Oversigt [S] 11.8 Nøgleord og begreber Lagranges metode i to variable Lagranges metode i tre variable Flere bindinger August 2000, opgave 7 Calculus 2-2006 Uge 47.2-1
Skitse [S] 11.8 Niveaukurver y f(x,y)=1 0 1 2 3 2 x g(x,y)=k Lagrange situation Calculus 2-2006 Uge 47.2-2
Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y), når samtidig ligningen g(x, y) = k er opfyldt. Calculus 2-2006 Uge 47.2-3
Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y), når samtidig ligningen g(x, y) = k er opfyldt. Ligningen g(x,y) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Calculus 2-2006 Uge 47.2-3
Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y), når samtidig ligningen g(x, y) = k er opfyldt. Ligningen g(x,y) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Hvis ligningen g(x, y) = k kan løses, y = φ(x), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i 1 variabel x f(x,φ(x)). Calculus 2-2006 Uge 47.2-3
Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y), når samtidig ligningen g(x, y) = k er opfyldt. Ligningen g(x,y) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Hvis ligningen g(x, y) = k kan løses, y = φ(x), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i 1 variabel x f(x,φ(x)). Hvis løsningskurven til ligningen g(x, y) = k kan parametriceres med (x(t),y(t)), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i 1 variabel t f(x(t),y(t)). Calculus 2-2006 Uge 47.2-3
Maksimum/minimum under bibetingelse Eksempel Bestem ekstremumspunkter for funktionen når samtidig ligningen er opfyldt. f(x,y) = x + 3y g(x,y) = x 2 + y 2 = 10 Calculus 2-2006 Uge 47.2-4
Maksimum/minimum under bibetingelse Eksempel Bestem ekstremumspunkter for funktionen når samtidig ligningen f(x,y) = x + 3y g(x,y) = x 2 + y 2 = 10 er opfyldt. Løsning Niveaukurverne for f er linjer x + 3y = c. Ekstremum findes når disse tangerer cirklen x 2 + y 2 = 10. Calculus 2-2006 Uge 47.2-4
Maksimum/minimum under bibetingelse Eksempel - figur y 1 f(x,y)=0 x f(x,y) = x + 3y, g(x,y) = x 2 + y 2 = 10 Calculus 2-2006 Uge 47.2-5
Maksimum/minimum under bibetingelse Eksempel - fortsat Niveaukurverne x + 3y = c tangerer cirklen x 2 + y 2 = 10 for værdier af c, hvor har dobbeltrod. ( 3y + c) 2 + y 2 10 = 10y 2 6cy + c 2 10 Calculus 2-2006 Uge 47.2-6
Maksimum/minimum under bibetingelse Eksempel - fortsat Niveaukurverne x + 3y = c tangerer cirklen x 2 + y 2 = 10 for værdier af c, hvor har dobbeltrod. Diskriminanten ( 3y + c) 2 + y 2 10 = 10y 2 6cy + c 2 10 36c 2 40(c 2 10) = 4c 2 + 400 er 0 for c = ±10, som giver punkter (x,y) = ±(1, 3) Calculus 2-2006 Uge 47.2-6
Lagrange multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y) under begrænsningen g(x, y) = k. I ligningen f(x 0,y 0 ) = λ g(x 0,y 0 ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Calculus 2-2006 Uge 47.2-7
Lagrange multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y) under begrænsningen g(x, y) = k. I ligningen f(x 0,y 0 ) = λ g(x 0,y 0 ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Ligningen udtrykker at niveaukurven for f i (x 0,y 0 ) tangerer begrænsningskurven g(x, y) = k. Calculus 2-2006 Uge 47.2-7
Lagrange multiplikator metode Metode Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y) under begrænsningen g(x, y) = k. (a) Find x,y,λ så f(x,y) = λ g(x,y) g(x,y) = k (b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). Maksimum og minimum er blandt disse. Calculus 2-2006 Uge 47.2-8
Lagrange multiplikator metode Ligninger Lagranges ligningssystem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(x,y) under begrænsningen g(x,y) = k. f x (x,y) = λg x (x,y) f y (x,y) = λg y (x,y) g(x,y) = k Calculus 2-2006 Uge 47.2-9
Multiplikator metode Eksempel - igen Bestem ekstremumspunkter for funktionen f(x, y) = x + 3y, når samtidig ligningen g(x,y) = x 2 + y 2 = 10 er opfyldt. Calculus 2-2006 Uge 47.2-10
Multiplikator metode Eksempel - igen Bestem ekstremumspunkter for funktionen f(x, y) = x + 3y, når samtidig ligningen g(x,y) = x 2 + y 2 = 10 er opfyldt. Lagrangeligningerne er 1 = λ2x 3 = λ2y x 2 + y 2 = 10 Calculus 2-2006 Uge 47.2-10
Multiplikator metode Eksempel - igen fortsat Der løses 3x = y og x 2 + (3x) 2 10 = 0 der giver (x,y) = ±(1, 3) Calculus 2-2006 Uge 47.2-11
Multiplikator metode Eksempel - igen fortsat Der løses 3x = y og der giver Lagrange multiplikator er x 2 + (3x) 2 10 = 0 (x,y) = ±(1, 3) λ = ± 1 2 Calculus 2-2006 Uge 47.2-11
Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligningen g(x, y, z) = k er opfyldt. Calculus 2-2006 Uge 47.2-12
Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligningen g(x, y, z) = k er opfyldt. Ligningen g(x, y, z) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Calculus 2-2006 Uge 47.2-12
Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligningen g(x, y, z) = k er opfyldt. Ligningen g(x, y, z) = k kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Hvis ligningen g(x, y, z) = k kan løses, z = φ(x, y), reduces problemet til ekstremum for den sammensatte funktion i 2 variabel f(x,y,φ(x,y)) Calculus 2-2006 Uge 47.2-12
Lagranges multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x, y, z) = k. I ligningen 1 f(x 0,y 0,z 0 ) = λ g(x 0,y 0,z 0 ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Calculus 2-2006 Uge 47.2-13
Lagranges multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x, y, z) = k. I ligningen 1 f(x 0,y 0,z 0 ) = λ g(x 0,y 0,z 0 ) kaldes den ubekendte λ for en Lagrange multiplikator. Ligningen udtrykker at niveaufladen for f i (x 0,y 0,z 0 ) tangerer begrænsningsfladen g(x, y, z) = k. Calculus 2-2006 Uge 47.2-13
Lagrange multiplikator metode Metode Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x, y, z) = k. (a) Find x,y,z,λ så f(x,y,z) = λ g(x,y,z) g(x,y,z) = k (b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). Maksimum og minimum er blandt disse. Calculus 2-2006 Uge 47.2-14
Lagrange multiplikator metode Ligninger Lagranges ligningssystem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x, y, z) = k. f x (x,y,z) = λg x (x,y,z) f y (x,y,z) = λg y (x,y,z) f z (x,y,z) = λg z (x,y,z) g(x,y,z) = k Calculus 2-2006 Uge 47.2-15
Kassefabrikant Eksempel 1 En kasse uden låg laves af 12m 2 krydsfiner. Bestem kantlængder der giver størst rumfang. Calculus 2-2006 Uge 47.2-16
Kassefabrikant Eksempel 1 En kasse uden låg laves af 12m 2 krydsfiner. Bestem kantlængder der giver størst rumfang. Kantlængder x, y, z. Volumen V = xyz. Overfladeareal g = 2xz + 2yz + xy = 12. Beregn V x = yz,v y = xz,v z = xy g x = y + 2z,g y = x + 2z,g z = 2x + 2y Calculus 2-2006 Uge 47.2-16
Kassefabrikant Eksempel 1 - fortsat Lagranges ligningssystem opskrives yz = λ(y + 2z) xz = λ(x + 2z) 2xz + 2yz + xy = 12 xy = λ(2x + 2y) Heraf xyz = λ(xy + 2xz) xyz = λ(xy + 2yz) xyz = λ(2xz + 2yz) 2xz + 2yz + xy = 12 Calculus 2-2006 Uge 47.2-17
Kassefabrikant Eksempel 1 - fortsat Der løses x = y y = 2z 4z 2 + 4z 2 + 4z 2 = 12 Calculus 2-2006 Uge 47.2-18
Kassefabrikant Eksempel 1 - fortsat Der løses Løsningen er da x = y y = 2z 4z 2 + 4z 2 + 4z 2 = 12 (x,y,z) = (2, 2, 1) Kantlængder for størst rumfang er længde = 2m, bredde = 2m, højde = 1m Calculus 2-2006 Uge 47.2-18
Køreplan [S] 11.7 Maximum and minimum values 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D: Calculus 2-2006 Uge 47.2-19
Køreplan [S] 11.7 Maximum and minimum values 9 Bemærkning Find absolut maksimum og minimum for en kontinuert funktion f på en lukket og begrænset mængde D: 1. Find værdier af f i kritiske punkter i D 2. Find ekstremværdier af f på randen af D 3. Vælg maksimum/minimum fra 1. og 2. Calculus 2-2006 Uge 47.2-19
Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 Bestem ekstremumsværdier af på cirkelskiven f(x,y) = x 2 + 2y 2 D = {(x,y) x 2 + y 2 1} Calculus 2-2006 Uge 47.2-20
Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 Bestem ekstremumsværdier af på cirkelskiven f(x,y) = x 2 + 2y 2 D = {(x,y) x 2 + y 2 1} Løsning D er lukket og begrænset og f er kontinuert, så maksimum/minimum antages på D. Calculus 2-2006 Uge 47.2-20
Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 - figur z x f(x,y) = x 2 + 2y 2, g(x,y) = x 2 + y 2 1 y Calculus 2-2006 Uge 47.2-21
Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 Bestem ekstremumsværdier af på cirkelskiven f(x,y) = x 2 + 2y 2 D = {(x,y) x 2 + y 2 1} Calculus 2-2006 Uge 47.2-22
Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 Bestem ekstremumsværdier af på cirkelskiven f har kritisk punkt f(x,y) = x 2 + 2y 2 D = {(x,y) x 2 + y 2 1} f(x,y) = (2x, 4y) = 0 (x,y) = (0, 0) Calculus 2-2006 Uge 47.2-22
Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 - fortsat f(x,y) = x 2 + 2y 2 under begrænsningen g(x,y) = x 2 + y 2 = 1 giver Lagrange ligninger 2x = λ2x 4y = λ2y x 2 + y 2 = 1 med løsninger (x,y) = (±1, 0), (0, ±1) Calculus 2-2006 Uge 47.2-23
Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 - fortsat f(x,y) = x 2 + 2y 2 I alt er der 5 punkter at tabellægge (a, b) (0, 0) ( 1, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 1) f(a, b) 0 1 1 2 2 Calculus 2-2006 Uge 47.2-24
Find ekstremumspunkter Eksempel 2, 3 - fortsat f(x,y) = x 2 + 2y 2 I alt er der 5 punkter at tabellægge (a, b) (0, 0) ( 1, 0) (1, 0) (0, 1) (0, 1) f(a, b) 0 1 1 2 2 På cirkelskiven D er absolut maksimumspunkt og -værdi: f(0, ±1) = 2 absolut minimumspunkt og -værdi: f(0, 0) = 0 Calculus 2-2006 Uge 47.2-24
Find mindste afstand Eksempel 4 Bestem punkter på kugleskallen x 2 + y 2 + z 2 = 4 som er nærmest og længst fra punktet (3, 1, 1). Calculus 2-2006 Uge 47.2-25
Find mindste afstand Eksempel 4 Bestem punkter på kugleskallen x 2 + y 2 + z 2 = 4 som er nærmest og længst fra punktet (3, 1, 1). z x 2 y (3,1, 1) Calculus 2-2006 Uge 47.2-25
Find mindste afstand Eksempel 4 Bestem ekstremumsværdier af under bibetingelsen f(x,y,z) = (x,y,z) (3, 1, 1) 2 = (x 3) 2 + (y 1) 2 + (z + 1) 2 g(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 = 4 Calculus 2-2006 Uge 47.2-26
Find mindste afstand Eksempel 4 - løsning Lagranges ligningssystem opskrives 2(x 3) = λ2x 2(y 1) = λ2y 2(z + 1) = λ2z x 2 + y 2 + z 2 = 4 Calculus 2-2006 Uge 47.2-27
Find mindste afstand Eksempel 4 - løsning Lagranges ligningssystem opskrives Heraf 2(x 3) = λ2x 2(y 1) = λ2y 2(z + 1) = λ2z x 2 + y 2 + z 2 = 4 x = 3/(1 λ), y = 1/(1 λ), z = 1/(1 λ) 9 + 1 + 1 = 4(1 λ) 2 Calculus 2-2006 Uge 47.2-27
Find mindste afstand Eksempel 4 - løsning λ = 1 ± 11, f(x,y,z) = 4λ2 2 λ = 1 11 2 giver afstand 2 λ = 11 2 og nærmeste punkt (x,y,z) = ( 6 11, 2, 2 ) 11 11 λ = 1+ 11 2 giver afstand 2 λ = 11+2 og punktet længst væk (x,y,z) = ( 6 11, 2 11, 2 11 ) Calculus 2-2006 Uge 47.2-28
Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligninger g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c er opfyldt. Calculus 2-2006 Uge 47.2-29
Maksimum/minimum under bibetingelse Lagrange Problem Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligninger g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c er opfyldt. Ligningerne g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen. Calculus 2-2006 Uge 47.2-29
Lagranges multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c. I ligningen 16 f(x 0,y 0,z 0 ) = λ g(x 0,y 0,z 0 ) + µ h(x 0,y 0,z 0 ) kaldes de ubekendte λ, µ for Lagrange multiplikatorer. Calculus 2-2006 Uge 47.2-30
Lagranges multiplikator Definition Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c. I ligningen 16 f(x 0,y 0,z 0 ) = λ g(x 0,y 0,z 0 ) + µ h(x 0,y 0,z 0 ) kaldes de ubekendte λ, µ for Lagrange multiplikatorer. Ligningen udtrykker at niveaufladen for f i (x 0,y 0,z 0 ) tangerer begrænsningskurven g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c. Calculus 2-2006 Uge 47.2-30
Lagrange multiplikator metode Metode Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c. (a) Find x,y,z,λ,µ så f(x,y,z) = λ g(x,y,z) + µ h(x,y,z) g(x,y,z) = k h(x,y,z) = c (b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). Maksimum og minimum er blandt disse. Calculus 2-2006 Uge 47.2-31
Lagrange multiplikator metode Ligninger Lagranges ligningssystem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begrænsningen g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c. f x (x,y,z) = λg x (x,y,z) + µh x (x,y,z) f y (x,y,z) = λg y (x,y,z) + µh y (x,y,z) f z (x,y,z) = λg z (x,y,z) + µh z (x,y,z) g(x,y,z) = k h(x,y,z) = c Calculus 2-2006 Uge 47.2-32
To betingelser Eksempel 5 Lagranges ligningssystem for bestemmelse af ekstremumspunkter for funktion f = x + 2y + 3z under begrænsningen g = x y + z = 1, h = x 2 + y 2 = 1. 1 = λ + µ2x 2 = λ + µ2y 3 = λ x y + z = 1 x 2 + y 2 = 1 Calculus 2-2006 Uge 47.2-33
To betingelser Eksempel 5 - fortsat Løsningen giver relevante punkter (x,y,z) = ( 2 29, 5, 1 + 7 ) 29 29 (x,y,z) = ( 2 29, 5 29, 1 7 29 ) Calculus 2-2006 Uge 47.2-34
To betingelser Eksempel 5 - fortsat Løsningen giver relevante punkter (x,y,z) = ( 2 29, 5, 1 + 7 ) 29 29 (x,y,z) = ( 2 29, 5 29, 1 7 29 ) Ved indsættelse i f = x + 2y + 3z fås 3 + 29 og 3 29. Det første punkt er maksimum og det andet punkt er minimum. Calculus 2-2006 Uge 47.2-34
Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 Minimer funktionen f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 under bibetingelsen 2x + y + z = 1. Calculus 2-2006 Uge 47.2-35
Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 Minimer funktionen f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 under bibetingelsen 2x + y + z = 1. Løsning f angiver kvadratet for afstanden fra 0 til planen givet ved bibetingelsen. Fra lineær algebra ved vi at minimum antages. Kandidater til minimumspunkt findes ved Lagrange metoden. Calculus 2-2006 Uge 47.2-35
Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - fortsat Lagrange metoden anvendes på funktionen f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 under bibetingelsen g(x,y,z) = 2x + y + z = 1. Calculus 2-2006 Uge 47.2-36
Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - fortsat Lagrange metoden anvendes på funktionen f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 under bibetingelsen g(x,y,z) = 2x + y + z = 1. Løsning De partielle afledede er f x = 2x,f y = 2y,f z = 2z g x = 2,g y = 1,g z = 1 Calculus 2-2006 Uge 47.2-36
Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - fortsat Lagrange ligningssystem bliver 2x = 2λ 2y = λ 2z = λ 2x + y + z = 1 Calculus 2-2006 Uge 47.2-37
Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - fortsat Lagrange ligningssystem bliver 2x = 2λ 2y = λ 2z = λ 2x + y + z = 1 Løsningen giver multiplikator λ = 1 3 og minimumspunkt/værdi (a,b,c) = ( 1 3, 1 6, 1 6 ), f(a,b,c) = 1 6 Calculus 2-2006 Uge 47.2-37
Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, z = 1 2x y og minimer funktionen h(x,y) = f(x,y, 1 2x y) = x 2 + y 2 + (1 2x y) 2 = 5x 2 + 2y 2 + 4xy 4x 2y + 1 Calculus 2-2006 Uge 47.2-38
Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, z = 1 2x y og minimer funktionen h(x,y) = f(x,y, 1 2x y) = x 2 + y 2 + (1 2x y) 2 = 5x 2 + 2y 2 + 4xy 4x 2y + 1 Løsning De partielle afledede er h x = 10x + 4y 4,h y = 4x + 4y 2 Calculus 2-2006 Uge 47.2-38
Opgave Matematik Alfa 1, August 2000 Opgave 7 - alternativt Løs bibetingelsen, z = 1 2x y og minimer funktionen h(x,y) = f(x,y, 1 2x y) = x 2 + y 2 + (1 2x y) 2 = 5x 2 + 2y 2 + 4xy 4x 2y + 1 Løsning De partielle afledede er h x = 10x + 4y 4,h y = 4x + 4y 2 Det kritiske punkt (a,b) = ( 1, 1 ) giver minimums punkt/værdi 3 6 (a,b,c) = ( 1, 1, 1), f(a,b,c) = 1. 3 6 6 6 Calculus 2-2006 Uge 47.2-38