1 Bytteøkonomier (kapitel 30)

1 Bytteøkonomier (kapitel 30) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! 2. Typiske spørgsmål: (a) Findes der markedspriser så udbud = efterspørgsel på alle markeder samtidigt? (b) Er generelle ligevægte økonomisk e ciente? (kan vi gøre alle bedre stillet ved hypotetiske omfordelinger af forbrug?) (c) Hvilke tilstande (forbrug) kan opnåes i generel ligevægt? (d) Nb: vi ønsker udbud = efterspørgsel på alle markeder - i hele økonomien - heraf navnet "generel ligevægt".

2 Generel ligevægt: 1. Vi ser på interaktionen mellem markeder. 2. Goder kan være substitutter eller komplementer. 3. Priserne på marked vil bestemme værdi af initialbeholdning...men værdi af initialbeholdninger afhænger af efterspørgsel og derved priser... 4. Det hele hænger sammen, så vi er nødt til at være præcise i vores analyse.

3 Model: 1. To forbrugere: A og B. 2. To goder: Gode 1 og og Gode 2. 3. A s forbrug: X A = (x 1 A ; x2 A ): 4. B s forbrug: X B = (x 1 B ; x2 B ): 5. Allokation: (X A ; X B ). 6. A s initialbeholdning: (! 1 A ;!2 A ): 7. B s initialbeholdning: (! 1 B ;!2 B ):

8. (X A ; X B ) er en mulig (=feasible) allokation hvis: x 1 A + x1 B =!1 A +!1 B x 2 A + x2 B =!2 A +!2 B :

4 Edgeworthboxen 1. Alt relevant i et diagram: 2. Mængden af mulige allokationer. 3. Budgetmængder 4. Initialbeholdning. 5. Indi erenskurver. 6. Den endelig beholdning.

Francis Ysidro Edgeworth, 1845-1926.

5 Konstruktion af Edgeworthbox 1. Længde:! 1 A +!1 B 2. Højde:! 2 A +!2 B : 3. A s forbrug angives fra sydvestligt hjørne. 4. B s forbrug angives fra nordøstligt hjørne. 5. Når A s forbrug er angivet da er B s forbrug også angivet og vice versa. 6. A s indi erenskurver angives fra sydvestligt hjørne. 7. B s indi erenskurver angives fra nordøstligt hjørne.

6 Paretoprincippet: Vilfredo Pareto, 1848-1923 1. Har vi tidligere introduceret (husk Kap. 1). 2. Nu skelner vi mellem en svag og stærk udgave af de nition. 3. En tilstand er stærkt Pareto optimal (stærkt Pareto e cient), hvis der ikke er en anden mulig tilstand hvor mindst en bliver bedre stillet og alle mindst ligeså godt stillet.

4. Vi kan også de nere en mindre restriktiv udgave (nemmere at opfylde): 5. En tilstand er svagt Pareto optimal (svagt Pareto e cient), hvis der ikke ndes anden mulig tilstand hvor alle er bedre stillet. 6. Ikke så vigtigt for os at skelne (Varian er også lidt slingrende - bruger det både i stærk og svag forstand). 7. I det følgende: Når vi blot referer til "Pareto optimalitet" er det stærk Pareto optimalitet. 7 Byttehandler i Edgeworthboks 1. Hvis forbrugere nyttemaksimerer, så vil der foregå byttehandler, så længe at de er til begges fordel (=Pareto forbedring).

2. Hvis W er initialbeholdning, da er alle allokationer i det indre af "cigaren" (="linsen") foretrukket for begge. (hvorfor?) 3. Man kunne for example forestille sige at byttehandel fører til punktet M. 4. I M kan man da igen tegne indi erenskurver der skærer M, og derved danne en ny "cigar". 5. Dette gentages indtil man ikke kan forbedre begges nytte. Hvad karakteriserer en tilstand hvor man ikke kan nde en byttehandel der gør begge bedre stillet?

8 Pareto optimale allokationer 1. Et punktet M har udtømt alle muligheder for byttehandler til begges fordel, hvis "cigaren" er forsvundet. 2. Eller mere præcist: Hvis fællesmængden mellem de respektive foretrukne mængder i forhold til M er tom. 3. Indi erenskurver tangerer (hvorfor?) 4. M er Pareto optimal (hvorfor?). 5. Kontraktkurven: Mængden af alle Pareto-optimal allokationer. 6. SPM: Hvor er det bedste punkt på kontraktkurven for A?, og for B?

9 Priser i Edgeworthboksen 1. Som i kapitel 9: 2. Budgetlinje er bestemt ved: (a) Initialbeholdning (b) De relative priser 3. Se Figur: (a) Budgetlinje skærer gennem initialbeholdning W og har hældning: p 1 p 2. (b) A s budgetmængde ligger vest for budgetlinje og B s budgetlinje ligger øst for (hvorfor?) (c) A s bruttoefterspørgsel: (x 1 A ; x2 A ) (d) A s nettoefterspørgsel (=overskudsefterspørgsel=excess demand) for gode 1:

(e) e 1 A = x1 A!1 A : (f) Figur 30.3: Vi har e 1 A (p 1; p 2 ) 6= e 1 B (p 1; p 2 ). (og også e 2 A (p 1; p 2 ) 6= e 2 B (p 1; p 2 )) - "Uligevægt" (=disequilibrium). (g) Figur 30.4: Vi har e 1 A (p 1; p 2 ) = e 2 A (p 1; p 2 ) = e 2 B (p 1; p 2 ). e 1 B (p 1; p 2 ) og - "Ligevægt".

10 Ligevægt: 1. Lad x 1 A (p 1; p 2 ) være A s bruttoefterspørgsel for gode 1. 2. Lad x 2 A (p 1; p 2 ) være A s bruttoefterspørgsel for gode 2. 3. Lad x 1 B (p 1; p 2 ) være B s bruttoefterspørgsel for gode 1. 4. Lad x 2 B (p 1; p 2 ) være B s bruttoefterspørgsel for gode 2.

Marie-Ésprit Léon Walras, 1834-1910 5. En Walrasligevægt (=markedsligevægt = kompetitiv ligevægt) er da et sæt af priser (p 1 ; p 2 ) så at x 1 A (p 1 ; p 2 ) + x1 B (p 1 ; p 2 ) =!1 A +!1 B x 2 A (p 1 ; p 2 ) + x2 B (p 1 ; p 2 ) =!2 A +!2 B : 6. Eller: (x 1 A (p 1 ; p 2 )!1 A ) + (x1 B (p 1 ; p 2 )!1 B ) = 0 (x 2 A (p 1 ; p 2 )!2 A ) + (x2 B (p 1 ; p 2 )!2 B ) = 0: 7. Eller: e 1 A (p 1 ; p 2 ) + e1 B (p 1 ; p 2 ) = 0 e 2 A (p 1 ; p 2 ) + e2 B (p 1 ; p 2 ) = 0:

8. De nér aggregeret overskudsefterspørgsel: z 1 (p 1 ; p 2 ) e 1 A (p 1; p 2 ) + e 1 B (p 1; p 2 ) z 2 (p 1 ; p 2 ) e 2 A (p 1; p 2 ) + e 2 B (p 1; p 2 ): Vi har da i ligevægt: z 1 (p 1 ; p 2 ) = 0 z 21 (p 1 ; p 2 ) = 0:

11 Walras lov 1. Walras lov: Værdien af overskudsefterspørgsel er altid nul (for alle sæt af priser). 2. Formelt (2 varer): p 1 z 1 (p 1 ; p 2 ) + p 2 z 2 (p 1 ; p 2 ) = 0 3. Argument: Se først på A s budgetbetingelse: p 1 x 1 A (p 1; p 2 ) + p 2 x 2 A (p 1; p 2 ) = p 1! 1 A + p 2! 2 A ; eller: p 1 (x 1 A (p 1; p 2 )! 1 A ) + p 2(x 2 A (p 1; p 2 )! 2 A ) = 0; eller: p 1 e 1 A (p 1; p 2 ) + p 2 e 2 A (p 1; p 2 ) = 0:

4. Samme for B: p 1 x 1 B (p 1; p 2 ) + p 2 x 2 B (p 1; p 2 ) = p 1! 1 B + p 2! 2 B ; eller: p 1 (x 1 B (p 1; p 2 )! 1 B ) + p 2(x 2 B (p 1; p 2 )! 2 B ) = 0; eller: p 1 e 1 B (p 1; p 2 ) + p 2 e 2 B (p 1; p 2 ) = 0: 5. Ved at lægge sammen får vi: p 1 (e 1 A (p 1; p 2 ) + e 1 B (p 1; p 2 ))+ eller: p 2 (e 2 A (p 1; p 2 ) + e 2 B (p 1; p 2 )) = 0 p 1 (z 1 (p 1 ; p 2 )) + p 2 (z 2 (p 1 ; p 2 )) = 0:

12 I økonomi med k varer, hvis k 1 markeder er i ligevægt, da er det k te marked også i ligevægt. 1. Bevis: Vi viser det for økonomi med 2 varer. Vi benytter Walras lov. 2. For priser (p 1 ; p 2 ), hvis ligevægt på marked for vare 1, da Ifølge Walras lov har vi: Hvilket giver: z 1 (p 1 ; p 2 ) = 0: p 1 z 1(p 1 ; p 2 ) + p 2 z 2(p 1 ; p 2 ) = 0 Så hvis p 2 > 0 har vi; p 2 z 2 (p 1 ; p 2 ) = 0: z 2 (p 1 ; p 2 ) = 0:

3. Metode til at nde ligevægt i økonomi med 2 varer: Find sæt af priser så der er ligevægt på marked 1. Da også ligevægt på marked 2 ) Generel ligevægt.

13 Kun relative priser har betydning 1. Antag der er k varer. 2. Ligevægt: 3. k ligninger, k priser. z 1 (p 1 ; :::; p k ) = 0. z k (p 1 ; :::; p k ) = 0 4. Men: (a) kun k 1 uafhængige ligninger (jf Walras lov) (b) OG

(c) k 1 uafhængige priser: Hvis ligevægtspriser, da er t > 0, også ligevægt. (p 1 ; :::; p k ) (tp 1 ; :::; tp k ); (d) DVS: vi kan altid vælge en numeraire i og sætte p i = 1:

14 Eksempel: Cobb-Douglas nytter 1. A s og B s nyttefuntioner: u A (x 1 A ; x2 A ) = (x1 A )a (x 2 A )1 a u B (x 1 B ; x2 B ) = (x1 B )b (x 2 B )1 b : 2. Vi har tidligere (Appendix kap 5) fundet efterspørgselsfunktionerne: Og x 1 A (p 1; p 2 ; m A ) = a m A p 1 x 2 A (p 1; p 2 ; m A ) = (1 a) m A p 2 : x 1 B (p 1; p 2 ; m B ) = b m B p 1 x 2 B (p 1; p 2 ; m B ) = (1 b) m B p 2 :

3. Vi har m A = p 1! 1 A + p 2! 2 A m B = p 1! 1 B + p 2! 2 B : 4. Aggregerede overskudsefterspørgsler. Gode 1: z 1 (p 1 ; p 2 ) = a m A p 1 + b m B p 1! 1 A!1 B Gode 2: = a p 1! 1 A + p 2! 2 A p 1 + b p 1! 1 B + p 2! 2 B p 1! 1 A!1 B : z 2 (p 1 ; p 2 ) = (1 a) m A p 2 + (1 b) m B p 2! 2 A!2 B = (1 a) p 1! 1 A + p 2! 2 A p 2 + (1 b) p 1! 1 B + p 2! 2 B p 2! 2 A!2 B :

5. Lad gode 2 være numeraire: p 2 1. Vi har da z 1 (p 1 ; 1) = a p 1! 1 A +!2 A p 1 + b p 1! 1 B +!2 B p 1! 1 A!1 B ; z 2 (p 1 ; 1) = (1 a)(p 1! 1 A +!2 A ) + (1 b)(p 1! 1 B +!2 B )!2 A!2 B : 6. Vi sætter z 1 (p 1 ; 1) = 0 og løser for p 1. a p 1! 1 A +!2 A p 1 Hvilket giver: p 1 = + b p 1! 1 B +!2 B p 1! 1 A!1 B = 0 a! 2 A + b!2 B (1 a)! 1 A + (1. b)!1 B 7. Alternativt kunne vi sætte z 2 (p 1 ; 1) = 0 og løse for p 1 : (1 a)(p 1! 1 A +!2 A )+(1 b)(p 1! 1 B +!2 B )!2 A!2 B = 0:

Hvilket giver p 1 = a! 2 A + b!2 B (1 a)! 1 A + (1 : b)!1 B -som forventet det samme som før... 8. Dvs: (p 1 ; p 2 ) = ( a! 2 A + b!2 B (1 a)! 1 A + (1 ; 1) b)!1 B udgør Walrasligevægt.

15 Eksistens af ligevægt 1. Ikke altid muligt at nde ligevægtspriser explicit som i tilfælde med to varer og CD nytter. 2. k 1 ligninger med k 1 ubekendte har ikke altid 1 løsning! 3. Man kan nde eksempler på økonomier, hvor der ikke ndes en ligevægt. 4. Man kan præcist formulere betingelser der sikrer eksistens. Groft sagt gælder det om at få betingelser på forbrugerens præferencer, der sikrer at aggregeret efterspørgsel er kontinuert i priser. (Mere om det på MIKRO, 2.år). 5. NB: Der kan være mere en 1 ligevægt.

16 Pareto-optimalitet af ligevægt 1. Velfærdsteoriens 1. hovedsætning: Forbrug i ligevægt er Pareto-optimalt. 2. Modstridsbevis (Det svage Paretoprincip, 2 varer, 2 forbrugere): (a) Lad (x 1 A ; x2 A ; x1 B ; x2 B ) være forbrug i ligevægt. Hvis ej Pareto-optimal, da ndes en allokation som er mulig, dvs: (y 1 A ; y2 A ; y1 B ; y2 B ); og så at y 1 A + y1 B =!1 A +!1 B y 2 A + y2 B =!2 A +!2 B ; (y 1 A ; y2 A ) A(x 1 A ; x2 A ) (y 1 B ; y2 B ) B(x 1 B ; x2 B ):

(b) Da forbruger i ligevægt (per antagelse) køber (x 1 A ; x2 A ) hhv (x1 B ; x2 B ) og ikke (y1 A ; y2 A ) hhv (yb 1 ; y2 B ) må det skyldes at y-bundterne ikke er inden for budgetmængder, dvs: og: p 1 y 1 A + p 2y 2 A > p 1! 1 A + p 2! 2 A ; p 1 y 1 B + p 2y 2 B > p 1! 1 B + p 2! 2 B : Lægges disse to uligheder sammen fås: omskrevet: p 1 y 1 A + p 2y 2 A + p 1y 1 B + p 2y 2 B > p 1! 1 A + p 2! 2 A + p 1! 1 B + p 2! 2 B p 1 (y 1 A + y1 B ) + p 2(y 2 A + y2 B ) > p 1 (! 1 A +!1 B ) + p 2(! 2 A +!2 B ): Husk at vi har ya 1 + y1 B =!1 A +!1 B ya 2 + y2 B =!2 A +!2 B ;

så p 1 (! 1 A +!1 B ) + p 2(! 2 A +!2 B ) > p 1 (! 1 A +!1 B ) + p 2(! 2 A +!2 B ) hvilket jo en umulighed, da højre og venstresiden er ens. 3. Konklusion: En ligevægt må være Pareto-optimal. 4. NB: Pareto-optimalitet siger intet om hvorvidt fordelingen af goder i økonomien er rimelig. 5. F.eks. en tilstand hvor forbruger A forbruger det hele er Pareto-optimal.

17 Når priser ikke tages for givne: Pris-o er kurven i Edgeworthboksen. 1. I Walras-ligevægt tager alle agenter priser for givne. 2. Realistisk, hvis der er "mange" forbrugere i økonomi, og de to forbrugere i Edgeworthbox blot repræsenterer to arketyper forbrugere (f.eks. mænd og kvinder). 3. Urealistisk, hvis det tages bogstaveligt at der kun er to forbrugere i økonomien. 4. Antag at A dikterer priserne. 5. A kender B s efterspørgsel.

6. A vælger relative priser, så at A nytte maksimeres givet B s efterspørgsel. 7. Husk "o er-kurven" fra kap6 / kapitel 9:

1. B s o erkurve i Edgeworthboks: 1. A sætter relative priser hvor B s o erkurve tangerer A s indi erenskurve (se gur)

2. Generelt ikke Pareto-optimalt! (Hvorfor?) 3. MEN: Hvis A ikke nødvendigvis skal tage en fast enhedspris, men er "perfekt discriminerende monopolist" (hver enhed sælges til pris = marginal betalingsvilje), da vil allokation være Pareto-optimal!

18 Kan alle Pareto-optimale allokationer opnås i ligevægt? 1. Velfærdsteoriens 2. Hovedsætning: (a) Hvis præferencer er konvekse, da kan enhver Paretooptimal allocation fås i ligevægt. (b) Hvorledes? (c) Lad X være Pareto-optimal allokation. (d) Lad da relative priser være således at hældning på budgetlinje = hældning på indi erenskurver i X. (e) Lad initialholdning være X - eller en vilkårligt anden allokation langs budgetlinjen.

1. Ikke-konvekse præferencer: Pareto-optimum X ikke opnåelig i ligevægt.

19 Hovedsætningerne i kombination: 1. 1. hovedsætning viser at det kompetitive marked i princippet er e cient måde at allokere ressourcer på i en økonomi, 2. 2. hovedsætning siger at alle Pareto-optima - dvs alle ønskelige allokationer i økonomi - kan opnåes i ligevægt, 3. Med andre ord: Enhvert Pareto-optimum kan opnåes ved passende omfordeling af initialbeholdning. - og ny ligevægt der opstår ved omfordeling er igen Pareto-optimal. 4. POINTE: Vi kan derved adskille spørgsmål om retfærdighed/lighed i ressourceforbrug fra spørgsmål om økonomisk e ciens.

5. Ønsker vi at omfordele de forbrugernes bene ts i økonomi, da behøver vi ikke at gøre dette ved at skævvride markedspriser, men istedet ved passende omfordelig af initialbeholdning. 6. F.eks. omfordeling via skatter. 7. Tværtimod vil en skævvridning af markedspriser (f.eks. ved at give tilskud til nogle forbrugere for visse varetyper) i almindelighed føre til ine ciente allocationer.