Oversigt [S] 7., 7.2, 7.3, 7.4, 7.5 Nøgleord og begreber Vækstmodel Bevægelsesligninger Retningsfelt Separable ligninger Logistisk ligning Eksponentiel vækst Begyndelsesværdiproblem Calculus - 2006 Uge 40.2 - Fri Vækst [S] 7. Modelling with differential equations Fri vækstmodel t tid og P (t) kvantitet dp dt = kp Løsninger P (t) = Ce kt C fastlægges ved en begyndelsesværdi. Calculus - 2006 Uge 40.2-2
Dæmpet vækst [S] 7. Modelling with differential equations Dæmpet vækstmodel t tid og P (t) kvantitet P kp for P << K P < 0 for K < P 2 Løsninger dp dt = kp ( P K ) P (t) = K + Ce kt Calculus - 2006 Uge 40.2-3 Bevægelse [S] 7. Modelling with differential equations Bevægelsesligning t tid og x(t) udsving x hastighed x = k x acceleration m 3 Løsninger d 2 x dt 2 = k m x k k x(t) = C cos( m t) + C 2 sin( m t) Calculus - 2006 Uge 40.2-4
Fjeder [S] 7. Modelling with differential equations Fjeder t tid og x(t) udsving x hastighed x = k x acceleration m 3 Løsninger d 2 x dt 2 = k m x k k x(t) = C cos( m t) + C 2 sin( m t) Calculus - 2006 Uge 40.2-5 Pendul [S] 7. Modelling with differential equations Pendul tilnærmet t tid og x(t) udsving x hastighed x = k m x acceleration 3 Løsninger d 2 x dt 2 = k m x k k x(t) = C cos( m t) + C 2 sin( m t) Calculus - 2006 Uge 40.2-6
Differentialligning [S] 7. Modelling with differential equations Generel ligning 4 y = xy eller 4 Løsning dx = xy y = f(x) f (x) = xf(x) Calculus - 2006 Uge 40.2-7 Differentier funktion Eksempel er løsning til [S] 7. Modelling with differential equations y = + cet ce t 4 y = 2 (y2 ) Gør prøve y = cet ( ce t ) + ( + ce t )ce t ( ce t ) 2 = 2 (y2 ) = ( + ce t ) 2 ( ce t ) 2 = 2 ( ce t ) 2 2ce t ( ce t ) 2 2ce t ( ce t ) 2 Calculus - 2006 Uge 40.2-8
Grafisk løsning Retningsfelt For ligningen y = x + y prøver vi at tilnærme graferne for løsningerne y(x) med små tangentstykker. I et givet punkt (x, y ) vil en tangent have ligning I dette tilfælde Skitsen kaldes et retningsfelt. y = y + y (x )(x x ) y = y + (x + y )(x x ) Calculus - 2006 Uge 40.2-9 Grafisk løsning Retningsfelt y 0 x I punktet (x, y) tegnes et kort linjestykke med hældning y (x) = x + y. En graf skitseres. Calculus - 2006 Uge 40.2-0
Grafisk løsning [S] 7.2 Direction fields... Eksempel - Retningsfelt dx = x3 y + e xy y 0 x Calculus - 2006 Uge 40.2 - Grafisk løsning Retningsfelt For ligningen y = x 2 + y 2 prøver vi at tilnærme grafen for løsningerne y(x) med små tangentstykker. I et givet punkt (x, y ) vil en tangent have ligning y = y + (x 2 + y 2 )(x x ) Calculus - 2006 Uge 40.2-2
Grafisk løsning Retningsfelt y 0 x Calculus - 2006 Uge 40.2-3 For begyndelsesværdiproblemet y = x + y, y(0) = prøver vi at tilnærme løsningen y(x) med differentialet i små intervaller. I et givet punkt (x n, y n ) vil differentialet være = (x n + y n )dx og y y n + (x n + y n )(x x n ) Calculus - 2006 Uge 40.2-4
y y n + (x n + y n )(x x n ) giver rekursionen y n+ = y n + (x n + y n )(x n+ x n ) For en inddeling på x-aksen x 0, x,..., x n, x n+,... tabellægges tilnærmelser til funktionsværdierne y n y(x n ) Calculus - 2006 Uge 40.2-5 Tabellæg løsning til y = x + y, y(0) = x 0 = 0, y 0 = n x n y n 0.000.000 2 0.2000.2200 3 0.3000.3620 4 0.4000.5282 5 0.5000.720 n x n y n 6 0.6000.943 7 0.7000 2.974 8 0.8000 2.4872 9 0.9000 2.859 0.0000 3.875 Calculus - 2006 Uge 40.2-6
For begyndelsesværdiproblemet y = x 2 + y 2, y(0) = prøver vi at tilnærme løsningen y(x) med differentialet i små intervaller. I et givet punkt (x n, y n ) vil differentialet være = (x 2 n + y2 n )dx og y y n + (x 2 n + y 2 n )(x x n ) Calculus - 2006 Uge 40.2-7 Tabellæg løsning til y = x 2 + y 2, y(0) = n x n y n 0.000.0000 2 0.2000.000 3 0.3000.0052 4 0.4000.052 5 0.5000.0343 n x n y n 6 0.6000.0663 7 0.7000.60 8 0.8000.895 9 0.9000.2950 0.0000.4438 Calculus - 2006 Uge 40.2-8
Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Definition En. ordens differentialligning kaldes separabel. Løsning Integration 2 dx = g(x)f(y) f(y) = g(x)dx Fastlægger løsninger optil en konstant. Calculus - 2006 Uge 40.2-9 Separabel ligning [S] 7.3 Separable equations Eksempel 2 er separabel. Løsning dx = 6x 2 2y + cos(y) (2y + cos(y)) = 6x 2 dx Giver løsning bestemt ved ligningen 3 y 2 + sin(y) = 2x 3 + C Calculus - 2006 Uge 40.2-20
Logistisk ligning [S] 7.5 The logistic equation Eksempel. ordens differentialligningen kaldes den logistiske ligning. Løsning Ligningen er separabel 2 dp dt = kp ( P K ) dp P ( P/K) = kdt Calculus - 2006 Uge 40.2-2 Logistisk ligning [S] 7.5 The logistic equation Eksempel - fortsat 2 dp P ( P/K) = kdt integreres til løsninger 4 P (t) = K + Ae kt hvor A = K P (0) P (0) Calculus - 2006 Uge 40.2-22
Vækst [S] 7.4 Exponential growth and decay Definition dt = ky Vækstligningen er separabel med løsninger y = kdt ln y = kt + C y = Ae kt A fastlægges ved y(0) = Ae 0 = A Calculus - 2006 Uge 40.2-23. ordens ligning [S] 7.4 Exponential growth and decay 2 Sætning Løsningen til begyndelsesværdiproblemet dt = ky y(0) = y 0 er givet ved y(t) = y 0 e kt Calculus - 2006 Uge 40.2-24