Eksponentiel vækst/sammensat rente 1. Danmarks befolkning var i 2005 på 5,43 millioner mennesker. Hvis vi regner med, at folketallet i Danmark stiger med 0,34 % om året... Hvor mange mennesker vil der være i Danmark om 20 år? Hvor mange mennesker vil der være i Danmark år 2045? Hvornår vil Danmarks folketal runde 6 millioner mennesker? 2. Indien havde i 2005 et folketal på 1080 millioner mennesker. Dette folketal stiger med ca. 1,4 % om året. Hvor mange mennesker vil der da være i Indien om 15 år? Hvor mange mennesker vil der være i Indien i år 2040? Hvilket år vil Indiens folketal være dobbelt så stort som i 2005? Hvornår vil der være 1,2 milliarder mennesker i Indien? 3. Zambia havde i 2005 et folketal på 11,3 millioner indbyggere. Dette tal stiger med en vækstfaktor på 2,12 % årligt. Hvor mange mennesker vil der da være i Zambia om 25 år? Hvor mange mennesker vil der være i Zambia i år 2045? Hvornår vil Zambias folketal være 3 gange så stort som i 2005? Hvornår vil der bo 15 millioner mennesker i Zambia? 4. Ved indvielsen af tunnelen under Hovsasund i 1984 regnede trafikministeriet med, at 400.000 biler årligt ville anvende tunnelen. Samtidig regnede man med, at den årlige vækst i antallet af biler gennem tunnelen ville være på 4 %. Hvor mange biler forventede man derfor ville passere gennem tunnelen i år 1995? - og i år 2000? Hvornår forventede man, at 2 millioner biler årligt ville benytte tunnelen? Imidlertid viste det sig, at tunnelen allerede i 1995 blev benyttet af 800.000 biler. Hvilken årlig vækst i antal biler gennem tunnelen var der derfor tale om, når stigningen antages at være sket jævnt gennem årene? Hvilket år må man altså forvente, at 2 millioner biler kører gennem tunnelen? 5. Olgas forældre indsætter ved Olgas fødsel i 1998 25.000 kr på en konto i en bank, der giver 4,5 % i årlig rente. Hvor mange penge står der på Olgas konto den dag, da Olga bliver 20 år? Hvornår vil der stå 100.000 kr på kontoen? Olgas bedsteforældre indsatte ved deres bryllup i 1961 10.000 kr på en konto i samme pengeinstitut - for at spare op til deres alderdom. Dengang kunne de få 16,5 % i rente af deres penge. Hvor mange penge stod der på bedsteforældrenes konto ved deres sølvbryllup (25 år), hvis rentefoden i hele perioden havde ligget fast på 16,5 %? Olgas bedsteforældre regner imidlertid med, at pengene derefter gennemsnitligt vil forrentes med 8 % årligt - i tiden mellem sølvbrylluppet og guldbrylluppet. Den dag går de nemlig begge på pension og vil derfor gerne hæve pengene med renter. Hvor meget regner de med at kunne hæve ved deres guldbryllup (50 år)? 6. Om en bestemt slags bakterier vides, at de formerer sig med en hastighed på 5,5 % i timen. En vandprøve indeholder på et tidspunkt 600 bakterier af den nævnte slags. Hvor mange bakterier indeholder vandprøven 1 time senere? - og 2 timer senere? Hvor mange bakterier indeholder vandprøven efter 1 døgn? Hvor mange timer vil der gå, før antallet af bakterier i vandprøven er 3-doblet? Hvor mange timer vil der gå, før antallet af bakterier i vandprøven overstiger 3000? 7. 1. januar 1978 var jordens befolkning på 3,969 mia. mennesker. Hvis vi går ud fra, at befolkningstilvæksten i gennemsnit vil blive på 1,15 % om året, hvornår vil jordens befolkning da overstige 7 mia. mennesker?
8. En undersøgelse viser et år viser, at en bestemt sø har en bestand på 1500 aborrer, og tilsvarende undersøgelser af andre søer fastslår, at aborrer formerer sig med en hastighed svarende til en vækst på 2,75 % pr år, hvis der ikke fiskes af bestanden. Hvor mange aborrer er der i søen 8 år senere - under disse forudsætninger? Hvor mange år vil der gå, før bestanden af aborrer i søen er 3-doblet. Hvor mange år vil der gå, inden bestanden er på 2.200 aborrer? Hvor mange år tidligere var der 1000 aborrer i søen? 9. En biolog tilkaldes af en skovejer for at det kan fastslås, hvor stor en bestand af harer, der er i hans skov. Ved at mærke dyrene konstaterer biologen, at harebestanden i 1993 var på 135 par, mens den i 2001 var på 168 par. Bestem den årlige vækstrate for harerne i skoven i procent. Hvilket årstal vil der være 250 harepar i skoven? Hvilket årstal vil harebestanden være fordoblet (i forhold til 2001)? Hvor mange harepar vil der være i skoven år 2020? Hvilket årstal var der 50 harepar i skoven? 10. Søren indsætter 3.000 kr, han har fået til sin konfirmation på en konto, hvor pengene forrentes med 2,75 % pa. Hvor meget indestår på Sørens konto efter 12 år? Hvor lang tid vil der gå, før beløbet på Sørens konto fordoblet? Efter hvor mange år står der første gang over 5.000 kr på kontoen? 11. Et bilfirma reklamerer med, at man ved afbetalingskøb hos firmaet kan slippe med en rente på 2,5 % pr måned. Omregn denne rentefod til procent pro anno. 12. På en fabrik havde de ufaglærte arbejdere en timeløn på 85 kr/time, mens de faglærte havde en timeløn på 118 kr/time. For at udligne denne forskel i timelønnen, fik man ved overenskomstforhandlinger gennemført, at de ufaglærtes timeløn skulle stige med 5,50 % om året, mens de faglærtes timeløn kun skulle stige med 4,75 % om året. Hvad ville timelønnen være for de to lønmodtagergrupper efter 25 år? Hvor mange år vil der gå, før de ufaglærtes timeløn indhenter de faglærtes? 13. Om et asiatisk land vides, at det i 1945 havde 12.550.000 indbyggere, og at befolkningstallet steg med 3,25 % pr år. Hvor mange indbyggere havde landet i 1995? Hvilket år var landets befolkningstal fordoblet i forhold til 1945? Hvilket år nåede landet op på 18.000.000 indbyggere? Hvornår vil landets befolkningstal være fordoblet i forhold til 1990? Hvor mange indbyggere vil der være i landet i år 2045? Hvilket år var der 10 mill. mennesker i landet? 14. Colibakterier formerer sig med en vækst på 3,25 % i kvarteret. En prøve fra en mødding indeholder 1200 colibakterier. Hvor mange bakterier er der i prøven efter en time? - og efter et døgn? Hvor mange timer og kvarterer vil der gå før prøvens indhold af colibakterier er fordoblet? - og 12-doblet? 15. Verdensforbruget af råolie var i 1995 på 4 mia tons, og man regner med en årlig stigning på 2,75 % i forbruget. Hvad vil forbruget af råolie blive i år 2030 (hele millioner tons)? Hvilket år vil forbruget af råolie være tredoblet i forhold til 1995? Hvilket år vil verdensforbruget af råolie nå op på 7,5 mia tons? Hvilket år var verdensforbruget på 2,5 mia. tons? - og hvilket år var det 1 mia tons? 16. En nystartet marcipanfabrik producerede i august 1998 2536 kg marcipan til salg. Fabrikken regner imidlertid med, at dette tal i månederne fremover vil stige med gennemsnitligt 5,5 % om måneden. Hvor meget regner fabrikken altså med at producere i november måned år 1999? Imidlertid producerede fabrikken i juli måned 1999 6066 kg marcipan. Hvor mange % har den gennemsnitlige månedlige stigning altså været på? Hvilken måned (og år) vil den månedlige produktion af marcipan på fabrikken første gang være på over 10.000 kg - hvis denne sidste stigningsprocent holder?
17. Tabellen nedenfor viser prisudviklingen for en liter snaps i hvert af tiårene 1907-87: 1907 1917 1927 1937 1947 1957 1967 1977 1987 0,50 2,40 8,10 8,85 19,35 25,20 40,75 82,00 131,25 Afsæt de enkelte priser som funktion af årstallet i et koordinatsystem. I hvilke 10-år blev prisen mere end fordoblet? Tegn med 1907-prisen som udgangspunkt en kurve, der viser prisudviklingen som den ville forløbe, hvis priserne var blevet fordoblet hvert 10-år. Hvornår indhenter denne kurve over fordoblingen den aktuelle priskurve? 18. En forrådnelsesbakterie dyrkes af en række biologer for at undersøge dens skade som sygdomsbærer. Under dyrkningen erfarer man, at 750 bakterier formerer sig til 1.100 i løbet af 12 timer. Hvilken vækstfaktor (i procent) pr time må man regne med for den pågældende bakterie? Hvornår (efter hvor mange timer) er antallet af bakterier fordoblet? Hvornår er der 2.500 bakterier i kolonien? Hvor mange bakterier er der efter 2 døgn i kolonien? 19. I 1962 var den middeltimelønnen for kvindelige arbejdere i industrien 5,40 kr. I 1994 var den steget til 91,60 kr. Hvad vil timelønnen være i 2013, hvis timelønnen vokser lineært med tiden? Hvis det i stedet antages, at timelønnen vokser eksponentielt med tiden, hvad vil den da være i 2013? Hvornår er den kvindelige arbejders timeløn fordoblet (i forhold til 1994)? Hvilket år var timelønnen for kvindelige arbejdere første gang over 50 kr? - og hvilket år var den på 2 kr? 20. Ved en bakteriologisk prøve iagttages to forskellige bakterier, A og B. A formerer sig med 1,75 % pr. time, mens formeringshastigheden. hos B er ukendt. På det tidspunkt, hvor prøven udtages, er der 480 bakterier af typen A og 275 bakterier af typen B i prøven. Hvor mange bakterier er der af type A i prøven efter et døgn? Efter hvor mange timer er antallet af bakterier af typen A fordoblet? Efter 10 timer er der 379 bakterier af typen B til stede. Bestem denne bakteries vækstrate i procent pr. time. Hvor mange bakterier er der af type B i prøven efter 3 døgn? 21. Prisen på mælk var i 1990 3,75 kr/liter. Inflationen i Danmark var i begyndelsen af '90-erne på 1,5 %, hvilket vil sige, at priserne på de forskellige varer steg med 1,5 % om året. Hvis denne inflationsrate ville holde indtil 2010, hvad ville prisen på en liter mælk da være i 2010? Imidlertid viser beregninger, at inflationen fra 1995-2010 vil være på 3 % om året. Hvad vil en liter mælk da koste i 2010? 22. Danmarks samlede el-forbrug blev i 1980 på 25,6 mia kwh (kilowatttimer) samtidig med at man regner med, at elforbruget stiger med 6 % årligt. Hvad vil Danmarks el-forbrug være i år 2020? Imidlertid ændrer indførslen af de grønne afgifter i 1993 på disse forudsætninger. Man regner nu med, at elforbruget i årene herefter kun vil stige med 3,25 %. Hvad vil Danmarks el-forbrug være i år 2020, hvis de nye forudsætninger holder i årene fremover? 23. Tyske trafikforskere måler i januar 1990 belastningen på en strækning af det tyske motorvejssystem til at være på 205.000 biler i døgnet. Samtidig regner man med en stigning i antallet af biler på denne motorvejsstrækning på 8,75 % om året. Hvis denne forudsætning holder stik, hvor mange biler vil da passere den omtalte strækning i døgnet i 2018? Hvilket år vil den ugentlige belastning på vejstrækningen være 1 mill. biler? Det viser sig imidlertid, at prognosen ikke holder stik, for i 1995, da man igen foretager optællinger på strækningen, passerer der 353.300 biler i døgnet. Hvad har den gennemsnitlige årlige stigning i antallet af biler på strækningen i virkeligheden været i %?
24. Levende organismer er opbygget af kemiske forbindelser, der indeholder grundstoffet Kulstof. Kulstof kan findes i forskellige udgaver (isotoper), hvoraf en af dem, kulstof-14 (C-14), er radioaktiv. Det har vist sig, at C-14- indholdet i levende organismer, dvs. dyr og planter, udgør en bestemt procentdel af det samlede kulstof-indhold. Efter organismens død vil C-14-indholdet aftage eksponentielt med tiden, og det sker således, at C-14-mængden i organismen halveres i løbet af 5.600 år. Lad os sige, at C-14-indholdet ved starten (i den levende organisme) er 100 enheder. Tegn da en graf på enkeltlogaritmisk papir, der viser C-14-indholdet som en funktion af tiden (1 cm på x-aksen = 1.000 år). Hvor mange procent af C-14-indholdet er tilbage efter 10.000 år? Ved de kendte hulemalerier i Lascaux-grotten i Frankrig fandt man rester af trækul. C-14-indholdet i denne trækul var 14 % af det indhold, man finder i levende træ. Hvis malerierne er lige så gamle som det træet, hvor gamle er de da?? Ved en udgravning på Nordsjælland fandt man resterne af et gammelt skib, som man mente måtte stamme på stenalderen. C-14-indholdet i skibets træ udgjorde 39 % af indholdet i levende træ. Hvor gammelt er skibet? - Og kan det stamme fra stenalderen? 25. Idet halveringstiden er den tid, der går inden radioaktiv aktivitet er halveret, skal man bestemme halveringstiden for det radioaktive stof I-131 ud fra følgende målinger: tid i døgn 0 1 2 3 4 5 6 7 antal impulser 5046 4667 4237 3880 3629 3283 2983 2762 26. Indtegn aktiviteten som en funktion af tiden i enkeltlogaritmisk papir. Hvad er halveringstiden for I-131 i døgn og timer? Hvor mange impulser vil der være efter en måned?? 27. Bogklubben Den tynde bog forventer, at klubbens bøger vil stige med 3 % årligt. I 1993 kostede månedens bog 215 kr. i bogklubben. Hvad vil månedens bog koste i 2005, hvis prognoserne holder? (Helt tal) Et 5-binds leksikon kostede i 1998 1.035 kr i bogklubben. Hvad kostede dette leksikon i 1980? (Helt tal) 28. Herunder ser du tabeller for forbrugerprisindekset og timefortjenesten for faglærte arbejdere fra 1982 til 1992: 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 Forbrugerprisindekset i alt: 123 132 140 146 152 158 165 173 177 182 186 Timefortjenesten for faglige arbejdere (i kroner): 71 78 83 87 92 97 107 113 117 122 126 29. Hvad er den gennemsnitlige stigning i forbrugerprisindekset i perioden fra 1982 til 1992? Hvad vil forbrugerprisindekset være i år 2000, hvis denne stigning holder? Hvad er den gennemsnitlige stigning i timefortjenesten for faglærte arbejdere i perioden fra 1982 til 1992? Hvad vil timefortjenesten være i år 2000, hvis denne stigning holder? 30. En nystartet chokoladefabrik producerede i oktober 2004 1244 kg chokolade til salg. Fabrikken regner med, at dette tal vil stige med gennemsnitligt 4 % om måneden gennem det næste år. Hvor meget regnede fabrikken med at producere i oktober måned år 2005? Imidlertid producerede fabrikken i oktober måned 2005 2433 kg chokolade. Hvor mange % har den gennemsnitlige månedlige stigning altså været på? Hvilken måned (og år) vil den månedlige produktion af chokolade på fabrikken første gang være på over 6.000 kg - hvis denne sidste stigningsprocent holder?
31. Denne opgave løses på enkeltlogaritmisk papir: Når temperaturforskellen mellem et legeme og dets omgivelser aftager eksponentielt med tiden, løs da følgende krimigåde: Detektiv McSkrap blev tilkaldt til et øksemord på den gamle herregård, hvor greven var blevet myrdet. Han ankom til gerningsstedet (i biblioteket) kl. 4 00, fremdrog straks sit termometer og målte ligets temperatur til 28 grader og temperaturen i værelset til 16 grader. Derefter gav han sig til (som sædvanligt) at lede efter fodspor i lysekronen og kommodeskufferne. Denne undersøgelse varede 3 timer, og kl. 7 00 målte han atter ligets temperatur, der i mellemtiden var faldet til 24 grader. Rumtemperaturen var uændret! Op af lommen tog McSkrap sin blok samt blyant og lineal. Han tøvede et øjeblik, tegnede så en streg på papiret og kunne derefter fortælle, at den hovedmistænkte, stuepigen, ikke kunne have begået mordet. Hovedvidner havde set hende forlade herregården kl. 18 30. Hvordan kunne McSkrap vide det? Hvornår må mordet være begået, når det antages, at grevens legemstemperatur ved dødstidspunktet var 37E? 32. En fader indsatte ved sin søns fødsel 7.000 kr på en konto i en bank, der forrentede pengene med 6,5 % pa. - rentetilskrivning 1 gang årligt. Hvor stort et beløb kan sønnen hæve på kontoen, nu hvor han er 21 år gammel? Sønnen vælger imidlertid at lade pengene blive stående indtil det oprindeligt indsatte beløb er 10-doblet. Hvor gammel er sønnen da - hvis renten holdes uændret? Uheldigvis nedsætter banken renten, da sønnen er 21 år gammel, således at renten fra da af bliver 4,5 % pa. Hvor gammel er sønnen da, når beløbet er 10-doblet?