IMFUFA Carsten Lunde Petersen Fundamentale begreber fra Analysen Introduktion Disse noter udgør et meget ltreret udkik over de grundlæggende begreber i reel analyse. Noten indeholder meget lidt om det analyse egentlig handler om nemlig studiet af funktioner og funktionsklasser. Her henvises læseren til enten at kigge i en lærebog som f.eks Wade's bog eller på et senere tidspunkt selv at skrive lignende noter. Noterne er skrevet i en meget kortfattet form rettet mod læseren som i forvejen kender stoet. Dette udtrykker sig f.eks ved at udsagn, som vitterligt er matematiske sætninger fremstår som om de følger logisk, hvilket de også gør når man kender de bagvedliggende argumenter. Noternes formål er dels at give overblik, dels at give den uindviede læser et mål: At blive i stand til at læse, pakke ud og forstå og i sidste ende i stand til selv at forfatte noter over emnet. De reelle tal De reelle tals ordnede legeme R adskiller sig fra de rationale tals ordnede legeme Q ved, udover selvfølgelig Q R, at besidde supremumsegenskaben: Lad E R være en vilkårlig delmængde. Et tal o kaldes et overtal for E hviss x E : x o (læses ordret for alle x i E gælder at x er mindre end eller lig o, eller mere mundret ethvert x i E er mindre end eller lig o). Det er klart at det ikke er enhver delmængde E R beskåret at have et overtal. Men hvis E har et overtal siger vi at E er opadtil begrænset. Supremums Egenskaben: Lad E R være en ikke-tom opadtil begrænset delmængde. Da har E et mindste overtal kaldet supremum af E og betegnet sup(e). Det at sup(e) er det mindste overtal kan udtrykkes i matematisk jargon som x E : x sup(e) og s R : ( x E : x s) sup(e) s hvilket mundret læses som ethvert reelt overtal s for E er større end eller lig overtallet sup(e), nd selv frem til en ordret oversættelse. Analogt til overtal, opadtil begrænset og supremum deneres undertal, nedadtil begrænset og inmum. Inmum af E betegnes med inf(e). Reel analyse eller analyse på R handler om alle de egenskaber og sætninger om R, der kan udledes ved hjælp af supremums analogt inmumsegenskaben ved R sammen med ordningen og de algebraiske egenskaber ved R. Til sammenligning omhandler algebra over R, som navnet antyder, de egenskaber og
sætninger der kan udledes ved brug af hovedsageligt de algebraiske egenskaber ved R. Af supremumsegenskaben for R samt af Q R følger umiddelbart, at Q er tæt i R, dvs. der ndes ingen rene irrationale intervaller: r 1, r 2 R, r 1 < r 2 q Q : r 1 < q < r 2. Det følger endvidere, at der ikke ndes uendeligt små positive reelle tal, såkaldte innitisimaler og tilsvarende ndes der ingen uendeligt store reelle tal (Archimes princip). Topologi i R Væsentlige elementer af analysen henføres i nutiden til topologien. Denne note handler hovedsageligt om disse topologiske aspekter af analysen. Algebra har et problem med at håndtere størrelsen uendelig ( ). Topologi derimod kan godt håndtere plus og minus uendelig i hver sin ende af R. Et af de tekniske problemer vi derfor har, er at inkludere resultater omkring unedelig på en transparent måde. Vi så på en måde problemet allerede med formuleringen af supremumsegenskaben, hvor vi nøjedes med at tale om opadtil begrænsede mængder. Lad os derfor straks indføre R := [, ] og lad os udvide ordningsrelationen < ( ) til R ved a R : a. Med denne konvention har enhver delmængde E R et overtal og et supremum, som er for mængder, som ikke er opadtil begrænset, det ovenfor denerede tal for ikke-tomme, opadtil begrænsede mængder og som er for den tomme mængde. Tilsvarende har enhver delmængde af R et undertal og et inmum. Lad a R. For ɛ > 0 kaldes intervallet ]a ɛ, a + ɛ[ for ɛ-omegenen om a. En delmængde ω R kaldes en omegn om a hviss ω indeholder en eller anden ɛ-omegn om a. Tilsvarende for M > 0 kaldes intervallerne ]M, ] og [, M[ for M-omegne om og respektive. Og ω R kaldes en omegn om ± hviss den indeholder en eller anden M-omegn om ±. For f.eks. at kunne indplacere tal, vi ikke umiddelbart kender, i R har vi brug for at kunne approximere tal. Tag for eksempel 2, som er karakteriseret algebraisk ved at være den positive rod i andengradspolynomiet x 2 2. For at indplacere 2 i R har vi brug for gode approximationer med kendte talværdier som f.eks. rationale tal. Hertil kunne man eksempelvis benytte sig af rekursionen x 1 = 1 og x n+1 = x2 n +2 2x n. Ved denne fremkommer en uendelig liste af tal x 1, x 2, x 3,..., x n,... = 1, 3 2, 17 12, 577 408,... som approximerer 2 bedre og bedre desto større n bliver. Mere generelt deneres en følge (i R) som en funktion f : N R. Det er imidlertid kotyme at undertrykke funktionen f og i stedet at angive følgen som en nummereret liste x 1, x 2,..., x n,... hvor x n = f(n). Man skriver følger på mange måder ud over liste formen og funktionsformen brugt ovenfor: {x n } n N, {x n } n 0, {x n } n k, {x n } n, (x n ) n N, (x n ) n 0, (x n ) n k, (x n ) n, (x n ), etc. Det er endvidere kotume, at skrive {x n } n N E( R) i stedet for det korrekte {x n } n N E N. For en følge {x k } k N kalder jeg i det følgende de første n elementer x 1,..., x n for n-hovedet mens jeg betegner følgen {x k } k>n som n-halen. 2
Det at nogle følgers elementer approximerer et tal eller et punkt bedre og bedre, når n vokser, formaliseres som begrebet konvergens: Konvergens En følge {x k } k N R kaldes konvergent (i R), hviss der ndes et punkt a R kaldet følgens grænse eller grænsepunkt, således at ɛ > 0 N N : ( n N : x n a ɛ). Det vil sige, at afstanden fra følgens elementer til grænsepunktet ikke nødvendigvis er aftagende, men givet en hvis afstand ɛ > 0 vil hele n-halen være indeholdt i ɛ-omegnen af a, når n bliver tilstrækkelig stor. Jeg vil også udtrykke dette som, at halen peger på a. I forlængelse af vores diskussion ovenfor om uendeligt siger vi, at følgen konvergerer mod ± i R hviss M > 0 N N : ( n N : ±x n M) En sammenfattende formulering af konvergens i de to tilfælde kunne være: Følgen {x k } k N R konvergerer mod a R, hviss enhver omegn ω om a indeholder n-halen af følgen for n tilstrækkelig stor. Konvergens af følgen {x k } k N R mod a R skrives på ere forskellige måder: x k a, k x k a for k, lim x k =a. k En følge, som ikke konvergerer, kaldes divergent. Næsten enhver følge er divergent, men det er næsten altid de konvergente følger, vi betragter som interessant. I nogen litteratur bruges betegnelsen divergent også om følger, som konvergerer mod. I nærværende skrift er betegnelsen reserveret til følger hvis elementer akker omkring og hvis hale derfor ikke peger på noget. I såfald intersesserer man sig for følgens fortætningspunkter og for delfølger af følgen. Et fortætningspunkt for en følge {x n } n N R er et punkt a for hvilket enhver omegn om a indeholder uendeligt mange af følgens elementer. En delfølge af (original) følgen {x n } n N R er en følge {x nk } k N hvis k-te element er det n k -te element i originalfølgen, hvor indeksfølgen {n k } k N er en strengt voksende følge. F.eks. er følgen {x 2k } k N den delfølge af følgen {x n } n N R som består af alle elementer med lige indeks, dvs. n k = 2k. Et punkt a er fortætningspunkt for følgen {x n } n N R hviss der ndes en konvergent delfølge {x nk } k N med grænsepunkt a, idet der ndes en tællelig familie af omegne {ω n } n om a (f.eks. ω n =]a 1 n, a + 1 n [ for a R og ω n =]n, ] for a = ). Enhver følge {x n } n N R har mindst et fortætningspunkt i R, hvilket er kendt, som Bolzano-Weierstrass sætning. Følgen er konvergent, hviss den har præcist ét fortætningspunkt. Hvis følgen har mere end ét fortætningspunkt har den et største fortætningspunkt kaldet limes superior og betegnet lim sup x n og et mindste fortætningspunkt kaldet limes inferior og betegnet lim inf x n. Eksistensen af disse evt. sammenfaldne fortætningspunkter følger let af sætningen om monoton konvergens: En voksende (eller aftagende) følge {x n } n N R konvergerer mod sit supremum sup{x n n N} (resp. sit inmum inf{x n n N}). 3
Lad {x n } n N R være en vilkårlig følge og lad s n = sup k n x k := sup{x k k n}. Da er {s n } n N en aftagende følge som konvergerer (mod sit inmum). Grænsepunktet er følgen {x n } n N 's største fortætningspunkt, dvs. og tilsvarende lim sup x n = lim sup x k k n lim inf x n = lim inf k n x k. En følge {x n } n N R kaldes en Cauchy følge, hvis diameteren af N-halerne konvergerer mod 0, i.e. hvis den har Cauchy egenskaben ɛ > 0 N N : ( n, k N : x n x k ɛ) Enhver Cauchy følge i R er begrænset, dvs. der ndes et R > 0, således at følgen er indeholdt i intervallet [ R, R]. Enhver konvergent følge er en Cauchy følge. Og omvendt følger det umiddelbart af Cauchy egenskaben, at en Cauchy følge højest har ét fortætningspunkt. Enhver Cauchy følge er derfor konvergent med grænseværdi x = lim sup x n = lim inf x n. n N n N Denne egenskab ved R, at enhver Cauchy følge er konvergent, kaldes i mere generelle sammenhænge (dvs. inden for rammerne af såkaldte metriske rum, disse vil blive studeret nærmere i E3) for fuldstændighed. Fuldstændighed af R er ækvivalent med supremumsegenskaben for R, og i nogen litteratur betegnes supremumsegenskaben ligefrem som fuldstændighed, selv om der rettelig er tale om to forskelligt denerede begreber, som falder sammen. Det siger sig selv, at Q ikke er fuldstændig. Ordning og konvergens For enhver følge {x n } n N R hvis elementer er positive for store n er ethvert fortætningspunkt positivt, thi intervallet [, 0[ er en omegn om ethvert negativt tal og indeholder højest endeligt mange af følgens elementer. Sammenligningssætningen for følger følger let heraf: Hvis to følger {x n } n N, {y n } n N R opfylder x n y n for store n, da er lim inf x n lim inf lim sup x n lim sup y n y n og hvis følgerne konvergerer mod henholdsvis x og y, da er x y. Endvidere følger også Klemmelemmaet: Hvis tre følger {x n } n N, {y n } n N, {z n } n N R opfylder x n y n z n for store n og hvis x = lim x n = lim z n, da er også lim y n = x. 4
Algebra og konvergens Som omtalt ovenfor gør punkterne ± sig ikke særligt godt i algebra. Man kan dog meningsfuldt denere, at for a R er a ± = ± a/ ± = 0 og for a > 0 er ± a = ±a = ±. Med disse denitioner har vi for konvergente følger {x n } n N, {y n } n N R med grænseværdier x, y respektive, at: for {x, y} {0, } og for y 0 og {x, y} {, } x n ± y n x ± y for n, x n y n x y for n, x n y n x y for n. I de ikke-determinerede tilfælde, {x, y} = {0, } for produktfølgen, og x = y = 0 eller x = y = for kvotientfølgen, kan disse følger være konvergente mod en eller anden grænse a R eller divergent. Funktioner og grænseværdi Lad ω være en omegn om a R. Da kaldes ω := ω \{a} for en udprikket omegn om a. Lad f : E R være en reel funktion deneret på en punkteret omegn E om a R. Da siger vi, at f(x) konvergerer mod L R for x gående mod a eller i formler f(x) L når x a hviss a R, L R : ɛ > 0 δ > 0 : (0 < x a < δ f(x) L ɛ) a R, L = ± : M > 0 δ > 0 : (0 < x a < δ ±f(x) M) a = ±, L R : ɛ > 0 N > 0 : (±x > N f(x) L ɛ) a = ±, L = ± : M > 0 N > : (±x > N ±f(x) M). Dette kan også udtrykkes i korte mere topologiske termer, hvor de re forskellige specialteilfælde falder under et: For enhver omegn ω om L ndes der en punkteret omegn om a med f( ) ω. Grænseværdi for funktioner og for følger er relateret via følgekarakteriseringen af grænseværdi for funktioner: Lad f : E R være en reel funktion de- neret på en punkteret omegn E om a R. Da gælder f(x) x a L hviss {x n } n N E med x n a : f(x n ) L. En funktion f : E R, hvor E R kaldes kontinuert i et punkt a E hviss ɛ > 0 δ > 0 x E : ( x a < δ f(x) f(a) ɛ). 5
En funktion f : E R, hvor E R, kaldes kontinuert, hviss den er kontinuert i ethvert punkt i E og den kaldes uniformt kontinuert hviss ɛ > 0 δ > 0 x, y E : ( x y < δ f(x) f(y) ɛ). Denne sætning viser, at grænseværdibegrebet for funktioner spiller sammen med ordningen på R og algebraen på R på samme måde som grænseværdi begrebet for følger gør. I nogle tilfælde er det også muligt at udregne grænseværdien af produkter og kvotienter i de indeterminerede tilfælde (L'Hospitals regel). Som skrevet i indledningen er meningen med denne note at give en kort oversigt over analysens grundlag. En væsentlig del af analysen handler om at analysere funktioner, dvs studere kontinuitet, dierentiabilitet, integrabilitet, kontinuitet af de aedte, deres variation, topologien og geometrien af deres grafer etc. Der ndes en række sætninger herom. Det vil føre forvidt her at gå ind i og afdække denne del. I stedet vil jeg blot bruge dierentiabilitet som et eksempel på en anvendelse af grænseværdibegrebet: Lad f : E R være en funktion deneret på en omegn E R af a. Funktionen f kaldes dierentiabel i a, hviss funktionen g(x) = f(x) f(a) x a : E R har en grænseværdi for x a (læses x gående mod a). I såfald kaldes grænseværdien for dierentialkvotienten af f i a og f siges at være dierentiabel i a. Dierentialkvotienten betegnes sædvanligvis f (a). Uendelige rækker En (uendelig) række er en formel sum på formen k=1 hvor {a k } k N er en reel følge (symbolet læses som summen af a k for k lig med 1 til ). Formel sum betyder, at man tænker på den som a 1 + a 2 +... +..., hvor {a k } k N, men at udtrykket ikke nødvendigvis peger på et reelt tal. (tag som eksempel k=1 ( 1)k ). Op gennem den moderne analyses barndom har der været gjort alle mulige tiltag og krumspring for at tilordne værdier, reelle tal til formelle uendelige summer. Den operationelle afklaring på problemet er at betragte følgen af afsnitssummer {s n } n N og denere rækkens værdi til at være afsnitsfølgens grænseværdi, hvis en sådan ndes og er endelig: En uendelig række k=1 a k kaldes konvergent (med sum s R), hviss s n := n k=1 a k a k s og s R. Da uendelige rækker involverer algebra, tillader man ikke grænseværdierne ±. Det vil sige, at rækken kaldes divergent hvis grænseværdien s for afsnitsfølgen enten er ± eller slet ikke ndes. Det er klart, at for en konvergent række konvergerer ledene mod 0, men simple eksempler som den harmoniske række k=1 1 k viser, at det omvendte ikke gælder. 6
Cauchy-kriteriet er særlig nyttigt i forbindelse med uendelige rækker, hvor det tager formen: ( ) n ɛ > 0 N N : n, m; n m N : a k ɛ. For uendelige rækker med positive led er afsnitsfølgen voksende og rækken er derfor konvergent, hviss afsnitsfølgen er begrænset. Til at afgøre konvergens af uendelige rækker med positive led er der udviklet en række af tests: integralkriteriet, sammenligningskriteriet, kvotientkriteriet og rodkriteriet etc., se også den specielle note Om Følger og Rækker om konvergenstests for rækker. For uendelige rækker med led af varierende fortegn deneres en strengere konvergensform, absolut konvergens. En uendelig række k=1 a k kaldes absolut konvergent, hviss den absolutte række k=1 a k er konvergent. Det ses let af trekantsuligheden og Cauchy-kriteriet, at enhver absolut konvergent række er konvergent. Funktionsfølger k=m En funktionsfølge er en følge af funktioner {f n : E R} n N hvor E R. En funktionsfølge {f n : E R} n N kaldes punktvist konvergent mod en funktion f : E R hviss x E : lim f n(x) = f(x) eller skrevet mere ud x E ɛ > 0 N N : ( n N : f n (x) f(x) ɛ). Konvergensen kaldes endvidere uniform konvergens hviss ɛ > 0 N N : ( x E, n N : f n (x) f(x) ɛ). Uniform konvergens af funktioner har været med til at fremme ideerne om såkaldte metriske rum og mere generelt generel topologi. Begrebet metrisk rum vil blive udfoldet mere i E3. Flere af de vigtige sætninger om konvergens af funktionsfølger er hvad man kunne kalde ombytningssætninger, dvs. sætninger der tillader ombytning af grænseværdi dragning og en eller anden operation. Her er de tre vigtigste eksempler: 1) Hvis en følge af kontinuerte funktioner {f n : E R} n N på en delmængde E R konvergerer uniformt mod en grænsefunktion f : E R, da er f kontinuert. 2) Hvis en følge af integrable funktioner {f n : I R} n N på et lukket og begrænset interval I = [a, b] R konvergerer uniformt mod en grænsefunktion f : I R, da er f integrabel på I og grænseværdien af følgen af integraler af f n er integralet af grænsefunktionen f: b a f n (x) dx b a f(x) dx. 3) Hvis en følge af funktioner {f n : I R} n N på et interval I R konvergerer punktvist i blot ét punkt x 0 I og hvis følgen af aedte funktioner {f n : I R} n N konvergerer uniformt mod en grænsefunktion g : I R. Da 7
konvergerer følgen {f n } n N punktvist mod en dierentiable funktion f : I R med f = g. Endvidere er konvergensen uniform mod f på ethvert lukket og begrænset delinterval [c, d] I. Funktionsrækker er uendelige rækker af funktioner. Konvergens, både punktvist og uniformt, af sådanne rækker deneres som for almindelige uendelige rækker. Alle sætninger om funktionsfølger, de 3 ovennævnte inklusive oversætter gnidsløst til funktionsrækker. Der ndes naturligvis mange forskellige slags funktionsrækker. Men to typer er særligt studerede, potensrækker og Fourierrækker. Begger dele har rigtig mange anvendelser, Fourierrækker er særligt anvendelige i forbindelse med studiet af svingninger og varianter heraf så som digital signalbehandling. Fourier rækker har tidligere været studeret i større detalje i E3 (se f.eks. Wade, Kapitel 14). Potensrækker har universal anvendelse og falder inden for E2. En potensrække er en funktionsrække på formen x 0 a k (x x 0 ) k. Tallene a k kaldes rækkens koeecienter. Af rodkriteriet følger, at der til en potensrække kan knyttes et tal R [0, ], kaldet rækkens konvergensradius. Konvergensradius er karakteriseret ved, at rækken er absolut konvergent inden for konvergensradius, dvs., i ethvert x med x x 0 < R og rækken er divergent uden for konvergensradius. For x med x x 0 = R afhænger konvergensen af både x og koeecienterne. Konvergensen er uniform på ethvert lukket og begrænset interval I inden for konvergensradius (I ]x 0 R, x 0 + R[ ). Inden for konvergensradius er sumfunktionen s(x) = a k(x x 0 ) k kontinuert, integrabel x ( x ) s(t) dt = a k (t x 0 ) k a k dt = x 0 k + 1 (x x 0) k+1, og dierentiabel ( ) s (x) = a k (t x 0 ) k = ka k (x x 0 ) k 1 idet både den ledvist integrerede og den sidstnævnte ledvist dierentierede række har samme konvergens radius R, som den oprindelige række. Ved rekursion følger det, at sum funktionen s er uendeligt ofte dierentiabel inden for konvergens radius og de aedte i x 0 er givet ved formlen s (n) (x 0 ) = a n n!. Sumfunktionen er dog endnu smukkere end som så, den er også (reelt) analytisk: En funktion f : I R, hvor I R er et interval, kaldes (reelt) analytisk, hviss den kan skrives som en potensrække med strengt positiv konvergensradius på en omegn om ethvert x 0 I. Da en potensrække er uendeligt ofte dierentiabel med aedte givet ved formlen ovenfor følger det, at f er analytisk, hviss f er uendeligt ofte dierentiabel og for ethvert x 0 I har rækken f(x) = k=1 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! 8
positiv konvergensradius. Klassen af analytiske funktioner er meget vigtig og meget velstuderet. Den rummer udover polynomierne funktioner som e x, log x, sin x, arcsin x, cos x, tan x og arctan x. 9