MA skr. årsprøve 8.0.08 Prøven uen hjælpemiler Opg. + = 0 <=> ( ) + = 0 I parentesen står et anengraspolynomium. Det har = = 9 + og erme røerne = = og = = Af nulregelen ses at også 0 er en løsning, så løsningerne er altså 0, og == Opg. f( ) + e vi skal bestemme f'(0). Først finer vi en aflete: f' ( ) + e og erme er f( 0) = + e 0 = + = === Opg. g( ) 0..7 h ().0.7 k ( ) 7.. Hvilke er voksene? - et er g og k, a gruntallene er større en. ===== Eksp. voksene me vækstrate 0% og f(0)=0, vs f( ) 0.0 Opg. A(,) og B(,-) og c = Vi får AB = Desuen får vi AB + c = + = = c ==== = = c ==== Opg. Reucer ( + y) y = + y + y y = + y ===== Isolér r i formlen lr + p = q <=> lr q p = q p <=> r = ( ± ) l ===
06 MA Årsprøve maj 008 sie af 6 Prøven me hjælpemiler Opg.6 a + + c = 0 har én løsning. Sammenhæng mellem a og c? èn løsning betyer =0 <=> a c = 0 <=> ac = (a og c er altså omvent proportionale) Opg.7 f( ) + A er et skæringspunkt me -aksen, som har minst førstekoorinat. Vi skal fine en ligning for tangenten i A Først må vi fine A, vs løse ligningen f( ) = 0 solve A 0 0 0 Vi kan altså konluere at A har koorinaterne (-,0), hvilket passer fint me figuren herover. Vi finer nu en aflete: f' ( ) f( ) Tangentens ligning bliver erme y = f' ( ) ( + ) f( ) y = 6 + == Opg.8 (grafen herover er lavet i Ecel og kopieret in) (fortsættes næste sie)
06 MA Årsprøve maj 008 sie af 6 Vi skal tegne en sumkurve, hvilket jeg har valgt at gøre i Ecel. Jeg afsætter højre intervalenepunkt på -aksen og en kumuleree procentel (kumuleree frekvens) på y-aksen. Vi skal erefter bestemme kvartilsættet. Jeg vælger at gøre ette grafisk ve at aflæse på kurven. Jeg finer altså %, 0% og 7% på y-aksen, går u til grafen og aflæser e tilhørene -værier. Resultaterne bliver:.kvartil (%-fraktilen) er ca. 7,.kvartil (meianen eller 0%-fraktilen) er 0,.kvartil (7%-fraktilen) er,9 6 Opg.9 CABC har A(,), B(6,) og C(,6), vs. OA OB OC 6 Vi skal bestemme vinkel CAB, vs vinkel A i trekanten. Det er også vinklen mellem vektorerne AB og AC - em finer vi først: AB OB OA AC OC OA Så er vinklen givet ve cos( CAB) ABAC = hvoraf vi får CAB acos AB AC ABAC AB AC =.9 Opg.0 Da er opgives en fast procentvis vækst, er er tale om eksponentiel uvikling. a) % vækst i alt i Floria 990-000. på et år fremskrives me faktoren,0, så en samlee faktor over e 0 år er (.0) 0 =., svarene til en samlet vækst på, % Inbyggertallet i Floria i 007 (forusat uænret vækst) bliver.98.0 7 = 8. altså ca. 8, millioner b) Hvornår samme inbyggertal i NY og Floria? Da begge tal uvikler sig eksponentielt skal vi løse følgene ligning: 8.98.00 =.98.07 solve 0.976777778768 De når altså samme inbyggertal efter ca. år, vs i 0 =====
06 MA Årsprøve maj 008 sie af 6 Opg. z ligefrem prop. me y me faktoren vs: z = y og y omvent proportionale vs. y y er 0, når er / Vi skal utrykke z ve = k (hvor k er en eller anen konstant) Opg. Det siste kan vi sætte in i linje to for at bestemme k: k = y = 0 = vi har altså at y = <=> y = Dette kan vi insætte i første oplysning: z = <=> z = hvilket er et ønskee utryk. Det oplyses at er er en sammenhæng af formen M = b a, altså en potens-funktion a) Vi skal bestemme a og b. Vi laver erfor en potensregression; jeg har valgt at bruge grafregneren. Her bliver resultatet forskriften M ().6 0. hvilket vil sige M( ).6 Tallene er altså a = 0. og b.6 ===== b) Hvor mange % vokser M me, når vokser me 0%? = (NB: bemærk at grafregneren bytter om på a og b!) Vi skal altså unersøge en relative vækst, så vi ser på brøken M. ( ) M () b. = =. og a. =. er væksten,% b Opg. Vi skal fine ma for f( ) e + Vi ser på figuren at er tilsynelaene er et maksimum omkring =. For at bestemme et, finer vi som sævanlig f' ( ) f( ) e og erefter løser vi ligningen f' ( ) = 0 solve ln( ) =.609 Mathca finer kun én løsning, og en passer me et maksimum, vi kan se på grafen. Vi konkluerer erfor at ma f() = f( ln( ) ) = 7.07 ===== fq () 0 0 0 q
06 MA Årsprøve maj 008 sie af 6 Opg. a og b Vi skal bestemme projektionen af a på b 0 Vi benytter stanarformlen og får ab proj b 9 eller proj = ( b ) 9 = 0. 0.8 Opg. Populationsvækst (N antal, t øgn) 000 N() t + 9e 0.t (Vi genkener straks på utrykket, at er er tale om en logistisk vækst...) a) Vi skal først bestemme N0 ( ) = 0 === Væksthastigheen er jo N' ( t) t Nt () 0. 0 0 00 0 0 0 60 80 00 og vi får N' ( 0) =.87 (altså en væksthastighe på knap inivier pr. øgn) b) Vi skal skitsere grafen (er gjort ovenfor) samt løse ligningen Nt ( ) = 000 solve 6.66669667 Der er altså 000 inivier efter knap 7 øgn - hvilket passer fint me grafen! = Opg.6 I CABC opgives sierne AB = BC = og AC = a) Vi skal først bestemme vinkel A. Vi benytter cosinusrelationerne: cos(a) = + Så er A acos 09 6 =.6 ==== simplify 09 6 (Bemærk at 'erne forkortes u!) b) Vi skal nu fine, når arealet af trekanten er. Arealet er (bl.a.) givet ve T = bcsin( A) Vi får altså her ligningen = sin( A) solve.76886766998.76886766998 Da jo bl.a. er sielængen AB er nøvenigvis positiv. Facit er altså (afrunet) =,7 ==
06 MA Årsprøve maj 008 sie 6 af 6 Opg.7 Figuren viser en prismeformet beholer me rumfanget 00. Der gæler altså at 00 h = 00 <=> h = ( ) a) Vi skal vise at overflaearealet O kan utrykkes som O ( ) = + 00 + Diagonalen i grunflaen er 00 00 Det store bagstykke har altså arealet h = = 00 De to forreste siestykker har hver arealet h = Top og bun har hver arealet I alt får vi sålees O ( ) 00 00 + + = 00( + ) + QED b) Vi skal nu fine minimum O(). Vi ifferentierer: O' ( ) O ( ) 00 00 På grafen over O til højre ser vi et minimum omkring =7. Vi løser nu ligningen O'() = 0. (NB: Da solve ikke kun giver reelle løsninger her, har jeg i steet valgt at bruge Given-fin) 7 Given O' ( ) = 0 0 Fin( ) = 6.989 00 00 00 Oq ( ) 00 00 0 0 0 q Vi finer O0 ( ) = 6.9 Dette passer fint me et minimum, vi ser på grafen. Jeg konkluerer erfor at = 7,0 giver en minste overflae, som er 6,