Slide 1/36
sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 2/36
sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 3/36
1) Hvad er Taleteori? sfaktorisering Slide 4/36
sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Slide 4/36
sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal Slide 4/36
sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal 2) Slide 4/36
sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal 2) Definition Slide 4/36
sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal 2) Definition Sætning Slide 4/36
sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal 2) Definition Sætning Lemma Slide 4/36
sfaktorisering 1) Hvad er Taleteori? Læren om de hele tal 2) Definition Sætning Lemma Korollar Slide 4/36
sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 5/36
sfaktorisering Definition 1 (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så d q = n siger vi, at d går op i n, eller at d er divisor i n, og vi skriver d n. Slide 6/36
sfaktorisering Definition 1 (Divisor) Lad d og n være hele tal. Hvis der findes et helt tal q så d q = n siger vi, at d går op i n, eller at d er divisor i n, og vi skriver d n. Eksempel 1 Lad os betragte tallet 14. Tallet 7 er divisor i 14, og vi kan skrive 7 14, da Er der andre divisorer i tallet 14? Hvilke? 7 2 = 14 Slide 6/36
sfaktorisering Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: 1) Hvis a b og b c, da vil også a c 2) Hvis a b og a c, da vil også a b + c og a b c Slide 7/36
sfaktorisering Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: 1) Hvis a b og b c, da vil også a c 2) Hvis a b og a c, da vil også a b + c og a b c Eksempel 2 Lad os betragte tallene 4, 12 og 24. Vi ser først at 4 12 og 12 24 Da siger 1) fra sætning 1, at så må det gælde at 4 24. Slide 7/36
sfaktorisering Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: 1) Hvis a b og b c, da vil også a c 2) Hvis a b og a c, da vil også a b + c og a b c Bevis 1) Vi ved at a b og b c. Det betyder, at der findes et hele tal q 1 og q 2 så a q 1 = b Det må betyde at b q 2 = c c = b q 2 = a q 1 q 2 = a (q 1 q 2 ) Da produktet af to hele tal selv er et helt tal, viser dette at a c. Slide 8/36
sfaktorisering Sætning 1 (Delelighedsregler) Lad a, b, og c være hele tal. Da gælder følgende to udsagn: 1) Hvis a b og b c, da vil også a c 2) Hvis a b og a c, da vil også a b + c og a b c Bevis 1) Vi ved at a b og b c. Det betyder, at der findes et hele tal q 1 og q 2 så a q 1 = b Det må betyde at b q 2 = c c = b q 2 = a q 1 q 2 = a (q 1 q 2 ) Da produktet af to hele tal selv er et helt tal, viser dette at a c. 2) Det overlader vi til jer i en opgave... Slide 8/36
Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, 1, n og n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. sfaktorisering Slide 9/36
Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, 1, n og n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. sfaktorisering Definition 3 () Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et primtal, hvis det kun har trivielle divisorer. Slide 9/36
Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, 1, n og n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. sfaktorisering Definition 3 () Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et primtal, hvis det kun har trivielle divisorer. Eksempel De første ti primtal er altså tallene: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Slide 9/36
Definition 2 (Trivielle og ægte divisorer) De trivielle divisorer i et helt tal n er 1, 1, n og n. Alle andre divisorer i n kaldes ægte divisorer. sfaktorisering Definition 3 () Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et primtal, hvis det kun har trivielle divisorer. Eksempel De første ti primtal er altså tallene: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Definition 4 (Sammensatte tal) Et positivt helt tal n, som er større end 1, kaldes et sammensat tal, hvis det har en ægte divisor. Slide 9/36
Definition 5 () Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. sfaktorisering Slide 10/36
Definition 5 () Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. sfaktorisering Eksempel ne i 90 er 2, 3 og 5 Slide 10/36
Definition 5 () Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. sfaktorisering Eksempel ne i 90 er 2, 3 og 5 sfaktorisering At primtalsfaktorisere et tal betyder at skrive tallet som et produkt af udelukkende primtal. Hvad er primtalsfaktoriseringen af 90? Slide 10/36
Definition 5 () Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. sfaktorisering Eksempel ne i 90 er 2, 3 og 5 sfaktorisering At primtalsfaktorisere et tal betyder at skrive tallet som et produkt af udelukkende primtal. Hvad er primtalsfaktoriseringen af 90? SVAR: 90 = 2 3 3 5 = 2 3 2 5 Slide 10/36
Definition 5 () Et primtal der er divisor i et helt tal n, kaldes en primfaktor i n. sfaktorisering Eksempel ne i 90 er 2, 3 og 5 sfaktorisering At primtalsfaktorisere et tal betyder at skrive tallet som et produkt af udelukkende primtal. Hvad er primtalsfaktoriseringen af 90? SVAR: 90 = 2 3 3 5 = 2 3 2 5 Generelt er primtalsfaktoriseringen af et naturligt tal n > 1 givet ved: n = p α 1 1 pα 2... pαm 2 m hvor p i erne er primfaktorer og α i erne er positive heltal. Slide 10/36
Lemma 1 (Eksistens af primfator) Ethvert positivt heltal n større end 1 har en primfaktor. sfaktorisering Slide 11/36
Lemma 1 (Eksistens af primfator) Ethvert positivt heltal n større end 1 har en primfaktor. sfaktorisering Bevis Lad n være et positivt heltal større end 1, og lad p betegne den mindste divisor i n. Vi vil nu vise med modstrid, at p er et primtal. Antag p ikke er et primtal (antag altså at p er et sammensat tal). Det betyder, at p har en divisor d, hvorom det gælder at 1 < d < p ifølge definitionen af et sammensat tal. Hvis d p og p n vil d n ifølge sætning 1. Dermed er p ikke den mindste divisor i n, og vi har derfor en modstrid. p må altså være et primtal, og p er dermed en primfaktor i n. Slide 11/36
Sætning 2 (Aritmetikkens fundamentalsætning) Ethvert positivt heltal n større end 1 kan primtalsfaktoriseres. sfaktoriseringen er entydig (på nær primfaktorernes rækkefølge). sfaktorisering Slide 12/36
sfaktorisering Bevis Del 1: Eksistens Lad n være et positivt helt tal. Vi ved da fra lemma 1, at n har en primfaktor. Lad os kalde denne primfaktor p 1. Vi har altså n = p 1 q 1 Hvor q 1 er et helt tal. Hvis q 1 = 1 har vi fundet primtalsfaktoriseringen af n, og faktisk er n = p 1 selv et primtal. Hvis q 1 > 1 må q 1 ifølge lemma 1 have en primfaktor, p 2, og vi har q 1 = p 2 q 2 og derfor kan vi nu skrive, at n = p 1 q 1 = p 1 p 2 q 2 Denne proces kan vi fortsætte, og da q 1, q 2, q 3,... er en aftagende følge af positive heltal, vil vi før eller siden møde et tal q r = 1. Dermed har vi n = p 1 p 2 p r 1 = p 1 p 2 p r hvor alle p i erne er primtal. Dermed har n altså en primtalsfaktorisering. Slide 13/36
sfaktorisering Bevis Del 2: Entydighed Antag at der findes positive heltal med to (eller flere) primtalsfaktoriseringer. Lad n være det mindste af disse heltal. Vi har således p 1 p 2 p r = n = q 1 q 2 q s hvor p i erne og q j erne er primtal. Ingen af p i erne kan være lig et af q j erne, fordi da ville vi ved forkortning med dette tal få et tal mindre end n, der også havde to (eller flere) primtalsfaktoriseringer, og dette er i strid med antagelsen, om at n er det mindste tal af denne slags. Det må altså specielt gælde, at enten er p 1 < q 1 eller også er p 1 > q 1. Lad os antage, uden tab af generalitet, at p 1 < q 1, og lad os så betragte tallet m = (q 1 p 1 ) q 2 q 3 q s Tallet m er oplagt mindre end tallet n. Dermed må m have en entydig primtalsfaktorisering. Vi ser at p 1 ikke går op i m, og derfor kan p 1 ikke være indeholdt i primtalfaktoriseringen af m. Slide 14/36
sfaktorisering Bevis Del 2: Entydighed (fortsat) Men ved omskrivning får vi: m = (q 1 p 1 ) q 2 q 3 q s = q 1 q 2 q s p 1 q 2 q 3 q s = n p 1 q 2 q 3 q s = p 1 p 2 p r p 1 q 2 q 3 q s = p 1 (p 2 p 3 p r q 2 q 3 q s ) Den sidste linje viser, at der findes en primtalfaktorisering af m, hvor p 1 indgår som primfaktor. Der må altså findes flere primtalsfaktoriseringer af m, hvilket er i strid med antagelsen om, at n er det mindste positive heltal med to (eller flere) primtalsfaktoriseringer. Dermed må alle positive heltal større end 1 have en entydig primtalsfaktorisering. Slide 15/36
Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Slide 16/36
Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Slide 16/36
Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Hvad er de næste? Slide 16/36
Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Hvad er de næste? Svar: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289... Slide 16/36
Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Hvad er de næste? Svar: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289... Bemærkning lene større end 1 er netop de positive heltal hvor alle primfaktorer indgår i en lige potens i primtalsfaktoriseringen. Vis dette! Slide 16/36
Definition 6 () Alle tal der kan skrives på formen a 2, hvor a er et helt positivt tal kaldes kvadrattal. sfaktorisering Eksempel De første kvadrattal er altså: 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 Hvad er de næste? Svar: 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289... Bemærkning lene større end 1 er netop de positive heltal hvor alle primfaktorer indgår i en lige potens i primtalsfaktoriseringen. Vis dette! Et kvadrattal n er givet ved: n = a 2 = a a Hvor a er et vilkårligt heltal med følgende primtalsfaktorisering a = p α 1 1 pα 2 2 pαm m n = (p α 1 1 pα 2 2 pαm m ) (p α 1 1 pα 2 2 pαm m ) = p 2α 1 p 2α 2 p 2αm 1 2 m Slide 16/36
Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p ab, da vil p a eller p b. sfaktorisering Slide 17/36
sfaktorisering Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p ab, da vil p a eller p b. Bevis: overlades til jer i en opgave... Slide 17/36
sfaktorisering Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p ab, da vil p a eller p b. Bevis: overlades til jer i en opgave... Sætning 4 Der findes uendeligt mange primtal Slide 17/36
sfaktorisering Sætning 3 Lad p være et primtal. Hvis p ab, da vil p a eller p b. Bevis: overlades til jer i en opgave... Sætning 4 Der findes uendeligt mange primtal Bevis: Antag at der findes endeligt mange primtal og lad disse være givet ved: Vi betragter tallet n = p 1 p 2 p m + 1. p 1, p 2,..., p m Da n er et heltal større end 1 har n en primfaktor p. Denne primfaktor p må være en af de endeligt mange primtal p 1, p 2,..., p m. dvs. at p går op i både n og p 1 p 2 p m og således også i n p 1 p 2 p m = 1. Da alle primtal er større end 1 er dette en modstrid. Altså findes der uendeligt mange primtal. Slide 17/36
sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 18/36
I talteori er det ofte meget lettere at sige noget om et produkt end om en sum. Mange opgaver løses derfor ved at benytte faktorisering. sfaktorisering At faktorisere et udtryk betyder, at man omskriver udtrykket til at bestå af ét led, som udelukkende består af faktorer - dvs. tal, der er ganget sammen. (Bemærk: hver faktor kan godt bestå af flere led). Slide 19/36
I talteori er det ofte meget lettere at sige noget om et produkt end om en sum. Mange opgaver løses derfor ved at benytte faktorisering. sfaktorisering At faktorisere et udtryk betyder, at man omskriver udtrykket til at bestå af ét led, som udelukkende består af faktorer - dvs. tal, der er ganget sammen. (Bemærk: hver faktor kan godt bestå af flere led). Mantra Hvis du går i stå i en opgave, så prøv at faktoriser! Slide 19/36
sfaktorisering Eksempel Lad forsøge at finde alle positive heltalsløsninger i ligningen x y + y = 11 vi kan ikke umiddelbart løse ligningen, fordi der er mere end en variabel. Men venstresiden kan faktoriseres! y (x + 1) = 11 Så nu står der et tal gange et andet tal skal give 11. Men 11 er et primtal, så de eneste produkter der kan give 11 er 1 11 og 11 1. Der er altså to muligheder for at løse ligningen. Enten har vi y = 11 Eller også har vi x + 1 = 1 x = 0 x + 1 = 11 x = 10 y = 1 Der er altså to mulige heltalsløsninger af ligningen. Slide 20/36
sfaktorisering Kvadratsætninger 1. kvadratsætning: a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 Slide 21/36
sfaktorisering Kvadratsætninger 1. kvadratsætning: 2. kvadratsætning: a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 a 2 + b 2 2ab = (a b) 2 Slide 21/36
sfaktorisering Kvadratsætninger 1. kvadratsætning: 2. kvadratsætning: 3. kvadratsætning: a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 a 2 + b 2 2ab = (a b) 2 a 2 b 2 = (a b)(a + b) Slide 21/36
sfaktorisering Eksempel Lad os betragte ligningen x 2 + 9 + 6x = 0 Ligningen er et eksempel på en andengradsligning, men den ved vi ikke, hvordan vi skal løse! Men lad os bruge 1. kvadratsætning, på den måde kan vi omskrive til: x 2 + 9 + 6x = (x + 3) 2 = 0 så vi skal have et tal, som gang med sig selv giver 0. Det eneste tal, der opfylder dette er 0. Det må altså gælde at indmaden i parentesen skal være 0: Eneste løsning til ligningen er altså x = 3. x + 3 = 0 x = 3 Slide 22/36
sfaktorisering Eksempel Lad n og m være positive heltal, og lad os prøve at finde alle de positive heltallige løsninger til ligningen 4m 2 n 2 = 7 Ved at bruge 3. kvadratsætning kan vi omskrive venstresiden (2m n) (2m + n) = 7 og 7 er et primtal, så vi ved at de eneste produkter, der giver 7 er 1 7 og 7 1. Da 2m n < 2m + n er eneste mulighed 2m + n = 7 2m n = 1 Hvis man løser ligningssystemet finder man, at n = 3 og m = 2. Slide 23/36
sfaktorisering Eksempel Lad os prøve at finde alle de heltallige løsninger til ligningen Vi ser først, at man kan omskrive til Men så kan vi jo bruge 3. kvadratsætning a 2 + 17 = b 2 17 = b 2 a 2 17 = b 2 a 2 = (b + a) (b a) Vi ser nu, at 17 er et primtal. Det må altså gælde at som har løsningen a = 8 og b = 9 eller b + a = 17 og b a = 1 b + a = 1 og b a = 17 som har løsningen a = 8 og b = 9. Der er to løsninger mere. For vi skal huske, at to negative tal ganget sammen fås et positivt tal. Derfor gælder de to løsninger også med omvendt fortegn. Den samlede løsning er altså (a, b) = (±8, ±9). Slide 24/36
sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 25/36
sfaktorisering Det kan være meget bekvemt at kunne tælle antallet af divisorer i et tal uden nødvendigvis at finde dem alle sammen. Hvis et tal fx har 7 primfaktorer har det jo frygtelig mange divisorer, og det ville tage meget lang tid at finde dem alle sammen og derefter tælle dem. Eksempel Lad os betragte tallet 60 og bestemme antallet af positive divisorer. Først finder vi primtalsfaktoriseringen af 60 60 = 2 2 3 5 = 2 2 3 5 Hvis vi gerne vil finde divisorerne i 60, skal vi kombinere primtalsfaktorene i produkter. Først finder vi de divisorer, der består af et enkelt primtal 1, 2, 3, 5 Dernæst finder vi de divisorer, der består af to primtalsfaktorer 2 2, 2 3, 2 5, 3 5 Nu finder vi de divisorer, der består af tre primtalsfaktorer 2 2 3, 2 2 5, 2 3 5 Og til sidst de divisorer, der består af fire primtalsfaktorer 2 2 3 5 Slide 26/36
sfaktorisering Men hvad var det egentlig, der skete i eksemplet? Alle divisorerne kunne skrives på formen 2 a 3 b 5 c Hvor a = 0, 1, 2, b = 0, 1 og c = 0, 1. Når der skal konstrueres et en divisor har skal vi altså beslutte hvilke værdier, vi vil sætte a, b og c til. Vi har tre muligheder fo a, to muligheder for b og ligeledes to muligheder for c. Hvor mange forskellige måde kan vi kombinere dem på? det må være 3 2 2 = 12 Hvilket er præcis det antal positive divisorer vi fandt! Er det så nødvendigt at finde alle divisorer og tælle hver gang? Slide 27/36
sfaktorisering Sætning 5 () Lad n være et positivt heltal større end en med primtalsfaktoriseringen n = p α 1 1 pα 2 2 pα 3 3 pαm m hvor p i erne er forskellige primtal. Så har n forskellige positive divisorer. (1 + α 1 ) (1 + α 2 ) (1 + α 3 ) (1 + α m ) Slide 28/36
sfaktorisering Sætning 5 () Lad n være et positivt heltal større end en med primtalsfaktoriseringen n = p α 1 1 pα 2 2 pα 3 3 pαm m hvor p i erne er forskellige primtal. Så har n forskellige positive divisorer. (1 + α 1 ) (1 + α 2 ) (1 + α 3 ) (1 + α m ) Bevis Lad n være et positivt heltal med primtalsfaktoriseringen n = p α 1 1 pα 2 2 pα 3 3 pαm m Som følge af entydigheden af primtalsfaktoriseringen af et heltal, må enhver divisor i n være på formen n = p β 1 1 pβ 2 2 pβ 3 3 pβm m Hvor 0 β i α i. Ifølge multiplikationsprincippet (eller tælletræer) har n dermed i alt forskellige positive divisorer. (1 + α 1 ) (1 + α 2 ) (1 + α 3 ) (1 + α m ) Slide 28/36
sfaktorisering Eksempel Betragt tallet 300, som har primtalsfaktoriseringen Ifølge sætning 5 er der divisorer i 300 100 = 2 2 5 2 3 (1 + 2) (1 + 2) (1 + 1) = 3 3 2 = 18 Slide 29/36
sfaktorisering Indhold 1 2 sfaktorisering 3 4 5 Slide 30/36
sfaktorisering Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d n og d m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Slide 31/36
sfaktorisering Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d n og d m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Bestem den største fælles divisor i følgende tilfælde a) gcd(12, 18) = b) gcd(15, 25) = c) gcd(38, 14) = d) gcd(48, 224) = e) gcd(56, 24) = f) gcd(18564, 2604) = Slide 31/36
sfaktorisering Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d n og d m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Bestem den største fælles divisor i følgende tilfælde a) gcd(12, 18) = 6 b) gcd(15, 25) = 5 c) gcd(38, 14) = 2 d) gcd(48, 224) =16 e) gcd(56, 24) = 8 f) gcd(18564, 2604) = gcd(2 2 3 7 13 17, 2 2 3 7 31) = 84 Slide 31/36
sfaktorisering Definition 7 Den største fælles divisor mellem to hele tal m og n er den største divisor d, hvorom der gælder at d n og d m. Den største fælles divisor skrives som gcd(n, m) (Greatest Common Divisor) Bestem den største fælles divisor i følgende tilfælde a) gcd(12, 18) = 6 b) gcd(15, 25) = 5 c) gcd(38, 14) = 2 d) gcd(48, 224) =16 e) gcd(56, 24) = 8 f) gcd(18564, 2604) = gcd(2 2 3 7 13 17, 2 2 3 7 31) = 84 For store tal tager det tid at bestemme primtalsfaktoriseringen!. Slide 31/36
Eukilds algoritme Sætning 6 (Egenskab for største fælles divisor) Lad n, m og q være hele tal. Da er gcd(n, m) = gcd(m, n qm) sfaktorisering Slide 32/36
Eukilds algoritme Sætning 6 (Egenskab for største fælles divisor) Lad n, m og q være hele tal. Da er gcd(n, m) = gcd(m, n qm) sfaktorisering Bevis Lad d 1 være en vilkårlig fælles divisor i n og m. Det betyder at d 1 m og d 1 n. Lad q være et helt tal. Da må det også gælde, at d 1 qm. Ifølge sætning 1 del 2 gælder det da, at d 1 n qm Det betyder at alle fælles divisorer i n og m også er fælles divisorer i m og n qm. Lad nu d 2 være en vilkårlig fælles divisor i m og n qm. Vi har altså at d 2 m og d 2 n qm. Da må det også gælde, at d 2 qm. Ifølge sætning 1 del 2 gælder det da, at d 2 (n qm) + qm d 2 n Det betyder at alle fælles divisorer i m og n qm også er fælles divisorer i m og n. Heraf slutter vi at m og n har nøjagtig de samme fælles divisorer som m og n qm. Dermed har de også samme største fælles divisor. Slide 32/36
Eukilds algoritme Division med rest: Lad n, m Z +. Da findes q, r Z +, så n = q m + r, 0 r < m sfaktorisering Slide 33/36
Eukilds algoritme Division med rest: Lad n, m Z +. Da findes q, r Z +, så n = q m + r, 0 r < m sfaktorisering Eksempel: Lad os udføre division med rest på 38 og 3. Vi får dvs. vi får kvotient q = 12 og rest r = 2. 38 = 12 3 + 2, 0 2 < 3 Slide 33/36
sfaktorisering Eukilds algoritme Lad n, m Z +, da kan benyttes til at bestemme gcd(n, m). n = q 1 m + r 1, 0 r 1 < m m = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 r 3 < r 2. r k 2 = q k r k 1 + r k, r k 1 = q k+1 r k + 0, 0 r k < r k 1 Slide 34/36
sfaktorisering Eukilds algoritme Lad n, m Z +, da kan benyttes til at bestemme gcd(n, m). n = q 1 m + r 1, 0 r 1 < m m = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 r 3 < r 2. r k 2 = q k r k 1 + r k, r k 1 = q k+1 r k + 0, Ifølge sætning 6 gælder at: gcd(n, m) = gcd(m, n q 1 m) = gcd(m, r 1 ) gcd(m, r 1 ) = gcd(r 1, m q 2 r 1 ) = gcd(r 1, r 2 ) gcd(r 1, r 2 ) = gcd(r 2, r 1 q 2 r 2 ) = gcd(r 2, r 3 ) 0 r k < r k 1 Slide 34/36
sfaktorisering Eukilds algoritme Lad n, m Z +, da kan benyttes til at bestemme gcd(n, m). n = q 1 m + r 1, 0 r 1 < m m = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1 r 1 = q 3 r 2 + r 3, 0 r 3 < r 2. r k 2 = q k r k 1 + r k, r k 1 = q k+1 r k + 0, Ifølge sætning 6 gælder at: gcd(n, m) = gcd(m, n q 1 m) = gcd(m, r 1 ) gcd(m, r 1 ) = gcd(r 1, m q 2 r 1 ) = gcd(r 1, r 2 ) gcd(r 1, r 2 ) = gcd(r 2, r 1 q 2 r 2 ) = gcd(r 2, r 3 ) 0 r k < r k 1 Altså gælder det at: gcd(n, m) = gcd(m, r 1 ) = gcd(r 1, r 2 ) = = gcd(r k, 0) = r k Slide 34/36
sfaktorisering Eukilds algoritme Lad n, m Z +, da kan benyttes til at bestemme gcd(n, m). n = q 1 m + r 1, 0 r 1 < m m = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1. r k 2 = q k r k 1 + r k, r k 1 = q k+1 r k + 0, 0 r k < r k 1 Eksempel: Sæt n = 18564 og m = 2604. Vi anvender på n og m 18564 = 7 2604 + 336, 0 336 < 2604 2604 = 7 336 + 252, 0 252 < 336 336 = 1 252 + 84, 0 84 < 252 252 = 3 84 Slide 35/36
sfaktorisering Eukilds algoritme Lad n, m Z +, da kan benyttes til at bestemme gcd(n, m). n = q 1 m + r 1, 0 r 1 < m m = q 2 r 1 + r 2, 0 r 2 < r 1. r k 2 = q k r k 1 + r k, r k 1 = q k+1 r k + 0, 0 r k < r k 1 Eksempel: Sæt n = 18564 og m = 2604. Vi anvender på n og m 18564 = 7 2604 + 336, 0 336 < 2604 2604 = 7 336 + 252, 0 252 < 336 336 = 1 252 + 84, 0 84 < 252 252 = 3 84 Den største fælles divisor i n og m er altså 84. Slide 35/36
sfaktorisering Eukilds algoritme Eksempel Vis at brøken er uforkortelig for alle n N n 3 + 1 n 4 + n + 1 Slide 36/36
sfaktorisering Eukilds algoritme Eksempel Vis at brøken er uforkortelig for alle n N Det skal altså vises at n 3 + 1 n 4 + n + 1 gcd(n 3 + 1, n 4 + n + 1) = 1 gcd(n 3 + 1, n 4 + n + 1) = gcd(n 3 + 1, n 4 + n + 1 n(n 3 + 1)) = gcd(n 3 + 1, n 4 + n + 1 n 4 n) = gcd(n 3 + 1, 1) = 1 Slide 36/36