Løsningsforslag MatB December 2013 Opgave 1 (5 %) a) En linje l går gennem punkterne: P( 2,3) og Q(2,1) a) Bestem en ligning for linjen l. Vi ved at linjen for en linje kan udtrykkes ved: y = αx + q hvor α er linjes hældningskoefficient og q er linjens skæring med y-aksen. Vi kan starte med at beregne hældningen først. α = y 1 y 0 x 1 x 0 = 1 3 2 ( 2) = 1 2 Indsættes α sammen med et af punkterne fås q : 1 = 1 2 (2) + q q = 2 Hermed fås linjes ligning y = 1 2 x + 2 1
Opgave 2 (5 %) a) Isolér t i udtrykket: v = a t + v 0. a) v = a t + v 0 v v 0 = a t t = v v 0 a Opgave 3 (5 %) En funktion f er givet ved: f (x) = 2 3 x + x 2 a) Bestem f (x). Vi bruger differentiationsreglerne: f (x) = 2 3 x + x 2 f (x) = 2 ln(3) 3 x + 2x Opgave 4 (5 %) a) Løs uligheden: x 2 4 < 0 2
Først beregnes skæringspunkterne med x aksen for parablen med ligningen: y = x 2 4 Vi sætter y = 0 da vi skal finde skæring med x-aksen. x 2 4 = 0 x 2 = 4 x = ±2 Da koefficienten til x 2 er A = 1-altså positiv-, vender parablens grene opad. På grundlag heraf kan man skitsere parablen som vist på figuren. 3
Hvornår gælder det så, at x 2 4 < 0? Det gør det, når parablen ligger under x-aksen, som vist i figuren ovenover. Det svarer altså til intervallet mellem 2 og 2. Løsningen er derfor L =] 2;2[ Opgave 5 ( 5 %) Ved en prøve i en skoleklasse er nedenstående statistiske deskriptorer registreret: Mindste observation Nedre kvartil Median Øvre kvartil Største observation 17 22 30 45 52 a) Tegn et boxplot for resultatfordelingen. Vi tegner boxplot på følgende måde: 4
Opgave 6 (15 %) I en trekant ABC, er A = 45 0 c = 7 og højden fra vinkel C på siden c er h c = 5 a) Skitsér trekanten og beregn længden af siden b. b) Beregn længden af siden a. c) Beregn vinklerne B og C. a) Vi skitsér trekanten med højden h c = 5. Længden af siden b beregnes vhs. pythagoras ud fra trekanten ADC på følgende måde: 5
b = 5 2 + 5 2 = 7.07 b) Længden af siden a beregnes igen vha. pythagoras ud fra trekanten BDC: a = 2 2 + 5 2 = 5.39 c) Vinklerne B og C beregnes først ud fra trekanten BDC sin(b) = 5 a B = sin 1 ( 5 5.39 ) = 680 Den sidste vinkel C findes ud fra det at summen af vinklerne i en trekant er 180 grader. C = 180 (45 + 68) = 67 0 Opgave 7 (25 %) x 2 En funktion f er givet ved: f (x) = x 2 2x + 1 a) Bestem definitionsmængden for f. b) Bestem koordinatsættet til nulpunktet for f. c) Bestem monotoniforholdene for f. En linje l er givet ved: y = 1 2 x + 1. Linjen skærer grafen for f i to punkter, 4 P og Q. d) Bestem koordinatsættet til det punkt på funktionens graf, hvor der er lokalt ekstremumspunkt. Funktionens graf har en tangent, der er parallel med linjen med ligningen: y = 4x + 2 e) Bestem koordinatsættet til røringspunktet for denne tangent. 6
Funktionens definitionsmængde bestemmes: Nævneren må ikke være nul i en brøk a) f (x) = x 2 x 2 2x + 1 x 2 2x + 1 0 Solve(x 2 2x + 1 = 0,x) på grafregneren eller GeoGebra CAS kommando Solve[x 2 2x + 1] giver {x = 1} Definitionsmængden er hermed: Dm f = R \ {1} (0,0) b) Nulpunktet for funktionen findes ved at beregne f (0) = 0 og 0 = f (x) Dvs. c) Monotoniforholdet bestemmes ved at finde den afledede funktion f (x) vha. CAS på GeoGebra Grafregnerens kommando d dx ( x 2 2x x 2 ) som giver 2x + 1 x 2 Derivative[ (x 2 ] som giver 2 x + 1) 2x x 3 3x 2 + 3x 1 som er det samme som overfor! (x 1) 3 7
f (x) = 0 giver 2x = 0 Dvs. x = 0 som deler x-aksen i tre dele sammen med x 1 Funktionen er altså aftagende i intervallerne ] ;0[ ]1; [ mens den er voksende i intervallet ]0;1[ hvor funktionen ikke er defineret for x = 1, da Dm f = R \ {1}. Funktionens graf har en tangent, der er parallel med linjen med ligningen: y = 4x + 2. e) Bestem koordinatsættet til røringspunktet for denne tangent. Vi skal løse f (x) = 4 ved hjælp af solve kommandoen 2x Solve[ = 4] giver x = 2 (x 1) 3 Indsættes x = 2 i den originale funktion fås y = 4. 8
Røringspunktets koordinater bliver; 2 2 f (2) = 2 2 2 2 + 1 = 4 (2,4) Opgave 8 (10 %) En eksponentiel udvikling f er givet ved forskriften: f (x) = b a x Det oplyses, at f (2) = 4 og f (4) = 16. a) Bestem konstanterne a og b. En anden eksponentiel udvikling g har halveringskonstanten T 1/2 = 4. Det oplyses, at g(2) = 6. b) Bestem g(6). a) Konstanterne bestemmmes ved at indsætte punkterne i forskriften: 4 = 6 a 2 og 16 = b a 4 To ligninger med to ubekendte. Kan løses ved at dividere de to op i hinanden på følgende måde: 16 4 = b a4 b a 2 4 = a 2 a = ±2 Men for eksponentiel udvikling gælder a > 0 Dvs. Vi tager kun den positive værdi for a = 2 9
4 = b a 2 b = 4 a 2 = 4 4 = 1 f (x) = b a x = 1 2 x b) Halveringskonstanten er defineret som: 1 T 1/2 = ln(2) ln( ln(a) = 2 ) ln(a) = 4 ln(a) = ln(2) 4 = 0.17 e ln(a) = e 0.17 a = 0.84 Funktionen bliver: g(2) = 6 6 = b a 2 b = 6 a 2 b = 6 0.84 2 = 8.5 g(x) = 8.5 0.84 x Beregnes g(6) ved at indsætte x = 6 g(6) = 8.5 0.84 6 = 2.98 Opgave 9 (5 %) En funktion f er givet ved: f (x) = 3ln(x) + k x, x > 0, hvor ker en konstant. I punktet P(1, 1) har grafen for f en tangent med ligningen y = 2x 3. a) Bestem konstanten k. 10
Vi starter med at indsætte punktets koordinater i funktionen da funktioenen har en tangent i dette punkt. f (x) = 3 ln(x) + k x 1 = 3 ln(1) + k 1 k = 1 Alternativt kan man også finde konstanten ved at differentiere funktionen og sætter lig med 2 og løser for k. Opgave 10 ( 10 %) Tabellen nedenunder viser sammenhængen mellem en række stoffers molarmase M og deres kogepunkter k(m). Sammenhængen antages at kunne beskrives ved en funtion af typen: k(m) = a M + b, hvor a og b er konstanter. Stof molarmasse M (g/mol) kogepunkt k(m) ( 0 C) Methanol 32 65 Ethanol 46 79 Propanol 60 97 Butanol 74 118 Penthanol 88 138. 11
a) Bestem ved hjælp af regression konstanterne a og b b) Bestem molarmassen for et stof, der har kogepunkt ved 195 0 C. a) Vi bruger GeoGebra s regneark til at indsætte tabelværdierne og vælger en lineær model. b) Molarmassen for temperaturen 195 0 C bestemmes f (x) = 1.32x + 20.11 x = 195 = 1.32x + 20.11 195 20.11 1.32 12 = 132.49
Opgave 11 ( 10 %) På figuren nedenfor er vist grafen for et andengradspolynomium på formen: f (x) = a x 2 + b x + c, hvor a, b, og c er konstanter. Diskriminanten betegnes med d. a) Bestem på grundlag af figuren fortegnene for a, c, og d. b) Bestem ved hjælp af figuren løsningen til ligningen f (x) = 0 a) a er negativ da benene vender ned ad, c er også negativ på grund af skæring med y-aksen under x-aksen. der positiv da funktionen skærer x-aksen i to steder. b) Løsningen til ligningen aflæses til x = 2. Dvs. f (2) = 0 13