matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011

Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær funktion................... 11 3.3 Bestemmelse af forskriften ud fra to punkter........... 12 3.4 Lineær regression......................... 14 3.5 Bestemmelse af x ud fra regneforskrift.............. 15 3.6 Proportional........................... 16 3.7 Omvendt proportional...................... 18 4 Inverse funktioner 19 5 Eksponentielle funktioner 23 5.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 24 5.2 Bestemmelse af forskriften ud fra to punkter........... 24 5.3 Logaritmefunktionen log(x).................... 27 5.4 Løsning af ligninger med logaritmer................ 30 5.4.1 Grundmængden til logaritmiske funktioner........ 32 5.5 Logaritmefunktionen ln(x).................... 33 5.6 Løsning af ligninger med logaritmer ln(x)............. 36 5.7 Fordoblings- og halveringskonstant................ 39 5.8 Grafen for en eksponentialfunktion................ 41 5.9 Eksponentiel regression...................... 42 5.10 Bestemmelse af x udfra regneforskrift............... 43 6 Potens funktioner 44 6.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 45 6.2 Bestemmelse af forskrift ud fra to punkter............ 46 2

6.3 Grafen for en potensfunktion................... 49 6.4 Potens regression......................... 50 6.5 Bestemmelse af x udfra regneforskrift............... 50 7 Mere om funktioner 52 3

1 Indledning Matematiske modeller er en beskrivelse af virkeligheden ud fra helt bestemte forudsætninger. F.eks. en model for hvornår et tog afgår fra én station og ankommer til én anden station. Der skal afstanden mellem de to stationer og togets gennemsnitshastighed og tidspunktet hvor toget afgår være kendt. Sådan model kaldes en Togplan. Ofte sker det at toget ikke kommer på det tidspunkt, der står i togplanen. Det er fordi der er en eller flere af forudsætningerne, som ikke er opfyldt og da passer modellen ikke på virkeligheden. Inden for naturvidenskab og matematik bruges begrebet en variabel. En variabel er noget der kan varieres, dvs. ændres på. F.eks. kunne togets gennemsnitshastighed være en variabel. Togets gennemsnitshastighed kan ændres ved at toget kører hurtigere eller langsommere. En anden variabel kunne være togets afgangstidspunkt. En tredje variabel kunne være togets ankomsttidspunkt, denne variabel siges at være afhængig, fordi den anhænger af togets gennemsnitshastighed og afgangstidspunkt. Vil man undersøge sammenhængen mellem gennemsnitshastighed afgang- og ankomsttidspunkt må man kun variere på en af de uafhængige variable, ellers kan man ikke vide hvilken rolle den givne variabel spiller i sammenhængen. Når man har fundet sammenhængen mellem variablerne kan man opstille en regneforskrift eller en graf som beskriver sammenhængen. 2 Funktionsbegrebet Der findes de to regnearter: addition +, og multiplikation. Disse to regnearter bruger vi til at konstruere funktioner. De simpleste funktioner indeholder kun to variable: én uafhængig og en afhængig variabel. Den uafhængige variabel kaldes som regel for x og den afhængige variabel kaldes som regel for y. Når funktioner konstrueres kan der varieres på den uafhængige variabel og den varierer på den afhængige variabel. I en funktion er der altså tale om to variatio- 4

ner. Dette giver sammen med de to regnearter mulighed for at konstruerer i alt fire typer af funktioner. Definitionen på en funktion er. Funktioner Lineær x + Eksponential- x + funktion y + funktion y Potens- x Logaritme- x funktion y funktion y + Definition 2.1 En variabel y kaldes en funktion af en variabel x, hvis der til hver værdi af x svarer præcis én værdi af y. Denne værdi kaldes funktionsværdien og man skriver y = f(x). Bemærk at denne definition kun gælder hvis der er én afhængig (y) og én uafhængig (x) variabel. Så i eksemplet med togplanen skal afgangstidspunktet eller gennemsnitshastigheden ligge fast. Når en betydning knyttes til variablerne bliver en funktion til en model. Der er nogle udregninger der ikke kan foretages i matematik, de er ikke defineret dvs. med de grundlæggende regler i matematik kan de ikke udregne dem. De vigtigste to er følgende: Man må ikke dividere med 0. Man må ikke tage kvadratroden af et negativt tal. Disse udregninger kan ikke laves når der er tale om funktioner, derfor siger man at funktionen kun er defineret for nogle værdier af x. De værdier af x som funktionen er defineret for kaldes for funktionens definitionsmængde og den skrives Dm(f). Til alle de x værdier som ligger i definitionsmængden svare - ifølge definitionen af en funktion - én værdi af y, disse værdier af y kaldes for funktionens værdimængde og den skrives Vm(f). 5

Se på funktionenf(x) = x. Denne funktion er defineret for allex 0. Bemærk at der ikke er nogen graf for værdier af x < 0. Funktionens definitionsmængde er derfor Dm(f) = {x R x 0}, dette læses Dm }{{} Definitionsmængden (f) }{{} forf }{{} = { x} {{ R} er alle reelle tal }{{} hvorom der gælder at x }{{} 0 } de er større end 0 Værdimængden for funktionen er Vm(f) = {y R y 0}. (y) 2 f(x) = x 1 1 2 3 4 (x) Se nu på en eksempel hvor, der ikke må divideres med 0. f(x) = x2 3x0 x 5 Da der ikke må dividere med 0, kan x ikke være 5, fordi så vil nævneren x 5 være 0. Men for alle andre værdier af x er funktionen defineret, derfor bliver definitionsmængden Dm(f) = {x R x 5}, dette læses Dm }{{} Definitionsmængden (f) }{{} forf }{{} = { x} {{ R} er alle reelle tal }{{} hvorom der gælder at x }{{} 5 } de er forskellige fra 5 Værdimængden for f bliver så alle de værdier for y, undtagen den værdi der svarer til x-værdien 5. Vm(f) = {y R y 7}. På grafen for f(x) kan man se at det er værdien 7. 6

10 (y) f(x) = x2 3x0 x 5 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 (x) 7

3 Lineære funktioner Den første type af funktioner konstruerer vi med addition. Herunder ses en skematisk opbygning af funktionen. Hver gang vi addere 1 til x addere funktionen 4 til y. x 0 +1 1 +1 2 +1 3 +1 4 y 0 4 8 12 16 +4 +4 +4 +4 Dette kan også udtrykkes ved det som kaldes funktionens regneforskrift. y = 4x Eller det kan udtrykkes ved det som kaldes funktionens graf. (y) 3 f(x) = 4x 2 1 4 3 1 2 3 (x) 3 4 Den lineære funktion er en funktion der beskriver sammenhænge som f.eks. hvis 3 kartofler koster 12 kr. så koster 4 kartofler 16 kr. osv. Hvis der lægges én til 8

antallet af kartofler lægges der 4 kr. til prisen. Hvis der trækkes én fra antallet trækkes der 4 kr. fra prisen. Antal 1 2 3 +1 4 +1 5 Pris 4 8 12 16 20 4 4 +4 +4 Hvisy ikke antager værdi 0 nårxantager værdien 0, skal der være et konstantled. Herunder ses en skematisk opbygning af funktionen. Hver gang der adderes 1 til x adderer funktionen 4 til y. Og for x = 0 er y = 5, hvilket gør at der skal være et konstantled med værdien 5 i regneforskriften. x 0 +1 1 +1 2 +1 3 +1 4 y 5 9 13 17 21 +4 +4 +4 +4 Dette kan også udtrykkes ved det som kaldes funktionens regneforskrift. y = 4x+5 Definition 3.1 En funktion med regneforskrift f(x) = ax+b hvor a er forskellig fra 0. Kaldes for en lineær funktion. 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien Kendes regneforskriften for en funktion og x, kan værdien af f(x) bestemmes. Eksempel 3.2 Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 4+3x Bestem f(3) f(3) = 4+3 3 = 4+9 = 13 9

Eksempel 3.3 Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 2x 5 Bestem f(3) f(3) = 2 3 5 = 6 5 = 1 Eksempel 3.4 Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 5x Bestem f(3) f(3) = 5 3 = 5 6 = Opgave 3.5 Udregn værdien af f(x) 1. Bestem f(3) for f(x) = 9+3x 5. Hvis f(x) = 5 x hvad er f( 4) 2. Hvis f(x) = 3x + 9 hvad er f(2) 6. Hvis f(x) = x hvad er f(3) 3. Hvis f(x) = 4x 8 hvad er f(3) 7. Hvis f(x) = 9 hvad er f(7) 4. Hvis f(x) = 4 + x hvad er f( 3) 8. Hvis f(x) = x 4 hvad er f(5) Svar på opgave 3.5. 1. 18, 2. 3, 3. 4, 4. -7, 5. 9, 6. 3, 7. 9, 8. -14. 10

3.2 Grafen for en lineær funktion (y) (x 0,y 0 ) x 0 b 1 a y 0 = ax 0 +b (x) Grafen for funktionen f(x) = ax+b ses på figuren til højre. b er skæringen med y-aksen og a er hældningskoefficienten. Funktionen er voksende hvis grafen for funktionen går op når man går til højre, så er a positiv. Funktionen er aftagende hvis grafen for funktionen går ned når man går til højre, så er a negativ. (y) 4 3 3 2 1 f(x) = 1 2 x+1 1 1 2 3 1 2 (x) På figuren ses grafen for funktionen f(x) = 1 2 x + 1. Denne graf skærer y-aksen i 1 og har hældningen 1 2. 3 4 11

3.3 Bestemmelse af forskriften ud fra to punkter Ud fra to punkter, kan regneforskriften for en lineærfunktion findes. Til hjælp herfor findes følgende sætning. Sætning 3.6 Hvis funktionen er lineær dvs. med regneforskrift f(x) = ax+b og der gælder at punkterne (x 1,y 1 ) og (x 2,y 2 ) ligger på grafen for f(x), så er a = y 2 y 1 x 2 x 1 b = y 1 a x 1 Bevis. (y) (x 1,y 1 ) a 1 y 1 y 2 (x) (x 2,y 2 ) x 1 x 2 12

De to trekanter er ensvinklede og derfor vil a 1 = y 1 y 2 x 1 x 2 hvilket viser den første del af sætningen. Nu er a kendt og derfor kan b findes ved at indsætte a i ligningen y 1 = ax 1 +b og isolerer b y 1 = ax 1 +b b = y 1 a x 1 Q.E.D. Eksempel 3.7 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (2,3) og (3,6), Bestem regneforskriften for f(x) a = 6 3 3 = 3 1 = 3 b = 3 3 2 = 3 6 = 3 Regneforskriften bliver f(x) = 3x 3 Eksempel 3.8 Følgende koordinatsæt passer ind i f(x) = ax + b. (5,3) og (2,9), Bestem regneforskriften for f(x) a = 9 3 2 5 = 6 3 Regneforskriften bliver f(x) = x + 13 = b = 3+2 5 = 3+10 = 13 Eksempel 3.9 Funktionen f(x) er lineær og f(3) = 5 og f(6) = 4, bestem regneforskriften for f(x). a = 4 5 6 3 = ( 3 = b = 5 1 ) 3 = 5+ 1 3 = 5+1 = 6 3 3 3 Regneforskriften for f(x) bliver f(x) = 1 3 x+6 13

Opgave 3.10 Grafen for den lineære funktion f går gennem punkterne, bestem forskriften for f. 1. (3,6) og (2,4) 5. (4,4) og (6,2) 2. (5,1) og (15,2) 6. (,4) og (8,5) 3. (2,4) og (4,3) 7. (5,11) og (70,52) 4. (8,7) og (12,28) 8. (2, 4) og ( 5,3) Svar på opgave 3.10. 1. f(x) = 2x, 2. f(x) = 0,1x + 0,5, 3. f(x) = 0,5x+5, 4. f(x) = 5,25x 35, 5. f(x) = x+8, 6. f(x) = 0,1x+4,2, 7. f(x) = 0,6308x+7,846, 8. f(x) = x. 3.4 Lineær regression Brug vejledningen til jeres CAS-værktøj, til at løse følgende opgaver. Opgave 3.11 Bestem forskriften for den lineære funktion f. 1. x 2 4 6 9 2. x 1 7 11 12 f(x) 1 7 12 16 f(x) 2 5 7 8 3. x 1 5 7 9 10 f(x) 12 4 0-4 -6 4. x -1 0 5 7 9 f(x) 2 1-1 -2-3 Svar på opgave 3.11. 1. f(x) = 2,1x 2,2, 2. f(x) = 0,53x + 1,4, 3. f(x) = x+14, 4. f(x) = 0,47x+1,3. 14

Opgave 3.12 Bestem forskriften for funktionen f hvis graf ses. 1. 2. (y) (y) 1 1 1 2 (x) 1 2 (x) 3. (y) 4. (y) 1 1 1 2 (x) 1 2 (x) Svar på opgave 3.12. 1. f(x) = 1 2 x, 2. f(x) = 2x 1 2, 3. f(x) = x+2, 4. f(x) = 4 5 x 2 5. 3.5 Bestemmelse af x ud fra regneforskrift Kendes regneforskriften og en værdi for funktionen, kan x-værdien bestemmes. Eksempel 3.13 Lad f(x) = 5 + 2x og f(x) = 3, bestem x. Først opstilles ligningen 3 = 5 + 2x. Denne løses 3 = 5+2x 3 5 = 2x 3 5 2 = x x = Eksempel 3.14 Lad f(x) = 3x og f(x) = 5, bestem x. Først opstilles ligningen 5 = 3 2x. Denne løses 5 = 3x 5 3 = x 5 3 15 = x x = 4

Eksempel 3.15 Lad f(x) = x+3 og f(x) = 3, bestem x. Først opstilles ligningen 3 = x + 3. Denne løses 3 = x+3 3 3 = x 3 3 = x x = 0 Eksempel 3.16 Lad f(x) = 3 + x og f(x) = 3, bestem x. Først opstilles ligningen 3 = 3 + x. Denne løses 3 = 3+x 3+3 = x x = 6 Eksempel 3.17 Ladf(x) = 3 ogf(x) = 8, bestemx. Først opstilles ligningen 3 = 8 Denne ligning har ingen løsning. Opgave 3.18 Beregn x-værdien. 1. f(x) = 8+2x og f(x) = 4. 5. f(x) = 1 4x og f(x) =. 2. f(x) = 1+x og f(x) = 5. 6. f(x) = 8+5x og f(x) = 7. 3. f(x) = 8x og f(x) = 12. 7. f(x) = 35 4x og f(x) = 3. 4. f(x) = 2+2x og f(x) =. 8. f(x) = 3x og f(x) = 0. Svar på opgave 3.18. 1. 6, 2. 4, 3. -2, 4. 5, 5. ½, 6. -3, 7. 8, 8. 0. 3.6 Proportional De to variablexogy siges at være ligefrem proportional, hvisy = k(konstant) x eller y x = k dvs. at forholdet mellem x og y er konstant. k kaldes proportionalitetsfaktoren. Eksempel 3.19 p er ligefrem proportional med y med proportionalitetsfaktoren 4. Det betyder at p = 4 y 16

(p) 4 3 2 1 1 2 3 4 (y) Opgave 3.20 Oversæt disse sætninger til matematiske formler 1. v er ligefrem proportional med k med proportionalitetsfaktoren q. 2. y er ligefrem proportional med summen af r og q. 3. r er ligefrem proportional med differensen af n og m med proportionalitetsfaktoren 6. 4. f er ligefrem proportional med forholdet mellem p og q. 5. Energien e er ligefrem proportional med lysets hastighed c i anden, med proportionalitetfaktoren m for massen. 6. Udnyttelsen af energien E i sollyset er ligefrem proportional med kvadratet på overflade arealet O af solcellerne. 7. 8. 17

3.7 Omvendt proportional De to variablexogy siges at være omvendt proportionale, hvisy = k(konstant) 1 x eller y x = k dvs. at produktet af x og y er konstant. Eksempel 3.21 y er omvendt proportional med x med proportionalitetsfaktoren 4. Det betyder at (y) y = 4 1 x 8 6 4 2 0 8 6 4 2 4 6 8 (x) 4 6 8 0 18

4 Inverse funktioner Det er nu passende at omtale inverse funktioner. En invers funktion er en funktion hvor x og y er byttet om. Den inverse funktion til funktionen f(x): y = 3x 4 er således funktionen f (x): x = 3y 4 hvor y isoleres 3y = x 4 y = 1 3 x+ 4 3 Når man ser på det grafisk, ser man at graferne for de to funktioner er spejlinger af hinanden i linien y = x. (y) 3 2 f (x) = 1 3 x+ 4 3 1 4 3 1 2 3 (x) f(x) = 3x 4 3 4 Definition 4.1 Den inverse funktion til f kaldes f, og den inverse funktion f er defineret som funktionen der opfylder at f f (x) = x. 19

Det betyder at for f(x) = 3x 4 og f (x) = 1 3 x + 4 3 f f = x. Dette se af følgende udregning. skal der gælde at f f (x) = 3 ( 1 3 x+ 4 ) 4 = (x+4) 4 = x 3 I den inverse funktion er x og y byttet om, det kan bruges til at sige noget om hvilken type af funktion en inverse funktion er. Her ses tabellen og hvilke typer af funktioner der findes. Denne gang er den udvidet med hvilken type de inverse funktioner er. Det kan ses ud fra om x og y er hhv. + og. For den lineære funktion som er en (+,+)-funktion og den inverse er en (+,+)-funktion og derfor også lineær. Men eksponentialfunktionen som er en (+, )-funktion, der vil den inverse funktion være en (,+)-funktion. Og det er en logaritmefunktion. Lineær funktion x y Potens- y x funktion Potensfunktion Funktion Invers funktion x + y + Lineær y + x + funktion Eksponential- x + y + Logaritmefunktion y x funktion x y Eksponential- y + x + funktion Logaritmefunktion Eksempel 4.2 For funktionen f(x) = 2x 3, hvor f(x) = y, kan den inverse funktion udregnes ved at erstatte y med x og x med y. Da kommer ligningen til at se således ud. x = 2y 3 20

og i denne ligning isoleres y. x = 2y 3 x+3 = 2y x+3 = y 2 Den inverse funktion er så f (x) = x 2 + 3 2. Opgave 4.3 Bestem den inversefunktion til f. 1. f(x) = 2x 5. f(x) = 2x 4 2. f(x) = 1 x+2 4 6. f(x) = x 3. f(x) = x+1 7. f(x) = 3x+5 4. f(x) = 3x 3 8. f(x) = ax+b Svar på opgave 4.3. 1. f (x) = 1 2 x+ 1 2, 2. f (x) = 4x 8, 3. f (x) = x 1, 4. f (x) = 1 3 x + 1, 5. f (x) = 1 2 x + 2, 6. f (x) = 1 x 1, 7. 2 f (x) = 1 3 x 5 3, 8. f (x) = 1 a x b a. Et særligt tilfælde er funktionenf(x) = x 2. Denne funktion vil have to forskellige funktioner som dens inverse alt efter hvilket definitionsmængde, der er gældende. Den inverse funktion findes ved at ombytte x og y derfor vil den inverse funktion være x = y 2 y = ± x Denne funktion kan som det ses af grafen ikke være én funktion man må være sammensat af de to funktioner f 1 (x) = x og f 2 (x) = x 21

(y) f(x) = x 2 3 2 1 f 1 (x) = x 4 3 1 2 3 (x) f 2 (x) = x 3 4 En tredje tilfælde er funktionen f(x) = x 3. Den inverse funktion vil så være x = y 3 y = x 1 3 Disse funktioner kan ses på følgende graf. Bemærk at det ikke er muligt at tegne grafen for den inverse funktion for x mindre end 0. 22

(y) f(x) = x 3 3 2 1 f (x) = x 1 3 4 3 1 2 3 (x) 3 4 Inverse funktioner er meget spændende men ikke mere nu. 5 Eksponentielle funktioner Den eksponentielle funktion er en funktion der beskriver sammenhænge som f.eks. der er 12 biller og antallet af biller bliver 1,2 gange (20%) større hver dag. Dag 1 2 3 +1 4 +1 5 Antal biller 8,33 10 12 1,2 1,2 1,2 14,4 1,2 17,28 Definition 5.1 En funktion med regneforskrift f(x) = b a x hvor a > 0 og forskellig fra 1. Kaldes for en eksponentialfunktion. 23

5.1 Bestemmelse af funktionsværdien Kendes regneforskriften for en eksponentialfunktion og x kan værdien af f(x) bestemmes. Eksempel 5.2 Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 3 2 x Bestem f(3), dvs. x = 3. f(3) = 3 2 3 = 3 8 = 24 Eksempel 5.3 Lad f(x) være bestemt ved forskriften f(x) = 1.5 0,7 x Bestem f(2) f(2) = 1,5 0,7 2 = 0,735 Opgave 5.4 Bestem værdien af f. 1. f(x) = 3x 2. Bestem f(2) 5. f(x) = 11 3 x. Bestem f(0,5). 2. f(x) = 1,5 0,7 x. Bestem f(4). 6. f(x) = 7 0,3 x. Bestem f(3). 3. f(x) = 4 0,1 x. Bestem f(3). 7. f(x) = 1,3 0,1 x. Bestem f(9). 4. f(x) = 2 4 x. Bestem f(11). 8. f(x) = 0,21 0,03 x. Bestemf(1). Svar på opgave 5.4. 1. 12, 2. 0,3602, 3. 0,004, 4. 8388608, 5. 19,05, 6. 0,189, 7. 1,3 10 9, 8. 0,0063. 5.2 Bestemmelse af forskriften ud fra to punkter Hvis det vides at der er tale om en eksponentialfunktion og to punkter kendes kan regneforskriften bestemmes. Til hjælp herfor findes følgende sætning. 24

Sætning 5.5 Hvis funktionen er eksponentiel dvs. med regneforskrift f(x) = b a x og der gælder at f(x 1 ) = y 1 og f(x 2 ) = y 2 så er ( ) 1 y1 x 1 x 2 a = b = y 1 a x 1 hvor x 1 skal være større end x 2. Bevis. y 2 b a x 1=y 1 b a x 2=y 2 b ax 1 b a x 2 = y 1 y 2 ax 1 a x 2 = y 1 y 2 a x 1 x 2 = y 1 y 2 (a x 1 x 2 ) a = 1 x 1 x 2 = ( ) 1 y x 1 1 x 2 y 2 Nu forkortes med b Nu bruges potensregneregelen xr x = x r s. s Nu opløftes begge sider i 1 x 1 x 2, bemærk at dette kræver at a > 0. Dette kan ifølge ( ) 1 y x 1 1 x 2 potensregneregelen (x r ) s = x y 2 r s reduceres til Nu kender vi a så dette kan vi udnytte til at finde b, fordi vi ved at b a x 1 = y 1 Og dette medfører at Vi har nu vist det ønskede. b = y 1 a x 1 Q.E.D. Eksempel 5.6 Bestem forskriften for den eksponentialfunktion hvis graf går 25

gennem punkterne (3,2) og (5,8). Først bestemmes a. a = Nu kan jeg så bestemme b. ( y1 y 2 ) 1 x 1 x 2 = ( 8 2 ) 1 b = y 1 a x 1 = 8 2 5 = 0,25 Forskriften for funktionen bliver så f(x) = 0,25 2 x 5 3 = 4 1 2 = 2 Eksempel 5.7 Bestem forskriften for den eksponentialfunktion hvis graf går gennem punkterne (3,2) og (7,18). Først bestemmes a. a = ( y1 y 2 Nu kan jeg så bestemme b. ) 1 x 1 x 2 = ( 18 2 ) 1 7 3 = 9 1 4 = 1,552 b = y 1 a = 18 x 1 1.552 = 0,8305 7 Forskriften for funktionen bliver så f(x) = 0,8305 1,552 x Opgave 5.8 Bestem forskriften for eksponentialfunktionen f hvis graf gå gennem følgende punkter 1. (3,24) og (1,8). 5. (5,1) og (15,2). 2. (3,54) og (1,6). 6. (2,4) og (4,3). 3. (2,4) og (7,5). 7. (8,7) og (12,28). 4. (3,6) og (2,4). 8. (4,4) og (6,2). Svar på opgave 5.8. 1. f(x) = 4,618 1,732 x, 2. f(x) = 2 3 x, 3. f(x) = 3,658 1,046 x, 4. f(x) = 1,778 1,5 x, 5. f(x) = 0,707 1,072 x, 6. f(x) = 5,333 0,866 x, 7. f(x) = 0,438 1,414 x, 8. f(x) = 16 0,707 x. 26

5.3 Logaritmefunktionen log(x) Definition 5.9 Logaritmefunktionen log(x) er defineret som den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtallet 10. Eksponentialfunktionen med grundtallet 10 har forskriften f(x) = 10 x, fra kapitlet om inverse funktionen ved vi at y = f(x) x = f (y). I dette tilfælde hvor f(x) = 10 x og f (y) = log(y) vil der gælde at Grunden til at y = 10 x x = log(y) f (y) = log(y) er, at log(y) er den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtallet 10. Ved at bruge denne ligning findes nogle vigtige værdier for logaritmefunktionen. F.eks. hvis x = 1 y = 10 1 1 = log(y) er y = 10 så er log(10) = 1 og hvis x = 0 så er y = 1 så log(1) = 0 Se nu på ligningerne y = 10 0 0 = log(y) y = 10 x x = log(y) ved at sætte ligningen x = log(y) ind i ligningen y = 10 x fås følgende ligning y = 10 log(y) Sætning 5.10 Lad x > 0 så vil x = 10 log(x) 27

Denne sætning anvendes til at bevise følgende sætning. Sætning 5.11 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil Bevis. log(y x ) = x log(y) log(y x ) = x log(y) Det der ønskes bevist log(y x ) = x log(y) 10 log(yx) = 10 x log(y) y x = 10 log(y) x Ifølge sætning 5.10. y x = y x Hvilket er sandt og derfor er også den første ligning sand. Q.E.D. Nu kan følgende sætning vises. Sætning 5.12 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil log(x y) = log(x)+log(y) Bevis. log(x y) = log(10 log(x) 10 log(y) ) Sætning 5.10 = log(10 log(x)+log(y) ) Potensregneregelen a p a q = a p+q = (log(x) + log(y)) log(10) Sætning 5.11 = log(x)+log(y) Da log(10) = 1 Nu er det bevist at log(x y) = log(x)+log(y) som ønsket. 28 Q.E.D.

Nu kan følgende sætning vises. Sætning 5.13 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ( ) x log = log(x) log(y) y Bevis. ( log(x) ) = log(x) log x y y ( ) log y x y ( log(y)+log ( log x y x y ) ) Nu er det bevist at = log(x) Ganges med 1 = y y = log(x) Faktorerne ombyttes = log(x) Sætning 5.12 anvendes = log(x) log(y) Her lægges log(y) til på begge sider log(x) = log(x) log ( ) x y og det vides at log(x) = log(x) er sandt, derfor vil ( ) x log = log(x) log(y) y også være sandt. = log(x) log(y) Q.E.D. Eksempel 5.14 Udtrykket log(2)+log(5) kan reduceres ved at bruge de sætninger vi har vist. log(2) + log(5) = log(2 5) Ved at bruge sætning 5.12 = log(10) Ved at gange 5 og 2 = 1 p.g.a. den 1. regneregel 29

Eksempel 5.15 Udtrykket log(2) log(5) kan reduceres ved at bruge de sætninger vi har vist. log(2) log(5) = log( 2 ) Ved at bruge sætning 5.13 5 Eksempel 5.16 Udtrykket 3 log(2) + log(5) kan reduceres ved at bruge de sætninger vi har vist. 3log(2)+log(5) = log(2 3 )+log(5) Ved at bruge sætning 5.11 = log(8)+log(5) = log(8 5) Ved at bruge sætning 5.12 = log(40) Opgave 5.17 Reducer følgende udtryk 1. log(4)+log(9) 5. 4log(2) log(4) 2. log(4) log(2) 6. 2log(2)+2log(5) 3. log(2) log(4) 7. 4log(2)+2log(5)log(10) 4. 2log(2) log(4) 8. 3log(2)log(5)+4log(3) Svar på opgave 5.17. 1. log(36), 2. log(2), 3. log ( 1 2), 4. 0, 5. log(4), 6. 2, 7. log(4), 8. log ( 648 25). 5.4 Løsning af ligninger med logaritmer Den mest enkle type af ligninger med logaritmer er ligninger af typen log(x) = a hvor a er et tal. Denne type løses ved at bruge sætning 5.10, så løsningen bliver 10 log(x) = 10 a x = 10 a 30

Eksempel 5.18 Ligningen log(x) = 0,53 løses ved at bruge sætning 5.10. For at løse denne ligning skal man tage begge sider i ligningen i 10 ende. 10 log(x) = 10 0,53 x = 10 0,53 x = 3,3884 Eksempel 5.19 log(x + 1) = 1 brug sætning 5.10 10 log(x+1) = 10 1 udregn x+1 = 10 løses som en normal ligning x = 9 Eksempel 5.20 Løsning af ligningen log(x + 1) + log(x 1) = 1. log(x+1)+log(x) = 1 Ifølge sætning 5.12 log((x+1) (x)) = 1 Udregning log(x 2 ) = 1 Sætning 5.10 10 log(x2 ) = 10 1 Udregning x 2 = 10 Udregning x 2 = 11 Udregning x = ± 11 Løsningen 11 kan ikke være en løsning da x > 1 ellers vil log(x 1) ikke være defineret. Løsningen til ligningen er derfor 11. Opgave 5.21 Løs følgende ligninger. 1. log(9) = x 5. log(x) = 0,2462 2. log(5754862139) = x 6. log(x)+log(x+2) = 3 log(2) 3. log(x) = 1 7. log ( 1+ x) 1 +log(x+4) = 0 4. log(x) = 15 8. log(x+1)+log(x+2) = 3 31

Svar på opgave 5.21. 1. 0,95424, 2. 9,76, 3. 10, 4. 10 15, 5. 1,7628, 6. 2, 7. -2, 8. 3,0095. 5.4.1 Grundmængden til logaritmiske funktioner Definition 5.22 Grundmængden er den talmængde som den variable skal findes indenfor. Dette betyder at løsningsmængden er en delmængde af grundmængden. Grundmængden betegner man normalt med G og løsningsmængden med L. Når grundmængder skal bestemmes er der tre regler der skal tages i betragtning. 1. Man må ikke dividere med 0. 2. Man må ikke tage kvadratroden af et negativt tal. 3. Man må ikke tage logaritmen af et negativt tal. Eksempel 5.23 Her er en liste af nogle ligninger og deres grundmængde. Ligning 5 Grundmængde x = 8 R\{0} x 4 = 4 {x R 4 < x} log(x 4) = 4 {x R 4 < x} log(4 x 2 ) = 3 {x R < x < 2} Opgave 5.24 Løs ligningerne. 1. log(x) = 1 5. 2log(x) = 4 2. log(x+5) log(3) = 1 6. 2log(x)+2log(5) = 0 3. log(x+7)+log(4) = 2 7. log(1+2x) log(2) = 1 4. log(2)+log(x+2) = 1 8. log(x)log(2) = 1 Svar på opgave 5.24. 1. 10, 2. 25, 3. 18, 4. 3, 5. 100, 6. 1 5, 7. 9,5, 8. 40. 32

5.5 Logaritmefunktionen ln(x) Definition 5.25 Logaritmefunktionen ln(x) er defineret som den inverse funktion til eksponentialfunktionen med grundtallet e. Tallet e er et tal lige som π og det har den tilnærmede værdi 2,718281828. Eksponentialfunktionen med grundtallet e har forskriften f(x) = e x og fra kapitlet om inverse funktioner vides at y = f(x) x = f (y) i dette tilfælde hvor f(x) = e x og f (y) = ln(y) vil der gælde at y = e x x = ln(y) Sætning 5.26 Lad x > 0 så vil x = e ln(x) Sætning 5.27 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ln(y x ) = x ln(y) Sætning 5.28 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ln(x y) = ln(x)+ln(y) Sætning 5.29 Lad x > 0 og lad y > 0 så vil ( ) x ln = ln(x) ln(y) y 33

Sætning 5.30 De to funktioner log(x) er proportional med ln(x), med proportionalitetsfaktor ln(10), og derfor vil sætningerne 5.27, 5.28 og 5.29 være sande for ln(x). Bevis. Oversat til formel betyder sætningen der skal vises at ln(10) log(x) = ln(x) Betragt følgende udregning. ln(10) log(x) = ln(x) e ln(10) log(x) = e ln(x) Ifølge sætning 5.26 og Ifølge potensregneregel (x s ) t = x s t. ( ) e ln(10) log(x) = x Ifølge sætning 5.26 10 log(x) = x Hvilket er sandt i følge sætning 5.10 Og da 10 log(x) = x ln(10) log(x) = ln(x) og 10 log(x) = x er sandt må også ln(10) log(x) = ln(x) være sandt. Derfor vil f.eks. log(x y) = log(x)+log(y) ln(10) log(x y) = ln(10) log(x)+ln(10) log(y) ln(x y) = ln(x)+ln(y) Q.E.D. Her ses en graf af de to funktioner. 34

(y) 2 1 ln(x) log(x) 1 2 3 4 5 6 (x) 3 Opgave 5.31 Reducer udtrykkene. 1. ln(2)+ln(5) 5. 3ln(4) ln(4) 2. ln(5)+ln(2) 6. 2ln(2)+2ln(5) 3. ln(2) ln(6) 7. 2ln(3)+3ln(2) 3ln(4) 4. 2ln(2) ln(4) 8. 3ln(2)ln(5)+3ln(2) Svar på opgave 5.31. 1. ln(10), 2. ln(10), 3. ln ( 1 3), 4. 0, 5. 4ln(2), 6. ln(100), 7. ln ( ) ( 9 8, 8. ln 64 25). 35

5.6 Løsning af ligninger med logaritmer ln(x) Når ligninger son indeholder ln(x) skal løses bruges sætning 5.26. Her kommer et par eksempler. Eksempel 5.32 Løs ligningen ln(x) = 4. ln(x) = 4 e ln(x) = e 4 Først omskrives ligningen ved at opløfte e i ln(x) potens og opløfte e i 4 potens. x = e 4 Derefter bruges sætning 5.26. Og opgaven er løst. Eksempel 5.33 Løs ligningen ln(x + 1) = 4. ln(x+1) = 4 e ln(x+1) = e 4 Først omskrives ligningen ved at opløfte e i ln(x+ 1) potens og opløfte e i 4 potens. x+1 = e 4 Derefter bruges sætning 5.26. x = e 4 Så trækkes 1 fra på begge sider. Og opgaven er løst. Eksempel 5.34 Løs ligningen ln(x + 1) + ln(4) = 4. 36

ln(x+1)+ln(4) = 4 ln((x+1) 4) = 4 Først anvendes sætning 5.28 e ln((x+1) 4) = e 4 Så omskrives ligningen ved at opløfte e i ln((x + 1) 4) potens og opløfte e i 4 potens. (x+1) 4 = e 4 Derefter anvendes sætning 5.26. 4x+4 = e 4 4x = e 4 4 Så ganges 4 ind i parentesen. Så trækkes 4 fra på begge sider. x = e4 4 4 Tilsidst dividerer man med 4 på begge sider. Og opgaven er løst. Eksempel 5.35 Løs ligningen ln(x + 1) + ln(2) = ln(3). 37

ln(x+1)+ln(2) = ln(3) ln((x+1) 2) = ln(3) Først anvendes sætning 5.28. e ln((x+1) 2) = e ln(3) Så omskrives ligningen ved at opløfte e i ln((x + 1) 2) potens og opløfte e i ln(3) potens. (x+1) 2 = 3 Derefter anvendes sætning 5.26. 2x+2 = 3 2x = 3 x = 1 2 Så ganges 2 ind i parentesen. Så trækkes 2 fra på begge sider. Tilsidst divideres med 2 på begge sider. Og opgaven er løst. Opgave 5.36 Løs ligningerne. 1. ln(x) = 1 5. 2ln(x) = 4 2. ln(x+5) ln(3) = 1 6. 2ln(x)+2ln(5) = 0 3. ln(x+7)+ln(4) = 2 7. ln(1+2x) ln(2) = 1 4. ln(2)+ln(x+2) = 1 8. ln(x)ln(2) = 1 Svar på opgave 5.36. 1. x = e, 2. x = 3e 5, 3. x = e2 8, 4. x = e2 4 4 2, 5. x = e 2, 6. x = 1 5, 7. x = e 1 2, 8. x = 4e. 38

5.7 Fordoblings- og halveringskonstant En eksponentielt voksende udvikling (a > 0), f.eks. saldoen på en konto hvis der ikke hæves noget og hvis der tilskrives renter, vokser med samme procent for hver enhed f.eks. år. Fordoblingskonstanten er det antal år pengene skal stå på kontoen for, at saldoen fordobles eller sagt på en anden måde, hvor lang tid går der før saldoen er steget med 100%. Eksempel 5.37 Hvis du fik 6% i rente pr. år hvor mange år vil der så gå før saldoen er blevet fordoblet? Det er denne ligning vi skal løse 1,06 n = 1. 1,06 n = 1 1,06 n = 2 n log(1,06) = log(2) n = log(2) log(1,06) hvilket er 11,9 år. Dette eksempel kan generaliseres til følgende sætning. Fordoblingskonstanten har symbolet T 2. Sætning 5.38 Den eksponentielt voksende udvikling f(x) = b a x hvor a > 1 har fordoblingskonstanten T 2 = log(2) log(a) Bevis. Fordoblingskonstanten er det antal enheder (år) som x-værdien skal vokse med for at y-værdien fordobles. 39

(y) 2 f(x) f(x) T 2 x x+t 2 (x) Dette kan omskrives til ligningen f(x+t 2 ) = 2 f(x) i denne ligning skal T 2 isoleres. Først anvendes funktions udtrykket for f(x) = b a x så isoleres T 2. b a x+t 2 = 2 b a x a x a T 2 = 2 a x a T 2 = 2 log(a T 2 ) = log(2) T 2 = log(2) log(a) Q.E.D. Da log(x) og ln(x) er proportionale vil den tilsvarende sætning for ln også være sand. Sætning 5.39 Den eksponentielt voksende udvikling f(x) = b a x hvor a > 1 har fordoblingskonstanten T 2 = ln(2) ln(a) 40

Sætning 5.40 Den eksponentielt aftagende udvikling f(x) = b a x hvor 0 < a < 1 har halveringskonstanten T1 2 = log(1 2 ) log(a) Sætning 5.41 Den eksponentielt aftagende udvikling f(x) = b a x hvor 0 < a < 1 har halveringskonstanten T1 2 = ln(1 2 ) ln(a) Eksempel 5.42 Fordoblingskonstanten for funktionen f(x) = 3 5 x er T 2 = log(2) log(5) T 2 = 0,430677 Eksempel 5.43 Halveringskonstanten for funktionen f(x) = 3 0,5 x er T1 2 = log(1 2 ) log(0,5) T1 2 = 1 Opgave 5.44 Find fordoblings eller halverings konstanten for funktionen f. 1. f(x) = 34 1,0025 x 5. f(x) = 2 1,00001 x 2. f(x) = 4 1,3 x 6. f(x) = 34 0,93 x 3. f(x) = 2 11 x 7. f(x) = 34 0,03 x 4. f(x) = 11 32 x 8. f(x) = 0,2 x 0,0721 Svar på opgave 5.44. 1. T 2 = 277,6, 2. T 2 = 2,64, 3. T 2 = 0,29, 4. T 2 = 0,2, 5. T 2 = 69315, 6. T1 2 = 9,55, 7. T1 2 = 0,198, 8. T1 2 = 0,26. 5.8 Grafen for en eksponentialfunktion Der er fire typer af grafer for en eksponentialfunktion f(x) = b a x. 41