Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis denne nye vektor Av har samme retning som den vektor v vi startede med, har vi en ligning af form Av=λv (3.1) hvor λ er et tal. I dette afsnit skal vi systematisk undersøge under hvilke betingelser på matricen A denne situation forekommer, og for hvilke vektorer v det kan lade sig gøre. Opgaven at finde løsningerne til ligningen (3.1) kaldes egenværdiproblemet for matricen A. De mulige værdier af konstanten λ kaldes egenværdierne, og de dertil hørende vektorer kaldes egenvektorer for matricen A. Egenværdiproblemer optræder forbavsende hyppigt i matematisk behandling af tekniske problemer, og det er afgørende at være fortrolig med dette vigtige begreb. 1

2 CHAPTER 3. MODULPAKKE 3: EGENVÆRDIER Eksempel 3.1. Der foreligger matrixligningen ( )( ) 1 4 x1 = λ 2 3 x 2 ( x1 x 2 ) (3.2) Vektoren x=(2, 1) er egenvektor (vi viser senere, hvorledes vi har fundet denne), idet ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 4 2 1 2+4 ( 1) 2 2 = = =( 1) 2 3 1 2 2+3 ( 1) 1 1

3.2. BESTEMMELSE AF EGENVÆRDIERNE 3 Vi ser samtidigt, at egenværdien svarende til denne egenvektor er λ = 1. For y fås ( ) ( ) 1 ( 1)+4 1 3 Ay= = 2 ( 1)+3 1 1 der jo ikke er proportional med y. Derfor er y ikke en egenvektor til A. For at løse ligningen (3.1) omdanner vi den til en homogen ligning gennem følgende regninger Ax=λx Ax λx=0 Ax λix=0 (3.3) Den sidste operation, hvor vi multiplicerer x med enhedsmatricen I foretager vi, fordi vi efterfølgende ønsker at sætte x uden for en parentes. Og da vi ikke kan trække skalaren λ fra matricen A, er det nødvendigt med det viste trick. Vi kan således omforme problemet til følgende homogene ligningssystem (A λi)x=0 (3.4) og sådanne har vi jo en vis erfaring i at løse. Vi kender allerede en løsning til ligningssystemet, nemlig nul-vektoren, der faktisk tilfredsstiller (3.4) for enhver værdi af λ. Vi stiller os imidlertid spørgsmålet, om der findes egentlige løsninger x (altså løsninger forskellige fra nul-vektoren). Hvis dette skal være tilfældet, så må rangen af koefficientmatricen A λi være mindre end dennes orden, for kun i så fald er der mere end én løsning. Ifølge sætning 2.2 i kapitel 2 er dette imidlertid ensbetydende med, at determinanten af koefficientmatricen er lig 0, hvilket vi kan benytte til først at bestemme egenværdierne, idet vi jo altså nu har en ligning med 1 ubekendt, nemlig λ: det(a λi)= A λi =0 (3.5) For de værdier af λ(egenværdierne), der tilfredsstiller denne ligning, kan vi herefter på sædvanlig måde løse ligningssystemet (3.4) og bestemme egenvektorerne x. 3.2 Bestemmelse af egenværdierne Med A en kvadratisk matrix af n te orden skal vi løse ligningen A λi =0 med hensyn til λ. Vi opskriver først matricen A λi a 11 a 12 a 1n 1 0 0 a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A λi=...... λ 0 1 0...... = a 21 a 22 λ a 2n...... a n1 a n2 a nn 0 0 1 a n1 a n2 a nn λ

4 CHAPTER 3. MODULPAKKE 3: EGENVÆRDIER Vi søger værdier af λ for hvilke denne matrix har rang mindre end n. Det er det samme som at sige (jfr afsnittet om determinant) at determinanten af denne matrix skal være lig 0. Når man nedskriver determinanten med λ som ubekendt vil man få et udtryk der er et polynomium med λ som ubekendt. a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n...... a n1 a n2 a nn λ = c n λ n + c n 1 λ n 1 + +c 2 λ 2 + c 1 λ + c 0 Dette polynomium kaldes det karakteristiske polynomium Vi finder altså egenværdierne som løsningerne til ligningen c n λ n + c n 1 λ n 1 + +c 2 λ 2 + c 1 λ + c 0 = 0 (3.6) som betegnes den karakteristiske ligning. Eksempel 3.2. Vi skal nu se, hvorledes vi løser egenværdiproblemet givet i eksempel 5.1 ( )( ) ( ) 1 4 x1 x1 = λ 2 3 Determinanten af A λi bliver 1 λ 4 2 3 λ = (1 λ)(3 λ) 4 2 = λ 2 4λ 5 hvorefter vi finder egenværdierne som rødderne i ligningen λ 2 4λ 5 = 0, dvs. x 2 x 2 λ = ( 4)± ( 4) 2 4 1 ( 5) 2 = { 5 1 For hver af de to fundne egenværdier kan man nu opskrive ligningssystemet (3.4) og herved bestemme egenvektorerne. Vi vil gøre dette for λ = 1 og får da (1 ( 1))x 1 + 4x 2 = 0 2x 1 +(3 ( 1))x 2 = 0

3.2. BESTEMMELSE AF EGENVÆRDIERNE 5 Begge disse ligninger reduceres til 2x 1 + 4x 2 = 0, og vi har altså netop en fri parameter som vi forventer, dvs en uendelighed af egenvektorer: x= t(2, 1), t R svarende til egenværdien λ = 1. Det overlades til læseren på tilsvarende måde at bestemme egenvektorerne svarende til egenværdien λ = 5. Selv om vi benytter betegnelsen egenvektoren hørende til egenværdien ser vi at det kun er vektoren retning som er afgørende. Hvis v er en egenvektor er også t v en egenvektor. Man kan så vælge hvilken blandt alle vektorerne t v man vil kalde for egenvektoren. Det kan være den vektor der har længde 1, eller den vektor der har tallet 1 på første (eller sidste) koordinat. Eksempel 3.3. MAPLE kan finde egenværdier og egenvektorer. Hvis vi indlæser LinearAlgebra og matricen fra ovenstående eksempel, ( ) 1 4 A := 2 3 vil kommandoen > Eigenvectors(A); give følgende output [ 5 1 ] [ 1 2 1 1 ] I den første søjlevektor står egenværdierne, λ = 5 og λ = 1. I den næste matrix står, som søjler, egenvektorer hørende til hhv egenværdien 5 og til egenværdien 1. Læg mærke til at MAPLE vælger at angive egenvektorer med 1 på sidste koordinat. I eksemplet ovenfor havde vi vektoren (2, 1) som egenvektor hørende til egenværdien 1, men man kan med lige så stor ret angive vektoren( 2, 1). Samtlige egenvektorer hørende til egenværdien -1 er: v= t( 2,1), t R. Samtlige egenvektorer hørende til egenværdien 5 er: v= t(1,1), t R. Vi vil nu interessere os for antallet af løsninger til den karakteristiske ligning (3.6). Her vil vi trække på Algebraens Fundamentalsætning, der er beskrevet i det indledende matematikkursus. Sætningen siger, at ethvert polynomium har en rod, og det vises, at en følge heraf er, at der gælder sætningen Ethvert n te grads polynomium har netop n rødder Rødderne kan være reelle og/eller komplekse. Derudover ligger det i sætningen, at visse rødder kan være multiple. Vi kender det fra 2.grads ligningen, hvor der kan være en dobbeltrod (vi

6 CHAPTER 3. MODULPAKKE 3: EGENVÆRDIER siger, at roden har den algebraiske multiplicitet 2). Hvis man faktoriserer polynomiet, kan man se, hvorvidt der er multiple rødder og hvilken multiplicitet de har. Der gælder den vigtige egenskab, at hvis koefficienterne til polynomiet er relle (sådan som de ofte vil være det i modeller i de tekniske videnskaber), så vil de komplekse rødder altid optræde parvis i form af komplekst konjugerede tal. Det betyder, at hvis α+ iβ er egenværdi, så vil også α iβ også være egenværdi. Eksempel 3.4. Polynomiet λ 3 3λ + 2 = (λ + 2)(λ 1) 2 har enkeltroden -2 og dobbeltroden 1. Polynomiet λ 3 5λ 2 + 8λ 6 = (λ (1+i))(λ (1 i))(λ 3) har enkeltrødderne 1+i, 1 i og 3, hvor de to første rødder er komplekst konjugerede. Polynomiet λ 4 + 2λ 2 + 1 = (λ i) 2 (λ + i) 2 har dobbeltrødderne i og i. Bemærk: Når vi eksempelvis har foretaget omskrivningen λ 3 5λ 2 + 8λ 6 = (λ (1+i))(λ (1 i))(λ 3) siger vi, at vi har faktoriseret polynomiet. Vedrørende faktorisering af polynomier henvises til det grundlæggende matematikkursus. MAPLE kan faktorisere polynomier med kommandoenfactor. 3.3 Om egenvektorerne Løsningen af egenværdiproblemet baserede sig på en omformulering af dette, så det blev bragt på homogen form, hvorefter vi som ovenfor beskrevet først finder egenværdierne ved at løse den karakteristiske ligning. For hver af de fundne egenværdier kan vi så - eksempelvis ved Gauss elimination - bestemme egenvektorerne x ved at løse det homogene ligningssystem (A λi)x = 0 (3.7) Det, der herefter interesserer os, er egenvektorernes egenskaber. Hvad kan man sige om antallet af egenvektorer og disses indbyrdes relationer? Vi minder igen om at at nul-vektoren ikke regnes

3.3. OM EGENVEKTORERNE 7 med blandt egenvektorerne. Når vi nu bestemmer egenvektorerne ved at løse ligningssystemet (3.7), så vil rangen ρ af koefficientmatricen A λi være mindre end matricens orden n (dette har vi jo netop sørget for ved at kræve, at A λi = 0). Vi ved da fra tidligere, at der vil være en (n ρ) dobbelt uendelighed af løsninger, og disse vil (hvis de suppleres med nul-vektoren) udgøre et vektorrum af dimensionen n ρ. Spørgsmålet er altså, hvad vi kan sige om størrelsen n ρ, som vi vil kalde den geometriske multiplicitet af egenvektorerne svarende til den givne egenværdi λ. Da vi nu har to forskellige former for multiplicitet, og da disse begreber spiller en vigtig rolle i det efterfølgende, vil vi først foretage en begrebsmæssig præcisering. Algebraisk og geometrisk multiplicitet Ved løsning af egenværdiproblemet Ax = λ x fremkommer n egenværdier som rødder til det karakteristiske polynomium. Den multiplicitet, hvormed en rod optræder, kaldes den algebraiske multiplicitet. For en given egenværdi vil egenvektorerne udspænde et vektorrum. Dimensionen af dette rum kaldes den geometriske multiplicitet. Eksempel 3.5. Vi vil bestemme egenværdier og egenvektorer for matricen 1 3 0 3 1 0 (3.8) 0 0 2 Først bestemmes egenværdierne ved at løse den karakteristiske ligning 1 λ 3 0 det(a λi) = 3 1 λ 0 0 0 2 λ = ( 2 λ)((1 λ)2 3 2 ) = 0 hvilket kan omformes til (λ + 2) 2 (λ 4) = 0, der har løsningerne { λ1 = 4(algebraisk multiplicitet 1) λ 2 = 2(algebraisk multiplicitet 2) Egenvektorer for λ = 4: Disse fås som løsningerne til ligningssystemet 1 4 3 0 3 1 4 0 x = 0 (3.9) 0 0 2 4

8 CHAPTER 3. MODULPAKKE 3: EGENVÆRDIER dvs. 3 3 0 3 3 0 x = 0 (3.10) 0 0 6 Rangen af koefficientmatricen er 2 og den geometriske multiplicitet er altså n ρ = 3 2 = 1 for denne egenværdi. Som løsninger til ligningssystemet (3.9) fås den enkelte uendelighed af vektorer: t(1, 1, 0), t R. Egenvektorerne til egenværdien 4 er vektorerne: x 1 = t(1,1,0), t R, t 0. Egenvektorer for λ = -2: Disse fås som løsningerne til ligningssystemet 1 ( 2) 3 0 3 1 ( 2) 0 x = 0 (3.11) 0 0 2 ( 2) Rangen af koefficientmatricen er 1 og der er altså en dobbelt uendelighed (to frie parametre) af løsninger, dvs. den geometriske multiplicitet er 2. Vi finder løsningerne af ligningen x 1 + x 2 = 0, hvor vi kan vælge x 2 og x 3 som frie variable. Egenvektorerne bliver således x 2 = t 1 ( 1,1,0)+t 2 (0,0,1), (t 1,t 2 ) R 2,(t 1,t 2 ) (0,0) idet vi som nævnt ikke ønsker at medtage nul-vektoren blandt egenvektorerne. Følgende sætning - som vi giver uden bevis - redegør for en sammenhæng mellem algebraisk og geometrisk multiplicitet. Sætning 5.2 For egenværdiproblemet Ax=λx gælder, at: Den geometriske multiplicitet for egenvektorerne svarende til en given egenværdi er mindre end eller lig den algebraiske multiplicitet af egenværdien. Denne sætning indebærer, at såfremt en egenværdi er enkeltrod i det karakteristiske polynomium, så kommer der en enkelt uendelighed af egenvektorer. Er en egenværdi derimod en r dobbelt rod i polynomiet, så vil der være r eller færre lineært uafhængige egenvektorer svarende til denne egenværdi.

3.3. OM EGENVEKTORERNE 9 Eksempel 3.6. For matricen 2 1 1 0 1 1 (3.12) 1 1 1 finder vi på samme måde som i ovenstående eksempel det karakteristiske polynomium (1 λ) 2 (2 λ) med dobbeltroden λ 1 = 1 og enkeltroden λ 2 = 2. Hørende til λ 1 = 1 finder vi egenvektorerne x 1 = t 1 (1,1,0), t 1 R, t 0 og hørende til λ 2 = 2 finder vi egenvektorerne x 2 = t 2 (0,1,1), t 2 R, t 0. (Det overlades til læseren selv at gennemføre de nødvendige udregninger). Vi har her et eksempel på en matrix, hvor den geometriske multiplicitet for egenvektorerne er mindre end den algebraiske multiplicitet for den tilsvarende egenværdi λ 1 = 1. MAPLE viser dette ved kun at angive en enkelt egenvektor selv om λ 1 = 1 er dobbeltrod. Vi har i det foregående beskæftiget os med antallet af egenvektorer. En anden vigtig egenskab er samspillet mellem egenvektorerne, og vi vil nu bevise følgende vigtige sætning Sætning 3.1. Egenvektorerne x 1, x 2,,x k hørende til forskellige egenværdier λ 1, λ 2,,λ k er lineært uafhængige. Bevis Vi beviser sætningen for k = 2, idet vi viser, at hvis x 1 og x 2 er egenvektorer svarende til de to forskellige egenværdier λ 1 og λ 2, da er ligningen c 1 x 1 + c 2 x 2 = 0 (3.13) kun opfyldt, hvis såvel c 1 som c 2 er nul. Ved i ligningen at multiplicere med A fås c 1 Ax 1 + c 2 Ax 2 = 0 dvs. c 1 λ 1 x 1 + c 2 λ 2 x 2 = 0 (3.14) Vi multiplicerer nu (3.13) med λ 2 og trækker fra (3.14), hvorved vi får c 1 (λ 1 λ 2 )x 1 = 0 (3.15) Da de to egenværdier er forudsat forskellige, må c 1 = 0. Ved indsættelse i (3.13) ses, at der så også må gælde, at c 2 = 0. Da nu (3.13) kun er opfyldt, hvis begge konstanter c 1 og c 2 er nul, er de to egenvektorer lineært uafhængige.

10 CHAPTER 3. MODULPAKKE 3: EGENVÆRDIER 3.4 Diagonalisering af en matrix Idet vi stadig udelukkende arbejder med kvadratiske matricer, vil vi nu vise en sætning, der finder anvendelse i et stort og meget varieret antal problemstillinger. Sætningen lyder således Sætning 3.2. Antag, at en matrix A af n te orden har n lineært uafhængige egenvektorer. Hvis disse vektorer vælges som søjler i en matrix S, så vil matricen dannet som produktet S 1 AS være en diagonalmatrix Λ med A s egenværdier placeret i diagonalen, dvs.. S 1 AS=Λ Vi siger at matricen A er diagonaliseret (husk at en diagonalmatrix er en matrix, der har 0 er på pladserne uden for diagonalen). Bemærk iøvrigt, at sætningen indebærer, at A kan skrives som: A=SΛS 1, hvilket ofte anvendes ved en diagonaliseringsproces. En matrix, der kan diagonaliseres, kaldes diagonalisrbar. Der følger af sætning 5.3 den vigtige egenskab, at enhver matrix, hvis egenværdier er forskellige, er diagonalisrbar. Eksempel 3.7. I eksemplet tidligere bestemte vi egenværdier og egenvektorer for matricen 1 3 0 A= 3 1 0 0 0 2 Egenværdierne blev -2 (dobbeltrod) og 4, og for at diagonalisere A skal vi nu have 3 lineært uafhængige egenvektorer, der skal anbringes som søjler i matricen S. Dette kan gøres på mange måder, idet der jo viste sig at være en dobbelt uendelighed af egenvektorer for λ = 2 og en enkelt uendelig for λ = 4. Vi anvender følgende egenvektorer: ( 1,1,0), (0,0,1) og (1,1,0) og kan herefter opskrive matricerne S og Λ S = 1 0 1 1 0 1, Λ = 0 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 4

3.4. DIAGONALISERING AF EN MATRIX 11 Ved Gauss-Jordan elimination bestemmes den inverse matrix til S som: 1/2 1/2 0 S 1 = 0 0 1 1/2 1/2 0 Vi får da af sætning 5.4 lovning på, at S 1 AS = Λ, altså at 1/2 1/2 0 1 3 0 1 0 1 0 0 1 3 1 0 1 0 1 = 1/2 1/2 0 0 0 2 0 1 0 2 0 0 0 2 0 0 0 4 Lidt matrixmultiplikation viser, at dette holder stik. I et andet eksempel bestemte vi egenværdier og egenvektorer for matricen 2 1 1 0 1 1 1 1 1 Egenværdierne blev 1 (dobbeltrod) og 2 (enkeltrod). Men her har vi det problem, at der ikke kan fremskaffes 3 lineært uafhængige egenvektorer, da den geometriske multiplicitet svarende til den første egenværdi er lig med 1. Vi kan godt konstruere en matrix S med egenvektorer, men den kan ikke inverteres, og A er altså ikke diagonalisrbar.