod nul i Trin 3, vil leddet indeholdende netop Δx gå mod, hvorfor der kun er er leddet uden Δx tilbage: x for I dette tilfælde vil det give mening af lad Δx gå mod nul, hvorved differentialkvotienten er løst uden problemer, men tit og ofte giver det ingen mening, hvorfor kreative løsninger bliver tilføjet for at nå til et fornuftigt resultat. Dette gør sig gældende for udledninger af differentialkvotienter for flere relativt simple funktioner og udledning af regnereglerne. I praksis findes et udtryk for differentialkvotienten for af alle x-værdier, kaldet den afledte funktion, f'(x. Det vil i praksis sige, at den afledede funktion bliver: f (x = x f ' (x = x Afprøves dette for alle (! potensfunktioner kan der udledes en sammenhæng: f (x = x n, n R f ' (x = n x n Se en Oversigt over afledede funktioner side 6. Indsættes en værdi for x (her x = fås at differentialkvotienten i denne x-værdi bliver: f ' (x = 4 diff_kvotient.odt Side 8 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
.3. Udledninger af udvalgte afledede funktioner Vi så før (.3. hvordan den afledede funktion for f(x = x kan udledes. Herunder skal vi se på nogle flere afledede funktioner: Reciprokfunktionen f (x = x =, x R \ { } x + x = ( f (x + f ( x = = ( x + x Her giver det ingen mening at lade Δx gå mod nul, hvorfor der arbejdes videre med udtrykket, ved at sætte på fælles nævner: = ( x x ( x + x + x ( x + = x ( x x ( x = x (x + = x ( x + Nu giver det mening af lade Δx gå mon nul: x (x + x for Da reciprokfunktionen kan omskrives, jfr. potensregnereglerne, kan denne udledning kontrolleres ved hjælp at udledning af afledet for potensfunktion,.3. side 8: f (x = x = x, x R \{ } f ' ( x = x = x = x Ergo: f (x = x f ' (x = x diff_kvotient.odt Side 9 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
Kvadratrod f (x = x, x [; ] = x + x Det giver her ingen mening at lade Δx gå mon nul, hvorfor en kreativ tilføjelse må indføres i form af skalaren ( x ++ x. = = x + x x x + ( x ++ x = = ( x ++ x ( x + x ( x ++ x ( x ++ x = x ++ x, da (a+b(a b = a b Ved at lade Δx gå mon nul, findes der kun to rødder i nævneren: = x + x x, for x Igen kan der kontrolleres ved hjælp af udledning af potensfunktion: f (x = x = x, x [; [ f ' (x = x = x = x = x Ergo: f (x = x, x [; [ f ' (x = x, x ]; [ Den naturlige logaritmefunktion Her skal der benyttes en mindre ligefrem metode til at bevise at vi har fat i den rigtige afledede funktion. Til at starte med defineres følgende: diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
f (x = ln(x, x R \{}, d dx (ln(x = x og d dx (ln( = Det gælder for netop den naturlige logaritmefunktion, at hældningen i punktet (, er lig. For at undersøge om den afledede er korrekt ser vi på f(x = ln(ax som er en sammensat funktion (se.4.6 side 3: f (x = ln(a x dx = d du (ln(u d (u, hvor u = a x dx dx = ax a = x Reciprokfunktionen kan altså godt være en mulig afledet funktion for den naturlige logaritme (ikke det samme som at den er det, eller den er den eneste løsning. Indsætter vi nu x =, hvor det i øvrigt gælder at hældningen er lig med, fås: f ' ( = = Hvilket er korrekt, ergo: f (x = ln( x f ' (x = x Konstantfunktionen Konstantfunktionen y = k, kan betragtes som et.gradspolynomium og derved løses ved reglen for potensfunktioner: f ( x = k eller f ( x = k x d dx (xn = n x n d dx (k x = k x = Hvilket illustreres ved at grafen for konstantfunktionen er en vandret linje, med en konstant hældning på (nul. d dx (k = diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
Sinus For at finde differentialkvotienten af den trigonometriske funktion, sinus, skal vi se på nogle trigonometriske relationer: sin( A sin(b = cos( A+ B sin ( A B Dette bevises ikke her, men godtages og benyttes i forbindelse med 3trinsreglen. 3 = = sin (x + sin (x = cos( x ++x sin ( x + x = cos( x + sin ( = cos ( x + sin ( cos( x + sin ( Ved at se på de to leds afledede fås = d dx ( ( cos x + cos( x + sin ( d dx(sin( cos( x for for = cos( x + sin( Udledningen af den grænseværdien for sinus kan argumenteres i sin( hvorved brøken bliver tæt på. Dette kan bekræftes ved at beregne brøken for værdier gående mod (nul eksempelvis, x =., x =., x =. osv. Herved kan der udledes at Ergo: sin( cos( x + cos(x = cos(x for d (sin(x = cos( x dx diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
Cosinus Til udledning af differentialkvotienten for cosinus skal der benyttes følgende relation: cos(a cos(b = sin( A+ B sin ( A B Benyttes dette i forbindelse med 3trinsreglen fås = cos( x + cos( x = sin( x ++x sin ( x + x = sin( x + sin ( = sin ( x + sin ( = sin( x + sin ( = sin( x + sin ( = sin( x + sin( 3 Ved at betragte de indgående led fås sin( x + sin( x for sin( for Samlet giver det at sin (x = sin( x for Da vi allerede kender den afledede til Sinusfunktionen, kan dette bruges til alternativ udledning ved hjælp af Sammensat funktion - kædereglen side 3 og en af relationerne mellem sinus og cosinus. diff_kvotient.odt Side 3 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
(sin (x' = cos( x ( f (g( x' = f ' ( g(x g ' ( x sin( x = cos ( π x Herved kan den afledede for cosinus findes: (cos( x' = ( sin ( π x ' = cos ( π x ( π x' = sin (x ( = sin( x Ergo: d (cos( x = sin (x dx Sammenholdes differentialkvotienten for sinus og cosinus kan der opstilles en model til afledede af højere orden (differentialkvotienten flere gange: Det vil sige, at hvis sinus eller cosinus differentieres 4 gange, er den tilbage ved udgangspunktet. diff_kvotient.odt Side 4 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
Tangens Som udgangspunkt benyttes de afledede funktioner for cosinus og sinus er givet herover. Tangens er defineret som forholdet mellem sinus og cosinus, hvilket giver (jfr. Division af funktioner side 3: tan(x = sin (x cos(x d (tan( x = d dx sin dx( cos(x = cos( x cos(x sin( x ( sin( x sin ( x = cos (x+sin ( x sin ( x Grundrelationen på baggrund af Pythagoras' og enhedscirklen er givet ved cos (x+sin ( x = Hvilket medfører at tælleren er lig : d dx (tan( x = sin ( x Alternativt kan kvotientudledningen deles op i to brøker: d dx (tan( x = cos ( x+sin ( x sin ( x = cos ( x sin (x + sin ( x sin ( x ( = cos(x + = tan sin (x (x+ Ergo: d dx (tan( x = sin ( x = tan (x+ diff_kvotient.odt Side 5 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
.3.3 Oversigt over afledede funktioner Nedenstående lister er gældende differentialkvotienter for de mest grundlæggende funktioner. Potensfunktioner Funktion y = k = k x y = x = x y = x n y = k x n Eksponentielle- og logaritmefunktioner Afledet funktion dx = dx = dx = n xn dx = k n xn y = n = x x n dx = n x n = x n y = x = x dx = x = x NB: lever også op til den afledede af x n Funktion y = a x y = e x y = x y = a kx y = e kx y = log a x y = ln x y = log x = log x Afledet funktion dx = ax ln a dx = ex dx = x ln dx = k akx ln a dx = k ekx dx = log e a x = dx = x dx = log e x = ln a x ln x diff_kvotient.odt Side 6 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
Trigonometriske funktioner Funktion y = sin x y = cos x y = tan x x {, p } Afledet funktion = cos x dx = sin x dx dx = = tan x cos x y = cos x x [ ; ] y = sin x x [ ;] y = tan x tan x ] ; [ dx = x dx = x dx = x Desuden findes en lang stribe afledede for de såkaldte hyperbolske trigonometriske funktioner. Se http://www.gudmandsen.net/res/mat_vejl/hyperbolsk.pdf. Flere af de mest relevante trigonomestriske relationer kan ses på diff_kvotient.odt Side 7 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
.4 Regneregler for differentialkvotienter Nedenstående omfatter beviser for regneregler for differentialkvotienter; sum/differens, produkt, reciprok, division, sammensat og invers. Alle beviser er baseret på 3-trinsreglen: = f ( x + f (x = f (x + f (x x + x 3 f ' (x for Bemærk forskellige notationer for samme: y = f ( x f ' (x = y ' = dx = d dx ( y Alle notationer med index (eksempelvis x angiver en bestemt værdi. Uden index angiver det vilkårlig værdi inden for tilladte afgrænsning, definitionsmængde. Det forudsættes at de indgående (delfunktioner er differentiable. diff_kvotient.odt Side 8 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
.4. Flerleddede funktioner f g ' x = f ' x g ' x Som udgangspunkt defineres en sumfunktion: s x = f x g x...hvor f(x og g(x er begge differentiable i x, det vil sige: f (x + f (x f ' ( x for g ( x + g(x g ' (x for Det samme gør sig gældende for s(x, ved anvendelse af 3-trinsreglen: y = f x x g x x f x g x = f x x f x g x x g x y x = f x x f x g x x g x x = f x x f x g x x g x x x 3 Da grænseværdien for de to brøker er givet ved: f (x + f (x f ' ( x for og g( x + g( x Grænseværdien for sumfunktionen vil være givet ved: g ' (x for = f ( x + f (x + g (x + g( x f ' (x +g ' ( x for Da Δy/Δx har en grænseværdi for Δx er sumfunktionen s(x differentiabel med grænseværdien: s' x = f ' x g' x Samme argumentation er gældende for differens: f g ' x = f ' x g' x Ergo: ( f ± g' (x = f ' (x±g ' (x diff_kvotient.odt Side 9 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
.4. Produkt af funktioner f g ' x = f ' x g x f x g ' x Det forudsættes at både f(x og g(x er differentiable. Ved benyttelse af 3-trinsreglen fås: = ( f g( x + ( f g(x = f (x + g ( x + f ( x g(x y x = f x x g x x f x g x x Her findes ingen løsning for Δx, hvorfor der adderes i tæller med tallet (nul udformet på følgende kreative måde: = f (x g(x + f ( x g(x + Dette medfører (med det adderede -tal i rødt: = f ( x + g (x + f ( x g (x + f ( x g (x + f (x g ( x + Ved at sætte henholdsvis g(x + Δx og f(x uden for parentes og opdele i to brøker fås: y x = g x x f x x f x f x g x x g x x y x = g x x f x x f x x y x = g x x f x x f x x f x g x x g x x f x g x x g x x I dette udtryk optræder følgende differentialkvotienter: g x x g x for x f x f x for x f x x f x f ' x x for x g x x g x g ' x x for x diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
Dette medfører: y x g x f ' x g ' x f x for x Ergo: ( f g' (x = g( x f ' (x+g ' ( x f ( x.4.3 Produkt med konstant k f ' x = k f ' x På baggrund af produktreglen defineres en funktion g(x = k: (k f ' (x = k ' f (x +k f ' (x Da k = k x giver dennes afledede (nul: Hermed giver udledningen: d dx (k x = k x = (k f ' ( x = f (x +k f ' ( x = k f ' ( x Ergo: (k f ' (x = k f ' ( x diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
.4.4 Reciprokfunktion ( f (x ' = f ' (x f ( x Det forudsættes af f(x er differentiabel og at f(x. Vi definerer en funktion: Ved brug af 3-trins reglen fås: h(x = f ( x Δ h = h( x + h( x = f ( x + f (x Sat på fælles brøkstreg: = f ( x f ( x + f ( x + f ( x Δ h = f ( x f ( x f ( x + f (x + f (x + = ( f (x + f ( x f ( x + f ( x = f ( x Δ f f ( x + f ( x 3 Her gælder at: Δ h = Δ f f ( x + f (x = Δ f f (x + f ( x Dette medfører: Δ f f ' (x for og f (x + f (x f ( x for Δ h f ' ( x f ( x for Ergo: ( f (x ' = f ' (x f ( x diff_kvotient.odt Side /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
.4.5 Division af funktioner ( f f ' (x g ' (x = g( x f (x g ' (x (g( x Det forudsættes at både f(x og g(x er differentiable og der defineres en funktion: h (x = f ( x g (x = f (x ( g (x Ved brug af regnereglerne for differentiering af både produktfunktion og reciprokfunktion fås: h' ( x = f ' ( x ( g( x + f (x ( g(x ' = f ' ( x g( x f ( x g ' ( x g ( x Sat på fælles brøkstreg fås: h ' ( x = ( f (x f ' (x g (x f ( x g ' ( x ' = g ( x g ( x.4.6 Sammensat funktion - kædereglen ( f (g ( x ' = f ' (g (x g ' ( x eller dx = du du dx Ved omskrivning af g(x = u, fås at den sammensatte funktion nu hedder f(u og 3-trinsreglen bliver benyttet på baggrund af Δy/Δu: Dette vil sige at: Δ u = g(x + g (x, = f (u +Δu f (u = Δ u Δ u = Δu Δ u = f (u +Δ u. f (u g (x + g( x g (x + g( x = f (u +Δ u f (u g ( x + g(x g(x + g (x Dette medfører følgende differentialkvotienter: diff_kvotient.odt Side 3 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
Δ u = f (u +Δ u f (u g ( x + g (x Δ u = g ( x + g (x f ' (u for Δu g ' (x for f ' (u g ' (x for Da u = g (x dx = f ' (g (x g ' ( x for Hvilket giver: ( f (g ( x ' = f ' (g ( x g ' (x eller dx = du du dx Dette kan udvides til også at gælde for funktioner med flere led end : dx = du du dv dv dw... dn dx...også kaldet kædereglen, da den kan forøges til lige så mange funktioner inden i som nødvendigt..4.7 Invers funktion ( f (x' = f ' ( f (x Er f(x monoton, har den en omvendt funktion f (x. Vi viser, at hvis f(x er differentiabel og f '(x, er den omvendte (også differentiabel. Graferne for f(x og f (x ligger symmetrisk om linien y = x (se Illustration 7, side 5. f(x-grafen har tangenter med hældningskoefficienter f'(x >. Det medfører, at den spejlede graf (for f (x også har tangenter større end, så f (x er differentiabel. Tangenthældningerne vil være hinandens reciprokke. diff_kvotient.odt Side 4 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
Illustration 7: Funktionen f(x, dens inverse f - (x samt spejlingslinjen y = x. Tangenter for både f(x og den inverse f - (xer indtegnet, med reciprokke hældninger. Definitionen på inverse funktioner lyder: y = f ( x f ( y = x f ( f (x = x eller f ( f ( x = x Ved differentiation af sammensat funktion (på venstre side og differentiation af.gradsleddet (på højre side fås: Dette medfører: ( f ( f (x' = f ' ( f ( x ( f (x' og x' = Isoleres den aflede af den inverse funktion fås: f ' ( f ( x ( f ( x ' = ( f (x' = f ' ( f ( x diff_kvotient.odt Side 5 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7
.5 Oversigt over regneregler Listen herunder er regneregler for differentaition af funktioner..5. Sum, differens og kvotient f x ± g x ' = f ' x ± g ' x.5. Produkt og division f x g x = f x g x ' = f ' x g x f x g ' x (k f (x ' = k f ' (x ( f (x ' = f ' (x f (x ( f (x' = f ' x g x f x g ' x g x f ' ( f ( x.5.3 Sammensatte funktioner Kædereglen: f g x ' = f ' g x g' x dx = du du dx dx = du du... dn dv dx.5.4 Andre regler ( f ( x ' = f ( x f ' (x diff_kvotient.odt Side 6 /6 rev. Jakob Gudmandsen --7