z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t

indledning Det komplekse vektorrum C n+ identificeres med R 2n+2 via z (z,, z n ) identificeres med (x, y, x, y,, x n, y n ), hvor z j x j + iy j Det komplekse projektive rum defineres som kvotientrummet af C n+ \ {} for ækvivalensrelationen z z hvis der findes c C \ {} sådan at z cz Ækvivalensklasserne betegnes [z,, z n ] 2 Opgaver Opgave (a) Lad M(n +, C) C (n+)2 betegne mængden af kvadratiske (n + ) matricer med komplekse indgange, og lad P : C n+ \ {} M(n +, C) betegne afbildningen P (z) (zz )/(z z), hvor z C n+ er en søjlevektor, og z z t Specielt identificeres -matricen z z med z 2 Vis, at P er en homeomorfi af CP n til billedet af P, og at CP n er et kompakt Hausdorff rum med tællelig basis Bevis Først og fremmest er P : CP n M(n +, C) veldefineret, da P ([cz]) czz c / c 2 z 2 zz / z 2 P ([z]), hvor c C \ {} For at vise, at vise, at P er en homeomorfi af CP n til billedet af P og at CP n er et kompakt Hausdorff rum med tællelig basis bruges Korollar 69 fra [Dupont and Madsen(27)] Dette korollar siger, at hvis X og Y er to topologiske rum, med X kompakt og Y Hausdorff, og f : X Y er en kontinuert, injektiv afbildning, så er f : X f(x) en homeomorfi, hvor f(x) har sportopologien i Y For at kunne bruge dette korollar, med X CP n og Y M(n +, C), skal vi vide at M(n +, C) er Hausdorff, men da M(n +, C) C (n+)2 R 2(n+) 2 er M(n +, C) Hausdorff fordi R m er det for alle naturlige tal m Vi skal også vide, at P er kontinuert og injektiv Men Lemma 52 fra [Dupont and Madsen(27)] giver, at P : CP n M(n+, C) er kontinuert hvis og kun hvis P π : C n+ \{} M(n+, C) er kontinuert, hvor π : C n+ \{} CP n er kvotientafbildningen, z [z] P π(z) zz /z z, og da zz er kontinuert som funktion af z (hver indgang i matricen er blot monomielle udtryk i koordinaterne af z), og / z 2 er kontinuert som funktion af z, da z, så er P kontinuert P er ligeledes injektiv, fordi antag at P (z ) P (z 2 ) for z, z 2 C n+ \ {}, så er z z / z 2 z 2 z 2/ z 2 2, og ganges nu med z på hver side, så fås at z z z z z 2 z z2z 2 z 2 2 () z 2 z z 2 C, og hvis z 2 2 z z 2 er z 2 pr (), hvilket vi antog at den ikke var Derfor C \ {}, hvormed z z 2 og P er injektiv som afbildning fra CP n til er z 2 z z 2 2 M(n +, C) Det eneste der nu mangler er, at CP n skal være kompakt Hvis CP n er billedet af et kompakt rum under en kontinuert afbildning, er CP n kompakt (sætning 67 [Dupont and Madsen(27)]) Den kontinuerte afbildning der skal bruges er kvotient afbildningen π : C n+ \ {} CP n Denne er kontinuert pr definitionen af kvotienttopologien på CP n Hvis vi restringerer denne kvotientafbildning til sfæren S 2n+ C n+ der er kompakt (en lukket og begrænset delmængde af R 2n+2 ), og det kan vises at π S 2n+ : S 2n+ CP n er surjektiv, så er CP n kompakt π S 2n+ er

surjektiv, hvis der i hver ækvivalensklasse i CP n findes et element der har norm Lad derfor [z,, z n ] CP n være givet z (z,, z n ) (x, y,, x n, y n ) er æ- kvivalent til (x, y,, x n, y n )/ i (xi ) 2 + (y i ) 2 S 2n+ Dermed findes der i hver ækvivalensklasse et element i S 2n+ Dermed er π S 2n+ surjektiv, og CP n kompakt Nu er alle forudsætninger i Korollar 69 opfyldt, og P : CP n P (CP n ) M(n +, C) er en homeomorfi, når P (CP n ) udstyres med sportopologien Da vi nu har en homeomorfi mellem CP n og P (CP n ) har de to mængder samme topologiske egneskaber Det betyder specielt, at da P (CP n ) er Hausdorff og har tællelig basis den er jo udstyret med sportopologien, og sportopologien arver disse topologiske egenskaber fra M(n +, C) så er CP n også Hausdorff og har tællelig basis Dermed er det ønskede vist Opgave (b) Vis, at CP n er en glat mangfoldighed med kort givet ved (U i, w i ), i,, n, hvor ( ) z U i {[z,, z n ] : } w i ([z]),, zi, zi+,, zn, og at P er en indlejring Bevis Hvis vi skal vise, at (U i, w i ) er et kort, skal vi først være sikre på, at w i er veldefineret Men lad c C \ {}, og lad z C n+ \ {}, da er cz (cz,, cz n ), og derfor er ( cz w i ([cz]) c,, czi c ) (, czi+ c,, czn z c,, zi ), zi+,, zn w i ([z]), hvormed w i er veldefineret Dernæst skal det ses, at U i CP n er åben Pr definition af kvotienttopologien på CP n er U i åben hvis og kun hvis π (U i ) er åben i C n+ \ {}, hvor π er kvotientafbildningen fra ovenstående opgave π (U i ) {z C n+ \ {} : π(z) U i } {z C n+ \ {} : (π(z)) i } {z C n+ \ {} : }, hvor sidste mængde er åben i C n+ og dermed åben i C n+ \ {} Mængden er åben i C n+ fordi det er komplementet til planen i C n+ hvor, og planen er lukket Dermed er U i erne åbne mængder i CP n Tilmed er det klart, at U i erne overdækker CP n Til at vise, at w i er en homeomorfi, bruges Lemma 52 fra [Dupont and Madsen(27)] Dette lemma giver, at w i : U i C n er kontinuert hvis og kun hvis w i π : π (U i ) C n er kontinuert For z C n+ \ {}, hvor er ( z w i π(z),, zi ), zi+,, zn klart kontinuert, og derfor er w i altså også kontinuert Den inverse til w i er givet ved w i (z,,, +,, z n ) [z,,,, +,, z n ] fordi det ses ved 2

sammensætning at w i w i id og w i w i id: w i w i (z,,, +,, z n ) w i ([z,,,, +,, z n ]) w i w i ([z,, z n ]) w i [ z (z,,, +,, z n ) ( z,, zi,, zi [ z [z,, z n ],, zi, zi+,, zn ],, zi+,, zn ),, zi+,, zn At w i er kontinuert, kan ses ved at betragte den kontinuerte afbildning W i : C n C n+, givet ved (z,,, +,, z n ) (z,,,, +,, z n ) w i W i π, og da W i og π er kontinuerte afbildninger er w i også kontinuert, pr sammensætning af kontinuerte afbildninger Dermed er w i en homeomorfi For at (U i, w i ) er et kort, skal w i (U i ) C n være en åben mængde Men hvis C n identificeres med det affine underrum af C n+, hvor, så kan w i ([z]) ses som punktet hvor linjen w i ([z]) ([z] betegner en linje gennem origo i det komplekse rum C n+ ), skærer det affine underrum Dermed er w i (U i ) C n, og w i (U i ) er en åben mængde i C n Dermed er (w i, U i ) et kort Det sidste der mangler for at kortene (U i, w i ) definerer en differentiable struktur på CP n er, at de skal have glat overlap Lad derfor (U i, w i ) og (U j, w j ) være to kort, hvor i j w i w j : w j (U i U j ) w i (U i U j ), hvor w j (U i U j ) og w i (U i U j ) er åbne mængder i C n da w j og w i er homeomorfier til en åben mængde i C n og U i og U j er åbne i CP n w i w j (z,, z j, z j+,, z n ) w i (z,, z j,, z j+,, z n ) ( z,, zi, zi+,, zj ],, zj+,, zn Da for z w j (U i U j ) er w i w j klart differentiabel På tilsvarende vis, ses det at w j w i : w i (U i U j ) w j (U i U j ) er differentiabel Hvis vi derfor lader atlasset til CP n være alle (U i, w i ), i,, n, så er CP n en differentiabel mangfoldighed Faktisk er overlappene ikke blot glatte, men også holomorfe Dermed gør det CP n til en kompleks mangfoldighed Vi skal nu se, at ikke nok med at CP n er en glat mangfoldighed i sig selv, så er det faktisk også en indlejret delmangfoldighed af M(n +, C) Det bliver CP n netop hvis P er en indlejring P er en indlejring, hvis P er en immersion og en homeomorfi til billedet af P, hvor billedet af P er givet sportopologien Det er netop vist, at P er en homeomorfi, så tilbage er at vise, at P er en immersion For at P er en immersion, skal P : T q CP n T P (q) M(n +, C) være injektiv for alle q CP n Med andre ord skal jacobianten af id P w i : w(u i ) M(n +, C) være injektiv i alle punkter q U i og for alle i På M(n +, C) er der blot valgt identitetskortet, og derfor undlades dette at skrives i det efterfølgende Det er naturligvis nok at vise, at jacobianten er injektiv for i, for det følgende argument virker, med mindre ændringer, for alle andre i ) 3

Lad z w (U ) Da er w (z) w (z,, z n ) [, z,, z n ], og P w (z,, z n ) + n i zi 2 + n i zi 2 z ( z z n) z n z z n z z 2 z z n z n z n z z n 2 Lad nu π betegne projektionen på første søjle i matricen P w (z), så er og lad endelig T betegne afbildningen således at π P w (z) + n i zi 2 u u u n u u u u n z z n u u, u n u, S(z) T π P w (z) z z n S : w (U ) C n+ er en veldefineret afbildning, fordi u et i vektoren som T bruges på, altid er forskellig fra Af kædereglen er D q S D P w (q)(t π)d q(p w ), q w (U ), så hvis jacobianten af S er injektiv, så er jacobianten af P w injektiv Det smarte ved dette, er at jacobianten af S er meget lettere at udregne end jacobianten af P w i D q S i i for alle q w (U ) Søjlerne i D q S er lineært uafhængige i R, hvormed D q S : R 2n C n+ R 2n+2 er injektiv Som nævnt er dermed også D q (P w ) injektiv, hvormed P er en immersion, og P er en indlejring I undertegnedes seminar Embedded Submanifolds blev det vist, at en glat indlejring, rent faktisk er en diffeomorfi Det nævnes at P er en diffeomorfi, da det skal bruges i et senere spørgsmål 4

Opgave (c) Ved brug af notationen dz j dx j + idy j, d z j dx j idy j for x + iy C, vis da, at den euklidiske metrik i C n+ er givet ved g j d z j dz j (2) og den euklidiske metrik i M(n +, C) ved g j,k d z j,k dz j,k Tr(dz dz) (3) Bevis Beviset for første del er enkelt udregning: g d z j dz j j (dx j idy j )(dx j + idy j ) j (dx j dx j + dy j dy j + i(dx j dy j dy j dx j )) j (dx j ) 2 + (dy j ) 2, j hvor sidste lighed er givet fordi produkterne er symmetriske produkter Dermed er det vist, at g givet ved (2) er den euklidiske metrik i C n+ På tilsvarende vis, verificeres det at g, givet ved (3), er den euklidiske metrik i M(n +, C) Hvis z M(n +, C) er en matrix på formen z (z j,k ), er dz også en matrix på formen dz (dz j,k ) Betragt nu den (j, k) te indgang i dz dz: (dz dz) j,k ((d z l,m ) t (dz l,m )) j,k ((d z l,m ) t ) j,i (d,k ) i d,j d,k Fra (3) skal vi kun bruge diagonalelementerne i matricen dz dz, så i Tr(dz dz) (dz dz) j,k jk (dz dz) k,k k k i k i k i d,k d,k (dx i,k idy i,k )(dx i,k idy i,k ) (dx i,k ) 2 + (dy i,k ) 2, 5

som netop er den euklidiske metrik på C (n+)2 R 2(n+) 2 Sidste lighed er givet fordi produkterne er symmetriske produkter Da M(n+, C) er et vektorrum er T p M(n+, C) M(n+, C) for ethvert punkt p M(n +, C) Dermed vil den euklidiske metrik på M(n +, C), g, evalueret på to tangetvektorer i et punkt i M(n+, C) være g evalueret på to matricer A, B M(n+, C) givet ved g(a, B) Tr(A B) Dette skal vise sig særdeles nyttigt senere Opgave (d) Vis at CP n kan gives en riemannsk metrik sådan, at P er en isometri til P (CP n ) med metrikken induceret fra den euklidiske metrik i M(n +, C) Bevis En nødvendig betingelse for at P er en isometri, er at P er en diffeomorfi det blev vist i spørgsmål (a) Hvis P skal være en isometri skal metrikken g på CP n være givet ved g P g, hvor g er den inducerede metrik på P (CP n ) i M(n +, C), og P er pullback af P Den inducerede metrik i P (CP n ) er blot metrikken i M(n +, C) restringeret til vektorer tangent til P (CP n ), og da P er en diffeomorfi er P en afbildning hvor P : T (CP n ) T (P (CP n )), pr Proposition 4 i [Lee(22)] Tilmed er P (X) et entydigt bestemt vektorfelt i T (P (CP n )) når X T (CP n ), hvorfor følgende er veldefineret for alle p CP n og alle X, Y T (CP n ), g(x, Y )(p) g(p (X), P (Y ))(P (p)) (4) Det skal nu blot vises at g defineret ved (4) er en riemannsk metrik Af definitionen side 23 i [Lee(997)] skal g T 2 (CP n ), hvilket den tydeligvis er, og derudover skal g være symmetrisk og positiv definit g er symmetrisk fordi g er symmetrisk: g(x, Y )(p) g(p (X), P (Y ))(P (p)) g(p (Y ), P (X))(P (p)) g(y, X)(p) g er positiv definit, fordi P er injektiv, da P er en immersion: g(x, X)(p) g(p (X), P (X))(P (p)) P (X)(P (p)) X p Dermed er det vist, at CP n kan gives en metrik så P er en isometri Opgave (e) Vis, at hvis S U(n+) M(n+, C) er en unitær matrix, så inducerer afbildningen af C n+ givet ved S en isometri af CP n Bevis Lad S U(n + ) være en unitær matrix, og definer afbildningen T : CP n CP n ved [z] [Sz] Vi ønsker at vise, at T er en isometri af CP n, altså at T g g Lad derfor X, Y T (CP n ) og [z] CP n være givet Da er T g(x, Y )([z]) g(t (X), T (Y ))(T ([z])) g((p T ) (X), (P T ) (Y ))(P (T ([z]))), (5) hvor sidste lighed er givet af kædereglen og konstruktionen af g Da P T ([z]) P ([Sz]) Szz S z z SP ([z])s er P T Ŝ P, hvor Ŝ : M(n+, C) M(n+, C) er similaritets transformationen A SAS Det betyder at (P T ) (Ŝ P ) Ŝ P, 6

Litteratur hvor sidst lighed er kædereglen Hvis nu Ŝ er en isometri af M(n +, C) med den euklidiske metrik, kan vi fortsætte regnerierne fra (5): T g(x, Y )([z]) g(ŝ P (X), Ŝ P (Y ))(SP ([z])s ) g(p (X), P (Y ))(P ([z])) g(x, Y )(z), hvormed T er en isometri af CP n Det kræver dog, at Ŝ er en isometri af M(n +, C) For at se dette skal vi kende Ŝ Men da Ŝ er en lineær afbildning og M(n +, C) er et endeligt dimensionalt vektorrum giver følgende diagram fra Proposition 38 [Lee(22)], at Ŝ (A) SAS hvor A M(n +, C) T p V V L T L(p) W W Hvis vi vælger A, B M(n+, C), så blev det nævnt i spørgsmål (d), at g(a, B) Tr(A B) Dermed er g(ŝ (A), Ŝ (B)) g(sas, SBS ) Tr(SA S SBS ) Tr(SA BS ) Tr(A B) hvor sidste lighed er kendt fra lineær algebra, da Tr(AB) Tr(BA) Dermed er Ŝ en isometri af M(n +, C) L Litteratur [Dupont and Madsen(27)] Johan L Dupont and Ib Madsen Noter til Geometri Januar 27 [Lee(22)] John M Lee Introduction to Smooth Manifolds, volume 28 of Graduate Texts in Mathematics Springer, 22 [Lee(997)] John M Lee Riemannian Manifolds - An introduction to curvature, volume 76 of Graduate Texts in Mathematics Springer, 997 7