PeterSørensen.dk Differentiation Indold Betydningen af ordet differentialkvotient... Sekant... Differentiable funktioner...3 f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x....3 Ikke alle grafpunkter ar en ældning...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3 Differentiation ved jælp af CAS-værktøj...4 RegneRobot...4 TI-interactive (Et ældre IT-produkt fra Texas)...4 TI-89 og Voyage (Et ældre åndoldt produkt fra Texas)...4 Tangent...4 Ligningen for tangenten...4 Beregning af differentialkvotienter...5 Tretrinsreglen...5 Eksempel 1 f(x) ax +b...5 Eksempel f(x) x²...5 Plus-reglen ( f(x)+g(x) ) f (x) + g (x)...6 Minus-reglen ( f(x)-g(x) ) f (x) - g (x)...6 Ledvis differentiation...6 Differentiation af udtryk...6 Formlen (x n )' n x n-1, n...6 Maksimum og minimum...7 Monotoni...7 Lokalt maksimum...8 Lokal minimum...8 Monotoni-interval for en funktion...8 Voksende...8 Aftagende...8 At redegøre for monotoniforold...8 Fortegnsvariation...9 Optimering...9 PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 1 / 1
Betydningen af ordet differentialkvotient Her ser vi grafen for en funktion f, vor grafen ar en ældning overalt.. Vi er interesseret i grafens ældning i punktet (x o, y o ) og betragter et punkt (x, y) tæt på ( x o, y o ). Linjestykket fra punktet ( x o, y o ) til ( x, y ) er næsten sammenfaldende med grafen. Sekant Et linjestykke, der forbinder punkter på en graf kaldes en sekant. Jo tættere x er på x, jo bedre vil sekanten flugte grafen, Sekanten ar ældningen: a (Se lektion 11 i Grønt æfte) Lidt løst sagt defineres f (x ) eller grafens ældning i x således: Hvis nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x, så er f (x ) lig denne værdi. Denne værdi kaldes i øvrigt grænseværdien for udtrykket når x går mod x o og betegnes f (x o ). Hvad det elt eksakt vil sige at ikke uddybe er. nærmer sig en bestemt værdi, når x nærmer sig x, vil vi Det skrives således: går mod f (x o ) når x går mod x o. Det kan også skrives sålees: f (x o ) når x x o. eller således: Ordet lim er i slægt med det engelske ord limit, der betyder grænse. Ordet grænseværdi benyttes ikke blot ved bestemmelse af grafers ældninger. Generelt kan man tale om, at et udtryk, vor dets værdi afænger af en variabel, kan ave en grænseværdi, når denne variabel nærmer sig et bestemt tal. f (x o ) kaldes også differentialkvotienten af f i x o eller blot differentialkvotienten i x o. Ordet differentialkvotient ar noget at gøre med, at er en kvotient af differenser. Kvotient betyder resultatet af en division, og differens betyder resultatet af et minus-stykke. kaldes ofte differens-kvotienten. I gamle dage kaldte man differenserne for differentialer, vis differenserne var ekstremt små, og derved opstod navnet differential-kvotient. Vi benytter ofte forkortelsen f for f(x) f(x ) og x eller for (x x ) PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side / 1
Med disse forkortelser kan vi skrive: f er differentiabel i x o vis eller f er differentiabel i x o vis f x f ar en grænseværdi for x ar en grænseværdi for x o Differentiable funktioner Hvis en funktion f er differentiabel for alle x, siger vi at funktionen er differentiabel, og den funktion, der til vert x o knytter f (x o ) betegnes f. f (x) er grafens ældning i punktet med første-koordinaten x. Ikke alle grafpunkter ar en ældning Til øjre ses to grafer, der ikke overalt ar en ældning. Den blå graf er ingen ældning i punkterne (3, ) og (7,.) Den røde graf ar ingen ældning i Grafpunktet (,4). De to tilsvarende funktioner er ikke differentiable i ele deres definitionsmængder. Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning Hvis man kender regneforskriften for en funktion f, er det ofte muligt at finde regneforskriften for den afledede funktion f. Her benyttes CAS-værktøj og forskellige regler. Vi vil senere bevise nogle af disse regler, men først vil vi nøjes med at se nogle af reglerne. Regneregler: ( k )' Eksempel: f(x)7 Grafen er vandret og f '(x) ( k x )' k Eksempel: f(x)3x Grafen ar overalt ældningen 3 og f '(x)3 (x n ) n x n-1, n Eksempler: (x 3 ) 3 x 3-1 3 x og (x ) x -1 x (k f(x))' k (f(x))' k f (x) Eksempel: (x 3 ) 3 x 6x (k x n ) k n x n-1, n 1 Eksempel: (x 3 ) 3 x 6x (f(x)+g(x)) f (x) + g (x). Eksempel: (x³ + x²)' 3x + x Plusreglen (f(x)-g(x)) f (x) - g (x). Eksempel: (x³ - x²)' 3x - x Minusreglen Når man anvender de sidste regler kaldes det ledvis differentiation. Når der i et udtryk er eller flere led, vil man typisk anvende ledvis differentiation. Der er flere regler i formelsamlingen. PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 3 / 1
Differentiation ved jælp af CAS-værktøj RegneRobot Her differentieres ved at vælge "Guide & CAS" og derefter "Differential- og integralregning". Se eventuelt Vejledning til RegneRobot TI-interactive (Et ældre IT-produkt fra Texas) Her klikkes i d/dx og d(, vorefter man skriver: 3x^,x) og taster Enter. Se eventuelt link: TI-Interactive og det sidste af videoen cas TI-89 og Voyage (Et ældre åndoldt produkt fra Texas) Her kan man finde differentialkvotienten til en funktion, fx f(x) 3x², ved at taste F3 og vælge d( Derefter skrives 3x^,x), så der kommer til at stå: d(3x^,x) (x til sidst betyder, at den uafængige variable er x). F6 Enter Enter F3 1 3 x ^, x ) Enter Tangent En linje, der går gennem et grafpunkt og ar samme ældning som grafen i punktet, kaldes tangent til grafen. Ligningen for tangenten gennem grafpunkt (x o, y o ) er: (y y o ) f (x o ) (x x o ) Hvis x x o, kan ligningen også skrives: Til øjre er tegnet funktionen f(x) -x² + 8x 1 og en tangent. Man kan se af tegningen, at ældningen er -4. Hældningen kan også beregnes: f (x) -4x + 8 f (3) -4 3 + 8-1 + 8-4 Af tegningen ses, at tangentens røringspunkt er (3, 5) Tangentens ligning bliver: (y 5) 4(x 3) PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 4 / 1
Beregning af differentialkvotienter Hvis man kender en funktion og ønsker at finde dens afledede er det ofte bekvemt at benytte den såkaldte tretrinsregel. Tretrinsreglen 1. Opskriv eller Husk x (x-x o ) og x x +. Omskriv f. Måske kan der forkortes med x eller 3. Bestem grænseværdien. Eksempel 1 f(x) ax +b f x y y (ax b) (ax b) a Da a gælder også a for x x o Altså: f (x o ) a. Da det gælder for etvert x o kan vi skrive f (x) a eller (ax+b) a Eksempel f(x) x² Vi bemærker at x x o +, og vi får: f x y y - x (x ) x x x x x x for x x o x Altså: f (x o ) x o eller f (x) x eller (x²) x PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 5 / 1
Plus-reglen ( f(x)+g(x) ) f (x) + g (x) Bevis ( f g) x (f(x) g(x) ) - ( (f(x x x ) g(x ) ) f(x) - f(x ) g(x) x x - g(x ) f ( x ) f ( x x x ) + g ( x ) g ( x x x ) f '(x ) + g '(x ) for x x Hvilket beviser ( f(x)+g(x) ) f '(x) + g'(x) Tilsvarende gælder: Minus-reglen ( f(x)-g(x) ) f (x) - g (x) Ledvis differentiation betyder anvendelse af plus/minus-reglen et antal gange. Differentiation af udtryk skives ved at tilføje en apostrof og ofte en parentes, fx (x² + x) x +. Nogen gange sættes apostroffen anderledes, fx Log x, som betyder (Log x). Formlen (x n )' n x n-1, n vil vi ikke bevise, men uddybe. (x ) (1) (x + 1). Det sidste fremgår af eksempel 1, vor a og b1. Altså (x ) (x 1 ) (x) (1x + ) 1. Det sidste fremgår af eksempel 1, vor a1 og b. Altså (x 1 ) 1 x (x²) (x x) 1 x + x 1 x (i overensstemmelse med den tidligere beregning.) (x 3 ) (x² x) x x + x² 1 3x² (x 4 ) 4x 3,5 ) x ',5x,5 1 x (Se eventuelt lektion 3 i matematik interaktivt for f) PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 6 / 1
Maksimum og minimum Hvis en funktion ar en sammenængende graf på et lukket interval, ar den både et maksimum og et minimum. Dette vil vi ikke bevise, men anskueliggøre med nogle tegninger: Bemærk: Maksimum og minimum er y-værdier. De tilsvarende x-værdier kaldes enoldsvis maksimumpunkt og minimumspunkt. Monotoni Hvis en funktion f er differentiabel i et interval gælder: f er voksende i intervallet vis f (x) er positiv eller punktvis nul. f er aftagende i intervallet f er konstant i intervallet vis f (x) er negativ eller punktvis nul. vis f (x) overalt i intervallet. I intervallet I 1 er f (x) og kun punktvis lig nul. ( steder) f er voksende i intervallet I 1 PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 7 / 1
I intervallet I er f (x) og kun punktvis lig nul. ( steder) f er aftagende i intervallet I. I intervallet I 3 er f (x) og kun punktvis lig nul. (1 sted) f er voksende i intervallet I 3 Bemærk: I 1 og I ar 1 punkt fælles. Det gælder også I og I 3. Lokalt maksimum er en funktionsværdi, vor grafpunktet ligger på en bølgetop eller på et vandret stykke af grafen. Det lokale maksimum er større end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen. Lokal minimum er en funktionsværdi, vor grafpunktet ligger i en bølgedal eller på et vandret stykke af grafen. Det lokale minimum er mindre end eller lig y-værdien for de nærmeste punkter på grafen. Begge dele kaldes: Lokalt ekstremum. I flertal: Lokale ekstrema. Ved ekstremum er differentialkvotienten nul; men differentialkvotienten kan også være nul andre steder. Monotoni-interval for en funktion er et interval vor funktionen er monoton, dvs voksende, aftagende eller eventuelt konstant. Om den afbillede funktion gælder: Voksende i ] - ; -3 ] og [ 1; [ Aftagende i [ -3; 1 ] Lokalt maksimum i -3 med y-værdi 34 Lokalt minimum i 1 med y-værdi Bemærk: Begge tal -3 og 1 er med i både et voksende og i et aftagende interval. Bemærk også: Grafen er sammenængende. Derfor kan man ikke gå langs med grafen fra et punkt under x-aksen til et punkt over x-aksen uden at passere x-aksen. Et graf-punkt på x-aksen ar y-værdien nul. En funktion med en sammenængende graf, kaldes kontinuert. At redegøre for monotoniforold vil sige at oplyse monotoniintervaller og anføre vor voksende, vor aftagende og vor konstant. PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 8 / 1
Man kan illustrere en fortegnsvariation over differentialkvotienten og se både monotoniforold og ekstrema. Eks. f(x) x 3 + 3x - 9x + 7 f (x) 3x + 6x - 9 For at finde ud af fortegnet for f vil vi finde nulpunkter for f : Dvs vi skal løse ligningen: 3x + 6x 9 d 36 4 3 (-9) 144 144 Rødder: dvs. -3 og 1 Grafen for f er glad og derfor negativ mellem rødderne. Fortegnsvariation f er voksende i ] - ; -3 ] og [ 1 ; [ f er aftagende i [-3 ; 1 ] Der vor f skifter fra voksende til aftagende ar f lokalt maksimum, altså ved x-værdien -3. Selve maksimumsværdien er f(-3) 34 Tilsvarende bliver minimum der antages for x 1 Ofte ar man brug for at finde størsteværdi eller mindsteværdi for en funktion. Optimering Det at finde maksimum for en funktion kaldes optimering. Eks. Vi betragter igen firmaet, som sælger en vare og gerne vil optimere sin fortjeneste. Se begyndelsen af foregående lektion. x er reklameinvesteringen i mio kr. Den samlede fortjeneste ved salg af varen afænger af reklameinvesteringen. f(x) er den samlede fortjeneste i mio kr ved salg af varen. For den pågældende vare gælder: f(x) -x² + 8x - 1, Dm(f) [ ; 5]. Dvs der kan øjst investeres 5 mio i reklamer Det andler om af få maksimum fortjeneste. PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 9 / 1
f (x) -4x + 8 f (x) -4x + 8 x f () 8 (positivt) f (3) -4 (negativt) På grundlag eraf fås Fortegnsvariation: Resultat: Der er maksimum fortjeneste ved en reklameinvesering på mio. Maksimumfortjenesten er f() mio 7 mio kr. Vi kan også finde minimumfortjenesten ved at vurdere f() og f(5) f() -1 mio f(5) -11 mio Altså minimumsfortjenesten er -11 mio, vilket er et tab på 11 mio. Bemærk, vi ar stiltiende udnyttet at f er kontinuert. Derfor kunne vi konkludere, at når f () er positiv, så er f (x) positv overalt til venstre for. Tilsvarende kunne vi konkludere, at når f (3) er negativ, så er f (x) negativ overalt til øjre for. PeterSoerensen.dk : Matematik Differentiation side 1 / 1