Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13 bøger, eller kapitler, som hver indeholder definitioner og sætninger med beviser. 1 Den første bog indeholder dog også aksiomer. Titlen Elementer skal ikke forstås som elementær, men som noget der er bygget op af mindre dele, altså elementer. Man begynder altså med nogle helt grundlæggende egenskaber og derefter bygger man videre på dem, kun med brug af det foregående. Euklid begynder, uden nogen form for indledning, med at definere de mest grundlæggende geometriske begreber og objekter, f.eks. D.1 Et punkt er det som ikke har nogen del. D. En linje er en længde uden bredde. D.3 En linjes grænser er punkter. D.15 En cirkel er en plan figur der indesluttes af én linje (som kaldes periferien) med den egenskab at hvis der fra et bestemt punkt inde i cirklen trækkes rette linjer til periferien, er alle disse linjer lige lange. D.0 f de tresidede figurer er en ligesidet trekant en der har tre lige lange sider, en ligebenet trekant er en der har to lige lange sider, og en skæv trekant har alle tre sider ulige lange. Vi bemærker at D.3 kun giver mening i kraft af at vi allerede har D.1 og D. der fortæller os hvad vi skal forstå ved linje og punkt. I første bog er der 3 definitioner. Derefter gør Euklid klart, hvad man som udgangspunkt må gøre med de objekter og begreber man lige har defineret. Han opstiller altså aksiomerne som opdeles i to grupper; først hvad man må gøre (postulater), f.eks. P.1 Det forudsættes at der kan trækkes en ret linje fra et hvilket som helst punkt til et hvilket som helst punkt. P.3 t der kan tegnes en cirkel med et hvilket som helst centrum og en hvilken som helst afstand som radius. Der er 5 postulater. Herefter fortsættes med de aksiomer Euklid kalder almindelige begreber, som handler om hvad man må forudsætte om relationer mellem de definerede objekter, f.eks..1 Størrelser som er lig en og samme tredje, er indbyrdes lige store. 1 Nedenfor citeres flere steder Euklids tekst. For den fulde tekst af første og anden bog, se:. Glunk, H. E. Strand,. M. Taisbak og. G. Tortzen Q.E.D. Platon og Euklid tegner og fortæller, Gyldendal 006, side 5, ff.. itaterne er skrevet med en anden font end hovedteksten.
Der er 9 aksiomer (i nogle udgaver færre). Nu har Euklid lavet grundlaget for at kunne bevise resultaterne; han har defineret de objekter og begreber der skal arbejdes med og han har fastslået hvad der som udgangspunkt må gøres med dem. Så herefter følger den første sætning, som er en konstruktions opgave: I.1 [ i ] t konstruere en ligesidet trekant på en given begrænset ret linje. [ ii ] Lad være den givne rette linje. [ iii ] Der skal nu konstrueres en ligesidet trekant på. [ iv ] Lad cirkel D være tegnet med som centrum og som radius [P.3], og endvidere cirkel E med som centrum og som radius, og lad de rette linjer og være trukket fra punktet hvor cirklerne skærer hinanden, til punkterne og [P.1]. [ v ] Da punktet er centrum i cirklen D, er lig [D.15]; og da punktet er centrum i cirklen E, er lig. Og det blev også bevist at er lig ; både og er altså lig. Men de [størrelser] som er lig samme tredje [størrelse], er lig hinanden [.1]. ltså er lig. De tre linjer,, er altså lige store. [ vi ] Derfor er trekant ligesidet [D.0]. Og den er konstrueret på den givne rette linje. Hvilket skulle gøres. Euklid følger en meget præcis disposition for alle sine beviser: Først ([ i ]) formuleres i almindelig sprog hvad der skal gøre eller hvad der skal bevises. Derefter ([ ii ]) beskrives det givne ved hjælp af bogstaver fra figuren, hvorefter ([ iii ]) selv sætningen formuleres med de betegnelser der er givet på figuren. I det næste afsnit ([ iv ]) konstrueres alle de dele der er nødvendige for at bevise sætningen og så følger ([ v ]) argumentationen for at det er rigtigt at det ønskede er opnået. Til sidst ([ vi ]) konkluderes hvad man har opnået. I ovennævnte tilfælde er det angivet i kantede parenteser [ ] hvornår der bruges noget af det tidligere definerede. Når Euklid nu skal til. sætning har han alle definitionerne, postulaterne og aksiomerne, samt sætning 1 til rådighed i sine argumenter. Når sætning så er bevist kan han også bruge den til at bevise sætning 3 osv. Det er denne måde det aksiomatisk deduktive system virker. I praksis i Gymnasiet vil man ikke følge de ovennævnte 6 punkter helt så nøje som Euklid gør det, men en tilsvarende argumentation vil altid være der. Det skal bemærkes at der findes andre aksiomssystemer end det euklidiske, men det er det euklidiske som geometri i grundskolen og gymnasiet bygger på.
Direkte bevis evistyper Ved direkte beviser arbejder man med at bevise sætninger af typen hvis, s å - altså hvis er sand, så medfører dette. Vi har altså som præmis, der skal være sand, og hvis dette er tilfældet, så har vi en sætning, der er. Vi vil se på et bevis for trekantens vinkelsum og opstiller følgende præmis: Vi har en vilkårlig trekant, og en sætning: Vinkelsummen i trekanten er 180. Vi vil med logisk argumentation gennem en række trin bevise sætningen, og da der er tale om et direkte bevis, antager vi som udgangspunkt, at sætningen er sand. Det kan måske lyde lidt underligt, men nogle gange kan man bevise noget ved at antage, at en sætning ikke er sand - mere om det senere. Vi begynder med at tegne en vilkårlig trekant,, se nedenfor. v u m På figuren har vi udover tegnet en linje, m, der er parallel med siden, og som går gennem, og vi har forlænget siderne og en smule. Da en linje spænder over 180, og siderne og er transversaler (en ret linje, der skærer mindst to andre linjer), kan vi altså skrive følgende matematik: 180 v + + u v u 180 + + Ergo er vinkelsummen i en trekant 180. emærk at vi bruger tidligere bevist viden om en linjes vinkel samt om transversaler og de dertilhørende vinkler i dette bevis, hvilket jo netop er kendetegnende for matematikken.
Geometrisk bevis Følgende er et eksempel på et (direkte) geometrisk bevis, der benytter sig af tegninger og sproglig argumentation i bevisførelsen. Vi vil her gerne bevise, at hvis vi har en trekant, så vil trekantens vinkelhalveringslinjer skære hinanden i det samme punkt. Vi ser, at vores sætning følger den tidligere nævnte opbygning, idet vi har som præmis: Vi har en vilkårlig trekant, og som sætning: Vinkelhalveringslinjerne skærer hinanden i samme punkt. Vi lægger ud med at tegne en vilkårlig trekant og indlægge dennes vinkelhalveringslinjer for og. Det skæringspunkt, som vi ubetinget jo må have for de to linjer, kaldes M. Q På tegningen til højre har vi også nedfældet den vinkelrette fra punktet M til henholdsvis siden og siden, idet punkterne kaldes P og Q. M Vi bemærker, at M ligger på vinkelhalveringslinjen for, hvorfor afstandene MP og MQ er lige store. P Q M R På denne tegning til højre har vi så nedfældet den vinkelrette fra M på henholdsvis siden og siden, idet det nye punkt på siden kaldes R. Da M jo også ligger på vinkelhalveringslinjen for, må afstandene MQ og MR være ens, og da vi tidligere har vist, at MP er lige så stor som MQ, må alle afstandene MP, MR og MQ være de samme. Ergo må vinkelhalveringslinjen for også skære i M, som det ses nedenfor, hvorfor vi kan konstatere, at vinkelhalveringslinjerne i en trekant skærer hinanden i det samme punkt. Q R M P
Indirekte bevis Der findes flere typer af indirekte beviser - her viser vi et indirekte bevis ved modstrid. Ved de indirekte beviser arbejder man også med at bevise sætninger af typen hvis, s å som ved de direkte beviser, men nogle gange er det lettere at antage, at ikke gælder, og hvis dette så viser sig at give en modstrid - altså at det ikke er muligt, at er sand samtidig med, at ikke gælder, så må det jo medføre, at faktisk gælder. Vi vil igen se på et bevis fra trekantslæren, nemlig beviset for, at der højst er én stump vinkel i en trekant. Vi har altså følgende præmis: Vi har en vilkårlig trekant, og en sætning: Der er højst én stump vinkel i en trekant, men vi vil bevise det ved at antage, at der godt kan være to eller tre stumpe vinkler, og hvis nu det viser sig at give den føromtalte modstrid, så er vores antagelse jo forkert, og da må vi logisk slutte, at der højst kan være én stump vinkel. Vi antager således, at der godt kan være to stumpe vinkler i en vilkårlig trekant, og vælger som de to stumpe vinkler og : > 90 > 90 + > 180 Tidligere beviste vi, at vinkelsummen i en trekant er 180, og den sætning benytter vi nu nedenfor, 180 + + Nu isolerer vi for ved at subtrahere det samme på begge sider af lighedstegnet, nemlig +. 180 ( + ) Således står nu på venstre side af lighedstegnet et negativt tal, hvilket er en modstrid, da jo ikke kan være negativ. Da vi af helt evidente årsager også kan sige, at det heller ikke kan være muligt med tre stumpe vinkler i en trekant, må vi altså slutte, at det højst kan være én stump vinkel i en trekant. emærk også her brugen af en tidligere bevist sætning i dette bevis.
Induktionsbevis Et induktionsbevis benyttes, når man skal bevise, at en given sætning er sand for alle tal n N (eller eventuelt en delmængde heraf) - altså at en sætning gælder for eksempelvis n1, n, n3 og så videre, eller at sætningen gælder for n6, n7, n8 etcetera. Induktionsprincippet virker lidt ligesom dominobrikker, der vælter hinanden, blot den første brik væltes. Her vil vi altså vise, at sætningen gælder for n1 (den såkaldte induktionsstart) svarende til den første dominobrik, og hvis vi så kan bevise, at sætningen gælder for et tilfældigt tal k og det følgende tal k+1, må vi logisk slutte, at når sætningen gælder for 1, må den også gælde for, og hvis den gælder for, må den også gælde for 3, og sådan kan vi selvfølgelig blive ved, så sætningen gælder altså for alle naturlige tal fra induktionsstarten. Vi vil her bevise en sætning for summen af de første n posi ve heltal, S(n). Sætningen lyder: S( n) n ( n + 1) Vi viser først, at sætningen gælder for n1, som må være induktionsstart: eregnet som en sum (med kun ét led): S( 1) 1 eregnet ved hjælp af sætningen: S( 1) 1 ( 1 + 1) 1 ltså passer sætningen for n1 Nu antager vi så, at sætningen gælder for et tilfældigt tal, k, hvilket da ved indsættelse af k for n giver: S( k) k ( k + 1) Så ser vi på det på k følgende tal, k+1, hvor summen jo må bestå af alle de forgående led (altså S(k)) plus det sidste tal i summen, som jo er k+1. Vi har således: S( k) + ( k + 1) Vi antog tidligere, at sætningen gælder for nk, så vi substituerer og gennemfører nogle omskrivninger: k ( k + 1) + ( k + 1) k ( k + 1) + ( k + 1) ( k + 1) ( k + ) ( k + 1) [ ( k + 1) + 1] Hvilket er præcis, hvad sætningen giver, hvis vi bruger den på nk+1. Vi kan derfor konkludere: Sætningen gælder for nk+1, hvis den ellers gælder for nk, og da vi har vist, at sætningen gælder for n1, må den altså også gælde for n, og når den gælder for n, må den også gælde for n3, og når... således dominoeffekten. Vi har nu gennemført induktionsbeviset for den pågældende sætning :-).
fsluttende bemærkninger Vi håber, at det af ovenstående er tydeligt, at et induktionsbevis faktisk ikke har noget med den klassiske betydning af termen induktion at gøre, idet der jo i dén grad anvendes deduktion - derfor benyttes da også ofte det lidt mere præcise udtryk matematisk induktion om et induktionsbevis. Der findes en del andre bevistyper, men "S-beviser", som de af og til præsenteres i gymnasiets lærebøger, er ikke en af disse! Det er jo meningsløst at bruge et stykke software, der blot er programmeret efter matematikkens korrekt beviste sætninger, til at bevise noget som helst. Man kan imidlertid til nød, såfremt ens tekniske kunnen udi matematik ikke er fuldt udviklet, i begrænset omfang benytte S-værktøjer i forbindelse med tungere omskrivninger og reduktioner i et givent bevis.