Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler. Matematiske symboler er grundlaget for matematik og vi bliver nødt til at kende nogle af dem som er vist i tabellen nedenunder. 1

Symbol Betydning {} Mængden af Mindre end eller lig med Forskellig fra Cirka lig med Implikationstegn. A B betyder, at hvis udsagnet A er sand, så er også udsagnet B sand eller eller c Biimplikationstegn. A B betyder, at hvis udsagnet A er sand, så er også udsagnet B sand og omvendt. Der findes eller der eksisterer For alle Og Eller Tilhører Foreningsmængde. A B betyder mængden af alle elementer, som er i mængden A eller som er i mængden B. Fællesmængden. A B betyder alle de elemnter, som er i begge mængder \ Differensmængde En ægte delmængde af. A B betyder at alle A s elementer også er elemnter i mængden B, men at de to mængder ikke en ens En delmængde af. A B betyder at alle A s elementer også er elementer i mængden B. Uendelig Vinkel Tom mængde / Tilhører ikke = Lig med 2

2 Tal, intervaller og mængder Ovenstående figur viser tallinjen for reelle tal, dvs. alle de tal som vi skal bruge i Matematik B kursus. Tallet 2 ligger således i afstanden 1 2 til venstre for og i afstanden 1 til højre for tallet 2. I det følgende tallinje kan man aflæse koordinaterne til R,S og B: R : 1 3, S : 2, og B : 1. 3 Prøv nu selv at aflæse koordinaterne for punkterne R,Sog T. R : 3 4 S : 1 1 2 T : 1 3 4 3

Hvad med afstanden i den anden retning dvs. negativ retningen? Hvordan kan man udtrykke afstanden i negativ retning? Det gør man ved hjælp af numerisk tegn x som betyder at selv om tallet i virkeligheden er negativ skal vi blot udskrive tallet som positivt tal! Prøv at at se på næste tallinje og overvej hvordan afstanden 0 og 1 kan udtrykkes. Opgave 1 : Sand eller falsk 1. 2 4 = 2 2 2 2. 7 5 = 5 7 3. 2 + 3 = 7 2 4. 6 + 0 = 5 + 1 5. 6 0 = 5 + 1 6. 5 4 = 1 + 0 7. 8 4 = 4 8 8. 2 + 10 = 5 + 7 9. 3 4 = 9 + 0 + 9 3 10. 9 0 = 1 0 11. 49 9 = 4 5 2 4

12. 2 + 2 + 2 = 3 2 13. 0,001 + 8 = 0,008 + 1 14. 3 1 = 1 8 24 15. 19 3 2 = 19 5 16. 8 1 = 2 4 1 17. 6 : 1 = 6 1 18. 10 1 5 = 10 2 19. 1 + 5 + 4 = 10 1 20. 12 : 3 = 2 5 21. 19 2 2 2 = 19 6 22. 19 6 = 19 2 2 2 Opgave 2: Sand eller falsk 1. 8 2,5 = 6 4,5 2. 0,5 + 0,4 + 0,3 = 0,3 0,4 3. 4. 5. 1 3 + 1 2 = 3 6 + 2 6 1 0,1 = 2 0,2 5 : 15 = 24 8 5

6. 6 : 2 3 = 4 7. 17 1 5 = 100 : 1 3 17 8. 0,1 0,8 = 4 5 9. 10. 42 15 14 5 = 5 3 5 : 3 51 + 14 17 7 = 1 2 3 + 8 1 3 3 1 2 11. 8 + 9+? = 31 12 12. 32 + 19+? = 86 35 13. 3 2 3? = 3 4 + 1 3 14. 6 1 2? = 2 1 3 + 1 5 6 15. 0,7 0,3 = 2? 16. 0,7 + 0,3 = 0,7 :? Opgave 3: Sand eller falsk 1. 74 + 28 = 28 + 74 2. 48 : 4 6 2 3. 3 3 = 3 + 3 + 3 4. 5 + 3 = 5 3 5. 53 + 47 = 57 + 43 6. 4 + 4 = 2 4 6

7. 1 110 110 8. 2 7 7 7 9. 18 + 0 = 3 6 10. 7 + 5 < 4 5 11. 12. 13. 14. 15. 16. 5 + 1 2 12 + 8 5 30 18 6 48 12 12 15 + 18 3 12 + 5 2 = 4 1 > 2 2 = 5 3 < 48 1 5 + 6 > 10 17. 47 32 37 42 Opgave 4: På det sted hvor der står?, indsat =, < eller > for at gøre sætningen sand. 1. 4 + 5?10 1 2. 13 0?16 + 0 3. 7?7 4. 5?6 5. 0?0 7

6. 7. 15 3?2 + 3 8 3?1 + 0,6 5 2 8. 6 0?0 9. 5 1?5 0 10. 2 1 8?1 + 1 2 16 11. 12. 1 3?1 6 1 5 + 3 4?6 8 + 0,2 13. 65 1?66 14. 1 3 + 4 6?5 9 15. 3?3 0 16. 1 2?1 4 + 9 4 Opgave 5: Hvad skal? være for at sætningen bliver sand 1. 4+? = 11 6 2.? + 1 8 3. 5 + 3 = 3+? 4. 8? = 0 5.? : 10 = 0 6. 5+? = 7 8

7. 14 = 7+? 8.? + 7 = 7 9. 2?<17-7 10.? 0 = 0 11. 3? = 9 + 16 12. 12? > 4 12 13. 132 11? 14.? 8 < 8 15.? 15 > 0 16.? : 8 = 1 17. 15+? 8 = 2 Opgave 6: Simplificér følgende udtryk 1. 5 + (3 2) 2. (8 + 3) + 5 3. (5 + 3) 2 4. 8 + (3 + 5) 5. 4(3 + 7) 6. 15 + 4 6 + 4 9

7. 10 1 1 + 2 8. ([3 2] : 4) 9. 10. 11. 12. ( 20 2 ) 5 64 [ 8 2 ] 7 ( 21 3 ) 17 + 1 8 2 13. 5 + 3 + 8 2 14. (4 3) + (4 7) 15. 2 {6 + 5 + 2} 16. 5 [2 + 1 2] + 6 17. 5 2 5 + 2 18. 19. 20. 6 2 12 4 13 10 5 2 15 5 2 10 21. 0 [5 + (2 3)] 22. 5 [ (0 3)] 10

23. 17 15 2 24. 25. 26. 27. 49 25 7 + 5 25 9 5 3 100 64 10 8 100 64 10 + 8 28. [ 12 + 8 9 6 1 54 ] 1 54 100 36 29. [{( 8) 3} + 5] 200 1 + 7 579 + 682 30. [{( 27} + 9 3] : 27 39 31. [(4 2 + 6 10 3 20) + 56] : 13 32. {(1776 324 5) 5} 100 33. {4 3} {4 : 3} : 8 2.1 Rækkefølge af regneoperationer Multiplikation og division udføres altid før addition og subtraktion. Er der paranteser, skal de altid udføres først, startende fra inderste hvis der er flere paranteser i udtrykket. Opgave 7: Simplificér følgende 1. (7 + 3 + 2) : 3 + 1 2. 5(7 + 9) : 4 + 3 11

3. 7 + 3(5 1) : 6 4. 8/2 + 6 : 3 5. 6. 7. 32 : 8 + 3 7 5(3) + 20 5 + 2 13 5 3 5 8 + 2 8. 64 : 8 : 4 : 2 9. (12 2)(8 3) 10. (2 3 (2 : 3) : 2 11. 3 + 48 16 35 : 7 12. 13. 8 : 4 3 2 + 16 (1 2) 5 2 : 5 1 + 44 : 4 + 12 44 3 3 3 : 3 + 2 2.2 Mængdebegrebet 2.2.1 Fællesmængden Fællesmængden mellem to mængder A og B består af de elementer, som ligger i begge. Eksempel: A = {1,2,3,4,5} og B = {3,4,5,6,7} Fællesmængden er {3,4,5} som ligger i begge mængder. A B = {1,2,3,4,5} {3,4,5,6,7} = {3,4,5} 12

2.2.2 Foreningsmængden Foreningsmængden består af de elementer, der ligger i mængden A eller i B eller i dem begge. Et element må ikke listes med mere end én gang. A = {1,2,3,4,5] og B = {3,4,5,6,7} Foreningsmængden er {2, 3, 4, 5, 6, 7} A B = {1,2,3,4,5} {3,4,5,6,7} = {1,2,3,4,5,6,7} 2.2.3 Differensmængden Differensmængden mellem mængden A og B forstås mængden af de elementer, der ligger i mængden A men ikke i B. Den betegnes A \ B hvilket læses A minus B. A = {1,2,3,4,5} og B = {3,4,5,6,7} A \ B = {1,2} B \ A = {6,7} 2.2.4 Komplementærmægden Hvis A er en given mængde i grundmængden G, kaldes mængden af de elementer i G, som ikke ligger i A for komplementærmængden til A og betegnes. G = {1,2,3,...,18,19,20} A = {1,2,3,4,5,6,7} B = {5,6,7,8,9,10,11,12} A = {8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} B = {1,2,3,4,13,14,15,16,17,18,19,20 Øvelse 1.3.6 13

A =]5,8[ dvs. A = {6,7} B = [3,7[ dvs. B = {3,4,5,6} A B = {6} dvs. ]5,7[ A B = {3,4,5,6,7} dvs. [3,8[ A \ B = {7} dvs. [7,8[ B \ A = {3,4,5} dvs. [3,5] Øvelse 1.3.7 A = {22 elementer} B = { 30 elementer } A B = {12 elementer } A B = { (30+22)-12 = 40 elementer} Opgave 8: Beregn værdien af følgende udtryk når a = 15,b = 3og x = 2 1. 3 a 2. 7 x 14

3. a + x 4. a x 5. 1 3 a 6. 30 : x 7. a b 8. x x 9. 2x b 10. 1 (a + b) 6 11. 42 : (a 1) + 1 12. b b b 13. a b x Opgave 9: Beregn følgende udtryk når r = 1,s = 3,t = 12,u = 0,v = 5og w = 1 2 1. 6 r + 2 s 2. 3 t 5 v 3. 2(3r + s) 4. (st)(st) 5. (s s)(t t) 6. 2u(t 2r) 15

7. 2st 4sr 8. r + r + u + u + u 9. 5s wt 10. (v v v) v 11. (2w r)(2w + r) 12. (3r +t)(3r +t) 13. 14. 15. 4w + 3r 7 6w + 5 7v 3v +t 3s t 2.3 Faktorer, koefficienter og eksponenter Når to eller flere tal ganges sammen, hedder hvert tal en faktor. F. eks. 3 7 = 21. Faktorerne er 3 og 7 og 21 er produktet. To andre faktorer er 1 21. 1 2 x y 1 er koefficienten af x y 2 1 x er koefficienten af y 2 1 y er koefficienten af x 2 Normalt er det tallet foran variablen dvs 1 der kaldes kvotienten. 2 16

2.4 Potensbegrebet x n = x x x x x x =er grundtallet n =er eksponenten Opgave 10: Bestem koefficienten af variablen z 1. 4z 2. 19z 3. 1 8 z 4. z 5. xyz 6. z(3 + 1) Opgave 11: Nævn grundtallet og eksponenten af følgende 1. 2 z 2 2. 4 y 3 3. x 7 4. w 6 5. 3(v + 2) 3 17

6. 4(u 3) 2 7. (a + b) 3 8. (a b) 4 9. 5t 10. 17s 11. 4x 6 12. m 3 13. 8c 9 14. 12z 2 15. (12) x 2 16. 1 (x + y) 17. 3 ( x y ) Opgave 12: Beregn følgende 1. m 2 når m = 1 2 2. n 2 når n = 1 4 3. 4 p 2 når p = 3 4. 8r 2 når r = 5 5. (9x) 2 når x = 1 3 18

6. (8y) 2 når y = 1 4 7. 2x 2 + 4x + 5 når x = 3 8. 5y 2 3y + 4 når x = 1 9. 7z 2 + z 2 z når z = 2 10. a 3 2a 2 + a + 4 når a = 5 11. v 5 + 3v 4 v 3 når v = 0 12. w 10 + w 5 + w + 9 når w = 0 Opgave 13: Beregn følgende udtryk når x = 5,y = 2og z = 3 1. x 2 + y 2 + z 2 2. x y 2 + z 2 3. x 2 + y + z 2 4. x y + z 2 5. x 2 + y 2 2z 2 6. x 2 + y z 2 7. x 2 y 2 + z 2 8. 9. 2x 2 + xy 20z z 3 27 xy 19

10. 11. x 2 + z 2 y 2 7y 2 z 2x 3 xy 12. (xz) 3 + y 6 13. ( 6y z )3 + 3x 2 14. (x z) 4 y 4 x y 2 15. (2y z) 3 + y 3 (2x z + y) 3 Opgave 14: Beregn følgende 1. F = 9 C + 32 når C = 200 5 2. 2L + π D når L = 12,25og D = 3 3. Sum = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 4. Beregn også summen af de første 7 heltal ved hjælp af: n(n + 1) 2 for n = 7 5. Effekt formlen: P = I 2 R når I = 15A og R = 0,01 ohm. 6. Strækningen s = 1 2 a t2 når a = 13,7 m/s 2 og t = 25 s 7. Volumen af en kugle V = 4 3 π r3 når r = 24 Eksempel: Følgende ligninge kan være falsk eller sand, afhængig af værdien af variablen t 20

3t + 2 = 14, t {3,4} Vi starter med at indsætte værdierne 3 og 4 for at se om ligningen er sand eller falsk_ 3 t + 2 = 14 3 3 + 2 = 14 11 14 dvs. falsk 3 t + 2014 3 4 + 2 = 14 14 = 14dvs. sand. Altså bliver løsningsmængden L = {4} da 3 ikke tilfredstiller ligningen. Eksempel: 2 < x 5 hvor x {4,5,8} Vi indsætter værdierne og ser hvad der sker! 2 < x 5 2 < 4 5 sand 2 < 5 5 sand 2 < 8 5 falsk! Dvs. løsningsmængden bliver: L = {4, 5} Opgave 15: Find løsningsmængden af følgende udtryk 1. t 7 = 6 når t {9;13} 2. 10 = n + 5 når n {5;2} 3. 2 y + 7 = 17 når y {0;4} 4. 9 3 q 6 når q {5;8} 5. d + 3 > 5 når d {3;4} 21

6. 6 < f 1 når f {10;9} 7. 2 k = 3 + k når k {2;4} 8. s 2 = s/2 når s {8;2} 9. m/2 > m + 4 når m {2;0} 10. 18/b < 18 + b når b {9;0,5} 11. n + 5 < 100 når n {2;4;6;8;...;100} 12. 4 m > 6 når m {1;2;3;4;5;6;7,8;9;10} 13. 14. 1 2 u + 1 < 1 (u + 2) når u {2;4;6;8} 2 s 1 < 10 når s {2;4;6;...;20} 2 15. 2 (a + 3) = 2 a + 3 når a {1;5} 16. 2 (b + 3) = 2 b + 2 3 når b {1;5} 17. t + 2 = 5 18. 2 r < 7 19. 7 y 9 22

3 Algebra Navnet Algebra kommer fra arabisk klik evt. Wikipedia Algebra blev brugt til at finde rundt i arvefordeling, dvs. fordeling af værdier efter dødsfald, juridiske spørgsmål, inddeling af land og landmåling, kanalbyggeri og geometriske konstruktioner i datidens verden. Algebraens regningsarter er således addition, subtraktion, multiplikation, division, potensopløftning og roduddragning. Man beskrev blot problemet og løste verbalt dvs. ingen variabler som x,y etc. da man ikke kendte begrebet variabel dengang. 3.1 Ligninger Et udsagn er en udtalelse, der enten er sand eller falsk. Eksempler på udsagn: 3 7 = 21 sand udsagn 4 er et primtal falsk udsagn 12 går op i 144 sand udsagn Følgende er ikke udsagn, fordi ingen af dem siges at være sande eller falske Er 2 3 = 5? 1million er et stort tal Beregn 178 4 4 x + 7 = 45 23

Men det sidste udtryk 4 x+7 = 45 kan forvandles til et udsagn ved at indsætte nogle værdier i x ens plads. Grundmængden er alle reelle tal, dvs. G = R Hvis vi løser denne ligning finder vi x = 9.5. Dvs udsagnet bliver sand hvis man indsætter x = 9.5 og vi får 4 9.5 + 7 = 45 45 = 45 sandt udsagn Hvis man nu indsætter et tilfældigt tal fra den reelle talmængde f.eks. tallet 5 4 5 + 7 = 45 27 = 45 falsk udsagn Sådanne udsagn kaldes åbne udsagn og x = 9.5er løsningsmængden da tallet gør det åbne udsagn sandt. En ligning er et aritmetisk udtryk, hvori der indgår et lighedstegn. Løsning af en ligning betyder at man skal beregne samtlige tal, som gør ligningen sand, hvis de indsættes på den ubekendtes plads i ligningen. Disse tal kaldes ligningens løsninger eller ligningens løsningsmængde. Eksempel: Ligningen 2x + 8 = 12 er en førstegrads eller lineær ligning med den ubekendte variabel x. Vi kan løse ligningen på følgende måde; 2x + 8 = 12 24

2x = 12 8 2x = 4 x = 2 Ligningen har altså løsningen x = 2 eller løsningsmængden L = {2} Det betyder at den oprindelige ligning bliver sand hvis vi indsætter x = 2 2 2 + 8 = 12 12 = 12 Regel 1: Man må lægge samme tal på begge sider af lighedstegnet 6 + 3 = 9 6 + 3 + 45 = 9 + 45 a + b = c a + b + d = c + d Regel 2: Man må trække samme tal fra på begge sider af lighedstegnet Regel 3: Man må gange med samme tal(og ikke med nul!) på begge sider af lighedstegnet Regel 4: Man må dividere med samme tal (dog ikke med nul!) på begge sider af lighedstegnet. Regel 5: 25

Man må flytte et led fra den ene side af lighedstegnet til den anden, hvis man samtidig ændrer fortegnet på det led, man flytter. Regel 6: Nulreglen - vigtigt! Et produkt giver nul hvis en af faktorerne er nul. a b = 0 a = 0 b = 0 Eksempel: Løs ligningen 4(x + 5) = 7 3(x 2) Ligningen løses ved hjælp af ovenstående regler, men mest regel 5 som siger at vi kan flytte et led fra den ene side til den anden og vi ændrer fortegnet samtidig. Men inden vi gør det skal vi lige gange tallene ind i paranteserne og samler x erne og tallene på hver deres side af lighedstegnet. 4x + 20 = 7 3x + 6 4x + 3x = 7 + 6 20 7x = 7 x = 1 Ligningen har altså løsningen x = 1 dvs. løsningsmængden er L = { 1} Eksempel: Løs ligningen (x 2)(x + 5) = 0 26

Der er to led som skal ganges sammen. Det ligner jo nulreglen vi skal bruge! (x 2) = 0 (x + 5) = 0 (x 2) = 0 x = 2 (x + 5) = 0 x = 5 Dvs. x = 2 x = 5 Løsningsmængden er altså; L = { 5,2} Eksempel: Løs ligningen x 2 16 = 0 x 2 = 16 Her skal vi være opmærksomme på at både (4) 2 og ( 4) 2 giver tallet 16 så løsningen må være L = { 4,4} 27

Vi kan nu prøve at kontrollere eksemplerne ved hjælp af CAS. Følgende kommandoer kan bruges Solve[(x 2) (x + 5) = 0] giver {x = 5,x = 2} Solve[x 2 16 = 0]giver {x = 4,x = 4} Eksempel: Løs ligningen x 2 + 4 = 0 x 2 = 4 Kan et kvadrat være negativt? Prøv eventuelt GeoGebra CAS inden du går videre med beregningen. Solve[x 2 + 4 = 0] giver {} en tom mængde! Dvs. løsningsmængden er den tomme mængde hvor /O betegner den tomme mængde. L = /O En anden ekstrem mulighed er, alle tal er løsningen til en given ligning. I så fald skriver man L = R Eksempel: Løs ligningen 2(x 3) + 9 = 3(x + 1) x 28

Vi løser ligningen først ved at hæve paranteserne og anvender reglerne. 2x 6 + 9 = 3x + 3 x Vi samler x erne og tallene ind på hver deres side af lighedstegnet 2x 3x + x = 3 9 + 6 0 = 0 eller 3 = 3 eller x = x Da alle tre resultater er sande vil løsningsmængden være alle reelle tal, dvs. L = R Vi prøver GeoGebra CAS Solve[2 (x 3) + 9 = 3 (x + 1) x] giver x = x Når vi skal løser en ligning skal vi altid starte med at finde grundmængden og bagefter løsningsmængden. Eksempel: Bestem grundmængden og løsningsmænden af følgende ligning x + 4 x = 2 Da x står i nævneren kan man risikere at dividere med nul når man indsætter nul i x ens plads. For at sikre at vi ikke må dividere med nul skal vi skrive x 0 29

og finde grundmængden G = R\{0} Løsningsmægden findes ved at gange over kors (x + 4) = x 2 4 = 2x x 4 = x eller x = 4 Løsningsmængder er L = {4} Det betyder i dette tilfælde at vi må indsætte alle reelle tal selv om de ikke opfylder ligningen, undtagen nul. Hvis vi alligevel forsøger at indsætte nul, kommer vi til at dividere med nul! Og det må vi ikke! Vi løser ligningen vha. GeoGebra CAS på følgende måde: Solve[(x + 4)/x = 2] giver x = 4 Definition af grundmængde: Ved grundmængden G for en ligning forstås den mængde af tal, der må indsættes i ligningen eller uligheden. Eksempel: Løs ligningen x 1 = 4 30

Vi skal både finde grundmængden og løsningsmængden x 1 0 Vi løser denne ulighed ved at flytte tallet -1 over på den anden side af ulighedstegnet og samtidig ændres fortegnet til positivt. x 1 Grundmængden bliver således, at alle relle tal der er lig med og større end et. Det kan skrives på følgende måde; G = [1; [ altså et interval Man kan komme ud for at skulle løse flere ligninger samtidig. 1. Hvis der mellem to ligninger står tegnet betyder det, at man skal bestemme de tal, som opfylder begge ligninger samtidig(og). Løsningsmængden bliver fællesmængden mellem disse to ligninger og skrives som L = L 1 L 2 2. Hvis der mellem to ligninger står tegnet betyder det, at man skal bestemme de tal, som opfylder mindst en af ligningerne men ikke nødvendigvis begge samtidig(eller). Løsningsmængden bliver foreningsmængden mellem de to ligninger og skrives som 31

L = L 1 L 2 Eksempel: Løs ligningerne x + 3 = 1 x 2 = 16 Disse to ligninger skal løses samtidig og fællesmængden findes. x = 4 x = ±4 Det ses nu at L 1 = { 4} og L 2 = { 4,4} Vi har altså to mængder og vi skal finde fællesmængden: L = L 1 L 2 = { 4} Vi løser ligningerne vha. GeoGebra CAS Eksempel: Løs ligningerne x 5 = 3 x 2 = 16 x = 8 x = ±4 L 1 = {8}og L 2 = { 4,4} Igen har vi to mængder og vi skal finde foreningmængden mellem disse to ligninger. L = L 1 L 2 = { 4,4,8} 32

Øvelse 1 Løs ligningen (3x + 6)(9x 13) = 0 Løsning: (3x + 6)(9x 13) = 0 Vi bruger nulreglen igen. a b = 0 a = 0 b = 0 Grundmængden må være alle reelle tal dvs. G = R. Vi kan indsætte alle tal i ligningen. (3x + 6) = 0 3x = 6 x = 2 9x 13 = 0 x = 13 9 x = 2 x = 13 9 Løsningsmægden bliver: L = { 2, 13 9 } Øvelse 2 Løs ligningerne: a) 2x 4 =6 x 2 = 4 b) 2x 4 = 6 x 2 = 4 33

Løsning: a) Vi skal finde foreningsmængden som er løsninsmængden af den første og fællesmængden som er løsningsmængden af den anden ligning: 2x 4 = 6 x 2 = 4 2x 4 = 6 x = 5 x 2 =4 x = ±2 x = 5 x = ±2 Løsningsmængden bliver foreningsmængden: L 1 = {5} L 2 = { 2,2} L = L 1 L 2 = { 2,2,5} b) På tilsvarende måde: x = 5 x = ±2 L 1 = {5} L 2 = { 2,2} Løsningsmængden bliver fællesmængden, som er nulmængden: Overvej hvorfor! L = {/O} 34

3.2 Førstegradsligninger eller lineære ligninger Ved en ligning forstås et åbent udsagn, der indeholder et lighedstegn. At løse ligninger betyder at vi finder først grundmængden, altså at finde hvilke tal der er tilladt at indsætte i ligningen og til sidst at finde løsningsmængden Eksempel: Løs ligningen 17x + 13 = 12x + 58 Vi skal først finde grundmængden som er alle reelle tal, dvs. G = R Løsningsmængden findes ved at samle leddene med x på den ene side af lighedstegnet og leddene uden x på den anden side 17x 12x = 58 13 5x = 45 x = 9 Løsningsmængden er L = {9} GeoGebra CAS kan bruges til at kontrollere Solve[17 x 13 = 12 +58] giver {x=9} Eksempel: Løs ligningen 9t 312 = 13t 188 35

Vi samler alle leddene med variablen t på den ene side af lighedstegnet. 9t 13t = 188 + 312 4t = 124 Divideres begge sider af lighedstegnet med 4 t = 31 Dvs. løsningsmængden bliver L = { 31} Kontrol vha. GeoGebra CAS Solve[9 t 312 = 13 t 188] giver {t = 31} Eksempel: Løs ligningen 5(3x 4) 3(5 2x) = 14(5 + x) Grundmængden må være alle reelle tal. Der er ikke nogen brøk hvor man ikke må dividere med nul eller kvadratrod hvor man ikke må have negativt tal ind i kvadratroden. Løsningsmængden findes ved at ophæve paranteserne først ved at gange tallene 5, -3 og 14 ind i paranteserne. 15x 20 15 + 6x = 70 + 14x 36

Vi samler x erne og tallene igen i hver sin side af lighedstegnet 15x + 6x 14x = 70 + 35 7x = 105 x = 15 Løsningsmængden er altså; L = {15} Kontrolleres med GeoGebra CAS. Eksempel: Løs ligningen 6x 5 4 8 6x 6 = 7x + 3 8 Grundmængden må være alle relle tal. Hvorfor? + 9 2x 3 Løsningsmængden findes ved at finde den mindste fællesnævner for venstre side og højre side. Den mindste fællesnævner er 24. Hvorfor? 6 (6x 5) 4 (8 6x) = 3 (7x + 3) + 8 (9 2x) 6 4 4 6 3 8 8 3 36x 30 32 + 24x 24 = 21x 9 + 72 16x 24 60x 62 24 = 37 37x + 63 24

Vi ganger over kors 24(60x 62) = 24( 37x + 63) Divideres begge sider med tallet 24 60x 62 = 37x + 63 Løsningsmængden bliver Kontrolleres med GeoGebra CAS. 97x = 125 x = 125 97 L = { 125 97 } Øvelse 3 Løs følgende ligninger (Husk at kontrollere resultaterne med GeoGebra CAS eller grafregner) a) 36x 55 = 9x + 35 b) 8(x 3) 4(5 x) = 5(2x 3) 4x + 7 c) 2x 1 3 14 2x 2 x + 7 4 = 10x 1 6 38

d) 1 2 (x 1 3 ) 1 3 (x 3 4 ) + 1 8 (x 2 3 ) = 0 e) 5x 3 8 3(2x 4) = 5( x + 1) 4 3x Løsning: Vi bruger regel 5 a) 36x 55 = 9x + 35 36x 55 = 9x + 35 36x + 9x = 35 + 55 45x = 90 x = 90 45 = 2 Grundmængden: G = R Løsningsmængden: L = {2} Løsningen kontrolleres ved hjælp af GeoGebra CAS på følgende måde: Solve[36 x 55 = 9 x + 35] som giver {x = 2} Grafregnerens solve kommando kan også bruges på følgende måde: solve(36x 55 = 9x + 35,x) som giver x = 2 b) 8(x 3) 4(5 x) = 5(2x 3) 4x + 7 39

8(x 3) 4(5 x) = 5(2x 3) 4x + 7 Vi starter med at gange tallene ind i parentes: 8x 24 20 + 4x = 10x 15 4x + 7 12x 44 = 6x 8 12x 6x = 8 + 44 6x = 36 x = 6 G = R L = {6} Igen kan vi kontrollere løsningen med GeoGebra CAS: Solve[8 (x 3) 4 5 x) = 5 (2 x 3) 4 x + 7] giver {x = 6} solve(8(x 3) 4(5 x) = 5(2x 3) 4x + 7,x) som giver x = 6 c) 2x 1 14 2x x + 7 = 10x 1 3 2 4 6 Vi starter med at sætte paranteser rundt om leddene: (2x 1) 3 (14 2x) 2 (x + 7) 4 Vi finder den mindste fællesnævner og den er 12 (10x 1) = 6 4 (2x 1) 6 (14 2x) 3 (x + 7) = 2 (10x 1) 4 3 6 2 3 4 2 6 40

4(2x 1) 6(14 2x) 3(x + 7) 2(10x 1) = 12 12 Nævnerne forsvinder når vi ganger de to brøker over kors: 8x 4 84 + 12x 3x 21 = 20x + 2 Vi samler x erne i venstre side af lighedstegnet: 17x + 20x = 2 + 109 x = 3 G = R L = {3} Kontrol vha GeoGebra CAS eller grafregner! d) 1 2 (x 1 3 ) 1 3 (x 3 4 ) + 1 8 (x 2 3 ) = 0 Vi starter med at skrive alle leddene som brøker: 1 2 ( x 1 1 3 ) 1 3 ( x 1 3 4 ) + 1 8 ( x 1 2 3 = 0 1 2 (3x 1 3 ) 1 3 (4x 3 4 ) + 1 8 (3x 2 ) = 0 3 4 (3x 1) 2 (4x 3) (3x 2) + = 0 4 6 2 12 24 41

4(3x 1) 2(4x 3) + (3x 2) = 0 24 1 4(3x 1) 2(4x 3) + (3x 2) = 0 24 12x 4 8x + 6 + 3x 2 = 0 7x = 6 x = 6 7 G = R L = { 6 7 } Kontrol vha GeoGebra CAS grefregner! e) (5x 3) 8 3(2x 4) 1 (5x 3) 8 8 8 = 5( x + 1) 4 3(2x 4) 1 3x = 2 2 5( x + 1) 4 8 8 3x 1 (5x 3) 24(2x 4) 8 = 10( x + 1) 24x 8 5x 3 48x + 96 = 10x + 10 24x 9x = 83 x = 83 9 G = R L = { 83 9 } Kontrol vha GeoGebra CAS eller grafregner! 42

3.3 Andengradsligninger En ligning af typen ax 2 + bx + c = 0, a 0 kaldes en andengradsligning. Tallene a,b og c kaldes ligningens koefficienter og d = b 2 4ac er diskriminanten. 1. Hvis d > 0 har ligningen to løsninger x = b + d 2a eller x = b d 2a 2. Hvis d = 0 har ligningen en løsning (Eller mere rigtigt dobbeltrod)) 3. Hvis d < 0 har ligningen ingen reelle løsninger. Bevis: ax 2 + bx + c = 0 Vi ganger begge sider af ligningen med 4a 4ax 2 + 4abx + 4ac = 0 Læg b 2 4ac på begge sider 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac + b 2 4ac = b 2 4ac 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 4ac Da vi ved at (2ax + b) 2 = 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 43

(2ax + b) 2 = b 2 4ac (2ax + b) 2 = d For d > 0 2ax + b = ± d x = b ± d 2a For d = 0 2ax + b = 0 2ax = b x = b 2a For d < 0 Ingen reelle løsninger til ligningen (2ax + b) 2 = d Løsningerne til en andengradsligning kaldes andengradsligningens rødder. Vi kan også få GeoGebra CAS til at finde rødderne af andengradsligningen på følgende måde: Solve[a x 2 + b x + c = 0] giver {x = Eksempel: Løs andengradsligningen 4ac + b 2 b 2a, x = 4ac + b 2 b } 2a 44

5x 2 + 4x + 2 = 0 Vi ved at a = 5,b = 4 og c = 2 Vi kan nu beregne diskriminanten d = b 2 4ac d = 4 2 4 5 2 = 16 40 = 24 < 0 Da d < 0 er der ingen reelle løsninger, derfor L = /O Kontrol: Solve[5 x 2 + 4 x + 2 = 0] giver {} en tom mængde! Eksempel: Løs andengradsligningen x 2 2x + 1 = 0 a = 1,b = 2 og c = 1 d = b 2 4ac d = ( 2) 2 4 1 1 = 0 Da d = 0 er der kun en løsning x = b ± 0 2a = 2 2 = 1 Prøv at indsætte x = 1 i andengradsligninngen 1 2 2 1 + 1 = 0 45

0 = 0 sandt Kontrol: Solve[x 2 2 x + 1 = 0] giver {x = 1} Eksempel: Løs andengradsligningen 2x 2 3x + 1 = 0 a = 2,b = 3 og c = 1 d = b 2 4ac d = ( 3) 2 4 2 1 = 1 Da d > 0 er der to løsninger Kontrol: x = b ± d 2a = ( 3) ± 1 2 2 1 = 1 2 Solve[2 x 2 3 x + 1 = 0] giver {x = 1 2, x = 1} Øvelse 4 Løs følgende andengradsligninger a) 8x 2 + 4x + 0,5 = 0 b) 3x 2 + 2x 41 = 0 c) x 2 x + 0,25 = 0 46

Løsning: Vi løser ligningerne kontrollerer resultatet med GeoGebra/grafregneren. a) 8x 2 + 4x + 0.5 = 0 Vi kontrollerer løsningen: d = b 2 4ac = 16 16 = 0 én løsning x = b + 0 16 = 1 4 solve(8x 2 + 4x + 0,5 = 0,x) som giver x = 1 4 eller vha. GeoGebra CAS Solve[8 x 2 + 4 x + 0.5 = 0] giver {x = 1 4 } b) x 2 x + 0,25 = 0 d = b 2 4ac d = ( 1) 2 4( 1)(0,25) = 2 > 0 to løsninger! x 1 = b + d 2a x 2 = b d 2a = 1 + 2 2 = 1 2 2 = 1,20711 = 0,207107 Kontrol: 47

solve( x 2 x + 0,25 = 0,x) Eller Solve[ x 2 x + 0.25 = 0] giver {x = 2 1 2 1, x = } 2 2 c) 3x 2 + 2x 41 = 0 d = b 2 4ac d = 4 4( 3)( 41) = 488 < 0 dvs. ingen (reel) løsning! Solve kommandoen fra grafregneren giver false prøv selv! Og GeoGebra CAS giver en tom mængde som er det samme som false Solve[ 3 x 2 + 2 x 41 = 0] giver {} en tom mængde! Øvelse 5 Løs følgende andengradsligninger (Kan du løse a) og b)uden at bruge løsningsformlen for andengradsligninger?) a) 36x 2 9 = 0 b) 3x 2 + 6x = 0 c) 100x 2 + 50x 225 = 0 Eksempel: Løs ligningen x 4 + x 2 12 = 0 Dette er en fjerdegradsligning men kan løses som en andengradsligning ved at foretage følgende omskrivning: 48

x 4 = (x 2 ) 2 (x 2 ) 2 + x 2 12 = 0 Vi sætter nu x 2 = z z 2 + z 12 = 0 Nu skal vi tilbage til x da x 2 = z d = b 2 4ac = 1 2 4 1 ( 12) = 49 z = b ± d = 1 ± 49 3 = 2a 2 1 4 x 2 = 3 x 2 = 4 x = ± 3 /O Hvorfor? Løsningsmængden bliver L = { 3, 3} Kontrol: Solve[x 4 + x 2 12 = 0] giver {x = 3, x = 3} Eksempel: Løs ligningen 2x 6 + 14x 3 16 = 0 49

x 6 = (x 3 ) 2 2 (x 3 ) 2 + 14x 3 16 = 0 2 z 2 + 14 z-16=0 Vi løser den nye andengradsligning med hensyn til variablen z og husker z = x 3 d = b 2 4ac = (14) 2 4 2 ( 16) = 324 z = b ± d 14 ± 18 1 = = 2a 2 2 8 z = 1 z = 8 x 3 = 1 x 3 = 8 x = 1 x = 2 Løsningsmængden bliver L = { 2,1} Kontrol: Solve[2 x 6 + 14 x 3 16 = 0] giver {x = 2; x = 1} Eksempel: Løs ligningen 0.5x 12 + 3x 6 + 4 = 0 50

x 12 = (x 6 ) 2 0.5(x 6 ) 2 + 3x 6 + 4 = 0 x 6 = z 0.5z 2 + 3z + 4 = 0 d = b 2 4ac = 3 2 4 0.5 4 = 1 z = 3 ± 1 2 0.5 = 2 4 z = 2 z = 4 x 6 = 2 x 6 4 Løsningsmængden bliver L = /O Hvorfor? Kontrol: Solve[0.5 x 12 + 3 x 6 + 4 = 0] giver {} Eksempel: Løs ligningen 3x + 3 x 60 = 0 x = z 3( x) 2 + 3 x 60 = 0 51

3z 2 + 3z 60 = 0 d = b 2 4ac = 3 3 4 3 ( 60) = 729 3 ± 27 4 z = = 2 3 5 x = 4 x = 5 x = 16 /O Løsningsmængden bliver L = {16} Kontrol: Solve[3 x + 3 x 60 = 0] giver {x = 16} Øvelse 6 Løs følgende ligninger. a) x 4 32x 2 144 = 0 b) x 4 16.29x 2 + 32.59 = 0 c) 27x 6 + 208x 3 64 = 0 Løsning: a) x 4 32x 2 144 = 0 x 4 32x 144 = 0 52

Vi sætter x 2 = z for at løse ligningen som en andengradsligning: (x 2 ) 2 32x 2 144 = 0 z 2 32z 144 = 0 d = b 2 4ac d = 1024 4( 144) = 1600 > 0 z 1 = b + d 2a z 2 = b d 2a = = 32 + 40 2 32 40 2 = 36 = 4 x 2 = z så vi finder x ved at substituere tilbage: x 2 = z 1 = 36 x = ±6 x 2 = z 2 = 4 kan ikke lade sig gøre! Løsningsmængden L = { 6,6} Vi kontrollerer resultatet ved hjælp af grafregner: solve(x 4 32x 2 144 = 0,x) giver x = 6 eller x = 6 eller vha. GeoGebra på følgende måde Solve[x 4 32x 2 144 = 0] giver {x = 6,x = 6} b) x 4 16.29x 2 + 32.59 = 0 53

x 4 16.29x 2 + 35.29 = 0 Vi indsætter z = x 2 z 2 16.29x + 32.59 = 0 a = 1 b = 16.29 c = 32.59 Vi beregner diskriminanten d = b 2 4ac d = ( 16.29) 2 4 1 (32.59) 135 z 1 = b + d 2a z 2 = b d 2a = 16.29 + 135 2 = 16.29 135 2 = 13.95 = 2.34 x 2 = z 1 x 2 1 = 13.95 x 1 = ±3.73 x 2 2 = 2.34 x2 2 = 2.34 x 2 = ±1.53 Prøv selv med solve kommandoen til kontrol! c) 27x 6 + 208x 3 64 = 0 27x 6 + 208x 3 64 = 0 Vi sætter x 3 = z og løser ligningen som en andengradsligning: 27z 2 + 208z 64 = 0 d = b 2 4ac 54

d = (208) 2 4 27 ( 64) = 50176 z 1 = b + d 2A = 208 + 224 54 = 8 27 = (2 3 )3 z 2 = b d 2a = 208 224 54 = 432 54 = 8 = (2)3 Substitueres tilbage til at finde x: x 3 = z 1 = 8 27 x 1 = 3 ( 2 3 )3 = 2 3 x 3 = z 2 x 2 = 2 solve(27x 6 + 208x 3 64 = 0,x) eller vha GeoGebra CAS Solve[27 x6 +208 x 3 64 = 0]giver? Prøv selv! 3.4 Numeriske ligninger Vi forestiller os at vi har følgende fortegnslinje. Afstanden mellem tallet nul og tallet 2 er 2 enheder til højre for nullet og igen 2 enheder lang til venstre for tallet nul. Dvs. om man går mod højre eller venstre for tallet nul, vil afstanden altid være positiv. Positive og negative reelle tal, placeres i fortegnslinjen og relationerne < og > bruges til at afgøre deres placering på fortegnslinjen i forhold til hinanden. x er et positivt reelt tal hvis x > 0 xer et negativt reelt tal hvis x < 0 55

Tallet nul er hverken positivt eller negativt! F.eks. 2 = 2, 5 = 5 og 1 5 = 1. Den numeriske værdi af talllet nul er nul. 5 56

Regler for ligninger og uligheder: 1. x hvis x 0 x = x hvis x < 0 I stedet for x kunne vi også indsætte andre udtryk som 2x hvis 2x 0 2x = 2x hvis 2x < 0 x + 1 hvis x + 1 0 x + 1 = (x + 1) hvis x + 1 < 0 3x 4 hvis 3x 4 0 3x 4 = (3x 4) hvis 3x 4 < 0 2. x = a betyder at x = a eller x = a for a > 0 Hvis a < 0 x = a ingen løsning. Hvorfor? 3. a > 0 og x < a betyder at a < x < a 57

x a betyder at a x a 4. a > 0 og x > a betyder at x < a x > a 5. a b > 0betyder at (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) a b < 0 betyder (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0) a > 0 betyder (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) b a < 0 betyder (a > 0 b < 0) (a < 0 b > 0) b 6. Uligheder løses på samme måde som ligheder. Dvs. at reducering foregår på en sådan måde at man får isoleret den ubekendte på den ene side af ulighedstegnet, men husk at ændre fortegnet hvis man ganger eller dividerer med et negativt tal. 7. Kvadrering af en ligning kræver at begge sider af ligningen har samme fortegn a = b a 0 Hvorfor skal a 0? ( a) 2 = b 2 b 0 Nogle eksempler for numeriske ligninger: 58

Eksempel: x = 2 er ensbetydende med: x = 2 x = 2 Kontrol: Solve[abs(x) = 2] giver {x = 2, x = 2} Eksempel: x < 2 er ensbetydende med: 2 < x < 2 59

Kontrol: Solve[abs(x) < 2] giver { 2 < x < 2} Eksempel: x > 2 er ensbetydende med: Kontrol: Solve[abs(x) > 2] giver {x < 2, x > 2} Eksempel: 7 = 7 Kontrol: abs(7) = 7] giver 7 = 7 Eksempel: 3 = 3 60

Kontrol: abs(3) = 3 giver 3 = 3 Eksempel: 8 + 3 = 11 Eksempel: 6 + 5 = 6 + 5 = 11 Eksempel: 2 1 = 2 1 = 2 Eksempel: 6 = 6 Eksempel: 0 = 0 Eksempel: 7 5 = 2 Eksempel: 7 3 = 7 3 = 4 Eksempel: 61

3 4 = 3 4 = 12 Eksempel: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Eksempel: x = 5 L = /O Kontrol: Solve[abs(x) = 5] giver {} Eksempel x + 1 = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x = 2 x = 4 Kontrol: Solve[abs(x + 1) = 3] giver {x = 4, x = 2} Eksempel: x 1 = 5 x 1 = 5 x 1 = 5 x = 6 x = 4 Kontrol: Solve[abs(x 1) = 5] giver {x = 4, x = 6} Eksempel: a < 4 4 < a < 4 62

Kontrol: Solve[abs(a) < 4] giver { 4 < a < 4} Eksempel: a 4 4 a 4 Kontrol: Solve[abs(a) 4] giver { 4 a 4} Eksempel: a 4 a 4 a 4 Kontrol: Solve[abs(a) 4] giver {a 4, a 4} Eksempel: y > 3 2 y < 3 2 y > 3 2 Kontrol: Solve[abs(y) > 3 2 ] giver { 3 2 > y, y > 3 2 } Eksempel: x = 0 x = 0 x = 0 x = 0 Kontrol: 63

Solve[abs(x) = 0] giver {x = 0} Eksempel: x = 5 6 x = 5 6 x = 5 6 Kontrol: Solve[abs(x) = 5 6 ] giver {x = 5 6, x = 5 6 } Eksempel: 2 t 2 t 2 Kontrol: Solve[abs(t) 2] giver { 2 t 2} Eksempel: z = 7 z = 7 z = 7 Kontrol: Solve[abs(z) = 7] giver {z = 7, z = 7} Eksempel: x = 1 x = 1 x = 1 x = 1 Eksempel: x = 9 x = 9 x = 9 64

Eksempel: k = 3 k = 3 /o Eksempel: x = 4 x = 4 x = 4 x = 4 Eksempel: x + 3 = 4 x = 1 x = 1 x = 1 Eksempel: x 2 = 5 x = 7 x = 7 x = 7 Eksempel: x + 3 = 3 x + 3 = 3 x + 3 = 3 x = 6 x = 0 Eksempel: k + 2 = 6 k + 2 = 6 k + 2 = 6 k = 8 k = 4 Eksempel: x + 8 = 6 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2 Eksempel: 4 p = 0 p = 4 p = 4 p = 4 65

Eksempel: Løs ligningen x = 6 Hvilke reelle tal kan indsættes på x s plads, således at ligningen er opfyldt? Vi bruger regel x = a x = a x = a x = 6 betyder x = 6 eller x = 6 Dvs. løsningsmængden bliver L = { 6,6} Kontrol: Solve[abs(x) = 6] giver {x = 6, x = 6} Eksempel: Løs ligningen x = 3 L = /O Den numeriske værdi er altid positiv, dvs. løsningsmængden er tom mængde: Kontrol: Solve[abs(x) = 3] giver {} Eksempel: Løs ligningen 66

x 1 = 9 Regel: x = a betyder at x = a eller x = a for a > 0 bruges x 1 = 9 x 1 = 9 x = 10 x = 8 Løsningsmængden L = { 8,10} Kontrol: Solve[abs(x 1) = 9] giver {x = 8, x = 10} Eksempel: Løs ligningen 3x 4 = 5 Samme regel som før 3x 4 = 5 3x 4 = 5 3x = 9 3x = 1 x = 3 x = 1 3 Løsningsmængden L = { 1 3,3} 67

Hvordan løses numeriske ligninger vha. GeoGebra CAS og grafregner? Først GeoGebra CAS: Solve[abs(3 x 4 = 5] giver {x = 1,x = 3} 3 Kommandoen abs() betyder absolute værdi altså numerisk værdi! Grafregner: solve(abs(3x 4 = 5),x) giver x = 1 3 or x = 3 Eksempel: Løs ligningen x 2 5x = 6 Samme regel som før bruges x 2 5x = 6 x 2 5x = 6 x 2 5x 6 = 0 x 2 5x + 6 = 0 d = b 2 4ac og x = b ± d 2a 6 2 x = x = 1 3 Løsningsmængden L = { 1,2,3,6} 68

Kontrol: Solve[abs(x 2 5x) = 6] giver {x = 1,x = 2,x = 3,x = 6} Eksempel: Løs ligningen 3x 4 = x + 2 Her kan vi bruge regel 1 3x 4 = x + 2 hvis 3x 4 0 x (3x 4) = x + 2 hvis 3x 4 < 0 2x = 6 hvis 4 3 4x = 2 hvis x < 4 3 x = 3 hvis x 4 3 x = 1 2 hvis x < 4 3 Løsningsmængden (Begge løsninger er sande!) L = { 1 2,3} Kontrol: Solve[abs(3x 4) = x + 2] giver {x = 1,x = 3} 2 69

Eksempel: Løs ligningen 4 2x = 3 3x Man kan løse dette eksempel ligesom ovenfor ved at bruge regel 1 Men vi vil bruge en anden metode ved at dele grundmængden op i to intervaller. Nemlig der hvor det, der står indenfor numerisktegnet sættes til nul. 4 2x = 3 3x og G = R 4 2x = 0 x = 2 Det betyder at grundmængden skal deles op ved x = 2. Herved fås to intervaller x < 0 og x 2 som skal behandles hver for for sig: 1. x < 0 : Det der står indenfor numerisktegnet, positivt da et tal der er mindre end 2 indsættes giver et sandt udtryk, og man fjerner numerisktegnet 4 2x = 3 3x x = 1 Da denne værdi opfylder betingelsen x < 2,er det en løsning til ligningen. 2. x 2 Det der står indenfor numerisktegnet er negativt. Prøv at indsætte et tal der er større end 2 på x ens plads. Vi fjerner numerisktegnet men husker at ændre fortegnet til negativt. 70

(4 2x) = 3 3x 4 + 2x = 3 3x 5x = 7 x = 7 5 Da denne værdi ikke opfylder betingelsen x 2 er det ikke en løsning til ligningen. Løsningsmængden er derfor L = { 1} Kontrol: Solve[abs(4 2 x) = 3 3 x] giver {x = 1} Øvelse 7 Løs følgende ligninger a) 5x + 1 = 2 b) x 6 + 3x = 2 Løsning: Vi undersøger først grundmængden og dernæst løsningsmængden. a) Først kan vi konstatere at grundmængden er reelle tal da vi kan indsætte alle reelle tal på x ens plads. Derfor; G = R 71

Regel: x = y x = y x = y Det betyder at; 5x + 1 = 2 5x + 1 = 2 5x + 1 = 2 5x = 1 x = 1 5 5x = 3 x = 3 5 Løsningsmængden bliver; L = { 3 5, 1 5 } CAS kommandoen Solve i GeoGebra giver; Solve[abs(5x + 1) = 2] giver {x = 3 5,x = 1 5 } b) Grundmængden er alle reelle tal. G = R Vi starter med at omskrive udtrykket for at se hvilke regel eller regler kan bruges til at finde løsningsmængden; x 6 + 3x = 2 x 6 = 2 3x Regel: 72

x hvis x 0 x = x hvis x < 0 Det betyder at; (x 6) = 2 3x hvis x 6 0 (x 6) = 2 3x hvis x 6 < 0 x = 2 hvis x 6 x = 2 hvis x < 6 Som ses er tallet 2 IKKE større end tallet 6! Altså kan tallet 2 ikke være med i løsningsmængden! Og tallet -2 er mindre end tallet 6. Dvs. tallet -2 er med i løsningsmængden. L = { 2} Geogebra s CAS kommando Solve giver {x = 2}som vist nedenunder: Solve[abs(x 6) = 2 3 x] giver {x = 2} Grafregnerens Solve kommando solve(abs(x 6) = 2 3x,x) vil give løsningen; L = { 2} 73

Øvelse 8 Løs følgende ligninger. a) x = 66 b) x = 3,9 c) x = 0,25 d) 2x + 4 = 6 e) x 6 = 5 f) x 2 1 = 3 Løsning: Vi bruger reglerne til at løse numeriske ligninger: a) x = 66 hvis x 0 x = x = 66 hvis x < 0 Vi kan jo nu se at x = 66 og betingelsen x 0 er opfyldt. På samme måde x = 66 dvs. x = 66 er også opfyldt da x < 0. Løsningsmængden bliver: L = { 66;66} Alternativ løsning: x = 66 x = 66 x = 66 Og løsningsmængden bliver: L = { 66,66} 74

Du kan kontrollere resultatet ved hjælp af GeoGebra CAS på følgende måde: Solve[abs(x) = 66] som giver {x = 66, x = 66} b) x = 3,9 x = 3,9 hvis x 0 x = x = 3,9 hvis x < 0 L = /O overvej hvorfor! c) x = 0,25 hvis x 0 x = x = 0,25 hvis x < 0 L = { 0,25;0,25} Solve[abs(x) = 0.25] d) 2x + 4 = 6 (2x + 4) = 6 hvis (2x + 4) 0 2x + 4 = (2x + 4) = 6 hvis (2x + 4) < 0 (2x + 4) = 6 2x = 2 x = 1 og (2x + 4) 0 2x 4 x 2 ok. (2x + 4) = 6 2x = 10 x = 5 og (2x + 4) < 0 2x < 4 x < 2 ok 75

Løsningsmængden bliver: L = { 5;1} Solve[abs(2x + 4) = 6] e) x 6 = 5 (x 6) = 5 hvis (x 6) 0 x 6 = (x 6) = 5 hvis (x 6) < 0 (x 6) = 5 x = 11 og (x 6) 0 x 6 ok. (x 6 = 5 x + 6 = 5 x = 1 x = 1 og (x 6) < 0 x < 6 ok. L = {1;11} CAS kommandoen solve giver; Solve[abs(x 6) = 5] Og løsningsmængden bliver: L = {1,11} f) x 2 1 = 3 Regel 76

x = a x = a x = a x 2 1 = 3 x 2 1 = 3 x 2 = 4 x 2 = 2 x = ±2 /O Hvorfor? Løsningsmængden bliver L = { 2,2} f) Alternativ løsning x 2 1 = 3 (x 2 1) = 3 hvis (x 2 1) 0 x 2 1 = (x 2 1) = 3 hvis (x 2 1) < 0 x 2 = 4 x = ±2 og x 2 1 x 1 og x 1 ok. Regel: Ganger du med et negativt tal, skal ulighedstegnet samtidig vendes. Man kan med fordel bruge grafregneren til at løse ligningerne x 2 1 0 og x 2 1 < 0 på følgende måde: solve(x 2 1 0,x) solve(x 2 1 < 0,x) CAS kommandoen Solve i Geogebra giver følgende: 77

x 2 1 0 x = 1 x = 1 Vi fortsætter... (x 2 1) = 3 x 2 +1 = 3 x 2 = 2 x 2 = 2 som ikke kan lade sig gøre! Derfor ses bort fra denne løsning! L = { 2;2} Solve[abs(x 2 1) = 3,x] Igen vil Solve kommandoen i Geogebra CAS give følgende: x = 2 x = 2 Løsningsmængden bliver: L = { 2,2} 3.5 Ligninger med brøker Eksempel: Løs ligningen x 2 x = 4 Først skal man bestemme grundmængden. Man må ikke dividere med nul, dvs. nævneren ikke må være nul 2 x 0 78

2 x Dvs. grundmængden er alle reelle tal undtagen x = 2 G = R\{2} Løsningsmængden findes ved at gange over kors x = 4(2 x) x = 8 4x x + 4x = 8 5x = 8 x = 8 5 Løsningsmængden L = { 8 5 } nul. Eksempel: Løs ligningen x(x + 1) x 1 = x + 1 + x + 1 x 1 Grundmængden bestemmes ved at sikre at vi ikke kommer til at dividere med x 1 0 79

x 1 Grundmængden er alle reelle tal undtagen x = 1 G = R\{1} Løsningsmængden findes x(x + 1) (x 1) x(x + 1) (x 1) x(x + 1) x 1 = x + 1 1 + x + 1 x 1 (x 1) (x + 1) (x + 1) = + (x 1) 1 (x 1) = (x 1)(x + 1) + (x + 1) (x 1) Nu har vi to brøker med fællesnævneren (x 1), som vi ganger begge sider af lighedstegnet for at komme af med (x 1) (x 1) x(x + 1) (x 1) = (x 1)(x + 1) + (x + 1) (x 1) x(x + 1) = (x 1)(x + 1) + (x + 1) (x 1) Leddet (x + 1)er i begge sider, derfor kan vi faktorisere x(x + 1) = (x + 1)[(x 1) + 1] Nu divideres begge sider med (x + 1) Igen forkortes (x + 1) x(x + 1) (x + 1) = (x + 1)[(x 1) + 1] (x + 1) x = (x 1) + 1 80

x = x 1 + 1 x = x x x = 0 0 = 0 Dette er altid sand. Det betyder at alle reelle tal, der må indsættes i ligningen, er løsninger. Dvs. løsningsmængden er alle reelle tal undtagen x = 1(Husk grundmængden!) L = R\{1}=G Kontrol: Eksempel: Løs ligningen x (x + 1) (x + 1) Solve[ = x + 1 + ] giver {x = x} (x 1) (x 1) Vi finder først grundmængden x 2 x + 2 = 3 4 x + 2 x + 2 0 x 2 G = R\{-2} 81

Dvs. alle relle tal undtagen x = 2 Løsningsmængden findes ved at finde en fællesnævner som er (x + 2) Nu ganges begge sider med (x + 2) (x + 2) (x 2) (x + 2) = 3 1 4 (x + 2) (x 2) (x + 2) = (x + 2) (x + 2) 3 1 4 (x + 2) (x 2) (x + 2) 3 4 = (x + 2) (x + 2) (x 2) [(x + 2) 3 4] = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x 2) = [(x + 2) 3 4] (x 2) = (x + 2) 3 4 (x 2) = 3x + 6 4 x 2 = 3x + 2 x 3x = 2 + 2 2x = 4 x = 2 Løsningsmængden bliver en tom mængde da grundmængden er alle reelle tal undtagen x = 2,dvs. L = /O 82

Kontrol: (x 2) Solve[ (x + 2) = 3 4 ] giver {} (x + 2) Eksempel: Løs ligningen nul. 2 x 1 = 1 x 2 Grundmængden findes ved at sikre at man ikke kommer til at dividere med x 1 0 og x 2 0 x 1 og x 2 Grundmængden er altså alle reelle tal undtagen tallene et og to. G = R \ {1,2} Løsningsmængden findes ved at gange over kors Løsningsmængden bliver Kontrol: 2(x 2) = 1(x 1) 2x 4 = x 1 2x x = 1 + 4 x = 3 L = {3} 2 Solve[ x 1 = 1 ] giver {x = 3} x 2 83

Øvelse 9 Bestem grundmængde og løsningsmængde for følgende ligninger. a) x 2 x 3 = x + 1 2x b) x + 2 x 2 1 = 1 x x + 1 Løsning: a) Nævneren må ikke være nul! Dvs. x 2 x 3 = x + 1 x + 2 x 3 0 x 3 x + 2 0 x 2 Grundmængden er alle reelle tal undtagen -2 og 3! G = {x R x 2 og x 3}eller G = R \ { 2,3} Ganges over kors: (x 2) (x + 1) = (x 3) (x + 2) (x 2)(x + 2) = (x + 1)(x 3) x 2 + 2x 2x 4 = x 2 3x + x 3 x 2 4 = x 2 2x 3 84

4 + 3 = 2x 1 = 2x x = 1 2 Kontrol vha. GeoGebra CAS og grafregner b) Solve[(x 2)/(x 3) = (x + 1)/(x + 2)] giver {x = 1 2 } Nævneren må ikke være nul! (x 2) (x + 1) solve( = (x 3) (x + 2),x) 2x x 2 1 = 1 x x + 1 x 2 1 0 x 2 1 x ±1 x + 1 0 x 1 Grundmængden er alle reelle tal undtagen x ±1 Dvs. G = {x R x 1og x 1}eller G = R \ { 1,1} Løsningsmængden findes 2x (x 2 1) = 1 1 x (x + 1) 2x (x + 1) (x 2 = 1) (x + 1) 1 1 x (x + 1) 85

2x 1 (x + 1) x (x 2 = 1) (x + 1) 2x (x 2 1) = 1 (x + 1) x 2 1 = 2x(x + 1) x 2 1 = 2x 2 + 2x 2x 2 x 2 + 1 + 2x = 0 x 2 + 2x + 1 = 0 d = b 2 4ac d = 4 4 1 1 = 0 dvs. en rod. x = b + 0 2a = 2 2 = 1 Men da x ±1 vil løsningsmængden være tom mængde eller nul. L = /O Kontrol Solve[2 x/(x 2 1) = 1 x/(x + 1)] giver {} 2x solve( (x 2 1) = 1 x (x + 1),x) 86

Øvelse 10 Bestem grundmængde og løsningsmængde for følgende ligninger 3 a) x + 2 = x b) 3x 2x + 4 4 x + 2 = 2 Kontrol med GeoGebra CAS giver følgende facit a) Solve[3/(x + 2) = x] giver {x = 3,x = 1} b) Solve[3 x/(2 x + 4) 4/(x + 2) = 2] giver {x = 3,x = 0} Prøv nu selv om du kan bekræfte disse! 3.6 Ligninger med kvadratrodstegn Vi løser en ligning med kvadratrodstegn som f.eks. x 1 = 3 ved at kvadrare begge sider, får vi ( x 1) 2 = ( 3) 2 x 1 = 9 x = 10 Vi kan nu kontrollere vores løsning vha. GeoGebra CAS eller grafregner 87

Solve[ x 1 = 3] giver {} Altså ingen løsning, tom mængde! Hvordan kan det lade sig gøre?? Lad os indsætte x = 10 i den originale ligning for at kontrollere. x 1 = 3 10 1 = 3 9 = 3 3 = 3 falsk! Den metode vi har brugt til at løse ligningen er altså ikke helt rigtigt! Vi skal lige huske reglen igen: 7. Kvadrering af en ligning kræver at begge sider af ligningen har samme fortegn a = b a 0 Hvorfor skal a 0? ( a) 2 = b 2 b 0 Vi skal altså huske at kræve at begge sider af lighedstegnet har samme fortegn inden vi kvadrer, dvs. x 1 = 3 ( x 1) 2 = ( 3) 2 3 0 men som ses af ovenstående er betingelsen 3 0 ikke opfyldt altså ligningen har ikke en reel løsning,dvs løsningsmængden er 88

L = /O Eksempel: Løs ligningen x + 13 = x + 1 Først bestemmer vi grundmængden, ved at kræve at indmaden af kvadratroden ikke må være negativ, da der ikke kan være et negativt reelt tal inde i kvadratroden, dvs. x + 13 0 x 13 Grundmængden er altså; G = [ 13; [ Løsningsmængden findes ved at kræve at begge sider af lighedstegnet er positiv når vi kvadrer, dvs. x + 13 = x + 1 ( x + 13) 2 = (x + 1) 2 x + 1 0 x + 13 = (x + 1) 2 x 1 x + 13 = x 2 + 2x + 1 x 1 x 2 + x 12 = 0 x 1 89

d = b 2 4ac = 1 2 4 1 ( 12) = 49 x = b ± d = 1 ± 49 3 = x 1 2a 2 1 4 Da x 1er x = 4 ikke en løsning, derfor bliver løsningsmængden L = {3} Kontrolleres vha. GeoGebra CAS eller grafregner på følgende måde; Solve[ (x + 13) = x + 1] giver {x = 3} solve( (x + 13) = x + 1,x) Eksempel: Løs ligningen 6 3x + 2 = x Inden vi beregner grundmængden skal vi sørge for at kvadratroden står alene 6 3x + 2 = x 6 3x = x-2 Grundmængden findes ved at sikre sig at indmaden ikke bliver negativ, dvs. 6 3x 0 3x 6 90

Ganges begge sider med 1 og samtidig vendes ulighedstegnet 3x 6 Divideres begge sider med 3, fås x 2 Grundmængden er alle reelle tal til og med tallet 2, dvs G =] ;2] Løsningsmængden ( 6 3x) 2 = (x 2) 2 (x 2) 0 6 3x = x 2 4x + 4 x 2 x 2 x 2 = 0 x 2 d = b 2 4ac = ( 1) 2 4 1 ( 2) = 9 x = b ± d = ( 1) ± 3 2 = x 2 2a 2 1 1 Løsningsmængden bliver L = {2} Kontrol vha. GeoGebra CAS Solve[ (6 3 x) = x 2] giver {x = 2} 91

Øvelse 11 (Øl til dem der kunne løse denne ligning!) Løs ligningen x + 2 + 18 x = 6 Øvelse 12 Løs følgende ligninger: a) 2x 2x + 10 + 2 = 0 b) 5 ( 2x + 10) + 2x = 10 Løsning: a) 2x 2x + 10 + 2 = 0 Allerførst skal vi sikre os at kvadratrodstegnet står alene på den ene side af lighedstegnet. 2x + 2 = ( 2x + 10) eller ( 2x + 10) = (2x + 2) Så skal vi undersøge grundmængden ved at betragte indmaden af kvadratroden, som skal være større eller lig med nul. 2x + 10 0 92

2x 10 Ganges ulighedstegnet med minus på begge sider, vendes fortegnet! x 5 Grundmængden bliver: G =] ;5] Løsningsmængden findes. Vi kvadrarer begge sider af lighedstegnet ved at kræve 2x + 2 0 samtidig. Dvs. 2x 0 x 1 (2x + 2) 2 = ( 2x + 10 ) 2 2x + 2 0 4x 2 + 8x + 4 = 2x + 10 x 1 4x 2 + 8x + 2x + 4 10 = 0 4x 2 + 10x 6 = 0 2x 2 + 5x 3 = 0 d = b 2 4ac d = 25 4( 6) d = 25 + 24 = 49 x 1 = b + d 2a = 5 + 7 4 = 1 2 93

x 2 = b d = 12 2a 4 = 3 Vi ser bort fra x 2 = 3 da vi fandt ud af at x 1. Derfor bliver løsningsmængden: L = { 1 2 } Prøv grafregneren eller GeoGebra CAS på følgende måde for at kontrollere resultatet. Solve[2 x ( 2x + 10) + 2 = 0] solve(2x 2x + 10 + 2 = 0,x) b) Grundmængden beregnes 5 2x + 10 + 2x = 10 5 2x + 10 = 10 2x Indmaden af kvadratroden undersøges først: 2x + 10 0 2x 10 2x 2 10 2 Husk reglen om at vende ulighedstegnet når man dividerer med et negativt tal! x 5 94

Grundmængden bliver: G = {x R x 5} =] ;5] Løsningsmængden beregnes 5 2x + 10 = 10 2x (5 2x + 10) 2 = (10 2x) 2 (10 2x) 0 25 ( 2x + 10) = 100 40x + 4x 2 x 5 50x + 250 = 100 40x + 4x 2 4x 2 40x + 100 + 50x 250 = 0 4x 2 + 10x 150 = 0 2x 2 + 5x 75 = 0 d = b 2 4ac d = 25 4 2 ( 75) = 625 Da d > 0 har vi to rødder eller løsninger! x 1 = b + d 2a x 2 = b d 2a = 5 + 25 4 = 5 = 30 4 = 15 2 Løsningsmængden bliver som følger da x 5 L = { 15 2,5} Kontrol vha. grafregner og GeoGebra CAS solve(5 2x + 10 = 10 2x,x) Solve[5 ( 2 x + 10) + 2 x = 10] 95

Øvelse 12 Løs følgende ligninger a) 5 x + 10 = 0 b) 5 x 10 = 0 c) x + x = 20 d) x + 3 x + 2 = 0 e) x 5 x = 36 3.7 Uligheder Nogle regneregler for uligheder som I skal kende: Ulighedstegnet skal vendes når man ganger/dividerer Et produkt er positivt, hvis og kun hvis de to faktorer har samme fortegn. Dvs. a b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) Et produkt er negativt, hvis og kun hvis de to faktorer har modsat fortegn. Dvs. a b 0 (a 0 b ) (a 0 b 0) En brøk er positiv, hvis og kun hvis tæller og nævner har samme fortegn. Dvs. a 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) b En brøk er negativ, hvis og kun hvis tæller og nævner har modsat fortegn. Dvs. a 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) b x a x a x a x a a x a 96

Eksempel: Løs uligheden 5x + 10(x + 3) 20x + 40 Grundmængden er alle reelle tal, dvs. G = R Ligningen løses ved at anvende ovenstående regler. Vi samler x erne på den ene side af ulighedstegnet. 5x + 10x + 30 20x + 40 15x 20x 40 30 5x 10 Ganges begge sider med 1 og vendes samtidig ulighedstegnet, fås; 5x 10 Divideres begge sider med tallet 5 x 2 Dvs. at løsningsmængden er: L = [ 2; [ Kontrol: Solve[5x + 10(x + 3) 20x + 40] giver {x 2} 97

Eksempel: Løs uligheden (x 3)(x + 4) 0 Grundmængden er alle reelle ta, dvs. G = R Her kan vi bruge en af ovenstående regler: Et produkt er positivt, hvis og kun hvis de to faktorer har samme fortegn. Dvs. a b 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) x 3 0 x + 4 0 x 3 0 x + 4 0 x 3 x 4 x 3 x 4 x 3 x 4 Foreningsmængden bliver løsningsmængden L = [ ; 4] [3; [ Kontrol: Solve[(x 3) (x + 4) 0] giver {x 4,x 3} Eksempel: Løs uligheden 13x (7x + 2) 3(2x + 1) Da alle reelle tal kan indsættes, er grundmængden G = R Løsningsmængden findes ved at hæve paranteserne og anvender ovenstående regler. 98

13x 7x 2 6x + 3 Vi samler x erne på den ene side af ulighedstegnet 13x 7x 6x 3 + 2 13x 13x 5 0 5 Dette er jo et falsk udtryk og vi har ingen løsninger, dvs. L = /O Kontrol: Solve[13x (7x + 2) 3(2x + 1)] giver {} Eksempel: Løs uligheden 6(1 + x) 7x < 13 x Grundmængden er alle relle tal, dvs. G = R Løsningsmængden findes ved at ophæve parenteser 6 + 6x 7x < 13 x Vi samler x erne på den ene side af ulighedstegnet 99

6x 7x + x < 13 6 0 < 7 Nul er jo altid mindre end tallet 7, altså sand. Løsningsmængden må være alle relle tal L = R Kontrol: Solve[6(1 + x) 7x < 13 x] giver {x = x} Øvelse 13 Løs uligheden 8,2x + 6,3 1,15x 0,75 Løsning: Grundmængden er alle reelle tal, dvs. G = R 8,2x + 6,3 1,15x 0,75 Vi ganger alle led med tallet 10: 82x + 63 11,5x 7,5 Vi samler x erne på venstre side af ulighedtegnet og tallene på højre side: 82x 11,5x 7,5 63 100

70,5x 70,5 Divideres begge sider af ulighedstegnet med 70,5 70,5x 70,5 70,5 70,5 x 1 Løsningamængden bliver; L =] ; 1] Kontrolmed grafregner og GeoGebra CAS: solve(8.2x 2 + 6.3 1.15x 0.75,x) Solve[8.2 x 2 + 6.3 1.15 x 0.75] giver {x 1} Øvelse 14 Bestem grundmængde og løsningsmængde til uligheden Løsning: x > 3(x 8) 3 Grundmængden er alle reelle tal, dvs. G = R Løsningsmængden findes ved at ophæve parentesen først: x > 3x 24 3 Vi flytter nu alle led til den venstre side af ulighedstegnet 101

x 3x + 24 > 0 3 Vi finder fællesnævneren x 3 3 3 3x 1 + 3 3 24 1 > 0 Nu kan vi bruge følgende regel: x 3 9x 3 + 3 24 > 0 3 x 9x + 572 > 0 3 3 x 9x + 72 3 72 8x 3 En brøk er positiv, hvis og kun hvis tæller og nævner har samme fortegn. Dvs. > 0 > 0 a 0 (a 0 b 0) (a 0 b 0) b 72 8x > 0 3 > 0 72 8x > 0 3 < 0 72 > 8x 3 > 0 /O 9 > x 3 > 0 Fællesmængden bliver løsningsmængden L =] ;9[ Kontrolleres vha. GeoGebra CAS 102

Solve[ x > 3 (x 8)] giver {x < 9} 3 Man kan også kontrollere ved at skitsere ligningerne og løse vha. GeoGebra på følgende måde(skriv i inputfeltet ligningen x 3 og bagefter 3(x 8). Og igen i inputfeltet skal der skrives f (x) > g(x) for at følgende billede. 2 Øvelse 15 Bestem grundmængde og løsningsmængden for følgende uligheder a) (x 1)(2x + 4) < 0 b) 3x + 9 x + 2 0 Løsning: a) (x 1)(2x + 4) < 0 103

Grundmængden er alle reelle tal, dvs. G = R Løsningsmængden findes ved at bruge følgende regel: Et produkt er negativt, hvis og kun hvis de to faktorer har modsat fortegn. Dvs. a b 0 (a 0 b ) (a 0 b 0) x 1 > 0 2x + 4 < 0 x 1 < 0 2x + 4 > 0 x > 1 2x > 4 x < 1 2x > 4 /O x < 1 x > 2 Løsningsmængden er fællesmængden L =] 2;1[ Kontrol vha. GeoGebra CAS Solve[(x 1) (2 x + 4) < 0] giver { 2 < x < 1} Den grafiske løsning vha. GeoGebra 104

b) 3x + 9 x + 2 0 Løs først vha. GeoGebra CAS og skitser, bagefter sammenlign disse med dit resultat. Øvelse 16 Løs ulighederne 1 a) x 2 > 0 b) 1 x 2 < 1 Løsning: 105

a) Grundmængden findes ved at kræve at nævneren ikke må være nul. G = \R{2} For at finde løsningsmængden skal vi bruge en af reglerne ovenover, på følgende måde. (1 > 0 x 2 > 0) (1 < 0 x 2 < 0) (1 > 0 x > 2) (1 < 0 x < 2) x > 2 {/O} Løsningsmængden bliver L =]2; [ Du kan kontrollere resultatet vha. grafregner på følgende måde: 1 solve( x 2 > 0,x) Eller GeoGebra CAS 1 Solve[ > 0] giver {x > 2} (x 2) b) Grundmængden er alle reelle tal undtagen tallet 2. G = R \ {2} Inden vi finder løsningsmængden skal vi lige ordne udtrykket så det bliver nemmere at bruge mht. reglerne. 106

1 x 2 < 1 1 x 2 1 < 0 3 x x 2 < 0 (3 x > 0 x 2 < 0) (3 x < 0 x 2 > 0) (3 > x x < 2) (3 < x x < 2) (x < 2) (x > 3) Foreningsmængden giver løsningsmængden L =] ;2[ ]3; [ Prøv nu grafregneren på følgende måde. 1 solve( x 2 < 1,x) Eller GeoGebra CAS 1 Solve[ > 1] giver {x < 2, x > 3} (x 2) Man kan også skitsere løsningen og aflæse løsningsmængden direkte som L = ] ;2[ ]3; [ 107

Øvelse 17 Løs ulighederne a) 3x 2 2 x < 2 b)x 2 > 1 1 x 10 x c) x 2 < 6 Løsning: Vi løser ligningerne ved at finde både grundmængden og løsningsmængden. a) Grundmængden bliver G = R \ {2} 3x 2 2 x 3x 2 2 x < 2 2 < 0 (3x 2) 2(2 x) 2 x 3x 2 4 + 2x 2 x < 0 5x 6 2 x < 0 108 < 0

Regel: (5x 6 > 0 2 x < 0) (5x 6 < 0 2 x > 0) (5x > 6 2 < x) (5x < 6 2 > x) (x > 6 5 2 < x) (x < 6 5 2 > x) x > 2 x < 6 5 Foreningsmængden er løsningsmængden: L =] ; 6 5 [ ]2; [ Kontrol vha. Geogebra CAS Grafisk løsning (3 x 2) Solve[( < 2] giver { 6 > x, x > 2} (2 x) 5 109

b) Grundmængden er: G = R \ {1} Regel på side 91 anvendes: x 2 1 x > 1 x 2 x 2 (1 x) 1 > 0 > 0 1 x 1 x x 2 1 + x 1 x > 0 2x 3 1 x > 0 (2x 3 > 0 1 x > 0) (2x 3 < 0 1 x < 0) (2x > 3 1 > x) (2x < 3 1 < x) (x > 3 2 1 < x) (x < 3 2 1 < x) x > 3 2 1 < x < 3 2 Foreningsmængden er løsningsmængden: L =]1, 3 2 [ Du skal nu kontrollere vha. Geogebra CAS og grafisk c) Grundmøngden er: G = R \ {2} 10 x x 2 10 x x 2 < 6 6 < 0 10 x 6(x 2) x 2 110 < 0

Regel 7 på side 91 anvendes: 10 x 6x + 12 22 7x < 0 x 2 x 2 < 0 (22 7x > 0 x 2 < 0) (22 7x < 0 x 2 > 0) (22 > 7x x < 2) (22 < 7x x < 2) ( 22 7 > x x < 2) (22 7 < x x > 2) x < 2 x > 22 7 Foreningsmængden er løsningsmængden: L =] ;2[ ] 22 7 ; [ Du kan prøve grafregneren på følgende måde: solve( 10 x x 2 < 6,x) Du skal nu kontrollere vha. GeoGebra CAS 3.8 Numeriske uligheder Der bruges følgende regler for at løse numeriske lignijnger 111

x hvis x 0 x = x hvis x < 0 2x hvis 2x 0 2x = 2x hvis 2x < 0 x + 1 hvis x + 1 0 x + 1 = (x + 1) hvis x + 1 < 0 3x 4 hvis 3x 4 0 3x 4 = (3x 4) hvis 3x 4 < 0 x > 0 x < a x > a x < a a < x < a Eksempel: Løs uligheden 2x 6 < 4 Metode 1: 2x 6 = 0 2x = 6 112

x = 3 Fortengslinjen deles i to dele som vist nedenunder: 1. x < 3 Vi indsætter et tal der er mindre end 3 i 2x 6 = 2 2 6 = 2 Negativ Vi sætter et minustegn foran parentesen (2x 6) < 4 2x + 6 < 4 2x < 4 6 2x < 2 Ganges begge sider med minustegn og ulighedstegnet vendes 2x > 2 x > 1 2. x 3 Vi indsættet et tal der er større end 3 113

2 4 6 = 8 6 = 2 Positiv (2x 6) < 4 2x < 4 + 6 2x < 10 x < 5 Løsningsmængden er fællesmængden, dvs. Løsningsmængden er altså intervallet; L =]1;5[ Metode 2: Vi kan også løse denne ulighed ved hjælp af reglen; x hvis x 0 x = x hvis x < 0 114

Dvs; (2x 6) < 4 hvis 2x 6 0 2x 6 = (2x 6) < 4 hvis 2x 6 < 0 a) 2x 6 < 4 hvis 2x 6 0 2x < 4 + 6 hvis 2x 6 x < 5 hvis x 3 ok. b) (2x 6) < 4 hvis 2x 6 < 0 2x + 6 < 4 hvis 2x < 6 2x < 4 6 hvis x < 3 x > 1 hvis x < 3 ok Løsningsmængden er fællesmængden 115

Metode 3: 2x 6 < 4 Vi kan også bruge reglen; x < a a < x < a 4 < 2x 6 < 4 Løser venstre og højre sider hver for sig. 4 < 2x 6 4 + 6 < 2x 2 < 2x 1 < x eller x > 1 Højre side 2x 6 < 4 2x < 10 x < 5 Løsningsmængden er fællesmængden L =]1;5[ Kontrol: Solve[abs(2x 6) < 4] giver {1 < x < 5} 116

Øvelse 18 Løs følgende uligheder a) x < 5 b) 2x > 6 Løsning: Vi bruger ovenstående regneregler: x > a x < a x > a x < a a < x < a (a > 0) a) x < 5 5 < x < 5 (a = 5 > 0) L =] 5,5[ b) 2x > 6 2x > 6 2x < 6 2x > 6 x < 3 x > 3 L =], 3[ ]3, [ Du kan kontrollere dine resultater vha. grafregner eller GeoGebra CAS på følgende måde: solve(abs(x) < 5, x) solve(abs(2x) > 6, x) Solve[abs(x) < 5] giver { 5 < x < 5} Solve[abs(2 x) > 6] giver {x < 3, x > 3} 117

Øvelse 19 Løs ulighederne a) 2x + 1 5 b) 2x 5 1 c) x 1 > 5 d) 3 6x < 9 Vi bruger reglerne igen. a) 2x + 1 5 5 (2x + 1) 5 Vi deler uligheden i to dele og finder fællesmængden: 5 (2x + 1) (2x + 1) 5 6 2x 2x 4 3 x x 2 3 x 2 L = [ 3,2] Kontrol Solve[abs(2 x + 1) 5] giver { 3 x 2} solve(abs(2x + 1) 5,x) b) 2x 5 1 118

2x 5 1 Igen deles uligheden i to dele og foreningsmængden findes: 2x 5 1 2x 5 1 2x 5 1 2x 5 1 x 2 x 3 L =],2] [3, [ Kontrol Solve[abs(2 x 5) 1] giver {x 2, x 3} solve(abs(2x 5) 1,x) c) x 1 > 5 x 1 > 5 Uligheden deles i to dele og foreningsmængden findes: x 1 < 5 x 1 > 5 x < 4 x > 6 L =], 4[ ]6, [ Kontrol Solve[abs(x 1) > 5] giver {x < 4, x > 6} 119

solve(abs(x 1) > 5,x) d) 3 6x < 9 3 6x < 9 Uligheden deles i to og fællesmaængden findes: 9 < (3 6x) < 9 9 < 3 6x 3 6x < 9 6x < 12 6x < 6 x < 2 x > 1 1 < x < 2 L =] 1,2[ Kontrol Solve[abs(3 6 x) < 9] giver { 1 < x < 2} solve(abs(3 6x) < 9,x) Øvelse 20 Løs følgende uligheder a) 2x 2 + 1 > x b) 2x 2 + 1 3 x > 1 a) 2x 2 + 1 > x 120

2x 2 > x 1 (2x 2) > x 1 (2x 2) 0 2x 2 = (2x 2) > x 1 (2x 2) < 0 2x 2 > x 1 2x 2 0 x > 1 x 1 Fællesmængden mellem x > 1 og x 1 er x > 1 (Overvej hvorfor?) 2x + 2 > x 1 2x 2 < 0 3x > 3 x < 1 x < 1 x < 1 Fællesmængden mellem x < 1 og x < 1 er x < 1 Nu gælder det om at finde foreningsmængden mellem x > 1 og x < 1 og det er x 1.(Hvorfor?) L =],1[ [1, [ x 1 Løsningsmængden bliver alle reelle tal undtagen 1, dvs. R \ {1} Kontrol Solve[abs(2 x 2)x 1] giver {x < 1, x > 1} solve(abs(2x 2) > x 1,x) b) 2x 2 + 1 3 x > 1 121

2x 2 > 1 1 3 x 2x 2) > 1 1 x (2x 2) 0 2x 2 = 3 (2x 2) > 1 1 x (2x 2) < 0 3 2x 2 > 1 1 3 x 2x 2 0 6x + x 3 > 3 2x 2 x > 9 7 x 1 Fællesmængden er x > 9 7 2x + 2 > 1 1 3 x 2x 2 < 0 6x + x 3 > 1 2x < 2 x < 3 5 x > 1 Fællesmængden er x< 3 5 Men vi skal til sidst finde foreningsmængden som er løsningsmængden Løsningsmænden bliver: L =] ; 3 5 [ ]9 7 ; [ Kontrol Solve[abs(2 x 2) > 1 x 3 ] giver {3 5 > x, x > 9 7 } solve(abs(2x 2) > 1 1 3 x,x) 122

3.9 Andengradsuligheder Eksempel: Løs uligheden x 2 3x + 2 < 0 Metode 1: Vi finder rødderne eller skæring med x-aken ved at løse ligningen: y = x 2 3x + 2 = 0 d = b 2 4ac = ( 3) 2 4 1 2 = 9 8 = 1 Da diskriminaten d >0 er der to skæringer med x-aksen eller to rødder. x = b ± d = ( 3) ± 1 2 = 2a 2 1 1 Da koefficienten til x 2 er a = 1(altså positiv), vender parablen grene opad. Skæring med y-aksen findes ved at sætte x = 0 y = 2 Nu kender vi de to skæringer med x-aksen og en skæring med y-aksen. Samtidig ved også vi hvordan grenene vendes. Vi kan altså skitsere parablen (grafen for en andengradsligning er en parabel!). For at sikre at x 2 3x + 2 < 0 gælder, skal vi sørge for at finde løsninger der ligger under x-aksen! Som ses af figuren nedenunder, vil intervallet ]1;2[ opylde denne betingelse. 123

Løsningsmængden er altaå ; L =]1;2[ Metode 2: Uligheden kan løses vha. Geogebra CAS på følgende måde; Solve[x 2 3 x + 2 < 0] giver {1 < x < 2} Metode 3: Skitseres direkte vha. GeoGebra ved først at indtaste x 2 3x + 2 GeoGebra angiver selv funktinsnavnet f (x) til lignigen. Og bagefter indtastes selve uligheden på følgende måde; f (x) < 0 124

Der fremkommer ovenstående figur hvor man aflæser løsningsmængden direkte fra figuren. Eksempel: Løs uligheden x 2 + x 6 0 Vi bruger alle tre metoder; y = x 2 + x 6 Skæring med x-aksen findes ved at indsætte y = 0 x 2 + x 6 = 0 Nu løser vi en andengradsligningen d = b 2 4 a c = 1 2 4 1 ( 6) = 25 > 0 to rødder! x = b ± d = 1 ± 25 2 = 2 a 2 1 3 Skæring med y-aksen findes ved at indsætte x = 0 i ligningen y = 6 Da a = 1 er positiv vender parablens grene opad! 125

Løsningsmængden er som også aflæses af grafen; L =] ; 3] [2; [ Kontrol Solve[x 2 + x 6 0] giver {x 3, x 2} Eksempel: Løs uligheden x 2 + x + 1 0 y = x 2 + x + 1 Skæring med x-aksen findes dvs. vi sætter y = 0 x 2 + x + 1 = 0 d = b 2 4 a c = 1 2 4 1 1 = 1 4 = 3 <= ingen relle rødder! 126

Da d < 0 har ligningen ingen særing med x-aksen. a = 1 er positiv, dvs. parablens grene er opad. Skæring med y-aksen finde ved at indsætte x = 0 y = 1 Skitseres vha. GeoGebra på følgende måde: Dvs. ingen løsninger eller L = /O Kontrol Solve[x 2 + x + 1 0] giver L = /O Eksempel: Løs uligheden x 2 + 2x + 3 0 Skæring med x-aksen; 127

y = x 2 + 2x + 3 x 2 + 2x + 3 = 0 d = b 2 a c = 2 2 4 ( 1) 3 = 4 + 12 = 16 > 0 to rødder! x = b ± d = 2 ± 16 3 = 2a 2 ( 1) 1 Skæring med y-aksen; y = 3 Skitseres Løsningsmængden aflæses direkte af figuren. 128

L = [ 1;3]} Kontrol Solve[ x 2 + 2x + 3 0] giver { 1 x 3} Eksempel: Løs uligheden 2x 2 x 1 < 0 Skæring med x-aksen y = 2x 2 x 1 2x 2 x 1 = 0 d = b 2 4ac = ( 1) 2 4 ( 2) ( 1) = 1 8 = 7 < 0 Da d < 0 er der ingen skæring med x-aksen, dermed ingen rødder. Skæring med y-aksen y = 1 Da a < 0 negativ, vender parablens gren nedad. Skitsering 129

Da parablen ligge under x-aksen, vil uligheden altid være opfyldt. Det vil sige at løsningsmængden er alle relle tal L = R Kontrol Solve[ 2 x 2 x 1 < 0] giver {x = x} Dvs. sandt! og det betyder alle relle tal. Øvelse 21 Løs følgende uligheder a) 4x 2 + 2 x 3 2 0 b) 2x 2 + 8x 14 0 c) x 2 + 5x 6 > 0 Løsning: 130

a) Vi beregner rødderne og skitserer parablen på følgende måde: 4x 2 + 2 x 3 2 0 d = b 2 4 a c d = ( 2) 2 4 4 ( 3 2) d = 69,88 0,87 x = kontoller dette! 1,22 Skitsering foregår vha. GeoGebra: Da 4x 2 + 2 x 3 2 0 ligger over x-aksen, bliver løsningsmængden følgende: L =] ; 1,22] [0,87; [ 131

Alternativ løsningsmetode: Vi kan også løse uligheden ved at faktorisere ligningen på følgende måde, 4(x 0,87)(x + 1,22) 0 og bruge reglen; a b > 0 a > 0 b > 0 a < 0 b < 0 x 0,87 0 x + 1,22 0 x 0,87 0 x + 1,22 0 x 0,87 x 1,22 x 0,87 x 1,22 Fællesmængden mellem x 0, 87 og x 1, 22 er x 0, 87(overvej dette!) Fællesmængden mellem x 0,87 og x 1,22 er x 1,22 Til slut skal vi finde foreningsmængden: L =] ; 1,22] [0,87, [ Kontrol Solve[4 x 2 + 2 x 3 2 0] giver følgende { 1 8 ( 2 2(24 2 + 1)) x, x 1 8 ( 2 + 2( 24 2 + 1))} Det ser voldsomt ud men hvis man regner videre, fås forhåbentlig følgende: {1.22 x, x 0.87} b) 132

2x 2 + 8x 14 0 Da d < 0 (prøv selv!) er der ikke reelle løsninger til denne ligning men som du kan se, vil løsningsmængden være alle reelle tal, da parablen ligger under x-aksen. Kontrol: Solve[ 2 x 2 + 8 x 14 0] giver {x = x}sandt! som betyder alle relle tal. c) x 2 + 5x 6 0 Skæring med x-aksen giver følgende: 133

2 x = 3 Skæring med y-aksen giver y = 6 Skitsering Kontrol: Solve[ x 2 + 5 x 6 0] giver {2 x 3} Øvelse 22 Løs ulighederne a) 9x 2 15x 14 0 b) 9(3x 2 + 2x) 2 15(3x 2 + 2x) 14 0 Løsning: a) Først finder vi rødderne, dvs skæring med x-aksen: 134

9x 2 15x 14 0 d = ( 15) 2 4 9 ( 14) = 729 2 x = 3 7 3 Skæring med y-aksen findes ved at indsætte x = 0, dvs y = 14 Løsningsmængden er vist i figuren nedenunder: Kontrol: Solve[9 x 2 15 x 14 0] giver { 2 3 x 7 3 } b) 9(3x 2 + 2x) 2 15(3x 2 + 2x) 14 0 Hvis vi sætter z = (3x 2 + 2x) så ligner det øvelsen før! Rødderne har vi i forvejen og de er: 135

2 z = 3 7 3 z 1 = 3x 2 + 2x og z 2 = 3x 2 + 2x 2 3 = 3x2 + 2x har ikke relle rødder!(hvorfor ikke?) 7 3 = 3x2 + 2x har rødderne: x = Vi skitserer funktionen vha. GeoGebra: 1,28 0,61 Løsningsmængden er under x-aksen, dvs: 1, 28 x 0, 61 Kontrol: Solve[9 (3 x 2 + 2 x) 2 15 (3 x 2 + 2 x) 14 0] giver følgende { 2 2 1 3 x 2 2 1 } 3 136

Øvelse 23 Løs ulighederne a) 4x 4 4x 2 15 < 0 b) 16x 2 8x + 1 > 0 c) 16x 2 8x + 1 > 49 Løsning: a) Skjult andengradsligning! 4x 4 4x 2 15 < 0 Løses ved at indsætte z = x 2 z 2 4z 15 < 0 d = b 2 4 a c Som giver følgende rødder. Prøv selv! 3 z = 2 5 2 Nu skal vi tilbage til x erne: 3 2 = x2 1 som ikke giver reelle løsninger. Ses bort fra GeoGebra løsningen bliver: 5 5 2 = x2 2 x 2 = ± 2 137

5 5 Dvs: L = { 2 < x < 2 } Kontrol: Solve[4 x 4 4 x 2 15 < 0] giver { 10 10 2 < x < 2 } b) Numerisk ulighed løses vha. følgende regel: x > 0 x < a x > a 16x 2 8x + 1 < 0 (16x 2 8x + 1) > 0 Fællesmængden giver løsningsmængden som er alle reelle tal undtagen x = 1 4 138

Man kan også løse analytisk på følgende måde: 16x 2 8x + 1 < 0 (16x 2 8x + 1) > 0 16 (x 1 4 )(x 1 4 ) > 0 16 ( x + 1 4 )(x 1 4 ) > 0 1) (x 1 4 ) > 0 (x 1 4 ) > 0 (x 1 4 ) < 0 (x 1 4 ) < 0 x 1 4 > 0 x 1 4 < 0 ] ; 1 4 [ ]1 4 ; [ 2) x + 1 4 > 0 x 1 4 > 0 x + 1 4 < 0 x 1 4 < 0 x < 1 4 x > 1 4 x > 1 4 x < 1 4 1 4 < x < 1 4 Som betyder at x 1 4 Dvs. at løsningsmængden er alle reelle tal undtagen x 1 4 Kontrol: 139

Solve[abs(16 x 2 8 x + 1) > 0] giver { 1 4 x, x > 1 4 } c) Numerisk ulighed. 16x 2 8x + 1 < 49 16x 2 8x + 1 > 49 16x 2 8x + 1 < 49 har ingen reelle løsninger! Kontrollér! 3 16x 2 8x + 1 > 49 har løsningen x = 2 2 Vi skitserer igen vha. GeoGebra: Analytisk løsning: 16x 2 8x + 1 > 49 16x 2 8x 48 > 0 2x 2 x 6 > 0 140

2(x + 3 )(x 2) > 0 2 x + 3 2 > 0 x 2 > 0 x + 3 2 < 0 x 2 < 0 x > 3 2 x > 2 x < 3 2 x < 2 x > 2 x < 3 2 Løsningsmængden bliver foreningsmængden: L =] ; 3 2 [ ]2; [ Kontrol: Solve[abs(16 x 2 8 x + 1) > 49] giver { 3 > x, x > 2} 2 Øvelse 24 Løs uligheden x 3 > 4 x Løsning: x 3 > 4 x x 3 4 x > 0 x(x 3) x x 2 3x 4 x 141 > 0 > 0

(x + 1)(x 4) > 0 x Dvs. Regel: En brøk er positiv, hvis og kun hvis tæller og nævner har samme fortegn. a > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) b ((x + 1)(x 4) > 0 x > 0) ((x + 1)(x 4) < 0 x < 0) 1)((x + 1)(x 4) > 0 x > 0) 2) ((x + 1)(x 4) < 0 x < 0) 1) (x + 1)(x 4) > 0 Kan I se hvilke regel der kan bruges her? (x + 1) > 0 x 4 > 0) (x + 1) < 0 x 4 < 0) (x > 1 x < 4) (x < 1 x < 4) x > 4 x < 1 Dvs. løsningsmængden bliver foreningsmængden: L =] ; 1[ ]4; [ 2) (x + 1)(x 4) < 0 Hvilke regel? (x + 1 > 0 x 4 < 0) (x + 1 < 0 x 4 > 0) (x > 1 x < 4) (x < 1 x > 4) Dvs. løsningsmængden bliver foreningsmængden: L =] 1;4[ Alt i alt kan vi skrive følgende (] ; 1[ ]4; [ x > 0) (] 1;4[ x < 0) 142

Fællesmængderne for begge sider bliver x > 4 1 < x < 0 Foreningsmængden bliver løsningsmængden: L =] 1;0[ ]4; [ Løsningsmængden er vist på figuren nedenunder: Kontrol: Solve[(x 3) > 4 ] giver { 1 < x0, x > 4} x 3.10 Ligningssytemer Et ligningssystem består af flere ligninger som skal løses samtidig, dvs. løsningsmængden skal tilfredstille begge ligninger samtidig. 143

3.10.1 To ligninger med med to ubekendte a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 Der er fire metoder til at løse ligningssytemet: 1. Subtitutionsmetoden 2. Lige store koefficienters metode 3. Alternativ lige store kvotienters metode 4. Grafisk løsning Eksempel: Løs ligningssytemet 2x y 3 = 0 x + 2y 6 = 0 Vi bruger alle fire metoder i det følgende: Metode 1: Substitutionsmetoden Ved denne metode skal vi isolere den ene variabel i den ene ligning og derefter indsætte eller substituere dette udtryk i den anden ligning. 2x 3 = y x + 2(2x 3) = 6 144

2x 3y = y x + 4x 6 = 6 2x 3 = y 3x = 12 2x 3 = y x = 4 x = 4 indsættes i den første ligning for at finde y 2 4 3 = y y = 5 Løsningsmængden indeholder et punkt i koordinatsystemet. L = {{x = 4,y = 5}} Kontrol: Solve[{2x y 3 = 0, x + 2y 6 = 0}] giver {{x = 4, y = 5}} Metode 2: Lige store koefficienters metode Samme variabler skal stå under hinanden, dvs. ligningerne skal ordnes således at samme typer variabler. 145

evt. med modsat fortegn kommer til at stå under hinanden. Bagefter skal man lægge dem sammen eller trække fra hinanden. 2x y 3 = 0 x + 2y 6 = 0 Man ganger den nederste ligning med 2 og derefter lægger ligningerne sammen led for led. 2x y 3 = 0 2x + 4y 12 = 0 2x 2x y + 4y 3 12 = 0 3y 15 = 0 y = 5 Denne værdi indsættes i en af ligningerne for at finde x 2x y 3 = 0 2x 5 3 = 0 2x = 8 x = 4 146

3. Metode 3: Alternativ lige store kvotienters metode Metoden går ud på at isolere en af variablerne i begge ligninger samtidig og sætte dem lige med hinanden. Det er ligegyldigt om man isolerer x eller y. 2x y 3 = 0 x + 2y 6 = 0 Vi isolerer x i begge ligninger 2x = y + 3 2y 6 = x x = y + 3 2 x = 2y 6 y + 3 2 = 2y 6 Ganges over kors 2(2y 6) = y + 3 147

4y 12 = y + 3 3y = 3 + 12 y = 5 Variablen x findes ved at indsætte y = 5 i en af de ligninger for x x = y + 3 2 = 5 + 3 2 = 4 Metode 4: Grafisk løsning vha. Geogebra eller grafregner 148

Øvelse 25 Løs følgende ligningssytemer: x + 2y = 3 a) 3x y = 6 1,5x + 5y = 1 b) 0,25x 0,5y = 0 Vi starter med at løse ligningsystemerne ved hjælp af tre forskellige metoder: 1) Indsættelsesmetoden: Metoden går ud på at isolere den ene af variablerne fra en af de ligninger og indsætte denne i den anden ligning. a) x + 2y = 3 3x y = 6 Vi isolerer variablen y fra den første ligning: x + 2y = 3 y = 3 x 2 Denne y værdi indsættes i den anden ligning: 3x (3 x) 2 6x (3 x) 2 = 6 = 6 6x (3 x) = 12 6x 3 + x = 12 5x = 15 x = 3 149

Vi har nu fundet x og mangler y: Dvs. vi har x = 3 og y = 3. y = 3 x 2 = 6 2 = 3 Du kan kontrollere denne løsning ved at indsætte disse i originale ligninger: x + 2y = 3 3 + 2 3 = 3 3 = 3 ok 3x y = 6 3( 3) 3 = 6 9 3 = 6 6 = 6 ok 2) Alternativ indsættelsesmetoden: Metoden går ud på at isolere f.eks. y erne i begge ligninger og sætte dem lige hinanden. x + 2y = 3 y = 3 x 2 3x 6 = y y = 3x 6 Vi sætter dem lige hinanden: 3 x 2 = 3x 6 150

Ganges over kors: 2( 3x 6) = 3 x 6x 12 = 3 x 6x + x = 3 + 12-5x=15 x = 3 Vi finder til sidst y: y = 3 x 2 = 6 2 = 3 Eller: y = 3x 6 y = 3( 3) 6 = 9 6 = 3 3) Lige store koeefficienters metode: Metoden går ud på at sørge for at enten x eller y ernes koeefficienter er det samme: x + 2y = 3 3x y = 6 151

Som ses af ovenstående: I den første ligning har variablen x koefficienten 1 og y har koefficienten 2. I den anden ligning har variablen x koefficienten -3 og y -1. Hvis nu vi gangede den første ligning med 3 og lægge dem sammen får vi y-værdien: 3x + 6y = 9 3x y = 6 5y = 15 y = 3 x-værdien findes ved at indsætte i en af de ligninger: x + 2y = 3 x + 2(3) = 3 x = 3 6 = 3 Som kontrol kan grafregneren bruges som x + 2y = 3 solve( 3x y = 6,{x,y} GeoGebra CAS bruges på følgende måde: Solve[{x + 2y = 3, 3x y = 6},{x,y}] som giver {x = -3, y = 3} 4. Grafik løsning vha. GeoGebra, altså skæringspunktet mellem disse ligninger: 152

1,5x + 5y = 1 b) 0,25x 0,5y = 0 Vi ganger begge ligninger med 100 for at undgå decimaler og vælger en af de metoder. Vi vælger lige store koefficienters metode: 150x + 500y = 100 25x 50y = 0 Nu ganger vi den nederste ligning med 6 og lægge dem sammen: 150x + 500y = 100 6( 25x 50y = 0) 150x + 500y = 100 150x 300y = 0 153

2ooy = 100 y = 1 2 Vi finder x-værdien ved at indsætte y = 1 2 i en af de ligninger: 25x 50y = 0 25x = 25 x = 1 Vi kunne lige så godt havde valgt den første ligning : 150x + 500y = 100 150x + 500 1 2 = 100 150x = 150 x = 1 Kontrol: Solve[{1.5 x + 5 y = 1, 0.25 x 0.5 y = 0}] giver {{x = 1, y = 1 2 }} Øvelse 26 Løs følgende ligningssystemer 7x + 4y = 8 a) 21x 12y = 5 x 2 y = 7 b) 3x 6y = 24 Vi kan vælge en af de metoder til at løse ligningssytemerne: a) 154

7x + 4y = 8 21x 12y = 5 Vi ganger den første ligning med tallet 3 og lægge dem sammen: 21x + 12y = 24 21x 12y = 5 Som ses bliver venstre side af ligningssystemet nul og vi får: 0 = 29 som ikke er sand! Vi kan konkludere at løsningsmængden er nul. Dvs. linierne ikke skærer hinanden eller parallelle. Vi kan kontrollere resultatet vha. grafregner: 7x + 47 = 8 solve( 21x 12y = 5,{xy} Eller vha. GeoGebra CAS Solve[{ 7x + 47 = 8,21x 12y = 5}] giver {} Grafisk løsning dvs. skæringspunktet findes vha. GeoGebra 155

Ingen skæring! Dvs. tom løsninsgmængde! b) x 2 y = 7 3x 6y = 24 Vi isolerer y i den første ligning og indsætte i den anden: x 2 7 = y 3x 6(x 2 7) = 24 3x 6x 2 + 42 = 24 6x 2 + 3x + 18 = 0 Det er en andengradsligning som vi skal løse ved først at finde diskriminanten. d = b 2 4 a c d = 9 4( 6) (18) d = 9 + 432 = 441 > 0 x 1 = b + d 2a = 3 + 21 12 = 3 2 x 2 = b d 2a = 3 21 12 = 2 156

Nu mangler vi at finde y-værdierne ved at indsætte x erne: y 1 = x 2 7 = ( 3 2 )2 7 = 9 4 7 = 4,75 y 2 = x 2 7 = (2) 2 7 = 4 7 = 3 Vi har følgede koordinatsæt: (2; 3) og ( 1,5; 4,75) Vi kan kotrollere resultatet ved at anvende grafregnerens solve funktion og/eller GeoGebra på følgende måde: x 2 y = 7 solve( 3x 6y = 24,{x,y} GeoGebra CAS Solve[{x 2 y = 7,3x 6y = 24},{x,y}] eller Solve[{x 2 y = 7,3x 6y = 24}] Grafisk løsning: 157

3.10.2 Tre ligninger med tre ubekendte Her bruges altid substitutionsmetoden Eksempel: Løs ligningssystemet x + y + z 1 = 0 3x 4y z 6 = 0 x 3y + 2z 4 = 0 Hvis du kan løse dette eksempel har du forstået substitutionsmetoden. Solve[{x + y + z 1 = 0,3x 4y z 6 = 0, x 3y + 2z 4 = 0}] giver følgende {{x = 1, y = 1, z = 1}} Øvelse 27 Løs ligningssystemet 3x 2y + 4z = 28 x 8y + 2z = 16 2x + y 5z = 22 Løsning: 158

Vi løser ligningssystemet først ved at bruge substutitionsmetoden og dernæst løser vi ligningssystemet vha. Cramers metode som vi endnu ikke har skiftet bækendskab med. Cramers metode anvendes med fordel når man har flere and to ligninger der skal løses samtidig. I faget elektroteknik i 4. semester skal I arbejde med elektriske kredsløb hvor I kommer til at bruge metoden med fordel. 1. Substitutionsmetoden: Af den første ligning, isoleres variablen z: z = 7 3 4 x + 1 2 y Variablen z skal så indsættes i ligning 2; x 8y + 2(7 3 4 x + 1 2 y) = 16 x 8y + 14 6 4 x + y = 16 og i ligning3; 4x 6x 4 7y = 2 10 4 x 7y = 2 5 2 x 7y = 2 2x + y 5(7 3 4 x + 1 2 y) = 22 2x + y 35 + 15 4 x 5 2 y = 22 8x + 15x 4 + 2y 5y 2 = 13 23 4 x 3 2 y = 13 23 4 x 3 2 y = 13 Nu har vi to ligninger med to ubekendte som igen kan løses vha. substitutionseller lige store koeffficienters metode: Vi bruger nu GeoGebra solve kommando på følgende måde: 159

Solve[{ 5 2 x 7y = 2, 23 4 x 3 2 y = 13}] Som giver følgende værdier: x = 2 og y = 1 Vi finder z ved at indsætte ovenstående værdier i; z = 7 3 4 x + 1 2 y = 7 3 4 2 + 1 2 ( 1) = 7 1 6 4 1 2 = 28 6 2 4 Altså har vi: = 20 4 = 5 x = 2, y = 1 og z = 5 2. Cramer s metode Vi finder først determinanten 3 2 4 D = 1 8 2 8 2 1 2 1 8 = 3 ( 2) + 4 = 1 5 2 5 2 1 2 1 5 3(40 2) + 2(5 4) + 4( 1 + 16) = 176 Vi finder nu x,y og z på følgende måde: 28 2 4 16 8 2 22 1 5 x = 176 3 28 4 1 16 2 2 22 5 y = 176 160 = 352 176 = 2 = 176 176 = 1

3 2 28 1 8 16 2 1 22 z = 176 x = 2,y = 1,z = 5 = 880 176 = 5 4 Regression 4.0 Indledning til funktioner eller matematiske modeller Mange gange kan man komme ud for, at man har nogle målinger, som man indtegner i et koordinatsystem, hvor man kan se, at der tilsyneladende en eller anden sammenhæng mellem disse tal. Altså at der må findes en funktion, som kan beskrive denne sammenhæng - en såkaldt matematisk model.men hvilken type model er der tale om? Er det en lineær sammenhæng, en eksponentiel sammenhæng, en potens sammenhæng eller noget helt fjerde. Og hvad er så regneforskriften for den funktion, som bedst beskriver de givne data, dvs. hvilken regneforskrift giver en graf, ligger tættest muligt på samtlige punkter? Beregning af denne funktion kaldes regression. Dette er ikke simpelt at regne ud. Man vil derfor altid bruge et matematisk værktøj til at foretage beregningerne (grafregner,matematik program som GeoGebra etc). Det, der er vigtigt for dig, er at du lærer at vurdere, hvilken form for sammenhæng der er mellem de data, du har og at se på hvor godt den regneforskrift du får 161

beregnet, passer med dine data. Vi vi i de følgende afsnit undersøge lineære, eksponentielle og potens sammenhænge. 4.1 Lineær regression Lad os forestille os at vi har følgende data som kommer fra et eksperiment. Vi vil gerne undersøge om der er en sammenhæng mellem x- og y-variablerne og hvor god er denne sammenhæng og forsøge at finde en regneforskrift for denne sammenhæng. Regneforskriften bruges til at forudsige fremtidige sammenhæng dvs. hvordan vil denne sammenhæng udvikle sig i fremtiden. Eller hvordan havde denne sammnehæng eller udvikling været det i fortiden? x y 2 1 5 2 6 3 7 4 9 5 Vi bruger GeoGebras regneark funktion til at indsætte tallene og vælger Two variable regression analysis. Man får med det samme den bedste linie der passer til data og en regneforskrift. 162

Samtidig får vi også information om hvor godt den beregnede linie passer med punkterne. Den er givet ved korrelationskoefficienten r = 0.9774. Men endu bedre mål for sammenhængen er R 2 = 0.9552. Den sidste bruges især når man har flere enslydende modeller hvor man ikke umiddelbart kan se forskel ved at sammenligne r. Herom senere. Til at afgøre hvilke linie der bedst passer til punkterne (der kan være mange linier), benytter man typisk en metode der hedder mindste kvadraters metode. Den går ud på, at man kigger på den lodrette afstand mellem linien og hvert enkelt punkt og minimere summen af disse afstande. Summen af kvadraterne af disse afstande kaldes kvadratsummen. Den linie der giver den mindste kvadratsum, er den bedst mulige linie og denne kaldes regressionslinien. Den information i form af r = 0,9774 kaldes korrelationskoefficient. - Hvis r = 1 er hældningskoefficienten positiv og samtlige punkter ligger på 163

linien. - Hvis 0 < r < 1 er hældningskoefficienten positiv. Jo tættere r er på 1 jo tættere ligger punkterne på den beregnede linie. - Hvis r = 0 (eller tæt på nul) er sammenhøngen mellem punkterne ikke lineær. - Hvis 1 < r < 0er hældningskoefficienten negativ. Jo tættere r er på 1 jo tættere ligger punkterne på den beregnede linie. -Hvis r = 1 er hældningskoefficienten negativ og samtlige punkter ligger på linien. I praksis gør du det, at du indtaster dine punkter, vælger en passende model (lineær,eksponentiel osv.) og beder programmet eller grafregneren om at få beregnet regressionslinien. Men under alle omstændigheder giver grafregneren eller GeoGebra dig både korrelationskoefficienten r, R 2, grafen og regneforskriften y = ax + b. Øvelse 28 Ved en undersøgelse har man fundet følgende sammenhæng mellem størrelserne x og y. Bestem regneforskriften for den linie, som passer bedst muligt punkterne. Løsning: x -1 0,5 5 6 8 y -3-1 1 2 4 Vi bruger GeoGebra s regneark funktion til at indsætte tallene vælger kommandoen FitLine[list1] og vi får følgende graf med regneforskrift og korrelationskoefficient. 164

Vi kan også markere begge kolonner i regnearket og vælge Two Variable Regression Analysis. Vi har 0 < r < 1. Det betyder en positiv hældningskoefficient og r er meget tæt på 1, dvs sammenhængen er meget sikker, altså der er tale om en lineær sammenhæng mellem x og y. Regneforskriften kan ses i figuren. 4.2 Eksponential regression Hvis det formodes, at der er en eksponentiel sammnhæng mellem punkterne, anvendes eksponentiel regression. Fremgångsmåden er den samme som før. Man anvender igen et matematisk værktøj (Geogebra, grafregners, etc) og indtaster punkterne og vælger at få beregnet regneforskriften og korrelationskoefficient for den eksponential funktion y = b a x, der passer bedst muligt med punkterne. 165

Eksempel: Lad os bruge følgende tabel og indtaste værdierne i GeoGebra s regneark og analysere data for at se om der er tale om eksponential sammenhæng. x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y 4,9 5,2 5,9 6,9 8,0 9,4 10,6 13,1 15,3 19,0 Vi vælger kommandoen FitExp[list1] ( eller vælger Two Variabel regression analyse og exponential model) og vi får følgende graf. Regneforskriften aflæses sammen med korrelationskoefficienten (og RSquare). Øvelse 29 Ved nogle målinger har man fundet følgende sammenhæng mellem størrelserne x og y. Bestem regneforskriften for den eksponentialfunktion, som passer bedst 166

muligt med punkterne. x 2 3 5 13 y 5 5,6 7 17 Løsning: Igen bruger vi GeoGebra men denne gang vælger vi Two variable regression analyse i stedet for at bruge kommandoen FitExp[list1] da denne metode giver direkte korrelationskoefficienten og RSquare. Det er for at vise at man kan bruge GeoGebra s mange faciliteter. Regneforskriften bliver f (x) = 4,01 e 0,11x og r = 0,9947 167

4.3 Potens regression Hvis det formodes, at der er en potens sammenhæng mellem punkterne, anvendes potens regression. Fremgangsmåden er den samme som før. Man anvdender et matematisk værktøj -GeoGebra eller Grafregner-, indtaster punkterne og vælger at få beregnet regneforskriften for den potensfunktion y = b x a ( Husk eksponentiel funktion er y = b a x ), der passer bedst muligt med punkterne. Korrelationskoeficienten eller RSquare fortæller på samme måde som før, hvor godt den beregnede graf passer med punkterne og dermed hvor godt er sammenhængen mellem variablerne. Eksempel: Vi har fundet følgende talpar ved nogle målinger. Vi vil nu gerne se hvilke sammenhæng der er mellem variablerne og finde sammenhængens regneforskrift. Løsning: x 0,5 2 6 30 y 0,2 0,4 0,8 1,5 Vi bruger Geogebra s regnearks facilitet til at indtste og få beregnet regneforskriften for sammenhængen. 168

Øvelse 30 Ved nogle målinger har man fundet følgende sammenhæng mellem størrelseren x og y. Bestem regneforskriften for den potensfunktion, som passer bedst muligt med punkterne. Løsning: x 2 4 7 9 13 16 y 8,5 24 55,6 80 140,6 193,1 169

Øvelse 31 Ved nogle målinger har man fundet følgende sammenhæng mellem størrelserne x og y. Undersøg ved regression, hvilken af de tre modeller der bedst beskriver disse målinger. Løsning: x 2 4 7 9 13 16 y 8,5 24 55,6 80 140,6 193,1 For at finde ud af hvilke model der bedst beskriver talmaterialet er vi nødt til at lave en sammenligning af forskellige modellers korrelationskoefficienter eller RSquare. Den koefficient der er størst må være den model der bedst beskriver data. Vi bruger igen GeoGebra med de tre modeller og få følgende resultater 1. Lineær model: r = 0,992 Regneforskrift: y = f(x) = 13,2459x-28,9571 2. Potens model: r = 0,992 Regneforskrift: y = f(x) =2,9992 x 1,4998 3. Eksponentiel model: r = 0,992 Regneforskrift: y = f (x) = 9,0689 e 0,209x Ud fra korrelationskoefficienterne kan vi umiddelbart konstatere at der ingen forskel på dem og dermed er alle tre modeller lige gode! Men prøv at sammenlighe R 2 og se om der er forskel! Opgave En gruppe studerende fra Maskinmesterskolen har fået til opgave at bestemme sammenhængen mellem snorlængde og svingningstid for et pendul. 170

For at opnå en større nøjagtighed for en enkelt svingning, har gruppen målt tiden for 10 svingninger for et pendul som vist på figuren nedenunder. Skemaet herunder viser de opnåede resultater. Snorlængden betegnes L og svingningstiden T. L(m) 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 10 T (s) 21,0 23,8 25,6 28,4 30,4 32,7 34,1 T (s) 2,10 2,38 2,56 2,84 3,04 3,27 3,41 a) Vis at data tilnærmelsesvis kan beskrives ved en potensfunktion. b) Bestem en forskrift for potensfunktionen. På linket her,(http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/pend.html ) findes en grundlæggende beskrivelse af det matematiske pendul: A simple pendulum is one which can be considered to be a point mass suspended from a string or rod of negligible mass. It is a resonant system with a 171

single resonant frequency. For small amplitudes, the period of such a pendulum can be approximated by: L T = 2π g hvor g er den lokale tyngdeacceleration 9,82m/s 2. c) Omskriv udtrykket til formen T = k L n Hvilke værdier får man for k og n? 172

References [1] Matematik for adgangskurus B niveau 1 og 2, Nils Victor-Jensen, 2012, Dafolo A/S 173