Slide 1/54
Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54
Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54
1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54
1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54
1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem 3) Hvad vil det sige at deducere? Slide 4/54
1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem 3) Hvad vil det sige at deducere? 4) Hvordan skal vi vælge vores aksiomer? Ikke-redundans, konsistens og komplethed. Slide 4/54
1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem 3) Hvad vil det sige at deducere? 4) Hvordan skal vi vælge vores aksiomer? Ikke-redundans, konsistens og komplethed. 5) Gõdels sætning Slide 4/54
Euklids Aksiomer 1) Mellem to punkter kan altid trækkes en ret linje. 2) Ethvert linjestykke kan forlænges til en vilkårligt lang ret linje. 3) Givet et vilkårligt linjestykke kan tegnes en cirkel, som har linjestykket som radius og centrum i et af endepunkterne. 4) Alle rette vinkler er ens. 5) Parallel postulatet: Hvis to linjer skærer en tredje linje, så summen at de to indre vinkler er mindre end to rette vinkler, da skærer de to linjer hinanden, hvis de forlænges nok. Slide 5/54
Zermelo-Fräenkels Aksiomer Definition: En mængde A er en samling af objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). Slide 6/54
Zermelo-Fräenkels Aksiomer Definition: En mængde A er en samling af objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). Russells paradoks: I en by bor der en barber, som kun barberer alle dem, som ikke barberer sig selv. Men hvem barberer barbereren? Slide 6/54
Zermelo-Fräenkels Aksiomer Definition: En mængde A er en samling af objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). Russells paradoks: I en by bor der en barber, som kun barberer alle dem, som ikke barberer sig selv. Men hvem barberer barbereren? Zermelo-Fräenkels aksiomer 1) Der eksisterer en mængde, hvori ingen elementer er medlem. 2) For ethvert par af mængder findes der en mængde bestående af netop alle elementer fra de to første mængder. 3)... 4) I enhver ikke-tom mængde A, der findes et element a A, som ikke har elementer tilfælles med A. Slide 6/54
Definition Afgrænsning og beskrivelse af et begreb. Slide 7/54
Definition Afgrænsning og beskrivelse af et begreb. Lemma Hjælperesultat. Bruges om et mindre resultat, som bruges i beviset for en et større resultat (en sætning). Sætning Et vigtigt resultat. Korollar Følgeresultat. Bruges om et resultat, der følger (næsten) direkte af en sætning eller er et vigtigt specialtilfælde af en sætning. Slide 7/54
Indhold 1 2 3 4 5 Slide 8/54
Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). Slide 9/54
Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). 1) Simple, endelige mængder: A = {a 1, a 2, a 3,..., a 10 }. Slide 9/54
Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). 1) Simple, endelige mængder: A = {a 1, a 2, a 3,..., a 10 }. 2) Simple, uendelige mængder: B = {b 1, b 2, b 3,... }. Slide 9/54
Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). 1) Simple, endelige mængder: A = {a 1, a 2, a 3,..., a 10 }. 2) Simple, uendelige mængder: B = {b 1, b 2, b 3,... }. 3) Talmængderne N, Z, Q, R. Slide 9/54
Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). 1) Simple, endelige mængder: A = {a 1, a 2, a 3,..., a 10 }. 2) Simple, uendelige mængder: B = {b 1, b 2, b 3,... }. 3) Talmængderne N, Z, Q, R. 4) med betingelser: X = {x R z R : x z = z} og Y = {x R n Z : 2n = x} Slide 9/54
Definition: En mængde A er en samling af veldefinerede objekter. Disse objekter kaldes elementer og vi skriver om et element a, som er indeholdt i A, at a A (læs: a tilhører A). 1) Simple, endelige mængder: A = {a 1, a 2, a 3,..., a 10 }. 2) Simple, uendelige mængder: B = {b 1, b 2, b 3,... }. 3) Talmængderne N, Z, Q, R. 4) med betingelser: 5) Intervaller: X = {x R z R : x z = z} og Y = {x R n Z : 2n = x} [a, b] = {x R a x b} [a, b) = {x R a x < b} [a, ) = {x R a x} (, b) = {x R x < b} Slide 9/54
Slide 10/54
Definition 1 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis x A x B Slide 10/54
Definition 1 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis x A x B Bemærkning 2 Der findes en mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Eksistensen af den tomme mængde er fastlagt af aksiomerne. Slide 10/54
Definition 1 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis x A x B Bemærkning 2 Der findes en mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Eksistensen af den tomme mængde er fastlagt af aksiomerne. Sætning 3 Der er kun én mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Slide 10/54
Definition 1 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis x A x B Bemærkning 2 Der findes en mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Eksistensen af den tomme mængde er fastlagt af aksiomerne. Sætning 3 Der er kun én mængde, der ikke indeholder nogen elementer. Definition 4 Den entydige mængde uden elementer kaldes den tomme mængde og betegnes med. Slide 10/54
Definition 5 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Slide 11/54
Definition 5 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Slide 11/54
Definition 5 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Bemærkning 6 Bemærk at det for enhver mængde A gælder at A A. Slide 11/54
Definition 5 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Bemærkning 6 Bemærk at det for enhver mængde A gælder at A A. Bemærkning 7 Hvis man skal vise, at en mængde A er en delmængde af en mængde B, gælder det om at vise, at ethvert element i A også er et element i B. Det gøres ved at undersøge et vilkårligt element i A og vise, at det også ligger i B. Derfor starter beviser af denne type med ordene Lad x A. Slide 11/54
Definition 5 En mængde A kaldes en delmængde af en mængde B, hvis alle elementer i A også ligger i B. I så fald siger vi at A er indeholdt i B og vi skriver A B eller B A. Med symboler har vi A B (x A x B) Bemærkning 6 Bemærk at det for enhver mængde A gælder at A A. Bemærkning 7 Hvis man skal vise, at en mængde A er en delmængde af en mængde B, gælder det om at vise, at ethvert element i A også er et element i B. Det gøres ved at undersøge et vilkårligt element i A og vise, at det også ligger i B. Derfor starter beviser af denne type med ordene Lad x A. Eksempel 8 Vis at {x R x 2 < 2} {x R x < 5} Slide 11/54
Sætning 9 Den tomme mængden er en delmængde af enhver mængde. Altså hvis A er en mængde, så gælder det A Slide 12/54
Sætning 9 Den tomme mængden er en delmængde af enhver mængde. Altså hvis A er en mængde, så gælder det A Sætning 10 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis og kun hvis (A B) (B A). Slide 12/54
Sætning 9 Den tomme mængden er en delmængde af enhver mængde. Altså hvis A er en mængde, så gælder det A Sætning 10 Lad A og B være mængder. Da er A = B hvis og kun hvis (A B) (B A). Bemærkning 11 Hvis man vil vise, at to mængder A og B er lig hinanden, er det ofte lettest at vise, at A B og B A. Slide 12/54
Fællesmængde Definition 14 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i B kaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Slide 13/54
Fællesmængde Definition 14 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i B kaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 15 Når man skal vise, at et element ligger i fællesmængden af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i begge mængder. Slide 13/54
Fællesmængde Definition 14 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i B kaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 15 Når man skal vise, at et element ligger i fællesmængden af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i begge mængder. Eksempel 16 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Slide 13/54
Fællesmængde Definition 14 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der ligger både i A og i B kaldes for fællesmængden for A og B. Fællesmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 15 Når man skal vise, at et element ligger i fællesmængden af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i begge mængder. Eksempel 16 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Bemærkning 17 Lad A og B være to mængder. Det følger direkte af definitionen af fællesmængden at A B A Slide 13/54
Foreningsmængde Definition 18 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der enten er i A eller i B kaldes for n af A og B. Foreningsmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Slide 14/54
Foreningsmængde Definition 18 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der enten er i A eller i B kaldes for n af A og B. Foreningsmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 19 Når man skal vise, at et element ligger i n af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i mindst en af de to mængder. Slide 14/54
Foreningsmængde Definition 18 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der enten er i A eller i B kaldes for n af A og B. Foreningsmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 19 Når man skal vise, at et element ligger i n af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i mindst en af de to mængder. Eksempel 20 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Slide 14/54
Foreningsmængde Definition 18 Lad A og B være to mængder. Mængden af de elementer, der enten er i A eller i B kaldes for n af A og B. Foreningsmængden betegnes A B. Med symboler har vi A B = {x (x A) (x B)} eller x A B (x A) (x B) Bemærkning 19 Når man skal vise, at et element ligger i n af to mængder, skal man altså vise, at elementet ligger i mindst en af de to mængder. Eksempel 20 Bestem {a, b, c, d, e, f, g} {d, e, f, g, h, i} Bemærkning 21 Lad A og B være to mængder. Det følger direkte af definitionen af fællesmængden at A B A Slide 14/54
Definition 24 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge. (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) a 1 = a 2 b 1 = b 2 Slide 15/54
Definition 24 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge. (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) a 1 = a 2 b 1 = b 2 Definition 25 Lad A og B være to mængder. Vi betragter da de ordnede par (a, b), hvor a A og b B. Mængden af sådanne par kaldes produktmængden af A og B og betegnes med A B. A B = {(a, b) (a A) (b B)} Slide 15/54
Definition 24 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge. (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) a 1 = a 2 b 1 = b 2 Definition 25 Lad A og B være to mængder. Vi betragter da de ordnede par (a, b), hvor a A og b B. Mængden af sådanne par kaldes produktmængden af A og B og betegnes med A B. A B = {(a, b) (a A) (b B)} Eksempel 26 Betragt mængderne A = {1, 2} og B = {a, b, c}. Bestem A B. Slide 15/54
Definition 24 Et ordnet par (a, b) er et par i en bestemt rækkefølge. Det betyder, at to ordnede par er lig hinanden, hvis og kun hvis de indeholder samme objekter i samme rækkefølge. (a 1, b 1 ) = (a 2, b 2 ) a 1 = a 2 b 1 = b 2 Definition 25 Lad A og B være to mængder. Vi betragter da de ordnede par (a, b), hvor a A og b B. Mængden af sådanne par kaldes produktmængden af A og B og betegnes med A B. A B = {(a, b) (a A) (b B)} Eksempel 26 Betragt mængderne A = {1, 2} og B = {a, b, c}. Bestem A B. Bemærkning 27 Hvis A = B skriv vi ofte A 2 i stedet for A B. Slide 15/54
Eksempel 28 Hvordan kan R illustreres? Hvad med R 2? R 3? R n? Slide 16/54
Eksempel 28 Hvordan kan R illustreres? Hvad med R 2? R 3? R n? Eksempel 29 Opskriv sandhedsmængden for (1, 2] [3, 4]. Illustrer herefter mængden i planen. Slide 16/54
Eksempel 28 Hvordan kan R illustreres? Hvad med R 2? R 3? R n? Eksempel 29 Opskriv sandhedsmængden for (1, 2] [3, 4]. Illustrer herefter mængden i planen. Definition 30 Lad A 1, A 2, A 3 osv. op til A n være n mængder. n mellem disse mængder er da givet ved A 1 A 2 A n = {(x 1, x 2,, x n ) x 1 A 1 x 2 A 2 x n A n } Slide 16/54
af mængder En familie er mængder er en samling af mængder, der er relateret til hinanden ved et indeks, der gennemløber en bestemt mængde. Ofte vil indeksmængden være N. Vi skal her betragte helt generelle familier med en vilkårlig indeksmængde, Λ. Slide 17/54
af mængder En familie er mængder er en samling af mængder, der er relateret til hinanden ved et indeks, der gennemløber en bestemt mængde. Ofte vil indeksmængden være N. Vi skal her betragte helt generelle familier med en vilkårlig indeksmængde, Λ. Eksempel 22 Betragt intervallerne I 1 = [0, 1] I 2 = [0, 1 2 ] I 3 = [0, 1 3 ] I n = [0, 1 n ] Disse intervaller udgør en familie af delmængder af R, hvor indeksmængden er N. Slide 17/54
af mængder En familie er mængder er en samling af mængder, der er relateret til hinanden ved et indeks, der gennemløber en bestemt mængde. Ofte vil indeksmængden være N. Vi skal her betragte helt generelle familier med en vilkårlig indeksmængde, Λ. Eksempel 22 Betragt intervallerne I 1 = [0, 1] I 2 = [0, 1 2 ] I 3 = [0, 1 3 ] I n = [0, 1 n ] Disse intervaller udgør en familie af delmængder af R, hvor indeksmængden er N. Definition 23 Lad Λ være en indeksmængde, så der til etvhert α Λ svarer en mængde A α, da siger vi at A α erne udgør en familie af mængder, og vi betegner familien med {A α } α Λ. Slide 17/54
af mængder Definition 32 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Fællesmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i samtlige mængder i familien. Slide 18/54
af mængder Definition 32 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Fællesmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i samtlige mængder i familien. Bemærkning 33 Ved at negere definitionen ovenfor ses at x A α α Λ : x A α α Λ Slide 18/54
af mængder Bemærkning 34 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Slide 19/54
af mængder Bemærkning 34 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Eksempel 35 Betragt familien af intervaller {I n } n N fra eksempel 22. Vis at I n = I n = [0, 1 n ] = {0} n N n=1 n=1 Slide 19/54
af mængder Definition 36 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Foreningsmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i mindst en af mængderne i familien. Slide 20/54
af mængder Definition 36 Lad {A α } α Λ være en familie af mængder. Foreningsmængden af alle familiens mængder betegnes med α Λ A α og defineres formelt som A α = {x α Λ : x A α } eller α Λ x A α α Λ : x A α α Λ Med andre ord α Λ A α, hvis x er indeholdt i mindst en af mængderne i familien. Bemærkning 37 Ved at negere definitionen ovenfor ses at x A α α Λ : x A α α Λ Slide 20/54
af mængder Bemærkning 38 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Slide 21/54
af mængder Bemærkning 38 Hvis indeksmængden er {1, 2, 3, 4,, m} skriver vi m n=1 A n Hvis indeksmængden er N skriver vi n=1 A n Eksempel 39 Betragt familien af intervaller {I n } n N, hvor I n = [0, 1 1 n ]. Vis at n=1 [0, 1 1 ] = [0, 1) n Slide 21/54
Symboler Symbol Forklaring Symbol Forklaring tilhører eksisterer hvorom det gælder : hvor og eller/og for alle uendelig den tomme mængde delmængde af fællesmængde Slide 22/54
Indhold 1 2 3 4 5 Slide 23/54
- Intuition En funktion f : A B sætter elementer fra mængden A i relation til elementer i B. Vi har dog ét krav: For ethvert a A skal være netop ét b B. Slide 24/54
- Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Slide 25/54
- Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Det gør vi med en forskrift! Slide 25/54
- Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Det gør vi med en forskrift! 1) A er en endelig mængde. Slide 25/54
- Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Det gør vi med en forskrift! 1) A er en endelig mængde. 2) f opfører sig ensartet for alle elementer i A. Slide 25/54
- Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Det gør vi med en forskrift! 1) A er en endelig mængde. 2) f opfører sig ensartet for alle elementer i A. 3) f opfører sig ensartet i delmængder af A. Slide 25/54
- Intuition For en funktion f : A B, hvordan beskriver vi, hvordan elementer i A skal stå i relation til elementer i B? Det gør vi med en forskrift! 1) A er en endelig mængde. 2) f opfører sig ensartet for alle elementer i A. 3) f opfører sig ensartet i delmængder af A. 4) f er ude af kontrol?!?!? Slide 25/54
- Stringent Definition: En relation R defineres som en ordnet tripel (X, Y, G), hvor G er en delmængde af X Y. ne X og Y kaldes henholdsvis domænet og codomænet hørende til relationen, mens G kaldes relationens graf. Slide 26/54
- Stringent Definition: En relation R defineres som en ordnet tripel (X, Y, G), hvor G er en delmængde af X Y. ne X og Y kaldes henholdsvis domænet og codomænet hørende til relationen, mens G kaldes relationens graf. Definition: En relation f = (X, Y, G) kaldes en funktion, hvis der for alle x X eksisterer netop ét y Y, så (x, y) G. Mere formelt 1) x X, y Y : (x, y) G. 2) x X, y 1, y 2 Y : (x, y 1 ) G (x, y 2 ) G y 1 = y 2. Den unikke værdi y for f i x noteres f(x). Vi noterer funktionen f : X Y. Slide 26/54
- Stringent Definition: En relation R defineres som en ordnet tripel (X, Y, G), hvor G er en delmængde af X Y. ne X og Y kaldes henholdsvis domænet og codomænet hørende til relationen, mens G kaldes relationens graf. Definition: En relation f = (X, Y, G) kaldes en funktion, hvis der for alle x X eksisterer netop ét y Y, så (x, y) G. Mere formelt 1) x X, y Y : (x, y) G. 2) x X, y 1, y 2 Y : (x, y 1 ) G (x, y 2 ) G y 1 = y 2. Den unikke værdi y for f i x noteres f(x). Vi noterer funktionen f : X Y. Eksempel Lad f : N R være givet ved forskriften f(x) = πx + 4. Da er f en relation, hvor X = N Y = R G = {(x, y) N R y = πx + 4} Slide 26/54
Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, a n 0 Slide 27/54
Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). Slide 27/54
Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Slide 27/54
Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium P 2 = ax 2 + bx + c, a 0 Slide 27/54
Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium P 2 = ax 2 + bx + c, a 0 - Fortegnet af a er afgørende for retningen af parablens grene. Slide 27/54
Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium P 2 = ax 2 + bx + c, a 0 - Fortegnet af a er afgørende for retningen af parablens grene. - Størrelsen af a (og b) har betydning for stejlheden af parablen. Slide 27/54
Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium P 2 = ax 2 + bx + c, a 0 - Fortegnet af a er afgørende for retningen af parablens grene. - Størrelsen af a (og b) har betydning for stejlheden af parablen. - Konstantleddet c angiver skærring med Y-aksen. Slide 27/54
Et polynomium P n : R R er en funktion på formen P n (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, a n 0 - Koefficienterne a 1, a 2,..., a n R. Vi kalder a n den ledende koefficient (BEMÆRK a n 0). - Vi siger, at n er polynomiets grad. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af koefficienterne i et 2. gradspolynomium P 2 = ax 2 + bx + c, a 0 - Fortegnet af a er afgørende for retningen af parablens grene. - Størrelsen af a (og b) har betydning for stejlheden af parablen. - Konstantleddet c angiver skærring med Y-aksen. - Men hvad så med b? Vi husker formlen for løsning af andengradsligninger, ax 2 + bx + c = 0, nemlig x = b ± b 2 4ac 2a Slide 27/54
Faktorisering af Andengradspolynomier Lemma: Lad r 1, r 2 være rødder for polynomiet P(x) = ax 2 + bx + c, a 0, altså P(r 1 ) = 0 og P(r 2 ) = 0 Da gælder r 1 + r 2 = b og r 1 r 2 = c a a Slide 28/54
Faktorisering af Andengradspolynomier Lemma: Lad r 1, r 2 være rødder for polynomiet P(x) = ax 2 + bx + c, a 0, altså P(r 1 ) = 0 og P(r 2 ) = 0 Da gælder r 1 + r 2 = b og r 1 r 2 = c a a Sætning: Lad P være et andengradspolynomium på formen P(x) = ax 2 + bx + c, a 0 Lad endvidere r 1, r 2 være rødder for P. Da gælder P(x) = a(x r 1 )(x r 2 ), a 0 Slide 28/54
Toppunkt for Andengradspolynomier Sætning: Lad P være et andengradspolynomium på formen Da har P sit toppunkt T i P(x) = ax 2 + bx + c, a 0 ( T = b ) 2a, b2 4ac 4a Slide 29/54
Opsummering og Opgaver Lad P : R R være givet ved forskriften P(x) = ax 2 + bx + c, a 0 Da har P følgende rødder r 1 = b + b 2 4ac 2a og r 2 = b b 2 4ac 2a Toppunktet for P er givet ved følgende formel ( T = b ) 2a, b2 4ac 4a P kan faktoriseres som P(x) = a(x r 1 )(x r 2 ) Slide 30/54
Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet Lad f : X Y være en funktion. Slide 31/54
Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet Lad f : X Y være en funktion. Injektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige tilhørende funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. Vi har altså, at f er injektiv, hvis x 1, x 2 X : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Til enhver værdi y Y er der altså HØJST én værdi x X, så f(x) = y. Slide 31/54
Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet Lad f : X Y være en funktion. Injektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige tilhørende funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. Vi har altså, at f er injektiv, hvis x 1, x 2 X : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Til enhver værdi y Y er der altså HØJST én værdi x X, så f(x) = y. Surjektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst ét x X, så f(x) = y. Vi har altså, at f er surjektiv, hvis y Y, x X : f(x) = y Til enhver værdi y Y er der altså MINDST én værdi x X, så f(x) = y. Slide 31/54
Injektivitet, surjektivitet og bijektivitet Lad f : X Y være en funktion. Injektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige tilhørende funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. Vi har altså, at f er injektiv, hvis x 1, x 2 X : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) Til enhver værdi y Y er der altså HØJST én værdi x X, så f(x) = y. Surjektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst ét x X, så f(x) = y. Vi har altså, at f er surjektiv, hvis y Y, x X : f(x) = y Til enhver værdi y Y er der altså MINDST én værdi x X, så f(x) = y. Bijektivitet: Vi siger, at en funktion f : X Y er bijektiv, hvis den både er injektiv og surjektiv. Vi har altså, at f er bijektiv, hvis y Y,!x X : f(x) = y Til enhver værdi y Y er der altså NETOP én værdi x X, så f(x) = y. Slide 31/54
Inverse funktioner Definition: Lad f : X Y og g : Y Z være to funktioner. Vi definerer da den sammensatte funktion g f : X Z ved x X : g f(x) = g(f(x)) Slide 32/54
Inverse funktioner Definition: Lad f : X Y og g : Y Z være to funktioner. Vi definerer da den sammensatte funktion g f : X Z ved x X : g f(x) = g(f(x)) Definition: Lad f : X Y være en funktion. Den inverse funktion til f betegnes f 1 : Y X og opfylder 1) x X : f 1 f(x) = x og 2) y Y : f f 1 (y) = y Slide 32/54
Inverse funktioner Definition: Lad f : X Y og g : Y Z være to funktioner. Vi definerer da den sammensatte funktion g f : X Z ved x X : g f(x) = g(f(x)) Definition: Lad f : X Y være en funktion. Den inverse funktion til f betegnes f 1 : Y X og opfylder 1) x X : f 1 f(x) = x og 2) y Y : f f 1 (y) = y Opgave Hvad skal der gælde om f, før vi med sikkerhed kan sige, at der findes en f 1, som opfylder både 1) og 2)? - Er 1) opfyldt, når f er injektiv? Er 2) opfyldt? - Er 1) opfyldt, når f er surjektiv? Er 2) opfyldt? - Hvornår er både 1) og 2) opfyldt? HUSK: f 1 : Y X er kun en funktion, hvis der for alle y Y findes NETOP ÉT x X, så f 1 (y) = x. Slide 32/54
Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner Slide 33/54
Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. Slide 33/54
Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. 2) En funktion f : X Y er veldefineret, hvis der for ethvert x X findes netop ét y Y. Slide 33/54
Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. 2) En funktion f : X Y er veldefineret, hvis der for ethvert x X findes netop ét y Y. 3) En funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. Slide 33/54
Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. 2) En funktion f : X Y er veldefineret, hvis der for ethvert x X findes netop ét y Y. 3) En funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. 4) En funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst et x X, så f(x) = y. Slide 33/54
Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. 2) En funktion f : X Y er veldefineret, hvis der for ethvert x X findes netop ét y Y. 3) En funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. 4) En funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst et x X, så f(x) = y. 5) En funktion f : X Y er bijektiv, hvis den er både injektiv og surjektiv. Slide 33/54
Opsummering og opgaver Vi opsummerer kort de vigtigste resultater om funktioner 1) En funktion f : X Y tager elementer fra X og flytter dem over i Y. 2) En funktion f : X Y er veldefineret, hvis der for ethvert x X findes netop ét y Y. 3) En funktion f : X Y er injektiv, hvis to forskellige elementer x 1, x 2 X har forskellige funktionsværdier f(x 1 ), f(x 2 ) Y. 4) En funktion f : X Y er surjektiv, hvis der for ethvert y Y findes mindst et x X, så f(x) = y. 5) En funktion f : X Y er bijektiv, hvis den er både injektiv og surjektiv. 6) En funktion f : X Y har en invers funktion f 1 : Y X, hvis og kun hvis f er bijektiv. Slide 33/54
Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. Slide 34/54
Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. Slide 34/54
Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Konstanten b angiver skæringspunktet med Y-aksen. Skæringspunktet er således (0, b). Slide 34/54
Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Konstanten b angiver skæringspunktet med Y-aksen. Skæringspunktet er således (0, b). af denne type har en lang række praktiske anvendelser, herunder Slide 34/54
Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Konstanten b angiver skæringspunktet med Y-aksen. Skæringspunktet er således (0, b). af denne type har en lang række praktiske anvendelser, herunder - Renteformlen givet ved K n = K 0 (1 + r) n hvor K n angiver antal kroner i banken efter n terminer, når man har sat K 0 kroner ind på en konto med rente r. Slide 34/54
Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Konstanten b angiver skæringspunktet med Y-aksen. Skæringspunktet er således (0, b). af denne type har en lang række praktiske anvendelser, herunder - Renteformlen givet ved K n = K 0 (1 + r) n hvor K n angiver antal kroner i banken efter n terminer, når man har sat K 0 kroner ind på en konto med rente r. - Stråling fra radioaktivt stof aftager (dvs. 0 < a < 1) eksponentielt, hvor a og b afhænger af det specifikke stof. Slide 34/54
Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = ba x, a, b > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentiel udvikling. Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne a og b. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Konstanten b angiver skæringspunktet med Y-aksen. Skæringspunktet er således (0, b). af denne type har en lang række praktiske anvendelser, herunder - Renteformlen givet ved K n = K 0 (1 + r) n hvor K n angiver antal kroner i banken efter n terminer, når man har sat K 0 kroner ind på en konto med rente r. - Stråling fra radioaktivt stof aftager (dvs. 0 < a < 1) eksponentielt, hvor a og b afhænger af det specifikke stof. - Temperaturforskellen mellem en varm småkage og den konstante stuetemperatur aftager eksponentielt. Slide 34/54
Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Slide 35/54
Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: Slide 35/54
Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. Slide 35/54
Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. 2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%. Slide 35/54
Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. 2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%. 3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 1 12 = 8, 3%. Slide 35/54
Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. 2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%. 3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 1 12 = 8, 3%. 4) Nykredit Bank tilbyder dig en daglig rente på 1 365 = 0, 27397260%. Slide 35/54
Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. 2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%. 3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 1 12 = 8, 3%. 4) Nykredit Bank tilbyder dig en daglig rente på 1 365 = 0, 27397260%. Alle banker forlanger, at du låser din formue i 1 år! Hvilket tilbud tager du? Og hvorfor? Slide 35/54
Det naturlige tal e Vi er på jagt efter et magisk tal... Forestil dig, at du er den heldige ejer af 1 krone. Af frygt for at miste din formue skynder du dig i ud i byens banker og indsamler en række tilbud: 1) Danske Bank tilbyder dig en årlig rente på 100%. 2) Nordea tilbyder dig en halvårlig rente på 50%. 3) Jyske Bank tilbyder dig en månedlig rente på 1 12 = 8, 3%. 4) Nykredit Bank tilbyder dig en daglig rente på 1 365 = 0, 27397260%. Alle banker forlanger, at du låser din formue i 1 år! Hvilket tilbud tager du? Og hvorfor? SVAR: K 1 = (1 + 1) 1 = 2, 000000000 ( K 2 = 1 + 1 ) 2 = 2, 250000000 2 ( K 12 = 1 + 1 ) 12 = 2, 613035290 12 ( K 365 = 1 + 1 ) 365 = 2.714567482 365 Slide 35/54
Det naturlige tal e Definition: Vi definerer det naturlige tal e ved e = lim n ( 1 + 1 n ) n 2.7182818285... Slide 36/54
Det naturlige tal e Definition: Vi definerer det naturlige tal e ved e = lim n ( 1 + 1 n ) n 2.7182818285... Lad os omdefinere eksponentielle udviklinger. Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = b e kx, k 0, b > 0 Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne k og b. Slide 36/54
Det naturlige tal e Definition: Vi definerer det naturlige tal e ved e = lim n ( 1 + 1 n ) n 2.7182818285... Lad os omdefinere eksponentielle udviklinger. Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = b e kx, k 0, b > 0 Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne k og b. - Konstanten b angiver skærringspunktet med X-aksen. Slide 36/54
Det naturlige tal e Definition: Vi definerer det naturlige tal e ved e = lim n ( 1 + 1 n ) n 2.7182818285... Lad os omdefinere eksponentielle udviklinger. Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = b e kx, k 0, b > 0 Vi ser nærmere på den grafiske betydning af konstanterne k og b. - Konstanten b angiver skærringspunktet med X-aksen. - Når k < 0 er funktionen aftagende. Når 0 < k er funktionen voksende. Slide 36/54
Eksponentialfunktioner Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = a x, a > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentialfunktion. Vi kan da sige følgende om grafen for f. Slide 37/54
Eksponentialfunktioner Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = a x, a > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentialfunktion. Vi kan da sige følgende om grafen for f. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. Vi har særlig interesse i den naturlige eksponentialfunktion f(x) = e x Denne funktion har nemlig super pæne egenskaber - som vi skal se senere. Slide 37/54
Eksponentialfunktioner Definition: Lad f : R R være en funktion givet ved forskriften f(x) = a x, a > 0 og a 1 Vi siger, at f er en eksponentialfunktion. Vi kan da sige følgende om grafen for f. - Når 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Når 1 < a er funktionen voksende. - Skæringspunktet med Y-aksen er altid (0, 1). Vi har særlig interesse i den naturlige eksponentialfunktion f(x) = e x Denne funktion har nemlig super pæne egenskaber - som vi skal se senere. Til slut ser vi at funktionen f : R R + givet ved forskriften f(x) = a x er bijektiv. Specielt er den naturlige eksponentialfunktion bijektiv. Slide 37/54
Opgaver Lad f : R R være en eksponential udviklingen, dvs. Det oplyses at k < 0. 1) Skitser grafen for f. f(x) = b e kx, k 0, b > 0 2) Det oplyses, at f(0) = 4. Hvad kan vi sige om b? 3) Det oplyses, at f(2) = 4e 1. Hvad kan vi sige om a? Antag at det oplyses f(x 1 ) = y 1 og f(x 2 ) = y 2. Vis at ( ) 1 e k y2 x 2 x 1 = og b = y 1 y 1 a x eller b = y 2 1 a x 2 Slide 38/54
Lad f : R R + være givet ved forskriften f(x) = a x. Vi definerer nu den entydigt bestemte funktion g : R + R, som opfylder x R : g f(x) = x og x R + : f g(x) = x Vi vil fremover angive g ved forskriften g(x) = log a (x) (læs: logaritmen med grundtal a af x). Særligt definerer vi den naturlige logaritme ln = log e. Slide 39/54
Lad f : R R + være givet ved forskriften f(x) = a x. Vi definerer nu den entydigt bestemte funktion g : R + R, som opfylder x R : g f(x) = x og x R + : f g(x) = x Vi vil fremover angive g ved forskriften g(x) = log a (x) (læs: logaritmen med grundtal a af x). Særligt definerer vi den naturlige logaritme ln = log e. Sætning: For alle a, b R + og n R gælder følgende 1) log(a) + log(b) = log(ab). 2) log(a) log(b) = ( ) a log b. 3) log(a n ) = n log(a). Slide 39/54
Lad f : R R + være givet ved forskriften f(x) = a x. Vi definerer nu den entydigt bestemte funktion g : R + R, som opfylder x R : g f(x) = x og x R + : f g(x) = x Vi vil fremover angive g ved forskriften g(x) = log a (x) (læs: logaritmen med grundtal a af x). Særligt definerer vi den naturlige logaritme ln = log e. Sætning: For alle a, b R + og n R gælder følgende 1) log(a) + log(b) = log(ab). 2) log(a) log(b) = ( ) a log b. 3) log(a n ) = n log(a). Sætning: Lad a, b R + med a, b 1 og x R +. Da fås følgende relation log a (x) = log b(x) log b (a) Slide 39/54
Opsummering og Opgaver Sætning: For alle a, b R + og n R gælder følgende 1) log(a) + ln(b) = log(ab). 2) log(a) ln(b) = ( ) a log b. 3) log(a n ) = n log(a). Sætning: Lad a, b R + med a, b 1 og x R +. Da fås følgende relation log a (x) = log b(x) log b (a) Huskeregel For at udregne log a (x) skal man spørge: Hvilket tal skal a opløftes i for at få x? Slide 40/54
Enhedscirklen Definition: Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0).. Slide 41/54
Enhedscirklen Definition: Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Enhedscirklen kan altså illustreres grafisk således.. Slide 41/54
Enhedscirklen Definition: Enhedscirklen er en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0). Enhedscirklen kan altså illustreres grafisk således. Enhedscirklen har radius 1, og derfor er omkredsen 2π. Slide 41/54
Enhedscirklen Lad os nu tænke os, at vi starter i punktet (1, 0) og bevæger os afstanden x langs enhedscirklen cirkelbue mod urets retning. Slide 42/54
Enhedscirklen Lad os nu tænke os, at vi starter i punktet (1, 0) og bevæger os afstanden x langs enhedscirklen cirkelbue mod urets retning. Slide 42/54
Enhedscirklen Lad os nu tænke os, at vi starter i punktet (1, 0) og bevæger os afstanden x langs enhedscirklen cirkelbue mod urets retning. Vi når da et bestemt punkt på enhedscirklen. Punktets koordinater i planen giver os mulighed for at definere cosinus og sinus. Slide 42/54
Enhedscirklen Definition: Vi definerer cos(x) som førstekoordinaten til punktet. Slide 43/54
Enhedscirklen Definition: Vi definerer cos(x) som førstekoordinaten til punktet. Definition: Vi definerer sin(x) som andenkoordinaten til punktet. Slide 43/54
Enhedscirklen Definition: Vi definerer cos(x) som førstekoordinaten til punktet. Definition: Vi definerer sin(x) som andenkoordinaten til punktet. Slide 43/54
Enhedscirklen Definition: Vi definerer cos(x) som førstekoordinaten til punktet. Definition: Vi definerer sin(x) som andenkoordinaten til punktet. Hvis x > 2π når vi hele vejen rundt på enhedscirklen og må påbegynde et nyt omløb. Vi ser altså at cos(x + n 2π) = cos(x) og sin(x + n 2π) = sin(x), n N Slide 43/54
Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Slide 44/54
Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Slide 44/54
Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue, vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså i overensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer. Slide 44/54
Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue, vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså i overensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer. Slide 44/54
Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue, vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså i overensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer. Slide 44/54
Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue, vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså i overensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer. En vinkel på 45 grader og en vinkel på π er ens. 4 Slide 44/54
Sinus, cosinus og vinkler Afstanden x langs cirkelbuen kan også repræsentere en vinkel! Vinklen kan måles enten i grader eller radianer. Randianer angiver hvor stort et stykke af enhedscirklens bue, vinklen spænder over. Måden hvorpå vi har indført sinus og cosinus er altså i overensstemmelse med at vi beskriver vinkler med radianer. En vinkel på 45 grader og en vinkel på π er ens. Grader og radianer er altså to sider af 4 samme sag. Vi har altså: cos(v) = cos(45 grader) = cos( π 4 ) og sin(v) = sin(45 grader) = sin( π 4 ) Slide 44/54
Sinus og cosinus Sætning (idiotformlen): For alle x R gælder at sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Slide 45/54
Sinus og cosinus Sætning (idiotformlen): For alle x R gælder at sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Sætning (additionsformlerne): For alle x, y R gælder at sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) Slide 45/54
Sinus og cosinus Sætning (idiotformlen): For alle x R gælder at sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 Sætning (additionsformlerne): For alle x, y R gælder at sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) Sætning(overgangsformlerne): For alle x R gælder at sin(x + π 2 ) = cos(x) cos(x + π 2 ) = sin(x) Slide 45/54
Sinus og cosinus Grafen for henholdsvis sinus og cosinus er en bølge. Dette er en af årsagerne til deres mange anvendelser - fx i fysik. Slide 46/54
Indhold 1 2 3 4 5 Slide 47/54
- Intuition Lad f : X R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R ligge tæt på X, så f er defineret tæt på a.. Slide 48/54
- Intuition Lad f : X R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R ligge tæt på X, så f er defineret tæt på a. Hvis a X er f(a) veldefineret, men har ingen betydning for grænseværdien. Derimod er værdien for f(x), hvor x ligger vilkårligt tæt på a, afgørende.. Slide 48/54
- Intuition Lad f : X R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R ligge tæt på X, så f er defineret tæt på a. Hvis a X er f(a) veldefineret, men har ingen betydning for grænseværdien. Derimod er værdien for f(x), hvor x ligger vilkårligt tæt på a, afgørende. Hvis der findes et tal b R, så f(x) ligger tæt ved b, når blot x ligger tilstrækkeligt tæt ved a, da siger vi at f(x) konvergerer mod b i grænseovergangen for x gående mod a. eller f(x) b, når x a lim f(x) = b x a. Slide 48/54
- Intuition Lad f : X R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R ligge tæt på X, så f er defineret tæt på a. Hvis a X er f(a) veldefineret, men har ingen betydning for grænseværdien. Derimod er værdien for f(x), hvor x ligger vilkårligt tæt på a, afgørende. Hvis der findes et tal b R, så f(x) ligger tæt ved b, når blot x ligger tilstrækkeligt tæt ved a, da siger vi at f(x) konvergerer mod b i grænseovergangen for x gående mod a. eller f(x) b, når x a lim f(x) = b x a Hvis der ikke findes b R, så f(x) nærmer sig b, når x nærmer sig a, siger vi at f(x) divergerer i grænseovergangen for x gående mod a. Slide 48/54
- Intuition Lad f : R R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R være et punkt i X, så f er defineret tæt på a. Slide 49/54
- Intuition Lad f : R R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R være et punkt i X, så f er defineret tæt på a. Hvis f(x) vokser (aftager) uden en øvre (nedre) grænse, når x nærmer sig a, siger vi at f(x) divergerer. Vi skriver eller f(x), når x a lim f(x) = x a Slide 49/54
- Intuition Lad f : R R være en funktion, hvor X R. Lad endvidere a R være et punkt i X, så f er defineret tæt på a. Hvis f(x) vokser (aftager) uden en øvre (nedre) grænse, når x nærmer sig a, siger vi at f(x) divergerer. Vi skriver eller f(x), når x a lim f(x) = x a Hvis f(x) nærmer sig en værdi b R, når x vokser (aftager) uden en øvre (nedre) grænse, siger vi igen f(x) konvergerer og skriver eller f(x) b, når x lim f(x) = b x Slide 49/54
- Eksempler Lad f : R R være givet ved forskriften f(x) = x + 1 1 Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 0. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 0. x 0.1 0.01 0.001 0 0.001 0.01 0.1 f(x) x Slide 50/54
- Eksempler Lad f : R R være givet ved forskriften f(x) = x + 1 1 Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 0. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 0. x 0.1 0.01 0.001 0 0.001 0.01 0.1 f(x) 0.51316 0.50126 0.50013?? 0.49988 0.49876 0.48809 x Slide 50/54
- Eksempler Lad f : R R være givet ved forskriften f(x) = x + 1 1 Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 0. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 0. x 0.1 0.01 0.001 0 0.001 0.01 0.1 f(x) 0.51316 0.50126 0.50013?? 0.49988 0.49876 0.48809 Lad g : R R være givet ved forskriften x g(x) = 13 x 7 Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 7. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 7. x 7 0.1 7 0.01 7 0.001 7 7 + 0.001 7 + 0.01 7 + 0.1 f(x) Slide 50/54
- Eksempler Lad f : R R være givet ved forskriften f(x) = x + 1 1 Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 0. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 0. x 0.1 0.01 0.001 0 0.001 0.01 0.1 f(x) 0.51316 0.50126 0.50013?? 0.49988 0.49876 0.48809 Lad g : R R være givet ved forskriften x g(x) = 13 x 7 Vi ønsker at undersøge grænseovergangen for x 7. Vi undersøger værdier af f(x) for x tæt ved 7. x 7 0.1 7 0.01 7 0.001 7 7 + 0.001 7 + 0.01 7 + 0.1 f(x) 130 1300 13000?? 13000 1300 130 Slide 50/54
- Stringent Lad f : X R være en funktion, hvor X R og lad a ligge i eller tæt på X. Lad endvidere b R. Vi siger da, at f har b som grænseværdi ved grænseovergangen x a, x X (læs: x gående mod a fra X), og vi skriver hvis f(x) b for x a, x X eller lim x a f(x) = b ε > 0 δ > 0 x X : x a < δ f(x) b < ε for x X Slide 51/54