DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord nr) Der er i alt 30 spørgsmål fordelt på 30 opgaver, benævnt opgave,,..., 30 i teksten. De enkelte spørgsmål er ligeledes nummereret og angivet som spørgsmål,,...,30 i teksten. Svarene skal uploades via campusnet, ved brug af filen answers.txt eller en lignende fil. I filen anføres studienummer på første linie, spørgsmålsnummer og svar anføres på de følgende linier med en linie for hvert spørgsmål. Nedenstående skema kan eventuelt afleveres som et supplement til den elektroniske aflevering. Ved uoverensstemmelse vil den elektroniske aflevering være gældende. Spørgsmål 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Svar Spørgsmål 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 30 Svar Svarmulighederne for hvert spørgsmål er nummereret fra til 6. Der gives 5 point for et korrekt svar og for et ukorrekt svar. Ubesvarede spørgsmål eller et 6-tal (svarende til ved ikke ) giver 0 point. Det antal point, der kræves for, at et sæt anses for tilfredsstillende besvaret, afgøres endeligt ved censureringen af sættene. Der gøres opmærksom på, at ideen med opgaverne er, at der er ét og kun ét rigtigt svar på de enkelte spørgsmål. Endvidere er det ikke givet, at alle de anførte alternative svarmuligheder er meningsfulde. Sættets sidste side er nr 7; blad lige om og se, at den er der. I teksten benyttes betegnelsen log( ) for naturlige logaritmer, dvs. logaritmer med grundtal e, medens Φ betegner fordelingsfunktionen for en standardiseret normalfordelt variabel.
Opgave En provisionslønnet telefonsælger ringer til 0 tilfældige personer i løbet af sin vagt. Der er 0% sandsynlighed for, at en kunde accepterer tilbuddet. Spørgsmål Sandsynligheden for, at højst to kunder accepterer tilbuddet i løbet af sælgerens vagt, findes til 0, 0,5 3 ( ) Φ 0 0, 0,9 4 5e 5 ( ) 9 0 ( 0 + 0 9 ) 9 ( 0 0 + 90 ) ( 9 ) 8 0 0 Opgave En person opholder sig i en fugtig skov, hvor vedkommende modtager gennemsnitligt et insektbid per 5. minut. Man antager, at insekterne bider uafhængigt af hinanden. Spørgsmål Antallet af bid, personen udsættes for i løbet af en halv time, beskrives bedst ved en Poisson(6) fordeling geometrisk ( 6) fordeling 3 binomial (, ) fordeling 4 uniform (, ) fordeling 5 negativ binomial (, ) fordeling Fortsæt på side 3
Opgave 3 To instrumenter i et flycockpit kan erstatte hinanden. Sandsynligheden for, at det første fejler, er p, medens sandsynligheden for, at de begge fejler, er q. Man er i en situation, hvor det første instrument har fejlet. Spørgsmål 3 Hvad er sandsynligheden for, at det andet instrument også fejler p q p 3 p q 4 q 5 qp Opgave 4 Man har, at den stokastiske variabel X følger en Poisson() fordeling, medens den stokastiske variabel Y følger en hypergeometrisk(0,00,0) fordeling. Spørgsmål 4 Man finder E(X + Y ) = + 00! 0! 90! 0! E(X + Y ) = 9 5 3 E(X + Y ) = 4 4 E(X + Y ) = 7 5 5 E(X + Y ) kan ikke bestemmes, da Poissonfordelingen og den hypergeometriske fordeling ikke er kompatible Fortsæt på side 4 3
Opgave 5 Man har E(X) =, E(X ) = 4, E(Y ) = 0, E(Y ) = 9 og Z = X + Y. Spørgsmål 5 Man finder Var(Z) = 7 Var(Z) = 9 3 Var(Z) = 4 Var(Z) = 3 5 Spørgsmålet kan ikke besvares, da der ikke er givet tilstrækkelige oplysninger. Opgave 6 Man har udviklet en sandsynlighedsmodel til beskrivelse af bestanden af to kænguruarter. Der er tilstrækkeligt mange individer til, at en bivariat normalfordeling kan bruges som model. Det forventede antal af hver af de to arter er 800, variansen for begge arter er 600, medens korrelationskoefficienten er ρ = 5. Man har optalt antallet af den ene art til at være 700. Spørgsmål 6 Det forventede antal af den anden (ikke optalte) art er 735 760 3 800 4 840 5 865 Fortsæt på side 5 4
Opgave 7 Den kontinuerte stokastiske variabel V er uniformt fordelt på enhedsintervallet (0;). Man danner X = e V. Spørgsmål 7 Tætheden f X (x) for X findes til f X (x) = e x, x > 0 f X (x) = e, 0 < x < e 3 f X (x) = x, < x < e 4 f X (x) = e, < x < e 5 f X (x) = log(x), < x < e Opgave 8 Levetiden af en elektronisk komponent er givet ved en gamma(3,) fordeling, hvor tidsenheden er et år. Komponenten har opnået alderen år. Spørgsmål 8 Sandsynligheden for, at komponenten fejler indenfor den første uge efter, at den har opnået alderen to år, findes, eventuelt approksimativt, til 4e 5 + 5 3 e 5 x e x dx 4 3 e 6 π ( ) Φ 3 5 3 5 30 Fortsæt på side 6 5
Opgave 9 Et punkt vælges tilfældigt i området afgrænset af linierne x = 0, y = 4, x + y = 6, x = 4 og y = 0. Det skraverede område på nedenstående figur er afgrænset af linierne y = 4, x + y = 6, x = 4 og x + y = 4. (0,4) 0000 00000 00000 00000 00000 0000 000 00 0 (4,0) Spørgsmål 9 Sandsynligheden for, at punktet ligger i det skraverede område, findes til 5 8 3 3 4 5 9 5 3 7 Fortsæt på side 7 6
Opgave 0 Spørgsmål 0 Sandsynligheden for, at den næststørste af 3 uafhængige uniformt(0;) fordelte variable er mellem 4 og 3 4, er 5 3 3 6 4 3 4 5 3 Opgave Skoleelever på et passende klassetrin klassificeres efter om de læser og regner tilfredsstillende, 4% læser tilfredsstillende, 35% regner tilfredsstillende, medens 55% mestrer mindst en af disciplinerne tilfredsstillende. Spørgsmål Andelen af elever, der både læser og regner tilfredsstillende, findes til 7% 3% 3 4,7% 4 % 5 35% Fortsæt på side 8 7
Opgave Man har empirisk fundet, at en person, der dyrker en af sportsgrenene cykling (C), fodbold (F) og svømning (S) har forhøjet hæmatokritværdi med følgende sandsynligheder P CH, P F H og P SH. Sandsynligheden for, at en person dyrker cykling, fodbold eller svømning er henholdsvis P C, P F og P S. Man kan antage, at en person dyrker netop en af de tre sportsgrene. En person har fået målt forhøjet hæmatokritværdi. Spørgsmål Sandsynligheden for, at personen dyrker fodbold, findes til P F P F H P F H 3 P C P S + P CH + P F H + P SH 4 P F P F H P C P CH +P F P F H +P S P SH 5 P F H P F (P CH +P F H +P SH ) Opgave 3 I et sædvanligt spil kort udtages tilfældigt 5 kort. Spørgsmål 3 Sandsynligheden for, at man blandt de 5 kort har netop 3 røde kort og sorte kort, findes til 6 5 4 6 5 5 5 50 49 48 3 40 3 ( 5 3) ( ) ( ) 3 4 (6 3 )( 6 ) ( 5 5 ) 5 ( ( 4 ( ) 3 ) ) Fortsæt på side 9 8
Opgave 4 Man har de to uafhængige stokastiske variable X og Y, der begge følger en geometrisk fordeling med parameter henholdsvis p og q. Spørgsmål 4 Man finder P(X > Y ) til P(X > Y ) = q( p) p+q pq P(X > Y ) = q 3p 3 P(X > Y ) = ( p)( q) pq 4 P(X > Y ) = p( q) p+q pq 5 P(X > Y ) = ( p)q pq Opgave 5 Den stokastiske variabel X har tætheden x for 0 < x < og 0 ellers. Spørgsmål 5 Man finder P( 4 < X < ) = 4 P( 4 < X < ) = 3 P( 4 < X < ) = 3 6 4 P( 4 < X < ) = 5 8 5 P( 4 < X < ) = 3 8 Fortsæt på side 0 9
Opgave 6 Privatpersoner kan overføre billeder til en hjemmeside. Størrelsen af de enkelte billeder kan ( ) α, beskrives ved en fordeling med tæthed f(x) = α β + x β hvor α og β er positive konstanter. Spørgsmål 6 Sandsynligheden for, at det mindste af 4 billeder har en størrelse, der overstiger en værdi x 0, findes til ( ) 4α + x 0 β ( ) 4α 4 α β + x 0 β 3 ( ( ) ) α 4 + x 0 β 4 ( ( ) ) α 4 α β + x 0 β 5 ( ) α + 4x 0 β Opgave 7 Den stokastiske variabel Y er for givet X = x ligefordelt på intervallet (x; ) medens X har tætheden f X (x) = x, 0 x. Spørgsmål 7 Man finder E(Y ) til E(Y ) = 3 E(Y ) = 3 E(Y ) = 3 4 4 E(Y ) = 3 5 5 E(Y ) = x+ Fortsæt på side 0
Opgave 8 Besøgende i en forlystelsespark kaster bolde mod en skive med et midtpunkt. Det punkt, hvor den enkelte bold rammer, beskrives ved koordinaterne (X, X ), der er afstanden i henholdsvis horisontal og vertikal afstand fra midtpunktet. Man kan med rimelighed modellere X og X som to uafhængige standard normalfordelte variable. For at vinde en præmie skal bolden ramme i en ring med bredde. Ringens indre diameter er (og den ydre diameter således 4). Spørgsmål 8 Sandsynligheden for, at en besøgende vinder netop to præmier ved to kast, findes til e + e 4 e 5 e ( + e e ) 3 3 4 4 Atan(3) π 5 e e 4 Opgave 9 I en grisetransport er der 400 slagtesvin. Slagtesvinene har en middelvægt på 97,5 kg. med en standardafvigelse på 5 kg. Spørgsmål 9 Sandsynligheden for, at den samlede vægt af grisene i en grisetransport overstiger 40 ton, findes, eventuelt approksimativt, til Φ Φ 3 Φ( 3) 4 Φ ( 0 ) 3 ) ( 0 400 97,5 000 0,5 0,85 ( 40 000 400 97,5 30 000 ) 5 Kan ikke bestemmes grundet manglende oplysninger Fortsæt på side
Opgave 0 Punktet (X, Y ) vælges efter en ligefordeling indenfor området afgrænset af koordinatsystemets akser samt linien y + x =. Man danner Z = X + Y. Spørgsmål 0 Tætheden f Z (z) for Z findes til f Z (z) = z 9, 0 < z < 3 z 0 < z f Z (z) = < z 3 z < z 3 { 3 z 0 z < f Z (z) = z z 4 f Z (z) = z 0 { dx z 0 z < 5 f Z (z) = 4 z z Opgave Man har parret (X, Y ), der er standard bivariat normalfordelte med korrelationskoefficient ρ = 3 5. Man danner Z = X + Y. Spørgsmål Man finder P(Z < ) til ( Φ ( Φ 3 ( Φ 4 ( Φ 5 ( Φ 5 5 ) ) 4 5 5 ) ) 4 3 5 ) 5 4 Fortsæt på side 3
Opgave Under særlige vejrforhold omdirigeres fly til en mindre lufthavn med sikre landingsforhold. Man antager, at de omdirigerede fly ankommer uafhængigt af hinanden med en hyppighed af per tredje minut. Spørgsmål Bestem sandsynligheden for, at der ankommer mere end 6 fly indenfor 5 minutter. Φ 0,0467 3 0,03 4 0,07 5 0,007 ( ) 6 5 3 5 3 Opgave 3 De stokastiske variable X og Y har den simultane tæthedsfunktion f(x, y) = x + y for 0 < x < og 0 < y <. Spørgsmål 3 Man finder P ( X, Y ) til P ( X, Y ) = P ( X, Y ) = 4 3 P ( X, Y ) = 6 4 P ( X, Y ) = 8 5 P ( X, Y ) = 6 Fortsæt på side 4 3
Opgave 4 Man betragter hændelserne A og B samt de tilknyttede indikatorfunktioner I A og I B. Spørgsmål 4 Man finder P(I A I B = ) til P(A B) P(A B) 3 P(A) + P(B) 4 P(A) + P(B) P(A B) 5 Sandsynligheden kan ikke bestemmes uden nøjere kendskab til funktionerne I A og I B. Opgave 5 Man har de tre uafhængige stokastiske variable X, X og X 3, der alle følger en eksponential(λ) fordeling. Man indfører Y = X + X + X 3. Spørgsmål 5 Man finder P(Y > y) e λy/3 ( + λy + (λy)) e λy ( ) 3 Φ y 3 λ 3 λ ( 4 Φ y 3 λ 3 λ 5 λ (λy) e λy ) Fortsæt på side 5 4
Opgave 6 Et stålværk producerer to ståltyper. På en given dag kan afvigelserne fra normalproduktionen beskrives ved en bivariat normalfordeling med korrelationskoefficient Spørgsmål 6 Sandsynligheden for, at der på en given dag produceres mindre end normalproduktionen for begge typer af stål, findes til π ) Atan( π Atan( 3 8 4 6 5 4 π ). Opgave 7 Et firma sælger varer i et miljø, der kan beskrives ved en kontinuert stokastisk variabel X, der for hver dag antager værdier i intervallet (0; ) med tætheden 6x( x) uafhængigt fra dag til dag. Antallet af varer, der kan sælges i løbet af en dag, kan angives som en binomial(0, x) fordeling for et givet x. Spørgsmål 7 Sandsynligheden for, at der kan sælges netop 0 enheder på en tilfældig dag, findes til 3 0 6 ( 0 4 ( 0 0 0) 6x( x)dx ) 04 5 0 6x ( x) dx Fortsæt på side 6 5
Opgave 8 I en alternativ parameterisering af binomialfordelingen benytter man parameteren θ. Sammenhængen mellem θ og den sædvanlige sandsynlighedsparameter p er givet ved ( ) p = eθ p + e θ, θ = log. p Spørgsmål 8 For X binomialfordelt med antalsparameter n = finder man for θ = 0 P(X = 0) = P(X = 0) = 3 P(X = 0) = 4 4 P(X = 0) = 0 5 P(X = 0) kan ikke bestemmes da θ = 0 ikke er en gyldig parameterværdi Opgave 9 Rejsetiden til en videnskabelig station i arktis har en middeltid på dag med standardafvigelse 3 dage. Spørgsmål 9 En bedste øvre grænse for sandsynligheden for, at rejsetiden til den videnskabelige station overstiger dage findes til 3 Φ ( ) 3 4 4 5 Kan ikke bestemmes uden nøjere kendskab til fordelingen af rejsetiden Fortsæt på side 7 6
Opgave 30 Den simultane fordeling af de diskrete stokastiske variable X og Y er givet ved følgende tabel Værdier af X Fordeling 3 af Y Værdier 3 /6 0 /6 /3 af Y 0 /3 0 /3 /6 0 /6 /3 Fordeling /3 /3 /3 af X (total sum) Spørgsmål 30 Om de stokastiske variable X og Y gælder De er uafhængige De er ukorrelerede men ikke uafhængige 3 De er korrelerede 4 De er identiske 5 De er gensidigt udelukkende Slut på opgavesættet. 7