Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system er x (t= x (t x 2 (t x 2(t=2x (t+4x 2 (t (4. Beskriver man de ukendte funktioner x og x 2 i samlet i en vektorfunktion x(t=(x (t,x 2 (t kan systemet (4. skrives på matrixform x (t=ax(t (4.2 med en matrix A givet ved A= ( 2 4 (4.3 Vi minder om, at vektorer almindeligvis forstås som søjlevektorer, men at vi ofte af typografiske grunde skriver disse som vist ovenfor for vektoren x(t. Vi vil nu gå generelt til værks, idet vi vil se på et system med n ligninger med n ukendte funktioner x (t, x 2 (t,..., x n (t x (t=a x (t+a 2 x 2 (t+ + a n x n (t x 2(t=a 2 x (t+a 22 x 2 (t+ + a 2n x n (t x n(t=a n x (t+ a n2 x 2 (t+ + a nn x n (t (4.4
2 CHAPTER 4. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER Her er a erne kendte konstanter, som vi som sædvanlig samler i matricen A. Idet vi desuden indfører betegnelserne x (t x x 2 (t (t x(t=. og x x 2 (t= (t. x n (t x n(t kan også (4.4 skrives på formen (4.2, der jo ikke røber noget om størrelsen af vektorerne og matricen. For simpelheds skyld benytter man (med mindre der er risiko for misforståelse ofte følgende lidt løsere skrivemåde, idet man undlader at præcisere, at x erne er funktioner af t x = Ax (4.5 En af typen (4.5, hvor x=x(t er en n-dimensional vektor af funktioner, og A er en n n matrix med elementer, der er konstante og ikke afhænger af t, kaldes et homogent system af lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Inden vi beskriver en metode til løsning af dette system, noterer vi os nogle grundlæggende egenskaber. Sætning 4... Hvis x er en løsning til (4.5, så er cx, hvor c er en vilkårlig konstant, også en løsning. 2. Hvis x og x 2 er to løsninger til (4.5, er x + x 2 også en løsning. For at bevise den første egenskab antages nu, at x er en løsning til (4.5. Heraf følger, at x = Ax. Ganger man i denne ligning med c på begge sider af lighedstegnet, så fås cx = cax. Ved brug af velkendte regneregler kan dette omskrives til (cx = A(cx. Denne sidste ligning udtrykker netop, at cx er en løsning til (4.5. Den anden egenskab vises på lignende måde (hvilket overlades til læseren. Hvis systemet kun består af én ligning, x = ax, så ved vi, at den fuldstændige løsning er x=ce at, hvor c er en vilkårlig konstant. Inspireret af dette vil vi for (4.5 gætte på en løsning af formen x=ve λt, hvor v er en konstant n-dimensional vektor. Indsættes dette i (4.5 fås vλe λt = Ave λt (4.6 Forkortes med e λt på begge sider af lighedstegnet fås λv = Av. Dette genkender vi som et egenværdiproblem, og vi har således
4.. HOMOGENE SYSTEMER 3 Vektorfunktionen x=ve λt er løsning til differentialligningssystemet x = Ax, hvis og kun hvis v er en egenvektor for A med tilhørende egenværdi λ. Ved at bestemme egenværdierne og egenvektorerne for A kan vi således finde en række løsninger til differentialligningssystemet (4.5. Løsningerne kan ganges med konstanter og lægges sammen, og herved fås ifølge linearitetsegenskaben (sætning 6. også løsninger. I langt de fleste tilfælde har man på denne måde fundet samtlige løsninger. Der gælder nemlig Sætning 4.2. Hvis n n matricen A har n forskellige egenværdier λ,λ 2,...,λ n og v,v 2,...,v n er tilhørende egenvektorer, er den fuldstændige løsning til differentialligningssystemet x = Ax x=c v e λt + c 2 v 2 e λ2t + +c n v n e λ nt (4.7 hvor c,c 2,...,c n er arbitrære (dvs. vilkårlige konstanter. Eksempel 4.. For matricen (4.3 er egenværdierne λ = 2 og λ 2 = 3 (regn efter! Da egenværdierne er forskellige, kan vi finde samtlige løsninger til (4. udfra egenværdierne og egenvektorerne. Svarende til egenværdien λ får man en uendelighed af egenvektorer s (,, s R\{0}, og svarende til egenværdien λ 2 får man en uendelighed af egenvektorer s 2 (, 2, s 2 R\{0}. Vi skal vælge en egenvektor til hver egenværdi og kan bruge alle værdier af s henholdsvis s 2 undtagen 0. For nemheds skyld vælger vi s = og s 2 = og får da Den fuldstændige løsning til er derfor ( ( x=c e 2t + c 2 e 3t (4.8 2 eller skrevet ud x (t= c e 2t + c 2 e 3t x 2 (t= c e 2t 2c 2 e 3t } (c,c 2 R 2 (4.9 Hvis A ikke har n forskellige egenværdier, kan man i nogle tilfælde alligevel finde samtlige løsninger til (4.5 på formen (4.7. Sætningen gælder nemlig, blot A har n lineært uafhængige egenvektorer, altså hvis A er diagonaliserbar. Vælges v-vektorerne, så de er lineært uafhængige,
4 CHAPTER 4. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER er (4.7 også i dette tilfælde den fuldstændige løsning. Eksempel 4.2. Vi vil i dette eksempel løse følgende system med 3 ukendte funktioner x (t= x (t 2x 3 (t x 2(t=2x (t+2x 2 (t+4x 3 (t x 3(t= x (t + 4x 3 (t (4.0 Matricen bliver i dette tilfælde 0 2 A= 2 2 4 (4. 0 4 Vi finder det karakteristiske polynomium ved at trække λ fra i diagonalen og udregne determinanten: (2 λ(( λ (4 λ ( 2 =(2 λ(λ 2 5λ + 6=(2 λ(λ 2(λ 3 Rødderne i dette polynomium er egenværdierne, og matricen har altså to forskellige egenværdier λ = 3 og λ 2 = 2 (dobbeltrod. Egenvektorerne bestemmes efter lidt udregning til 2 0 λ : 2 s, s 0 λ 2 : 0 s + s 2, hvor s og s 2 ikke begge er 0 (4.2 0 Ud af disse kan der vælges tre lineært uafhængige egenvektorer. Hørende til egenværdien λ vælger vi egenvektoren med s=, og til egenværdien λ 2 finder vi to egenvektorer ved først at vælge s =,s 2 = 0 og derefter s = 0,s 2 =. Fra disse vektorer kan vi konstruere løsninger til x = Ax af formen 2 0 x=c 2 e 3t + c 2 0 e 2t + c 3 e 2t. (4.3 0 Dette er den fuldstændige løsning. Hvis der ikke findes n lineært uafhængige egenvektorer til A, altså hvis matricen ikke er diagonaliserbar, fanger (4.7 kun nogle af løsningerne, men ikke dem alle. Det kan vises, at løsningsmængden altid vil være en linearkombination af n funktioner, men vi vil ikke her gå yderligere ind på dette. I afsnit 4.4 vises en metode til at finde de løsninger, der mangler.
4.. HOMOGENE SYSTEMER 5 Når den fuldstændige løsning til et differentialligningssystem er bestemt, er man ofte interesseret i at bestemme de løsninger, der opfylder yderligere betingelser. En typisk problemstilling er, at man kender systemets begyndelsestilstand, f.eks. for t = 0. Det er altså givet, at x(0=x 0, hvor x 0 er en kendt vektor. Indsættes t = 0 i (4.7 fås x 0 = c v + c 2 v 2 + +c n v n (4.4 og vi ønsker at bestemme c erne, så denne vektorligning er opfyldt. Vi kan også formulere dette som, at vi skal skrive x 0 som en linearkombination af de n vektorer v,v 2,,v n. Vi har tidligere set, at dette fører til et lineært ligningssystem, hvor koefficientmatricens søjler netop er disse v-vektorer. Vi danner derfor koefficientmatricen matrix S = (v v 2 v n og samler de ukendte i en søjle-vektor c=(c,c 2,,c n. Denne vektor bestemmes da som løsningen til ligningssystemet Sc=x 0. (4.5 Da søjlerne i S er lineært uafhængige, er matricen invertibel, og (4.5 har derfor altid netop én løsning, c=s x 0 Eksempel 4.3. Vi vil bestemme den løsning til (4., der opfylder begyndelsesbetingelsen x(0 =(, 2. Indsættes t = 0 i den fuldstændige løsning (4.8 fås ( ( ( ( ( ( c = c 2 + c 2 eller = (4.6 2 2 2 Dette ligningssystem har løsningen ( c c 2 = ( 4 3 og den søgte løsning til differentialligningssystemet er derfor ( ( ( x=4 e 2t 3 e 3t 4e = 2t 3e 3t 2 4e 2t + 6e 3t c 2
6 CHAPTER 4. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 4.2 Komplekse egenværdier Da egenværdierne for en matrix findes som rødderne i et polynomium, kan de blive komplekse, selv om matricen er reel. Til en kompleks egenværdi λ = α+ iβ hører en kompleks egenvektor v=v + iv 2. Der gælder stadigvæk, at x=ve λt er en løsning til x = Ax. Dette bliver nu bare en kompleks løsning, idet vi minder om definitionen på den komplekse eksponentialfunktion e λt = e (αt+iβt = e αt (cosβt+ isinβt. (4.7 Vi kan herefter opskrive den komplekse løsning, idet realdelen og imaginærdelen hver for sig er reelle vektorfunktioner x(t=ve λt =(v + iv 2 e αt (cosβt+ isinβt = e αt (v cosβt v 2 sinβt+ie αt (v 2 cosβt+ v sinβt. Det følger af linearitetsegenskaben og er ikke svært at eftervise ved at gøre prøve at realdelen og imaginærdelen hver for sig er løsninger, som også er lineært uafhængige. Der gælder derfor følgende Sætning 4.3. Hvis λ = α + iβ er en kompleks egenværdi til A med tilhørende kompleks egenvektor v=v + iv 2, er lineært uafhængige løsninger til x = Ax x (t=e αt (v cosβt v 2 sinβt x 2 (t=e αt (v 2 cosβt+ v sinβt Bemærk: Vi vælger altså én af de to (kompleks konjugerede egenværdier, og danner ud fra denne to reelle løsninger. Man kunne tro, at der på den måde fremkom for mange løsninger. Men for reelle matricer kommer komplekse egenværdier i par; hvis λ = α+ iβ er egenværdi, er den kompleks konjugerede λ = α iβ det også. De løsninger, der findes ved ovenstående metode kunne dannes udfra λ, er de samme, så samlet set kommer der ikke flere løsninger ved komplekse egenværdier end ved reelle.
4.2. KOMPLEKSE EGENVÆRDIER 7 Eksempel 4.4. Lad et differentialligningssystem være givet ved x (t=4x (t 3x 2 (t x 2(t=3x (t+4x 2 (t (4.8 Koefficientmatricen A= ( 4 3 3 4 har det karakteristiske polynomium p(λ= 4 λ 3 3 4 λ =(4 λ2 + 9 der har rødderne λ = 4+3i og λ = 4 3i. En egenvektor til λ findes ved at løse et ligningssystem med totalmatrix Vi laver Gauss elimination og får ( 4 (4+3i 3 0 3 4 (4+3i 0 = ( 3i 3 0 3 3i 0 (4.9 ( 3i 3 0 3 3i 0 r =ir /3 r 2 = ir +r 2 ( i 0 0 0 0 Der er uendelig mange løsninger hertil, n af dem er ( ( ( i 0 v= = + i 0 Vi har altså α = 4, β = 3, v = ( 0, v 2 = ( 0 Der fremkommer dermed følgende to løsninger til differentialligningen x = Ax ( ( x (t=e 4t sin3t, x cos3t 2 (t=e 4t cos3t sin3t og den fuldstændige løsning til systemet er således x(t=c x (t+c 2 x 2 (t, (c,c 2 R 2
8 CHAPTER 4. MODULPAKKE 3: LINEÆRE LIGNINGSSYSTEMER 4.3 Systemer af inhomogene lineære differentialligninger Et system af differentialligninger af formen x = Ax+b(t (4.20 hvor b(t er en given vektorfunktion af den uafhængige variabel t, kaldes et inhomogent system af lineære differentialligninger med konstante koefficienter. Det homogene system x = Ax, der fremkommer, når b(t fjernes fra ligningerne, kaldes det tilhørende homogene system. Strukturen af løsningen til (4.20 er den samme som strukturen af løsningen til et lineært, inhomogent ligningssystem. Der gælder Sætning 4.4. Den fuldstændige løsning til det inhomogene differentialligningssystem (4.20 har formen x=x h + x p, (4.2 hvor x h er den fuldstændige løsning til det tilhørende homogene system og x p er en partikulær løsning til det inhomogene system Til bestemmelse ef en partikulær løsning kan man benytte gættemetoden. Ideen er at gætte på en løsning x af samme familie af funktioner som b(t, men med nogle ukendte koefficienter. Gættet indsættes i det inhomogene system, og man forsøger at bestemme de ukendte koefficienter, så ligningen bliver opfyldt. Vi vil her vise, hvordan gættemetoden kan benyttes, hvis det inhomogene led er en konstant vektor, b(t=b med givne værdier(b,,b n. Vores gæt er da også en konstant vektor, x p = c, men med ukendte værdier(c,,c n, der skal bestemmes. Indsættes dette i (4.20 fås 0=Ac+b da differentialkvotienten af en konstant vektor er 0. bestemmes af det lineære ligningssystem Den søgte løsning x p = c skal derfor Ac= b. (4.22 Hvis A er invertibel, er løsningen c= A b. Hvis A ikke er invertibel, er der enten uendelig mange løsninger eller ingen løsninger til (4.22. I det første tilfælde kan vi bare vælge én af løsningerne som en partikulær løsning x p. I det andet tilfælde virker gættet åbenbart ikke, og man må finde på et andet. Vi vil ikke her komme yderligere ind på denne situation.
4.3. SYSTEMER AF INHOMOGENE LINEÆRE DIFFERENTIALLIGNINGER 9 Eksempel 4.5. Vi betragter differentialligningssystemet ( x = Ax+b med A=, b= 2 4 Da A =6 0 er A invertibel, og en partikulær løsning er ( ( x p = A 2/3 /6 3 b= = /3 /6 2 ( 3 2 ( 4 (4.23 (4.24 Den fuldstændige løsning til det tilhørende homogene system fandt vi i (4.8. Den fuldstændige løsning til det inhomogene system er derfor ( ( ( x=x h + x p = c e 2t + c 2 e 3t 4 + (4.25 2 Vi bestemmer nu den løsning, der opfylder begyndelsesbetingelsen x(0 =(, 2. Indsættes t = 0 i 4.25 fås ( ( ( ( 4 = c 2 + c 2 + (4.26 2 eller ( 2 ( c c 2 = ( 5 3 (4.27 Løsningen til dette ligningssystem er (c,c 2 = (3, 8, og løsningen til differentialligningssystemet bliver således ( ( ( ( x=3 e 2t 8 e 3t 4 3e + = 2t 8e 3t 4 2 3e 2t + 6e 3t (4.28