Oversigt [S] 4.5, 5.0 Nøgleord og begreber Ubestemte udtryk l Hospitals regel l Hospitals regel 2 Test l Hospitals regel Uegentlige integraler Test uegentlige integraler Uegentlige integraler 2 Test uegentlige integraler Sammenligning Calculus - 2006 Uge 40. -
Ubestemt udtryk [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Eksempler Ubestemte udtryk x ln(x) x Calculus - 2006 Uge 40. - 2
Ubestemt udtryk [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Eksempler Ubestemte udtryk x ln(x) x 2 x ln(x) x Calculus - 2006 Uge 40. - 2
Ubestemt 0-0 udtryk [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s... Definition Lad f(x) 0,g(x) 0 når x a. Udtrykket kaldes ubestemt af form 0 0. x a f(x) g(x) Calculus - 2006 Uge 40. - 3
Ubestemt 0-0 udtryk [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s... Definition Lad f(x) 0,g(x) 0 når x a. Udtrykket kaldes ubestemt af form 0 0. x a f(x) g(x) Eksempel er ubestemt af form 0 0. x x 2 x Calculus - 2006 Uge 40. - 3
Ubestemt udtryk [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Definition Lad f(x),g(x) når x a. Udtrykket kaldes ubestemt af form. x a f(x) g(x) Calculus - 2006 Uge 40. - 4
Ubestemt udtryk [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Definition Lad f(x),g(x) når x a. Udtrykket kaldes ubestemt af form. x a f(x) g(x) Eksempel er ubestemt af form. x 0 ln x x Calculus - 2006 Uge 40. - 4
l Hospitals regel [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Sætning (l Hospitals regel) Antag, at f,g er differentiable og g (x) 0 for x a tilpas nœr a. Hvis x a f(x) g(x) er et ubestemt udtryk af form 0, så er 0 x a f(x) g(x) = x a f (x) g (x) Calculus - 2006 Uge 40. - 5
Overbevis [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Bevis Fra den udvidede middelværdisætning Beregn nu f(x)g (x ) = f (x )g(x), a < x < x x a f(x) g(x) = x a f (x ) g (x ) = x a f (x) g (x) Calculus - 2006 Uge 40. - 6
Prøv reglen [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Eksempel ubestemt af form 0 0. x x 2 x Calculus - 2006 Uge 40. - 7
Prøv reglen [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Eksempel ubestemt af form 0 0. x x 2 x f(x) = x 2,f (x) = 2x Heraf fås g(x) = x,g (x) = x x 2 x = x 2x = 2 Calculus - 2006 Uge 40. - 7
l Hospitals regel 2 [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Sætning (l Hospitals regel) Antag, at f,g er differentiable og g (x) 0 for x a tilpas nœr a. Hvis x a f(x) g(x) er et ubestemt udtryk af form, så er x a f(x) g(x) = x a f (x) g (x) Calculus - 2006 Uge 40. - 8
Prøv reglen [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Eksempel 6 er ubestemt af form. x 0 ln x x Calculus - 2006 Uge 40. - 9
Prøv reglen [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Eksempel 6 er ubestemt af form. x 0 ln x x f(x) = ln x,f (x) = x Heraf fås g(x) = x,g (x) = x 2 x 0 ln x x = = x x x 2 x 0 x = 0 x 0 x Calculus - 2006 Uge 40. - 9
Brug reglen Eksempel ubestemt af form 0 0. [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule x ln(x) x Calculus - 2006 Uge 40. - 0
Brug reglen Eksempel ubestemt af form 0 0. [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule x ln(x) x f(x) = ln(x),f (x) = x Heraf fås g(x) = x,g (x) = x ln(x) x = x x = Calculus - 2006 Uge 40. - 0
Brug reglen Eksempel 2 ubestemt af form. [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule x e x x 2 Calculus - 2006 Uge 40. -
Brug reglen Eksempel 2 ubestemt af form. [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule x e x x 2 f(x) = e x,f (x) = e x,f )x) = e x Heraf fås g(x) = x 2,g (x) = 2x,g (x) = 2 x e x x 2 = x e x 2x = x e x 2 = Calculus - 2006 Uge 40. -
Øvelse Eksempel 9 omformes ved [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule x 0 + xx ln(x) ln( xx ) = x ln(x) = x 0 + x 0 + x 0 + x Calculus - 2006 Uge 40. - 2
Øvelse Eksempel 9 omformes ved [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule x 0 + xx Fra eksempel følger ln(x) ln( xx ) = x ln(x) = x 0 + x 0 + x 0 + x x 0 + xx = exp( x 0 + ln(x) x ) = e0 = Calculus - 2006 Uge 40. - 2
Test l Hospitals regel [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Test (a). (b) 0. (c). x 0 x sinx Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Calculus - 2006 Uge 40. - 3
Test l Hospitals regel [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Test (a). (b) 0. (c). x 0 x sinx Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Løsning f(x) = x,g(x) = sin x har f(0) = 0,g(0) = 0 og er ubestemt af form 0 0. f (x) =,g (x) = cosx har f (0) =,g (0) =, så x 0 f (x) g (x) = f (0) g (0) Calculus - 2006 Uge 40. - 3
Test l Hospitals regel [S] 4.5 Indeterminate forms and l Hospital s rule Test (a). (b) 0. (c). x 0 x sinx Afkryds den rigtige: (a) (b) (c) Løsning f(x) = x,g(x) = sin x har f(0) = 0,g(0) = 0 og er ubestemt af form 0 0. f (x) =,g (x) = cosx har f (0) =,g (0) =, så x 0 f (x) g (x) = f (0) g (0) Calculus - 2006 Uge 40. - 3
Uendelige intervaller [S] 5.0 Improper integrals Eksempel Integralet A(t) = t x 2dx = [ ] t = x t Calculus - 2006 Uge 40. - 4
Uendelige intervaller [S] 5.0 Improper integrals Eksempel Integralet A(t) = t x 2dx = [ ] t = x t har grænseværdi ( A(t) = ) t t t = Calculus - 2006 Uge 40. - 4
Uendelige intervaller [S] 5.0 Improper integrals y y = x 2 t x Uendeligt interval, endeligt areal Calculus - 2006 Uge 40. - 5
Uegentligt integral [S] 5.0 Improper integrals Definition Det uegentlige integral er konvergent, hvis grænseværdien findes; i modsat fald divergent. (a) a t f(x)dx = t a f(x)dx (b) b b f(x)dx = t t f(x)dx (c) f(x)dx = a f(x)dx + a f(x)dx Calculus - 2006 Uge 40. - 6
Uendelige intervaller [S] 5.0 Improper integrals Eksempel Det uegentlige integral t dx = x t = t ln t = dx = x [ln t x]t er divergent. Calculus - 2006 Uge 40. - 7
Uendelige intervaller [S] 5.0 Improper integrals Eksempel Det uegentlige integral t dx = x t = t ln t = dx = x [ln t x]t er divergent. Det uegentlige integral t x2dx = t x 2dx = er konvergent. Calculus - 2006 Uge 40. - 7
Uendelige intervaller [S] 5.0 Improper integrals y y = x t x Uendeligt interval, uendeligt areal Calculus - 2006 Uge 40. - 8
Arctan integral Eksempel 3 + x 2dx = π [S] 5.0 Improper integrals Calculus - 2006 Uge 40. - 9
Arctan integral Eksempel 3 Løsning + x 2dx = π [S] 5.0 Improper integrals t 0 + x 2dx = [Arctanx]t 0 = Arctant Grænseovergange t ± Arctant = ± π 2 giver + x 2dx = 0 + x 2dx + 0 + x 2dx = π Calculus - 2006 Uge 40. - 9
Reciprok potens [S] 5.0 Improper integrals Eksempel 4 Det uegentlige integral p t xpdx = t x = t p [ pdx = t p ( ) t p ] t x p Calculus - 2006 Uge 40. - 20
Reciprok potens [S] 5.0 Improper integrals Eksempel 4 Det uegentlige integral p t xpdx = t x = t p [ pdx = t p ( ) t p ] t x p er konvergent for p > med værdi x pdx = p og divergent for p. Calculus - 2006 Uge 40. - 20
Test uegentlig integral [S] 5.0 Improper integrals Test Integralet 2 3 x dx er konvergent. Afkryds: ja nej Calculus - 2006 Uge 40. - 2
Test uegentlig integral [S] 5.0 Improper integrals Test Integralet Løsning 2 3 x dx er konvergent. Afkryds: ja nej t 2x /3 dx = [ 3x 2/3] t = 3t2/3 3 for t (Alternativt p = /3 < i Eksempel 4) Calculus - 2006 Uge 40. - 2
Test uegentlig integral [S] 5.0 Improper integrals Test Integralet Løsning 2 3 x dx er konvergent. Afkryds: ja nej t 2x /3 dx = [ 3x 2/3] t = 3t2/3 3 for t (Alternativt p = /3 < i Eksempel 4) Calculus - 2006 Uge 40. - 2
Uendelige funktioner [S] 5.0 Improper integrals 3 Definition Det uegentlige integral er konvergent, hvis grænseværdien findes; i modsat fald divergent. (a) b a f(x)dx = t b t a f(x)dx (b) b a f(x)dx = t a + b t f(x)dx (c) b a f(x)dx = c a f(x)dx + b c f(x)dx Calculus - 2006 Uge 40. - 22
Uendelige funktioner [S] 5.0 Improper integrals Eksempel Det uegentlige integral 0 dx = x t 0 + t = t 0 + ln t = dx = x [ln x] t 0 + t er divergent. Calculus - 2006 Uge 40. - 23
Uendelige funktioner [S] 5.0 Improper integrals Eksempel - fortsat Det uegentlige integral 0 x dx = t 0 + t = t 0 + 2 t 2 = 2 [ x /2 dx = ] 2x /2 t 0 + t er konvergent. Calculus - 2006 Uge 40. - 24
Uendelige funktioner [S] 5.0 Improper integrals y y = x t t x Uendelige værdier, endeligt areal Calculus - 2006 Uge 40. - 25
Uendelige funktioner [S] 5.0 Improper integrals Eksempel 4 Det uegentlige integral p 0 xpdx = t 0 + t x = t 0 + p [ pdx = t 0 + p ( ) t p ] x p t Calculus - 2006 Uge 40. - 26
Uendelige funktioner [S] 5.0 Improper integrals Eksempel 4 Det uegentlige integral p 0 xpdx = t 0 + t x = t 0 + p [ pdx = t 0 + p ( ) t p ] x p t er konvergent for p < med værdi 0 x pdx = p og divergent for p. Calculus - 2006 Uge 40. - 26
Test uegentlig integral [S] 5.0 Improper integrals Test Integralet 0 2 3 x dx er konvergent. Afkryds: ja nej Calculus - 2006 Uge 40. - 27
Test uegentlig integral [S] 5.0 Improper integrals Test Integralet 0 2 3 x dx er konvergent. Afkryds: ja nej Løsning t 2x /3 dx = [ 3x 2/3] = 3 t 3t2/3 3 for t 0 Calculus - 2006 Uge 40. - 27
Test uegentlig integral [S] 5.0 Improper integrals Test Integralet 0 2 3 x dx er konvergent. Afkryds: ja nej Løsning t 2x /3 dx = [ 3x 2/3] = 3 t 3t2/3 3 for t 0 Calculus - 2006 Uge 40. - 27
Sammenligning af uegentlige integraler [S] 5.0 Improper integrals Sætning (Sammenligning) Antag at kontinuerte funktioner f,g opfylder uligheden f(x) g(x) 0 for x a. (a) a (b) a f(x)dx konvergent a g(x)dx divergent a g(x)dx konvergent. f(x)dx divergent. Calculus - 2006 Uge 40. - 28