Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt over nogle fundamentale begreber for plane kurver. Kinematiske begreber såsom vejlængde, hastighed og acceleration omtales kort. Især diskuteres det, hvad der skal forstås ved en glat kurve, dvs. geometrisk kontinuitet. I den forbindelse indføres nogle beslægtede geometriske begreber (naturlig parameterfremstilling, krumning, enhedstangentvektor og krumningscirkel). Forskellige eksempler illustrerer betydningen af de forskellige begreber. 2 Nogle fundamentale kinematiske begreber ( ) x Vi erindrer om, at vektorer i planen bekvemt kan anskues som punkter (x, y) med y hensyn til et sædvanligt retviklet koordinatsystem, så vi skal tillade os at skrive ( ) x = (x, y). y Lad I = [a, b] betegne et lukket og begrænset interval og betragt en 2-dimensional reel funktion defineret på I, r(t) = (x(t), y(t)), t I; (1) med andre ord koordinatfunktionerne x(t) og y(t) er reelle funktioner defineret på I. Billedmægden for funktionen r(t) (dvs. mægden {r(t) t I}) kaldes en plan kurve med parameterfremstilling givet ved funktionen r(t). Bemærk, at kurven har uendelig mange mulige parameterfremstillinger, se for eksempel Eksempel 1 nedenfor. Vi indfører nu nogle fundamentale kinematiske begreber, hvor koordinatfunktionerne antages at være differentiable eller om nødvendigt to gange differentiable. De afledede betegnes x (t), x (t), etc., og vi fortolker t som tid og I som et tidsinterval. Kurvens 1

hastighedsvektor (eller blot hastighed) og accelerationsvektor (eller blot acceleration) til tid t I defineres ved henholdsvis v(t) = (x (t), y (t)), a(t) = (x (t), y (t)). Ved farten (til tid t) forstås længden af hastighedsvektoren, f(t) = v(t). Bemærk at disse begreber afhænger af valget af parameterfremstilling for kurven (se Eksempel 1). Eksempel 1. For liniestykket {(x, 0) 0 x 1} med parameterfremstilling r(t) = (t, 0), 0 t 1, er hastigheden v(t) = (1, 0), så farten er konstant lig 1 og accelerationen er lig nulvektoren. Vi kunne også havde valgt parameterfremstillingen r(t) = (t/β, 0), 0 t β, hvor β > 0. Hvis for eksempel β = 2 bliver tidsintervallet dobbelt så langt, hastigheden og farten bliver halveret og accelerationen er stadig lig nulvektoren. Et tredje eksempel på en parameterfremstilling, hvor accelerationen ikke er nul (og endda er diskontinuert) er givet i Eksempel 2 nedenfor. For en ellipse med r(t) = (α cos t, β sin t), 0 t 2π, hvor α > 0 og β > 0 angiver længderne af de to halvakser (se Figur 1), er v(t) = ( α sin t, β cos t), f(t) = α2 sin 2 t + β 2 cos 2 t og a(t) = ( α cos t, β sin t) = r(t). Farten er konstant netop når α = β, dvs. i tilfældet med en cirkel, og i så fald er farten lig med radius for cirklen (f(t) = α). 3 Buelængde og naturlig parameterfremstilling I det følgende antages koordinatfunktionerne i (1) at være kontinuert differentiable (dvs. x (t) og y (t) eksisterer og er kontinuerte for alle t I). Endvidere antages farten f(t) > 0 for alle t I. Vi siger da kort og godt, at kurven er differentiabel. Betragt et vilkårligt punkt P = r(t) på kurven og lad P 0 = r(a) betegne startpunktet. Buelængden eller vejlængden fra P 0 til P defineres ved s(t) = t a f(u)du. Da f(t) > 0 for alle t I, er s(t) en strengt voksende funktion af t med kontinuert differentialkvotient s (t) = f(t). Så s(t) har en invers funktion, som vi betegner χ(s) for s Ĩ, hvor Ĩ = [s(a), s(b)] er billedmængden for funktionen s(t). Vi skal stiltiende for ethvert s Ĩ lade t I være givet ved χ(s) = t; og omvendt for ethvert t I lade s Ĩ være givet ved s(t) = s. Bemærk at χ(s) også er en strengt voksende funktion med kontinuert differentialkvotient χ (s) = 1/f(t) = 1/f(χ(s)). 2

y -2-1 0 1 2 P -4-2 0 2 4 x Figure 1: Ellipse med α = 4 og β = 2. Punktet P viser r(π/4). Vi kalder r(s) = r(t) = r(χ(s)), s Ĩ, (2) for den naturlige parameterfremstilling med udgangspunkt i P 0 (svarende til s = 0). Koordinatfunktionerne i (2) er også kontinuert differentiable, idet de hver især er en sammensat funktion af den kontinuert differentiable funktion χ og en af de kontinuert differentiable koordinatfunktioner i (1). Desuden er hastigheden (med hensyn til den naturlige parameterfremstilling) givet ved ṽ(s) = r (s) = r (t)/f(t) = v(t)/f(t). (3) Altså er f(s) = ṽ(s) = 1, (4) dvs. farten er konstant lig med 1, når vi benytter den naturlige parameterfremstilling. Det kan vises (beviset udelades her), at den naturlige parameterfremstilling for en differentiabel kurve ikke afhænger af valget af parameterfremstillingen i (1); man siger derfor, at den naturlige parameterfremstilling er et geometrisk begreb. Eksempel 2. Hvad forstår vi ved en glat kurve? Vi er sikkert alle enige om, at for eksempel et liniestykke bør være glat. Betragt for eksempel liniestykket L = {(x, 0) 0 x 1}. En 3

parameterfremstilling for L er givet ved { (t, 0) for 0 t 1/2 r(t) = (2t 1/2, 0) for 1/2 < t 1, hvor r(t) er en kontinuert funktion for alle t [0, 1], men den er ikke differentiabel for t = 1/2; det skyldes, at farten er 1 for t < 1/2 og 2 for t > 1/2. Betragtes i stedet for følgende parameterfremstilling for L: { (2t r(t) = 2 /5, 0) for 0 t 1 (4t 2 /5 4t/5 + 2/5, 0) for 1 < t 3/2, så er r (t) = { (4t/5, 0) for 0 t < 1 (8t/5 4/5, 0) for 1 < t 3/2, hvorfor r (1) = (4/5, 0), dvs. hastigheden v(t) = r (t) er veldefineret og kontinuert for alle t [0, 3/2]; derimod eksisterer a (1) ikke. Altså synes det ikke altid naturligt at definere glathed ved, at den første og anden afledede af en vilkårlig parameterfremstilling r(t) eksisterer og er kontinuerte; vi skal sidenhen i Eksempel 7 vende tilbage til denne diskussion. Som vi skal se i det følgende giver det bedre mening at betragte den naturlige parameterfremstilling. Denne er givet ved r(s) = (s, 0) for 0 s 1; r(s) er klart to gange kontinuert differentiabel. For ellipsen i Eksempel 1 er den naturlige parameterfremstilling r(s) = (α cos t, β sin t)/ α 2 sin 2 t + β 2 cos 2 t, 0 s b, hvor t er givet ved s(t) = s, b = s(2π) og s(t) = t 0 α 2 sin 2 u + β 2 cos 2 u du, 0 t 2π (læseren bedes overveje, hvorfor farten f(t) ikke kan være nul). Dette integral kan kun regnes ud i tilfældet med en cirkel (α = β); i så fald er s(t) = tα, dvs. t = s/α. For α β findes der dog tabeller til beregning af s(t) (eller man kan let benytte numerisk integration). I eksemplet ovenfor var det let at angive den naturlige parameterfremstilling for liniestykket og cirklen, mens det var mere kompliceret for ellipsen; i de fleste andre anvendelser er det også en kompliceret funktion. I praksis kan vi heldigvis undgå at benytte den naturlige parameterfremstilling (herom i sidst afsnit). Den naturlige parameterfremstilling er derimod særlig egnet til at give en forståelse af de geometriske egenskaber ved kurver, der beskrives i det følgende afsnit. 4

4 Geometrisk kontinuitet Vi definerer nu forskellige geometriske begreber ved hjælp af den naturlige parameterfremstilling (under de samme antagelser som i forrige afsnit, dvs. der findes en parameterfremstilling, så kurven er differentiabel). I næste afsnit udtrykkes disse begreber med hensyn til en vilkårlig parameterfremstilling. Enhedstangentvektoren i punktet P = r(s) defineres ved ẽ(s) = ṽ(s), (5) dvs. hastighedsvektoren for den naturlige parameterfremstilling. Ifølge (3) er ẽ(s) = r (s) en tangentvektor og ifølge (4) er ẽ(s) en enhedsvektor (hvorimod den unormerede tangentvektor r (t) naturligvis ikke behøver at være af længde 1). Dette forklarer, hvorfor ẽ(s) kaldes en enhedstangentvektor. Vi definerer retningsvinklen ϕ(s) i P ved ẽ(s) = (cos ϕ(s), sin ϕ(s)). (6) Krumningen κ i P er defineret som grænseværdien af ændring i krumningsvinkel ϕ(s + ) ϕ(s) per tilbagelagt buelængde, når 0; med andre ord κ κ(s) = ϕ (s) forudsat at ϕ(s) er differentiabel. Krumningsbegrebet forstås måske bedre ved hjælp af et andet begreb kaldet krumningsradius (se næste afsnit). Da accelerationsvektoren med hensyn til den naturlige parameterfremstilling er givet ved ã(s) = ṽ (s) = ẽ (s) = ϕ (s)( sin ϕ(s), cos ϕ(s)) = κ(s)( sin ϕ(s), cos ϕ(s)), (7) ses den numeriske værdi af krumningen κ(s) at være lig med længden af accelerationsvektoren. Fortegnet af krumningen er som regel mindre interessant, da fortegnet blot afhænger af hvilken vej kurven gennemløbes, jfr. Eksempel 3 nedenfor. Endelig siges kurven at være geometrisk kontinuert (eller glat), hvis både enhedstangentvektoren og krumningen er kontinuerte funktioner. Bemærk at enhedstangentvektor, krumning og geometrisk kontinuitet er geometriske begreber; de er jo defineret med hensyn til r(s), som ikke afhænger af den valgte parametrisering i (1), jfr. forrige afsnit. 5 Beregning i praksis og fortolkning af geometrisk kontinuitet I anvendelser, hvor man vil undersøge, om en given kurve er glat, er det ofte hensigtsmæssigt at vælge en anden parameterfremstilling end den naturlige parameterfremstilling. Dertil er forskellige beregningsformler nyttige. 5

Til beregning af enhedstangentvektoren benytter vi (3), dvs. for en differentiabel kurve med en parameterfremstilling som i (1) er enhedstangentvektoren i punktet P = r(t) givet ved e(t) = v(t)/f(t), (8) hvor v(t) = (x (t), y (t)), f(t) = (x (t) 2 + y (t) 2 ) 1/2. Til beregning af krumningen benyttes (9) nedenfor; her antages en parameterfremstilling som i (1) at have to gange kontinuert differentiable koordinatfunktioner, og farten antages stadig at være forskellig fra nul; vi siger da, at kurven er to gange differentiabel. I punktet P = r(t) er krumningen κ = κ(t), hvor κ(t) = v(t) a(t) /f(t) 3 (9) (beviset for dette resultat udelades her, selvom det ikke er så svært), hvor v(t) a(t) betegner determinanten af de to vektorer v(t) og a(t), dvs. v(t) a(t) = x (t) x (t) y (t) y (t) = x (t)y (t) x (t)y (t). Det følger af (8) og (9), at en to gange differentiabel kurve er geometrisk kontinuert. Det modsatte er som regel men ikke altid tilfældet, jfr. Eksempel 6 nedenfor. Antag kurven specielt er givet ved ligningen y = g(x), hvor x selv kan benyttes som parameter og g er en to gange kontinuert differentiabel funktion. Så er hastigheden v(x) = (1, g (x)) (hvorfor farten f(x) = 1 + g (x) 2 > 0) og accelerationen a(x) = (0, g (x)), hvilket indsat i (9) giver κ(x) = g (x)/(1 + g (x) 2 ) 3/2. Altså gælder der, at en kurve givet ved ligningen y = g(x), hvor g er en to gange kontinuert differentiabel funktion, er geometrisk kontinuert. Eksempel 3. Betragt igen ellipsen r(t) = (α cos t, β sin t), 0 t 2π. Koordinatfunktionerne er oplagt to gange kontinuert differentiable, og vi har tidligere observeret, at farten ikke er nul, så ellipsen er geometrisk kontinuert. Benyttes (8) og (9) fås e(t) = ( α sin t, β cos t)/ α 2 sin 2 t + β 2 cos 2 t og For en cirkel (α = β) fås κ(t) = αβ/(α 2 sin 2 t + β 2 cos 2 t) 3/2. (10) e(t) = ( sin t, cos t), κ = 1/α. (11) Hvis vi igen sætter α = β men i stedet for benytter parameterfremstillingen r(t) = (α cos( t), α sin( t)), 0 t 2π, svarende til at cirklen gennemløbes med uret, fås e(t) = (sin( t), cos( t)), κ = 1/α. 6

Sammenlign med (11) ovenfor. I forbindelse med begrebet krumning er det nyttigt at indføre begrebet krumningscirkel i punktet P = r(t) for en to gange differentiabel kurve med parameterfremstilling (1). Lad e(t) = (e 1 (t), e 2 (t)) være angivet ved sine koordinatfunktioner. Sæt n(t) = ( e 2 (t), e 1 (t)); denne enhedsvektor, der fremkommer ved at dreje e(t) med en vinkel på π/2 (mod uret), kaldes normalvektoren. Antag κ(t) 0 og sæt ρ(t) = 1/κ(t). Betragt cirklen C(t) med radius ρ(t) og centrum z(t) = r(t) + ρ(t)n(t). Anvend en parametrisering som gennemløber cirklen enten med eller mod uret, således at cirklens enhedstangentvektor i P er lig med e(t); dermed har C(t) krumning κ(t) i P (jfr. Eksempel 3). Det kan vises (beviset udelades her), at cirklen C(t) krummer ligesom kurven i punktet P ; betragt nemlig en cirkel, der berører kurven i P (dvs. står vinkelret på e(t)) og er på samme side af e(t) som kurven samt går gennem et andet kurvepunkt Q; da er C(t) grænsestillingen af cirkelen, når Q går mod P (Q P ). Derfor kaldes C(t) for kurvens krumningscirkel i P ; ρ(t) for kurvens krumningsradius i P ; og z(t) for kurvens krumningscenter i P (se venstre tegning i Figur 2). Bemærk at ρ(t) kan være negativ (i så fald kan vi jo altid sørge for, at den bliver positiv, ved at gennemløbe kurven omvendt). Hvis κ(t) = 0, kan vi betragte tangenten i P som en uegentlig krumningscirkel med uendelig stor krumningsradius. y -1 0 1 2 3 4 e(-0.5) n(-0.5) z(-0.5) y -1 0 1 2 3 4-2 -1 0 1 2 x -2-1 0 1 2 3 x Figure 2: Venstre: parabel givet ved r(t) = (t, t 2 ), 2 t 2, og enhedstangentvektor, normalvektor og krumningscirkel for t = 0.5. Højre: motorvejsafkørsler givet ved henholdsvis cirkelbue med radius 2 (fuld optrukken) og klotoide (stiplet). Afkørslerne har samme længde og samme krumning lig 1/2 for enden af afkørslerne. 7

Eksempel 4. Fra (10) følger, at ρ(t) = (β 2 + (α 2 β 2 ) sin 2 t) 3/2 /(αβ) er krumningsradius for en ellipse i punktet P = (α cos t, β sin t), hvor 0 t 2π. Vi har, at ρ(t) > 0 og n(t) = ( β cos t, α sin t), så det er kun når α = β, at z(t) = (0, 0), jfr. Eksempel 1. For t = 0 og t = π/2, altså for toppunkter på ellipsen, fås krumningsradier β 2 /α og α 2 /β. Og ρ(t) ligger mellem β 2 /α og α 2 /β for alle værdier af t, idet 0 sin 2 t 1 (det følger også ved en geometrisk betragtning). Antag for eksempel at α > β. For 0 t π/2 (svarende til den del af ellipsen, der er i første kvadrant) er ρ(t) så en voksende funktion af t (prøv at forstå dette ved at betragte Figur 1). Og z(0) = (α β 2 /α, 0) er et punkt mellem 0 og 1 på x-aksen, mens z(π/2) = (0, β α 2 /β) er et punkt på den negative del af y-aksen. Inden vi betragter det næste eksempel, er det nyttigt at notere følgende. Når en kurve er to gange differentiabel, så er den naturlige parameterfremstilling to gange kontinuert differentiabel. Hastigheden med hensyn til den naturlige parameterfremstilling er lig med enhedsvektoren, jfr. (5), og accelerationen ã(s) og normalvektoren ñ(s) med hensyn til den naturlige parameterfremstilling opfylder ã(s) = κ(s)ñ(s), jfr. (6) og (7). Ifølge Newton s anden lov er kraften for et køretøj, der kører med konstant fart lig 1 langs kurven, proportional med ã(s), hvor proportionalitetsfaktoren er massen af legemet. Hvis κ(s) > 0, peger kraften altså ind mod krumningscenteret. Dette er også tilfældet, hvis køretøjet kører langs kurven med en konstant hastighed, der ikke nødvendigvis er lig 1, jfr. følgende eksempel. Eksempel 5. Hvordan skal en motorvejsafkørsel se ud? Et forslag kunne være foreningen A = L C af liniestykket L = {(x, 0) 1 x 0} (som vi tænker os er motorvejen) og cirkelstykket C = {α(cos t 1, 1 + sin t) 3π/2 t b} (som vi tænker os er afkørslen), hvor α > 0 er cirklens radius og b > 3π/2 bestemmer cirkelstykkets længde. Men da er krumningen i punktet (0, 0) ikke kontinuert, idet L har krumning 0 og C har krumning 1/α. Det medfører, at et køretøj let kan forulykke i afkørslen. I højre tegning i Figur 2 er α = 2 og b = π/2. Et bedre men stadig simpelt forslag er at betragte en parameterfremstilling r(t) = (x(t), y(t)), 0 t b, for afkørslen, således at farten er konstant, accelerationvektoren peger i samme retning som normalvektoren og κ(t) = αt, hvor t = 0 svarer til punktet (0, 0); her er b > 0 igen en konstant, der bestemmer afkørslens længde. Betragtes først den naturlige parameterfremstilling, kræves det altså, at κ(s) = αs, dvs. ϕ (s) = αs. Desuden forudsætter vi, at ϕ(0) = 0, idet L har krumning 0. Følgelig er ϕ(s) = αs 2 /2, 8

hvorfor og dermed ṽ(s) = (cos ϕ(s), sin ϕ(s)) = (cos(αs 2 /2), sin(αs 2 /2)), ( s r(s) = 0 s ) cos(αs 2 /2) ds, sin(αs 2 /2) ds, 0 s b, 0 hvor b > 0 som før er en konstant (der bestemmer afkørslens længde). Denne kurve for afkørslen kaldes en klotoide. For klotoiden i højre tegning i Figur 2 er b = π og α = 1/(2π). Betragt dernæst tilfældet, hvor farten er β > 0, som ikke nødvendigvis er lig 1. Det svarer blot til, at tiden bliver t = s/β, idet ds/dt = β (se også Eksempel 1). Så r(t) = r(s) = r(βt) er stadig en klotoide. 6 Diskussion af antagelser og resultater Som sagt spiller den naturlige parameterfremstilling en vigtig rolle, når vi definerer begrebet geometrisk kontinuitet, men andre parameterfremstillinger kan være mere hensigtsmæssige ved anvendelser. I praksis går det som regel godt, fordi man vælger en fornuftig parameterfremstilling. Dog kan det gå helt galt, hvis man vælger en mere syg parameterfremstilling, som illustereret i Eksempel 2 og nedenstående eksempler; her menes syg fra et geometrisk synspunkt (fra et kinematisk synspunkt kan parametriseringen være ganske naturlig, jfr. Eksempel 2). Det første eksempel viser, at man kan godt have en geometrisk kontinuert kurve, hvor hastigheden for en parameterfremstilling ikke eksisterer i et punkt for kurven. Eksempel 6. Halvcirkelen C = {(cos t, sin t) π/2 t π/2} er som bekendt geometrisk kontinuert (jfr. Eksempel 3). En syg parameterfremstilling for C er givet ved følgende sammensætning af to kvarte cirkler: { (sin(πt r(t) = 2 /2), cos(πt 2 /2)) for 0 t 1 (cos(π(t 1) 2 /2), sin(π(t 1) 2 /2)) for 1 < t 2. Da er r (t) = { (πt cos(πt 2 /2), πt sin(πt 2 /2)) for 0 < t 1 ( π(t 1) sin(π(t 1) 2 /2), π(t 1) cos(π(t 1) 2 /2)) for 1 < t 2. Eftersom r (t) går mod (π, 0), når t > 1 går mod 1, og mod (0, 0), når t < 1 går mod 1, eksisterer r (0) ikke. I Eksempel 2 så vi, at et liniestykke, som jo klart er geometrisk kontinuert, har en syg parameterfremstilling, hvor hastigheden eller accelerationen ikke er veldefineret. Det næste eksempel viser omvendt, at enhedstangentvektoren godt kan være diskontinuert, selvom der findes en parametrisering med kontinuert hastighed. 9

Eksempel 7. Følgende er en parameterfremstilling for en knækket linie: { (2t t r(t) = 2, 2t t 2 ) for 0 t 1 (1 + (t 1) 2, 1 (t 1) 2 ) for 1 < t 2. Da r (t) = { (2 2t, 2 2t) for 0 t < 1 (2t 2, 2t 2) for 1 < t 2 eksisterer r (1) = (0, 0), så hastigheden v(t) = r (t) er altså veldefineret og kontinuert for alle t [0, 2]. På grund af knækket i punktet r(1) = (1, 1) eksisterer e(1) ikke. Bemærk at i punktet (1, 1) er farten f(1) = 0. Desuden eksisterer a (1) ikke. Det sidste eksempel omhandler en differentiabel kurve, hvor krumningen eksisterer overalt pånær i et punkt P. For to forskellige parameterfremstillinger for denne kurve vises, at den ene fremstilling har en fart lig 0 i P, mens den anden fremstilling ikke er to gange differentiabel i P. Eksempel 8. Betragt r(t) = (t 2, t 3 ), 1 t 1. Denne parameterfremnstilling er to gange kontinuert differentiabel med afledede v(t) = (2t, 3t 2 ) og a(t) = (2, 6t). Farten er nul, netop når t = 0. For t 0 eksisterer krumningen og (9) giver, at κ(t) = 12t2 6t 2 (4t 2 + 9t 4 ) 3/2 = 6 t(4 + 9t 2 ) 3/2. Altså går krumningen mod +, når t > 0 går mod 0, og mod, når t < 0 går mod 0. Følgelig eksisterer krumningen ikke i punktet (0, 0). En anden parameterfremstilling for den samme kurve er givet ved ligningen y = g(x), hvor { x 3/2 for 0 x 1 g(x) = ( x) 3/2 for 1 x 0. Denne parameterfremstilling er kontinuert differentiabel med v(x) = (1, (3/2) x ) og f(x) = 1 + (9/4) x > 0 for alle x [ 1, 1]. For 0 < x 1 er g (x) = (3/4)/ x; for 1 x < 0 er g (x) = ( 3/4)/ x; derimod eksisterer g (0) ikke. 10