User s guide til cosinus og sinusrelationen Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis ikke er den nyeste tilgængelige.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Tilstrækkelig information 2 3 Værktøj 4 4 Eksempler 7 4.1 Tre kendte sider..................... 7 4.2 To sider og en mellemliggende vinkel......... 9 4.3 To vinkler og en side.................. 11 4.4 Cosinusrelationen eller sinusrelationen?........ 14 4.5 Næsten tilstrækkelig information.......... 17
Resumé I dette dokument giver vi eksempler på hvordan cosinusog sinusrelationerne kan bruges til at løse problemer vedrørende trekanter som ikke er retvinklede. 1 Introduktion I en retvinklet trekant, kan man bestemme alle sidelængderne og vinklerne hvis men kender enten to af sidelængderne (med information om hvorvidt disse er kateter eller hypotenuse i trekanten) eller en sidelængde og en af de ikke-rette vinkler (med information om hvor siden og vinklen ligger i forhold til hinanden). Når trekanten ikke er retvinklet, bliver historien lidt mere kompliceret. For det første er der ikke noget der hedder kateter og hypotenuse længere. Derfor gælder Pythagoras sætning og vores resultater om sinus, cosinus og tangens til vinklerne i en retvinklet trekant ikke! I stedet har vi to andre stykker værktøj, nemlig cosinusrelationen og sinusrelationen. Forudsætninger: Det er en god ide at kende cosinusrelationen 1 og sinusrelationen 2 i forvejen, for eksempel ved at have læst (og forstået) et bevis for dem. Desuden bør du have prøvet at løse problemer med retvinklede trekanter inden du kaster dig ud i de generelle tilfælde 3. Sidst, men allervigtigst, skal du have træning i at løse ligninger, fordi alle eksemplerne havner i at man skal isolere en ukendt størrelse i en ligning 4. 1 Læs et bevis for cosinusrelationen her 2 Læs et bevis for sinusrelationen her 3 Læs om problemløsning i retvinklede trekanter her 4 Læs om simple ligninger her og om andengradsligninger her side 1
2 Tilstrækkelig information Vi starter med at minde om hvor meget man skal vide om en trekant før man kan beregne alle sidelængder og vinkler i trekanten. Det er altid en god ide at sikre sig at man har nok informationer inden man går i gang med at beregne noget som helst. Ellers ender man som regel med at sidde fast eller køre i cirkler. Hvis man har tilstrækkelig information om en trekant til at alle de resterende sidelængder og vinkler kan beregnes, så siger man med et fint udtryk at trekanten er fastlagt op til kongruens. Det forklarer navnet på den følgende sætning 5. Sætning 1 (Kongruenssætningen) En trekant er fastlagt op til kongruens hvis man har et af følgende sæt af oplysninger om den: 1. Længden af alle tre sider. 2. Længden at to af siderne og den vinkel som ligger mellem disse sider. 3. Længden af en side og to af vinklerne med oplysning om hvor disse vinkler ligger i forhold til siden. Det er næsten endnu vigtigere at huske hvilke oplysninger der ikke er tilstrækkelige til at fastlægge en trekant. Det er ret nemt at indse at det ikke er nok at kende de tre vinkler. To trekanter kan jo sagtens være ensvinklede uden at være lige store. 5 Kongruens betyder flytninger, rotationer og spejlinger. Så når man siger op til kongruens så er det fordi man selvfølgelig godt kan tegne to forskellige trekanter med præcis de samme sidelængder og vinkler. Men disse trekanter vil altid være flytninger, rotationer og/eller spejlinger af hinanden. side 2
Det er til gengæld sværere at indse hvorfor man ikke altid kan klare sig med to sider og en vinkel (se mulighed (2) i sætning 1). Det kan du se i eksempel 6. Her vil vi lige vise hvorfor mulighed (3) i sætning 1 kræver at man ved hvor de givne vinkler ligger i forhold til siden. Eksempel 1 Hvis man f.eks. kun får at vide at en trekant har en side med længde 5, og at to af dens vinkler er henholdsvis 21 og 32, så kan man ikke vide hvilken af de tre trekanter på figur 1 der er tale om. Figur 1: De tre forskellige trekanter i eksempel 1. 5 32 o 21 o 32 o 5 21 o 32 o 21 o 5 side 3
3 Værktøj Vi får brug for følgende sætninger i eksemplerne: Sætning 2 I enhver trekant er summen af de tre vinkler lig med 180. Sætning 3 (Cosinusrelationen) I en trekant med sidelængder a, b og c, og hvor C er vinklen som står over for siden med længde c (se figur 2) gælder: a 2 + b 2 = c 2 + 2 a b cos(c) Figur 2: Navngivning af sider og vinkler i sætning 3. c a b C Når man skal bruge cosinusrelationen er det vigtigt at man kan formulere den uden brug af bogstaver. Man kan sige den på sloganform som at: (Peg på tegningen ovenover mens du læser!) side 4
I en trekant er: Den ene side i anden plus den anden side i anden lig med den tredje side i anden PLUS to gange den første side gange den anden side gange cosinus til vinklen mellem disse sider. Sætning 4 (Sinusrelationen) I en trekant med sidelængder a, b og c og vinkler A, B og C, placeret som vist på figur 3, gælder: sin(a) a = sin(b) b = sin(c) c Figur 3: Navngivning af sider og vinkler i sætning 4. B c a A b C Lige som med cosinusrelationen er det vigtigt at man kan formulere sinusrelationen uden brug af bogstaver. Man kan sige den på sloganform som at: side 5
I en trekant er sinus til en vinkel, divideret med længden af den modstående side det samme for alle tre vinkler side 6
4 Eksempler 4.1 Tre kendte sider Eksempel 2 I en trekant med navngivne sidelængder og vinkler som på figuren nedenfor, har vi oplyst: a = 4 b = 2 c = 3 og vi vil gerne bestemme alle vinklerne. Eftersom de givne oplysninger fastlægger trekanten op til kongruens er vi sikre på at det kan lade sig gøre. A c=3 b=2 B a=4 C Bestemmelse af C: Idet vi leder efter en sammenhæng mellem kendte og ukendte størrelser, falder vi straks over cosinusrelationen: a 2 + b 2 = c 2 + 2ab cos(c) a 2 + b 2 c 2 = 2ab cos(c) side 7
a 2 + b 2 c 2 2ab = cos(c) ( a C = cos 1 2 + b 2 c 2 ) 2ab Vi indsætter de kendte størrelser, og har dermed: ( 4 C = cos 1 2 + 2 2 3 2 ) 46,57 2 4 2 Bestemmelse af B: Igen leder vi efter sammenhænge mellem kendte og ukendte størrelser. Denne gang kunne vi godt bruge sinusrelationen, idet vi nu kender vinkel C: sin(b) b = sin(c) c Men vi vælger i stedet at bruge cosinusrelationen en gang til. (Prøv meget gerne at fortsætte med sinusrelationen og se at det giver samme resultat, men se derefter eksempel 5 hvis du vil se hvorfor cosinusrelationen generelt er bedre til at bestemme vinkler). Det er lidt sværere at bruge cosinusrelationen denne gang, fordi der er byttet rundt på bogstavnavnene. (Det er derfor man skal lære at formulere den uden brug af bogstaver.) Hvis man ønsker at involvere vinkel B, så spiller a og c rollen som de to første sider mens b spiller rollen som den tredje side. Derfor ser cosinusrelationen sådan her ud: a 2 + c 2 = b 2 + 2ac cos(b) a 2 + c 2 b 2 = 2ac cos(b) a 2 + c 2 b 2 = cos(b) 2ac side 8
( a B = cos 1 2 + c 2 b 2 ) 2ac Vi indsætter de kendte størrelser, og har dermed: ( 4 B = cos 1 2 + 3 2 2 2 ) 28,96 2 4 3 Bestemmelse af vinkel A: Den sidste vinkel kan nemt bestemmes, idet sætning 2 siger at: A + B + C = 180 A = 180 B C 180 28,96 46,57 = 104,47 4.2 To sider og en mellemliggende vinkel Dette tilfælde minder meget om eksempel 2, fordi cosinusrelationen igen kan klare alting for os. Derfor vil vi være lidt mere kortfattede denne gang. Vi begynder også at bruge lidt mere eksotiske navne til sidelængderne og vinklerne. Eksempel 3 I trekanten på tegningen nedenfor kender vi sidelængderne: g = 7 k = 10 og den mellemliggende vinkel: D = 17 side 9
M k=10 a D=17 o g=7 N Bestemmelse af sidelængden a: Cosinusrelationen giver os en sammenhæng mellem kendte og ukendte størrelser: g 2 + k 2 = a 2 + 2gk cos(d) a 2 = g 2 + k 2 2gk cos(d) a = g 2 + k 2 2gk cos(d) (Bemærk at vi kan glemme den negative løsning, fordi a er en sidelængde i en trekant.) Idet vi indsætter de kendte størrelser, får vi: a = 7 2 + 10 2 2 7 10 cos(17 ) 3,89 Bestemmelse af vinklerne De sidste to vinkler kan nu bestemmes på præcis samme måde som i eksempel 2. Første bruger vi en cosinusrelation til at bestemme vinkel N: N = cos 1 ( a 2 + g 2 k 2 2ag a 2 + g 2 = k 2 + 2ag cos(n) ) ( 3,89 cos 1 2 + 7 2 10 2 ) 131,2 2 3,89 7 side 10
Og til sidst bruges sætning 2 til at bestemme vinkel M: M + N + D = 180 M = 180 D N 180 17 131,2 = 31,8 Her kommer lige en opgave for at sikre at du har styr på cosinusrelationen: Øvelse 1 Tegn en trekant, hvor du på forhånd har bestemt hvor stor den ene vinkel skal være og hvor lange de to sider som udgår fra denne vinkel skal være. (Bemærk at dette fastlægger trekanten op til kongruens.) Prøv nu at beregne længden af den sidste side i trekanten og størrelsen af de to sidste vinkler. Gå frem på følgende måde: 1. Brug cosinusrelationen til at finde den sidste side. 2. Brug cosinusrelationen til at finde en af de andre vinkler. 3. Beregn den sidste vinkel. 4.3 To vinkler og en side Denne gang kan vi ikke bruge cosinusrelationen fra starten, fordi den altid involverer alle tre sider. Og eftersom vi kun kender en enkelt sidelængde vil dette give en ligning med (mindst) to ukendte størrelser. Heldigvis kommer sinusrelationen til undsætning i præcis denne situation. side 11
Eksempel 4 I en trekant med navngivne sidelængder og vinkler som vist på figuren nedenfor, har vi oplyst: a = 5 B = 44 C = 64 og vi vil gerne bestemme de to andre sidelængder. Eftersom de givne oplysninger fastlægger trekanten op til kongruens (det fremgår nemlig af tegningen hvor den givne side ligger i forhold til de to vinkler) er vi sikre på at dette kan lade sig gøre. A c b B=44 o a=5 C=64 o Vi kan lynhurtigt beregne den sidste vinkel, idet: A + B + C = 180 A = 180 B C = 180 44 64 = 72 side 12
Vi påkalder nu sinusrelationen. Hvis vi starter med at bestemme sidelængden b, så er den relevante sammenhæng mellem kendte og ukendte størrelser (husk at A nu er kendt): sin(a) a b sin(a) a b = sin(b) = sin(b) b = sin(b) a sin(a) Idet vi indsætter de kendte størrelser får vi: b = sin(44 ) 5 sin(72 ) 3,65 På præcis samme måde kan c bestemmes. Her er den relevante sammenhæng enten: sin(a) a = sin(c) c eller: sin(b) = sin(c) b c Vi kunne endda også bruge cosinusrelationen, idet der nu er to kendte sidelængder. Uanset hvilken sammenhæng vi starter med, ender vi med samme resultat, nemlig (Prøv selv!) c 4,73 side 13
4.4 Cosinusrelationen eller sinusrelationen? Vi har tidligere antydet (se eksempel 2) at cosinusrelationen er bedre end sinusrelationen i de tilfælde hvor begge dele kan bruges. Det kan man skrive en lang historie om grunden til 6, men her vil vi blot give et enkelt eksempel hvor det kan gå galt med sinusrelationen. Eksempel 5 I en trekant med navngivne sidelængder og vinkler som vist på figuren nedenfor, har vi oplyst sidelængderne: a = 6 og vinklen: b = 8 c = 3 C = 18,57335 A c B b a C Lige som tidligere har vi tilstrækkelige (endda rigelige!) informationer til at trekanten er fastlagt 7. Derfor bør vi kunne beregne de sidste to vinkler uden problemer. 6 Det skyldes at cosinus er en injektiv funktion på hele intervallet [0 ; 180 ] Eller mere korrekt: på intervallet [0; π]. Det er sinus ikke! Du kan læse mere om injektivitet og konstruktionen af de inverse trigonometriske funktioner her. side 14
Hvis vi nu vil bestemme vinkel B, så er både cosinusrelationen og sinusrelationen fristende at tage frem. Vi prøver med sinusrelationen: sin(b) = b sin(c) c sin(b) b = sin(c) c = 8 sin(18,57335 ) 3 B = sin 1 (0,84938) 58,14 0,84938 Det fremgår meget tydeligt af tegningen at dette er forkert! Hvis vi derimod kaster os over cosinusrelationen (idet vi involverer vinkel B) så siger den: a 2 + c 2 = b 2 + 2ac cos(b) cos(b) = a2 + c 2 b 2 2ac 0,5278 ( a B = cos 1 2 + c 2 b 2 ) cos 1 ( 0,5278) 121,86 2ac Forklaring Hvorfor gik den første udregning i eksempel 5 egentlig galt? Bemærk at der absolut intet er forkert ved sinusrelationen! Fejlen opstod altså ikke fordi sinusrelationen sagde noget forkert, eller fordi vi brugte den forkert. Der er heller nogen regnefejl eller problemer med at lommeregneren har stået i radianer. Fejlen ligger i den side 15
allersidste konklusion, markeret med rødt. Problemet er nemlig at der findes to vinkler mellem 0 og 180 som opfylder at sinus til den giver 0,84938! Nemlig vinklen: og vinklen: 58,14 180 58,14457 = 121,86 (Se figur 4) Den inverse sinus finder kun en af disse mulige løsninger, og det er i dette tilfælde desværre den forkerte. Figur 4: To forskellige vinkler med samme sinusværdi. 1 180 o -x -1 0 1 x -1 Problemet er omtrent det samme som når man løser ligningen ved at konkludere at x 2 = 16 x = 16 = 4 Her finder kvadratroden kun en af de mulige løsninger (nemlig den positive), og så skal man selv huske at det findes en mulighed mere (nemlig x = 4). side 16
Eftersom cosinus ikke har det samme problem (der findes ikke to vinkler mellem 0 og 180 som har samme værdi af cosinus), begår vi aldrig denne fejl når vi bruger cosinusrelationen (og den inverse cosinus) til at bestemme vinkler i trekanter med. En ekstra bemærkning om informationer Man kan også tolke de to udregninger i eksempel 5 på en anden måde: I begge tilfælde smider vi nemlig en af de givne informationer væk. Idet vi bruger sinusrelationen får vi slet ikke brug for sidelængden a. Dermed benytter vi altså kun information om to sidelængder og en vinkel som ikke ligger mellem de to sider! Hvis man kigger på sætning 1 kan man se at disse tre informationer slet ikke fastlægger trekanten, og dermed er det igen ret naturligt at udregningen kan gå galt. Omvendt: Idet vi bruger cosinusrelationen får vi ikke brug for vinklen C. I dette tilfælde benytter vi altså kun informationen om de tre sidelængder. Men denne information er til gengæld tilstrækkelig ifølge sætning 1, så derfor er det meget naturligt at fremgangsmåden her leder til det rigtige resultat. 4.5 Næsten tilstrækkelig information Vi slutter med et avanceret eksempel hvor de givne informationer ikke fastlægger trekanten. I eksempel 5 så vi hvordan sinusrelationen gav to mulige løsninger, hvoraf kun den ene var rigtig. Mens cosinusrelationen kun gav den rigtige løsning. Denne gang oplever vi at begge fremgangsmåder giver to mulige løsninger. Og det viser sig at være fordi begge løsningerne er rigtige! Derfor er dette et godt skræmmeeksempel for dem som nogle gange glemmer at en ligning kan have flere løsninger. side 17
Eksempel 6 Vi bygger dette eksempel ud fra en lille historie fra virkeligheden: Anne og Bente (to piger med temmelig excentrisk opførsel) har præcis lige lange ben, og derfor tager de præcis lige lange skridt. For at fejre dette stiller de sig begge henne ved flagstangen, som befinder sig i punktet F. Efter at have hejst flaget siger Bente til Anne: Jeg stiller mig lige 20 skridt væk og kigger på flaget. Fint nok, siger Anne. Jeg vil stille mig 100 skridt væk og kigge på flaget. Derefter går Anne og Bente i to forskellige retninger. Anne går 100 skridt, og Bente går 20 skridt. De stiller sig begge op og kigger på flaget, og pludselig råber Anne: Hey, Bente! Bliv lige stående. Jeg vil beregne hvor lang afstanden imellem os er. Helt uden at flytte mig! Anne flår sin vinkelmåler frem af tasken og måler vinklen mellem flagstangen og Bente, set derfra hvor hun står. Den viser sig at være: A = 10 Derefter laver hun en hurtig skitse af situationen: m=20 F B x n=100 A=10 o side 18
De kendte størrelser i den fremkomne trekant er altså en vinkel: A = 10 og to sidelængder: m = 20 n = 100 Pokkers også, udbryder Anne, idet hun indser at trekanten ikke er fastlagt af de forhåndenværende oplysninger. Den kendte vinkel ligger jo ikke mellem de to kendte sider! Første forsøg Alligevel giver hun sig til at regne. Hvis det er afstanden x hen til Bente der skal bestemmes, er det jo fristende at opskrive en cosinusrelation som involverer den kendte vinkel: x 2 + n 2 = m 2 + 2nx cos(a) Det tyder godt! Her er en ligning, hvor x er den eneste ukendte størrelse. Hun indsætter de kendte størrelser: x 2 + 10000 = 400 + 2 100 x cos(10 ) og omskriver med lidt hjælp fra lommeregneren: x 2 + 9600 = 196,96 x x 2 196,96 x + 9600 = 0 Men det er jo en andengradsligning! Anne er heldigvis ekspert i at løse andengradsligninger, så hun udregner hurtigt diskriminanten: d = ( 196,96) 2 4 1 9600 393,85 side 19
Derfor har andengradsligningen to løsninger, nemlig: og: x 1 = ( 196,96) + 393,85 2 1 x 2 = ( 196,96) 393,85 2 1 108,4 88,6 Andet forsøg Øv, også! siger Anne. Jeg tænkte det nok. Der er to løsninger, og jeg kan ikke finde ud af hvilken en der er den rigtige. Men Anne giver ikke op så let. I stedet for at beregne x, kunne hun prøve at beregne vinklen B. Jeg kunne bruge en sinusrelation! udbryder hun. Vinkel B er jo den eneste ukendte i denne sammenhæng her: sin(b) n Hun indsætter kendte størrelser: Dvs. sin(b) 100 = sin(a) m = sin(10 ) 20 sin(b) = 100 sin(10 ) 0,868 20 Men Anne er bestemt ikke dum. Hun ved ganske godt at den slags ligninger har flere løsninger. Den ene løsning kan findes ved: B 1 = sin 1 (0,868) 60,25 Men der er også en anden løsning mellem 0 og 180, nemlig: B 2 = 180 60,25 = 119,75 side 20
Konklusionen Igen to muligheder, sukker Anne. Hvad er det for en underlig trekant? Hvis hun kigger på sin tegning, ser de 119,75 ud til at passe bedst. Hun skal lige til at smide den anden løsning ud da hun indser noget meget vigtigt. Uha! siger hun til sig selv. Det er jo kun fordi jeg har tegnet min skitse sådan. Der er i virkeligheden to måder at tegne de givne informationer på. Hun tilføjer to streger til sin tegning og sukker dybt: 20 B? F B? 20 x n=100 A=10 o Jeg finder aldrig ud af hvor langt der er mellem os. De informationer jeg har passer med to forskellige muligheder! råber hun til Bente. Øvelse 2 Nu får Bente også lyst til at prøve. Hun hiver sin egen vinkelmåler frem og måler vinklen mellem flagstangen og Anne. Den viser sig at være 60,25. (Bemærk: Det var også en af de muligheder Anne regnede sig frem til.) Efter 10 minutters ivrig skriblen og lidt tastning på lommeside 21
regneren råber Bente: Hahahaha! Du er da dum, Anne! Jeg kan sagtens beregne afstanden mellem os! Hvordan kan det være? Prøv at lave de samme beregninger set fra Bentes synsvinkel (se figur 5) og hold øje med hvad der sker med den anden løsning. Husk at Bente ikke kender vinkel A, og heller ikke resultaterne af Annes beregninger. Figur 5: Bentes arbejdstegning til brug i opgave 2 B=60,25 o m=20 F x n=100 A side 22