Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Sætningen om vinkelrette linjer 2 2.1 Indledende logik................... 2 2.2 Sådan beviser man en biimplikation......... 4 2.3 Et logisk hack..................... 4 2.4 Ny version af sætningen............... 6 3 Bevis vha. ensvinklede trekanter 7 4 Bevis vha. Pythagoras 9 5 Bevis vha. trigonometriske overgangsformler 10 6 Bevis vha. vektorer 11
Resumé Her beviser vi en nydelig lille sætning om hvornår to linjer i det todimensionelle koordinatsystem er vinkelrette. Vi beviser den samme sætning på flere forskellige måder for at demonstrere hvordan forskellige ideer kan lede til den samme konklusion. 1 Introduktion Vi skal bevise et sætning om hvornår to linjer i det todimensionale koordinatsystem er vinkelrette (eller med et fint ord: ortogonale). Samtidigt vil jeg gerne demonstrere et meget smukt fænomen som optræder meget hyppigt i matematik Nemlig at den samme påstand sagtens kan bevises på mange forskellige måder. Alt efter hvilke noget værktøj man lige finder frem, kan man få meget forskellige ideer, men ofte vil disse ideer alligevel lede frem til den samme konklusion. Derfor laver vi hele fire forskellige beviser for sætningen i dette dokument. Den sværeste del er faktisk den logiske opvarmning i afsnit 2.1. Hvis du synes det er for voldsomt, kan du sagtens springe dette afsnit over. Så må du bare nøjes med at få bevist halvdelen af sætningen (den kan du se i afsnit 2.4). Forudsætninger Hvert bevis benytter sig af noget forskellig viden, så du kan jo vælge det bevis som passer bedst til dine forudsætninger. Det første bevis benytter sig af viden om ensvinklede trekanter. Det andet bevis benytter sig af Pythagoras sætning samt en af kvadratsætningerne. Det tredje bevis benytter sig af viden om cosinus, sinus og tangens begrebet linjers stigningsvinkel. side 1
Det fjerde bevis benytter sig af viden om todimensionelle vektorer og prikprodukter. 2 Sætningen om vinkelrette linjer Her er sætningen som vi skal bevise: Sætning 1 (Vinkelrette linjer). Hvis L og M er to linjer, som er givet ved ligningerne: L : y = ax + b og så giver M : y = cx + d præcis hvis L og M ortogonale. 2.1 Indledende logik Bemærk formuleringen præcis hvis i sætningen. Det dækker i virkeligheden over hele to forskellige informationer som begge kan være nyttige. For det første fortæller det at hvis man har to linjer med hældningskoeffecienter a og c, som er vinkelrette, så er Man kan skrive dette med et (farligt) logisk tegn, implikationspilen, som: L M side 2
Men for det andet siger den også at hvis ikke de er vinkelrette, så giver a c ikke 1. Rent logisk 1 betyder det at hvis man støder på to linjer med hældningskoeffecienter a og c, hvor så ved vi at de er vinkelrette. Man kan skrive dette som: L M Begge informationerne kan være nyttige: Nogle gange står man med to linjer som man ved er vinkelrette, og så kan man altså konkludere at deres hældninger giver 1 når man ganger dem sammen. Andre gange står man med to linjer hvis hældninger giver 1 når man ganger dem sammen, og så kan man konkludere at de er vinkelrette. Folk som har set den slags fænomener mange gange kan godt lide at sige det meget hurtigt som: L og M er vinkelrette hvis og kun hvis. Ved at bruge et (meget farligt) logisk tegn, biimplikationspilen kan man også skrive det som: L M 1 Det som vi laver her et en logisk manøvre som hedder kontraposition. Det kan du læse mere om her side 3
2.2 Sådan beviser man en biimplikation Det vigtigste ved al logiksnakken ovenfor er at indse at sætningen faktisk indeholder to forskellige påstande. Det betyder at når vi skal bevise den, så skal vi faktisk bevise hele to ting, nemlig hver af de to implikationer. Mange prøver at bevise begge implikationer samtidigt, men det bliver næsten altid noget rod. For argumenterne den ene vej er sjældent de samme som den anden vej. Derfor bør man altid bevise en biimplikation ved at dele den op i to impikationer og argumentere for dem en af gangen. Et skelet som man næsten altid bruger til den slags kunne se ud som følger: Sætning 2 (En biimplikation). Om de to udsagn, A og B gælder: A B Bevis. Ført beviser vi implikationen. Antag derfor at A. Så kan vi se at (bla, bla, bla). Og derfor må vi have at B. Dernæst beviser vi implikationen. Antag derfor at B. Så kan vi se at (bla, bla, bla). Og derfor må vi have at A. 2.3 Et logisk hack I denne sætning findes der dog en smutvej. Jeg gider nemlig kun at bevise den ene implikation i de følgende beviser (de fleste af beviserne kunne sagtens fikses så de også virker den anden vej, men det er besværligt og rodet). I stedet kan vi bruge noget viden om linjer i koordinatsystemet til at argumentere for at hvis den ene implikation gælder, så gælder side 4
den anden automatisk også. Bemærk at det absolut ikke altid er så nemt. (Normalt er en implikation og dens modsatte implikation helt forskellige påstande som skal bevises helt forskelligt.) Det faktum som vi kan benytte os af er egentlig ganske simpelt: Lemma 3. Hvis K og L er to linjer med samme hældningskoefficient, og vi ved at K er vinkelret på en tredje linje, M, så er L også vinkelret på M. Bevis. Hvis K og L er har samme hældningskoefficient, så er de parallelle, og derfor vil en linje som er vinkelret på den ene også være vinkelret på den anden. Lad os nu forestille os at vi allerede har bevist halvdelen af sætning 1, altså implikationen: L M Altså at hvis to linjer er vinkelrette, så giver produktet af deres hældninger 1. (Hvis du har svært ved at forestille dig at det er bevist, så kan du blade frem og se at det er denne implikation som bevises fire gange i resten af dokumentet). Nu vil vi så argumentere for den modsatte implikation: Antag at vi har to linjer, L og M, givet ved ligningerne: og L : y = ax + b M : y = cx + d og det eneste vi ved om dem er at side 5
Det betyder selvfølgelig at a = 1 c Lad os nu (fordi vi har lyst) lave en helt ny linje, K, ved simpelt hen at lave den vinkelret på M. (Det kan man jo altid). Så får K en eller anden hældningskoefficient, lad os kalde den h. Fordi vi kender den første implikation (brugt på linjerne K og M som jo er vinkelrette, så kan vi konkludere at: og det betyder at: h c = 1 h = 1 c Men så er h og a jo ens! Og dermed har K og L samme hældning, og eftersom K er vinkelret på M, så er er L det sandelig også! 2.4 Ny version af sætningen Vi har nu indset at det faktisk er nok at bevise følgende discount udgave af sætning 1: Sætning 4 (Vinkelrette linjer). Hvis L og M er to linjer, som er givet ved ligningerne: og og som er vinkelrette, så giver L : y = ax + b M : y = cx + d Det gode ved at skulle bevise denne implikation er at vi kan starte med at tegne alle vores informationer, nemlig de to linjer som side 6
Figur 1: To vinkelrette linjer vi ved er vinkelrette. Det er gjort på figur 1 nedenfor, og det vil være udgangspunktet for alle beviserne. Bemærk at eftersom linjerne er vinkelrette, så skærer de hinanden, og omkring skæringspunktet vil situationen se ud omtrent som på figur 1. Eftersom begge linjer har en hældningskoefficient, er ingen af dem lodrette. Det får vi brug for i alle beviserne. Bemærk også at den ene hældning altid vil være negativ, mens den anden vil være positiv. Vi vil her antage at det er a som er positiv og c som er negatv (sådan som ser det ud til på figur 1), men argumentet er præcis det samme i den omvendte situation. 3 Bevis vha. ensvinklede trekanter Vi starter med et bevis der bruger så lidt forhåndsviden som overhovedet muligt. Til gengæld er det så også det længste bevis at skrive ned. Læg dog mærke til at det er meget nemmere at sige argumentet hvis man peger på tegningen samtidigt. Lad os antage at vi har to vinkelrette linjer, L, og M med hældningskoefficienter a og c. side 7
Hvis vi nu tegner en vandret streg ud fra skæringspunktet med længde 1, og derefter fortsætter lodret op og ned, indtil vi når linjerne, så får vi en situation som skitseret på figur??. Bemærk at eftersom c er negativ, så er den (positive) afstand ned til M lig med c (altså c med omvendt fortegn). Nu er der ikke så meget andet tilbage end at indse at indse at de to retvinklede trekanter som opstår er ensvinklede. Hvorfor nu det? Jo, de er begge retvinklede, så den rette vinkel har de ihvertfald til fælles. Hvis vi desuden navngiver en af vinklerne i den ene trekant (vi tager den vinkel som er markeret som α på tegningen, så bliver den sidste vinkel, β i denne trekant selvfølgelig: β = 180 90 α = 90 α fordi vinkelsummen i en trekant er 180. Eftersom vi har antaget at de to linjer er vinkelrette, så vil vinklen, γ i den anden trekant, være: γ = 90 α = β og den sidste vinkel, δ bliver derfor: δ = 180 90 γ = 90 γ = 90 (90 α) = α (Det er meget nemmere at sige dette argument mens man peger på trekanterne.) Eftersom trekanterne er ensvinklede, vil forholdet mellem ensliggende sider være konstant (som man siger). Det betyder at forholdet mellem de to kateter være det samme i begge trekanter (Vi tager den katete som ligger overfor vinklen α = δ i tælleren begge gange). I den ene trekant er dette forhold: a 1 og i den anden trekant er det: 1 c = 1 c side 8
og eftersom disse forhold (som sagt) er ens, har vi: dvs. a 1 = 1 c 4 Bevis vha. Pythagoras Dette bevis er nok det nemmeste at finde på. Vi skriver simpelt hen ned hvad Pythagoras sætning siger om alle de retvinklede trekanter vi kan finde, og derefter kombinerer vi informationerne. Det giver at: 1 2 + a 2 = x 2 og 1 2 + c 2 = y 2 men eftersom de to linjer er vinkelrette, er der en retvinklet trekant mere. Om denne trekant siger Pythagoras at: x 2 + y 2 = (a c) 2 = a 2 + c 2 2ac indsætter vi de to første informationer, får vi: 1 + a 2 + 1 + c 2 = a 2 + c 2 2ac trækker vi a 2 og c 2 fra på begge sider, får vi: 2 = 2ac og dividerer vi med 2 på begge sider, giver det: 1 = a c side 9
5 Bevis vha. trigonometriske overgangsformler Dette bevis min personlige favorit, fordi det benytter nogle formler som er meget fundamentale, men som kun sjældent bliver nævnt. Det drejer sig om to af de såkaldte trigonometriske overgangsformler. Lemma 5. For enhver vinkel θ er: cos(θ + 90 ) = sin(θ) sin(θ + 90 ) = cos(θ) Man kan overbevise sig om at disse formler er korrekte ved at kigge på enhedscirklen og definitionen af cosinus og sinus. Det vil vi ikke gøre her. Lad os i stedet vende tilbage til de to linjer, L og M med hældningskoefficienter a og c, og vi antager som sædvanligt at de er vinkelrette og går ud fra at det er c som er negativ. (Det er nemt at lave argumentet om hvis det er a som er negativ!) Hvis vi kalder linjernes stigningsvinkler (vinklen i forhold til vandret, målt med fortegn) for henholdsvist α og β, så gælder sammenhængen mellem stigningsvinkler og hældningskoefficienter: og Derfor er: tan(α) = a tan(β) = c a c = tan(α) tan(β) = sin(α) cos(α) sin(β) cos(β) Men samtidigt er α = β + 90 side 10
fordi de to linjer er vinkelrette. Så derfor kan vi fortsætte omskrivningen: a c = sin(β + 90 ) cos(β + 90 ) sin(β) cos(β) = cos(β) sin(β) sin(β) cos(β) = 1 6 Bevis vha. vektorer Dette er klart det nemmeste bevis, men til gengæld bruger det et lidt mere avanceret begreb, nemlig retningsvektorer for linjer og prikproduktet. Bevis (for sætning 4). Hvis L og M er givet ved ligningerne og L : y = ax + b M : y = cx + d Så kan vi lave retningsvektorer for dem ved: og r 1 = r 2 = ( 1 a ( 1 c Hvis L og M er vinkelrette, så må disse to retningsvektorer være vinkelrette, og derfor må deres prikprodukt give nul. Dvs: r 1 r 2 = 0 ) ) side 11
dvs. ( 1 a dvs. dvs. ) ( ) 1 = 0 c 1 1 + a c = 0 side 12