Komplekse tal anvendelser

Komplekse tal anvendelser Forenkler beregninger i forbindelse med: Svingninger og vibrationer (mekaniske, elektriske) Reguleringssystemer Lineære differentialligninger Fluid dynamik Signalanalyse og filtrering Forår 2014 M2CAL2 3

9.1 Introduktion/9.2 Komplekse tal De reelle tal er ofte ikke tilstrækkelige til at udtrykke f.eks. løsninger til ligninger: Løs ligningen: x 2 +4x+8 = 0

Ligningen har ingen (reelle) løsninger! Grafen for funktionen y(x) = x 2 +4x+8:

Løsning af ligningen Diskriminanten D = 4 2 4 1 8 = 16 Altså ingen (reelle) løsninger Mathcad giver x 2 4x 8 0 solve 2 2 Pengene passer, hvis vi definerer i ud fra ligningen i 2 = 1 i kan lidt populært opfattes som 1 (eller 1) Test: indsæt x = 2 + 2i i ligningen: 2i 2i

Løsning af ligningen i hånden: X 2 +4x+8 = 0 = ± 4 2

Komplekse tal Ligningen x 2 = 1 har ingen reelle løsninger Men blandt de komplekse tal er tallet i løsning til ligningen: i 2 = 1 i kaldes den imaginære enhed Tallet i er også løsning til ligningen ovenfor i kaldes ofte for j. j anvendes oftest blandt ingeniører for ikke at forveksle med i, der betegner elektrisk strøm Bogen bruger j Mathcad bruger i i resultater, men forstår j i input Et komplekst tal er summen af et reelt (realdelen Re) og et imaginært tal (imaginærdelen Im): z = Re+jIm (Eks.: z = 3+j4 eller z = 3+4j) Bemærk: vi bruger ofte z som betegnelse for et komplekst tal (og så bruges x ofte som betegnelse for realdelen, mens y bruges for imaginærdelen)

Vi prøver at løse

Eksempel 9.1

Eksempel 9.2

Den komplekst konjugerede

Eksempel 9.3

Eksempel 9.4 Gennemgås anderledes end i bogen

Da x = 1 er løsning til ligningen, går (x 1) op i venstresiden.

Ligniningen x 2 6x+13 = 0 løses: Obs: Vigtig regel: Et n te grads polynomium har n rødder!

Vigtig grundregel: To komplekse tal er ens hvis og kun hvis deres realdele er ens og deres imaginærdele er ens

Eksempel 9.5

Addition og subtraktion Man adderer to komplekse tal ved at addere realdelene og imaginærdelene hver for sig Tilsvarende for subtraktion

Multiplikation Multiplikation af to komplekse tal med hinanden vises med et eksempel:

Eksempel 9.8

Hjælpesætning om komplekst konjugerede tal

Division Ved division af to komplekse tal med hinanden forlænger vi brøken med nævnerens komplekst konjugerede dvs.

Eksempel 9.9

Regn selv nu og til næste gang Øvelse 9.2 side 701 opgave 1,3, 5, 6 og 7 Øvelse 9.3 side 704 opgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 Computeropgaverne side 704 nr. 1, 2 og 3

Komplekse tal 2 Tidsplan: Tirsdag d. 3. februar 10.15 12.00: Komplekse tal 1: Afsnit 9.1, 9.2 og 9.3 Fredag d. 6. februar 10.15 12.00 : Komplekse tal 2: Afsnit 9.4 og 9.5 Tirsdag d. 17. februar 10.15 12.00 : Komplekse tal 3: Afsnit 9.6 og 9.7 Torsdag d. 19. februar 14.30 16.15 : Komplekse tal 4: Afsnit 9.9 Afsnit 9.8 og 9.10 overspringes Tirsdag d. 24. februar 10.15 12.00: Opgaveregning/opsamling

Sidste gang kort repetition Den imaginære enhed Det komplekse tal Addition/substraktion Den kompleks konjugerede Multiplikation Division

Opgaverne fra sidste gang Øvelse 9.2 side 701 opgave 1, 2, 3, 5, 6 og 7 Øvelse 9.3 side 704 opgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 Computeropgaverne side 704 nr. 1, 2 og 3

9.4 Grafisk repræsentation af komplekse tal Reelle tal: Tallinje, abscisseakse Komplekse tal: Den komplekse plan Argand diagram

Eksempler på komplekse tal i Argand diagram

Eksempel 9.10

9.5 Komplekse tal på polær form I de første 4 afsnit: Komplekse tal angives i retvinklede koordinater også kaldet kartesiskse koordinater. Det komplekse tal angives med en 1. og en 2. koordinat (hhv. Real del og Imaginær del) Skrives som Supplende, alternativ til de kartesiske koordinater: Polære koordinater Det komplekse tal angives med en længde modulus r eller z en vinkel i forhold til 1. aksen argumentet θ Skrives som ) )

Kartesiske vs. polære koordinater

OBS: Argumentet Θ kan angives i enten radianer eller grader det er i princippet lige meget, hvad man bruger, men der er mange fælder! Det vigtigste er at være klar over, hvad ens lommeregner/computer er indstillet til MathCad regner altid med radianer

Konvertering mellem kartesiske og polære koordinater

Fra polær til kartesisk let og problemløst: Kendte størrelser Modulus r Argument θ Skal bestemmes Realdelen a = r cos θ Imaginærdelen b = r sin θ Heraf fås z = a + jb = r (cos θ + j sin θ) Eksempel: r = 4, θ = π/4 (z = 4 < π/4 ) Bestem z = a + jb

Fra kartesisk til polær her skal der tænkes: Kendte størrelser Realdelen a Imaginærdelen b (z = a + jb) Skal bestemmes Modulus r = z Argument θ Pas på!!!

Eksempel 9.11

Eksempel 9.12 Pas på!!!

Multiplikation og division på kompleks form Der er givet to komplekse tal = og = Kan også skrives som Produktet kan skrives som =

Eksempel 9.13

Tilsvarende for division Der er givet to komplekse tal = og =

Eksempel 9.14

OBS: MathCad Indtastning af polære komplekse tal i Mathcad afventer gennemgang af afsnit 9.7 om komplekse tal på eksponentiel form.

Regn selv til næste gang:(nu og hjemme) Øvelse 9.4 side 705 opgave 1 og 2 Øvelse 9.5 side 708 709 opgave 1, 2, 3, 4, 5, 7 og 8 Alle opgaver regnes i hånden gerne med hjælp fra lommeregner eller computer

Sidste gang Grafisk repræsentation af komplekse tal Argand diagram Komplekse tal på polær form

9.6 Vektorer og komplekse tal

Eksempel 9.15

9.7 Komplekse tal på ekponentiel form Vi husker, at et komplekst tal på polær for kan skrives som: Fra kapitlet om rækker har vi, at Hjælpesætning: j 2 = ; j 3 = ; j 4 = ; j 5 =

Størrelsen Fra rækkekapitlet har vi: (OBS: z i stedet for x) Størrelsen e jθ =

Det vil sige, at kan skrives som Skrivemåden benyttes primært i videregående kompleks funktionsteori, men benyttes bl.a. også i MathCads notation for komplekse tal på polær form. Obs: Indtastning: 1j eller 1i Færdigt resultat

Eulers formel kaldes Eulers formel På grundlag heraf bestemmes

Eksempler på gyldige formler

Eksempel

Regn selv Øvelse 9.7 side 712 opgave 1, 2, 3, 4, 5, 7 og 8

9.9 De Moivre's sætning De Moivres sætning er en vigtig sætning inden for de komplekse tal:

Gælder også for rødder: Husk, at Endvidere, mere generelt: Eller på De Moivre form: Eksempel med den 3 die rod:

Eksempel 9.18

Eksempel 9.19

Nemmere skrivemåde De Moivres formel anvender formelt skrivemåden: = I stedet kan den simplere vinkel metode anvendes:

Generelt om komplekse rødder For reelle tal gælder, at eksempelvis en kvadratrod af et tal er en værdi Eksempel: 4=2 For komplekse tal gælder, at den n te rod af et tal antager i alt n forskellige værdier Eksempel: Den tredje rod af 1 er de tre forskellige komplekse tal, der er løsning til ligningen = 1 Fra eksempel 9.18 fås:

Rodformlen for komplekse tal

Eksempel Find på grundlag af rodformlen

Regn selv til næste gang Øvelse 9.9 side 723 opgave 1, 3, 4, 6 og 7

Anvendelser af matricer (ental: matrix) Matricer anvendes internt i matematikken ved f.eks. løsning af ligningssystemer Matricer anvendes eksternt bl.a. inden for Afstemning af reaktionsligninger Reguleringsteknik El-teknik Vibrationsanalyse Analyse af konstruktioner Varmeflowsberegninger Økonomiske modeller Billedbehandling Danner matematisk baggrund for mange computermodeller

Følgende afsnit gennemgås Side afsnittet 26. februar 8.1 Introduction 633 1 26. februar 8.2 Basic definitions 634 1 26. februar 8.3 Addition, subtraction and multiplication 635 7 8.4 Robot coordinate frames 642 3 26. februar 8.5 Some special matrices 645 3 3. marts 8.6 The inverse of a 2 2 matrix 648 4 3. marts 8.7 Determinants 652 4 5. marts 8.8 The inverse of a 3 3 matrix 656 1 5. marts 8.9 Application to the solution of simultaneous equations 657 3 10. marts 8.10 Gaussian elimination 660 8 12. og 17. marts 8.11 Eigenvalues and eigenvectors 668 12 8.12 Analysis of electrical networks 680 6 8.13 Iterative techniques for the solution of simultaneous equations 686 6 8.14 Computer solutions of matrix problems 692 2 19. marts Review exercises 8 694 3 64

8.1 Introduktion/8.2 Basisdefinitioner En matrix er et ordnet talsæt

Eksempler - Ofte anvendes store, fede bogstaver eller dobbelt-overstregede bogstaver - Lærebogen anvender store, almindelige bogstaver

Generel række-søjle-nummerering Række, søjle i index på de enkelte elementer Rækkematrix/søjlematrix Matricer/vektorer

Eksempel 8.1 gennemgås

8.3 Addition, subtraktion og multiplikation Addition/subtraktion: Matricerne skal være af samme type (række- /søjleantal) Elementerne adderes/subtraheres hver for sig

Eksempler addition og subtraktion

Eksempel 8.3 Eksemplet viser den kommutative lov (ombytningsregelen) og omtaler den associative lov Gennemlæs selv eksemplet

Multiplikation med en skalar (et tal) De enkelte elementer multipliceres med skalaren

Eksempler

Eksempel 8.4 første del gennemgås gennemgå selv resten

Matrix-multiplikation Multiplikation af to matricer Faktorernes rækkefølge er ikke ligegyldig (AB er (ikke nødvendigvis) lig med BA) Søjleantallet i den første matrix skal være lig med rækkeantallet i den anden matrix

Eksempler gennegås i fællesskab/individuelt Eksempel 8.5 i fællesskab Eksempel 8.6 i fællesskab Eksempel 8.7 i fællesskab Eksempel 8.8 individuelt Eksempel 8.9 individuelt Eksempel 8.10 individuelt Eksempel 8.11 individuelt

Eksempel 8.5

Eksempel 8.6

Eksempel 8.7

8.5 Specielle matricer Gennemgang af forskellige specialtilfælde af matricer

8.5 Specielle matricer (1) Kvadratiske matricer - eksempel

8.5 Specielle matricer (2) Diagonalmatricer- eksempel

8.5 Specielle matricer (3) Enhedsmatricer (Identity matrices)- eksempel

8.5 Specielle matricer (4) Den transponerede matrix eksempel 8.15 og 8.16 gennemgås

8.5 Specielle matricer Symmetriske matricer eksempel 8.17

8.5 Specielle matricer Skævsymmetrisk/Antisymmetrisk matrix: Hvis A T = -A siges A at være skævsymmetrisk/antisymmetris Eksempel 8.18 gennemgås:

Specielle matricer - oversigt Kvadratiske matricer Diagonalmatricer Enhedsmatricer (Identity matrices) Transponerede matricer (også ikkekvadratiske matricer) Symmetriske matricer Skævsymmetriske/antisymmetriske matricer

Opgaver/øvelser til næste gang Eksempel 8.3 Eksempel 8.4 (delvist) Eksempel 8.8 Eksempel 8.9 Eksempel 8.10 Eksempel 8.11 Øvelser side 640-641 (1-9) Omtal øvelse 3 og 9 Eventuelt øvelser side 647-648 (1-9)

Der gennemgås afsnit 8.6 og 8.7 Inverse matricer Determinanter Begge er kun definerede for kvadratiske matricer

Determinater Kendes fra gymnasiet fra vektorregning og to ligninger med to ubekendte Eksempel: Givet Bestem A =det(a)= -Vi skal også om lidt beregne determinanter for 3x3- matricer

8.6 Inverse matricer for 2 x 2-matrix Givet matrixligningen AB = C ; find B = Kan ikke løses med matrixdivision /findes ikke I stedet ganges igennem med A -1 den inverse matrix (Findes kun hvis A er kvadratisk!) Det gælder nemlig, at AA -1 = A -1 A = I (enhedsmatricen) Derved bliver B:

Eksempel 8.19 AA -1 = A -1 A = I

Formlen Kan vi eftervise det? AA -1 = A -1 A = I

Eksempel 8.22 singulær matrix

Generelt: Eksempel 8.23 -determinanter

Ortogonale matricer Matricen A siges at være ortogonal hvis A T = A -1 I så fald må det gælde, at Eksempel 24: AA -1 = A -1 A = I

8.7 Determinanten for en 3x3-matrix Minor underdeterminant Opløst efter 1. række

Eksempel 8.25

Eksempel 8.26

Cofactor Cofactoren er lig med minor en med et pladsafhængigt fortegn foran det enkelte element Eksempel

Eksempel 8.27

Sammenhæng med vektorprodukt Gymnasiestof: Vektorprodukt Givet: Eller vha. determinanter:

Eksempel 8.28

Cramers regel Kendt fra gymnasiet for to ligninger med to ubekendte (kendt som Determinantmetoden ) Givet:

Givet Cramers regel (2)

giver nul????? Hvad nu hvis..

Eksempel 8.29

Herefter og til næste gang: Regn nogle af opgaverne side 655 opgave 1 8 Regn desuden de manglende opgaver fra side 651, opgave 1-9

Dagens program Afsnit 8.8: Invers 3x3-matrix Afsnit 8.9: Anvendelser af matricer ved løsning af flere ligninger med flere ubekendte

8.8. Invers 3x3-matrix Lidt repetition: Den inverse matrix kaldes som bekendt A -1 Og det gælder, at AA -1 = A -1 A = I (enhedsmatricen) Kun kvadratiske matricer kan have en invers matrix Hvis A =det(a)= 0, eksisterer A -1 ikke For en 2x2-matrix bestemmes A -1 ved: Bemærk, at ad bc= A =det(a)

Nye ord sidste gang: Minor underdeterminant Eksempel Cofactor: Minor kombineret med et fortegn Eksempel

Nye ord denne gang Cofactormatricen Eksempel Adjoint matrix adj(a) (adjungeret matrix)

Og slutteligt: Den inverse matrix: Forbehold:

AA -1 = A -1 A = I Eksempel 8.30

8.9 Løsning af flere ligninger med flere ubekendt Vi skal i alt se på 3 metoder, hvori der indgår matricer: Cramers regel (determinantmetoden sidste gang) Matrix-metoden (dette afsnit) Gauss-elimination (8.10) Vi nøjes med at se på højst 3 ligninger med 3 ubekendte På computer kan der løses meget større ligningssystemer principperne er de samme!

Eksempel 8.31 -intro af matrixmetoden

Eksempel 8.32

Generelt gælder Hvis nu A -1 ikke eksisterer? Ingen løsninger Uendeligt mange løsninger Hvad svarer det til ved 2 ligninger med 2 ubekendte? 3 ligninger med 3 ubekendte? 4 ligninger med 4 ubekendte? Hvis A -1 ikke eksisterer kan metoden i næste kapitel overvejes!

Regn selv til næste gang Opgaver side 657, 1-2 og side 660, 1-2

8.10 Gauss elimation 3. metode inden for matrixregning til løsning af n ligninger med n ubekendte Tager udgangspunkt i de lige store koefficienters metode

Indledende eksempel 8.33

Udvidet matrix/totalmatrix/augmentedmatrix Lovlige Rækkeoperationer Enhver enkelt ligning må multipliceres med en vilkårlig konstant forskellig fra nul Enhver ligning kan lægges til eller trækkes fra enhver anden ligning Alle ligninger må ombyttes Echelon form

Eksempel 8.34 Er der noget uldent ved disse ligninger?

Eksempel 8.35 Er der noget uldent ved disse ligninger?

Eksempel 8.36

Eksempel 8.37

Eksempel 8.38 Der er noget uldent ved disse ligninger!

Eksempel 8.39 og resten af afsnittet Mathcad overspringes

Eksempel 40 gennemgår en metode til at invertere en matrix vha. Gauss elimination Spring over eller læs selv!

Lovlige Rækkeoperationer Enhver enkelt ligning må multipliceres med en vilkårlig konstant forskellig fra nul Enhver ligning kan lægges til eller trækkes fra enhver anden ligning Alle ligninger må ombyttes

Opgaver side 667, 1 2 Regn selv

Afsnit 8.11 Egenværdier og egenvektorer side 668 til 680 De mest avancerede egenskaber ved matricer, vi kommer til at beskæftige os med i dette kursus! Bruges bl.a. inden for løsning af differentialligninger/differentialligningssystemer

Eksempel kommer ikke i dette kursus

Et eksempel på egenværdi og egenvektor (Opg.3 side 641)

Hvad observererede vi her?

Egenvektorer og egenværdier I eksemplet er der givet en matrix Vi siger, at er en egenvektor til M Vi siger endvidere, at λ = 1 er en egenværdi til M Det gør vi, da vi kan skrive:

Vi skifter emne et øjeblik..

Homogene ligningssystemer Den trivielle løsning Homogent ligningsystem 1 Hvilke(n) løsning(er)? Homogent ligningsystem 2 Hvilke(n) løsning(er)?

Homogene ligningssystemer den trivielle løsning (2) Homogent ligningsystem 2 Hvilke(n) løsning(er)? se eksempel 8.35 side 662 Gælder også for 3 eller flere varable

For homogene ligninger gælder Hvis koeeficientmatricens determinant er nul, er der uendeligt mange løsninger. Hvis koeeficientmatricens determinant er forskellig fra nul, er der én løsning, nemlig den trivielle, hvor alle variablerne bliver 0

Eksempel 8.41

Eksempel 8.42

Begrebet egenværdi λ (eigenvalue) forklaret på en anden måde end før Givet ligningssystemet, hvori λ er en ubekendt konstant: Oplagt, at der findes en triviel løsning! På matrixform:

Hvornår har ligningssystemet ikke trivielle løsninger? Når determinanten A λ I =

Egenværdierne findes Den karakteristiske ligning

Eksempel 8.43

Det gælder, at

Eksempel 8.44

Eksempel 8.45

Eksempel 8.46

Mathcad

Pause Regn efter ca. 10 minutters pause øvelse 1 og 2 side 676. Regn de første i hånden og brug derefter computer.

Egenvektorer Til hver egenværdi λ findes der en vektor/talsæt X, som udgør den ikke trivielle løsning til det dertil hørende ligningssystem Den trivielle løsning løsning er naturligvis også

I eksemplet fra start er λ = 1 en egenværdi til M er en egenvektor svarende til λ = 1 λ = 1 er en også en egenværdi til M er også en egenvektor svarende til λ = 1 Test: M v 1 = λ v 1 : λ = 1: λ = 1:

OBS: Mange egenvektorer I eksemplet er en egenvektor til M Fra det oprindelige eksempel opgave 3 side 641 ender vektoren også med at blive til sig selv når den ganges med M Der er uendeligt mange egenvektorer til en egenværdi (her λ = 1), men de kan alle skrives som et tal gange

Eksempel 8.47 Egenværdierne blev fundet i eksempel 8.45. Her blev de to egenværdier fundet til 1 og 5

Eksempel 8.48 Egenværdien blev fundet i eksempel 8.45. Der er kun en egenværdi, nemlig 4

Egenvektorerne findes med Mathcad! Eksempel 8.49

Regn selv (Øvelse 1 og 2 side 676) Øvelse 1 og 2 side 680 Frivillige, supplerende opgaver: side 694 695 øvelse 1, 3, 4, 5, 6, 8, 11, 13, 14, 15 og 16

Program 2. ordens differentialligninger Tirsdag d. 7. april 10.15 12.00 (03.055) 2. ordens differentialligninger. 1. Homogene fuldstændige (Afs. 17.1 s. 535 539) Tirsdag d. 7. april 14.30 16.15 (Auditorium) 2. ordens differentialligninger. 2. Homogene partikulære (Afs. 17.1 s. 539 541) Torsdag d. 9. april 14.30 16.15: Ingen Calculusundervisning Tirsdag d. 14. april 10.15 12.00 (03.055) 2. ordens differentialligninger. 3. Inhomogene fuldstændige (Afs. 17.2 s. 542 546) Tirsdag d. 14. april 14.30 16.15 (Auditorium) 2. ordens differentialligninger. 4. Inhomogene partikulære (Primært PowerPoints) Torsdag d. 16. april 14.30 16.15: Ingen Calculusundervisning Tirsdag d. 21. april 10.15 12.00 (03.055) 2. ordens differentialligninger. Opgaveregning (Tirsdag d. 21. april 14.30 16.15 (Auditorium) Nyt emne: Laplace transformation)

Partikulær løsning to konstanterside 539

To konstanter to ligninger

Partikulær løsning Begyndelsesbetingelse (Initial Value), f.eks. y(0) = 1 og y (0)= 0 Randbetingelse (Boundary Value), f.eks. y(2) = 1 og y (4)= 0 Der kan anvendes enten to y værdier, to y værdier eller et mix.

Maple Ultra light kursus

Regn nu og senest til 14. april Side 541 opgave 31 40 og 56 60 (eller så mange, I har behov for )

Program(foreløbigt) Tirsdag d. 21. april 14.30 16.15 (Auditorium) Laplacetransformation. Intro. Afsnit 21.1, 21.2 og 21.3. Side 590 593 Torsdag d. 23. april 14.30 16.15 (Auditorium) Egenskaber ved Laplacetransformation. Differentiation og integration. Afsnit 21.4 og 21.5. Side 594 601 Torsdag d. 30. april 14.30 16.15 (Auditorium) Invers Laplacetransformation. Afsnit 21.6. Side 601 604 Torsdag d. 7. maj 14.30 16.15 (Auditorium) Invers Laplacetransformation med partialbrøker. Afsnit 21.7. Side 604 606 Tirsdag d. 12. maj 10.15 12.00 (03.055) Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit 21.10. Side 612 622 Tirsdag d. 12. maj 14.30 16.15 (Auditorium) Overføringsfunktioner. Afsnit 6.11. Side 622 630 Tirsdag og torsdag 19. og 21. maj: Repetition

Anvendelser af Laplacetransformationen Løsning af lineære differentialligninger med konstante koefficienter Blokdiagrammer for dynamiske systemer F(s) G(s) X(s)

Hvad er Laplacetransformationen En metode, hvor en funktion f(t) (t>=0) sendes over i et andet domæne, hvori f.eks. lineære differentialligninger med konstante koefficienter bliver til almindelige algebraiske ligninger. Den uafhængige variabel t (i tidsdomænet) ændres til en ny uafhængig (i s domænet). Ligningerne løses (let) i s domænet og transformeres derefter tilbage (invers Laplacetransformation) til tidsdomænet I s domænet bliver en integration erstattet af en division med s og en differentiation med en multiplikation med s. Det hele giver ingen mening før vi er færdige med afsnit 21.10!

Analogi: Logaritmer Princippet med tranformationer bruges tilsvarende ved logaritmer. Her transformeres tal ved at tage logaritmen. Og så bliver multiplikation til addition etc. Herefter tranformeres tilbage ved brug af potensopløftning (invers logaritmefunktion).

Definition af Laplacetransformationen

Specialfunktioner i tabel 21.1 side 592: e cosh t t e sinh t t e 2 e 2 t t Enhedstrinfunktion, u(t) u(t) 1 t Dirac s deltafunktion, (t) 1 (t) ( t) dt 1 t

Eksempel: f(t)=t 2. Bestem F(s) =L{f(t)} Hjælpeintegral fra Mathcad (Kan beregnes vha. partiel integration)

Regn til næste gang Side 593 opgave 1a, 1b, 1c, 1e, 1g, 1h, 1j, 1l, 1m Opgaven skal løses uden elektroniske hjælpemidler. (Kontrollér gerne med Mathcad e.a.)

Program(foreløbigt) Tirsdag d. 21. april 14.30 16.15 (Auditorium) Laplacetransformation. Intro. Afsnit 21.1, 21.2 og 21.3. Side 590 593 Torsdag d. 23. april 14.30 16.15 (Auditorium) Egenskaber ved Laplacetransformation. Differentiation og integration. Afsnit 21.4 og 21.5. Side 594 601 Torsdag d. 30. april 14.30 16.15 (Auditorium) Invers Laplacetransformation. Afsnit 21.6. Side 601 604 Tirsdag d. 5. maj 10.15 12.00 (03.055) Invers Laplacetransformation med partialbrøker. Afsnit 21.7. Side 604 606 Torsdag d. 7. maj 14.30 16.15 (Auditorium) Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit 21.10. Side 612 622 Kl. 15.45 16.15: Om udenlandsophold Tirsdag d. 12. maj 10.15 12.00 (03.055) Overføringsfunktioner. Afsnit 6.11. Side 622 630 Tirsdag d. 12. maj 14.30 16.15 (Auditorium) Repetition Tirsdag og torsdag 19. og 21. maj: Repetition

Opgaver til denne gang problemer? Side 593 opgave 1a, 1b, 1c, 1e, 1g, 1h, 1j, 1l, 1m

1. Linearitet

Regn selv eksempel 21.4

21.5 Laplacetransformation. Differentiation og integration. Side 598

Eksempel 1

Eksempel 2

Resten af afsnittet overspringes

Regn til næste gang Side 600, opgave 1a, 1b, 1c, 1d, 1e, 2a, 2b, 2d Opgaven skal løses uden elektroniske hjælpemidler. (Kontrollér gerne med Mathcad e.a.)

Program(foreløbigt) Tirsdag d. 21. april 14.30 16.15 (Auditorium) Laplacetransformation. Intro. Afsnit 21.1, 21.2 og 21.3. Side 590-593 Torsdag d. 23. april 14.30 16.15 (Auditorium) Egenskaber ved Laplacetransformation. Differentiation og integration. Afsnit 21.4 og 21.5. Side 594-601 Torsdag d. 30. april 14.30 16.15 (Auditorium) Invers Laplacetransformation. Afsnit 21.6. Side 601-604 Tirsdag d. 5. maj 10.15-12.00 (03.055) Invers Laplacetransformation med partialbrøker. Afsnit 21.7. Side 604-606 Torsdag d. 7. maj 14.30 16.15 (Auditorium) Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit 21.10. Side 612-622 Kl. 15.45-16.15: Om udenlandsophold Tirsdag d. 12. maj 10.15-12.00 (03.055) Overføringsfunktioner. Afsnit 6.11. Side 622-630 Tirsdag d. 12. maj 14.30 16.15 (Auditorium) Repetition Tirsdag og torsdag 19. og 21. maj: Repetition

Invers (omvendt) Laplacetransformation Kendt: Den Laplacetransformerede F(s) af en funktion f(t) (der ikke kendes) Ønskes fundet: f(t) Metode: Brug tabel 21.1 på side 592: Eks: F()= Find f(t)

Invers (omvendt) Laplacetransformation Hvis F( s) = L{ f ( L 1 ( t)} bliver f ( t) = L { F( s)} kaldes"den inverse (omvendte) Laplacetransformation") 1

OBS: Kig altid først på nævneren på F(s) Det er den der skal genkendes i tabellen

OBS: denominator = nævner(fx.: J. Bieber: Common Denomintor ) numerator = tæller

Completing the Square En kendt teknik, der omskaber et kvadratisk led (fx. s 2 ) og et førstegradsled (fx. 6s) samt evt. en konstant (fx. 13) til kvadratet på en toleddet størrelse plus en (eventuelt) restkonstant. Kendes af mange i forbindelse med fastlæggelse af centrum og radius i Cirklens Ligning Eksempel på Completing the Square: (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab s 2 + 6s+ 13=

Regn til næste gang Side 603, opgave 1b-n, 2e, 2g, 2h, 2i, 2j, 2l Opgaven skal løses uden elektroniske hjælpemidler. (Kontrollér gerne med Mathcad e.a.)

Program(foreløbigt) Tirsdag d. 21. april 14.30 16.15 (Auditorium) Laplacetransformation. Intro. Afsnit 21.1, 21.2 og 21.3. Side 590-593 Torsdag d. 23. april 14.30 16.15 (Auditorium) Egenskaber ved Laplacetransformation. Differentiation og integration. Afsnit 21.4 og 21.5. Side 594-601 Torsdag d. 30. april 14.30 16.15 (Auditorium) Invers Laplacetransformation. Afsnit 21.6. Side 601-604 Tirsdag d. 5. maj 10.15-12.00 (03.055) Invers Laplacetransformation med partialbrøker. Afsnit 21.7. Side 604-606 Torsdag d. 7. maj 14.30 16.15 (Auditorium) Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit 21.10. Side 612-622 Kl. 15.45-16.15: Om udenlandsophold Tirsdag d. 12. maj 10.15-12.00 (03.055) Overføringsfunktioner. Afsnit 6.11. Side 622-630 Tirsdag d. 12. maj 14.30 16.15 (Auditorium) Repetition Tirsdag og torsdag 19. og 21. maj: Repetition

Invers (omvendt) Laplacetransformation Kendt: Den Laplacetransformerede F(s) af en funktion f(t) (der ikke kendes) Ønskes fundet: f(t) Metode: Brug tabel 21.1 på side 592: Eks: F()= Find f(t) MEN: Ofte er specielt nævneren ikke til at identificere i tabellen. Eksemelvis vil ikke kunne genfindes i tabellen Brøken kan med fordel deles op i to brøker kaldet partialbrøker med nævneren s og s-1

MEN: Ofte er specielt nævneren ikke til at identificere i tabellen. Eksempelvis vil ikke kunne genfindes i tabellen Brøken kan med fordel deles op i to brøker kaldet partialbrøker med nævneren s og s-1 De to brøker kommer til at hedde Test: = Normalt er det ikke så simpelt Processen kaldes opdeling i partialbrøker ( partialfractions ) og kan opfattes som den modsatte (men noget mere besværlige) operation af at sætte på fælles brøkstreg Det et OK i beregninger at benytte f.eks. MathCadtil at bestemmelse af partialbrøker (dog ikke i 1. del af den skriftlige eksamen)

Mathcad I Mathcad bruges kommandoen parfractil bestemmese af partialbrøker Kommandoerne laplaceog invlaplace bruges til hhv. Laplacetransformation og Invers Laplacetranformation På TI89 bruges kommandoen expand

Mathcad giver:

Regn til næste gang Side 605-606, opgave 1a, 1b, 1e*, 1i*, 2c*, 2d*, 2e*, 2f* : Opgaven skal løses uden elektroniske hjælpemidler. (Kontrollér gerne med Mathcad e.a.) *: Opgaven skal løses uden elektroniske hjælpemidler. (Partialbrøker må dog gerne findes elektronisk) (Kontrollér gerne med Mathcad e.a.) Brug tabel 21.1 side 592 til den inverse Laplacetransformation

Program(foreløbigt) Tirsdag d. 21. april 14.30 16.15 (Auditorium) Laplacetransformation. Intro. Afsnit 21.1, 21.2 og 21.3. Side 590 593 Torsdag d. 23. april 14.30 16.15 (Auditorium) Egenskaber ved Laplacetransformation. Differentiation og integration. Afsnit 21.4 og 21.5. Side 594 601 Torsdag d. 30. april 14.30 16.15 (Auditorium) Invers Laplacetransformation. Afsnit 21.6. Side 601 604 Tirsdag d. 5. maj 10.15 12.00 (03.055) Invers Laplacetransformation med partialbrøker. Afsnit 21.7. Side 604 606 Torsdag d. 7. maj 14.30 16.15 (Auditorium) Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit 21.10. Side 612 622 Kl. 15.45 16.15: Om udenlandsophold Tirsdag d. 12. maj 10.15 12.00 (03.055) Overføringsfunktioner. Afsnit 6.11. Side 622 630 Tirsdag d. 12. maj 14.30 16.15 (Auditorium) Repetition Tirsdag og torsdag 19. og 21. maj: Repetition

Opgaver til denne gang problemer? Side 605 606, opgave 1a, 1b, 1e*, 1i*, 2c*, 2d*, 2e*, 2f*

Sider i lærebog denne gang Løsning af lineære differentialligninger med Laplacetransformation. Afsnit 21.10. Side 612 622 Bemærk: Metoden løser lineære differentiallignininger og finder et analystisk ydtryk for løsningen, men der kan kun bestemmes partikulære løsninger ikke fuldstændige!

Eksempel 21.24 overspringes

Eksempel 21.25 regn selv efter gennemgang

Eksempel 21.27 overspringes

Eksempel 21.28 regn selv efter gennemgang

Eksempel 21.29 30 31 overspringes

Eksempel 2 fra tidligere lektion (2)

M k c y(t) B b(t) 7,0 0,2 0,08 (0) 0,2 '(0) 0,08 (0) 0,08 ) ( 7,0 ) ( 2 s s y y sy s B s Y 0 '(0) 0,05 (0) 0 ) ( 0 ) ( 1: Eks. y y s B t b 0 '(0) 0 (0) 9,4 9,4 0,02 ) ( ) 0,02sin(9,4 ) ( 2 : Eks. 2 2 y y s s B t t b 0 '(0) 0 (0) 47 47 0,05 ) ( ) 0,05sin(47 ) ( 3: Eks. 2 2 y y s s B t t b

M k c y(t) B b(t) 7,0 0,2 0,08 (0) 0,2 '(0) 0,08 (0) 0,08 ) ( 7,0 ) ( 2 s s y y sy s B s Y 0 '(0) 0,05 (0) 0 ) ( 0 ) ( 1: Eks. y y s B t b

M k c y(t) B b(t) 7,0 0,2 0,08 (0) 0,2 '(0) 0,08 (0) 0,08 ) ( 7,0 ) ( 2 s s y y sy s B s Y 0 '(0) 0 (0) 9,4 9,4 0,02 ) ( ) 0,02sin(9,4 ) ( 2 : Eks. 2 2 y y s s B t t b

M k c y(t) B b(t) 7,0 0,2 0,08 (0) 0,2 '(0) 0,08 (0) 0,08 ) ( 7,0 ) ( 2 s s y y sy s B s Y 0 '(0) 0 (0) 47 47 0,05 ) ( ) 0,05sin(47 ) ( 3: Eks. 2 2 y y s s B t t b M k c y(t) B b(t)

Regn til næste gang Side 621 622, opgave 1a*, 1b*, 2a*, 2b*, 2c*, 2d*, 3** * Håndregning, men partialbrøker må findes med Mathcad, TI-89 e.a. og de enkelte partialbrøker invers Laplacetransformeres vha. tabel 21.1 side 592. ** Mathcad e.a. må benyttes til Laplacetransformation og direkte invers Laplacetransformation (uden bestemmelse af partialbrøker og benyttelse af tabel 21.1 side 592).